《御制数理精蕴》·7

按右法以己庚为三率故得己以上之髙即甲庚之髙若以丁壬为三率则得丁以上之髙即甲壬之髙变而通之若以之测远以小股【辛丁】比小句【己辛】若大股【或甲庚或甲壬】与大句【大股甲庚即大句庚己大股甲壬即大句壬丁】总之同类比例以二率三率相乗得实以一率为法除之即得所求之四率也余详本法【后省文依西法以比若与不更列三率】

　　立表测深测逺

　　设甲乙为壁立深谷甲至丙广二丈七尺求甲乙深防何

　　法依甲丙线于地立【六尺】之表为戊丁距丙【五尺】人目从表端【戊】窥【乙】使戊丙乙三

　　防成斜直线以丁戊【六尺】与甲丙【二丈七尺】相乗【得一十六丈二尺】为实以丁丙【五尺】为法除之得甲乙深【三丈二尺四寸】是为以丙丁【小句】比丁戊【小股】若丙甲【大句】与甲乙【大股】

　　设井一口其径甲乙五尺欲测深防何

　　法立表于井口为戊甲髙【五尺】从戊视

　　丙截甲乙径于己【得四寸】减井径【五尺】余

　　己乙【四尺六寸】以乗戊甲【五尺】得【二千三百寸】为实以甲己【四寸】为法除之得乙丙井深【五丈七尺五寸】是为以己甲比甲戊若己乙与乙丙　又法以己甲比甲戊若甲乙之丙丁与丁戊

　　设地平有甲防不知其逺人目在乙髙丙地六尺求丙甲逺几何

　　法依地平立丁表于戊高【四尺五寸】距丙【九尺】人目从表端窥甲令乙丁甲成斜直线次以乙丙【六尺】减丁戊表【四尺五寸】余乙己【一尺五寸】乃以乙丙【六尺】乗等丙戊之己丁【九尺】得【五十四尺】为实以乙巳【一尺五寸】为法除之得丙甲逺【三丈六尺】是为以乙己比己丁若乙丙与丙甲

　　重表测髙测逺测深

　　设不知髙之逺不知逺之髙各得几何

　　欲测甲乙之高而不知逺欲测丙乙之逺而不知髙用重表法先求甲乙之髙于丙地立丁丙表高【十尺】退

　　后【五尺】立竿于戊高四尺人目在

　　巳视表末令己丁甲成斜直

　　线次从丁丙前表退后【十五尺】立

　　癸壬表亦髙【十尺】退后【八尺】立竿于

　　子亦高【四尺】人目在丑视表末令

　　丑癸甲成斜直线以癸壬表

　　减人目丑子【四尺】余癸辛【四尺】与两表相距【旧名表间】等丙壬之丁癸【十五尺】乘之得【九十尺】为髙实以等丙戊之寅巳减等壬子之辛丑【八尺】余卯丑较【三尺】为法【旧名影差】除高实得甲辰髙【三十尺】是为以丑卯比辛癸若癸丁与甲辰加等癸壬表之【十尺】得甲乙总髙【四十尺】

　　次求丙乙之逺以等寅巳之辛卯【五尺】与表间相距之丁癸【十五尺】乗之得【七十五尺】为逺实亦以寅巳与辛丑之较卯丑【三尺】为法除之得等丙乙之丁辰【二十五尺】是为以丑卯比卯辛若癸丁与丁辰

　　右测量法积实除实余昔刻句股述绘图系説已详其数兹不再赘钱唐毛宗旦扆再氏着九章蠡测于测望法论西法比例之理尤明晰详尽今并录于左

　　毛扆再氏曰测量之理知逺而不知髙以逺测髙知髙而不知逺以髙测逺若髙逺两不知所谓无逺之髙无髙之逺必用重表测之也既有等髙之二表【皆十尺】又有等髙之二人目竿【皆四尺】则甲庚丑大句股形内必函大小六句股形其甲辰丁形为甲庚巳之分形两形之比例必等丁寅巳形亦甲庚巳之分形两形之比例亦等甲辰丁及丁寅巳两形之比例既皆等于甲庚巳是甲辰丁与丁寅巳两形之比例亦等矣后表所得甲辰癸与癸辛丑形之比例皆等于甲庚丑亦同此论夫丁寅巳之比例既同于甲辰丁而癸辛丑之比例亦同于甲辰癸则辰丁与寅巳必若辰癸与辛丑反之则辰癸与辰丁必若辛丑与寅巳也今辰癸与辰丁之较为丁癸而辛丑与寅巳之较为卯丑则卯丑与丁癸两较之比例则必俱等于各线相当之比例即可知辰丁与寅巳【皆句】及甲辰与丁寅【皆股】俱若两较之丁癸与卯丑矣法置辛癸乗癸丁为髙实而以丑卯除得辰甲者是借丑卯与癸丁之比例因寅丁以求辰甲也【寅丁与辛癸等】又置卯辛乗癸丁为逺实而以丑卯除得丁辰者亦借丑卯与癸丁之比例因巳寅以求丁辰也【巳寅与卯辛等】辰甲为表外之髙丁辰亦表外之逺

　　设不知广之深不知深之广重表测之各得几何如甲乙丙丁壁立之谷既不知深又不知广先求乙甲之深自谷岸乙防退行【四尺】至戊地立人目表为巳戊髙【二尺七寸】依乙岸窥谷底丙防令巳乙丙成斜直

