《御制历象考成》·1

御制律厯渊源序

　　粤稽前古尧有羲和之咨舜有后防之命周有商高之访逮及厯代史书莫不志律厯备数度用以敬天授民格神和人行于邦国而周于乡闾典至重也我皇考圣祖仁皇帝生知好学天纵多能万几之暇留心律厯算法积数十年博考繁赜搜抉奥微叅伍错综一以贯之爰

　　指授庄亲王等率同词臣于大内养斋编纂毎日进呈

　　亲加改正汇辑成书总一百卷名爲律厯渊源凡爲三部区其编次一曰厯象考成其编有二上编曰揆天察纪论本体之象以明理也下编曰明时正度密致用之术列立成之表以着法也一曰律吕正义其编有三上编曰正律审音所以定尺考度求律本也下编曰和声定乐所以因律制器审八音也续编曰协均度曲所以穷五声二变相和相应之源也一曰数理精蕴其编有

　　二上编曰立纲明体所以解周髀探河洛阐几何明比例下编曰分条致用以线面体括九章极于借衰割圜求体变化于比例规比例数借根方诸法盖表数备矣洪惟我国家声灵逺届文轨大同自极西欧罗巴诸国专精世业各献其技于阊阖之下典籍图表灿然毕具我

　　皇考兼综而裁定之故凡古法之岁乆失传择焉而不精与西洋之侏诘屈语焉而不详者咸皆条理分明本末昭晰其精当详悉虽专门名家莫能窥万一所谓惟圣者能之岂不信欤夫理与数合符而不离得其数则理不外焉此图书所以开易范之先也以线体例丝管之别以弧角求经纬之度若此类者皆数法之精而律厯之要斯在故三书相爲表里齐七政正五音而必通乎九章之义所由试之而不忒用之而有效也书成纂修诸臣请序而传之恭惟

　　圣学高深岂易钻仰顾朕夙承

　　庭训于此书之大指微义

　　提命殷勤岁月斯乆尊其所闻敬効一词之赞葢是书也岂惟

　　皇考手泽之存实稽古准今集其大成高出前代垂千万世不易之法将欲协时正日同律度量衡求之是书则可以建天地而不悖俟圣人而不惑矣

　　雍正元年十月朔敬书

　　钦定四库全书　　　　子部六

　　御制厯象考成总目　　　　天文算法类一【推歩之属】

　　上编十六卷

　　下编十卷

　　表十六卷

　　【臣】等谨案

　　御制厯象考成四十二卷康熙五十二年

　　圣祖仁皇帝御定律厯渊源之第一部也按推歩之术古法无征所可考者汉太初术以下至明大统术而已自利玛窦入中国测验渐宻而辨争亦遂日起终明之世朝议坚守门户讫未尝用也

　　国朝声教覃敷极西诸国皆累译而至其术愈推愈精又与崇祯新法算法图表不合而作新法算书时欧逻巴人自秘其学立説复深隠不可觧

　　圣祖仁皇帝乃

　　特命诸臣详考法原定着此书分上下二编上编曰揆天察纪下编曰明时正度集中西之大同建天地而不悖精微广大殊非管蠡之见所能测今据其可以仰窥者与新法算书互校如黄道斜交赤道而出其内外其相距之度即二至太阳距赤道之纬度新法算书用西人第谷所测定为二十三度三十一分三十秒今则累测夏至午正太阳髙度得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒较第谷所测度　少二分葢黄赤二道由逺而近其所以古多今少渐次移易之故非巧算所能及故当随时宻测以合天行者也又时差之根其故有二一因太阳之实行而时刻为之进退葢以髙卑为加减之限也一因赤道之升度而时刻为之消长葢以分至为加减之限也新法算书合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分则宫度引数必不能相同合立一表歳乆必不可用今分为二表加减二次而于法为宻矣又新法算书推算日食三差以黄平象限为本然三差并生于太隂而太隂之经纬度为白道经纬度当以白平象限为本太隂在此度即无东西差而南北差最大与髙下差等若在此度以东则差而早宜有减差在此度以西则差而迟宜有加差其加减有时而与黄平象限同有时而与黄平象限异故定交角有反其加减之用也又厯来算术定月食初亏复圆方位东西南北主黄道之经纬而言非谓地平经纬之东西南北也惟月实行之度在初宫六宫望时又为子正则黄道经纬之东西南北与地平经度合否则黄道升降有邪正而加时距午有逺近両经纬回然各别所推之东西南北必不与地平之方位相符今实指其在月体之上下左右为众目所共睹较旧法更为亲切又新法算书言五星古图以地为心新图以日为心然第谷推步均数惟火星以日为心若以地为心立算其得数亦与之同知第谷乃虚立巧算之法而五星本天实皆以地为心葢金水二星以日为心者乃其本轮非本天也土木火三星以日为心者乃次轮上星行距日之迹亦非本天也至若弧三角之法新法算书所载图説殊多厐杂而正又遗黄赤互求之法今以正约之为对边对角及垂矢较三比例则周天经纬皆可互求而操之有要矣此皆订正新法算书之大端其余与新法算书相同者亦推衍精宻无差累黍洵乎

　　大圣人之制作万世无出其范围者矣乾隆四十九

　　年六月恭校上

　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

　　总　校　官【臣】陆　费　墀

　　【五月十七日奉防】

　　【开载纂修编校诸臣】

　　【职名承防纂修和硕庄】

　　【亲王允】

　　【禄和硕　　诚　亲　王　允祉　彚】

　　【编　　日　讲　官　起　居　注詹】

　　【事　　府　少　詹　　事兼　翰】

　　【林

　　院】

　　【侍　讲　学　士　　加　一级】

　　【何　国　宗　翰　　林　院编修梅】

　　【防成分校原任湖南巡抚都察　院右】

　　【副都御史魏廷珍翰林院　编修王　兰　生　原　　进士方苞】

　　【考　测　会　考　　府　郎中成　　　徳　　　　防领　阿】

　　【齐　　　图　　　　臣臣　臣】

　　【臣臣臣】

　　【臣】

　　雍　　　　　　　　正【臣】二年

　　原　任　吏　部　员　外　郎【臣】顾　琮工　部　员　外　郎　加　一　级【臣】照　海食员外郎俸钦天监五　官　正【臣】明安图兵　　部　主　事　加　一　级【臣】平　安福　　建　汀　州　府　知　府【臣】何国栋江　　西　袁　州　府　知　府【臣】李　英翰　林　院　笔　帖　式　加　一　级【臣】丰盛额校算

　　兵部郎中兼管钦天监左监副事加二级【臣】何国柱刑　　　部　　员　　外　　　郎【臣】伦大理钦　天　　监　　左　　监　　副【臣】四　格

　　内　　　　阁　　中　　　　书【臣】黄　茂钦　天　监　博　士　加　一　级【臣】潘汝瑛山　　东　莒　州　　知　　州【臣】陈永年广　东　西　宁　县　知　　县【臣】萨　海京　卫　武　学　教　　授【臣】胡　振

　　举　　人　拣　选　知　　县【臣】髙　泽防　　考　府　笔　帖　　式【臣】傅明安吏　　部　笔　　　帖　　式【臣】戴嵩安　　补　笔　　　帖　　式【臣】黑　都

　　生　　　　　　　　　　　　员【臣】秦　宁

　　生　　　　　　　　　　　　员【臣】五徳寳

　　防　　　　　　　　　　　　军【臣】杨　格校录

　　翰　　林　　院　　侍　　　读【臣】呉孝登翰　　林　　院　　侍　　　讲【臣】留　保刑　部　郎　中　　加　一　级【臣】朱　崧

　　户　　　部　　　　主　　　事【臣】黒　赫

　　礼　　　部　　　　主　　　事【臣】穆继伦

　　刑　　　部　　　　主　　　事【臣】玉　羾工　部　主　事　　加　一　级【臣】色合立户　部　司　库　　加　一　级【臣】穆成格

　　工　　部　　司　　　　库【臣】伍大夀

　　行　人　司　行　人　加　一　级【臣】顾陈垿

　　湖　广　黄　州　府　同　　知【臣】郎　瀚

　　江　南　通　州　知　州　加　一　级【臣】白暎棠河　南　孟　津　县　知　县　加　一　级【臣】陈永贞监　　生　　选　州　同　　知【臣】张嘉论

　　生　　　　　　　　　　　员【臣】焦继谟

　　钦定四库全书

　　御制厯象考成上编卷一

　　厯理总论

　　天象

　　地体

　　厯元

　　黄赤道

　　经纬度

　　岁差

　　天象

　　虞书尧典曰钦若昊天厯象日月星辰楚词天问曰圜则九重孰营度之后世厯家谓天有十二重非天实有如许重数盖言日月星辰运转于天各有所行之道即楚词所谓圜也欲明诸圜之理必详诸圜之动欲考诸圜之动必以至静不动者准之然后得其盈缩盖天道静专者也天行动直者也至静者自有一天与地相为表里故羣动者运于其间而不息若无至静者以验至动则圣人亦无所成其能矣人恒在地面测天而七政之行无不可得者正为以静验动故也十二重天最外者为至静不动次为宗动南北极赤道所由分也次为南北岁差次为东西岁差此二重天其动甚微厯家姑置之而不论焉次为三垣二十八宿经星行焉次为填星所行次为岁星所行次为荧惑所行次则太阳所行黄道是也次为太白所行次为辰星所行最内者则太隂所行白道是也要以去地之逺近而为诸天之内外然所以知去地之逺近者则又从诸曜之掩食及行度之迟疾而得之盖凡为所掩食者必在上而掩之食之者必在下月体能蔽日光而日为之食是日逺月近之征也月能掩食五星而月与五星又能掩食恒星是五星髙于月而卑于恒星也五星又能互相掩食是五星各有逺近也又宗动天以浑灏之气挈诸天左旋其行甚速故近宗动天者左旋速而右移之度迟渐远宗动天则左旋较迟而右移之度转速今右移之度惟恒星最迟土木次之火又次之日金水较速而月最速是又以次而近之证也是故恒星与宗动相较而岁差生焉太阳与恒星相防而岁实生焉黄道与赤道出入而节气生焉太阳与太隂循环而朔朢盈虚生焉黄道与白道交错而薄蚀生焉五星与太阳离合而迟速顺逆生焉地心与诸圜之心不同而盈缩生焉厯代专家多方测量立法布算积久愈详已得其大体其间或有豪芒之差诸説不无同异者盖因仪器仰测穹苍失之纎微年久则着虽有圣人莫能预定惟立穷源竟委之法随时实测取其精密附近之数折中用之每数十年而一修正斯为治厯之【通术而古圣钦若之道庶可复于今日矣】

　　地体

　　欲明天道之流行先达地球之圆体日月星辰每日出入平地一次而天下大地必非同时出入居东方者先见居西方者后见东西相去万八千里则东方人见日为午正者西方人见日为夘正也周天三百六十度每度当地上二百里是故推验大地经纬度分皆与天应测纬度者用午正日晷或测南北二极测经度则必于月蚀取之盖月蚀与日蚀异日之食限分数随地不同月之食限分数天下皆同但入限有昼夜人有见不见耳此处食甚于子者处其东三十度必食甚于丑处其西三十度必食甚于亥是故相去九十度则此见食于子而彼见食于酉相去百八十度则此见食于子而彼当食于午虽食而不可见矣

　　设如午酉子卯为日天甲

　　乙丙丁为地球日在午人

　　居甲者日正在其天顶得

　　午时人居丙者日却在其

　　天顶对冲而得子时东去

　　甲九十度居丁者得酉时

　　而西去甲九十度居乙者

　　又得卯时矣夫居甲丙者

　　以酉乙丁卯为地平而居

　　乙丁者则又以午甲丙子

　　为地平盖大地皆以日到

　　天顶为午正也是故测东

　　西之经度者两地同测月

　　食亏复时刻或相约于同

　　夜测月与某星同经度分

　　为其时刻分秒相隔一时

　　则东西相去六千里如测

　　南北之纬度则于两地测

　　北极出地之度所差一度

　　即相去二百里此皆地球

　　圆体之明验也

　　厯元

　　治厯者必有起算之端是谓厯元其法有二一则逺溯古初冬至七曜齐元之日为元自汉太初以来诸厯所用之积年是也一则截算为元若元授时厯以至元辛巳天正冬至为元今时宪厯以崇祯元年戊辰天正冬至为元是也二者虽同为起算之端然积年实不如截算之简易也夫所谓七曜齐元者乃溯上古冬至之时岁月日时皆防甲子日月如合璧五星如聨珠是以为造厯之元使果有此虽万世遵用可矣而廿一史所载诸家厯元无一同者是其所用积年之久近皆非有所承受但以巧算取之而已当其立法之初亦必有所验于近测遂援之以立术于是溯而上之至于数千万年之逺庶几各曜之躔次可以齐同然既欲其上合厯元又欲其不违近测竒零分秒之数决不能齐势不能不稍为迁就以求其巧合其始也据近测以求积年其既也且将因积年而改近测矣杜预云治厯者当顺天以求合不当为合以验天积年之法是为合以验天也安得为立法之尽善乎若夫截算之法不用积年虚率而一以实测为凭诚为顺天求合之道治厯者所当取法也今定康熙二十三年甲子天正冬至次日壬申子正初刻为厯元【即康熙二十二年十一月初五日子正初刻】七政皆从此起算其应用诸数皆系实测庶数有可征而理有所据矣

　　黄赤道

　　天包地外圜转不息南北两极为运行之枢纽地居天中体圆而静人环地面以居随其所至适见天体之半中华之地面近北故北极常现南极常隠平分两极之中横带天腰者为赤道赤道距天顶之度即北极出地之度也赤道以北为内为隂以南为外为阳斜交赤道而半出其南半出其北者为黄道乃太阳一岁所躔之轨迹也黄赤道相交之两界为春秋分距赤道南二十三度半为冬至距赤道北二十三度半为夏至七政所行之道纷然不齐惟恃黄赤二道以为推测之本盖太阳循黄道东行而出入于赤道之南北太隂与五星各循本道东行而又出入于黄道之南北故赤二道之位定则昼夜永短寒暑进退以及晦朔朢薄蚀朓朒皆从此可稽矣

　　经纬度

　　恒星七政各有经纬度盖天周弧线纵横交加即如布帛之经纬然故以东西为经南北为纬然有在天之经纬有随地之经纬在天则为赤道为黄道随地则为地平赤道均分三百六十度平分之为半周各一百八十度四分之为象限各九十度六分之为纪限各六十度十二分之为宫为时各三十度是为赤经从经度出弧线与赤道十字相交各引长之防于南北极皆成全圜亦分为三百六十度两极相距各一百八十度两极距赤道俱九十度是为赤纬依纬度作圜与赤道平行名距等圏此圏大小不一距赤道近则大距赤道逺则小其度亦三百六十俱与赤道之度相应也赤道之用有动有静动者随天左旋与黄道相交日躔之南北于是乎限静者太虚之位亘古不移昼夜之时刻于是乎纪焉黄道之宫度并如赤道其与赤道相交之两防为春秋分相距皆半周平分两交之中为冬夏至距两交各一象限六分象限为节气各十五度是为黄经从经度出弧线与黄道十字相交各引长之周于天体即成全圜其各圜相凑之处不在赤道之南北两极而别有其枢心是为黄极黄极之距赤极即两道相距之度其距黄道亦皆九十度是为黄纬而月与五星出入黄道之南北者悉于是而辨焉故凡南北圏过赤道极者必与赤道成直角而不能与黄道成直角其过黄道极者亦必与黄道成直角而不能与赤道成直角惟过黄赤两极之圈其过黄赤道也必当冬夏二至之度所以并成直角名为极至交圈又若赤道度为主而以黄道度准之则互形大小何也浑圆之体当腰之度最寛渐近两端则渐狭【距等圏之度也】二至时黄道以腰度当赤道距等圏之度故黄道一度当赤道一度有余二分时两道虽皆腰度然赤道平而黄道斜故黄道一度当赤道一度不足也此所谓同升之差而七政升降之斜正伏见之先后皆由是而推焉至于地平经纬则以各人所居之天顶为极盖人所居之地不同故天顶各异而经纬从而变也地在天中体圆而小随人所立凡目力所极适得大圆之一半则地虽圆而与平体无异故谓之地平乃诸曜出没之界昼夜晦明之交也地平亦分三百六十度四分之为四方【子午卯酉】各相距九十度二十四分之为二十四向各十五度是为地平经从经度出弧线上防于天顶并皆九十度【从地平下至天顶之冲亦九十度】是为地平纬又名髙弧髙弧从地平正午上防天顶者其全圜必过赤道南北两极名为子午圏乃诸曜出入地平适中之界而北极之髙下晷影之长短中星之推移皆由是而测焉是故经纬相求黄赤互变因黄赤而求地平或因地平而求黄赤乃厯象之要务推测之所取准也

　　岁差

　　岁差者太阳每岁与恒星相距之分也如今年冬至太阳躔某宿度至明年冬至时不能复躔原宿度而有不及之分但其差甚微古人初未之觉至晋虞喜始知之因立岁差法厯代治厯者宗焉而所定之数各家不同喜以五十年差一度刘宋何承天以百年差一度祖冲之以四十五年差一度隋刘焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一度惟宋杨忠辅以六十七年差一度以周天三百六十度每度六十分每分六十秒约之得每年差五十二秒半元郭守敬因之较诸家为密今新法实测晷影验之中星得七十年有余而差一度每年差五十一秒此所差之数在古法为冬至西移之度新法为恒星东行之度征之天象恒星原有动移则新法之理长也【详恒星厯理】

　　御制厯象考成上编卷一

　　钦定四库全书

　　御制厯象考成上编卷二

　　弧三角形上

　　弧三角形总论

　　弧三角形纲领

　　弧三角形凡例

　　正弧三角形论

　　正弧三角形图说

　　正弧三角形八线勾股比例图说

　　正弧三角形用次形图说

　　正弧三角形边角相求法

　　正弧三角形设例七则

　　弧三角形总论

　　弧三角形者球面弧线所成也古厯家有黄赤相准之率大约就浑仪度之仅得大概未能形诸算术惟元郭守敬以弧矢命算黄赤相求始有定率视古为密但其法用三乘方取数甚难自西人利玛窦汤若望等翻译厯书始有曲线三角形之法三弧度相交成三角形其三弧三角各有相应之八线弧与弧相交即线与线相遇而勾股比例生焉于是乎有黄道可以知赤道有赤道可以知黄道有经可以知纬有纬可以知经厯象之法至此而备勾股之用至此而极矣

　　弧三角形纲领

　　凡弧三角形皆在球面球面之腰围一线谓之大圈如甲乙丙丁为子午规戊己为赤道庚辛为黄道壬乙癸丁为地平规如此之类皆为大圈其周度皆相等故可以相为比例凡圈皆有极极距圈皆九十度如赤道则有南北极黄道则有黄极若圈不相等则为距等圈如子丑二圈其四围之距大圈皆相等而与大圈平行虽亦为三百六十度其分则小于大圈距大圈愈逺距极愈近则其圈愈小至极一防而止不能与大圈为比例故弧三角形之角度边度皆大圈之度也

　　凡两弧相交所成角相距皆半周一百八十度名其角度则必取其两弧各足象限九十度其对角之弧即为本角之度如甲乙丙丁为黄道甲戊丙己为赤道甲丙二处相交相距各半周一百八十度即如春秋分试于甲丙弧之各平分九十度处作丁己乙戊垂弧【凡言垂弧皆曲线画图于平面不能显出故作虚线以别之】则丁己弧为甲丁己三角形之甲角度亦为丙丁己三角形之丙角度其乙戊弧为甲乙戊三角形之甲角度亦为丙乙戊三角形之丙角度即如冬夏至之大距为春秋分之角度葢甲丙为极则丁己乙戊为腰圈所谓大圈者是也

　　凡弧三角形之三弧不足九十度者必引长至九十度其对角之弧方为本角之度如甲乙丙弧三角形三弧皆不足九十度则将甲乙弧引长至丁甲丙弧引长至戊作丁戊弧其丁戊弧之度即甲角之度也又将乙甲弧引长至己乙丙弧引长至庚作己庚弧其己庚弧之度即乙角之度也又将丙甲弧引长至辛丙乙弧引长至壬作辛壬弧其辛壬弧之度即丙角之度也

　　凡弧三角形其角适足九十度者为直角为正弧三角形甲图是也大于九十度者为钝角不及九十度者为鋭角俱为斜弧三角形乙图丙图是也因三边皆弧故与直线三角形不同直线三角形有一直角或一钝角余二角必锐弧三角形则有一直角二锐角者如丁形有一直角二钝角者如戊形有一直角一钝角一锐角者如己形有二直角一锐角者如庚形有二直角一钝角者如辛形有三角俱直者如壬形有一钝角二锐角者如癸形有三角俱钝者如子形有一锐角二钝角者如丑形而弧三角之形势大概尽于此数端矣

　　弧三角形凡例

　　一直线三角形之三角相加成一百八十度弧三角形之三角相加最小者亦必大于一百八十度但不得满五百四十度【因其有三钝角每一钝角不得满一百八十度故三钝角不得满五百四十度】

　　一直线三角形知两角即知其所余一角弧三角形虽知两角其余一角非算不知

　　一直线三角形之边小则咫尺大则千百万里实有尺度之可量弧三角形之边俱系弧度必在半周一百八十度之内但合三边不得满三百六十度【葢三百六十度则成全圜而不得成角矣】

　　一直线三角形之八线惟用于角弧三角形之八线并用于边角之八线与边之八线相求仍以勾股为比例也

　　一直线三角形两形之三边各相等者为相等形两形之三角各相等者为同式形弧三角形则但有相等形而无同式形葢以两形之三角同其三边必各相同也

　　一直线三角形可以三边求角不可以三角求边而弧三角形既可以三边求角又可以三角求边

　　一弧三角形三角三弧共六件知三件可求其余理与直线三角形同

　　一正弧三角形除直角外二角三弧共五件知二件可求其余理与直线三角形同

　　一斜弧三角形作垂弧分为两正弧三角形与直线三角形作中垂线之理同

　　一弧三角形所知之三件有弧角相对者即用弧角为比例理与直线三角形同

　　一正弧三角形弧角不相对者则用次形法

　　一斜弧三角形知三边求角者用总较法知三角求边者先用次形法将角易为边边易为角然后用总较法

　　一斜弧三角形知两边一角而角在两边之间者用总较法或用垂弧法知两角一边而边在两角之间者先用次形法将角易为边边易为角然后用总较法或用垂弧法

　　正弧三角形论

　　正弧三角形必有一直角者葢因南北二极为赤道之枢纽皆距赤道九十度故凡过南北二极经圈与赤道相交所成之角俱为直角其相当之弧皆九十度又凡有一圈即有两极其过两极经圈与本圈相交亦必为直角其所成三角形必皆为正弧三角形夫正弧三角形所知之三件弧角相对者用弧角之八线所成勾股为比例而弧角不相对者则用次形盖以弧角之八线所成勾股比例不生于本形而生于次形而次形者乃以本形与象限相减之余度所成故用本形之余余切即用次形之正正切也其法可易弧为角易角为弧【若斜弧三角形可易大形为小形易大边为小边易钝角成锐角】边与角虽不相对可易为相对且知三角即可以求边其理实一以贯之也今以黄道赤道与过极经圈所成之三角形设例而正弧三角形比例推算之法无不统于是矣

