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《明史》·卷三十二 志第八

清朝 明史 張廷玉等 著

曆二  

  大統曆法一上法原

  造曆者各有本原,史宜備錄,使後世有以考。如太初之起數鍾律,大衍之造端蓍策,皆詳本志。授時曆以測驗算術為宗,惟求合天,不牽合律呂、卦爻。然其法之所以立,數之所從出,以及晷影、星度,皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中,有書名可考。元史漫無采摭,僅存李謙之議錄、曆經之初稿。其後改三應率及立成之數,與夫割圓弧矢之法,平立定三差之原,盡削不載。使作者精意湮沒,識者憾焉。今據大統曆通軌及曆草諸書,稍為編次,首法原,次立成,次推步。而法原之目七:曰句股測望,曰弧矢割圓,曰黃赤道差,曰黃赤道內外度,曰白道交周,曰日月五星平立定三差,曰里差刻漏。

  句股測望

  北京立四丈表,冬至日午正,測得景長七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半,為半弧背。求得矢度,五度九十一分半。置周天半徑,截矢餘五十四度九十六分為股,乃本地去戴日下之度。以弦股別句術,求得句二十六度一十七分六十六秒,為日出地半弧弦。

  北京立四丈表,夏至日午正,測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半,為半弧背。求得矢度,四十三度七十四分少。置周天半徑,截矢餘一十七度一十三分二十五秒為句,乃本地去戴日下之度。以句弦別股術,求得股五十八度四十五分半,為日出地半弧弦。

  以二至日度相併,得一百度七十三分,折半得五十度三十六分半,為北京赤道出地度。以赤道出地度轉減周天四之一,餘四十度九十四分九十三秒七十五微,為北京北極出地度。

  弧矢割圓

  周天徑一百二十一度七十五分少。[少不用。]

  半徑六十○度八十七分半。[又為黃赤道大弦。]

  二至黃赤道內外半弧背二十四度。[所測就整。]

  二至黃赤道弧矢四度八十四分八十二秒。 

  黃赤道大句二十三度八十分七十秒。 

  黃赤道大股五十六度○二分六十八秒。[半徑內減去矢度之數。]

  割圓求矢術 置半弧背度自之,為半弧背羃,周天徑自之,為上廉。 上廉乘半弧背羃,為正實。 上廉乘徑,為益從方。 半弧背倍之,乘徑,為下廉。 以初商乘上廉,得數以減益從方,餘為從方。 置初商自之以減下廉,餘以初商乘之,為從廉。 從方、從廉相並,為下法。 下法乘初商,以減正實,實不足減,改初商。實有不盡,次第商除之。 倍初商數,與次商相並以乘上廉,得數以減益從方,餘為從方。 并初商次商而自之,又以初商自之,並二數以減下廉,餘以初商倍數並次商乘之,為從廉。 從方、從廉相並,為下法。 下法乘次商,以減餘實,而定次商。有不盡者,如法商之,皆以商得數為矢度之數。[黃赤道同用。]

  如以半弧背一度求矢度。 術曰:置半弧背一度自之,得一度,為半弧背羃。 置周天徑一百二十一度太自之,得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒,為上廉。 上廉乘半弧背羃,得一萬四千八百二十三度○六分二五,為正實。 上廉又乘徑,得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五,為益從方。 半弧背一度倍之,得二度,以乘徑得二百四十三度五十分,為下廉。 初商八十秒。 置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五,得一百一十八度五八四五,以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五,餘一百八十○萬四千五百八十九度二七四八七五,為從方。 又置初商八十秒自之,得六十四微,以減下廉,餘二百四十三度四九九九三六。仍以八十秒乘之,得一度九四七九九九四八八,為從廉。 以從廉、從方並之,共得一百八十○萬四千五百九十一度二二二八七四四八八,為下法。 下法乘初商,得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九○四,以減正實,餘實三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六。 次商二秒。置初商八十秒倍之,得一分六十秒。加次商二秒,得一分六十二秒,乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五,得二百四十○度一三三六一二五,以減益從方,餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七六二五,為從方。 又置初次商八十二秒自之,得六十七微。加初商八十秒自之之數,得一秒三十一微,以減下廉,餘二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之,得三度九十四分四六九七八七七八,為從廉。 以從廉、從方並,得一百八十○萬四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八,為下法。 下法乘次商,得三百六十○度八九四三三四○九二○七五五六,以減餘實,仍餘二十五度四三八三八二九一二○二○四四。[不足一秒棄不用,下同。]

  凡求得矢度八十二秒,餘度各如上法,求到矢度,以為黃赤相求及其內外度之根。[數詳後。]