　　线次于谷旁立表为壬乙髙【五尺】复

　　依巳戊线立人目表为辛戊髙【八尺

　　二寸】人目依壬表末望丙令辛壬丙

　　成斜直线以辛戊【八尺二寸】减壬乙

　　表【五尺】余辛庚【三尺二寸】再与巳戊【二尺七寸】

　　相减余辛癸较【五尺】乃以等巳戊之癸庚【二尺七寸】与壬表【五尺】乗之得【一百三十五寸】为深实以辛癸较【五寸】为法除之得乙甲深【二丈七尺】是为以辛癸比癸庚若壬乙与乙甲次求甲丙之广以等戊巳之庚壬【四尺】与壬乙表【五尺】相乘【得二十尺】为广实亦以辛癸较【五寸】为法除之得甲丙广【四丈】是为以辛癸比庚壬若壬乙与甲丙

　　设甲乙不知逺以矩尺【即木工曲尺】测之

　　欲知甲乙之逺先立丙表于甲与地平为直角次以矩尺内直角加于丙表之末以丙戊尺向逺视乙令丙戊乙成斜直线次从丙丁尺视巳以甲丙表自乘而以甲

　　巳相距之逺为法除之得甲乙之逺是为以巳甲比甲丙若甲丙与甲乙则丙甲为连比例之中率按矩尺为直角形若两边等平则甲丙表两平地之句必等今矩尺一昻一俯则巳甲必小于丙甲而丙甲必小于甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲与甲乙葢皆以小比大以小大同类为比例而不执句股纵横为同类故三率法应二率三率相乘而此用二率自乘而以一率为法除之非另有连比例之中率也若变而通之以丙子比子戊若丙甲与甲乙

　　西法矩度测量

　　矩度代表度有直景倒景有一矩测重矩测积实与为法除悉如中法亦可三率法求之

　　造矩度用坚木或铜版为之依上图从矩极均分十二度【陈防庵止用一十度省一乘法】或每度更细分之从通光耳视所测相参直以权线所切何度何分比例推算与立表测量等

　　变景法

　　景即直景倒景也变景者视权线所切直景不变而倒景必变爲直景也一矩测量即倒景可不必变而重矩测量则倒景必变其法以矩度自乗【如矩度十二自乗得一百四十四为矩幂】以景度【即权线所切之度如几度几分则矩度景度通照几分度分之】为法除之【其变景之理详句股述】

　　直景必高多逺少如一象限人望四十五度【半象限九十度】以上权线必切直景

　　倒景必髙少逺多如一象限人望四十五度以下权线必切倒景

　　变景者变倒景之少度为直景之多度葢测物愈逺则矩愈平其权线所切必在倒景故必变之如上丁戊变乙壬也

　　矩度测髙

　　直景以矩度乗逺得积实以景度为法除之

　　设所测不知其髙距所逺三十尺权线切直景八度法以矩度【十二】与逺【三十】相乗得三百六十为积实以直景八度为法除之【如筹算检八号筹视某格与积实近少除之】得四十五尺为矩乙角以上之髙即所测之髙是为以小句【景度】比小股【矩度】若大句【逺】与大股【髙】

　　倒景以景度乗逺得积实以矩度为法除之

　　设逺六十尺权线切倒景七度又五分度之一法以景度【七】通五分之得【三十六】分以乗逺【六十】得积实二千一百六十以矩度【十二】通五分之得【六十】为法除之得三十六尺为矩乙角以上之髙【此倒景不必变但变其法以景度乘逺以矩度为法除之亦同】是为以小句比大句若小股与大股

　　重矩测髙【测髙先不知其逺则用重矩如重表测法】

　　前矩直景后矩直景以矩度乗表间得积实以两景较为法除之【表间即悬矩之干两矩相距之间】

　　设前直景【五度】后直景【十度】两矩相距【十尺】法以矩度【十二】乗表间【十尺】得【一百十尺】　为实以两景较【五度】为法除之得二十四尺为矩乙角以上之髙以小句比小股若大句与大股同前首条

　　前矩直景后矩倒景以矩度乗表间得积实以倒景变直景与前直景较以景较为法除之

　　设前直景【十一度】后倒景【九度】两矩相距【二十二尺】法以矩度【十二】乗表间二十得【二百四十】为积实又以倒景【九度】为法除矩幂【一百四十四】得变景十六与前矩直景较余【五】为法除积实得【四十八】为矩乙角以上之髙是为以小句【景较】比小股【矩度】若大句【表间相距】与大股【所测之髙】

　　前矩倒景后矩倒景将两倒景俱变为直景仍以矩度乗表间得积以两变景较为法除之得所测之髙仝前按测望即容方求余句余股法其矩测之倒景必变者葢立表测髙人目退望使参相直若所测愈髙则人目距表愈近所测愈低则人目距表愈逺表即容方之边而人目退望之处即余句也今矩之甲角愈髙则倒景反多矩之甲角愈低则倒景反少故必变景而后合于人目退望之余句余旧刻句股述论之详矣但旧刻于前后俱倒景一条悮以景较乗逺以矩度为法于三率以小句比大股若大句与大股法不合若依前一表测髙所切倒景之法亦以景度乗逺矩度为法则此两倒景巳俱变直景矣岂可仍用倒景法乎特为改正

　　测逺

　　按测无髙之逺先用重矩测得髙【巳壬】次以矩度【甲】为一率以后矩所变之

　　景【乙戊】为二率以高【巳壬】为三率即得四

　　率之逺是为以小股【甲乙】比小句【乙戊】若大股【巳壬】与大句【壬乙】

　　右高【巳壬】得四八变景【乙戊】得一六矩度【甲乙】十二度依三率法得逺六十四葢倒景既变直景则甲乙戊成直角小句股形与巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例