　　正弧三角形图说【设黄赤大距二十三度三十分】

　　如甲乙丙丁为赤道甲戊

　　丙己为黄道相交于甲丙

　　甲为春分丙为秋分戊为

　　夏至己为冬至庚为北极

　　辛为南极庚戊乙辛己丁

　　为二极二至交圈戊至乙

　　己至丁俱二十三度三十

　　分为黄赤大距今作庚壬

　　癸辛为过南北二极经圈

　　与黄道交于壬与赤道交

　　于癸成甲癸壬正弧三角

　　形甲为黄道赤道交角当

　　戊乙弧二十三度三十分

　　癸为直角葢庚辛二极即

　　赤道之极皆距赤道九十

　　度故凡过南北极经圈与

　　赤道所成之角皆为直角

　　其相当之弧皆九十度又

　　如子丑为黄道两极若从

　　子丑二处作子寅卯丑过

　　黄极经圈与黄道交于卯

　　与赤道交于寅成甲寅卯

　　正弧三角形则卯亦为直

　　角葢子丑为黄道两极皆

　　距黄道九十度故凡过黄

　　极经圈与黄道所成之角

　　皆为直角其相当之弧皆

　　九十度由此推之凡有一

　　圈必有两极其过两极圈

　　与本圈相交必为直角其

　　所成三角形必皆为正弧

　　三角形可知矣

　　正弧三角形八线勾股比例图说【设黄道四十五度】

　　甲为黄道赤道交角甲乙

　　为黄道四十五度甲丙为

　　赤道同升度乙丙为黄赤

　　距度成甲乙丙正弧三角

　　形甲丁甲戊皆象限丁戊为

　　黄赤大距二十三度三十分

　　即甲角度己为北极庚为南

　　极己丁庚壬为二极二至交

　　圈甲为春分丁为夏至辛为

　　秋分壬为冬至癸为地心己

　　乙丙庚为过南北二极经圈

　　其甲乙丙三角形之八线各

　　成相当比例之勾股形丁子

　　为甲角之正弦子癸为甲角

　　之余丑戊为甲角之正切

　　丑癸为甲角之正割戊癸丁

　　癸皆为半径成丑戊癸及丁

　　子癸同式两勾股形乙寅为

　　乙丙距纬弧之正乙卯为

　　甲乙黄道弧之正将两正

　　之寅卯

　　二处作虚线聨之成乙寅

　　卯勾股形【两正之末立于各半径寅卯

　　二处而寅卯二处皆未抵于弧界故不得为正今

　　以虚线聨之者为眀勾股之理也】辰丙为

　　乙丙距纬弧之正切丙己

　　为甲丙赤道弧之正将

　　正切正之辰巳二处作

　　虚线聨之成辰丙巳勾股

　　形午甲为甲乙黄道弧之

　　正切未甲为甲丙赤道弧

　　之正切将两正切之午未

　　二处作虚线聨之成午未

　　甲勾股形此三勾股形与

　　前二勾股形皆为同式形

　　夫甲癸辛原系一线如将

　　甲癸辛平视之则甲癸辛

　　合成一防而辛癸卯己甲

　　五角皆合为一角甲戊象

　　限亦成一直线而戊癸半径

　　寅卯聨线丙己正未甲正

　　切亦皆合为一线矣赤道既

　　平置则黄道斜倚従辛视之

　　甲丁象限亦成一直线而丁

　　癸半径乙卯正辰巳聨线

　　午甲正切亦皆合为一线矣

　　夫五勾股形既同角而各股

　　皆合为赤道之一线各皆

　　合为黄道之一线则各勾必

　　皆与赤道径线相交成直角

　　而自将平行故皆为相当比

　　例之勾股形而可以互相比

　　例也正弧三角形用次形图

　　说如甲乙丙

　　形可易为乙己丁次形葢

　　甲戊甲丁己丙

　　己戊四弧皆象限九十度

　　于甲丁象限弧内减去甲

　　乙弧余乙丁弧即次形之

　　乙丁边于己丙象限弧内

　　减去乙丙弧余己乙弧即

　　次形之己乙边于己戊象

　　限弧内减去丁戊弧【即甲角度】余己丁弧即次形之己丁

　　边于甲戊象限弧内减去

　　甲丙弧余丙戊弧即次形

　　之己角度是次形之三边

　　一角即本形三边一角之

　　余度而用形之余余

　　切实即用次形之正正

　　切也次形之丁角为直

　　角与本形之丙角等乙为

　　交角其度又等故算乙己

　　丁形即得甲乙丙形也

　　又甲乙丙形可易为己庚辛

　　次形葢庚丁为象限弧与己

　　戊等则庚己与丁戊等故本

　　形【丁戊即甲角度】之甲角即次形

　　之庚己边乙辛壬庚乙壬皆

　　为象限弧与甲丁等则壬丁

　　即与甲乙等故本形之甲乙

　　边即次形之庚角乙壬与乙

　　辛既皆【庚壬与庚丁俱象限故壬丁弧为庚

　　角度】为象限则辛壬弧即乙角

　　之度故象限内减去乙角之

　　辛壬弧余即次形之庚辛边

　　丙戊弧即己角之度故于甲

　　戊象限弧内减去甲丙弧余

　　丙戊弧即次形之己角又次

　　形之辛角为直角与本形之

　　丙角等次形之丁戊即甲角

　　度庚壬与庚丁俱象限故壬

　　辛己边与本形之乙丙边等

　　故【辛乙与己丙等故辛己与乙丙等】算己

　　庚辛形亦得甲乙丙形也辛

　　乙

　　正弧三角形边角相求法

　　正弧三角形边角相求错综变换共三十则用黄赤交角所生八线勾股比例者九用黄道交极圏角所生八线勾股比例者亦九用次形者十二依题比类列目于前按法循序设问于后以便观览

　　有直角有黄赤交角有黄道求距纬【第一】

　　有直角有黄赤交角有黄道求赤道【并见第一】有直角有黄赤交角有黄道求黄道交极圏角【并见第一】

　　有直角有黄赤交角有赤道求距纬【第二】

　　有直角有黄赤交角有赤道求黄道【并见第二】有直角有黄赤交角有赤道求黄道交极圏角【并见第二】

　　有直角有黄赤交角有距纬求黄道【第三】

　　有直角有黄赤交角有距纬求赤道【并见第三】有直角有黄赤交角有距纬求黄道交极圏角【并见第三】

　　有直角有黄道有赤道求黄赤交角【第四】

　　有直角有黄道有赤道求距纬【道并见第】

　　有直角有黄道有赤道求黄道交极圏角【四并见第】有直角有黄道有距纬求黄赤交角【四第】

　　有直角有黄道有距纬求赤道【五并见第】

　　有直角有黄道有距纬求黄道交极圏角【五并见第】有直角有赤道有距纬求黄赤交角【五第】

　　有直角有赤道有距纬求黄道【六并见第】

　　有直角有赤道有距纬求黄道交极圏角【六并见第】有直角有黄道交极圏角有黄道求赤道【六与第一之理】

　　有直角有黄道交极圏角有黄道求距纬【同与第一之理】

　　有直角有黄道交极圏角有黄道求黄赤交角【同与第一之理】

　　有直角有黄道交极圏角有距纬求赤道【同与第二之理】

　　【同】有直角有黄道交极圏角有距纬求黄【与第二之理同】

　　有直角有黄道交极圏角有距纬求黄赤交角【与第二之理同】

　　有直角有黄道交极圏角有赤道求黄道【与第三之理同】

　　有直角有黄道交极圏角有赤道求距纬【与第三之理同】

　　有直角有黄道交极圏角有赤道求黄赤交角【与第三之理同】

　　有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求黄道【第七】

　　有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求赤道【并见第七】

　　有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求距纬【并见第七】

　　设如黄赤交角二十三度三十分黄道弧四十五度求距纬度及赤道度并黄道交极圏角各防何【第一】

　　甲乙丙正弧三角形甲为

　　黄赤交角丙为直角甲乙

　　为黄道弧求乙丙距纬弧则

　　以丙直角为对所知之角其

　　正即半径一千万为一率

　　甲角二十三度三十分为对

　　所求之角其正三百九十

　　八万七千四百九十一为二

　　率甲乙弧四十五度为所知

　　之边其正七百零七万一

　　千零六十八为三率求得四

　　率二百八十一万九千五百

　　八十二为乙丙弧之正检

　　表得一十六度二十二分三

　　十八秒即乙丙距纬弧之度

　　也如图丁癸为半径丁子为

　　甲角之正乙卯为甲乙弧

　　之正乙寅为乙丙弧之正

　　丁子癸

　　勾股形与乙寅卯勾股形为

　　同式形故以丁癸与丁子之

　　比同于乙卯与乙寅之比也

　　求甲丙

　　赤道度则以半径一千万为

　　一率甲角二十三度三十分

　　之余九百一十七万零六

　　百零一为二率甲乙弧四十

　　五度之正切一千万为三率

　　仍得四率九百一十七万零

　　六百零一为甲丙弧之正切

　　检表得四十二度三十一分

　　二十二秒即甲丙赤道弧之

　　度也如图丁癸为半径子癸

　　为甲角之余午甲为甲乙

　　弧之正切未甲为甲丙弧之

　　正切丁子癸

　　勾股形与午未甲勾股形为

　　同式形故以丁癸与子癸之

　　比同于午甲与未甲之比也

　　求黄道

　　交极圈之乙角则用次形法

　　以甲乙弧四十五度之余

　　七百零七万一千零六十八

　　为一率甲角二十三度三十

　　分之余切二千二百九十九

　　万八千四百二十五为二率

　　半径一千万为三率求得四

　　率三千二百五十二万四千

　　六百八十三为乙角之正切

　　检表得七十二度五十四分

　　三十四秒即黄道交极圈之

　　乙角度也如图甲乙丙正弧

　　三角形之次

　　形为乙己丁葢甲乙弧之余

　　即乙己丁次形之丁乙弧

　　之正为丁子而甲角之余

　　切即乙己丁次形之己丁弧

　　之正切为丑丁又乙角之正

　　切亦即乙己丁次形之乙角

　　之正切为寅壬而丑丁子勾

　　股形与寅壬癸勾股形为同

　　式形故以丁子与丑丁之比

　　同于壬癸与寅壬之比也此

　　法用乙己丁次形有丁乙边

　　己丁边及丁直角求乙角即

　　与【甲乙余弧】有赤道【甲角余弧】有距

　　纬求黄赤交角之理同葢乙

　　角即如黄赤交角丁乙即如

　　赤道己乙即如黄道己丁即

　　如距纬其八甲乙余弧甲角

　　余弧

　　线所成之勾股皆由乙角

　　而生故其相当之比例皆

　　同也

　　设如黄赤交角二十三度三十分赤道弧四十二度三十一分二十二秒求距纬度及黄道度并黄道交极圈角各防何【第二】

　　甲乙丙正弧三角形甲为

　　黄赤交角丙为直角甲丙

　　为赤道弧求乙丙距纬弧

　　则以半径一千万为一率

　　甲角二十三度三十分之

　　正切四百三十四万八千

　　一百二十四为二率甲丙

　　弧四十二度三十一分二

　　十二秒之正六百七十

　　五万八千八百二十一为

　　三率求得四率二百九十

　　三万八千八百一十九为

　　乙丙弧之正切检表得一十

　　六度二十二分三十八秒即

　　乙丙距纬弧之度也如图戊

　　癸为半径丑戊为甲角之正

　　切丙己为甲丙弧之正辰

　　丙为乙丙弧之正切丑戊癸

　　勾股形与辰丙己勾股形为

　　同式形故以戊癸与丑戊之

　　比同于丙已与辰丙之比也

　　求甲乙黄道度则以甲

　　角二十三度三十分之余

　　九百一十七万零六百零一

　　为一率半径一千万为二率

　　甲丙弧四十二度三十一分

　　二十二秒之正切九百一十

　　七万零六百零一为三率仍

　　得四率一千

　　万为甲乙弧之正切检表得

　　四十五度即甲乙黄道弧之

　　度也如图子癸为甲角之余

　　丁癸为半径未甲为甲丙

　　弧之正切午甲为甲乙弧之

　　正切丁子癸勾股形与午未

　　甲勾股形为同式形故以子

　　癸与丁癸之比同于未甲与

　　午甲之比也求黄道交极圈

　　之乙角

　　则用次形法以半径一千万

　　为一率甲丙弧四十二度三

　　十一分二十二秘之余七

　　百三十七万零九十八为二

　　率甲角二十三度三十分之

　　正三百九十八万七千四

　　百九十一为

　　三率求得四率二百九十三

　　万八千八百二十为乙角之

　　余检表得七十二度五十

　　四分三十四秒即黄道交极

　　圈之乙角度也如图甲乙丙

　　正弧三角形之次形为己庚

　　辛葢甲丙弧之余即己庚

　　辛次形之己角之正为卯

　　辰而甲角之正亦即己庚

　　辛次形之己庚弧之正为

　　庚己又乙角之余即己庚

　　辛次形之庚辛弧之正为

　　庚午而庚午巳勾股形与卯

　　辰癸勾股形为同式形故卯

　　癸与卯辰之比同于庚己与

　　庚午之比也此法用己庚辛

　　次形有己

　　角【甲丙余弧】己庚边【与甲角等】及辛

　　直角求庚辛边【乙角余弧】即与

　　有黄赤交角有黄道求距

　　纬之理同葢己角即如黄

　　赤交角己庚即如黄道己

　　辛即如赤道庚辛即如距

　　纬其八线所成之勾股皆

　　由己角而生故其相当之

　　比例皆同也

　　设如黄赤交角二十三度三十分距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄道度及赤道度并黄道交极圈角各防何【第三】

　　甲乙丙正弧三角形甲为

　　黄赤交角丙为直角乙丙

　　为距纬弧求甲乙黄道弧

　　则以甲角二十三度三十

　　分为对所知之角其正

　　三百九十八万七千四百

　　九十一为一率丙直角为对

　　所求之角其正即半径一

　　千万为二率乙丙弧一十六

　　度二十二分三十八秘为所

　　知之边其正二百八十一

　　万九千五百八十二为三率

　　求得四率七百零七万一千

　　零六十八为甲乙弧之正

　　检表得四十五度即甲乙黄

　　道弧之度也如图丁子为甲

　　角之正丁癸为半径乙寅

　　为乙丙弧之正乙卯为甲

　　乙弧之正丁子癸勾股形

　　与乙寅卯勾股形为同式形

　　故丁子与丁癸之比同于乙

　　寅与乙卯之比也

　　求甲丙赤道度则以甲角二

　　十三度三十分之正切四百

　　三十四万八千一百二十四

　　为一率半径一千万为二率

　　乙丙弧一十六度二十二分

　　三十八秒之正切二百九十

　　三万八千八百一十九为三

　　率求得四率六百七十五万

　　八千八百二十一为甲丙弧

　　之正检表得四十二度三

　　十一分二十二秒即甲丙赤

　　道弧之度也如图丑戊为甲

　　角之正切戊癸为半径辰丙

　　为乙丙弧之正切丙己为甲

　　丙弧之正丑戊癸勾股形

　　与辰丙己勾股形为同式形

　　故丑戊与

　　戊癸之丙同于辰丙与丙己

　　之比也求

　　黄道交极圈之乙角则用次

　　形法以乙丙弧一十六度二

　　十二分三十八秒之余九

　　百五十九万四千二百六十

　　七为一率甲角二十三度三

　　十分之余九百一十七万

　　零六百零一为二率半径一

　　千万为三率求得四率九百

　　五十五万八千四百一十七

　　为乙角之正检表得七十

　　二度五十四分三十四秘即

　　黄道交极圈之乙角度也如

　　图甲乙丙正弧三角形之次

　　形为乙己丁葢乙丙弧之余

　　即乙己丁

　　次形之己乙弧之正为

　　己未而甲角之余即乙

　　己丁次形之己丁弧之正

　　为巳申又乙角之正

　　亦即乙己丁次形之乙角

　　之正为辛酉而巳申未

　　勾股形与辛酉癸勾股形

　　为同式形故巳未与巳申

　　之比同于辛癸与辛酉之

　　比也

　　设如黄道弧四十五度赤道弧四十二度三十一分二十二秒求黄赤交角及距纬度并黄道交极圈角各几何【第四】

　　甲乙丙正弧三角形丙为

　　直角甲乙为黄道弧甲丙

　　为赤道弧求黄赤相交之

　　甲角则以甲乙弧四十五

　　度之正切一千万为一率

　　甲丙弧四十二度三十一分

　　二十二秒之正切九百一十

　　七万零六百零一为二率半

　　径一千万为三率仍得四率

　　九百一十七万零六百零一

　　为甲角之余检表得二十

　　三度三十分即黄赤相交之

　　甲角度也如图午甲为甲乙

　　弧之正切未甲为甲丙弧之

　　正切丁癸为半径子癸为甲

　　角之余午未甲勾股形与

　　丁子癸勾股形为同式形故

　　午甲与未甲之比同于丁癸

　　与子癸之比也求乙丙距纬

　　度则用次形法以甲丙

　　弧四十二度三十一分二十

　　二秒之余

　　七百三十七万零九十八为

　　一率半径一千万为二率甲

　　乙弧四十五度之余七百

　　零七万一千零六十八为三

　　率求得四率九百五十九万

　　四千二百六十六为乙丙弧

　　之余检表得一十六度二

　　十二分三十八秒即乙丙距

　　纬弧之度也如图甲乙丙正

　　弧三角形之次形为乙己丁

　　葢甲丙弧之余即乙己丁

　　次形之己角之正为丙辰

　　而甲乙弧之余即乙己丁

　　次形之乙丁弧之正为乙

　　子又乙丙弧之余即乙己

　　丁次形之乙己弧之正为

　　乙未而丙

　　辰癸勾股形与乙子未勾股

　　形为同式形故丙辰与丙癸

　　之比同于乙子与乙未之比

　　也此法用乙己丁次形有己

　　角乙丁边及【甲丙余弧】丁直角

　　【甲乙余弧】求乙己边即与有黄

　　【乙丙余弧】赤交角有距纬求黄

　　道之理同葢己角即如黄赤

　　交角己乙即如黄道己丁即

　　如赤道乙丁即如距纬其八

　　线所成之勾股皆由己角而

　　生故其相当之比例皆同也

　　求黄道交极圈之乙角

　　则以甲乙弧四十五度为对

　　所知之边其正七百零七

　　万一千零六十八为一率甲

　　丙弧四十二度三十甲丙余

　　弧甲乙余弧乙丙余弧

　　一分二十二秒为对所求之

　　边其正六百七十五万八

　　千八百二十一为二率丙直

　　角九十度为所知之角其正

　　即半径一千万为三率求

　　得四率九百五十五万八千

　　四百一十六为乙角之正

　　检表得七十二度五十四分

　　三十四秒即黄道交极圈之

　　乙角度也如图甲申为甲乙

　　弧之正甲酉为甲丙弧之

　　正戌癸为半径戌亥为乙

　　角之正甲酉申勾股形与

　　戌亥癸勾股形为同式形故

　　甲申与甲酉之比同于戌癸

　　与戌亥之比也此与有黄道

　　有距纬求

　　黄赤交角之理同葢乙角

　　即如黄赤交角甲乙为黄

　　道乙丙即如赤道甲丙即

　　如距纬其八线所成之勾

　　股皆由乙角而生故其相

　　当之比例皆同也

　　设如黄道弧四十五度距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及赤道度并黄道交极圈角各防何【第五】

　　甲乙丙正弧三角形丙为

　　直角甲乙为黄道弧乙丙

　　为距纬弧求黄赤相交之

　　甲角则以甲乙弧四十五

　　度为对所知之边其正

　　七百零七万一千零六十

　　八为一率乙丙弧一十六

　　度二十二分三十八秒为

　　对所求之边其正二百

　　八十一万九千五百八十二

　　为二率丙直角九十度为所

　　知之角其正即半径一千

　　万为三率求得四率三百九

　　十八万七千四百九十一为

　　甲角之正检表得二十三

　　度三十分即黄赤相交之甲

　　角度也如图乙卯为甲乙弧

　　之正乙寅为乙丙弧之正

　　丁癸为半径丁子为甲角

　　之正乙寅卯勾股形与丁

　　子癸勾股形为同式形故乙

　　卯与乙寅之比同于丁癸与

　　丁子之比也求甲丙赤道度

　　则用次形法以乙丙

　　弧一十六度二十二分三十

　　八秒之余

　　九百五十九万四千二百六

　　十七为一率甲乙弧四十五

　　度之余七百零七万一千

　　零六十八为二率半径一千

　　万为三率求得四率七百三

　　十七万零一百一十三为甲

　　丙弧之余检表得四十二

　　度三十一分二十二秒即甲

　　丙赤道弧之度也如图甲乙

　　丙正弧三角形之次形为乙

　　己丁葢乙丙弧之余即乙

　　己丁次形之乙己弧之正

　　为乙未而甲乙弧之余即

　　乙己丁次形之乙丁弧之正

　　为乙子又甲丙弧之余

　　即乙己丁次形之己角之正

　　为丙辰

　　而乙子未勾股形与丙辰

　　癸勾股形为同式形故乙

　　未与乙子之比同于丙癸

　　与丙辰之比也

　　求黄道交极圈之乙角则

　　与前第四问有黄道有赤

　　道求黄赤交角之理同葢

　　乙角即如黄赤交角甲乙

　　为黄道乙丙即如赤道其

　　勾股比例同也

　　设如赤道弧四十二度三十一分二十二秒距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及黄道度并黄道交极圈角各防何【第六】

　　甲乙丙正弧三角形丙为

　　直角甲丙为赤道弧乙丙

　　为距纬弧求黄赤相交之

　　甲角则以甲丙弧四十二

　　度三十一分二十二秒之

　　正六百七十五万八千八

　　百二十一为一率乙丙弧一

　　十六度二十二分三十八秒

　　之正切二百九十三万八千

　　八百一十九为二率半径一

　　千万为三率求得四率四百

　　三十四万八千一百零九为

　　甲角之正切检表得二十三

　　度三十分即黄赤相交之甲

　　角度也如图丙己为甲丙弧

　　之正辰丙为乙丙弧之正

　　切戊癸为半径丑戊为甲角

　　之正切辰丙己勾股形与丑

　　戊癸勾股形为同式形故丙

　　己与辰丙之比同于戊癸与

　　丑戊之比也求甲乙黄道度

　　则用次形

　　法以半径一千万为一率甲

　　丙弧四十二度三十一分二

　　十二秒之余七百三十七

　　万零九十八为二率乙丙弧

　　一十六度二十二分三十八

　　秒之余九百五十九万四

　　千二百六十七为三率求得

　　四率七百零七万一千零六

　　十八为甲乙弧之余检表

　　得四十五度即甲乙黄道弧

　　之度也如图甲乙丙正弧三

　　角形之次形为乙己丁葢甲

　　丙弧之余即乙己丁次形

　　之己角之正为丙辰而乙

　　丙弧之余即乙己丁次形

　　之乙己弧之正为乙未又

　　甲乙弧之

　　余即乙己丁次形之乙

　　丁弧之正为乙子而丙

　　辰癸勾股形与乙子未勾

　　股形为同式形故丙癸与

　　丙辰之比同于乙未与乙

　　子之比也

　　求黄道交极圈之乙角则

　　与求黄赤交角之理同葢

　　乙角即如黄赤交角乙丙

　　即如赤道甲丙即如距纬

　　其勾股比例同也

　　设如黄赤交角二十三度三十分黄道交极圈角七十二度五十四分三十四秒求黄道度及赤道度并距纬度各防何【第七】

　　甲乙丙正弧三角形甲为

　　黄赤交角丙为直角乙为

　　黄道交极圈角求甲乙黄

　　道弧则用次形法以乙角

　　七十二度五十四分三十四

　　秒之正切三千二百五十二

　　万四千六百八十三为一率

　　半径一千万为二率甲角二

　　十三度三十分之余切二千

　　二百九十九万八千四百二

　　十五为三率求得四率七百

　　零七万一千零六十八为甲

　　乙弧之余检表得四十五

　　度即甲乙黄道弧之度也如

　　图甲乙丙正弧三角形之次

　　形为乙己丁葢乙角之正切

　　亦即乙己丁次形之乙角之

　　正切为寅壬而甲角之余切

　　即乙己丁次形之丁己弧之

　　正切为丑丁又甲乙弧之余

　　即乙己

　　丁次形之丁乙弧之正为

　　丁子而寅壬癸勾股形与丑

　　丁子勾股形为同式形故寅

　　壬与壬癸之比同于丑丁与

　　丁子之比也求甲丙赤

　　道弧亦用次形法以甲角二

　　十三度三十分之正三百

　　九十八万七千四百九十一

　　为一率乙角七十二度五十

　　四分三十四秒之余二百

　　九十三万八千八百二十为

　　二率半径一千万为三率求

　　得四率七百三十七万零九

　　十八为甲丙弧之余检表

　　得四十二度三十一分二十

　　二秒即甲丙赤道弧之度也

　　如图甲乙丙

　　正弧三角形之次形为己庚

　　辛葢甲角之正亦即己庚

　　辛次形之庚己弧之正为

　　庚己而乙角之余即己庚

　　辛次形之庚辛弧之正为

　　庚午又甲丙弧之余即己

　　庚辛次形之己角之正为

　　卯辰而庚午己勾股形与卯

　　辰癸勾股形为同式形故庚

　　己与庚午之比同于卯癸与

　　卯辰之比也求乙丙距纬弧

　　亦用次形法

　　以乙角七十二度五十四分

　　三十四秒之正九百五十

　　五万八千四百一十七为一

　　率半径一千万为二率甲角

　　二十三度三

　　十分之余九百一十七万

　　零六百零一为三率求得四

　　率九百五十九万四千二百

　　六十七为乙丙弧之余检

　　表得一十六度二十二分三

　　十八秒即乙丙距纬弧之度

　　也如图甲乙丙正弧三角形

　　之次形为乙己丁葢乙角之

　　正亦即乙己丁次形之乙

　　角之正为辛酉而甲角之

　　余即乙己丁次形之己丁

　　弧之正为巳申又乙丙弧

　　之余即乙己丁次形之己

　　乙弧之正为己未而辛酉

　　癸勾股形与巳申未勾股形

　　为同式形故辛酉与辛癸之

　　比同于巳

　　【象考成上编卷二】

　　申与巳未之比也御制厯

<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成>

　　钦定四库全书

　　御制歴象考成上编卷三

　　弧三角形下

　　斜弧三角形论

　　斜弧三角形边角比例法

　　斜弧三角形作垂弧法

　　斜弧三角形用总较法【次形法附】

　　斜弧三角形设例八则

　　斜弧三角形论

　　弧三角之有斜弧形犹直线三角之有锐钝形也但直线三角之锐钝形惟二种一种三角俱鋭一种一钝两锐而斜弧形则不然或三角俱锐或三角俱钝或两锐一钝或两钝一锐其三边或俱大过于九十度或俱小不及九十度或两大一小或两小一大参错成形为类甚多而新法算书所载推算之法抑复繁杂难稽葢三角三边各有八线但线与线之比例相当即可相求是故或同步一星或同推一数而所用之法彼此互异遂使学者莫知所从兹约以三法求之无论角之锐钝边之大小并视先所知之三件为断其一先知之三件有相对之边角又有对所求之边角则用边角比例法其一先知之三件有相对之边角而无对所求之边角【或求角而无对角之边或求边而无对边之角】则用垂弧法其一先知之三件无相对之边角【或三边求角或有两边一角而角在所知两边之间或三角求边或有两角一边而边在所知两角之间】则用总较法明此三法则斜弧之用已备而七政之升降出没经纬之纵横交加无不可推测而知矣

　　斜弧三角形边角比例法

　　凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角又有对所求之边角者则用边角比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求丙角则乙丙为对所知之边甲为所知之角甲乙为对所求之边乃以对所知之乙丙边正与对所求之甲乙边正之比同于所知之甲角正与所求之丙角正之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁角有己角有丁戊边而求戊己边则己角为对所知之角丁戊为所知之边丁为对所求之角乃以对所知之己角正与对所求之丁角正之比同于所知之丁戊边正与所求之戊己边正之比也

　　斜弧三角形作垂弧法

　　凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角而无对所求之边角者则用垂弧法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求乙角及甲丙边乃自乙角作乙丁垂弧于形内分为甲乙丁丙乙丁两正弧三角形算之先用甲乙丁形求乙丁垂弧甲丁分边及乙分角葢此形有甲角有甲乙边有丁直角以丁角正【即半径】与甲角正之比同于甲乙边正与乙丁垂弧正之比而得乙丁垂弧以半径与甲角余之比同于甲乙边正切与甲丁边正切之比而得甲丁分边以甲乙边正与甲丁边正之比同于丁角正【即半径】与乙分角正之比而得乙分角次用丙乙丁形求乙分角及丁丙分边葢此形有乙丙边有乙丁垂弧有丁直角以乙丙边正切与乙丁垂弧正切之比同于半径与乙分角余之比而得乙分角以丁角正【即半径】与乙分角正之比同于乙丙边正与丁丙边正之比而得丁丙分边既得两分角并之即乙角得两分边并之即甲丙边也又如戊己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己庚边而求戊庚边及己角乃自己角作己辛垂弧于形外将戊庚弧引长至辛作戊己辛庚己辛两正弧三角形算之先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚边及己虚角葢此形有庚外角有己庚边有辛直角以辛角正【即半径】与庚角正之比同于己庚边正与己辛垂弧正之比而得己辛垂弧以半径与庚角余之比同于己庚边正切与庚辛虚边正切之比而得庚辛虚边以己庚边正与庚辛边正之比同于辛角正【即半径】与己虚角正之比而得己虚角次用戊己辛形求戊辛总边及己总角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛直角以戊角正切与半径之比同于己辛垂弧正切与戊辛边之比而得戊辛总边以己辛垂弧正与戊辛边正之比同于戊角正与己角之比而得己总角既得戊辛总边内减去庚辛虚边即戊庚边得己总角内减去己虚角即己角也

　　斜弧三角形用总较法

　　凡斜弧三角形知三边求

　　角者则用总较法以角傍

　　之两边相加为总弧相减

　　为较弧各取其余相加

　　减【总弧较弧俱不过象限或俱过象限则两余

　　相减若一过象限一不过象限则两余相加其或

　　过二象限者与过一象限同过三象限者与不过象

　　限同】折半为中数又以对边

　　之矢与较弧之矢相减余

　　为矢较乃以中数与矢较

　　为比同于半径与所求角

　　之正矢之比也如知两边

　　一角而角在两边之间者

　　以半径与所知角之正矢

　　为比同于中数与矢较之

　　比既得矢较与较弧之矢

　　相加即得对边之矢也如

　　甲乙丙斜弧三角形有三

　　边求甲角则以甲角傍之

　　甲乙甲丙二边相加得乙

　　丁【甲丙甲戊甲丁三弧同为丁戊距等圈所截故

　　其度相等】为总弧其正为丁

　　己余为己庚甲乙与甲

　　丙相减余乙戊为较弧其

　　正为戊辛余为辛庚

　　两余相加得己辛【乙丁总弧

　　过象限乙戊较弧不过象限其两余在圜心之两

　　边故相加】折半得辛壬与癸子

　　等为中数乙丙对边与乙

　　丑等【乙丙与乙丑两弧同为丑寅距等圈所截

　　故其度相等】其正为丑卯余

　　为卯庚正矢为乙卯以

　　乙卯与乙戊较弧之正矢

　　乙辛相减余辛卯与辰巳

　　等为矢较戊辰巳与戊癸

　　子为同式两勾股形故癸

　　子与辰巳之比同于戊子

　　与戊巳之比也又午庚为

　　半径戊子为距等圈之半

　　径午未与戊己两段同为

　　甲丙申大圈所分则戊子

　　与戊己之比原同于午庚

　　与午未之比是以中数癸

　　子与矢较辰巳之比即同

　　于半径午庚与甲角正矢

　　午未之比也以午未与午

　　庚半径相减余未庚为甲

　　角之余检表即得甲角

　　所当午申弧之度也若先

　　有甲角及甲乙甲丙二边

　　求乙丙对边则以半径午

　　庚与甲角正矢午未之比

　　即同于中数癸子与矢较

　　辰巳之比既得辰巳与辛

　　卯等与乙戊较弧之正矢

　　乙辛相加得乙卯为乙丙

　　对边之正矢也如有甲乙

　　甲丙乙丙三边求乙角则

　　以乙角傍甲乙乙丙二边

　　相加得甲丁【乙丙乙丁乙戊三弧同为

　　戊丁距等圈所截故其度相等】为总弧其

　　正为丁己余为己庚

　　甲乙与乙丙相减余甲戊

　　为较弧其正为戊辛余

　　为辛庚两余相减余

　　辛己【甲丁总弧甲戊较弧皆不过象限其两余

　　同在圜心之一边故相减】折半得辛

　　壬与癸子等为中数甲丙

　　对边与甲丑等【甲丙与甲丑两弧同

　　为寅丑距等圈所截故其度相等】其正

　　为丑卯余为卯庚正矢

　　为甲卯以甲卯与甲戊较

　　弧之正矢甲辛相减余辛

　　卯与辰巳等为矢较戊癸

　　子与戊辰巳为同式两勾

　　股形故癸子与辰巳之比

　　同于戊子与戊巳之比也

　　又午庚为半径戊子为距

　　等圈之半径戊巳与午未

　　两段同为乙丙申大圈所

　　分则戊子与戊巳之比原

　　同于午庚与午未之比是

　　以中数癸子与矢较辰巳

　　之比即同于半径午庚与

　　乙角大矢午未之比也【凡钝

　　角所用诸线皆与外角同惟矢则有正矢大矢之别

　　如庚未为乙锐角所当申酉弧之余亦为乙钝角

　　所当午申弧之余检表锐角即得本角度钝角与

　　半周相减亦即得本角度而未酉为乙锐角之正矢

　　乃于酉庚半径内减庚未余午未为乙钝角之大

　　矢乃于午庚半径加庚未余也此正矢大矢之别

　　过弧亦然】于午未大矢内减午

　　庚半径余庚未为乙角之

　　余检表得乙外角度与

　　半周相减余即乙钝角之

　　度也若先有乙钝角及甲

　　乙乙丙二边求甲丙对边

　　则以半径午庚与乙角大

　　矢午未之比即同于中数

　　癸子与矢较辰巳之比既

　　得辰巳与辛卯等与甲戊

　　较弧之正矢甲辛相加得

　　甲卯为甲丙对边之正矢

　　也

　　斜弧三角形知三角求边

　　者则用次形法如甲乙丙

　　形可易为丁戊己次形葢

　　甲角之度当庚辛弧而庚

　　辛与己戊等【庚己与辛戊皆象限故庚

　　辛与己戊等】故本形之甲角即

　　次形之己戊边乙外角之

　　度当壬癸弧而壬癸与己

　　丁等【壬己与癸丁皆象限故壬癸与己丁等】故本形之乙外角即次形

　　之己丁边丙角之度当子

　　丑弧而子丑与戊丁等【子戊

　　与丑丁皆象限故子丑与戊丁等】故本形

　　之丙角即次形之戊丁边

　　是本形之三角即次形之

　　三边也又次形丁角之度

　　当癸丑弧而癸丑与乙丙

　　等【丙丑与乙癸皆象限故癸丑与乙丙等】故

　　次形之丁角即本形之乙

　　丙边戊外角之度当辛子

　　弧而辛子与甲丙等【丙子与甲

　　辛皆象限故辛子与甲丙等】故次形之

　　戊外角即本形之甲丙边

　　己角之度当庚壬弧而庚

　　壬与甲乙等【乙壬与甲庚皆象限故庚

　　壬与甲乙等】故次形之己角即

　　本形之甲乙边是本形之

　　三边即次形之三角也故

　　用丁己戊次形仍用总较

　　法算之求得次形之三角

　　即得本形之三边也如有

　　乙角丙角及乙丙边而求

　　甲角亦用丁戊己次形有

　　己丁边戊丁边及丁角仍

　　用总较法算之求得己戊

　　边即甲角也

　　设如申正初刻测得太阳髙三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求太阳距赤道纬度几何

　　甲乙丙三角形甲为北极

　　乙为天顶丙为太阳乙丁

　　戊己为子午经圏乙丙癸

　　戊为地平经圏丁己为地

　　平庚辛为赤道庚壬为申

　　正初刻距午正赤道六十

　　度即甲角丙癸为太阳髙

　　三十二度【即地平纬度一名髙弧】与

　　乙癸象限相减余太阳距

　　天顶五十八度即乙丙边

　　丁癸为地平经度偏西八

　　十一度四十二分四十八

　　秒与丁己半周相减余癸

　　己九十八度一十七分一

　　十二秒即乙角丙壬为太

　　阳距赤道纬度与甲壬象

　　限相减余甲丙边为太阳

　　距北极度故用甲乙丙三

　　角形有甲乙二角及乙丙

　　边求甲丙边以甲角六十

　　度为对所知之角其正

　　八百六十六万零二百五

　　十四为一率乙角九十八

　　度一十七分一十二秒为

　　对所求之角其正九百

　　八十九万五千五百九十

　　三为二率乙丙五十八度

　　为所知之边其正八百

　　四十八万零四百八十一

　　为三率求得四率九百六

　　十九万零一百七十六为

　　所求甲丙边之正检表

　　得七十五度四十二分零

　　一秒即甲丙弧之度与九

　　十度相减余一十四度一

　　十七分五十九秒即太阳

　　距赤道北之纬度也此法

　　用边角相比例与直线三

　　角形同但直线三角形以

　　角之正与边相比【见数理精

　　蕴第十七卷】此以角之正与

　　边之正相比其比例之

　　理一也又以正弧之理明

　　之试将甲乙弧引长至丁

　　自丙角作丙丁垂弧则成

　　甲丁丙乙丁丙两正弧三

　　角形先求乙丁丙形丁角

　　正【即半径】为一率乙角正

　　为二率乙丙正为三

　　率丙丁正为四率此第

　　一比例也次求甲丁丙形

　　甲角正为一率丁角正

　　【即半径】为二率丙丁正

　　为三率甲丙正为四率

　　此第二比例也然第二比

　　例之二率三率即第一比

　　例之一率四率而二率三

　　率相乘与一率四率相乘

　　之数等故用第一比例之

　　二率三率而用第二比例

　　之一率即得第二比例之

　　四率此有对角求对边之

　　法也

　　设如太阳距赤道北一十四度一十七分五十九秒测得髙弧三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求系何时刻