  黃赤道差

  求黃道各度下赤道積度術。 置周天半徑內減去黃道矢度,餘為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦,以黃赤道大股乘之[大股見割圓]為實。 黃赤道大弦[半徑]為法。實如法而一,為黃赤道小股。 置黃道矢自乘為實,以周天全徑為法,實如法而一,為黃道半背弦差。 以差去減黃道積度,[即黃道半弧背。]餘為黃道半弧弦。 置黃道半弧弦自之為股羃,黃赤道小股自之為句羃,二羃並之,以開平方法除之,為赤道小弦。 置黃道半弧弦,以周天半徑[亦為赤道大弦]乘之為實,以赤道小弦為法而一,為赤道半弧弦。 置黃赤道小股,[亦為赤道橫小句。]以赤道大弦[即半徑]乘之為實,以赤道小弦為法而一,為赤道橫大句,以減半徑,餘為赤道橫弧矢。橫弧矢自之為實,以全徑為法而一,為赤道半背弦差。 以差加赤道半弧弦,為赤道積度。

  如黃道半弧背一度,求赤道積度。 術曰:置半徑六十○度八十七分五十秒,[即黃赤道大弦。]內減黃道矢八十二秒餘六十○度八六六八,為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦,以黃赤道大股五十六度○二六八乘之,得三千四百一十○度一七二○三○二四為實,以黃赤道大弦六十○度八七五為法,實如法而一,得五十六度○一分九十二秒,為黃赤道小股。[又為赤道小句。] 置矢度八十二秒自之,得六十七微,以全徑一百二十一度七五為法,除之得五十五纖,為黃道半背弦差。 置黃道半弧背一度,內減黃道半背弦差,餘為半弧弦,因差在微以下不減,即用一度為半弧弦。 置黃道半弧弦一度自之,得一度為股羃。黃赤道小股五十六度○一九二自之,得三千一百三十八度一五○七六八六四為句羃。二羃並得三千一百三十九度一五○七六八六四為弦實,平方開之,得五十六度○二八一,為赤道小弦。 置黃道半弧弦一度,以半徑[即赤道大弦]乘之,得六十○度八七五為實,以赤道小弦五十六度○二八一為法除之,得一度○八分六十五秒,為赤道半弧弦。 置黃赤道小股五十六度○一九二,[又為赤道小句。]以赤道大弦[半徑]六十○度八七五乘之,得三千四百一十○度一六八八為實,以赤道小弦為法除之,得六十○度八十六分五十三秒,為赤道橫大句。 置半徑六十○度八十七分五十秒,內減赤道大句六十○度八十六分五十三秒,餘九十七秒,為赤道橫弧矢。 置赤道橫弧矢九十七秒自之,得九十四微○九,以全徑為法除之,得七十七纖,為赤道背弦差。 置赤道半弧弦一度○八分六十五秒,加赤道背弦差,為赤道積度,今差在微已下不加,即用半弧弦為積度。

  凡求得赤道積度一度○八分六十五秒。餘度各如上法,求到各黃道度下赤道積度,兩數相減,即得黃赤道差,乃至後之率。其分後,以赤道度求黃道,反此求之,其數並同。

黃赤道相求弧矢諸率立成上

至後黃分後赤道積度

黃道矢度

黃道矢差

黃道半弧弦,又為赤道小股

黃赤道小股,又為赤道小句

赤道小弦

十度十分

十度十分十秒

十度十分十秒

十度十分十秒

十度十分十秒

十度十分十秒

 初

 

 