　　以测髙法还原

　　设逺【六十四尺】倒景【一六】矩度【一二】以矩度乗逺【六四】以变景度【一六】为法除之得高【四八】与前重矩测高第二条相合按重矩测无高之逺西法测量法义同文算指俱未论及钱唐毛扆再氏补论一则但干支字様与图互异且比例之法辨晰各较相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易晓然便于初学故创为此图

　　测深

　　设井口或径广十二尺求至水面深几何

　　用矩度视深【辛】使甲巳辛叅相直

　　视权线在直景乙戊【三度】以矩度【十二】

　　乘等庚巳之辛壬水面【十二尺】得【一百四十四尺】为实以乙戊【三度】为法除之得【巳壬】深【四十八尺】是为以【乙戊】比【乙甲】若【壬辛】与【壬巳】

　　设池面不知广就池岸设垂线至水得一丈三尺测广几何

　　权线切倒景丁戊【三度】依法变为直景【四十八度】以乗巳壬【十三尺】得【六百二十四尺】为实以甲乙矩度【十二】为法除之得庚巳广【五十二尺】是为以甲乙比乙癸若巳壬与等【壬辛】之巳庚

　　又倒景不变以矩度乘【巳壬】得积以倒景丁戊【三度】为法除之亦得巳庚广【五十二尺】

　　按倒景必变直景若止一矩测广则倒景亦可不变然在直景则景度乗深而矩度为法除之若在倒景则矩度乗深而景度为法除之固两不相混也至于测髙则必矩度乗取积实而景度为法除之此两矩测一定不易之法也

　　附三率算术

　　古名异乗同除西法变为三率

　　原有丁戊股十四尺

　　丙戊句十一尺二寸

　　今截丁乙股十尺

　　求乙甲截句几何

　　西法三率

　　一率　【以】原有股十四尺　　　为法

　　二率　【比】原有句十一尺二寸　【相乗为实】三率　【若】今截股十尺

　　四率　【与】求得截句八尺　　　法除实所得术以原股比原句若截股与截句

　　凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率

　　二率三率常相乘为实一率为法除实故名三率而求得之数为四率

　　按西法三率算术専为比例之用如右所求在截句则以原股比原句若截股与截句如所求在截股则以原句比原股若截句与截股又如所求在原句则以截股比截句若原股与原句再如所求在原股则以截句比截股若原句与原股随所比例各视所求而以同类比之如前测望诸法或以小句比小股若大句与大股或以大句比大股若小句与小股之类其纵横大小不相紊乱后三角法悉依此术纵横大小相为比例而又线与线为类边与边为类法益加宻矣

　　勾股引卷三

　　钦定四库全书

　　勾股引蒙卷四

　　海宁　陈訏　撰

　　三角法

　　八线全图

　　【周天三百六十度两分之为半

　　周四分之为一象限　每一象

　　限各九十度又名弧度　　六】

　　凡正方角【乙】即直角即象限之角其所对弧必九十度

　　凡在一象限不及九十度者为鋭角【如丙】

　　凡过一象限多于九十度者为钝角

　　凡言角以中一字为所指之角【如甲乙癸】

　　凡求某角者求其角之对弧度与分

　　凡求某角即本角之弧矢割切为正其外为余凡半径为全数为一○○○○○八线有增减半径无増减常为十万弧中旋转可如如句

　　凡正角以半径全数为正

　　凡钝角以外角之正余为正余

　　直角【即正方角一名勾股形】

　　有角有边求余角余边【直角之一】

　　假如【壬癸丁】勾股形有丁角【五十七度】壬丁【九十一丈八尺】求余角余边

　　先求癸丁边

　　术曰以半径全数比丁角之余

　　若壬丁与癸丁句

　　一率【原设】半径　　　　一○○○○○　为法二率【原设句】丁角【五十七度】余　　五四四六四　【相乗】三率【今有】壬丁边　　　九十一丈八尺　【为实】四率【今所求句】癸丁边　　　五十丈　　【法除实得所求】右三率法后同　半径即乙丁余即甲丁