　　甲乙丙三角形甲为北极

　　乙为天顶丙为太阳丙壬

　　为太阳距赤道北一十四

　　度一十七分五十九秒甲

　　丙即为太阳距北极七十

　　五度四十二分零一秒丙

　　癸为太阳髙三十二度乙

　　丙即为太阳距天顶五十

　　八度丁癸为地平经度偏

　　西八十一度四十二分四

　　十八秒癸己为九十八度

　　一十七分一十二秒即乙

　　角庚壬为太阳距午正赤

　　道度即甲角故用甲乙丙

　　三角形有乙角及甲丙乙

　　丙二边求甲角以甲丙七

　　十五度四十二分零一秒

　　为对所知之边其正九

　　百六十九万零一百七十

　　六为一率乙丙五十八度

　　为对所求之边其正八

　　百四十八万零四百八十

　　一为二率乙角九十八度

　　一十七分一十二秒为所

　　知之角其正九百八十

　　九万五千五百九十三为

　　三率求得四率八百六十

　　六万零二百五十四为所

　　求甲角之正检表得六

　　十度即甲角度以六十度

　　变得二时从午正初刻后

　　计之【因偏西故为午正后】为申正初

　　刻也此有对边求对角之

　　法也

　　设如北极出地四十度申正初刻测得太阳髙三十二度求太阳距赤道纬度及地平经度各几何

　　甲乙丙三角形甲为北极

　　乙为天顶丙为太阳甲己

　　为北极出地四十度甲乙

　　即为北极距天顶五十度

　　庚壬为申正初刻距午正

　　赤道六十度即甲角丙癸

　　为太阳髙三十二度乙丙

　　即为太阳距天顶五十八

　　度丙壬为太阳距赤道纬

　　度甲丙为其余丁癸为地

　　平经度即乙角之外角【甲乙

　　丙形之乙角当癸己弧其癸乙丁外角即当丁癸弧】故用甲乙丙三角形有甲

　　角及甲乙乙丙二边求甲

　　丙边及乙角乃自乙角作

　　乙丁垂弧分为甲乙丁丙

　　乙丁两正弧三角形先求

　　甲乙丁形以丁角正即

　　半径一千万为一率甲角

　　六十度之正八百六十

　　六万零二百五十四为二

　　率甲乙五十度之正七

　　百六十六万零四百四十

　　四为三率求得四率六百

　　六十三万四千一百三十

　　九为乙丁弧之正检表

　　得四十一度三十三分三

　　十九秒即乙丁弧之度也

　　【此即正弧三角形有黄赤交角有黄道求距纬之法

　　葢甲角即如黄赤交角甲乙即如黄道甲丁即如赤

　　道乙丁即如距纬】又以半径一千

　　万为一率甲角六十度之

　　余五百万为二率甲乙

　　五十度之正切一千一百

　　九十一万七千五百三十

　　六为三率求得四率五百

　　九十五万八千七百六十

　　八为甲丁弧之正切检表

　　得三十度四十七分二十

　　三秒即甲丁弧之度也【此即

　　正弧三角形有黄赤交角有黄道求赤道之法】又

　　以甲乙五十度之正七

　　百六十六万零四百四十

　　四为一率甲丁三十度四

　　十七分二十三秒之正

　　五百一十一万八千八百

　　八十八为二率丁角正

　　即半径一千万为三率求

　　得四率六百六十八万二

　　千二百三十四为乙分角

　　之正检表得四十一度

　　五十五分四十八秒即乙

　　分角之度也【此即正弧三角形有黄道

　　有赤道求黄道交极圏角之法】次求乙丙

　　丁形以乙丁四十一度三

　　十三分三十九秒之余

　　七百四十八万二千五百

　　二十六为一率乙丙五十

　　八度之余五百二十九

　　万九千一百九十三为二

　　率半径一千万为三率求

　　得四率七百零八万二千

　　零九十一为丙丁弧之余

　　检表得四十四度五十

　　四分三十八秒即丙丁弧

　　之度也【此即正弧三角形有黄道有距纬求

　　赤道之法葢丙角即如黄赤交角乙丙即如黄道丙

　　丁即如赤道乙丁即如距纬】又以乙丙

　　五十八度之正八百四

　　十八万零四百八十一为

　　一率丙丁四十四度五十

　　四分三十八秒之正七

　　百零六万零二十七为二

　　率丁角正即半径一千

　　万为三率求得四率八百

　　三十二万五千零三十为

　　乙分角之正检表得五

　　十六度二十一分二十四

　　秒即乙分角之度也【此即正弧

　　三角形有黄道有距纬求黄赤交角之法葢乙分角

　　即如黄赤交角乙丙即如黄道乙丁即如赤道丙丁

　　即如距纬】乃以甲丁丙丁相并

　　得甲丙七十五度四十二

　　分零一秒即太阳距北极

　　度与九十度相减余一十

　　四度一十七分五十九秒

　　即太阳距赤道北之纬度

　　【如甲丙大于九十度则减去九十度余为太阳距赤】

　　【道南之纬度】以两乙分角相并

　　得九十八度一十七分一

　　十二秒与一百八十度相

　　减余八十一度四十二分

　　四十八秒即太阳距午正

　　偏西之地平经度也此作

　　垂弧于形内之法也

　　设如申正初刻测得太阳髙三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求北极出地度几何

　　甲乙丙三角形甲为北极

　　乙为天顶丙为太阳丙癸

　　为太阳髙三十二度乙丙

　　即为太阳距天顶五十八

　　度庚壬为申正初刻距午

　　正赤道六十度即甲角丁

　　癸为地平经度偏西八十

　　一度四十二分四十八秒

　　即乙角之外角甲己为北

　　极出地度甲乙为其余故

　　用甲乙丙三角形有甲乙

　　二角及乙丙边求甲乙边

　　乃自丙角作丙丁垂弧补

　　成甲丙丁乙丙丁两正弧

　　三角形先求乙丙丁形以

　　丁角正即半径一千万

　　为一率乙角九十八度一

　　十七分一十二秒之正

　　九百八十九万五千五百

　　九十三为二率乙丙五十

　　八度之正八百四十八

　　万零四百八十一为三率

　　求得四率八百三十九万

　　一千九百三十九为丙丁

　　弧之正检表得五十七

　　度零三分一十八秒即丙

　　丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤

　　交角有黄道求距纬之法葢乙角即如黄赤交角乙

　　丙即如黄道乙丁即如赤道丙丁即如距纬】又

　　以半径一千万为一率乙

　　角九十八度一十七分一

　　十二秒之余一百四十

　　四万一千二百六十为二

　　率乙丙五十八度之正切

　　一千六百万零三千三百

　　四十五为三率求得四率

　　二百三十万六千四百九

　　十八为乙丁弧之正切检

　　表得一十二度五十九分

　　一十七秒即乙丁弧之度

　　也【此即正弧三角形有黄赤交角有黄道求赤道

　　之法】次求甲丙丁形以甲角

　　六十度之正切一千七百

　　三十二万零五百零八为

　　一率半径一千万为二率

　　丙丁五十七度零三分一

　　十八秒之正切一千五百

　　四十三万一千零五十九

　　为三率求得四率八百九

　　十万九千一百二十六为

　　甲丁弧之正检表得六

　　十二度五十九分一十七

　　秒即甲丁弧之度也【此即正弧

　　三角形有黄赤交角有距纬求赤道之法葢甲角即

　　如黄赤交角甲丙即如黄道甲丁即如赤道丙丁即

　　如距纬】乃以甲丁与乙丁相

　　减余甲乙五十度即北极

　　距天顶又与九十度相减

　　余四十度即北极出地度

　　也【若求丙角则求得丙总角与丙虚角相减即得】此作垂弧于形外之法也

　　设如大角星黄道纬北三十一度零三分赤道纬北二十度五十八分四十七秒黄极赤极【即北极】相距二十三度三十分求黄道经度赤道经度各几何

　　甲乙丙三角形甲为赤极

　　【即北极】乙为黄极甲乙相距

　　二十三度三十分丙为大

　　角星丁戊为黄道己庚为

　　赤道丙辛为黄道纬北三

　　十一度零三分乙丙即为

　　星距黄极五十八度五十

　　七分丙壬为赤道纬北二

　　十度五十八分四十七秒

　　甲丙即为星距赤极六十

　　九度零一分一十三秒丁

　　辛为星距夏至后黄道经

　　度即乙角己壬为星距夏

　　至后赤道经度即甲角之

　　外角故用甲乙丙三角形

　　有甲乙甲丙乙丙三边求

　　甲乙二角先求乙角则以

　　夹乙角之甲乙边二十三

　　度三十分与乙丙边五十

　　八度五十七分相加得八

　　十二度二十七分为总弧

　　其余一百三十一万三

　　千九百一十三又以甲乙

　　乙丙两边相减余三十五

　　度二十七分为较弧其余

　　八百一十四万六千二

　　百二十两余相减【总弧较弧

　　俱不过象限或俱过象限则两余相减若一过象

　　限一不过象限则两余相加其或过二象限者与

　　过一象限同过三象限者与不过象限同】余六

　　百八十三万二千三百零

　　七折半得三百四十一万

　　六千一百五十四为中数

　　为一率以对乙角之甲丙

　　边六十九度零一分一十

　　三秒之正矢六百四十一

　　万九千六百二十五【余与半

　　径相减得矢度】与较弧三十五度

　　二十七分之正矢一百八

　　十五万三千七百八十相

　　减余四百五十六万五千

　　八百四十五为矢较为二

　　率半径一千万为三率求

　　得四率一千三百三十六

　　万五千四百五十四为乙

　　角之大矢【凡矢度过于半径者为大矢其

　　角即为钝角】内减半径一千万

　　余三百三十六万五千四

　　百五十四为乙角之余

　　检表得七十度二十分与

　　半周相减余一百零九度

　　四十分为乙角度即星距

　　夏至后黄道经度自夏至

　　未宫初度逆计之为卯宫

　　一十九度四十分也如图

　　甲乙与乙丙相加得甲癸

　　为总弧【乙丙乙癸乙子三弧同为癸子距等

　　圈所截故其度相等】其正为癸丑

　　余为丑寅甲乙与乙丙

　　相减余甲子为较弧其正

　　为子卯余为卯寅以

　　丑寅与卯寅两余相减

　　余卯丑折半得卯辰与巳

　　午等为中数又对乙角之

　　甲丙边与甲未等其正

　　为未申余为申寅正矢

　　为甲申以甲申与甲子较

　　弧之正矢甲卯相减余卯

　　申与酉戌等为矢较遂成

　　子酉戌与子巳午同式两

　　勾股形故巳午与酉戌之

　　比必同于子午与子戌之

　　比也又丁寅为半径子午

　　为距等圈之半径子戌与

　　丁亥两段同为乙丙辛黄

　　道经圈之所分则子午与

　　子戌之比原同于丁寅与

　　丁亥之比是以中数己午

　　与矢较酉戌之比即同于

　　半径丁寅与乙角大矢丁

　　亥之比也既得丁亥大矢

　　内减丁寅半径余寅亥即

　　乙外角之余检表得乙

　　外角所当辛戊弧之度复

　　与半周相减即得乙角所

　　当丁辛弧之度也既得乙

　　角则以对边对角之法求

　　之即得甲角度矣

　　如先求甲角则以夹甲角

　　之甲乙边二十三度三十

　　分与甲丙边六十九度零

　　一分一十三秒相加得九

　　十二度三十一分一十三

　　秒为总弧其余四十三

　　万九千七百二十九又以

　　甲乙甲丙两边相减余四

　　十五度三十一分一十三

　　秒为较弧其余七百万

　　零六千五百六十八两余

　　相加【总弧过象限较弧不过象限故两余

　　相加】得七百四十四万六

　　千二百九十七折半得三

　　百七十二万三千一百四

　　十八为中数为一率以对

　　甲角之乙丙边五十八度

　　五十七分之正矢四百八

　　十四万二千一百四十一

　　与较弧四十五度三十一

　　分一十三秒之正矢二百

　　九十九万三千四百三十

　　二相减余一百八十四万

　　八千七百零九为矢较为

　　二率半径一千万为三率

　　求得四率四百九十六万

　　五千四百四十五为甲角

　　之正矢与半径一千万相

　　减余五百零三万四千五

　　百五十五为甲角之余

　　检表得五十九度四十六

　　分一十六秒即甲角度与

　　半周相减余一百二十度

　　一十三分四十四秒即星

　　距夏至后赤道经度自夏

　　至未宫初度逆计之为卯

　　宫初度一十三分四十四

　　秒也如图甲乙与甲丙相

　　加得乙癸为总弧其正

　　为癸子余为子丑甲乙

　　与甲丙相减余乙寅为较

　　弧其正为寅卯余为

　　卯丑两余相加得卯子

　　【因两余在圜心之两边故相加】折半得

　　卯辰与巳午等为中数又

　　对甲角之乙丙边与乙未

　　等其正为未申余为

　　申丑正矢为乙申以乙申

　　与乙寅较弧之正矢乙卯

　　相减余卯申与酉戌等为

　　矢较遂成寅巳午与寅酉

　　戌同式两勾股形故巳午

　　与酉戌之比同于寅午与

　　寅戌之比又庚丑为半径

　　寅午为距等圈之半径寅

　　戌与庚亥两段同为甲丙

　　壬赤道经圈之所分则寅

　　午与寅戌之比原同于庚

　　丑与庚亥之比是以巳午

　　中数与矢较酉戌之比即

　　同于半径庚丑与甲角正

　　矢庚亥之比也既得庚亥

　　正矢与庚丑半径相减余

　　亥丑即甲角之余检表

　　即得甲角所当庚壬弧之

　　度也既得甲角则以对边

　　对角之法求之亦即得乙

　　角度矣此三边求角之法

　　也

　　设如大角星黄道经度距夏至一百零九度四十分赤道经度距夏至一百二十度一十三分四十四秒黄赤两过极经圈交角二十三度四十二分四十五秒求黄道纬度赤道纬度各几何

　　甲乙丙三角形甲为赤极

　　【即北极】乙为黄极甲乙为两

　　极距度丙为大角星丁戊

　　为黄道己庚为赤道丁辛

　　为黄道经度距夏至一百

　　零九度四十分即乙角己

　　壬为赤道经度距夏至一

　　百二十度一十三分四十

　　四秒即甲角之外角丙角

　　为甲壬乙辛两经圏交角

　　二十三度四十二分四十

　　五秒丙辛为黄道北纬度

　　乙丙为其余丙壬为赤道

　　北纬度甲丙为其余故用

　　甲乙丙三角形有甲乙丙

　　三角求乙丙甲丙二边乃

　　用次形法先求乙丙边将

　　甲乙丙形易为癸子丑次

　　形葢本形之甲角即次形

　　之子丑边【甲角当庚壬弧与子丑等】本

　　形乙角之外角即次形之

　　癸丑边【乙角之外角当戊辛弧与癸丑等】本形之丙角即次形之癸

　　子边【丙角当寅卯弧与癸子等】本形之

　　甲乙边即次形之丑角【丁己

　　弧与甲乙等即丑角度】本形之乙丙

　　边即次形之癸角【辛寅弧与乙丙

　　等即癸角度】本形之甲丙边即

　　次形子角之外角【壬卯弧与甲丙

　　等即子锐角度为癸子丑形子钝角之外角】故

　　用癸子丑三角形有三边

　　求癸角【即乙丙边】以夹癸角之

　　癸子边【即丙角】二十三度四

　　十二分四十五秒与癸丑

　　边【即乙外角】七十度二十分相

　　加得九十四度零二分四

　　十五秒为总弧其余七

　　十万五千五百四十四又

　　以癸子癸丑两边相减余

　　四十六度三十七分一十

　　五秒为较弧其余六百

　　八十六万八千二百三十

　　二两余相加【总弧过象限较弧不

　　过象限故两余相加】得七百五十

　　七万三千七百七十六折

　　半得三百七十八万六千

　　八百八十八为中数为一

　　率以对癸角之子丑边【即甲

　　角】五十九度四十六分一

　　十六秒之正矢四百九十

　　六万五千四百四十五与

　　较弧四十六度三十七分

　　一十五秒之正矢三百一

　　十三万一千七百六十八

　　相减余一百八十三万三

　　千六百七十七为矢较为

　　二率半径一千万为三率

　　求得四率四百八十四万

　　二千一百七十四为癸角

　　之正矢与半径一千万相

　　减余五百一十五万七千

　　八百二十六为癸角之余

　　检表得五十八度五十

　　七分即癸角度亦即乙丙

　　边度与象限相减余三十

　　一度零三分即黄道北之

　　纬度也既得乙丙边则以

　　对边对角之法求之即得

　　甲丙边矣

　　如先求甲丙边则用癸子

　　丑次形求子角【子角之外角当壬卯

　　弧与甲丙等】以夹子角之子丑

　　边【即甲角】五十九度四十六

　　分一十六秒与癸子边【即丙

　　角】二十三度四十二分四

　　十五秒相加得八十三度

　　二十九分零一秒为总弧

　　其余一百一十三万四

　　千八百七十四又以子丑

　　癸子两边相减余三十六

　　度零三分三十一秒为较

　　弧其余八百零八万四

　　千一百五十二两余相

　　减【总弧较弧俱不过象限故两余相减】余

　　六百九十四万九千二百

　　七十八折半得三百四十

　　七万四千六百三十九为

　　中数为一率以对子角之

　　癸丑边【即乙外角】七十度二十

　　分之正矢六百六十三万

　　四千五百二十五与较弧

　　三十六度零三分三十一

　　秒之正矢一百九十一万

　　五千八百四十八相减余

　　四百七十一万八千六百

　　七十七为矢较为二率半

　　径一千万为三率求得四

　　率一千三百五十八万零

　　三百三十七为子角之大

　　矢内减半径一千万余三

　　百五十八万零三百三十

　　七为子角之余检表得

　　六十九度零一分一十三

　　秒即子角之外角度亦即

　　甲丙边度与象限相减余

　　二十度五十八分四十七

　　秒即赤道北之纬度也既

　　得甲丙边则以对边对角

　　之法求之亦即得乙丙边

　　矣此三角求边之法也

　　设如土星黄道经度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分黄道南纬度二度三十七分黄极赤极相距二十三度三十分求赤道经度纬度各几何

　　甲乙丙三角形甲为赤极

　　【即北极】乙为黄极甲乙相距

　　二十三度三十分丙为土

　　星丁戊为赤道己庚为黄

　　道己辛为黄道经度距夏

　　至一百二十二度二十九

　　分即乙角丙辛为黄道南

　　纬度二度三十七分乙丙

　　为星距黄极九十二度三

　　十七分丙壬为赤道南纬

　　度甲丙即星距北极度丁

　　壬为距夏至赤道经度即

　　甲角之外角故用甲乙丙

　　三角形有乙角及甲乙乙

　　丙二边求甲丙边及甲角

　　先求甲丙边以半径一千

　　万为一率乙角一百二十

　　二度二十九分之大矢一

　　千五百三十七万零五百

　　四十二为二率以夹乙角

　　之甲乙边二十三度三十

　　分与乙丙边九十二度三

　　十七分相加得一百一十

　　六度零七分为总弧其余

　　四百四十万二千零四

　　又以甲乙乙丙两边相减

　　余六十九度零七分为较

　　弧其余三百五十六万

　　四千六百六十二两余

　　相加【总弧过象限较弧不过象限故两余相

　　加】得七百九十六万六千

　　六百六十六折半得三百

　　九十八万三千三百三十

　　三为中数为三率求得四

　　率六百一十二万二千五

　　百九十九为矢较与较弧

　　六十九度零七分之正矢

　　六百四十三万五千三百

　　三十八相加得一千二百

　　五十五万七千九百三十

　　七为甲丙对边之大矢【凡矢

　　度过于半径者为大矢其弧即为过弧】内减

　　半径一千万余二百五十

　　五万七千九百三十七为

　　甲丙边之余检表得七

　　十五度一十分四十六秒

　　与半周相减余一百零四

　　度四十九分一十四秒即

　　甲丙边之度内减九十度

　　余一十四度四十九分一

　　十四秒为赤道南之纬度

　　也如图己癸为半径己子

　　为甲角之大矢甲乙与乙

　　丙相加【乙丙与乙丑乙卯皆相等】得甲

　　丑为总弧其正为丑寅

　　余为寅癸甲乙与乙丙

　　相减余甲卯为较弧其正

　　为卯辰余为辰癸两

　　余相加得辰寅折半得

　　辰巳与午未等为中数又

　　对乙角之甲丙边与甲申

　　等其正为申酉余为

　　酉癸大矢为甲酉以甲酉

　　与甲卯较弧之正矢甲辰

　　相减余辰酉与戌亥等为

　　矢较遂成卯午未与卯戌

　　亥同式两勾股形而卯未

　　与卯亥之比同于午未与

　　戌亥之比又卯未为丑卯

　　距等圈之半径卯亥与巳

　　子两段同为乙辛丙黄道

　　经圈之所分则卯未与卯

　　亥之比原同于己癸与己

　　子之比是以半径己癸与

　　乙角大矢己子之比即同

　　于中数午未与矢较戌亥

　　之比也既得戌亥矢较与

　　甲卯较弧之正矢甲辰相

　　加得甲酉即为甲丙弧之

　　大矢内减甲癸半径余酉

　　癸为甲丙弧之余亦即

　　丙干弧之余检表得丙

　　干弧之度故与半周相减

　　始为甲丙弧之度也次求

　　甲角则以甲丙弧一百零

　　四度四十九分一十四秒

　　之正九百六十六万七

　　千三百一十六为一率乙

　　丙弧九十二度三十七分

　　之正九百九十八万九

　　千五百七十三为二率乙

　　角一百二十二度二十九

　　分之正八百四十三万

　　五千四百七十七为三率

　　求得四率八百七十一万

　　六千六百七十一为甲角

　　之正检表得六十度三

　　十九分一十秒即甲角之

　　度与半周相减余一百一

　　十九度二十分五十秒即

　　星距夏至赤道经度自夏

　　至未宫初度逆计之为辰

　　宫二十九度二十分五十

　　秒也

　　又法将乙丙弧引长至丁

　　自甲作甲丁垂弧补成甲

　　丁乙甲丁丙两正弧三角

　　形先求甲丁乙形以丁角

　　正即半径一千万为一

　　率乙外角五十七度三十

　　一分之正八百四十三

　　万五千四百七十七为二

　　率甲乙弧二十三度三十

　　分之正三百九十八万

　　七千四百九十一为三率

　　求得四率三百三十六万

　　三千六百三十八为甲丁

　　弧之正检表得一十九

　　度三十九分二十秒即甲

　　丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤

　　交角有黄道求距纬之法】又以半径一

　　千万为一率乙外角五十

　　七度三十一分之余五

　　百三十七万零五百四十

　　二为二率甲乙二十三度

　　三十分之正切四百三十

　　四万八千一百二十四为

　　三率求得四率二百三十

　　三万五千一百七十八为

　　乙丁弧之正切检表得一

　　十三度零八分三十八秒

　　即乙丁弧之度也【此即正弧三角

　　形有黄赤交角有黄道求赤道之法】次求甲

　　丁丙形以半径一千万为

　　一率乙丙弧九十二度三

　　十七分与乙丁弧一十三

　　度零八分三十八秒相加

　　得丙丁弧一百零五度四

　　十五分三十八秒其余

　　二百七十一万六千一百

　　七十八为二率甲丁弧一

　　十九度三十九分二十秒

　　之余九百四十一万七

　　千三百一十八为三率求

　　得四率二百五十五万七

　　千九百一十一为甲丙弧

　　之余检表得七十五度

　　一十分四十六秒与半周

　　相减余一百零四度四十

　　九分一十四秒即甲丙边

　　之度也【此即正弧三角形有赤道有距纬求

　　黄道之法】既得甲丙边则以对

　　边对角之法求之即得甲

　　角矣此两边夹一角之法

　　也

　　设如土星黄道经度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分赤道经度辰宫二十九度二十分五十秒距夏至一百一十九度二十分五十秒黄极赤极相距二十三度三十分求黄道纬度赤道纬度各几何