 一

  八二

  ○二四六

 一○○○○

五六○一九二

五六○二八一

 二

  ○三二八

  ○四一一

 二○○○○

五五九九六六

  ○三二三

 三

  ○七三九

  ○五七六

 二九九九九

  九五八八

  ○三九一

 四

  一三一五

  ○七四一

 三九九九九

  九○五八

  ○四八七

 五

  二○五六

  ○九○七

 四九九九七

  八三七六

  ○六一○

 六

  二九六三

  一○七三

 五九九九三

  七五四一

  ○七五九

 七

  四○三六

  一二四○

 六九九八七

  六五五三

  ○九三六

 八

  五二七六

  一四○八

 七九九七七

  五四一二

  一一四○

 九

  六六八四

  一五七六

 八九九六三

  四一一六

  一三七一

一○

  八二六○

  一七四五

 九九九四四

  二六六六

  一六三○

 一

 一○○○五

  一九一六

一○九九一八

  一○六○

  一九一五

 二

  一九二一

  二○八七

一一九八八三

五四九二九六

  二二二六

 三

  四○○八

  二二五八

一二九八三九

  七三七五

  二五六五

 四

  六二六六

  二四三○

一三九七八三

  五二九七

  二九二八

 五

  八六九六

  二六○五

一四九七一三

  三○六一

  三三二○

 六

 二一三○一

  二七七九

一五九六二八

  ○六六三

  三七三五

 七

  四○八○

  二九五五

一六九五二四

五三八一○六

  四一七八

 八

  七○三五

  三一三○

一七九四○○

  五三八九

  四六四四

 九

 三○一六五

  三三○七

一八九二五三

  二五○五

  五一三五

二○

  三四七二

  三四八五

一九九○八○

五二九四六二

  五六五二

 一

  六九五七

  三六六三

二○八八七八

  六二五四

  六一九二

 二

 四○六二○

  三八四二

二一八六四五

  二八八二

  六七五六

 三

  四四六二

  四○二○

二二八三七六

五一九二四七

  七三四二

 四

  八四八二

  四二○○

二三八○七○

  五六四七

  七九五二

 五

 五二六八二

  四三七九

二四七七二一

  一七八一

  八五八二

 六

  七○六一

  四五五九

二五七三二六

五○七七五一

  九二三四

 七

 六一六二○

  四七三八

二六六八八一

  三五五五

  九九○六

 八

  六三五八

  四九一七

二七六三八二

四九九二九九

五七○五九九

 九

 七一二七五

  五○九五

二八五八二八

  四六六九

  一三一○

三○

  六三七○

  五二七三

二九五二一○

四八九九八○

  二○三九

 一

 八一六四三

  五四五○

三○四五三五

  五一二七

  二七八六

 二

  七○九三

  五六二六

三一三七六○

  ○一一一

  三五四九

 三

 九二七一九

  五八○一

三二二九三九

四七四五三三

  四三二六

 四

  八五二○

  五九七四

三三二○二八

四六九五九四

  五一一八

 五

一○四四九四

  六一四五

三四一○三二

  四○九六

  五九二三

 六

一一○六三九

  六三一四

  九九四六

四五八四四○

  六七四○

 七

  六九五三

  六四八一

三五八七六六

  二六二九

  七五六九

 八

一二三四三四

  六六四七

三六七四八六

四四六六六四

  八四○七

 九

一三○○八一

  六八○八

三七六一○二

  ○五四七

  九二五二

四○

  六八八九

  六九六七

三八四六○九

四三四二八二

五八○一○七

 一

一四三八五六

  七一二四

三九三○○三

四二七八六九

  ○九六七

 二

一五○九八○

  七二七六

四○一二六七

  一三一二

  一八三一

 三

  八二五六

  七四二六

  九四二九

四一四六一六

  二六九九

 四

一六五六八二

  七五七一

四一七四五四

四○七七八二

  三五六九

 五

一七三二五三

  七七一二

四二五三四六

  ○八二二

  四四四○

 六

一八○九六五

  七八五○

四三三一○二

三九三七一五

  五三一一

 七

一八八八一五

  七九八四

四四○七一八

三八六四九○

  六一八○

 八

一九六七九九