　　求壬癸边

　　以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股

　　一率【原设】半径　　　　一○○○○○

　　二率【原设股】丁角【五十七度】正　○八三八六七

　　三率【今有】壬丁边　　　　九十一丈八尺

　　四率【所求股】壬癸边　　　　七十七丈

　　求壬角

　　以丁角五十七度与象限九十度相减得余三十三度为壬角

　　右例先得以求勾股

　　假如【壬癸丁】勾股形有丁角【六十二度】癸丁勾【二十四丈】求余角余边

　　求壬角

　　以丁角【六十二度】与象限相减得余【二十八度】为壬角　平面弧止容一正方角两鋭角今既有勾股形【癸】则于一象限内减丁角之度其余度自必壬角

　　戊丙丁勾股形以戊丙

　　切线为股丙丁半径为

　　勾戊丁割线为是丁

　　角原有之线　今壬癸丁勾股形与戊丙丁勾股形既同丁角则其比例等

　　求壬丁边

　　以半径比丁角之割线若癸丁勾与壬丁

　　一率【原设勾】半径　　　　　一○○○○○二率【原设】丁角【六十二度】割线　二一三○○五

　　三率【今有勾】癸丁边　　　　二十四丈

　　四率【所求】壬丁边　　　　五十一丈一尺

　　求壬癸边

　　以半径比丁角之切线若癸丁勾与壬癸股

　　一率【原设勾】半径　　　　　一○○○○○二率【原设股】丁角【六十二度】切线　一八八○七三

　　三率【今有勾】癸丁边　　　　二十四丈

　　四率【所求股】壬癸边　　　　四十五丈一尺右例先得勾以求及股或先得股以求及勾亦同

　　按半径随弧旋转无有増减故可为为勾为股各随比例之所取用视边与线之纵横小大为比例

　　有边求角【直角之二】

　　假如【壬癸丁】勾股形有壬丁【一百○二丈二尺】癸丁勾【四十八丈】求二角一边

　　求丁角

　　以丁壬比癸丁勾若半径乙丁与丁角之余甲丁

　　一　　壬丁边　　一百○二丈二尺

　　二　　癸丁边　　○四十八丈

　　三　　半径　　　一○○○○○

　　四　　丁角余　四六九六六

　　以所得余检表得六十二度为丁角度

　　右壬角癸角俱止一边无两边不能以边比边为以线比线之例惟丁角有两边故先求丁角得丁角而丁角度之八线即可为余角之比例矣然丁角必求余为四率者盖若求正正切之股则壬癸无边可例若求正割则虽可以癸丁边比壬丁边若余【甲丁】与正割【壬丁】之例然余尚未求得又无可为比故以壬丁比癸丁句若乙丁之半径与甲丁勾之丁角余相比例也宣城梅定九氏曰得其角度则诸数歴然可于无句股中寻出勾股余亦曰知四率应求之线之故则一率二率三率了然可于无比例中寻出比例矣

　　求壬角

　　以丁角六十二度与象限相减得余二十八度为壬角

　　求壬癸边

　　以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股

　　一　　半径　　　　一○○○○○

　　二　　丁角【六十二度】正　○八八二五九

　　三　　壬丁边　　　一百○二丈二尺

　　四　　壬癸边　　　○九十丈○二尺三寸右例以边求角而先知方角故止用二边此先有之边是与勾故求壬癸边之股者以壬丁边之斜为比而正如股半径旋转如可线与线相比以为边与边相比之例也若先有者是股边勾边则求切线者以股邉为例而勾之比股者又可以半径为勾如下求丁角法

　　假如壬癸丁三角形有壬丁边一百○六丈壬癸边九十丈癸丁边五十六丈求角

　　求癸角

　　以壬丁大边与丁癸边相加得【一百

　　六十二丈】为总又相减得【五十丈】为较以

　　较乘总得【八千一百丈】为实以壬癸边

　　【九十丈】为法除之仍得【九十丈】与壬癸

　　边数等即知癸角为正方角

　　求丁角

　　以丁癸边比壬癸边若半径与丁角切线

　　一　　丁癸勾　　五十六丈

　　二　　壬癸股　　九十丈

　　三　　半径　　　一○○○○○

　　四　　丁角切线　一六○七一四

　　以所得切线检表得五十八度○六分为丁角

　　有一角必有一弧每一弧必有八线今求丁角而壬癸边如丁角弧之切线可以半径相比故先以丁癸边比壬癸边为例若半径与丁角之切线

　　求壬角

　　以丁角【五十八度○六分】与象限相减得余三十一度五十四分为壬角

　　右例亦以边求角而先不知其为勾股形故兼用三边

　　鋭角

　　有两角一边求余角余边【鋭角之一】

　　假如【乙丙丁】鋭角有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁边【一百二十尺】

　　求乙角

　　以丙角【六十度】丁角【五十度】相并得【一百一十

　　度】以减半周一百八十度余七十度

　　为乙角

　　右丙角丁角有度而无边乙角有边

　　而无度先以两角之度除半周而乙

　　角之弧度得矣既得乙角之度即可

　　以乙角之线比乙角相对之边若他

　　角之线与他角之边

　　求乙丁边

　　以乙角正比丙丁边若丙角正与乙丁边一　　乙角【七十度】正　九三九六九

　　二　　丙丁边【即乙角对边】　一百二十尺

　　三　　丙角【六十度】正　八六六○三

　　四　　乙丁边【即丙角对边】　一百一十尺○六寸以前诸法俱线比线边比边互相为例此处以线比边下求乙丙边同

　　求乙丙边

　　以乙角正比丙丁边若丁角正与乙丙边一　　乙角【七十度】正　九三九六九

　　二　　丙丁【乙角对边】　　　一百二十尺

　　三　　丁角【五十度】正　七六六○四

　　四　　乙丙【丁角对边】　　　○九十七尺八寸右例先有之边在两角之间也若先有之边与一角相对亦同

　　有一角两边求余角余边【鋭角之二】

　　假如【甲乙丙】鋭角形有丙角【六十度】甲丙边【八千尺】甲乙边【七千○三十四尺】

　　求乙角

　　以甲乙边比甲丙边若丙角正

　　与乙角正

　　一　　甲乙边　　　　七千○三十四尺

　　二　　甲丙边　　　　八千尺

　　三　　丙角【六十度】正　八六六○三

　　四　　乙角　　正　九八四九六

　　检表得八十度○三分为乙角

　　凡角俱有正下垂角小亦小角大亦大依割线之低昻也今丙角斜边长近俯乙角斜边短近仰则乙角必大于丙角故以小边比大边亦若正小之比大而可得角也此以小比大也

　　求甲角

　　以丙角乙角相并得【一百四十度○三分】以减半周余三十九度五十七分为甲角

　　求乙丙边

　　以乙角之正比甲角之正若甲丙边与乙丙边

　　一　　乙角【八十○度三分】正　九八四九六二　　甲角【三十九度五十七分】正　六四二一二

　　三　　甲丙【乙角对边】　　　　　八千尺

　　四　　乙丙【甲角对边】　　　　　五千二百一十五尺乙角以乙丙为底其正从甲下垂故长甲角以甲丙为底正从乙下垂故短今乙丙边小于甲乙甲丙之两边故以最大之邉比之先以最大之线比最小之线用乙角甲角之正为例也