　　甲乙丙三角形甲为赤极

　　【即北极】乙为黄极甲乙相距

　　二十三度三十分丙为土

　　星丁戊为赤道己庚为黄

　　道己辛为黄道经度距夏

　　至一百二十二度二十九

　　分即乙角丁壬为赤道经

　　度距夏至一百一十九度

　　二十分五十秒即甲角之

　　外角丙辛为黄道南纬度

　　乙丙为星距黄极度丙壬

　　为赤道南纬度甲丙为星

　　距赤极度故用甲乙丙三

　　角形有甲乙二角及甲乙

　　边求甲丙乙丙二边乃用

　　次形法先求丙角将甲乙

　　丙形易为癸子丑次形葢

　　本形之甲角即次形之子

　　丑边【甲角当壬戊弧与子丑等】本形乙

　　角之外角即次形之癸丑

　　边【乙外角当辛庚弧与癸丑等】本形之

　　丙角即次形之癸子边【丙角

　　当寅卯弧与癸子等】本形之甲乙边

　　即次形之丑角【丁己与甲乙等即丑

　　角度】本形之乙丙边与半周

　　相减之余度即次形癸角

　　之外角【乙丙边与半周相减余丙辰与卯辛

　　等即辛癸卯角为癸子丑形癸角之外角葢卯丙与

　　辛辰皆象限各减辛丙故卯辛与丙辰等】本形

　　之甲丙边与半周相减之

　　余度即次形之子角【甲丙边与】

　　【半周相减余丙巳与寅壬等即子角度葢寅丙与壬

　　巳皆象限各减壬丙故壬寅与丙巳等】故用

　　癸子丑三角形有丑角及

　　癸丑子丑二边求癸子边

　　【即丙角】以半径一千万为一

　　率丑角二十三度三十分

　　之正矢八十二万九千三

　　百九十九为二率以癸丑

　　边【即乙外角】五十七度三十一

　　分与子丑边【即甲角】六十度

　　三十九分一十秒相加得

　　一百一十八度一十分一

　　十秒为总弧其余四百

　　七十二万零八百零七又

　　以癸丑子丑两边相减余

　　三度零八分一十秒为较

　　弧其余九百九十八万

　　五千零二十四两余相

　　加得一千四百七十万五

　　千八百三十一折半得七

　　百三十五万二千九百一

　　十五为中数为三率求得

　　四率六十万九千八百五

　　十为矢较与较弧三度零

　　八分一十秒之正矢一万

　　四千九百七十六相加得

　　六十二万四千八百二十

　　六为癸子对边之正矢与

　　半径一千万相减余九百

　　三十七万五千一百七十

　　四为癸子对边之余检

　　表得二十度二十一分四

　　十一秒为癸子边之度亦

　　即丙角度也次求乙丙边

　　则以丙角之正三百四

　　十七万九千三百八十七

　　为一率甲角六十度三十

　　九分一十秒之正八百

　　七十一万六千六百五十

　　七为二率甲乙边二十三

　　度三十分之正三百九

　　十八万七千四百九十一

　　为三率求得四率九百九

　　十八万九千五百七十三

　　为乙丙边之正检表得

　　八十七度二十三分与半

　　周相减余九十二度三十

　　七分即乙丙边之度内减

　　九十度余二度三十七分

　　即星距黄道南之纬度也

　　次求甲丙边以丙角之正

　　三百四十七万九千三

　　百八十七为一率乙角一

　　百二十二度二十九分之

　　正八百四十三万五千

　　四百七十七为二率仍以

　　甲乙边之正三百九十

　　八万七千四百九十一为

　　三率求得四率九百六十

　　六万七千三百三十一为

　　甲丙边之正检表得七

　　十五度一十分四十六秒

　　与半周相减余一百零四

　　度四十九分一十四秒即

　　甲丙边之度内减九十度

　　余一十四度四十九分一

　　十四秒即星距赤道南之

　　纬度也

　　又法将乙丙弧引长至丁

　　自甲作甲丁垂弧补成甲

　　丁乙甲丁丙两正弧三角

　　形先求甲丁乙形以丁角

　　正即半径一千万为一

　　率乙外角五十七度三十

　　一分之正八百四十三

　　万五千四百七十七为二

　　率甲乙弧二十三度三十

　　分之正三百九十八万

　　七千四百九十一为三率

　　求得四率三百三十六万

　　三千六百三十八为甲丁

　　弧之正检表得一十九

　　度三十九分二十秒即甲

　　丁弧之度也【此即正弧三角形有黄赤

　　交角有黄道求距纬之法】又以甲乙弧

　　二十三度三十分之正切

　　四百三十四万八千一百

　　二十四为一率甲丁弧一

　　十九度三十九分二十秒

　　之正切三百五十七万一

　　千七百五十二为二率半

　　径一千万为三率求得四

　　率八百二十一万四千四

　　百六十七为甲虚角之余

　　检表得三十四度四十

　　六分一十二秒即甲虚角

　　之度也【此即正弧三角形有黄道有赤道求

　　黄赤交角之法】次求甲丁丙形以

　　丙甲乙角六十度三十九

　　分一十秒与甲虚角三十

　　四度四十六分一十二秒

　　相加得九十五度二十五

　　分二十二秒为丙甲丁角

　　乃以其余九十四万五

　　千零六十四为一率半径

　　一千万为二率甲丁弧一

　　十九度三十九分二十秒

　　之正切三百五十七万一

　　千七百五十二为三率求

　　得四率三千七百七十九

　　万三千七百五十七为甲

　　丙弧之正切检表得七十

　　五度一十分四十六秒与

　　半周相减余一百零四度

　　四十九分一十四秒即甲

　　丙边之度也【此即正弧三角形有黄赤

　　交角有赤道求黄道之法】既得甲丙边

　　则以对边对角之法求之

　　即得乙丙边矣此两角夹

　　一边之法也

　　御制象考成上编卷三

<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成>

　　钦定四库全书

　　御制歴象考成上编卷四

　　日躔歴理

　　南北眞线

　　北极髙度

　　地半径差

　　黄赤距纬

　　清气差

　　测岁实以定平行

　　本天髙卑为盈缩之原

　　求两心差及最髙

　　最髙行及本轮均轮半径

　　求盈缩差

　　时差【原名日差】

　　曚影刻分

　　昼夜永短

　　节气时刻

　　南北眞线

　　辨方定位厯象首务盖必先定南北然后可以候中星歩日躔然南北之大势虽若昜知而立线定向必豪厘不失乃得其眞即用指南针亦有所偏向不可为准其所偏向又随地不同故欲得南北之眞线者必以测量星日为主

　　法于春秋分日植表于案

　　令极平取日影自午前至

　　午后视表末影所至随作

　　防为识次联诸防成一直

　　线即东西线取东西线之

　　正中作垂线即南北线也

　　或不拘何日植表取影自

　　午前至午后视表末影所

　　至随作防为识次取与表

　　心最近之一防为午正表

　　影乃太阳出地平最髙之

　　度依此防向表心作直线

　　即南北线也

　　又法用方案令极平作圜

　　数层植表于圜心以取日

　　影凡影圜上者皆作防识

　　之乃视午前午后两防同

　　在一圜上者作直线联

　　之即东西线取东西线之

　　正中向圜心作垂线即南

　　北线也

　　又法植表取日影别用仪

　　噐测得午前日轨髙度作

　　防于影末又测得午后日

　　轨髙度与午前等亦作防

　　于影末乃以两防作直线

　　联之即东西线取东西线

　　之正中向表作垂线即南

　　北线也

　　又法于冬至日前后用仪

　　噐测勾陈第五星初昏时

　　此星在北极之西候其渐

　　转而西至不复西而止至

　　五更后此星在北极之东

　　候其渐转而东至不复东

　　而止两表视线之正中即

　　南北线也葢勾陈第五星

　　冬至日酉时在极西卯时

　　在极东他星则离极右逺

　　故止取此星可以得东西

　　之准他时非不可测但或

　　日永夜短卯酉二时星不

　　可见故必于冬至日前后

　　测之也

　　又法取恒星之大者用两

　　仪噐测之一测其髙度一

　　测其地平经度视此星在

　　东时测其髙度若干随测

　　其地平经度俟此星转而

　　西测其髙度与在东时等

　　者复测其地平经度此两

　　经度之正中即南北线此

　　法与前同然不拘冬至他

　　日皆可用较前法为简便

　　也

　　北极髙度

　　北极为天之枢纽居其所而不移其出地有髙下者因人所居之地南北之不同也是故寒暑之进退昼夜之永短因之而各异焉盖厯法以日躔出入赤道之度定诸节气而北极出地之度即赤道距天顶之度倘推测不精髙度差至一分则春秋分必差一时而冬夏至必差一二日日躔既差则月离五星之经纬无不谬矣故测北极出地之髙下最宜精宻不容或略也授时厯测得京师北极出地四十度七十五分以周天三百六十度每度六十分约之为四十度零九分五十一秒新法算书京师北极出地三十九度五十五分今测得畅春园北极出地三十九度五十九分三十秒

　　法于冬至日前后用仪器

　　测勾陈大星出地之度酉

　　时此星在北极之上候其

　　渐转而髙至不复髙而止

　　为最髙之度卯时此星在

　　北极之下候其渐转而低

　　至不复低而止为最低之

　　度乃以所测最高最低之

　　度折中取之即北极出地

　　之度也盖北极无星其髙

　　低不可得而见故取星之

　　环绕北极上下者测之惟

　　勾陈大星冬至酉时在最

　　髙卯时在最低可以得髙

　　低之准也

　　又法取恒星之大者测其

　　最髙为若干度若此星为

　　赤道以南之星则以其距

　　赤道之纬与其髙相加得

　　若干即赤道之髙度若此

　　星为赤道以北之星则以

　　其距赤道之纬与其髙相

　　减得若干即赤道之髙度

　　既得赤道之髙与一象限

　　九十度相减余若干即北

　　极出地之度也此法较之

　　前法为少烦盖因赤道南

　　北之星距赤道之纬俱系

　　测得北极之髙度而后可

　　得而恒星有岁差其纬度

　　亦有増损然存此法与前

　　法参互考騐可也

　　地半径差

　　凡求七曜出地之髙度必用测量乃测量所得之数与推歩所得之数徃徃不合盖推歩所得者七曜距地心之髙度而测量所得者七曜距地面之髙度也距地心之髙度为眞髙距地面之髙度为视髙人在地面不在地心故视髙必小于眞髙以有地半径之差也【或有大于眞髙者则清蒙气所为也】盖七曜恒星虽皆丽于天而其髙下又各不等惟恒星天为最髙其距地最逺地半径甚防故无视髙眞髙之差若夫七曜诸天则皆有地半径差今欲求太阳之眞髙必先得地半径差欲求地半径差必先得地半径与日天半径之比例今随时测太阳之髙度求得地半径与日天半径之比例最髙为一与一千一百六十二最卑为一与一千一百二十一比旧定地半径与日天半径之比例最髙少二十二最卑多二十一盖太阳髙卑之故由于两心差然最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半【详见本轮均轮半径篇】旧表日天半径乃依两心差全数所定故最髙较实测则多最卑较实测必少也

　　如图甲为地心乙为地面

　　甲乙为地半径乙丙为地

　　平丁戊己为太阳天庚辛

　　壬癸为恒星天戊为太阳

　　人从地面乙测之对恒星

　　天于壬其视髙为壬乙丙

　　角若从地心甲计之则见

　　太阳于戊者对恒星天于

　　辛其真髙为辛甲癸角此

　　两髙之差为乙戊甲角即

　　地半径之差然又时时不

　　同者其故有二一太阳距

　　地平近其差角大渐髙则

　　渐小一太阳在本天上又

　　有髙卑髙则距地心逺其

　　差角小卑则距地心近其

　　差角大【如戊甲线其长短时时不同其所以

　　逺近之故详见于后】今约为最髙与

　　中距及最卑三限【太阳本天髙卑

　　细推之每日不同然用以求差角所差甚防故止用

　　三限】于夏至春秋分冬至时

　　各以所测地面上太阳之

　　髙度求太阳距地心之戊

　　甲线【太阳夏至前后行最髙限春秋分前后行

　　中距限冬至前后行最卑限故于三时测之】康熙五十四年乙未五月

　　二十九日甲子午正【夏至后八

　　日也以本日太阳躔本天之最髙为距地心之最逺】在畅春园测得太阳髙七

　　十三度一十六分零二十

　　三防同时于广东广州府

　　测得太阳髙九十度零六

　　分二十一秒四十八防以

　　之立法甲为地心乙为畅

　　春园地面庚为天顶子为

　　广州府地面丑为天顶戊

　　为太阳寅为赤道寅庚弧

　　三十九度五十九分三十

　　秒为畅春园赤道距天顶

　　之度寅丑弧二十三度一

　　十分为广州府赤道距天

　　顶之度【赤道距天顶数俱系实测所得】以

　　两处赤道距天顶度相减

　　余一十六度四十九分三

　　十秒为庚丑弧即庚甲丑

　　角以畅春园髙度与一象

　　限相减余一十六度四十

　　三分五十九秒三十七防

　　为庚乙戊角于广州府髙

　　度内减去一象限余六分

　　二十一秒四十八防即戊

　　子丑角【戊在天顶丑北】先用乙甲

　　子三角形此形有甲角一

　　十六度四十九分三十秒

　　又有乙甲及子甲边俱地

　　半径命为一千万乃以甲

　　角折半之正倍之得二

　　九二五九七七为乙子边

　　又以甲角与半周相减余

　　数半之得八十一度三十

　　五分一十五秒为乙角亦

　　即子角次用乙戊子三角

　　形此形有乙子边二九二

　　五九七七有戊乙子角八

　　十一度四十分四十五秒

　　二十三秒【半周内减去甲乙子角又减去

　　庚乙戊角余即戊乙子角】有戊子乙角

　　九十八度一十八分二十

　　三秒一十二防【半周内减去甲子乙

　　角又减去戊子丑角余即戊子乙角】即有乙

　　戊子角五十一秒二十五

　　防求得戊子边一一六一

　　三二二三八三九次用戊

　　子甲三角形此形有戊子

　　边有子甲边【地平径一千万】有戊

　　子甲之外角六分二十一

　　秒四十八防【即戊子丑角】求得

　　戊甲边一一六二二六四

　　二五一二为太阳在本天

　　最髙时距地心之逺以地

　　半径较之其比例如一与

　　一千一百六十二也【乙甲一千

　　万与一一六二二六四二五一二之比同于一与一

　　千一百六十二有余之比】末用乙戊甲

　　三角形乙甲边为一戊甲

　　边为一一六二戊乙甲之

　　外角一十六度四十三分

　　五十九秒三十七防【即庚乙戊

　　角】求得乙戊甲角五十一

　　秒零五防为最髙限太阳

　　髙七十三度一十六分之

　　地半径差以加畅春园视

　　髙七十三度一十六分零

　　二十三防得七十三度一

　　十六分五十一秒二十八

　　防为畅春园太阳之眞髙

　　也于乙戊子角五十一秒

　　二十五防内减去乙戊甲

　　角五十一秒零五防余二

　　十防为甲戊子角乃最髙

　　限太阳髙九十度零六分

　　二十一秒之地半径差【即八

　　十九度五十三分三十九秒之地半径差】以减

　　广州府视髙九十度零六

　　分二十一秒四十八防【视髙

　　过九十度故减】得九十度零六分

　　二十一秒二十八防为广

　　州府太阳之眞髙也

　　又康熙五十五年丙申三

　　月初五日丙申午正【春分后八

　　日也以本日太阳躔本天之中距为距地心之适中】在畅春园测得太阳髙五

　　十三度零三分三十八秒

　　一十防同时于广东广州

　　府测得太阳髙六十九度

　　五十四分零八秒三十八

　　防减去纬差一十四秒余

　　六十九度五十三分五十

　　四秒三十八防【测得广州府子午线

　　在京师之西三度三十三分其午正时乃京师午正

　　初刻十四分也夫太阳距纬度夏至时每日止差四

　　十余秒其一刻所差甚防可不论若春分时每日差

　　至二十四分则十四分时可差一十四秒又春分后

　　太阳自卑而髙纬度既差一十四秒则午正之髙度

　　亦多一十四秒故必于所测之度减去纬差始为与

　　京师子午相当地面之髙度也此即东西里差详后

　　节气时刻篇】以之立法庚为畅

　　春园天顶丑为广州府天

　　顶戊为太阳寅为赤道乙

　　甲子三角形之三边三角

　　俱与前图等以畅春园髙

　　度与一象限相减余三十

　　六度五十六分二十一秒

　　五十防为庚乙戊角以广

　　州府髙度与一象限相减

　　余二十度零六分零五秒

　　二十二防为戊子丑角先

　　用乙戊子三角形此形有

　　乙子边二九二五九七七

　　有戊乙子角六十一度二

　　十八分二十三秒一十防

　　【半周内减去甲乙子角又减去庚乙戊角余即戊乙

　　子角】有戊子乙角一百一十

　　八度三十分五十秒二十

　　二防【半周内减去甲子乙角加入戊子丑角即

　　戊子乙角】即有乙戊子角四十

　　六秒二十八防求得戊子

　　边一一四一○三一○二

　　九九次用戊子甲三角形

　　此形有戊子边有子甲边

　　【地半径一千万】有戊子甲之外角

　　二十度零六分零五秒二

　　十二防【即戊子丑角】求得戊甲

　　边一一四二一八六七七

　　三○为太阳在本天中距

　　时距地心之逺以地半径

　　较之其比例如一与一千

　　一百四十二也末用乙戊

　　甲三角形乙甲边为一戊

　　甲边为一一四二戊乙甲

　　之外角三十六度五十六

　　分二十一秒五十防【即庚乙戊

　　角】求得乙戊甲角一分四

　　十八秒三十二防为中距

　　限太阳髙五十三度零三

　　分三十八秒之地半径差

　　以加畅春园视髙五十三

　　度零三分三十八秒一十

　　防得五十三度零五分二

　　十六秒四十二防为畅春

　　园太阳之眞髙也于乙戊

　　甲角一分四十八秒三十

　　二防内减去乙戊子角四

　　十六秒二十八防余一分

　　零二秒零四防为子戊甲

　　角乃中距限太阳髙六十

　　九度五十四分零八秒之

　　地半径差以加广州府视

　　髙六十九度五十四分零

　　八秒三十八防得六十九

　　度五十五分一十秒四十

　　二防为广州府太阳之眞

　　高也

　　今若以最髙太阳距地心

　　一一六二与中距太阳距

　　地心一一四二相减余二

　　○为两限距地心之较则

　　最卑限太阳距地心之逺

　　为一一二二然中距太阳

　　距地心如本天半径如

　　股【图见后求盈缩差篇】其距最髙之

　　差应少距最卑之差应多

　　故最卑限太阳距地心当

　　不足一一二二欲以实测

　　求之奈冬至后太阳躔本

　　天最卑时髙弧仅二十六

　　度余蒙气差甚大难得其

　　眞今以太阳最髙与本天

　　半径比例数一○一七九

　　二○八【见交食厯理求日月距地与地半径

　　之比例篇】与地半径比例数一

　　一六二之比即同于太阳

　　最卑与本天半径比例数

　　九八二○七九二与地半

　　径比例数一一二一之比

　　是为最卑限太阳距地心

　　之逺也既得三限距地心

　　之逺即各用为一邉【即戊甲】地半径为一边【即乙甲为一】太

　　阳出地逐度之髙【即戊防】与

　　象限相加为一角【即甲乙戊角】成戊乙甲三角形求得乙

　　戊甲角为三限太阳自地

　　平至天顶逐度之地半径

　　差以列表

　　黄赤距纬

　　黄道斜交赤道而出其内外其相距最逺之度即二至太阳距赤道之纬度古今所测不同授时厯测得二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之为二十三度三十三分三十二秒新法厯书用西人第谷所测为二十三度三十一分三十秒今自康熙五十三年以来于畅春园累测夏至午正太阳髙度得视髙七十三度二十九分十余秒加地半径差五十秒得实髙七十三度三十分减去本处之赤道髙五十度零三十秒余二十三度二十九分三十秒为黄道赤道相距最逺之率因用正弧三角形法推得日躔黄道每度每分之距纬以立表

　　如图甲乙为黄道一象限

　　甲丙为赤道一象限甲为

　　春分乙为夏至乙丙为大

　　距二十三度二十九分三

　　十秒即甲角之度设丁防

　　为立夏距甲春分四十五

　　度求丁戊距纬若干则用

　　甲丁戊正弧三角形此形

　　有甲角乙丙大距度二十

　　三度二十九分三十秒有

　　甲丁黄道四十五度有戊

　　直角九十度今以戊直角

　　九十度之正一千万与

　　甲角乙丙大距度二十三

　　度二十九分三十秒之正

　　三九八六一五七之比

　　即同于甲丁黄道四十五

　　度之正七○七一○六

　　八与丁戊距纬一十六度

　　二十二分一十七秒之正

　　二八一八六三九之比

　　也既得立夏之距纬度则

　　立春立秋立冬之距纬度

　　亦同按法于甲乙一象限

　　内逐度逐分求其距纬则

　　其余三象限之距纬度亦

　　得矣

　　清防气差

　　清气差从古未闻明万厯间西人第谷始发之其言曰清气者地中游气时时上腾其质轻防不能隔碍人目却能映小为大升卑为髙故日月在地平上比于中天则大星座在地平上比于中天则广此映小为大也定望时地在日月之间人在地面无两见之理而恒得两见或日未西没而已见月食于东日已东出而尚见月食于西此升卑为髙也又曰清之气有厚薄有髙下气盛则厚而髙气防则薄而下而升像之髙下亦因之而殊其所以有厚薄有髙下者地势殊也若海或江湖水气多则清气必厚且髙也故欲定七政之纬宜先定本地之清差第谷言其国北极出地五十五度有竒测得地平上最大之差三十四分自地平以上其差渐少至四十五度其差五秒更髙则无差矣此即新法厯书所用之表也近日西人又言于北极出地四十八度地方测得太阳髙四十五度时气差尚有一分余自地平至天顶皆有气差即此观之益见气差之随地不同而第谷之言为不妄矣今述其测量推算之法于左使观者知气差表之所自立云

　　假如太阳髙一十度三十

　　四分四十二秒距正午八

　　十三度【地平经度】于时日躔降

　　娄宫三度三十六分距赤

　　道北一度二十六分如图

　　甲为地心乙为天顶丙为

　　太阳丁为北极乙戊为子

　　午规乙丙己为髙弧丙己

　　为太阳实髙弧庚己为视

　　髙弧今用丁乙丙斜弧三

　　角形此形有北极距天顶

　　之丁乙弧五十度零三十

　　秒有太阳距北极之丁丙

　　弧八十八度三十四分【以距

　　纬一度二十六分减象限九十度得之】有丁

　　乙丙角九十七度【己乙戊角八十

　　三度为太阳距正午之度与半周相减即得丁乙丙

　　角】求太阳实距天顶之乙

　　丙弧法以乙丙弧引长从

　　丁作丁辛垂弧两弧相交

　　于心为直角遂成丁辛乙

　　丁辛丙两正弧三角形先

　　用丁辛乙正弧三角形以

　　半径一千万与乙角八十

　　三度之正九九二五四

　　六二之比同于乙丁弧五

　　十度零三十秒之正七

　　六六一三七九与丁辛弧

　　之正七六○四二七三

　　之比得丁辛弧四十九度

　　三十分零七秒又以半径

　　一千万与乙角八十三度

　　之余一二一八六九三

　　之比同于乙丁弧五十度

　　零三十秒之正切一一九

　　二一○五六与乙辛弧之

　　正切一四五二八一一之

　　比得乙辛弧八度一十五

　　分五十八秒次用丁辛丙

　　正弧三角形以丁丙弧八

　　十八度三十四分之正

　　九九九六八七一与丁辛

　　弧四十九度三十分零七

　　秒之正七六○四二七

　　三之比同于半径一千万

　　与丙角正七六○六六

　　五三之比得丙角四十九

　　度三十一分二十二秒又

　　以丙角四十九度三十一

　　分二十二秒之正切一一

　　七一七九二七与半径一

　　千万之比同于丁辛弧四

　　十九度三十分零七秒之

　　正切一一七○九三○二

　　与辛丙弧之正九九九

　　二六三九之比得辛丙弧

　　八十七度四十八分零五

　　秒于辛丙弧内减去乙辛

　　弧八度一十五分五十八

　　秒余乙丙弧七十九度三

　　十二分零七秒为太阳实

　　距天顶之度以乙丙弧与

　　乙己弧九十度相减余丙

　　己弧一十度二十七分五

　　十三秒为太阳之实髙乃

　　以实髙与视髙一十度三

　　十四分四十二秒相减余

　　六分四十九秒加地半径

　　差二分五十七秒得九分

　　四十六秒为地平上一十

　　度三十五分之气差按

　　法求得逐度之差数以立

　　表

　　测岁实以定平行

　　太阳之实行每日不同歩日躔者必以平行为根而求平行之法则在于定岁实岁实者太阳循黄道右旋一周而复于原界之日时也【或自今年冬至至明年冬至或自今年春分至明年春分】古厯定太阳每日所行为一度故周天为三百六十五度四分度之一其后渐觉后天以为岁实太强自汉以来每次修厯必有所减以合当时实测故每日之平行虽定为一度而天周与岁实讫无定率也今法定天周为三百六十度故太阳每日之行不及一度其分秒之进退视岁实之消长得岁实即得毎日之平行矣数岁以来于二分二至遣人各省分测得岁实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒【即三百六十五日十分日之二分四二一八七五】乃置天周三百六十度为实以岁实三百六十五日五时三刻三分四十五秒为法实如法而一得太阳每日平行五十九分零八秒一十九防四十九纎五十九忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】既得太阳每日之平行递加之得十日百日之平行递析之得每时每分之平行以立表【毎日二十四时毎时六十分】

　　测岁实之法古人皆测冬至然冬至之时刻难定不如用春秋分时得数为眞葢冬至时黄道与赤道平行其纬度一日所差不过数十秒仪噐无从分别春秋分黄道与赤道斜交其纬度一日差二十四分其差易见且求平行须用平行岁实而测量止能得视行惟二分时去中距不逺其平行实行之差甚防可以不计况冬至时太阳之地平纬度少清之气甚大古来岁实难得确准此其故也

　　康熙五十四年乙未二月

　　十六日癸未午正于畅春

　　园测得太阳髙五十度零

　　三十二秒三十五防加地

　　半径差一分五十六秒零

　　五防得实髙五十度零二

　　分二十八秒四十防与赤

　　道髙五十度零三十秒相

　　减余一分五十八秒四十

　　防为太阳在赤道北之纬

　　度即知春分时刻在午正

　　前也如图甲为春分乙为

　　太阳丙为赤道乙丁为午

　　正太阳实髙丙丁为赤道

　　髙乙丙为太阳距赤道北

　　纬度用甲乙丙正弧三角

　　形此形有甲角大距度二

　　十三度二十九分三十秒

　　有丙直角有乙丙纬度一

　　分五十八秒四十防求甲

　　乙弧为太阳过春分之经

　　度法用甲角正三九八

　　六一五七与丙直角正

　　一千万之比同于乙丙弧

　　正五七五三与甲乙弧

　　正一四四三三之比得

　　甲乙弧四分五十七秒四

　　十三防用变时法以一日

　　之平行五十九分零八秒

　　二十防为一率【二分时太阳之实行

　　与平行相近故即用平行为一率若他节气须用本

　　日之实行为一率】二十四时化为

　　一千四百四十分为二率

　　甲乙弧四分五十七秒四

　　十三防为三率得四率一

　　百二十分四十九秒一十

　　二防以每时六十分収之

　　得二时零四十九秒一十

　　二防为春分距午正前之

　　时即已初三刻一十四分

　　一十秒四十八防春分也

　　康熙五十五年丙申二月

　　二十七日戊子午正于畅

　　春园测得太阳髙四十九

　　度五十四分四十九秒五

　　十一防加地半径差一分

　　五十六秒一十七防得实

　　髙四十九度五十六分四

　　十六秒零八防与赤道髙

　　五十度零三十秒相减余

　　三分四十三秒五十二防

　　为太阳在赤道南之纬度

　　即知春分时刻在午正后

　　也依法用甲乙丙正弧三

　　角形求得乙甲弧九分二

　　十一秒三十九防为太阳

　　未到春分之经度变时得

　　三时四十七分五十五秒

　　四十八防为春分距午正

　　后之时即申初三刻二分

　　五十五秒四十八防春分

　　也乃总计两春分相距得

　　三百六十五日五时三刻

　　三分四十五秒即为岁实

　　本天髙卑为盈缩之原

　　太阳行天每岁一周万古不忒宜其每日平行而无有盈缩乃征之目下实测则春分至秋分行天半周而厯日多秋分至春分行天半周而厯日少其在本天所行之度原均而人居地上所见时日不同今即其不平行之数求其所以然之故则惟有本天髙卑之説能尽之本天髙卑之法有二一为不同心天一为本轮立名虽异而理则同故髙卑之距盈缩之度皆不谋而合焉