  八一一二

  八一八九

三七九一四三

  七○四五

 九

二○四九一一

  八二三七

四五五五一三

三七一六七六

  七九○七

五○

二一三一四八

  八三五七

四六二六八四

三六四○九五

  八七六三

 一

二二一五○五

  八四七二

  九七○一

三五六四○四

  九六一二

 二

  九九七七

  八五八三

四七六五五九

三四八六○七

五九○四五三

 三

二三八五六○

  八六八八

四八三二五六

  ○七○七

  一二八五

 四

二四七二四八

  八七八九

  九七八九

三三二七一一

  二一○六

 五

二五六○三七

  八八八五

四九六一五六

三二四六二二

  二九一七

 六

二六四九二二

  八九七七

五○二三五四

三一六四四五

  三七一四

 七

二七三八九九

  九○六三

  八三八二

三○八一八三

  四四九九

 八

 八二九六二

  九一四四

五一四二三六

二九九八四一

  五二六七

 九

二九二一○六

  九二二二

  九九一七

  一四二六

  六○二二

六○

三○一三二八

  九二九四

五二五四二二

二八二九三八

  六七六○

 一

三一○六二二

  九三六一

五三○七五一

二七四三八四

  七四八一

 二

  九九八三

  九四二六

  五九○二

二六五七六九

  八一八四

 三

三二九四○九

  九四八五

五四○八七五

二五七○九四

  八八六八

 四

三三八八九四

  九五三八

  五六六八

二四八三六四

  九五三二

 五

三四八四三二

  九五九○

五五○二八四

二三九五八六

六○○一七八

 六

三五八○二二

  九六三八

  四七一九

  ○七五九

  ○八○二

 七

三六七六六○

  九六八一

  八九七四

二二一八八九

  一四○四

 八

三七七三四一

  九七一九

五六三○五○

二一二九七九

  一九八四

 九

三八七○六○

  九七五六

  六九四八

二○四○三四

  二五四四

七○

三九六八一六

  九七八九

五七○六六七

一九五○五五

  三○八一

 一

四○六六○五

  九八一八

  四二○七

一八六○四六

  三五九五

 二

四一六四二三

  九八四五

  七五七○

一七七○二○

  四○八六

 三

四二六二六八

  九八六八

五八○七五六

一六七九四九

  四五五三

 四

四三六一三六

  九八九一

  三七六六

一五八八七六

  四九九七

 五

四四六○二七

  九九一○

  六六○○

一四九七六三

  五四一六

 六

四五五九三七

  九九二五

  九二五八

  ○六四三

  五八一○

 七

四六五八六二

  九九四○

五九一七四四

一三一五○八

  六一八一

 八

四七五八○二

  九九五二

  四○五六

一二二三五九

  六五二六

 九

四八五七五四

  九九六二

  六一九六

一一三二○○

  六八四七

八○

四九五七一六

  九九七二

  八一六五

一○四○三二

  七一四四

 一

五○五六八八

  九九七九

  九九六三

○九四八五四

  七四一五

 二

五一五六六七

  九九八四

六○一五九二

○八五六七○

  七六六一

 三

五二五六五一

  九九八九

  三○五二

○七六四八一

  七八八二

 四

五三五六四○

  九九九三

  四三四五

○六七二八七

  八○七九

 五

五四五六三三

  九九九六

  五四七○

○五八○九○

  八二五○

 六

五五五六二九

  九九九七

  六四一八

○四八八九○

六○八三九五

 七

五六五六二六

  九九九九

  七二二二

○三九六一九

  八五一八

 八

五七五六二五

 一○○○○

  七八四九

○三○四八七

  八六一三

 九

五八五六二五

  ○○○○

  八三一一

○二一二八三

  八六八三

九○

五九五六二五

  ○○○○

  八六○九

○一二○七九

  八七二九

 一

六○五六二五

 ○三一二五

  八七四二

○○二八七六

  八七四九

 一三一

  八七五○

  ○○○○

  八七五○

  ○○○○

  八七五○

黃赤相求弧矢諸率立成下

至後黃分後赤道積度

赤道半弧弦

赤道矢度

至後赤分後黃道積度

度率

黃赤道差

十度十分

十度十分十秒

十度十分十秒

十度十分十秒

十度十分十秒

十度十分十秒

 初

  