　　右例有两边一角而角与一边相对

　　假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】角在两边之中不与边对求甲乙边

　　先求中长线分为两勾股形

　　以半径比丙角正若甲丙边

　　与甲丁中长线

　　【此下四则皆为求甲乙边与甲全角故先求分形之边及

　　分形之角】

　　一　　半径　　　　　一○○○○○

　　二　　丙角【六十度】正　　○八六六○三

　　三　　甲丙边　　　　四百尺

　　四　　甲丁中长线　三百四十六尺四寸一分

　　求丙丁边【求中长线专为分边而求】

　　以半径比丙角余若甲丙边与丙丁边

　　一　　半径　　　　一○○○○○

　　二　　丙角【六十度】余　○五○○○○

　　三　　甲丙边　　　四百尺

　　四　　丙丁边　　　二百尺

　　求角者须先审四率之线应求某线而以边之可比例者为一二率求边者须先审二率应用某线可与四率之边相比例而以一率三率比之盖边有定在而线则随所比例而变其所取也如右求丙丁边乃分边而非乙丙之全边妙在八线余限于正而不越于正之外与丁丙分边限于中长线甲丁不能越丁而至乙故二率取为比例而得丙丁之分边

　　求乙丁边

　　以丙丁与丙乙相减余六十一尺○八分为乙丁

　　求丁甲乙分角

　　以甲丁中长线比乙丁分边若半径与甲分角切线

　　一　　甲丁中长线　三百四十六尺四寸一分二　　乙丁分边　　○六十一尺○八分

　　三　　半径　　　　一○○○○○

　　四　　甲分角切线　○一七六三三

　　检切线表得一十度为甲分角

　　右求分角之线自必以分边为例则所得之线乃分角之线而非甲全角之线惟切线即在角之对边故分边之线为分角之度

　　求甲乙边

　　以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙边

　　一　半径　　　　　一○○○○○

　　二　甲分角【十度】割线　一○一五四三

　　三　甲丁中长线　　三百四十六尺四寸一分

　　四　甲乙边　　　　三百五十一尺七寸五分右甲分角以中长线为底则割线即甲乙边

　　求甲全角

　　以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求得甲分角【一十度】相并得四十度为甲全角

　　求乙角

　　以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周同】

　　右例有两边一角而角在两边之中不与边对故用分形以取勾股

　　用切线分外角【梅本新増】

　　假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角六十度

　　求甲角

　　以甲丙边乙丙边相并为总相减为较又以丙角【六十度】减半周得外角【一百二十度】半之得半外角【六十度】检其切线依三率法求得半较角以减半外角得甲角

　　一　　两边总　　　六百六十一尺○八分二　　两边较　　　一百三十八尺九寸三分三　　半外角切线　一七三二○五

　　四　　半较角切线　○三六三九七

　　检切线表得二十度为半较角转与半外角【六十度】相减得甲角四十度

　　求乙角

　　以甲丙二角相并共【一百度】以减半周得余八十度为乙角

　　求甲乙边

　　以甲角【四十度】正　六四二七九

　　比丙角【六十度】正　八六六○三

　　若乙丙边　　　　　二百六十一尺○八分

　　与甲乙边　　　　　三百五十一尺七寸五分按此新増例即前有一角两边而角在边中不与边对之三角也但此不用求分边分角之烦而径求甲角之半较角葢一弧之中既有丙角则所余之度皆甲乙之角为丙之外角应将外角中分为半外角以为甲乙两角之地然甲角边长鋭于乙角则乙角必大甲角必小又应于外角之半分出较角而后甲角始得其真在半外角既中分外角之半则此较角亦必中分较角之半为半较角故先以边总比边较为一二率盖边总如半外角之总犹之外角一百二十而半外角止六十也以边较求甲角之半较角犹甲角小于乙角若干而此求得之较为小于乙角若干之半名半较角也所以求切线者盖切线在各弧之贴际必与本角之底为直角形如勾股其线遇本角之割线而止今所求在所割之半较角则莫如半外角之切线比半较角之切线同在弧之贴际不烦更觅他线也梅刻増此一条简捷巧便而所以然之理初学茫然为补图明之如左

　　此平三角借弧以明其理

　　若弧三角所容三角不止

　　三个如平方立方有面体

　　之别后同

　　有三边求角【鋭角之三】

　　假如【甲乙丙】鋭角形有乙丙边【二十丈】甲丙边【一十七丈五尺八寸五分】乙甲边一【十三丈○五寸】

　　求两勾相减之数为勾较

　　任以【乙丙】大边为底从甲角作甲丁虚垂线至底分为两勾股形

　　一甲丁丙形以甲丙边为丁丙为勾一甲丁乙形以甲乙边为丁乙为勾两相并为总相减为较　两勾相并【即乙丙边原数】为勾总　求戊丙勾较

　　以勾总比总若较与勾较

　　一　　两勾之总【即乙丙】　二十丈

　　二　　两之总　　三十丈○六尺三寸五分三　　两之较　　四丈五尺三寸五分四　　两勾之较【即丙戊】　六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角无度则无线可比止乙至丙之勾似丙角之余然余长短必限于正今甲丁中垂线即丙角之正今若求丙角余又多乙丁勾之长故先求勾较之丙戊既得勾较则可加分形之勾【戊丁】而得丁丙分边与丙角之余等以之比例而得丙角之余即查表得丙角之度

　　求分形之两勾

　　以勾较【六丈九尺四寸六分】减勾总【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分为甲丁乙分勾之形

　　又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加勾较【六丈九尺四寸六分　即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分为甲乙丙分勾之形