　　不同心天之法盖以天包

　　地外以地为心太阳本天

　　亦包乎地外而不以地为

　　心因其有两心之差而髙

　　卑判焉如图甲为地心乙

　　丙丁戊为黄道己为太阳

　　本天心庚辛壬癸为太阳

　　本天其癸庚辛大半周逺

　　于地为髙辛壬癸小半周

　　近于地为卑戊为春分丙

　　为秋分乙为夏至丁为冬

　　至自春分厯夏至以至秋

　　分太阳自癸厯庚以至辛

　　行本天之大半周故厯日

　　多而自地心甲立算其自

　　戊厯乙以至丙止行黄道

　　之半周故为行缩自秋分

　　厯冬至以至春分太阳自

　　辛厯壬以至癸行本天之

　　小半周故厯日少而自地

　　心甲立算其自丙厯丁以

　　至戊亦行黄道之半周故

　　为行盈夫日在本天原自

　　平行因自地心甲立算而

　　不以太阳本天心已立算

　　遂有髙卑盈缩之异故髙

　　卑为盈缩之原而两心之

　　差又髙卑之所由生也

　　本轮之法盖以本天与地

　　同心而本天之周又有一

　　本轮本轮心循本天周向

　　东而行日在本轮之周向

　　西而行两行之度相等【轮心

　　东行太阳西行二者亦有防差然积至周岁才差一

　　分虽谓相等可也】太阳在本轮之

　　下半周去地近为卑则顺

　　轮心行故见其速于平行

　　在本轮之上半周去地逺

　　为髙则背轮心行故见其

　　迟于平行在本轮之左右

　　去地不逺不近为髙卑适

　　中故名中距其行与平行

　　等如图甲为地心即本天

　　心乙丙丁戊为本天其本

　　轮循本天东行由丁向戊

　　而乙而丙而复于丁为平

　　行度【即经度】太阳循本轮西

　　行由下而左而上而右而

　　复于下【本轮以近地心为下逺地心为上】为自行度【名引数】如本轮心

　　在丁则太阳在本轮之下

　　如辛去地心甲最近是为

　　最卑本轮心在乙则太阳

　　在本轮之上如己去地心

　　甲最逺是为最髙最髙最

　　卑之防皆对本轮心与地

　　心成一直线其平行实行

　　同度故为盈缩起算之端

　　如本轮心由丁向戊太阳

　　由本轮下向左顺轮心行

　　能益东行之度故较平行

　　度为盈至半象限后所益

　　渐少迨轮心行一象限至

　　戊太阳亦行轮周一象限

　　至壬即无所益而复于平

　　行是为中距然而积盈之

　　多正在中距盖平行至戊

　　而太阳在壬从地心甲立

　　算则太阳当本天之子子

　　戊弧以本轮之半径为正

　　切为盈差之极大也从中

　　距而后太阳行本轮之上

　　半周背轮心行故实行渐

　　缩然因有积盈之度方以

　　次渐消其实行仍在平行

　　前迨行满一象限至最髙

　　为极缩而积盈之度始消

　　尽无余其实行与平行乃

　　合为一线故自最卑至最

　　髙半周俱为盈厯也如本

　　轮心由乙向丙太阳由本

　　轮上向右背轮心行能损

　　东行之度故较平行度为

　　缩至半象限后所损渐少

　　迨轮心行一象限至丙太

　　阳亦行轮周一象限至庚

　　即无所损而复于平行是

　　为中距然而积缩之多亦

　　在中距盖平行至丙而太

　　阳在庚从地心甲立算则

　　太阳当本天之丑丑丙弧

　　亦以本轮之半径为正切

　　为缩差之极大也从中距

　　而后太阳行本轮之下半

　　周顺轮心行故实行渐盈

　　然因有积缩之度方以次

　　相补其实行仍在平行后

　　迨行满一象限至最卑为

　　极盈而积缩之度始补足

　　无缺其实行与平行乃合

　　为一线故自最髙至最卑

　　半周俱为缩厯也此本轮

　　之法于盈缩之理最为显

　　著然谓与不同心天之理

　　同何也试于本轮上己庚

　　辛壬诸防聨为一圜此圜

　　必不以甲为心而以癸为

　　心遂成不同心天之形其

　　癸甲两心之差即本轮之

　　半径故求得两心之差而

　　本轮之径自见明于本轮

　　之故而盈缩之理益彰然

　　则其理相通其用相辅并

　　存其説实可以参稽而互

　　证也

　　求两心差及最髙

　　新法厯书用春分秋分立夏三节气相距日时推得两心差为三五八四一六最髙在夏至后五度三十分然而未详何年月日永年表载康熙丁酉年最卑在冬至后七度四十三分四十九秒今以丁酉年实测节气时刻依法推算得两心差为三五八九七七最卑在冬至后八度三十八分二十五秒五十五防皆与原数不合葢今之春分秋分立夏皆不正当最髙最卑中距之度用两心差以推其时刻与实测不合则用实测之时刻以推两心差亦必与原数不合而最髙最卑所在亦必不合矣因思太阳在最髙最卑二防平行与实行合为一线本天与黄道皆平分为两半周太阳厯半周岁而适行半周天其度分即髙卑所在自最卑厯周岁四分之一至中距应行九十度其实行之过于九十度者即积盈之度自最髙厯周岁四分之一至中距亦应行九十度其实行之不及九十度者即积缩之度检其正切即两心差之数也今以丁酉年逐日实测日躔度分求得最髙过夏至最卑过冬至各七度四十四分三十六秒四十八防又自太阳过最髙之日分加周岁四分之一求其时刻之实行不及中距二度零三分零九秒四十防检其正切得三五八四一六皆与歴书所载相合是故用两心差之全数以推盈缩维中距与实测合最髙前后两象限则失之小最卑前后两象限则失之大所以又用均轮以消息其数方与实测相符今于其相合者得最髙及两心差所自来于其不相合者得本轮均轮所由设推算之法并述于左

　　用实测最髙最卑中距求

　　两心差及最髙所在如康

　　熙五十六年丁酉二至后

　　畅春园逐日测午正太阳

　　髙度求其经度用实行推

　　得五月二十一日甲戌辰

　　正一刻零四十秒四十五

　　防交未宫七度五月二十

　　二日乙亥已初一刻一十

　　四分五十七秒二十七防

　　交未宫八度十一月二十

　　七日丁丑子正一刻一十

　　二分五十七秒四十一防

　　交丑宫七度本日夜子初

　　三刻一十二分二十七秒

　　四十七防交丑宫八度夫

　　未宫七度至丑宫七度厯

　　一百八十二日一十六时

　　一十二分一十六秒五十

　　六防大于半周岁一时一

　　十七分五十四秒二十六

　　防而未宫八度至丑宫八

　　度厯一百八十二日一十

　　四时二十七分三十秒二

　　十防小于半周岁二十六

　　分五十二秒一十防乃以

　　此两数立法以求最髙所

　　在如图甲为地心即宗动

　　天心乙丙丁戊为黄道与

　　宗动天相应【同以甲为心也】乙为

　　夏至丙为秋分丁为冬至

　　戊为春分又设己防为心

　　作庚辛壬癸圈为不同心

　　天庚为最髙当黄道之子

　　壬为最卑当黄道之丑则

　　寅夘为其中距【距最髙子最卑丑各

　　九十度】过巳甲两心作庚丑

　　线则平分本天与黄道各

　　为两半周故厯半周岁一

　　百八十二日一十四时五

　　十四分二十二秒三十防

　　适行半周天一百八十度

　　若夫夏至乙则在最髙前

　　有加差时刻早冬至丁则

　　在最卑前有减差时刻迟

　　故夏至至冬至大于半周

　　岁而秋分丙在最髙后有

　　减差时刻迟春分戊在最

　　卑后有加差时刻早故秋

　　分至春分小于半周岁今

　　未宫七度至丑宫七度大

　　于半周岁未宫八度至丑

　　宫八度小于半周岁即知

　　未宫七度在最髙前如辰

　　未宫八度在最髙后如巳

　　丑宫七度在最卑前如午

　　丑宫八度在最卑后如未

　　今以大于半周岁之一时

　　一十七分五十四秒二十

　　六防与小于半周岁之二

　　十六分五十二秒一十防

　　相并得一时四十四分四

　　十六秒三十六防与辰巳

　　或午未一度之比同于大

　　于半周岁之一时一十七

　　分五十四秒二十六防与

　　辰子或午丑四十四分三

　　十六秒四十八防之比而

　　得辰子或午丑与乙辰或

　　丁午之七度相加得乙子

　　或丁丑七度四十四分三

　　十六秒四十八防即最髙

　　过夏至最卑过冬至之度

　　亦即中距过春秋分之度

　　也【丙寅弧夘戊弧皆与乙子弧相等】此所

　　得之数比永年表丁酉年

　　前冬至最卑度多四十七

　　秒比戊戌年前冬至最卑

　　度少一十五秒葢最髙每

　　岁行六十一秒今合最髙

　　最卑取数立算则其所得

　　为中距过秋分之度较之

　　丁酉年前冬至固应差四

　　分之三较之戊戌年前冬

　　至固应差四分之一是所

　　测与永年表合矣又用比

　　例法求得本年五月二十

　　二日乙亥寅初初刻一分

　　三十七秒四十五防过最

　　髙加周岁四分之一九十

　　一日七时二十七分一十

　　一秒一十五防得秋分后

　　丙午日巳正一刻一十三

　　分四十九秒过中距在黄

　　道应从最髙子行九十度

　　至寅为辰宫七度四十四

　　分三十六秒四十八防而

　　在本天则从最髙庚行九

　　十度至辛当黄道之申今

　　以实测求其经度在辰宫

　　五度四十一分二十七秒

　　零八防【即申防之度】不及中距

　　二度零三分零九秒四十

　　防即申寅弧当辛甲寅角

　　与甲辛巳角等检其正切

　　得三五八四一六为已甲

　　两心差【亦即本轮半径】与厯书所

　　载同

　　用实测春分秋分立夏求

　　两心差及最髙所在如康

　　熙五十六年丁酉畅春园

　　测得春分为二月初八日

　　癸巳亥初二刻六分四十

　　七秒立夏为三月二十四

　　日己夘亥正二刻一分三

　　十六秒秋分为八月十九

　　日庚子申初二刻四分零

　　三秒则春分距立夏得四

　　十六日三刻九分四十九

　　秒以毎日平行五十九分

　　零八秒二十防乘之得平

　　行度四十五度二十二分

　　三十八秒一十六防春分

　　距秋分得一百八十六日

　　七十一刻一十二分一十

　　六秒以每日平行五十九

　　分零八秒二十防乗之得

　　平行度一百八十四度零

　　四分零三秒五十八防如

　　图甲为地心乙丙丁戊为

　　黄道戊为春分己为夏至

　　丙为秋分庚为冬至辛为

　　立夏戊辛弧四十五度又

　　以壬防为心作子丑寅夘

　　圈为不同心天春分时太

　　阳在子实度在戊立夏时

　　太阳在癸实度在辛子癸

　　弧四十五度二十二分三

　　十八秒一十六防为平行

　　度秋分时太阳在寅实度

　　在丙子癸丑寅弧一百八

　　十四度零四分零三秒五

　　十八防为平行度于是过

　　壬甲两心作丑丁线则丑

　　为最髙当黄道之乙卯为

　　最卑当黄道之丁今命丑

　　壬半径为一千万求壬甲

　　两心差得丑壬半径之若

　　干分并求辛甲乙角为最

　　髙距立夏之度乃以子癸

　　丑寅弧一百八十四度零

　　四分零三秒五十八防与

　　全周相减余一百七十五

　　度五十五分五十六秒零

　　二防为寅辰卯子弧又甲

　　辰子三角形其子甲辛外

　　角为四十五度【当辛弧也】戊则

　　子甲辰角必一百三十五

　　度而辰角为癸子弧相对

　　界角必为癸子弧之一半

　　得二十二度四十一分一

　　十九秒零八防则子角必

　　为二十二度一十八分四

　　十秒五十二防倍之得四

　　十四度三十七分二十一

　　秒四十四防为寅辰弧【因与

　　子界角相当故】与寅辰夘子弧相

　　减余一百三十一度一十

　　八分三十四秒一十八防

　　为子卯辰弧检其通得

　　一八二二一五六二为子

　　辰边用三角形边角相求

　　法求得甲辰边九七八二

　　九九八又以癸子弧与子

　　卯辰弧相加得一百七十

　　六度四十一分一十二秒

　　三十四防为癸子卯辰弧

　　半之得八十八度二十分

　　三十六秒一十七防检其

　　余得二八九○八九即

　　壬巳其正得九九九五

　　八二○即辰巳内减甲辰

　　余二一二八二二即巳甲

　　乃用壬巳甲勾股形求得

　　壬甲三五八九七七为

　　两心差比厯书所载多一

　　千万分之五百六十一又

　　用边角相求法求得甲角

　　五十三度三十八分二十

　　五秒五十五防为最髙乙

　　距立夏辛之度内减立夏

　　距夏至四十五度得最髙

　　过夏至后八度三十八分

　　二十五秒五十五防比永

　　年表多五十四分三十六

　　秒五十五防葢目今春分

　　秋分立夏皆不正当最髙

　　最卑中距之度故太阳之

　　自最卑至中距自中距至

　　最髙其行度必有不同所

　　以用实测节气推两心差

　　及最髙所在皆不相合是

　　故歴家于本轮半径【即两心差】分设一均轮以消息四象

　　限之行分而后与实测相

　　符此均轮之法所由立也

　　最髙行及本轮均轮半径

　　太阳之行因去地有髙卑遂生盈缩故最髙最卑之防即极盈极缩之度而为起算之端但此髙卑之防不定在冬夏至而有行分且最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半歴家殚精推测因悟太阳本天之周有本轮而本轮之周又有均轮乃以两心差三十五万八千四百一十六四分之取其三分得二十六万八千八百一十二为本轮半径取其一分得八万九千六百零四为均轮半径而后髙卑之数盈缩之行始与实测相符焉然髙卑之所以有行分者何也葢縁本轮心之行防速于均轮心之行本轮心循本天东行已满一周而均轮心循本轮西转尚未满一周其本轮心与均轮心两行之差即最髙之行分也但其行分甚防积久始着康熙永年表戊午年测得最髙在夏至后七度零四分零四秒至丁酉年则最髙在夏至后

　　七度　　　　　　　　　　　　　　　　　【秒约毎年东行一分一秒一十防】四十三分四十九【即本轮心毎岁之行速于均轮心每岁之行一分一秒一十防也】

　　如图甲为地心即本天心

　　乙丙丁戊为本天本天之

　　周载本轮心本轮之周又

　　载均轮心本轮心循本天

　　东行由丁而戊而乙而丙

　　而复于丁为经度【每日平行五十

　　九分零八秒二十防】均轮心循本轮

　　西行由下而左而上而右

　　而复于下其行度防不及

　　于本轮名曰引数【每日行五十九

　　分零八秒零九防有余】太阳则循均

　　轮周东行由最近而最逺

　　【逺近皆以距本轮心言】而复于最近

　　其行倍于均轮心【均轮心行一度

　　太阳在轮周行二度】癸甲为两心差

　　本轮半径为癸甲四分之

　　三均轮半径为癸甲四分

　　之一最卑时本轮心在本

　　天之丁均轮心在本轮之

　　辛【本轮下点】太阳则在均轮之

　　辰【均轮近点】居两轮心之间从

　　地心甲计之成一直线故

　　无平行实行之差辰丁为

　　两心差之半辰甲为太阳

　　距地心之逺其卑于甲丁

　　本天半径者即辰丁两心

　　差之半也本轮心由丁行

　　九十度至戊为中距均轮

　　心由本轮之下防行九十

　　度至壬【本轮左防】太阳则由均

　　轮之近防行一百八十度

　　至已【均轮逺防】从地心甲立算

　　则太阳当本天之子子戊

　　弧为积盈之度【即子甲戊角】其

　　正切已戊为本轮与均轮

　　两半径相并之数与癸甲

　　两心差等最髙时本轮

　　心在本天之乙【由戊行九十度至乙】均

　　轮心在本轮之已【由本轮左防行

　　九十度至上防】太阳则在均轮之

　　寅【由均轮之逺防行一百八十度至近防】居

　　两轮心之间从地心甲计

　　之成一直线故亦无平行

　　实行之差【中距时所积之盈度至此消尽

　　而合于平行】寅乙为两心差之

　　半寅甲为太阳距地心之

　　逺其髙于乙甲本天半径

　　者即寅乙两心差之半也

　　本轮心由乙行九十度至

　　丙为中距均轮心由本轮

　　之上防行九十度至庚【本轮

　　右防】太阳则由均轮之近防

　　行一百八十度至夘【均轮逺防】从地心甲立算则太阳当

　　本天之丑丑丙弧为积缩

　　之度【即丑甲丙角】其正切夘丙

　　为本轮与均轮两半径相

　　并之数与癸甲两心差等

　　夫子戊弧与丑丙弧既皆

　　以两心差为正切故其度

　　等但子戊为积盈之度【在最

　　卑至最髙之半周故也】其平行戊在

　　后实行子在前故子戊弧

　　为加差以加于平行而得

　　实行也【由最卑至最髙之半周皆平行在后

　　实行在前故皆为加差也】丑丙弧为积

　　缩之度【在最髙至最卑之半周故也】其

　　平行丙在前实行丑在后

　　故丑丙弧为减差以减于

　　平行而得实行也【由最髙至最卑

　　之半周皆平行在前实行在后故皆为减差也】本

　　轮心复由丙行九十度至

　　丁则均轮心复至辛太阳

　　复至辰其积缩之度俱已

　　补足而平行实行复合为

　　一线矣然使两轮心之行

　　度皆等而无秒忽之不同

　　则最髙卑必常与冬夏至

　　同度【据今最髙所在而上溯之得元世祖至元

　　初年最髙卑正与冬夏至同度其前此则在至前也】因两轮心之行每年相差

　　一分余积久至今已差七

　　度四十余分而最髙即在

　　夏至后七度四十余分矣

　　如图未为冬至午为夏至

　　本轮心由冬至未行一百

　　七十九度余将至午而均

　　轮心才至本轮之申未至

　　上防七度有余【均轮行每年不及本

　　轮行一分余积之遂差七度余也】而太阳

　　必尚在均轮近防之东十

　　四度余然从地心甲计之

　　则太阳已当本天之午为

　　夏至矣迨均轮心行至上

　　防时本轮心复行七度余

　　至乙而两轮心始与地心

　　参直太阳亦至寅防在两

　　轮心之间其距地最逺是

　　为最髙而以日躔计之已

　　在夏至后七度余最卑之

　　在冬至后理亦如之故曰

　　两轮心行度之差即最髙

　　卑之行分也

　　求盈缩差

　　盈缩差即今所用之均数自最卑至最髙六宫为盈厯为加差自最髙至最卑六宫为缩厯为减差最卑前三宫与后三宫相当最髙前三宫亦与后三宫相当其差数皆相等故止求得最卑后六宫之差数而最髙后六宫之差数视此但加减不同耳【如最卑前三十度与最卑后三十度其差数必等但在最卑前者为减差在最卑后者为加差也】授时厯最大之盈缩差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分今推得最大之差为二度零三分一十一秒【即二度零百分度之五分三一】

　　如图甲为地心即本天心乙丙为本天之一弧今命乙甲半径为一千万丁戊已为本轮则丁乙半径为二十六万八

　　千八百一十二丁为上防已为下防【距地心近为下防距地心逺为上防】庚辛壬为均轮而庚己半径为八万九千六百零四庚为最近壬为最逺【逺近皆以距本轮心言】假如本轮心乙在本天之最卑则均轮心在本轮之下防已而太阳在均轮之近防庚是为初宫初度从地心甲计之太阳在两轮心之间成一直线无平行实行之差无均

　　数也如本轮心乙在本天之最髙则均轮心在本轮之上防丁而太阳在均轮之近防庚是为六宫初度从地心甲计之太阳亦在两轮心之间成一直线无平行实行之差亦无均数也

　　如本轮心乙距最卑后一象限为三宫初度则均轮心从本轮下防已行一象限至癸而太阳则从均轮近防庚行半

　　周至逺防壬从地心甲计之太阳当本天之子乙子弧为实行盈于平行之度乃用乙甲壬直角三角形乙为直角乙壬为两轮半径相并之数三十五万八千四百一十六乙甲为本天半径一千万则乙子弧即甲角之度而乙壬为其正切检表得二度零三分零九秒四十

　　防为甲角即乙子弧乃太阳中距时之均数是为加差以加于平行而得实行【实行者太阳实在之行度】若本轮心乙距最卑前一象限为九宫初度则均轮心从本轮下防已行三象限至丑而太阳从均轮近防庚行一周复自庚行半周至逺防壬从地心甲计之太阳当本天之寅寅乙

　　弧与乙子弧等亦为太阳中距时之均数但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也

　　如本轮心乙距最卑后三十度为一宫初度则均轮心从本轮下防已行三十度至夘而太阳则从均轮近防庚行六十度至辰从地心甲计之太阳当本天

　　之巳乙巳弧为实行盈于平行之度乃先用乙午庚直角三角形此形有午直角有乙角三十度【即己夘弧】则庚角必六十度有乙庚边一七九二○八【即乙夘半径之三分之二】求得午庚边八九六○四乙午邉一五五一九九乃置乙甲本天半径一千万减去乙午一五五一九九得午甲九

　　八四四八○一又倍午庚得午辰一七九二○八【庚辰壬三角形与乙午庚三角形之边角俱相等盖庚为交角辰角立于圜界之一半为直角与午角等则壬角必与乙角等是三角俱等也庚壬为均轮全径与乙庚等则辰庚必与午庚等故倍午庚即得午辰也】于是用午甲辰直角三角形求得甲角一度零二分三十四秒一十八防即乙巳弧是为加差以加于平行而得实行

　　若本轮心乙在最卑前三十度是为十一宫初度则均轮心从本轮下防已行三百三十度至未而太阳则从均轮近防庚行一周复行三百度至申从地心甲计之太阳当本天之酉酉乙弧与乙巳弧等但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也用此法

　　求得最卑后一象限之加差即得最卑前一象限之减差

　　如本轮心乙距最髙前四十度为四宫二十度则均轮心从本轮下防已行一百四十度至戌而太阳则从均轮近防庚行二百八十度至亥从地心甲计之太阳当本天之子乙子弧为实行盈于

　　平行之度乃先用乙丑庚直角三角形此行形丑直角有乙角四十度【即丁戌弧】则庚角必五十度有乙庚边一七九二○八【即乙戌半径之三分之二】求得丑庚边一一五一九三丑乙边一三七二八一乃置乙甲本天半径一千万加丑乙一三七二八一得丑甲一○一三七二八一又倍丑

　　庚得丑亥二三○三八六于是用丑甲亥直角三角形求得甲角一度一十八分零六秒五十三防即乙子弧是为加差以加于平行而得实行若本轮心乙距最髙后四十度是为七宫一十度则均轮心从本轮下防已行二百二十度至寅而太阳则从均轮近防庚行一周

　　复行八十度至夘从地心甲计之太阳当本天之辰辰乙弧与乙子弧等但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也用此法求得最髙前一象限之加差即得最髙后一象限之减差

　　时差【原名日差】

　　时差者平时与用时相较之时分也推歩所得者为平时测量所得者为用时【用时即视时也】二者常不相合其故有二一因太阳之实行而时刻为之进退盖以髙卑为加减之限也一因赤道之升度而时刻为之消长盖以分至为加减之限也新法厯书合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分则宫度引数必不能相同若合立一表岁久即不可用今仍分作二表加减两次庶于法为宻也

　　如图甲为地心乙为本轮

　　心冬至后本轮心平行一

　　百一十八度余至乙太阳

　　从本轮最卑自行一百一

　　十一度余至丙从地心甲

　　作实行线至丙割黄道于

　　丁丁乙弧即平行实行之

　　差设推得某日申正太阳

　　平行乙未到酉宫尚一度

　　余因行盈厯实行大于平

　　行故平行乙虽未至酉宫

　　而实行丁巳交酉宫若以

　　平行乙所临之时刻为交

　　宫之时刻则为申正太阳

　　入酉宫是为平时然平行

　　乙虽临于申正而太阳丙

　　实在其东一度余【即丁乙弧】故

　　必以此一度余变时约得

　　五分为时差以减申正得

　　申初三刻十分大阳入酉

　　宫是为用时也又如夏至

　　后本轮心平行六十一度

　　余至乙太阳从本轮最髙

　　自行五十四度余至丙从

　　地心甲作实行线至丙割

　　黄道于丁丁乙弧为平行

　　实行之差设推得某日辰

　　正太阳平行乙巳入巳宫

　　一度余因行缩厯实行小

　　于平行故平行乙虽入巳

　　宫一度余而实行丁方交

　　巳宫初度若以平行乙所

　　临之时刻为交宫之时刻

　　则为辰正太阳入巳宫是

　　为平时然平行乙虽临于

　　辰正而太阳丙实在其西

　　一度余故必以此一度余

　　变时约得五分为时差以

　　加辰正得辰正初刻五分

　　太阳入巳宫是为用时也

　　准此论之凡最卑后半周

　　实行皆大于平行则用时

　　在平时东其时差宜减最

　　髙后半周实行皆小于平

　　行则用时在平时西其时

　　差宜加此以最髙卑为时

　　差加减之限黄道上事也

　　然时刻以赤道为主黄道

　　上之用时犹非赤道上之

　　用时何也黄道与赤道斜

　　交二分之后黄道如赤

　　道如股【从赤极出线至赤道成直角勾股形】故黄道一度赤道一度不

　　足赤道度少则时刻増矣

　　【右旋度少则左旋度多故时刻増】二至之

　　后黄道以腰围大圈之度

　　当赤道距等小圈之度故

　　黄道一度赤道一度有余

　　赤道度多则时刻减矣【右旋

　　度多则左旋度少故时刻减】如图甲为

　　北极乙戊丙为赤道乙丁

　　丙为黄道乙为春分丙为

　　秋分丁为夏至春分后太

　　阳实行四十五度至已赤

　　道上与已相等之度为庚

　　庚距乙亦四十五度与已

　　相当之度为辛辛庚弧为

　　赤道少于黄道之度得二

　　度二十九分是为升度差

　　如推得太阳本日实行距

　　春分四十五度而即以四

　　十五度之防当某位为某

　　时者是以赤道之庚防命

　　时也【如庚防当午位即为午时】而实度

　　之辛防实在其西故必以

　　辛庚升度差变时为时差

　　以加于平时得用时【如庚防当

　　午正末即午正末为平时以时差加之得辛防在未

　　初为用时秋分后与春分后同】又如夏至

　　后太阳实行四十五度至

　　已赤道上与已相等之度

　　为庚庚距戊为四十五度

　　与巳相当之度为辛庚辛

　　弧为赤道多于黄道之度

　　得二度二十九分是为升

　　度差如推得太阳本日实

　　行距夏至四十五度而即

　　以四十五度之防当某位

　　为某时者是以赤道之庚

　　防命时也【如庚防当午位即为午时】而

　　实度之辛防实在其东故

　　必以庚辛升度差变时为

　　时差以减于平时得用时

　　【如庚防当午初即午初为平时以时差减之得辛防

　　在已正为用时冬至后与夏至后同】准此论

　　之凡分后两象限用时皆

　　在平时西其时差宜加至

　　后两象限用时皆在平时

　　东其时差宜减此以分至

　　为时差加减之限赤道上

　　事也是二者一以髙卑为

　　加减之限一以分至为加

　　减之限若以太阳实行宫

　　度求得赤道同升度与平

　　行宫度相减余度变时为

　　时差逐度立表以加减平

　　时而得用时是合两次加

　　减为一次加减然而宫度

　　引数又因逐年最髙卑有

　　行分不能相同合立一表

　　虑岁久不可用故仍分作

　　二表一以太阳均数变时

　　用引数查之一以升度差

　　变时用实行查之依法加

　　减两次庶平时与用时相

　　较之分可得其眞数也

　　曚影刻分

　　曚影者古所谓晨昏分也太阳未出之先已入之后距地平一十八度皆有光故以一十八度为曚影限然北极出地有髙下太阳距赤道有南北故曚影刻分随时随地不同其随时不同者二分之刻分少二至之刻分多也随地不同者愈北则刻分愈多愈南则刻分愈少也若夫北极出地五十度则夏至之夜半犹有光愈髙则渐不夜矣南至赤道下则二分之刻分极少而二至之刻分相等赤道以南反是

　　如图甲为天顶乙丙为地

　　平丁戊为地平下一十八

　　度曚影限【乙丁及丙戊皆一十八度】已

　　为北极庚为南极辛壬为

　　赤道癸子为夏至距等圈

　　丑寅为冬至距等圈二分

　　时日行辛壬赤道出入于

　　卯交曚影限于辰则日在

　　卯辰弧地平上皆有光故

　　以卯辰为曚引之刻分也

　　若冬至时日行丑寅距等

　　圈出入于已交曚厯限于

　　午则日在巳午弧地平上

　　皆有光故以巳午为曚影

　　之刻分而巳午与赤道相

　　当之弧为未申其度多于

　　卯辰故冬至之刻分多于

　　二分也夏至时日行癸子

　　距等圈出入于酉交曚影

　　限于戌则日在酉戌弧地

　　平上皆有光故以酉戌为

　　曚影之刻分而酉戌与赤

　　道相当之弧为亥干其度

　　更多于未申故夏至之刻

　　分不惟多于二分而更多

　　于冬至也夫冬至相当之

　　未申弧度多于二分相当

　　之卯辰弧度其故易知若

　　夏至相当之亥干弧度多

　　于冬至相当之未申弧度

　　其故则难知葢未申亥干

　　二分皆系与赤道相当之

　　正非弧度也正之数

　　近圜心则疎疎则所当之

　　度少近圜周则宻宻则所

　　当之度多试于赤道上之

　　未申亥干四防各作垂线

　　引至圜周其割圜周之防

　　为坎艮震巽而坎艮弧为

　　未申弧相当之度【未卯为坎己弧

　　之正卯申为已艮弧之正以未卯与卯申相加

　　成未申以坎已与巳艮相加成坎艮故坎艮弧为未

　　申相当之度】震巽弧为亥干弧

　　相当之度【卯干为巳巽弧之正夘亥为

　　巳震弧之正以卯干与卯亥相减余亥干以已巽

　　与已震相减余震巽故震巽弧为亥干相当之度】以震巽弧与坎艮弧相较

　　则度之多少自见矣如求

　　二分之曚影刻分则用甲

　　巳辰斜弧三角形求巳角

　　为赤道之辛夘辰弧此形

　　有甲巳边五十度零五分

　　为北极距天顶之度【以京师北

　　极出地三十九度五十五分立法】有已辰

　　边九十度有甲辰边一百

　　零八度用三边求角法求

　　得巳角一百一十三度四

　　十五分三十六秒即辛卯

　　辰弧变时得六时六刻五

　　分【每度变时之四分】内减去半昼

　　分辛夘六时【即日出夘至午正辛或午

　　正辛至日入卯之时刻也】余卯辰六刻

　　五分为二分时之曚影刻

　　分也如求冬至之曚影刻

　　分则用甲巳午斜弧三角

　　形求巳角为赤道之辛未

　　申弧此形有甲巳边五十

　　度零五分为北极距天顶

　　之度有巳午边一百一十

　　三度二十九分三十秒【巳申

　　象限九十度加申午距纬二十三度二十九分三十

　　秒】有甲午边一百零八度

　　用三边求角法求得已角

　　九十四度二十分零六秒

　　即辛未申弧变时得六时

　　一刻二分内减去半昼分

　　辛未四时二刻五分【即日出巳

　　至午正丑或午正丑至日入巳之时刻也】余未

　　申六刻一十二分为冬至

　　时之曚影刻分也如求夏

　　至之曚影刻分则用甲巳

　　戌斜弧三角形求巳角为

　　赤道之辛亥干弧此形有

　　甲巳边五十度零五分为

　　北极距天顶之度有巳戌

　　边六十六度三十分三十

　　秒【已乾象限九十度内减去戌干距纬二十三度

　　二十九分三十秒】有甲戌弧一百

　　零八度用三边求角法求

　　得巳角一百四十三度二

　　十三分零五秒即辛亥干

　　弧变时得九时二刻五分

　　内减去半昼分辛亥七时

　　一刻一十分【即日出酉至午正癸或午

　　正癸至日入酉之时刻也】余亥干八刻

　　九分为夏至时之曚影刻

　　分也其余各节气皆仿

　　此推之

　　昼夜永短

　　昼夜由于日之出入因人所居有南北故见日之出入早晚随时各异而昼夜之永短生焉中土居赤道之北赤道斜倚于天顶之南南极入地北极出地故惟春秋分见日出入于卯酉而昼夜平分若秋分以后则出入于卯酉之南随天左旋之度地平上者少地平下者多故昼短夜永春分以后则出入于卯酉之北随天左旋之度地平上者多地平下者少故昼永夜短所居之地愈北则永短之差愈多【广州府北极出地二十三度一十分夏昼冬夜各五十三刻一十一分夏夜冬昼各四十二刻零四分其较一十一刻零七分京师北极出地三十九度五十五分夏昼冬夜各五十九刻零五分夏夜冬昼各三十六刻一十分其较二十二刻一十分北极愈髙其较愈多】及至北极之下则赤道当地平夏则有昼而无夜冬则有夜而无昼葢以半年为昼半年为夜矣所居之地愈南则永短之差渐少以至于赤道之下则两极当地平而昼夜常均并无永短盖一岁中为四时者各二矣【以日当天顶为夏日去天顶逺为冬赤道既当天顶而太阳一岁必两躔赤道是两夏也一躔天顶南二十三度余一躔天顶北二十三度余是两冬也春秋亦如之】