 一○八六五


 一

 一○八六五

    九七

 一○八六五

  ○八六一

  ○八六五

 二

 二一七二八

  ○三八八

 二一七二八

  ○八六○

  一七二八

 三

 三二五八七

  ○八七五

 三二五八八

  ○八五七

  二五八八

 四

 四三四四三

  一五五三

 四三四四五

  ○八四九

  三四四五

 五

 五四二九○

  二四二五

 五四二九四

  ○八四三

  四二九四

 六

 六五一二七

  三四九四

 六五一三七

  ○八三三

  五一三七

 七

 七五九五二

  四七五七

 七五九七○

  ○八二三

  五九七○

 八

 八六七六二

  六二一四

 八六七九三

  ○八一二

  六七九三

 九

 九七五五五

  七八一四

 九七六○五

  ○八○一

  七六○五

一○

一○八三二九

  九七一六

一○八四○六

  ○七八六

  八四○六

 一

一一九○六九

 一一七六○

一一九一一二

  ○七七二

  九一九二

 二

一二九八○三

  四○○○

一二九九六四

  ○七五五

  九九六四

 三

一四○四九八

  六四三五

一四○七一九

  ○七四○

 一○七一九

 四

一五一一六一

  九○六七

一五一四五九

  ○七二○

  一四五九

 五

一六一七九六

 二一八九三

一六二一七九

  ○七○四

  二一七九

 六

一七二三七四

  四九一五

一七二八八三

  ○六八四

  二八八三

 七

一八二九一七

  八一三二

一八三五六七

  ○六六三

  三五六七

 八

一九三四一三

 三一五四四

一九四二三○

  ○六四二

  四二三○

 九

二○三八五八

  五一五○

二○四八七二

  ○六二二

  四八七二

二○

二一四二四八

  八九四八

二一五四九四

  ○五九九

  五四九一

 一

二二四五七八

 四二九四八

二二六○九三

  ○五七五

  六○九三

 二

二三四八四五

  七一二四

二三六六六八

  ○五五四

  六六六八

 三

二四五○四四

 五一四九八

二四七二二二

  ○五三○

  七二二二

 四

二五五一七一

  六○六一

二五七七五二

  ○五○六

  七七五二

 五

二六五二二一

 六○八一四

二六八二五八

  ○四八二

  八二五八

 六

二七五一八九

  五七五一

二七八七四○

  ○四五六

  八七四○

 七

二八五○七一

 七○八七四

二八九一九六

 一○四三二

 一九一九六

 八

二九四八六二

  六一七八

二九九六二八

  ○四○八

  九六二八

 九

三○四五五九

 八一六六四

三一○○三六

  ○三八二

 二○○三六

三○

三一四一五五

  七三二六

三二○四一八

  ○三五五

  ○四一八

 一

三二三六四五

九三二六三

三三七七七三

  ○三三二

  ○七七三

 二

三三三○二七

  九一七三

三四一一○五

  ○三○六

  一一○五

 三

三四二二九五

一○五三五一

三五一四一一

  ○二八○

  一四一一

 四

三五一四四四

一一一六九五

三六一六九六

  ○二五四

  一六九一

 五

三六○四七○

  八二○二

三七一九四五

  ○二二九

  一九四五

 六

  九三六八

一二四八六六

三八二一七四

  ○二○三

  二一七四

 七

三七八一三四

一三一六八六

三九二三七七

  ○一七七

  二三七七

 八

三八六七六四

  八六五四

四○二五五四

  ○一五二

  二五五四

 九

三九五二五四

一四五七七○

四一二七○六

  ○一二六

  二七○六

四○

四○三五九九

一五三○二七

四二二八三二

  ○一○二

  二八三二

 一

四一一七九七

一六○四二○

四三二九三○

  ○○七五

  二九三○

 二

  九八四二

  七九四六

四四三○○九

  ○○四九

  三○○九

 三

四二七七三三

一七五五九八

四五三○五八

  ○○二七

  三○五八

 四

四三五四六七

一八三三七三

四六三○八五

○一○○○○

  三○八五

 五

四四三○五八

一九一二六五

四七三○八五

  九九七四

  三○八五

 六

四五○四四五

  九二六五

四八三○五九

  九九五一

  三○五九

 七

  七六八七

二○七三七九

四九三○一○

  九九二五

  三○一○

 八

四六四七六○

二一五五九○

五○二九三五

  九九○一

  二九三五

 九

四七一六六二

二二三八九七

五一二八三六

  九八九六

  二八三六

五○

  八三九一

二三二二九五

五二二七一二

  九八五一

  二七一二

 一

四八四九四六

二四○七七八

五三二五六三

  九八二七

  二五六三

 二

四九一三二六

  九三四一

五四二三九○

  九八○三

  二三九○

 三

  七五三○

二五七九八○

五五二一九三

  九七八○

  二一九三

 四

五○三五五六

二六六六八七

五六一九七三

  九七五五

  一九七三

 五

  九四○五

二七五四六○

五七一七二八

  九七三一

  一七二八

 六

五一五○七六

二八四二九一

五八一四五九

  九七○八

  一四五九

 七

五二○五六八

二九三一八○

五九一一六七

  九六八五

  一一六七

 八

  五八八三

三○二一一八

六○○八五二

  九六六一

  ○八五二

 九

五三一○一九

三一一一○二

六一○五一三

  九六三九

  ○五一三

六○

  五九七八

三二○一二八

六二○一五二

  九六一六

  ○一五二