　　求丙角

　　以甲丙比丁丙勾若半径与丙角余

　　一　　甲丙边　　一十七丈五尺八寸五分二　　丁丙分边　一十三丈四尺七寸三分三　　半径　　　一○○○○○

　　四　　丙角余　○七六六一六

　　检余表得丙角四十度

　　求甲角

　　先求分形大半之甲角

　　以丙角【四十度】减象限余五十度为【丁甲丙】分形甲角

　　次求分形小半之甲角

　　以甲乙比丁乙勾若半径与分形甲角之正一　　甲乙边　　　一十三丈○五寸

　　二　　丁乙分边　　○六丈五尺二寸七分

　　三　　半径　　　　一○○○○○

　　四　　甲分角正　○五○○一五

　　【以甲丁为底则甲乙边如半径而乙丁边如甲分角之正】

　　检正表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角并分形两甲角【先得五十度次得三十度】得共八十度为甲全角

　　求乙角

　　并丙甲二角共【一百二十度】以减半周得余六十度为乙角

　　钝角

　　有两角一边求余角余边【钝角之一】

　　假如【乙丙丁】钝角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙边【五十四丈】

　　求丁角

　　以丙丁二角并共【六十度半】以减

　　半周得余一百一十九度半为丁

　　钝角

　　求乙丙边

　　以丙角正比丁角正若乙丁边与乙丙边一　　丙角【三十六度三十分】正　五九四八二二　　丁角【一百十九度三十分】正　八七○三六

　　三　　乙丁边　　　　五十四丈

　　四　　乙丙边　　　　七十九丈○一寸右所用丁角正即六十度半正以钝角度减半周用之凡钝角同

　　求丁丙边

　　以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一　　丙角【三十六度三十分】正　五九四八二二　　乙角【二十四度】正　四○六七四

　　三　　乙丁边　　　　五十四丈

　　四　　丁丙边　　　　三十六丈九尺二寸

　　凡钝角以外角之正为正盖即

　　此钝角之外角也如图丁为钝角乙

　　丙为丁角所对之弧乙丁甲为丁角

　　之外角至于正皆以本角之勾为

　　底以割线【半径同】与弧之相界处直线

　　垂下与本角之底为正方直角如图

　　乙丁甲为丁角之外角乙丁如外角

　　之割线夘丁如外角之余而夘乙

　　则外角之正也至如丙角以丙丁

　　为底其正丑丁近乙丁边乙角以

　　乙丙为底其正子丁近乙丙边也

　　补图明之

　　有一角两边求余角余边【钝角之二】

　　假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分钝角形【此钝角所对之弧度分】甲丙边四千尺甲乙边三千五百一十七尺

　　【前则用他角求钝角此则用钝角求他角】

　　乙角为钝角

　　甲丙为钝角所对之弧度

　　乙丁为丙角正

　　甲戊为钝角用外角之正

　　求丙角

　　以甲丙边比甲乙边若乙角正与丙角正

　　一　　甲丙边　　　　　　四千尺

　　二　　甲乙边　　　　　　三千五百一十七尺三　　乙角【九十九度五十七分】正　九八四九六【即八十度三分正度】四　　丙角　　正　八六六○三

　　检表得丙角六十度

　　按乙角为钝角其所用外角之正即钝角九十九度五十七分减半周一百八十度所余八十度○三分之外角其所有之正也【每度六十分】求丙角者止丁外角之正可比丙角之正故先以甲丙边比甲乙边为例俱以长比短而纵与纵为同类

　　求甲角

　　并乙丙二角共一百五十九度五十七分以减半周得余二十度○三分为甲角

　　求乙丙边

　　以乙角之正比甲角正若甲丙边与乙丙边一　　乙角【九十九度五十七分】正　九八四六九二　　甲角【二十度○三分】正　三四二八四

　　三　　甲丙边　　　　四千尺

　　四　　乙丙边　　　　一千三百九十二尺右甲角正以甲丙为底乙已即甲角正与甲已为正方角此二则皆以大比小右例有两角一边而先有对角之边若两边一角而边在角之两旁不与角对又另法如左

　　假如乙丁丙钝角形有乙丁边【一千○八十尺】乙丙边【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】

　　丙戊为虚股　戊丁为虚勾

　　乙角乙丁为底丑丁为正　乙丁

　　即余　丙角丙丁为底子丁为正

　　

　　先以半径比乙角正若乙丙边与丙戊边

　　一　　半径　　　　一○○○○○

　　二　　乙角【二十四度】正　○四○六七四

　　三　　乙丙边　　　一千五百八十二尺四　　丙戊边【即虚垂线】　○六百四十三尺

　　又以半径比乙角余若乙丙边与乙戊

　　一　　半径　　　　一○○○○○

　　二　　乙角【二十四度】余　○九一三五五

　　三　　乙丙边　　　一千五百八十二尺四　　乙戊边【即乙丁引长线】　一千四百四十五尺右以原边乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊边相减得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚勾股形之勾【先得丙戊垂线为股原有边之丁丙为】

　　求丁丙边

　　依勾股求法以丙戊股自乘【四十一万三千四百四十九尺】丁戊勾自乘【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实平方开之得七百三十九尺为丁丙边

　　求丙角

　　以丁丙边比丁乙边若乙角正与丙角正一　　　丁丙边　　　○七百三十九尺二　　　丁乙边　　　一千○八十尺

　　三　　　乙角【二十四度】正　四○六七四

　　四　　　丙角　正　五九四四二

　　检表得丙角三十六度二十九分

　　求丁角

　　以丙乙二角并之共【六十度二十九分】以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角

　　此三角形既有乙角度当先求丙角之鋭而后丁角之钝可以半周相减即得但求丙角虽有乙丁边可为丙角正之比例【凡正必在本角相对之边】然丙丁无边不能以边比边为乙角正比丙角正之例故又当先求丙丁边但丙丁边如勾股之斜当以勾股求法求之今丁戊无勾丙戊无股故先求丙戊边以作虚股再求乙戊边以作虚勾而后用勾股求法而得丙丁之边三边既得则每角之正必近本角所对之边即可以所对之两边相比为两角之正相比之例求之矣葢丙角以丙丁为底其正子丁近乙丁边而乙角之正子丑近丙丁边故必先得边以为求线之比例也既先有乙角又求得丙角则丁角半周减之即得矣