　　昼夜永短以南北而异若

　　东西虽相去千万里苟南

　　北极之髙度同则昼夜之

　　永短亦同故谓之南北里

　　差亦名地平纬差其推歩

　　之法以本地北极出地髙

　　度为主求得各节气日出

　　入时刻即得昼夜时刻也

　　如图甲乙丙为子午防甲

　　丙为地平丁为北极丁丙

　　三十九度五十五分为京

　　师北极之髙戊为卯正酉

　　正之位巳戊庚为赤道春

　　秋分太阳正当赤道日出

　　于戊为卯正中于巳为午

　　正复入于戊为酉正地平

　　上戊巳之度与地平下戊

　　庚之度等故昼夜平分各

　　四十八刻辛为夏至辛壬

　　癸为赤道距等圈【古名昼长规】即夏至太阳随天西转一

　　周之轨壬当卯正酉正之

　　位子为冬至子丑寅为赤

　　道距等圈【古名昼短规】即冬至

　　太阳随天西转一周之轨

　　丑当卯正酉正之位夏至

　　日出于辰在卯正前壬辰

　　为日出距卯正之弧与赤

　　道之戊巳度等中于辛为

　　午正复入于辰在酉正后

　　地平上辰辛之度多于地

　　平下辰癸之度故昼永夜

　　短冬至日出于未在卯正

　　后未丑为日出距卯正之

　　弧与赤道之申戊度等亦

　　即与夏至日出距卯正之

　　戊己度等中于子为午正

　　复入于未在酉正前地平

　　上未子之度少于地平下

　　未寅之度故昼短夜永冬

　　至时地平上未子之度与

　　夏至时地平下辰癸之度

　　等冬至时地平下未寅之

　　度与夏至时地平上辰辛

　　之度等故冬之夜同于夏

　　之昼冬之昼同于夏之夜

　　也今求戊巳之度以丁戊

　　半径一千万与丁丙北极

　　髙三十九度五十五分之

　　正切丁戌八三六六二四

　　二之比即同于辰巳距纬

　　弧二十三度二十九分三

　　十秒之正切巳亥四三四

　　六三九五与戊巳弧之正

　　三六三六二九九之比

　　【浑圆从外视之则弧与正俱合为一线】得戊

　　巳二十一度一十九分二

　　十四秒【戌丁戊三角形与亥巳戊三角形为

　　同式形其巳角与丁角同为直角戌角与戊角为平

　　行线上交错之角必等故相当之边皆可为比例】变时得五刻一十分在夏

　　至时为卯前酉后分以减

　　卯正得日出寅正二刻五

　　分以加酉正得日入戌初

　　一刻一十分复倍卯前分

　　得一十一刻五分与四十

　　八刻相加得五十九刻五

　　分为昼刻与四十八刻相

　　减得三十六刻一十分为

　　夜刻也在冬至时为卯后

　　酉前分以加卯正得日出

　　辰初一刻一十分以减酉

　　正得日入申正二刻五分

　　复倍卯后分得一十一刻

　　五分与四十八刻相减得

　　三十六刻一十分为昼刻

　　与四十八刻相加得五十

　　九刻五分为夜刻也其余

　　节气各用其距纬之正切

　　为比例即得日出入距卯

　　酉之弧但自春分至秋分

　　半岁日出皆在卯前日入

　　皆在酉后其变时加减并

　　与夏至同自秋分至春分

　　半岁日出皆在卯后日入

　　皆在酉前其变时加减并

　　与冬至同各省各国并依

　　此法推之

　　节气时刻

　　古厯节气之日时有二其一取周岁之日【三百六十五日有竒】二十四分之得一十五日有余为节为气其日相等以之颁厯授时置闰成岁【置闰之法以无中气者为闰月】名为恒气言其各节气之日皆一定而不易且岁岁有常也其一取周天之度【古三百六十五度四分度之一】二十四分之得一十五度有余为节为气其度相等以歩躔离推朓朒名为定气言以日躔之度为定而不问日时之多寡也【因日行有盈缩故各节气度数虽等而日时不等】今颁厯亦用定气【以日躔右旋一十五度为一气】故冬至至小寒止一十四日有余夏至至小暑则一十六日不足且每年不同葢有加减可推务求宻合于天行也然一岁之中同一节气而京师各省时刻不同者此则东西之里差亦名地平经差而非天行之故盖地体浑圎与天相应而人居地面各以所见日中为午正今以京师为主在京师东者见日出入皆早其日中必在京师午正之前在京师西者见日出入皆迟其日中必在京师午正之后故东方节气迟者非日躔之缩乃其见日早也西方节气早者非日躔之盈乃其见日迟也其时刻之差视偏度之多寡每偏一度得时之四分偏东者加偏西者减要以京师西之节气时刻加减之即得各省之节气时刻

　　御制厯象考成上编卷四

<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成>

　　钦定四库全书

　　御制歴象考成上编卷五

　　月离歴理

　　太隂各种行度

　　太隂平行度

　　太隂本轮迟疾四限

　　三月食推本轮半径及最髙

　　晦朔朢

　　太隂四轮总论

　　求初均数

　　求二三均数

　　两月食定交周

　　黄白大距度及交均

　　视差

　　隐见迟疾

　　太隂各种行度

　　太隂行度共有九种而随天西转之行不与焉一曰平行葢太隂之本天带一本轮本轮心循本天自西而东每日平行一十三度有竒二十七日有余而行天一周即白道经度也二曰自行葢本轮心循白道行自西而东【即平行经度】太隂复依本轮周行自东而西每日亦行一十三度有竒防不及本轮心行而与本轮心之行顺逆参错人目视之遂生迟疾故名自行以别之授时厯名为转周满一周为转终其所生之迟疾差名为初均数也三曰均轮行西人第谷言用一本轮以齐太隂之行往往与实测未合因将本轮半径三分之存其二分为均轮半径用其一分为均轮半径均轮循本轮用行自东而西【即自行转周度】太隂复依均轮周行自西而东每日行二十六度有竒为轮心行之倍度【均轮心行一度月行均轮周二度也】其所生之迟疾差即今所用之初均数也四曰次轮行葢用本轮均轮推得迟疾之最大差为四度有竒于朔朢时测之其数恰合而于上下时测之则不合其大差至七度有竒故厯家又于均轮之周复设一轮循均轮周行命为次轮次轮心自西而东太隂复依次轮周亦自西而东每日行二十四度有竒为本轮心距太阳行之倍度【本轮心距太阳行一度月行次轮周二度也】名为倍离倍离所生之迟疾差名为次均数也五曰次均轮行葢有初均次均以步朔朢以定两则既合矣而于两前后测之又多不合故新法厯书复有二三均数表之加减也细考其表中所列诚皆实测之数但总合二三均数加减之而为一表耳爰思次轮之上必更有一轮以消息乎次均之数今命之曰次均轮其心循次轮周自西而东行倍离之度而太隂则循此轮之周自东而西亦行倍离之度用其所生之差以加减次均数即与太隂两前后所行恰合也六曰交行葢太隂行白道出入于黄道之内外大距五度有竒其自黄道南过黄道北之防名曰正交【即如春分自赤道南过赤道北】自黄道北过黄道南之防名曰中交【即如秋分自赤道北过赤道南】每交之终不能复依原次而不及一度有余逐日计之退行三分有余命为两交左旋之度【自东而西也】亦名罗计行度也【正交曰罗防中交曰计都】七曰最髙行最髙者本轮之上半最逺地心之处而最髙行者平行与自行相较之分也均轮心从最高左旋防不及于平行每日六分有竒即命为最髙左旋之度亦名月孛行度也八曰距日行于每日平行度内减去太阳之行为每日太隂距太阳行二十九日有竒而复与日防是为朔防九曰距交行以每日平行度与每日交行相加得每日太隂距交度二十七日有竒而行交一周名为交周也要之太隂之去地甚近其行最着诸小轮之设虽无象可见而实有数可稽葢借以推步度数期与实测相符而已至于大象寥廓其或然或不然则非智计之所能及也

　　太隂平行度

　　测太隂平行之法须用两月食计其前后相距若干日时及月行天若干周用其度分为实中积日时为法除之即得每日平行之率葢月之视差甚大惟月食为月入闇虚无地心地面之殊又食甚时正与太阳冲故将太阳之经度加半周即太隂之经度其得数为真也然所用两月食亦须详审葢闇虚与月体有小大之分而行度有迟疾之异必须择各率均齐之两月食方可用也其择之之法第一取两食时之太阳距地等斯闇虚之大小相等【太阳距地逺则影粗而长太阳距地近则影细而短详交食】第二取两食时之太隂距地等斯月体之大小等而入影之粗细亦等【闇虚为尖圆体近地粗渐逺地渐细以至于无故太隂距地近则当闇虚之粗处太隂距地逺则当闇虚之细处详交食】第三取两食时之自行度等斯入转之迟疾等而过影之时刻必等考之史志所书月食并无时刻分秒及躔离度数即西人交食考亦不载月转迟疾无凭取用今依新法厯书载西人依巴谷法定为三百四十五平年【平年者三百六十五日无余分】又八十二日四刻【每日九十六刻】或一十二万六千零七日四刻为两月食各率齐同之距于时防朢转终皆复其始计其中积凡为防朢者四千二百六十七为转终者四千五百七十三置中积一十二万六千零七日四刻为实会朢数四千二百六十七为法除之得防朢策【即朔防】二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒【即二十九日零十分日之五分三○五九三授时厯同】乃以周天三百六十度为实防朢策二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒为法除之得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十六纎二十二忽三十四芒【即一十二度零十分度之一分九○七四七四○五五八授时厯作一十二度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分约之得一十二度一十一分二十七秋二十七微】为每日太隂平行距太阳之度加太阳每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒得一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十三芒【即一十三度零十分度之一分七六三九四七七一三八授时厯作一十三度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分约之得一十三度一十分三十五秒二十四防】为每日太隂平行经度【即白道经度】又置中积一十二万六千零七日四刻为实以转终数四千五百七十三为法除之得二十七日五十三刻零三分三十四秒四十防三十纤四十三忽一十二芒【即二十七日零十分日之五分五四五六八授时厯作二十七日五五四六】为转终分乃以天周三百六十度为实以转终分二十七日五十三刻零三分三十四杪四十微三十纤四十三忽一十二芒为法除之得一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纤一十九忽一十六芒【即一十三度零百分度之六分四九八四三六一二一】为每日太隂自行度又以每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纤一十四忽一十三芒与每日自行度一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纤一十九忽一十六芒相减余六分四十一秒零四微三十八纤五十四忽五十七芒【即十分度之一分一一四一○四一○一七】为每日月孛之平行既得以上各种行度每日之平行递加之得十日百日之平行递析之得每时每分之平行以立表【毎日二十四时每时六十分】

　　太隂本轮迟疾四限

　　太隂之轮有四而本轮乃

　　迟疾四限之所由生其余

　　皆所以消息迟疾之数故

　　本轮为步月离之主如图

　　甲为地心即本天心乙丙

　　丁戊为白道即太阴之本

　　天己庚辛壬为本轮其心

　　循白道右旋每日行一十

　　三度一十分百奇自乙而

　　丙而丁而戊而复至乙是

　　为平行径度太隂循本轮

　　左旋每日行一十三度零

　　三分有奇自己而庚而辛

　　而壬而复至己是为自行

　　度【一名转周一名引数】太隂在本轮

　　之己为最高【即月孛】在本轮

　　之辛为最卑最髙最卑之

　　防皆对本轮心与地心成

　　一直线故平行实行同度

　　为迟疾起算之端如太隂

　　由己向庚为迟初限以其

　　背轮心行能损右旋之度

　　故较平行度为迟至半象

　　限后所损渐少迨行满一

　　象限至庚则无所损然而

　　积迟之多正在于庚葢平

　　行在乙而太隂在庚从地

　　心甲计之太阴当本天之

　　癸癸乙弧以本轮半径庚

　　乙为正切为迟差之极大

　　也从庚向辛为迟末限太

　　隂行本轮之下半周顺轮

　　心行其实行渐疾然因有

　　积迟之度方以次相补其

　　实行仍在平行后迨行满

　　一象限至辛为极疾而积

　　迟之度始补足无缺实行

　　与平行乃合为一线故自

　　最髙至最卑半周为迟厯

　　也如太隂由辛向壬为疾

　　初限以其顺轮心行能益

　　右旋之度故较平行度为

　　疾至半象限后所益渐少

　　迨行满一象限至壬则无

　　所益然而积疾之多正在

　　于壬盖平行在乙而太隂

　　在壬从地心甲计之太隂

　　当本天之子子乙弧以本

　　轮半径壬乙为正切为疾

　　差之极大也从壬向己为

　　疾末限太隂行本轮之上

　　半周背轮心行其实行渐

　　迟然因有积疾之度方以

　　次相消其实行仍在平行

　　前迨行满一象限至己为

　　极迟而积疾之度始消尽

　　无余实行与平行复合为

　　一线故自最卑至最髙半

　　周为疾厯也

　　三月食推本轮半径及最髙

　　太隂初均数生于本轮半径本轮半径不定则实行不可得而定新法厯书载西人多録某用汉阳嘉永和间三次月食推得本轮半径为本天半径十万分之八千七百零六月过最髙三百一十四度一十七分【阳嘉二年三月朢】西人歌白泥用明正徳嘉靖间三次月食推得本轮半径为本天半径十万分之八千六百零四月过最髙一百八十三度五十一分【正徳六年九月朢】迨后西人第谷定本轮半径为本天半径十万分之八千七百月离表定崇祯戊辰年天正冬至次日子正月过最髙二百零五度三十二分一十六秒交日表定崇祯戊辰年首朔【即年前十二月朔】月过最髙三十七度三十四分三十四秒其年首朔距天正冬至次日子正一十四日一十六时二十六分四十六秒以交日表所定首朔月过最髙之度推其年天正冬至次日子正月过最髙之度应得二百零五度四十二分四十九秒比月离表所定多一十分三十三秒又察其正交行度两表差至二十余分今以交食表推步月食其时刻之早晚食分之浅深俱与天行颇合故月过最髙之度宜以交食表为凖但用目下三月食推本轮半径或微大或微小皆不能合八千七百之数葢用本轮以推实朢惟自行当三宫九宫初度之一防方合而目下所测月食其自行皆不正当三宫九宫初度之数用本轮半径以推实朢既与实测不合则用实测之实朢以推本轮半径亦必与原数不合因假设三月食以明其法如左

　　设如第一食日躔鹑首宫七度三十五分四十七秒五十三微月离星纪宫七度三十五分四十七秒五十三微月行迟末限之初在本轮右半周之中如甲第二食日躔夀星宫初度月离降娄宫初度月行迟初限将半在本轮右半周之上如乙第三食日躔星纪宫二度五十四分零二秒四十九微月离鹑首宫二度五十四分零二秒四十九微月行疾末限之初在本轮左半周之中如丙

　　第一食距第二食一千一

　　百八十日二十二时一十

　　四分零四秒实行相距八

　　十二度二十四分一十二

　　秒零七微【即星纪宫丁防距降娄宫戊防

　　之度于第二次月离度内减去第一次月离度即得】平行相距八十度二十一

　　分一十秒【即星纪宫已防距降娄宫庚防

　　之度以每日平行与距日相乘减去全周即得】平

　　行小于实行二度零三分

　　零二秒零七微自行相距

　　三百零八度四十七分零

　　七秒二十七微【以每日自行与距日

　　相乘减去全周即得】第二食距第三

　　食一千九百一十八日二

　　十三时零五分五十七秒

　　实行相距九十二度五十

　　四分零二秒四十九微【即降

　　娄宫戊防距鹑首宫辛防之度】平行相距

　　八十五度零二十五秒【即降

　　娄宫庚防距实沈宫壬防之度】平行小于

　　实行七度五十三分三十

　　七秒四十九微自行相距

　　二百三十一度一十二分

　　五十二秒三十三微乃以

　　三月食自行相距度列于

　　一本轮之上立法算之

　　如图癸为地心即本天心丁戊己辛为本天之一弧己为本轮心从丁向戊右旋为平行度月体从本轮最高子向乙左旋为自行度第一食月在甲本天平

　　行度在己实行度在丁从甲行三百零八度四十七分零七秒二十七微至乙即第一食距第二食之自行度第二食月在乙本天平行度在己实行度在戊丁戊弧二度零三分零二秒零七微即第一食距第二食平行实行之差从乙行二百三十一度一十二分五十二秒

　　三十三微至丙即第二食距第三食之自行度第三食月在丙本天平行度在己实行度在辛戊辛弧七度五十三分三十七秒四十九微即第二食距第三食平行实行之差乙癸线割本轮于丑从丑防作丑甲丑丙二线又作甲丙线即成丑丙癸丑甲癸丑甲丙三三角形

　　乃用此三三角形求本天半径与本轮半径之比例先用丑丙癸三角形求丑丙边此形有丑角一百一十五度三十六分二十六秒一十六微【以乙丑丙弧二百三十一度一十二分五十二秒三十三防折半即得葢乙子丙弧为丑界角之倍度折半得丑外角与半周相减得丑内角以乙丑丙弧折半得数亦同故乙丑丙弧亦即丑角之倍度】有癸角七度五十三分三十

　　七秒四十九微【即戊辛弧之度】即有丙角五十六度二十九分五十五秒五十五微设丑癸边为一○○○○○○○求得丑丙边一六四六九八六次用丑甲癸三角形求丑甲边此形有丑角一百五十四度二十三分三十三秒四十三微【以甲丑丙乙弧三百零八度四十七分零七秒二十七防折半即得葢乙甲弧为丑】

　　【界角之倍度折半得丑外角与半周相减得丑内角以甲丑丙乙弧折半得数亦同故甲丑丙乙弧亦即丑角之倍度】有癸角二度零三分零二秒零七微【即丁戊弧之度】即有甲角二十三度三十三分二十四秒一十微设丑癸边为一○○○○○○○求得丑甲边八九五三一六末用丑甲丙三角形求丙角此形有丑角九十度【以癸丑丙角与】

　　【癸丑甲角相加得二百七十度与三百六十度相减即得】有丑丙边一六四六九八六有丑甲边八九五三一六求得丙角二十八度三十一分四十四秒倍之得五十七度零三分二十八秒为甲丑弧以甲丑弧与乙甲弧五十一度一十二分五十二秒三十三微相加得一百零八度一十六分二十秒

　　三十三微为乙丑弧于是以本轮半径命为一○○○○○○○各用八线表求其通则乙丑弧之通为一六二○八二三六丑丙弧之通为一七五七一五三○乃用比例法变先设之丑癸边为同比例数以先得之丑丙边一六四六九八六与先设之丑癸边一○

　　○○○○○○之比即同于今所察之丑丙通一七五七一五三○与今所求之丑癸边之比而得丑癸边一○六六八九○○六又以乙丑通一六二○八二三六折半得八一○四一一八为寅丑与丑癸一○六六八九○○六相加得一一四七九三一二四为寅癸

　　又以乙丑弧一百零八度一十六分二十秒三十三微折半得五十四度零八分一十秒一十六微其余五八五八六○六为寅巳成巳寅癸勾股形乃用勾股求法求得巳癸一一四九四二五二七为本天半径即得本天半径与本轮半径之比例为一一四九四二

　　五二七与一○○○○○○○若设本天半径为一○○○○○○○则得本轮半径为八七○○○○

　　求大阴距最髙之度则用巳寅癸直角三角形求得巳角八十七度零四分四十二秒三十微即卯辰弧加乙卯弧五十四度零八分一十秒一十六微得一百四十一度一十二分五十二秒四十

　　六微与半周相减余三十八度四十七分零七秒一十四微为子乙弧即第二次月食月距最髙之度也

　　晦朔朢

　　太隂之晦朔朢虽无闗于自行之迟疾而自行之迟疾实由于朔朢两而得知其二十七日有奇而一周者太阴之自行也其二十九日半强而与太阳相防者朔策也其间犹有朢与上下两之分焉葢太隂之体赖太阳而生光其向太阳之面恒明背太阳之面恒晦而其行则甚速于太阳当其与太阳相会之时人在地上正见其背故谓之朔朔后渐逺太阳人可渐见其面其光渐长至距朔七日有奇其距太阳九十度人可见其半面太阳在后太隂在前其光向西其魄向东故名上上以后距太阳愈逺其光渐满至一百八十度正与太阳相朢人居其间正见其面故谓之朢自朢以后又渐近太阳人不能正见其面其光渐亏其魄渐生至距朢七日有奇其距太阳亦九十度则又止见其半面太阳在前太隂在后其光向东其魄向西故名下下以后距太阳愈近其光渐消至复与太阳相会其光全晦复为朔矣

　　如图甲为地面乙为太阳

　　丙丁戊己皆为太隂如太

　　隂在丙与太阳正会为朔

　　其光向乙从甲视之止见

　　其背故全晦也离太阳而

　　前距九十度至丁为上

　　从甲视之见其半面故半

　　明半晦也至距太阳一百

　　八十度至戊正与太阳相

　　朢从甲视之正见其面故

　　全明也及离太阳而后距

　　九十度至己为下从甲

　　视之又止见其半面故亦

　　半明半晦也及至于丙而

　　与太阳复防则又全晦而

　　为朔矣

　　太隂四轮总论

　　太隂行度用四轮推之而四轮之法皆系实测而得非意设也西人第谷以前步月离惟用本轮次轮葢因朔朢之行有迟疾故知其有本轮而两之行不同于朔朢故知其有次轮其法次轮与本轮两周相切太隂行于次轮之上朔朢时太隂正当两周相切之防故云朔朢时太隂循本轮周行而两时太隂则从两周相切之防行次轮半周距本轮心最逺故次轮全径为两时大于朔朢时平行实行之极大差第谷遵其法用之因不能密合太隂之行故于本轮上复加一均轮且因两前后之行又不同于两故又加一次均轮葢用本轮推朔朢时平行实行之极大差为本轮半径得四度五十八分有余而徴之实测惟自行三宫九宫初度之一防为合在最髙前后两象限则失之小在最卑前后两象限则失之大故第谷将本轮半径三分之存其二分为本轮半径取其一分为均轮半径用求平行实行之差为初均数乃密合于天至于两时平行实行之极大差七度二十五分有余虽为新本轮半径并均轮半径仍加次轮全径之数然即旧本轮半径与次轮全径相并之数也其次均轮行于次轮即如初均轮之行于本轮但所行之度不同耳【初均轮行为引数之度次均轮行为倍离之度】第谷以次轮设于地心又设不同心之天其心循次轮周行而本轮心则循不同心天行初均轮则循本轮周行夫用不同心天与用小轮理本相通但两法合讲殊觉纷纭不如専用一法观之为便至于两前后有二三均数之加减而不言其由次均轮而生今并悉其根源増一负均轮圈移初均轮心使行于此则次轮心即行于初均轮而次均轮心亦得行于次轮葢负均轮圏半径乃新本轮半径加一次轮半径之分朔朢时太隂在次轮之最近防又在次均轮之下防而次均轮心又必常在次轮周故朔朢时止用初均轮不用次轮及次均轮也两时太隂在次轮之最逺防又在次均轮之上防而次均轮心亦必在次轮之最逺防故两时止用次轮不用次均轮也至于朔朢前后及两前后太隂在次轮之逺近二防之间又在次均轮之上下二防之间而次均轮心亦不在次轮之逺近二防故有次轮与次均轮之相差而或加或减也要之本轮者推本天之髙卑均轮者所以消息本轮之行度次轮者定朔朢两之逺近次均轮者又所以分别朔朢两前后之加减故本轮行度合初均轮之倍引而生初均数分髙卑左右而为朔朢之加减差也次轮行度合次均轮之倍离而生二三均数分逺近上下而为两及两前后之加减差也是故非騐诸实测无以知四轮之妙而明于四轮之用则于太隂迟疾之故思过半矣

　　西人第谷以前所用本轮次轮法如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为本轮戊为最髙庚为最卑辛为次轮心辛壬为负次轮之圈己为次轮最近癸为次轮最逺如次轮周

　　在本轮最髙后六十度相切于己朔朢时太隂在己从地心甲作己甲实行线割本天于子子丙弧为平行实行之差

　　故用丙甲己三角形求得甲角即子丙弧为本轮所生初均数也上下时太隂则从次轮之巳防厯丑至癸从地心甲作癸甲实行线割本天于寅寅丙弧

　　为平行实行之差故用丙甲癸三角形求得甲角即寅丙弧为本轮所生初均及次轮所生次均之共数也【子丙弧为初均寅子弧为次均】第谷用此法求得均数征之实测在最髙前后两象限其数失之小在最卑前后两象限其数失之大故将本轮半径三分之存其二分为本轮半径取

　　其一分为均轮半径将次轮设于地心又设不同心之天其心循次轮周行而本轮心则循不同心天行均轮心循本轮周行如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为旧本轮辛壬癸为新本轮辛丙半径为戊丙半径三分之二戊子丑为均轮戊辛半径为

　　戊丙半径三分之一本轮心循本天右旋均轮心循本轮左旋甲寅卯辰为次轮本天心循甲寅卯辰右旋半月一周朔朢时本天心与地心同在甲两时本天心在卯离地心极逺总之朔朢以外本天心俱离甲防本天皆为不同心之天矣

　　又第谷添设初均轮新法所推均数与本轮旧法所生均数最大之差有九分五十余秒在最高前后两象限为大最卑前后两象限为小如旧法太隂距最髙戊后六十度在已则丙甲巳角为初均数若新法则均轮心距最髙辛后六十度在壬太隂则距均轮之近防丑行

　　一百二十度至子而丙甲子角为初均数比旧法初均数丙甲巳角大一已甲子角其在最髙前之均数亦如之又如旧法太隂距最卑庚后六十度在已则丙甲已角为初均数若新法则均轮心距最卑癸后六十度在壬太隂则距均

　　轮之近防丑行一百二十度至子而丙甲子角为初均数比旧法初均数丙甲已角小一子甲已角其在最卑前之均

　　数亦如之然第谷所増均轮法极有理而所设不同心天与小轮合用则不便于观今将次轮置于均轮之周其心循均轮周右旋又将次轮半径与新本轮半径相加为半径作负均轮之圈均轮心则循负均轮圈左旋又増一次均轮以明二三均数之根用此法求各均数皆与第谷之法无异

　　依第谷所添初均轮并新増次均轮合本轮次轮共为一图如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为旧本轮辛壬癸为新本轮巳子丑为原均轮寅卯为新増负均轮之圈其半

　　径为次轮半径与新本轮半径相加之数乃移均轮心于负均轮圈卯作辰巳午均轮与巳子丑原均轮等辰为逺防午为近防用均轮心行负均轮圈寅卯弧之倍度【即本轮周辛壬弧之倍度】从均轮近点午数至巳以巳为心作未申子次轮其未子全径与均轮辰午全径平行未为逺

　　防子为近防又以次轮周近防子为心作酉戌亥次均轮酉为上防戌为下防如均轮心循负均轮圈从最髙寅厯卯左旋则次轮心循均轮周从最近午厯巳右旋行均轮心距最髙之倍度次均轮心又循次轮周从最近子厯申右旋行太隂距太阳之倍度太阴则循次均

　　轮周从最下戌厯亥左旋亦行距太阳之倍度朔朢时太隂必在次均轮之最下戌次均轮心必在次轮周之最近子【即次轮周与巳子丑原均轮周相切之防】从地心甲作子甲实行线即成丙甲子三角形其甲角为初均数葢朔朢时太隂虽在次均轮之周然必在下防而次均轮心又必在次