 一

五四○七六一

  九一九一

  九七六八

  九五九四

 一九七六八

 二

  五三六八

三三八二八七

六三九三六二

  九五七二

  九三六二

 三

  九八○○

三四七四一四

六四八九三四

  九五五一

  八九三四

 四

五五四○五七

三五六五六八

六五八四八五

  九五二九

  八四八五

 五

  八一四三

三六五七四二

六六八○一四

  九五○九

  八○一四

 六

五六二○五七

三七四九三九

六七七五二三

  九四八七

 一七五二三

 七

  五八○一

三八四一五一

六八七○一○

  九四七○

  七○一○

 八

  九三七九

三九三三七八

六九六四八○

  九四五○

  六四八○

 九

五七二七九○

四○二六一五

七○五九三○

  九四二七

  五九三○

七○

  六○三一

四一一八六二

七一五三五七

  九四一二

  五三五七

 一

  九一一一

四二一一一六

七二四七六九

  九三九二

  四七六九

 二

五八二○二九

四三○三七四

七三四一六一

  九三八五

  四一六一

 三

  四七八七

  九六三六

七四三五四六

  九三五三

  三五四六

 四

  七三八七

四四八八九九

七五二八九九

  九三四三

  二八九九

 五

  九八三○

四五八一六三

七六二二四二

  九三二九

  二二四二

 六

五九二一一七

四六七四二五

七七一五七一

  九三一五

  一五七一

 七

  四二五一

四七六六八五

七八○八八六

  九三○四

  ○八八六

 八

  六二三四

四八五九四四

七九○一九○

  九二八六

  ○一九○

 九

  八○六五

四九五一九五

  九四七六

  九二七五

 ○九四七六

八○

  九七四七

五○四四四三

八○八七五一

  九二六五

  八七五一

 一

六○一二八一

五一三六八八

八一八○一六

  九二五五

  八○一六

 二

  二六七四

五二二九二七

八二七二七一

  九二四四

  七二七一

 三

  三九一三

五三二一五九

八三六五一五

  九二三八

  六五一五

 四

  五○一二

五四一三八九

八四五七五三

  九二二八

  五七五三

 五

  五九六七

五五○六一三

八五四九八一

  九二二二

  四九八一

 六

  六七八一

  九八三二

八六四二○三

  九二一五

  四二○三

 七

  七四五三

五六九○四六

八七三四一八

  九二一二

  三四一八

 八

  七九八五

五七八二五七

八八二六三○

  九二一○

  二六三○

 九

  八三七一

五八七四六五

八九一八四○

  九二○四

  一八四○

九○

  八六三○

五九六六七一

九○一○四四

  九二○四

  一○四四

 一

  八七四三

六○五六七四

九一○二四八

  二八七七

  ○二四八

 一三一

  八七五○

  八七五○

  三一二五

  ○○○○

  ○○○○

按郭守敬創法五端,內一曰黃道差,此其根率也。舊法以一百一度相減乘。授時立術,以句股、弧矢、方圓、斜直所容,求其差數,合於渾象之理,視古為密。顧至元曆經所載甚略,又誤以黃道矢度為積差,黃道矢差為差率,今正之。

割圓弧矢圖[圖闕]

凡渾圓中剖,則成平圓。任割平圓之一分,成弧矢形,皆有弧背,有弧弦,有矢。剖弧矢形而半之,則有半弧背,有半弧弦,有矢。因弦矢生句股形,以半弧弦為句,矢減半徑之餘為股,半徑為弦。句股內成小句股,則有小句、小股、小弦,而大小可互求,平側可互用,渾圓之理,斯為密近。

側立之圖[圖闕]

平者為赤道,斜者為黃道。因二至黃赤之距,生大句股。因各度黃赤之距,生小句股。

平視之圖[圖闕]

外大圓為赤道。從北極平視,則黃道在赤道內,有赤道各度,即各有其半弧弦,以生大句股。又各有其相當之黃道半弧弦,以生小句股。此二者皆可互求。

按舊史無圖,然表亦圖之屬也。今句股割圓弧矢之法,實為曆家測算之本。非圖不明,因存其要者數端。

黃赤道內外度

推黃道各度,距赤道內外及去極遠近術。 置半徑內減去赤道小弦,餘為赤道二弦差。[又為黃赤道小弧矢,又為內外矢,又為股弦差。] 置半徑內減去黃道矢度,餘為黃赤道小弦。以二至黃赤道內外半弧弦乘之為實,以黃赤道大弦為法,[即半徑。]除之為黃赤道小弧弦。[即黃赤道內外半弧弦,又為黃赤道小句。] 置黃赤道小弧矢自之,[即赤道二弦差。]以全徑除之,為半背弦差。以差加黃赤道小弧弦為黃赤道小弧半背,即黃赤道內外度。 置黃赤道內外度,視在盈初縮末限以加,在縮初盈末限以減,皆加減象限度,即各得太陽去北極度分。

如冬至後四十四度,求太陽去赤道內外及去極度。 術曰:置半徑六十○度八十七分半,內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒,餘二度五十一分八十一秒,為黃赤道小弧矢。[即內外矢。] 置半徑六十○度八七五,內減黃道四十四度,矢一十六度五十六分八十二秒,餘四十四度三十○分六十八秒,為黃赤道小弦。 置黃赤道小弦,以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之,得一千○五十○度五十一分四二三八為實,以黃赤道大弦六十○度八七五為法除之,得一十七度二十五分六十九秒為黃赤道小弧弦。[即內外半弧弦。] 置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為實,以全徑一百二十一度七十五分除之,得五分二十一秒為背弦差,以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒,得一十七度三十○分八十九秒,為二至前後四十四度,太陽去赤道內外度。 置象限九十一度三十一分四十三秒七五,以內外度一十七度三○八九加之,得一百○八度六十二分三十二秒七五,為冬至後四十四度太陽去北極度。