　　右两边一角而角不与边对

　　用切线分外角【梅本新増】

　　假如乙丁丙钝角形有乙丁边【五百四十尺】丙乙边【七百九十一尺】乙角【二十四】度

　　求丙角

　　以【丁乙丙乙】两边相并为总相减为较又以【乙】角【二十四度】减半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】

　　以边总比边较若半外角切线与半较角切线一　　两边之总　　一千三百三十一尺二　　两边之较　　○二百五十一尺

　　三　　半外角切线　四七○四六三

　　四　　半较角切线　○八八七一九

　　检表得半较角【四十一度三十五分】以减半外角【七十八度】得余【三十六度二十五分】为丙角

　　求丁角

　　并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角

　　求丁丙边

　　以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一　　丙角【三十六度二十五分】正　五九三六五二　　乙角【二十四度】正　四○六七四

　　三　　乙丁边　　　　五百四十尺

　　四　　丁丙边　　　　三百六十九尺九寸八

　　分

　　右新増一则亦角在两边之中不与边对与前三角形无异亦俱先求丙角前法先以勾股求法求丙丁边先补虚勾虚股以求丙丁边边得而丙角之线可比例以求丙角其法详此新増法竟求丙角而求丙丁边反在求得丙角之后更简捷矣其边总边较半外角切线与半较角切线补图明之如左

　　【甲庚癸为半周子庚为半径

　　甲壬为乙角度壬辛癸为外角

　　壬辛为半外角子夘为半外角割

　　线壬夘为半外角切

　　线己丑为半较角切

　　线己辛为半较角】

　　新式三边求角【钝角之三】

　　假如【乙丙丁】钝角形有乙丙边【三百五十尺】乙丁边【六百○七尺】丁丙边【三百尺】

　　右有边无角

　　术自乙角作虚垂线至甲又引丁丙线横出遇于甲而成正方形为乙甲丁勾股形又横线至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛为两勾之总丁丙边为两勾之较乙丁边为大形【乙甲丁】之乙丙边为小形【乙甲辛即乙甲丙】之两相并为总相减为较

　　先求勾总

　　此因将求丁角度而三角无度则无线可比唯丙丁句似丁角余然丁角以乙丁为半径则乙甲为正而余应自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之余故必先求甲丁勾始与丁角余相等然欲求甲丁勾又必先求勾总以为分形之勾股而后甲丁之勾可比得丁角之余以查表而得丁角也

　　一　　勾较【即丁丙边】　　　三百尺

　　二　　较【即乙丁边减乙丙之余】二百三十二尺

　　三　　总【即乙丁乙丙二边相并】　九百八十二尺四　　勾总【即丁辛】　　七百五十九尺四寸以勾较【三百尺】减所得勾总【七百五十九尺四寸】余数【四百五十九尺四寸】半之得数【二百二十九尺七寸】为小形之勾甲丙

　　以甲丙小形之勾加丁丙较【三百尺】得数【五百二十九尺七寸】为大形之勾甲丁

　　求丁角

　　以乙丁比丁甲勾若半径与丁角之余一　　乙丁　　　六百○七尺

　　二　　甲丁勾　　　五百二十九尺七寸

　　三　　半径　　　　一○○○○○

　　四　　丁角余　　○八七二六五

　　检表得丁角二十九度一十四分

　　求丙角【用乙甲丙小形】

　　钝角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之乙丙即此钝角丙之外角割线

　　以甲丙勾比乙丙若半径与丙角之割线一　　甲丙勾　　　二百二十九尺七寸二　　乙丙　　　三百七十五尺

　　三　　半径　　　　一○○○○○

　　四　　丙角割线　　一六三二五六

　　检表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜实即丙角之割线至于求丁角求丙角俱以半径为三率而丁角之三率用以作丙角之三率用以作勾半径可勾可股可顾随所取用耳

　　求乙角

　　并丁丙二角所得度分共【一百五十七度】以减半周得余二十三度为乙角

　　右例钝角形三边求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大边为底从钝角分中长线同鋭角之三

　　补图　　　　　乙丙丁三角形　乙己为丙角

　　弧度　乙辛为丙外角　丙戊

　　即【乙丙】为丙外角割线　乙壬壬

　　辛为外角之丁角乙角

　　乙甲即中长线　乙甲丙即小

　　形勾股　乙甲丁即大形勾股

　　乙丙即虚勾虚股之　戊辛

　　为切线

　　右钝角用割线宣城梅定九先生新増此式为割线求度分之法盖割线乃象限中所割各度之线必与切线相遇以为増减割线割于弧内切线切于弧外彼増此减彼减此増如前钝角之二己辛为半较角其切线即从己之弧外起今外角乙辛即从辛之弧外起此新式之用割线视前法无异也至钝角之所以用外角者盖大圜两分之为半周四分之为象限凡象限止九十度而自一度至四十四度为平度自四十五度至八十九度为髙度其髙度之正线即平度之余线而髙度之余线即平度之正线故四十四与四十五同表四十三与四十六同表以至○度○分则与八十九度六十分同表此作八线表者因髙度平度如测望之直景倒景相反而实相通为此省文也今凡钝角度必过象限之外在八线无半弧之表可查则用外角之线度以减半弧而所余之度即钝角所对之弧度明矣此因八线表而立钝角用外角之法也