　　轮周与均轮周相切之防故求朔朢时之初均数止用均轮不用次轮也【太隂在次均轮之戌防虽在子防之下然俱在实行线上其经度无异也】两时次均轮心从次轮周之最近子行至最逺未太阴从次均轮周之最下戌行至最上酉从地心甲作酉甲实行线成子甲未三角形其甲角为二均数葢两

　　时太隂必在次均轮周之上防而次均轮心又必在次轮周之逺防故两时止用次轮求二均数不用次均轮也【太隂在次均轮周之酉点虽高于未点然俱在实行线上其经度无异也】如在朔朢之后两之前次均轮心从次轮周之最近子行至申太隂从次均轮周之最下戌行至亥从地心甲至次均轮

　　之最上酉作酉甲过心线复从地心甲至次均轮之太隂所在亥作亥甲实行线则成子甲申与亥甲申两三角形其子甲申角为二均数亥甲申角为三均数两角相减余子甲亥角为二三均数也如在朔朢之前两之后次均轮心从次轮周之最近子厯最逺未行至申

　　太隂从次均轮周之最下戌厯最上酉行至亥从地心甲至次均轮之最上酉作酉甲过心线复从地心甲至次均轮之太隂所在亥作亥甲实行线则成子甲申与申甲亥两三角形其子甲申角为二均数申甲亥角为三均数两角相加得子甲亥角为二三均数也求初均

　　数及二三均数法俱见后

　　求初均数

　　太隂之行因迟疾而生加减差朔望用之者名为初均数自最髙至最卑六宫为迟厯为减差自最卑至最髙六宫为疾厯为加差葢因最髙前三宫与后三宫相当最卑前三宫与后三宫相当其差数皆相等故求得最髙后六宫之差数而最卑后六宫之差数视此但加减不同耳【如最髙前三十度与最髙后三十度其差数必等但在最髙前者为加差最髙后者为减差也】授时厯名为迟疾差其最大者为五度四二九三四四以周天三百六十度每度六十分约之得五度二十一分零五秒朔朢两同用今求得最大之差四度五十八分二十七秒【即四度零十分度之九分七四二】惟朔朢为然名之初均数者所以别于朔朢以外之二三均数也

　　如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚为本轮戊丙半径为五十八万戊为最

　　髙庚为最卑辛壬癸为均轮辛戊半径为二十九万辛为最逺【去本轮心逺也】癸为最近【去本轮心近也】本轮心循本天右旋自乙而丙而丁每日行一十三度一十分三十五秒即白道经度均轮心循本轮左旋自戊而已而庚每日行一十三度零三

　　分五十四秒即自行引数太隂则循均轮右旋自癸而壬而辛每日行二十六度零七分四十八秒为倍引数也如均轮心在本轮之最髙戊为初宫初度则太隂在均轮之最近癸从地心甲计之成一直线无平行实行之差故自

　　行初宫初度无均数也

　　如均轮心从本轮最髙戊向己行一百八十度至最卑庚为六宫初度则太隂

　　从均轮最近癸厯壬辛行一周复至癸从地心甲计之亦成一直线无平行实行之差故自行六宫初度亦无均数也如均轮心从本轮最髙戊行三十度至子为一宫初度则太隂从均轮最近癸行六十度至丑【丑癸弧为戊子弧之倍度】从地心甲

　　计之太隂当本天之寅寅丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二边此形有卯直角有丙角三十度则癸角必六十度有癸丙本轮半径之半二十九万【于子丙半径五十八万内减去子癸半径二十九万即得】求得癸卯边一十四万五千卯丙边二十五万一千一百四十七以卯丙边与丙甲半径一千万相加

　　得一千零二十五万一千一百四十七为卯甲边以癸卯边三因之得四十三万五千为丑卯边【辛丑癸三角形与丙卯癸三角形为同式形葢癸为交角丑角立于圜界之一半为直角与卯角等则辛角必与丙角等是三角俱等也辛癸为均轮全径为癸丙之二倍则丑癸亦必为癸卯之二倍故三因癸卯即得丑卯也】于是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度二十五分四十七秒即寅丙弧为太隂自行一宫初度之初

　　均数是为减差以减于平行而得实行也【凡求得初均角即求得丑甲边为太隂距地心数存之为后求二均之用余仿此】若均轮心从最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰为十一宫初度则太隂从均轮最近癸行一周复自最近癸厯辛行三百度至己【癸巳弧为戊辰弧之倍度】从地心甲计之太隂当本天之午午丙弧与寅丙弧等故自行十一宫初度之初均

　　数与一宫初度等但为实行过于平行之数是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最髙后三宫之减差【初宫初度至二宫末度】即得最髙前三宫之加差【九宫初度至十一宫末度】

　　如均轮心从本轮最髙戊行九十二度至未为三宫二度则太隂从均轮最近

　　癸歴辛行一百八十四度至申从地心甲计之太隂当本天之酉酉丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二边此形有戌直角有丙角八十八度则癸角必二度癸丙边为二十九万求得癸戌边二十八万九千八百二十三丙戌边一万零一百

　　二十一以丙戌边与丙甲边相减余九百九十八万九千八百七十九为戌甲边以癸戌边三因之得八十六万九千四百六十九为申戌边于是用甲申戌直角三角形求得甲角四度五十八分二十七秒即酉丙弧为太隂自行三宫

　　二度之初均数是为极大之减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯庚行二百六十八度至亥为八宫二十八度则太隂从均轮最近癸行一周复自癸厯壬行一百七十六度至子从地心甲计之太隂当本天之丑丑丙

　　弧与酉丙弧等故自行八宫二十八度之初均数与三宫二度等但为实行过于平行之数是为极大之加差以加于平行而得实行也用此法求得最卑前三宫之减差【三宫初度至五宫末度】即得最卑后三宫之加差【六宫初度至八宫末度】

　　求二三均数

　　太隂之加减差朔朢以外用者名为二均三均数其二均数之生于次轮全径与三均数之生于次均轮半径亦犹初均数之生于本轮及均轮半径也故欲求二均三均之数必先定次轮及次均轮之径而欲定次轮及次均轮之径又须先测二均及三均之数也厯家于上下当自行三宫或九宫时累测之【惟此时太隂距本轮心甚逺平行视行之差极大】其极大之均数得七度二十五分四十六秒查其切线得一百三十万四千内减去本轮均轮两半径之共数八十七万余四十三万四千半之得二十一万七千即次轮之半径也于两及朔朢之间【约太隂距太阳四十五度时】当自行三宫或九宫时累测之其均数常与推算不合差至四十一分零二秒是即次均轮所生之三均数也依法求其半径得一十一万七千五百既定次轮与次均轮之半径乃逐度求其二均三均之数复用三均数以加减乎二均数是为二三均数用以推步月离乃与测验脗合矣

　　如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲为本天半径戊丙己为本轮全径戊为最髙己为最卑庚丙辛为负均轮圈全径【省曰负圈】庚为最髙辛为最卑壬庚癸为均轮全径壬为最逺癸

　　为最近子癸丑为次轮全径子为最逺丑为最近寅丑卯为次均轮全径寅为最上卯为最下本轮心从本天冬至度右旋【本天上与黄道冬至相对之度也】为经度均轮心从负圈最髙左旋【即同本轮最髙】为引数【即自行度】次轮心从均轮最近右旋为倍引数次均轮心从次轮最近右旋行倍离之度【即太隂距太阳之倍度】太隂从次均轮最下左旋

　　亦行倍离之度如均轮心在负圈最髙庚为自行初宫初度则次轮心在均轮之最近癸又当朔朢时则次均轮心在次轮之最近丑太隂在次均轮之最下卯从地心甲计之同在一直线即平行实行合而为一故无均数之加减也如均轮心在负圈最卑辛为自行六宫初度则次轮心在均轮之最近癸又当

　　朔朢时则次均轮心在次轮之最近丑太隂在次均轮之最下卯从地心甲计之亦同在一直线即平行实行合而为一故亦无均数之加减也

　　如均轮心从最髙庚行九十度至辰为自行三宫初度次轮心则从均轮最近癸行一百八十度至最逺壬朔朢时次均轮心常在次轮周之最近丑太隂常

　　在次均轮周之最下卯从地心甲计之仍见太隂在丑【太隂虽在丑点之下因在一直线故视之如在一处也】其实行不及平行之度为丙甲丑

　　角四度五十八分二十秒即初均数其切线丑丙八十七万即本轮均轮两半径之共数也两时次均轮心常在次轮周之最逺子太隂常在次均轮周之

　　最上寅从地心甲计之仍见太隂在子【太隂虽在子点之上因在一直线故视之如在一处也】其实行不及平行之度为丙甲子角七度二十五分四十五秒内减初均数丙甲丑角四度五十八分二十秒余二度二十七分二十五秒即丑甲子角命为二均数丙甲子角之切线子丙得一百三十万四

　　千内减丑丙本轮均轮两半径八十七万余丑子线四十三万四千是为次轮之全径也此初均数为减差二均数亦为减差葢朔朢之实行丑点在平行丙点之后【本轮心丙循本天右旋故以左为前右为后凡言前后者皆仿此】而两时之实行子点仍在丑点之后故于平行内减去初均数丙甲丑角

　　即得朔朢时之实行复减去二均数丑甲子角始得两时之实行也若均轮心从最髙行二百七十度至辰为自行九宫初度次轮心则从均轮最近癸行一周复行一百八十度至最逺壬而当两之时则初均数丙甲丑角与二均

　　数丑甲子角皆与三宫初度之数相等但实行俱在平行之前故俱为加差以

　　加于平行而得实行也

　　如均轮心从最髙庚行九十度至辰为自行三宫初度次轮心从均轮之最近癸行一百八十度至最逺壬时当朔与

　　上之间或朢与下之间次均轮心从次轮最近丑行九十度至巳太隂则从次均轮最下卯行九十度至午其丙甲丑角四度五十八分二十秒为初均数丑甲边一千零三万七千七百七十四为次轮最近点距地心之数【求丑甲边法见前求初均数篇】乃用丑甲己三角形求二均数

　　此形有丑甲边一千零三万七千七百七十四有丑己边三十万六千八百八十四【即次轮九十度之通以半径一千万为一率九十度之通一千四百一十四万二千一百三十六为二率次轮半径二十一万七千为三率求得四率三十万六千八百八十四即次轮九十度之通】有丑角四十九度五十八分二十秒【丙甲丑直角形以丙直角与甲角相加得九十四度五十八分二十秒为壬丑甲角内减去壬丑己角四】

　　【十五度余四十九度五十八分二十秒为巳丑甲角】求得丑甲巳角一度二十二分零五秒与初均数丙甲丑角四度五十八分二十秒相加得丙甲巳角六度二十分二十五秒为实行不及平行之度然太隂不在巳而在午于时测得实行不及平行之度为五度三十九分二十三秒相差四十一分

　　零二秒即丙甲巳角大于丙甲午角之午甲巳角命为三均数乃用午甲巳直角三角形求次均轮之半径此形有巳

　　甲边九百八十四万二千六百二十二【用丑巳甲三角形求之而得】有己直角有甲角四十一分零二秒求得己午边一十一万七千五百是为次均轮之半径也此初均

　　数为减差二均数亦为减差而三均数转为加差故于二均数内减去三均数余四十一分零三秒即丑甲午角为二三均数仍为减差【凡二均与三均加减异者相减为二三均数仍从大数如二均大于三均则从二均三均大于二均则从三均】葢次轮之最近丑点在平行丙点之后次均轮心巳点又在最近丑点之后而太隂

　　午点却在次均轮心巳点之前故以二均与三均相减余丑甲午角为二三均数于平行内减去初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲午角始得本时之实行也若均轮心从最髙庚行二百七十度至辰为自行九宫初度次轮心从

　　均轮最近癸行一周复行一百八十度至最逺壬而当上与朢之间或下与朔之间则初均数丙甲丑角及二三均数丑甲午角皆与三宫初度之数相等但实行俱在平行之前故俱为加差

　　以加于平行而得实行也

　　如均轮心从最髙庚行一百二十度至未为自行四宫初宫次轮心从均轮最近癸行二百四十度至申此时若太隂距太阳一百一十度为上后一日余则次均轮心从次轮最近丑行二百二

　　十度至酉太隂亦从次均轮最下卯行二百二十度至戌其丙甲丑角四度二十二分一十九秒为初均数丑甲边九百八十八万三千七百六十为次轮最近点距地心之数乃用丑甲酉三角形求二均数此形有丑甲边九百八十八万三千七百六十有丑酉边四十万七

　　千八百二十七【次轮丑酉弧一百四十度之通】有丑角八十四度二十二分一十九秒【丙甲亥三角形以甲丙两角相并与亥外角等丑申子次轮全径原与癸未壬均轮全径平行则申丑亥角与丑亥丙角为平行线内两尖交错之角其度必等故以丙甲亥角四度二十二分一十九秒与甲丙亥角六十度相加得六十四度二十二分一十九秒即为申丑亥角又酉丑子为界角对酉子弧四十度则酉丑子角必二十度与申丑亥角相加得八十四度二十二分一十九秒即为酉丑甲】

　　【角】求得丑甲酉角二度二十一分四十秒为二均数又求得酉甲边九百八十五万一千五百九十五复用酉甲戌三角形求三均数此形有酉甲边九百八十五万一千五百九十五有酉戌边一十一万七千五百【次均轮半径】有酉角一百四十度【即次均轮戌卯弧】求得酉甲戌角二十

　　六分零七秒为三均数也此二均三均并为减差故以二均与三均相加得二度四十七分四十七秒为二三均数仍为减差【凡二均与三均加减同者相加为二三均数余仿此】葢次轮之最近丑点与次均轮心酉点俱在平行丙点之后而太隂戌点又在次均轮心酉点之后故以二均与三均相加

　　得丑甲戌角为二三均数于平行内减去初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲戌角始得本时之实行也若均轮心从最髙庚行二百四十度至未为自行八宫初度次轮心从均轮最近癸行一周复行一百二十度至申而太隂距

　　太阳七十度为上前一日余则次均轮心从次轮最近丑行一百四十度至

　　酉太隂亦从次均轮最下卯行一百四十度至戌其初均数丙甲丑角及二三均数丑甲戌角皆与四宫初度之数相

　　等但实行俱在平行之前故俱为加差以加于平行而得实行也

　　如均轮心合朔时在本轮之辰距最卑辛十五度余则次轮心在均轮之己距均轮最近癸三十一度余次均轮心则

　　在次轮最近丑太隂在次均轮最下卯迨朔后一日余本轮心从本天合朔后行十六度至丙则均轮心亦从本轮辰行十五度余至最卑辛为自行六宫初度次轮心亦从均轮己行三十一度余

　　至最近癸次均轮心从次轮最近丑行三十二度至午太隂亦从次均轮最下卯行三十二度至未则无初均数乃用癸甲午三角形求二均数此形有癸甲边九百四十九万三千【于丙甲半径一千万内减去负圈半径丙辛七十九万七千余辛甲九百二十万三千最加均轮半径癸辛二】

　　【十九万即得】有癸午边二十一万七千有癸角一百四十八度求得癸甲午角四十分五十一秒为二均数又求得午甲边九百六十七万七千五百零七复用午

　　甲未三角形求三均数此形有午甲边九百六十七万七千五百零七有午未边一十一万七千五百有午角三十二度求得午甲未角二十二分二十一秒

　　为三均数也此二均三均并为加差以二均与三均相加得一度零三分一十二秒为二三均数仍为加差葢次轮之最近丑点与平行内点在一直线上平行即实行故无初均数而次均轮心午点在平行丙点之前太隂未点又在午点之前故以二均与三均相加得丙甲未角为二三均数以加于平行即得本

　　时之实行也若均轮心在最卑辛而太隂距太阳三百四十四度为朔前一日余则二三均数丙甲未角与朔后一日余之数相等但实行在平行后故为减差以减于平行而得实行也

　　如均轮心过最卑辛行五十度至午为自行七宫二十度则次轮心从均轮最近癸行一百度至未而太阴距太阳一

　　百三十五度为朢前三日余则次均轮心从次轮最近丑行二百七十度至申太隂亦从次均轮最下卯行二百七十度至酉其丙甲丑角三度五十三分零六秒为初均数丑甲边九百八十三万六千一百九十五为次轮最近点距地心之数乃用丑甲申三角形求二均数

　　此形有丑甲边九百八十三万六千一百九十五有丑申边三十万六千八百八十四【次轮丑申弧九十度之通】有丑角八度五十三分零六秒【丙甲戌三角形以丙甲两角相并与戌外角等丑未子次轮全径原与癸午壬均轮全径平行则丙戌丑角与戌丑未角为平行线内两尖交错之角其度必等故以丙甲戌角三度五十三分零六秒与甲丙戌角五十度相加得五十三度五十三分零六秒为戌丑未角内减去未丑】

　　【申角四十五度余八度五十三分零六秒为申丑甲角也】求得丑甲申角一十七分零六秒为二均数又求得申甲边九百五十二万八千九百二十复用申甲酉三角形求三均数此形有申甲边九百五十二万八千九百二十有申酉边一十一万七千五百有申角九十度求得申甲酉角四十二分二

　　十三秒为三均数也此初均数为加差二均数亦为加差而三均数转为减差故于三均数内减去二均数余二十五

　　分一十七秒为二三均数转为减差【三均大于二均故从三均】葢次轮之最近丑点与次均轮心申点俱在平行丙点之前而太隂酉点却在次轮最近丑点之后故以二

　　均与三均相减余丑甲酉角为二三均数于平行外加初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲酉角始得本时之实行也若均轮心未至最卑辛五十度在午为自行四宫十度而太隂距太阳二百二十五度为朢后三日余其初均数丙甲丑角及二三均数丑甲酉角皆与

　　七宫二十度之数相等但初均数为减差二三均数为加差以初均数减于平行复以二三均数加之而得实行也如均轮心从最卑辛行一百二十度至辰为自行十宫初度则次轮心从均轮最近癸行二百四十度至己而太隂距太阳三百二十度为下后四日则次

　　均轮心从次轮最近丑行一周复行二百八十度至午太隂亦从次均轮最下卯行一周复行二百八十度至未其丙甲丑角四度一十四分五十一秒为初均数丑甲边一千零一十七万二千九百四十一为次轮最近点距地心之数乃用丑甲午三角形求二均数此形有

　　丑甲边一千零一十七万二千九百四十一有丑午边二十七万八千九百七十【次轮丑午弧八十度之通】有丑角七十四度一十四分五十一秒【丙申甲三角形以丙甲两角相并与申外角等丑巳子次轮全径原与癸辰壬均轮全径平行则己丑甲角与壬申丑角为平行线之内外角其度必等故以申丙甲角一百二十度与丙甲申角四度一十四分五十一秒相加得一百二十四度一十四分五十一秒即为己丑甲】

　　【角内减去己丑午角五十度余七十四度一十四分五十一秒为午丑甲角也】求得丑甲午角一度三十一分二十三秒为二均数又求得午甲边一千零一十万一千六百一十七复用午甲未三角形求三均数此形有午甲边一千零一十万一千六百一十七有午未边一十一万七千五百有午角八十度求得

　　午甲未角三十九分二十七秒为三均数也此初均数二均数俱为加差而三均数为减差故于二均数内减去三均

　　数余五十一分五十六秒为二三均数仍为加差葢次轮之最近丑点与次均轮心午点俱在平行丙点之前而太隂未点却在次均轮心午点之后故以二

　　均与三均相减余丑甲未角为二三均数于平行外加初均数丙甲丑角复加二三均数丑甲未角即得本时之实行也若均轮心在最髙庚后六十度为自行二宫初度而太隂距太阳二百二十度为下前四日其初均数丙甲丑角

　　及二三均数丑甲未角加与十宫初度之数相等但实行在平行之后故俱为减差以减于平行而得实行也

　　两月食定交周

　　白道与黄道斜交月行天一周必两次过交而交无定处每一交之中退天一度有余故每日太隂距交行度常多于每日平行经度其较即为每日交行度测法亦择用两月食其两食必须太阳之距最髙等太隂之自行度等食分等食在阳厯或在隂厯亦等【黄道南为阳厯黄道北为隂厯】乃可推月行若干交周而复于故处西人依巴谷用前法推得四百四十一平年又二百一十二日九十四刻零五分一十三秒为朔策五千四百五十八交周五千九百二十三因定太隂每日距交得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十纎一十四忽一十三芒【即一十三度零十分度之二分二九三五○三二六九三】与每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纤一十四忽一十三芒相减余三分一十秒三十八微二十四纤【即百分度之五分二九五五五五五五一授时厯作百分度之五分二三六以周天三百六十度约之得百分度之五分一六○七】为两交每日左旋之度也今择用两月食以明其法如左

　　第一食顺治十三年丙申十一月庚申朢子正后一十八时四十四分一十五秒月食一十五分四十七秒在阳厯日躔星纪宫一十度三十九分在最卑后三度四十九分于时月自行为三宫二十七度四十六分第二食康熙十三年甲寅十二月丙午朢子正后三时二十三分二十六秒月食一十五分五十秒在阳厯日躔星纪宫二十一度五十二分在最卑后一十四度二十一分于时月自行为三宫二十五度二十四分【两次月食太阳距最髙差一十度余然地景之大小无异月自行差二度半食分差三秒所差甚微俱可勿论】以上两次月食相距中积二百二十三月乃用朔策定数五千四百五十八为一率交终定数五千九百二十三为二率【此二数依巴谷所定】二百二十三月为三率得四率二百四十一又五千四百五十八分之五千四百五十一可收作二百四十二【差千分之一可以不论】为两次月食相距之交终数又以两次月食相距中积六千五百八十五日零八时三十九分一十秒与每日太隂平行经度相乗以交终数二百四十二除之得一百二十九万零八百一十二秒小余八七九五九八为每一交行度与周天一百二十九万六千秒相减余五千一百八十七秒小余一二○四○二为每一交退行度又以交终数除两次月食相距中积日分得二十七日二一二二三三为交周日分乃以交周日分除每一交退行度得三分一十秒三十七微为两交每日退行度与每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微相加得一十三度一十三分四十五秒三十八微为太隂每日距交行度比旧数止少一微今仍用旧数各以日数乘之得十日百日之行度以时分除之得每时每分之行度以立表

　　黄白大距度及交均

　　白道与黄道相距之纬曰大距度而交均者乃两交平行与自行之差是二者常相因也葢相距之度时少时多而自行之度有迟有疾故必测得距度极多极少之数而后交行之迟疾可推测大距之法推得月离黄道鹑首宫初度又在黄道北【月在黄道北则近天顶而地半径差最防可以勿论】而距交适足九十度时俟至子午线上测之得地平髙度乃于髙度内减去赤道髙及黄赤距纬度其余即为黄白大距度也厯家用此法测得朔朢时之大距为四度五十八分三十秒【即四度零十分度之九分七五】上下时之大距为五度一十七分三十秒【即五度零十分度之二分九一六授时厯无分朔朢两皆六度以周天三百六十度每度六十分约之得五度五十四分三十九秒】既得二数乃用弧三角形法推得逐日之大距及交均以立表

　　如图甲为黄极乙丙丁戊

　　为黄道用朔朢与上下

　　两距度相加折半得五度

　　零八分为黄白大距之中

　　数取中数为半径如己甲

　　作己庚辛壬圈为白极绕

　　黄极本轮又取两距度之

　　较数一十九分折半得九

　　分三十秒为半径如己癸

　　作癸子丑寅圈为负白极

　　均轮其心循己庚辛壬本

　　轮左旋【从己向庚】每日行三分

　　一十秒有余白极则循癸

　　子丑寅均轮左旋【从癸向子】行

　　倍离之度半月一周如癸

　　子丑寅均轮心在己朔朢

　　时白极在癸白道交黄道

　　于丙于戊其卯乙弧为大

　　距四度五十八分三十秒

　　与癸甲弧等上下时白

　　极在丑白道亦交黄道于

　　丙于戊其辰乙弧为大距

　　五度一十七分三十秒与

　　丑甲弧等如癸子丑寅均

　　轮心从本轮己行至庚朔

　　朢时白极在癸白道交黄

　　道于乙于丁其卯丙弧为

　　大距四度五十八分三十

　　秒与癸甲弧等上下时

　　白极在丑白道亦交黄道

　　于乙于丁其辰丙弧为大

　　距五度一十七分三十秒

　　与丑甲弧等惟朔朢与上

　　下时白极俱在丑甲线

　　上平行自行相合故无交

　　均数如白极从癸向子交

　　行渐迟至子距癸九十度

　　为朔与上之间或朢与

　　下之间其行极迟白道

　　交黄道于巳于午其未申

　　弧为大距与子甲弧等【子甲

　　为白极距黄极之弧故与未申大距弧等】于是

　　用子甲己正弧三角形求

　　子甲弧此形有己甲弧五

　　度零八分有己子弧九分

　　三十秒有己直角九十度

　　【当癸子弧】求得子甲弧五度零

　　八分零九秒与未申弧等

　　为黄白大距又求得甲角

　　一度四十六分零八秒为

　　交均即自行迟于平行极

　　大之差从子向丑则迟行

　　之度渐减至丑而合于平

　　行矣如白极从丑向寅交

　　行渐疾至寅距丑九十度

　　为上与朢之间或下

　　与朔之间其行极疾己甲

　　寅角亦一度四十六分零

　　八秒寅甲两极距弧亦与

　　子甲等从寅向癸则疾行

　　之度渐减至癸而又合于

　　平行矣要之从癸向子至

　　丑为前半周所求之诸甲

　　角俱为减差以减交之平

　　行而得交之实行从丑向

　　寅至癸为后半周诸甲角

　　之度皆以前半周等但俱

　　为加差以加交之平行而

　　得交之实行故用弧三角

　　形法以己庚辛壬圈之半

　　径五度零八分及癸子丑

　　寅圈之半径九分三十秒

　　为常用之两边以极距癸

　　点之逐度为角得弧三角

　　形一百八十求得各对角

　　之弧为两极大距【如子甲之类】近黄极之角为交均在前

　　半周为减差后半周为加

　　差而大距及交均之表全

　　矣至于有大距之数而求

　　逐度之小距度与日躔求

　　黄赤距纬之法同

　　视差

　　太隂之视差有四一为蒙气差能升卑为髙其理与数皆与太阳同一为髙下差【即地半径差】生于地之半径能变髙为下其理亦与太阳同而数则过之葢太阳本天半径与地半径之比例为千余分之一而太隂本天半径与地半径之此例为五六十分之一故其差角迥别不可同论也又有东西差【即经度差】南北差【即纬度差】皆由髙下差而生算交食用之详载交食本篇兹不具论

　　如图甲为地心乙为地面

　　甲乙为地半径乙丙为地

　　平丁戊己为太隂本天庚

　　辛壬癸为恒星天戊为太

　　隂人从地面乙测之对恒

　　星天于壬其视髙为壬乙

　　丙角若从地心甲计之则

　　见太隂于戊者对恒心天

　　于辛其真髙为辛甲癸角

　　此两髙之差为乙戊甲角

　　即髙下差然亦时时不同

　　者一因太隂距地平近则

　　差角大渐髙则渐小一因

　　太隂在本天最髙则差角

　　小在本天最卑则差角大

　　与日躔之理同今亦约为

　　最髙最卑中距三限于朢

　　时及两各以所测地面

　　上太隂之髙度求太隂距

　　地心之甲戊线【朢时测中距两时

　　测最髙及最卑葢月自行在中距朢时次均轮心在

　　次轮之最近月在次均轮之最下微小于本天若两

　　时则次均轮心在次轮之最逺已在本天之外月

　　又在次均轮之最上未免太过于本天故于朢时测

　　中距也又月自行在最髙两时月距地心比朢时

　　髙一次轮全径又髙一次均轮全径故于此时测最

　　髙月自行在最卑两时月距地心北朢时卑一次

　　轮全径又髙一次均轮全径犹在朢时月体之下故

　　于此时测最卑也】

　　如畅春园测得太隂髙六

　　十二度四十分五十一秒

　　四十三微同时于广东广

　　州府测得太隂高七十九

　　度四十七分二十六秒一

　　十二微【广东子午线在京师西三度三十三

　　分然髙下差甚微可勿论】于时月自行

　　三宫初度月距日一百八

　　十度【即朢时】以之立法甲为

　　地心乙为京师地面庚为

　　天顶子为广州府地面丑

　　为天顶戊为太隂寅为赤

　　道寅庚弧三十九度五十

　　九分三十秒为畅春园赤

　　道距天顶之度寅丑弧二

　　十三度一十分为广州府

　　赤道距天顶之度以两处

　　赤道距天顶度相减余一

　　十六度四十九分三十秒

　　为庚丑弧即庚甲丑角以

　　畅春园髙度与一象限相

　　减余二十七度一十九分

　　零八秒一十七微为庚乙

　　戊角以广州府髙度与一

　　象限相减余一十度一十

　　二分三十三秒四十八微

　　为丑子戊角先用乙甲子

　　三角形此形有甲角一十

　　六度四十九分三十秒又

　　有乙甲及子甲俱地半径

　　命为一千万乃以甲角折

　　半之正倍之得二九二

　　五九七七为乙子边又以

　　甲角与半周相减余数半

　　之得八十一度三十五分

　　一十五秒为乙角亦即子

　　角次用乙戊子三角形此

　　形有乙子边二九二五九

　　七七有戊乙子角七十一

　　度零五分三十六秒四十

　　三微【以庚乙戊角与子乙甲角相加得一百零

　　八度五十四分二十三秒一十七微以减半周即得】有戊子乙角一百零八度

　　三十七分一十八秒四十

　　八微【于半周内减去乙子甲角八十一度三十

　　五分一十五秒加入戊子丑角一十度一十二分三

　　十三秒四十八微即得】即有乙戊子

　　角一十七分零四秒二十

　　九微求得戊乙边五五八

　　二六五二五四末用戊乙

　　甲三角形此形有乙甲地

　　半径一千万有戊乙边五

　　五八二六五二五四有戊

　　乙甲角一百五十二度四

　　十分五十一秒四十三微

　　【于半周内减去庚乙戊角二十七度一十九分零八

　　秒一十七微即得】求得乙戊甲角

　　二十七分四十九秒零四

　　微为中距限太隂髙六十

　　二度四十分五十一秒四

　　十三微之髙下差求得戊

　　甲边五六七一七一三三

　　四为太隂在本天中距时

　　距地心之逺以地半径较

　　之其比例为一千万与五

　　亿六千七百一十七万一

　　千三百三十四若命地半

　　径为一则月距地心为五

　　十六又百分之七十二也

　　乃依此法于月自行初宫

　　初度月距日九十度时【即上

　　下】测之求得甲乙线与戊

　　甲线之比例为一与六十

　　一又百分之九十八即月

　　在本天最髙距地心最逺

　　之数又于月自行六宫初

　　度月距日九十度时测之

　　求得甲乙线与戊甲线之

　　比例为一与五十三又百

　　分之七十一即月在本天

　　最卑距地心最近之数于

　　是自最近五十三至最逺

　　六十二之十数逐度求其

　　髙下差以立表

　　隠见迟疾

　　合朔之后恒以三日月见于西方故尚书注月之三日为哉生明然有朔后二日即见者更有晦日之晨月见东方朔日之夕月见西方者唐厯家遂为进朔之法致日食乃在晦宋元史已辨其非而未明其故葢月之隠见迟疾固有一定之理可按数而推殆因乎天行由于地度无庸转移迁就也至于汉魏厯家未明盈缩迟疾之差以平朔着厯故有晦而月见西方朔而月见东方者此则推步之疎不可以隠见迟疾论也隠见之迟疾其故有三今并详于后