黃道每度去赤道內外及去北極立成

黃道積度

黃赤內外矢,又為赤道二弦差

內外半弧弦,又為黃赤小弧弦

內外度,又為黃赤道小弧半背

冬至前後去極度

夏至前後去極度

十度分

十度十分十秒

十度十分十秒

十度十分十秒

 十度十分十秒

十度十分十秒

 初

○四八四八二

二三七一○○

二三九○三○

一一五二一七三

六七四一一三

 一

  八四六九

  七○七八

  八九九七

   二一四○

  四一四六

 二

  八四二七

  六九七二

  八八九八

   二○四一

  四二四五

 三

  八三五九

  六八一二

  八七三二

   一八七五

  四四一一

 四

  八二六三

  六五八八

  八五四一

   一六四四

  四六四二

 五

  八一四○

  六二九九

  八二○二

   一三四五

  四九四一

 六

  七九九一

  五九四六

  七八三八

   ○九八○

  五三○六

 七

  七八一四

  五五二八

  七四○五

   ○五四八

  五七三八

 八

  七六一○

  五○四五

  六九○七

   ○○五○

  六二三六

 九

  七四九九

  四四九六

  六三四二

一一四九四八五

  六八○一

一○

  七一二○

  三八八三

  五七○六

   八八四九

  七四三七

 一

  六八三五

  三二○三

  五○○四

   八一四七

  八一三九

 二

  六五二四

  二四五七

  四二三五

   七三七八

  八九○八

 三

  六一八七

  一六四四

  三三九六

   六五三九

  九七四七

 四

  五八二二

  ○七六四

  二四八八

   五六三一

六八○六五五

 五

  五四三○

二二九八一八

  一五一三

   四六五六

  一六三○

 六

  五○一五

  八八○二

  ○四六六

   三六○九

  二六七七

 七

  四五七二

  七七二一

二二九三五二

   二四九五

  三七九一

 八

  四二○六

  六五七○

  八一六七

   一三一○

  四九七六

 九

  三六一五

  五三五一

  六九一三

   ○○五六

  六二三○

二○

  三○九八

  四○六三

  五五八八

一一三八七三一

  七五五五

 一

  二五五八

  二七○六

  四一九三

   七三三六

  八九五○

 二

  一九九四

  一二七九

  二七二七

   五八七○

六九○四一六

 三

  一四○八

二一九七八二

  一一九○

   四三三三

  一九五三

 四

  ○七九八

  八二一七

二一九五八四

   二七二七

  三五五九

 五

  ○一六八

  六五八一

  七九○六

   一○四九

  五二三七

 六

 三九五一六

  四八七五

  六一五九

一一二九三○二

  六九八四

 七

  八八四四

  三一○○

  四三三九

   七四八二

  八八○四

 八

  八一五一

  一二五四

  二四四九

   五五九二

七○○六九四

 九

  七四四○

二○九三三九

  ○四八九

   三六三二

  二六五四

三○

  六七一一

  七三五五

二○八四六二

   一六○五

  四六八一

 一

  五九六四

  五三○一

  六三六三

一一一九五○六

  六九八○

 二

  五二○一

  二二七八

  四一九五

   七三三八

  八九四八

 三

  四四二四

  ○九八七

  一九六○

   五一○三

七一一一八三

 四

  三六三二

一九八七二八

一九九六五七

   二八○○

  三四八六

 五

  二八二七

  六四○一

  七二八六

   ○四二九

  五八五七

 六

  二○一○

  四○○八

  四八四九

一一○七九九二

  八二九四

 七

 三一一八一

一九一五四八

一九二三四六

一一○五四八九

七二○七九七

 八

  ○三四三

一八九○二四

一八九七八○

   二九二三

  三三六三

 九

 二九四九七

  六四三五

  七一四九

   ○二九二

  五九九四

四○

  八六四三

  三七八三

  四四五六

一○九七五九九

  八六八七

 一

  七七八三

  一○七○

  一七○四

   四八四七

七三一四三九

 二

  六九一九

一七八二九五

一七八八九○

   三○三三

  四二五三

 三

  六○五一

  五四六一

  六○一八

一○八九一六一

  七一二五

 四

  五一八一

  二五六九

  三○八九

   六二三二

七四○○五四

 五

  四三一○

一六九六二○

  ○一○五

   三二四八

  三○三八

 六

  三四三九

  六六一六

一六七○六七

   ○二一○

  六○七六

 七

  二五七○

  三五五九

  三九七七

一○七七一二○

  九一六六

 八

  一七○五

  ○四四九

  ○八三六

   三九九九

七五二三○七

 九

  ○八四三

一五七二八九

一五七六四五

   ○七八八

  五四九八