　　一因黄赤道之升降有斜

　　正也葢春分前后各三宫

　　【由星纪至实沈六宫】黄道斜升而正

　　降月离此六宫则朔后疾

　　见秋分前后各三宫【由鹑首至

　　析木六宫】黄道正升而斜降月

　　离此六宫则朔后迟见如

　　上二图前图日躔降娄初

　　度月离降娄一十五度为

　　正降日入时月在地平上

　　髙一十四度余即可见葢

　　入地迟而见早也后图日

　　躔夀星初度月离夀星一

　　十五度为斜降日入时月

　　在地平上髙六度余即不

　　可见葢入地疾而见迟也

　　若晦前月离正升六宫则

　　隠迟斜升六宫则隠早其

　　理亦同

　　一因月距黄纬有南北也

　　葢月距黄道北则朔后见

　　早距黄道南则朔后见迟

　　如图日躔降娄初度月离

　　降娄一十五度而月距黄

　　道北则月距地平之度多

　　入地迟而见早月距黄道

　　南则月距地平之度少入

　　地疾而见迟也若晦前距

　　黄道北则隠迟距黄道南

　　则隠早其理亦同

　　一因月视行之度有迟疾

　　也葢月视行为迟厯则朔

　　后见迟晦前隠迟视行为

　　疾厯则朔后见早晦前隠

　　早也

　　夫月离正降宫度距日一

　　十五度即可见以每日平

　　行一十二度有竒计之则

　　朔后一日有余即见生明

　　于西是故合朔如在甲日

　　亥子之间月离正升宫度

　　距黄道北而又行迟厯则

　　甲日太阳未出亦见东方

　　月离正降宫度距黄道北

　　而又行疾歴则乙日太阳

　　已入亦见西方矣

　　御制歴象考成上编卷五

<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成>

　　钦定四库全书

　　御制厯象考成上编卷六

　　交食厯理一【日食月食合】

　　交食总论

　　朔望有平实之殊

　　朔望用时

　　求日月距地与地半径之比例

　　日月视径

　　求日月实径与地径之比例

　　地影半径

　　交食总论

　　太隂及于黄白二道之交因生薄蚀故名交食然白道出入黄道南北太隂每月必两次过交而或食或否何也月追及于日而无距度为朔距日一百八十度为望此皆为东西同经其入交也正当黄道而无纬度是为南北同纬虽入交而非朔望则同纬而不同经当朔望而不入交则同经而不同纬皆无食必经纬同度而后有食也盖合朔时月在日与地之间人目仰观与日月一线参直则月掩蔽日光即为日食望时地在日与月之间亦一线参直地蔽日光而生闇影其体尖圆是为闇虚月入其中则为月食也按日为阳精星月皆借光焉月去日逺去人近合朔之顷特能下蔽人目而不能上侵日体故食分时刻南北迥殊东西异视也若夫月食则月入闇虚纯为晦魄故九有同观但时刻有先后耳至于推步之法日食须用髙下南北东西三差委曲详密而月食惟论入影之先后浅深无诸视差之繁故先总论交食之理次论月食乃及日食因日食立法较难故后论加详焉

　　如图合朔时月在地与日

　　之间人在地面居甲者见

　　月全掩日居乙者见月掩

　　日之半居丙者但见日月

　　两周相切而不相掩故日

　　食随地不同乃月蔽人日

　　不见日光而日体初无异

　　也

　　如地在日月之间日大地

　　小地向日之面为昼背日

　　之面则生尖影人在影中

　　不见日光为夜望时月入

　　影中而不能借日光全为

　　晦魄故月食为普天同视

　　也

　　朔望有平实之殊

　　日月相防为朔相对为望而朔望又有平实之殊平朔望者日月之平行度相防相对也实朔望者日月之实行度相防相对也故平朔望与实朔望相距之时刻以两实行相距之度为准盖两实行相距之度以两均数相加减而得而两朔望相距之时刻则以两实行相距之度变为时刻以加减平朔望而得实朔望故两实行相距无定度则两朔望相距亦无定时也

　　如图甲为地心即日月本

　　天心乙为月本轮心丙为

　　日本轮心【日月止用本轮者因明平实之

　　理取其易于辨析也】两轮心俱在甲

　　乙丙及甲乙丁直线上为

　　平朔望而丙为黄道上平

　　朔之度丁为黄道上平望

　　之度如日在本轮之戊月

　　在本轮之己或在本轮之

　　庚俱在甲己戊辛及甲庚

　　壬直线上则为实朔望而

　　辛为黄道上实朔之度壬

　　为黄道上实望之度也

　　如平朔望在丙在丁而日

　　在戊月在己或在庚则日

　　之实行度在辛相对之度

　　在壬而辛丙及壬丁皆为

　　加均乃实行过于平行之

　　度月之实行度朔在癸望

　　在子而癸丙及子丁皆为

　　减均乃实行不及平行之

　　度故以辛丙加均与癸丙

　　减均相并得癸辛弧为两

　　实行相距之度亦即实朔

　　距平朔之度以壬丁加均

　　与子丁减均相并得子壬

　　弧为两实行相距之度亦

　　即实望距平望之度也此

　　日为加均月为减均故日

　　实行在月实行之前为实

　　朔望在平朔望之后必计

　　月得若干时分而后行过

　　癸辛弧及子壬弧始能与

　　日相防相对故以癸辛弧

　　及子壬弧变为时分以加

　　平朔望而得实朔望也若

　　日为减均月为加均则日

　　实行在月实行之后而实

　　朔望在平朔望之前即以

　　实行相距之时分减平朔

　　望而得实朔望其理亦同

　　也

　　如平朔望在丙在丁而日

　　在戊月在己或在庚则日

　　之实行度在辛相对之度

　　在壬而辛丙及壬丁皆为

　　减均乃实行不及平行之

　　度月之实行度朔在癸望

　　在子而癸丙及子丁亦皆

　　为减均乃实行不及平行

　　之度故以辛丙减均与癸

　　丙减均相减余辛癸弧为

　　两实行相距之度亦即实

　　朔距平朔之度以壬丁减

　　均与子丁减均相减余壬

　　子弧为两实行相距之度

　　亦即实望距平望之度也

　　此日之减均大于月之减

　　均故日实行在月实行之

　　后而实朔望在平朔望之

　　前必计月己行过与日相

　　防相对若干时分为辛癸

　　弧及壬子弧故以辛癸弧

　　及壬子弧变为时分以减

　　平朔望而得实朔望也若

　　日之减均小于月之减均

　　则日实行在月实行之前

　　而实朔望在平朔望之后

　　即以实行相距之时分加

　　平朔望而得实朔望其理

　　亦同也

　　如平朔望在丙在丁而日

　　在戊月在己或在庚则日

　　之实行度在辛相对之度

　　在壬而辛丙及壬丁皆为

　　加均乃实行过于平行之

　　度月之实行度朔在癸望

　　在子而癸丙及子丁亦皆

　　为加均乃实行过于平行

　　之度故以辛丙加均与癸

　　丙加均相减余辛癸弧为

　　两实行相距之度亦即实

　　朔距平朔之度也以壬丁

　　加均与子丁加均相减余

　　壬子弧为两实行相距之

　　度亦即实望距平望之度

　　也此日之加均大于月之

　　加均故日实行在月实行

　　之前而实朔望在平朔望

　　之后必计月得若干时分

　　而后行过辛癸弧及壬子

　　弧始能与日相防相对故

　　以辛癸弧及壬子弧变为

　　时分以加平朔望而得实

　　朔望也若日之加均小于

　　月之加均则日实行在月

　　实行之后而实朔望在平

　　朔望之前即以实行相距

　　之时分减平朔望而得实

　　朔望其理亦同也

　　朔望用时

　　太阳与太隂实行相防相对为实朔望但实朔望之时刻按诸测验犹有数分之差【或早或迟差至一刻】以其犹非用时也盖实朔望固两曜实防实对之度而推算时刻则仍以平行所临之位为时皆依黄道而定今推平行与实行既有盈缩差则时刻亦有增减又时刻以赤道为主而黄道赤道既有升度差则时刻亦有进退故必以本时太阳均数与升度差俱变为时分以加减实朔望之时刻为朔望用时乃与测验脗合此即日躔时差加减之理也

　　求日月距地与地半径之比例

　　太阳太隂距地之逺近日躔月离地半径差篇言之详矣顾求地半径差止用最髙最卑中距三限而交食之日月视径以及影径影差则逐度不同且太隂在最髙两尤髙太阴在最卑两尤卑交食在朔望其髙卑皆不及两故欲求日月逐度之髙必先定最髙最卑中距之距地心线今依日月诸轮之行求得太阳在最髙距地心一○一七九二○八【本　天半　径加本轮半径减均轮半径】其与地半径之比例为一与一千一百六十二【详日躔厯理】中距距地心一○○○六四二一【求均数时并求太阳距地心之邉即得】其与地半径之比例为一与一千一百四十二最卑距地心九八二○七九二【本天半径减本轮半径加均轮半径】其与地半径之比例为一与一千一百二十一太阴在最髙朔望时距地心一○一七二五○○【本天半径加负圏半径减均轮半径又减次轮半径又减次均轮半径即得俱详月离二三均数图】其与地半径之比例为一与五十八又百分之一十六中距朔望时距地心九九二○二七三【求初均数时并求太阴距地心之邉内减次均轮半径即得盖朔望时无二三均但距地心少次均轮半径耳】其与地半径之比例为一与五十六又百分之七十二【详月离地半径差篇最髙最卑皆以此为比例】最卑朔望时距地心九五九二五○○【本天半径减负圏半径加均轮半径又加次轮半径减次均轮半径即得】其与地半径之比例为一与五十四又百分之八十四如求太阳在最髙前后四十度距地心与地半径之比例则以太阳最髙距地心一○一七九二○八为一率一千一百六十二为二率太阳在最髙前后四十度之距地心线一○一三九八九八为三率得四率一千一百五十七即当时日距地与地半径之比例也求月距地之法仿此

　　日月视径

　　日月之径为食分浅深之原所关甚大但人目所见者非实径乃视径也实径为一定之数而视径则随时不同盖凡物逺则见小近则见大日月之行有髙卑其去地之逺近逐日不同故其视径之小大亦不等数年以来精推实测得太阳最髙之径为二十九分五十九秒最卑之径为三十一分零五秒比旧定日径最髙少一秒最卑多五秒朔望时太阴最髙之径为三十一分四十七秒最卑之径为三十三分四十二秒比旧定月径最髙多一分一十七秒最卑少五十八秒而以日月髙卑比例推算今数为密兹将测算之术详着于篇

　　测太阳径一法用正表倒

　　表各取日中之影求其髙

　　度两髙度之较即太阳之

　　径也盖正表之影乃太阳

　　上边之光射及表之上邉

　　其所得为太阳上边距地

　　平之髙度倒表之影乃太

　　阳下边之光射及表之下

　　边其所得为太阳下邉距

　　地平之髙度故两髙度之

　　较即太阳之径也

　　一法用仪器测得太阳午

　　正之髙度复用正表测影

　　亦求其髙度两髙度之较

　　即太阳之半径也盖仪器

　　所得者太阳中心之度表

　　影所得者太阳上边之度

　　故两髙度相较即得太阳

　　之半径也

　　一法用中表正表各取日

　　中之影求其髙度两髙度

　　之较即太阳之半径也盖

　　中表系横梁上下皆空太

　　阳上边之光射横梁之下

　　面太阳下边之光射横梁

　　之上面其所生之影必当

　　太阳之中心故以中表所

　　测之髙度与正表所得太

　　阳上边之髙度相较即得

　　半径也

　　一法治一暗室令甚黝黒

　　于室顶上开小圆孔【径一寸或

　　半寸】以透日光孔面顶平不

　　可欹侧室内置平案孔中

　　心悬垂线至案中线正午

　　时日光射于案上必成撱

　　圆形爰従案上对垂线处

　　量至撱圆形之前后两界

　　垂线至前界加孔之半径

　　为前影垂线至后界减去

　　孔之半径为后影乃以垂

　　线【即孔距案面】为一率前后影

　　各为二率半径一千万为

　　三率得四率并查八线表

　　之余切线得前后影之两

　　髙度相减之较即太阳之

　　全径也盖太阳上边之光

　　従孔南界射入至案为撱

　　圆形之前界与正表之理

　　同太阳下边之光従孔北

　　界射入至案为撱圆形之

　　后界与倒表之理同故两

　　髙度之较即为太阳之径

　　也至于前后影必加减孔

　　之半径者因量影时俱对

　　孔之中心起算然前影则

　　自孔之南界入在中心之

　　前而后影则自孔之北界

　　入在中心之后较之中心

　　并差一半径故必须加减

　　半径而后立算也

　　测太阴径一法春秋分望

　　时用版或墙为表以其西

　　界当正午线人在表北依

　　不动之处候太隂之西周

　　切于正午线看时辰表是

　　何时刻俟太阴体过完其

　　东周才离正午线复看时

　　辰表是何时刻乃计太阴

　　过正午线共得防何时刻

　　以时刻变度【每时之四分为一度】内

　　减本时分之太阴行度余

　　即太阴之径也

　　一法两人各用仪器候太

　　阴当正午时同时并测一

　　测其上弧髙度一测其下

　　弧髙度两髙度之较即太

　　隂之径也

　　一法用附近恒星以纪限

　　仪测其距太阴左右两弧

　　之度其两距度之较即太

　　阴之径也

　　以上诸法逐时测量即得

　　太阳太阴自髙及卑之各

　　半径以立表又法不用逐

　　时测量止测得最髙最卑

　　时之两半径相减用其较

　　数与本轮之矢度为比例

　　即可得髙卑间之各半径

　　数也如太阳最髙之径为

　　二十九分五十九秒最卑

　　之径为三十一分零五秒

　　相差一分零六秒化为六

　　十六秒今求距髙卑前后

　　六十度之视径则命本轮

　　径为二千万为一率六十

　　度之矢五百万为二率径

　　差六十六秒为三率得四

　　率一十六秒半以加最髙

　　之径二十九分五十九秒

　　得三十分一十五秒半为

　　最髙前后六十度之视径

　　以减最卑之径三十一分

　　零五秒得三十分四十八

　　秒半为最卑前后六十度

　　之视径也太阴之法并同

　　求日月实径与地径之比例

　　日月地三体各有大小之比例日最大地次之月最小新法厯书载日径为地径之五倍有余月径为地径之百分之二十七强今依其法用日月髙卑两限各数推之所得实径之数日径为地径之五倍又百分之七月径为地径之百分之二十七弱皆与旧数大致相符足征其説之有据而非诬也

　　凡明暗两体相对明体施

　　光暗体受之其背即生黑

　　影若两体同大则其影成

　　平行长圆柱形其径与原

　　体相同其长至于无穷而

　　无尽也如甲图然若明体

　　小暗体大则其影渐大成

　　圆墩形其径虽与原体相

　　同其长至于无穷其底之

　　大亦无穷也如乙图然惟

　　明体大暗体小则其影渐

　　小成尖圆体其径与原体

　　等其下渐小而尽成鋭角

　　如丙图然使日小于地或

　　与地等则地所生之影宜

　　如甲乙两图其长无穷今

　　地影不能掩荧惑何况嵗

　　星以上诸星是地影之长

　　有尽必如丙图而日之大

　　于地也其理明矣又凡人

　　目视物近则见大逺则见

　　小如丁戊与己庚两物同

　　大人目视之成两三角形

　　丁戊近目其两腰短故底

　　之对角大己庚逺目其两

　　腰长故底之对角小若去

　　人目有逺近而视之若等

　　则逺者必大近者必小今

　　仰观日月其径畧等而日

　　去地甚逺月去地甚近则

　　月必小于日也可知矣夫

　　地径小于日而地影之径

　　又渐小于地月过地影则

　　食食时月入影中多厯时

　　刻而后生光则月必小于

　　地影月既小于地影则其

　　必小于地也又何疑焉求

　　日实径之法如图甲为地

　　心乙为日心甲乙为两心

　　相距乙甲丙角为日视半

　　径角乙丙为日半径用甲

　　乙丙直角三角形此形有

　　丙直角有甲角十四分五

　　十九秒三十微为日在最

　　髙之视半径有乙甲边一

　　千一百六十二为日在最

　　髙距地心之数求得乙丙

　　五又百分之七为日实半

　　径即为地半径之五倍又

　　百分之七也求月实径之

　　法仿此

　　地影半径

　　太阳照地而生地影太阴过影而生薄蚀凡食分之浅深食时之乆暂皆视地影半径之大小其所系固非轻也但地影半径之大小随时变易其故有二一缘太阳距地有逺近距地逺者影巨而长距地近者影细而短此由太阳而变易者也一缘地影为尖圆体近地麤而逺地细太阴行最卑距地近则过影之麤处其径大行最髙距地逺则过影之细处其径小此由太阴而变易者也今依太阳在最髙所生之大影为率而以太阴従髙及卑各距地心之地半径数求其相当之影半径为影半径表复求得太阳従髙及卑所生之各影各求其太阴在中距所当之影半径俱与太阳在最髙所生之大影相较余为影差列于本表之下用时以太阴引数宫度查得影半径复以太阳引数宫度查得影差以减影半径即得所求之地影实半径也

　　如图甲为地球乙丙皆为太阳乙为最髙丙为最卑太阳従最髙乙发光则地影长大为丁己戊従最卑丙发光则地影短小为丁庚戊太阴遇丁己戊大影而在最髙辛则其所当之影径如辛壬

　　在最卑癸则其所当之影径如癸子若太阴遇丁庚戊小影而在最髙辛则其所当之影径如丑寅在最卑癸则其所当之影径如卯辰其两半径之较为辛丑与癸卯是所谓影差也

　　求地影半径有二法一用推算一用测

　　量而推算所得之数比测量所得之数常多数分盖因太阳光大能侵削地影故也如甲为地球乙丙丙丁为太阳实半径従乙丁作两线切地球戊己两边而交于庚则成戊庚己影然太阳光芒常溢于原体之外如辛壬従辛壬作两

　　线切地球戊己两边而交于癸则成戊癸己影而小于戊庚己影论其实则推算之数为真欲合仰观则测量之数为准故地影表所列之数皆小于推算之数也

　　推算之法命地半径甲己为一百分则太阳实半径丙丁为五百零七分【太阳实径】

　　【为地径之五倍又百分之七今以地半径为一百分则太阳实半径为五百零七分】以甲己与丙丁相减余丙子四百零七乃以丙子四百零七为一率太阳在最髙距地心之丙甲一十一万六千二百【即地半径之一千一百六十二倍】为二率甲己地半径一百为三率得四率甲庚二万八千五百五十为地影之长盖丙子甲勾股

　　形与甲己庚勾股形为同式形故其相当各界皆可为比例也既得甲庚地影之长乃求得甲庚己角一十二分零二秒又于甲庚地影之长内减去太阴在中距朔望时距地心之甲丑五千六百七十二【即地半径之五十六倍又百分之七十二】余二万二千八百七十八为丑庚于是用丑庚寅

　　直角三角形求得丑寅八十有余又用甲丑寅直角三角形求得甲角四十八分三十四秒为太阴在中距时所过地影之半径查地影半径表为四十四分四十三秒多三分五十一秒

　　测量之法如康熈五十六年丁酉八月十七日月食其实引为二宫三度四十一分零三秒距地心五十七地半径零百分之四十一测得纬度在黄道北三十六分一十八秒月半径为一十六分一十秒食分为二十三分三十秒乃以黄道纬度三十六分一十八秒求得白道纬度三十六分二十六秒为食甚距纬与食分二十三分三十秒相加得五十九分五十六秒内减月半径一十六分一十秒余四十三分四十六秒为地影半径查地影半径表为四十三分五十四秒相差八秒乃本时太阳之影差也【表数乃太阳在最髙之影今太阳在八宫故差八秒】如图子丑寅为黄道卯辰己为白道卯子寅己为地影午丑为地影半径未申酉为月未辰为月半径月行白道従卯至辰距地影心丑最近是为食甚午酉即为食分辰戌为黄道纬度辰丑即白道纬度用辰丑戌正弧三角形此形有辰角与黄白交角等有戌直角有辰戌边求得辰丑为食甚距纬以午酉食分与辰丑距纬相加成亥丑内减与月半径未辰相等之亥午余午丑即为地影之半径也推算所得之数既大于测量所得之数则太阳光大之能侵削地影可知矣然不得太阳之光分虽逐时测量又有影差杂于其内则地影之大小终不能得其真今立法以太阴在中距之地影半径四十四分四十三秒为准【前测月食实引二宫三度近中距而其影畧与表合故以中距之地影为准】求太阳之光分命地半径甲巳为一百分则太阴在中距朔望时距地心之甲丑为五千六百七十二丑甲寅角即为四十四分四十三秒用甲丑寅直角三角形求得丑寅为七十三小余七八甲寅为五千六百七十二小余四八又用甲巳寅直角三角形【巳为直角】求得巳甲寅角为八十

　　八度五十九分二十四秒于象限内减去巳甲寅角又减去丑甲寅角余一十五分五十三秒为卯甲己角乃用卯甲己直角三角形【已为直角】求得甲卯为一百又千分之一甲卯内减去与丑寅相等之甲辰余二十六小余二二一为辰卯于是以卯辰寅勾股形【辰寅与甲丑等】与卯甲

　　庚勾股形为比例得甲庚二万一千六百三十二即地影之长又以甲己庚勾股形与丙丁庚勾股形为比例得丙丁六百三十七即太阳之光分为地半径之六倍又百分之三十七也既得丙丁太阳之光分又得甲庚地影之长乃于甲庚内减太阴在最髙距地心之甲巳

　　五千八百一十六余己庚一万五千八百一十六以甲卯庚勾股形与巳午庚勾股形为比例得巳午七十三小余一一又用甲巳午直角三角形求得甲角四十三分一十三秒为太阴在最髙所过地影之半径于甲庚内减太阴在最卑距地心之甲未五千四百八十四余

　　未庚一万六千一百四十八以甲卯庚勾股形与未申庚勾股形为比例得未申七十四小余六五又用甲未申直角三角形求得甲角四十六分四十八秒为太阴在最卑所过地影之半径比旧表最髙多一十三秒最卑少一十二秒盖旧表固由实测要亦准于太隂之髙卑今测太阴之在最髙较旧数为稍卑故月径大而影径亦大太阴之在最卑较旧数为稍髙故月径小而影径亦小然月径约以三十分为十分影径差一十二秒食分止差四秒固不失为密合况影径随月径而大小尤不致舛谬也于是以随时太阴距地心之地半径数各与地影之长相减以求得地影之半径线又各求其相当之角即得太阴随时之影半径以立表

　　求影差之法用太阳在最髙所生之长影求得太阴在中距时所当之影半径四十四分四十三秒为率而以太阳在最卑所生之短影亦求得太阴在中距

　　所当之影半径为四十四分零八秒相

　　差三十五秒为太阳最髙最卑两限之

　　影差其余影差俱依此例推之

　　御制厯象考成上编卷六

　　钦定四库全书

　　御制厯象考成上编卷七

　　交食厯理二【専论月食】

　　太隂食根

　　月食分秒

　　月食五限时刻

　　见食先后

　　定月食方位

　　绘月食图

　　太阴食限

　　食限者推太阴交周度距交若干为入食限之始也太阴半径与地影半径相切即入食之限故以两半径相并之数当黄白两道之距纬度而求其相当之经度得距交一十一度一十六分四十五秒为必食之限距交一十二度一十六分五十五秒为可食之限盖必食者无不食可食者或食或不食也二者皆实望之限若论平望其限尤寛得距交一十四度五十四分即为有食之限矣解之如左

　　地影半径最小者四十二

　　分三十八秒太阴半径最

　　小者一十五分五十三秒

　　三十微相并得五十八分

　　三十一秒三十微黄白距

　　纬度在此数以内者月必

　　食以此数当距纬求其经

　　度则用黄白大距四度五

　　十八分三十秒之正切与

　　半径为比例即得一十一

　　度一十六分四十五秒为

　　必食之限如图甲乙为黄

　　道甲丙为白道甲为二道

　　之交乙为地影心丙为月

　　心两周相切于丁乙丁丙

　　为两半径之共数若距度

　　在此数以内则月周侵入

　　地影内而见食故用甲乙

　　丙正弧三角形求甲丙交

　　周度距交若干此形有丙

　　直角有甲角黄白大距度

　　四度五十八分三十秒有

　　乙丙两半径相并五十八

　　分三十一秒三十微今以

　　甲角正切与半径之比同

　　于乙丙距纬正切与甲丙

　　经度正之比而得一十

　　一度一十六分四十五秒

　　为甲丙距交之度也

　　地影半径最大者四十六

　　分四十八秒太阴半径最

　　大者一十六分五十一秒

　　相并得一度零三分三十

　　九秒黄白距纬度在此数

　　以内者月可食以此数当

　　距纬按前法求经度得一

　　十二度一十六分五十五

　　秒为可食之限其或不食

　　者何也盖必两半径俱最

　　大而后得食若有一半径

　　畧小即两周不得相切而

　　不食矣平望之限又寛于

　　实望之限而为一十四度

　　五十四分何也盖太阳最

　　大之均数二度零三分一

　　十一秒太阴最大之均数

　　四度五十八分二十七秒

　　相并得七度零一分三十

　　八秒为两实行相距最逺

　　之度如图甲为地心乙为

　　黄道上平望之点日之实

　　行正对之度在丙乙丙弧

　　为二度零三分一十一秒

　　月之实行度在丁丁乙弧

　　为四度五十八分二十七

　　秒两实行相并得丁丙弧

　　七度零一分三十八秒为

　　日实行正对之点与月实

　　行相距之度迨月实行逐

　　及于日实行正对之丙则

　　曰正对之点又行三十一

　　分余至戊月更行至戊则

　　日正对之点又行二分余

　　至己月必又行至己方为

　　实望共计乙己弧得二度

　　三十七分有余为实望距

　　平望之数以此数与实望

　　之限相加得一十四度五

　　十四分乃为平望之食限

　　也

　　月食分秒

　　月食分数之浅深视黄白距纬之多少距纬愈少太阴心与地影心相去愈近则太阴入影愈深故用太阴半径地影半径相并而与距纬相较并径大于距纬之较即为月食之分若并径小于距纬则月不食若太阴恰当交点而无距纬则并径全为食分为月食之最深也但太阴与地影之半径分秒皆系弧度而论食分则以太阴全径直线计之其法命太阴全径为十分以太阴视径分秒与并径距纬之较之比【无距纬者即以并径为比】同于太阴全径与食分之比也

　　如图甲乙为黄道丙乙为

　　白道乙为二道之交丙甲

　　丁戊己庚皆为黄白距度

　　辛甲壬戊癸庚子乙皆为

　　地影半径丙丑丁寅己卯

　　乙辰皆为太阴半径如太

　　阴心在丙地影心在甲丙

　　丑辛甲两半径相并小于

　　丙甲距纬则太阴不入于

　　影故不食也如太阴心在

　　丁地影心在戊丁寅壬戊

　　两半径相并大于丁戊距

　　纬其较为壬寅即太阴入

　　影之分也又如太阴心在