五○

 一九九八七

  四○八一

  四四○九

一○六七五五二

  八七三四

 一

  九一三八

  ○八二三

  一一二四

   四二六七

七六二○一九

 二

  八二九七

一四七五二三

一四七七九八

   ○九四一

  五三四五

 三

  七四六五

  四一八四

  四四三四

一○五七五七七

  八七○九

 四

  六六四四

  ○八○○

  一○二七

   四一七○

七七二一一六

 五

  五八三三

一三七三七七

一三七五八二

   ○七二五

  五五六一

 六

  五○三六

  三九一六

  四一○一

一○四七二四四

  九○四二

 七

  四二五一

  ○四二○

  ○五八六

   三七二九

七八二五五七

 八

  三四八三

一二六八九○

一二七○三九

   ○一八二

  六一○四

 九

  二七二八

  三三二八

  三四六一

一○三六六○四

  九六八二

六○

  一九九○

一一九七三六

一一九八五四

   二九九七

七九三二八九

 一

  一二六九

  六一一七

  六二二一

一○二九三六四

  六九二二

 二

  ○五六六

  二四七一

  二五六二

   五七○五

八○○五八一

 三

 ○九八八二

一○八七九九

一○八八七九

   二○二二

  四二六四

 四

  九二一八

  五一○五

  五一七四

一○一八三一七

  七九六九

 五

  八五七二

  一三九○

  一四五○

   四五九三

八一一六九三

 六

  七九四八

○九七六五五

○九七七○六

   ○八四九

  五四三七

 七

  七三四六

  三九○一

  三九四五

一○○七○八八

  九一九八

 八

  六七六六

  ○一三二

  ○一六九

   三三一二

八二二九七四

 九

  六二○六

○八六三四七

○八六三七八

○九九九五二一

  六七六五

七○

  五六六九

  二五四五

  二五七一

   五七一四

八三○五七二

 一

  五一五五

○七八七三三

○七八七五四

   一八九七

  四三八九

 二

  四六六四

  四九○九

  四九二六

○九八八○六九

  八二一七

 三

  四一九七

  一○四七

  一○八八

   四二三一

八四二○五五

 四

  三七五三

○六七二三○

○六七二四一

   ○三八四

  五九○二

 五

  三三三四

  三三七八

  三三八七

○九七六五三○

  九七五六

 六

 ○二九四○

○五九五一八

○五九五二五

○九七二六六八

八五三六一八

 七

  二五六九

  五六五三

  五六五八

○九六八八○一

  七四八五

 八

  二二二四

  一七八一

  一七八五

   四九二八

八六一三五八

 九

  一九○三

○四七九○五

○四七九○八

   一○五一

  五二三五

八○

  一六○六

  四○二五

  四○二七

○九五七一七○

  九一一六

 一

  一三三五

  ○一四一

  ○一四二

   三二八五

八七三○○一

 二

  一○八九

○三六二五四

○三六二五四

○九四九三九七

  六八八九

 三

  ○八六八

  二三六五

  二三六五

   五五○八

八八○七七八

 四

  ○六七一

○二八四七五

○二八四七五

   一六一八

  四六六八

 五

  ○五○○

  四五八三

  四五八三

○九三七七二六

  八五六○

 六

  ○三五五

  ○六九○

  ○六九○

   三八三三

八九二四五三

 七

  ○二三二

○一六七九六

○一六七九六

○九二九九三九

  六三四七

 八

  ○一三七

  二九○二

  二九○二

   六○四五

九○○二四一

 九

  ○○六七

○○九○○七

○○九○○七

   二一五○

  四一三六

九○

  ○○二一

  五一一二

  五一一二

○九一八二五五

  八○三一

 一

  ○○○一

  一二一七

  一二一七

   四三六○

九一一九二六

 一三一

  ○○○○

  ○○○○

  ○○○○

   三一四三

  三一四三

白道交周

推白赤道正交,距黃赤道正交極數。 術曰:置實測白道出入黃道內外六度為半弧弦,又為大圓弧矢,又為股弦差。置半徑六十○度八七五自之,得三千七百○五度七六五六二五,以矢六度而一,得六百一十七度六十三分為股弦和,加矢六度,共六百二十三度六十三分為大圓徑。依法求得容闊五度七十分,又為小句。 又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大句。 以大句為法,除大股五十六度○六分五十秒,得二度三十七分[就整]為度差。以度差乘小句,得小股一十三度四十七分八十二秒,為容半長。 置半徑六十○度八七五為大弦,以乘小句五度七十分為實,以大句二十三度七十一分為法除之,得一十四度六十三分為小弦,又為白赤道正交,距黃赤道正交半弧弦。依法求得半弧背一十四度六十六分,為白赤道正交距黃赤道正交極數。

月道距差圖[圖闕 ]

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