　　勾股引防卷四

　　钦定四库全书

　　勾股引卷五

　　海宁　陈訏　撰

　　象限线度总目

　　正　正切　正割　正矢【以余减全】

　　余　余切　余割　余矢【以正减全】

　　平度【正线即髙度余线】髙度【正线即平度余线】

　　初

　　一　　　　　　　　八八

　　二　　　　　　　　八七

　　三　　　　　　　　八六

　　四　　　　　　　　八五

　　五　　　　　　　　八四

　　六　　　　　　　　八三

　　七　　　　　　　　八二

　　八　　　　　　　　八一

　　九　　　　　　　　八十

　　十　　　　　　　　七九

　　十一　　　　　　　七八

　　十二　　　　　　　七七

　　十三　　　　　　　七六

　　十四　　　　　　　七五

　　十五　　　　　　　七四

　　十六　　　　　　　七三

　　十七　　　　　　　七二

　　十八　　　　　　　七一

　　十九　　　　　　　七十

　　二十　　　　　　　六九

　　二一　　　　　　　六八

　　二二　　　　　　　六七

　　二三　　　　　　　六六

　　二四　　　　　　　六五

　　二五　　　　　　　六四

　　二六　　　　　　　六三

　　二七　　　　　　　六二

　　二八　　　　　　　六一

　　二九　　　　　　　六十

　　三十　　　　　　　五九

　　三一　　　　　　　五八

　　三二　　　　　　　五七

　　三三　　　　　　　五六

　　三四　　　　　　　五五

　　三五　　　　　　　五四

　　三六　　　　　　　五三

　　三七　　　　　　　五二

　　三八　　　　　　　五一

　　三九　　　　　　　五十

　　四十　　　　　　　四九

　　四一　　　　　　　四八

　　四二　　　　　　　四七

　　四三　　　　　　　四六

　　四四　　　　　　　四五

　　求弧度之分秒

　　如设数与表相合即本度分也不合则表数与设数近少者相减得差乗六十得数为实再表中近多者与近少相减得差为法而一得数以加近少之弧度分即所求之弧度分秒

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原>

　　钦定四库全书　　　　　子部六

　　勾股矩测解原　　　　　天文算法类二【算书之属】提要

　　【臣】等谨案勾股矩测解原二卷

　　国朝黄百家撰百家有体独私抄已着録是书言勾股测望并详绘矩度之形与徐光啓天学初函矩度表説大防相同而此书専明一义其説尤详考勾股测望自古有之其法或用方矩或立矩表或用重矩引绳如表以测髙深广逺所不能至者总以近者小者与逺者大者相准世刘徽海岛筭经即此法也

　　本朝

　　御制割圜八线表出又仪器制作悉备始有三角形测量盖测量用三角度低昻甚便步筭检表数密而功省虽其理与勾股无殊而径捷简易则不可同日而论矣然必仪与表兼备而后其术可施苟缺其一即精于是术者无从措手故勾股之法亦不废也是书虽仅具古法亦足备测量之资焉乾隆四十六年三月恭校上

　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

　　总　校官【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书

　　句股矩测解原卷上　　　余姚黄百家撰

　　矩度图

　　解矩度

　　或木或铜锡类制极方板一具【不拘大小】空其中【不空亦可】其四角分甲乙丙丁甲乙边为直表为股乙丙边为直景平分十二度【一度中又各细分十二度】为句甲丁边为横表为句丁丙边为倒景为股亦平分十二度直表上作两耳【须极平正不可畧髙低】耳中作细窍甲角置线一条末系小权用时使目光透两窍与物顶相对视权线之下垂所得度分以起算测髙以乙耳近目测低以甲耳近目

　　解表影

　　凡欲用矩度必须知造矩度之源矩度之起由乎表表之起由乎日影故先论表影立直表地上其表为股其影为句日自东而上影向西自西而下影向东皆在平地是名直影立横表东西墙上其表为句其影为股影皆自上而下是名倒影凡测影之法以直影言之日晷自地平至天顶则所测在西自天顶至地平则所测在东其表一也以倒影言之日在东则测西表日在西则

<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>

　　解矩度表影

　　矩度何以由于表影也曰矩度之上方即直表右方即直影左方即横表下方即倒影无有二也前图之直表直横表横直影横倒影直矩度反是何也曰权线使然也日轮在半象限两表两影相等无较以矩度承之使日光穿两耳而过则权线垂于对角两表两影亦无较葢日轮在半象限权线亦在半象限然矩度两表两影之位尚无从别也日轮在半象限以上则直影短今以矩度承之权线垂于右方亦截句而使之短以是知上方为直表右方为直影也日轮在半象限以下则倒影短今以矩度承之权线垂于下方亦截股而使之短以是知左方为横表下方为倒影也曰权线之使然也曷故葢直表在地横表在墙其有定者也日之或髙或下以为其无定者也以有定待无定而影得焉矩度以耳承日因日光以为俯仰是矩度之表其无定者也而权线之下垂其有定者也以权线之有定切矩度之无定代日以为而影亦得焉是其两表两影之相反此测算之由生天然之巧亦不易之理也其度何以十二也曰用表或八尺或十二尺此十二所以识也非日行之度也右方之度何以自一而至十二下方之度何以自十二而至一也曰日下而直影长日上而直影销右方直影也日上而倒影长日下而倒影销下方倒影也倒影直影至十二不更长乎曰倒影过十二则直影直影过十二则倒影合用之而自足也其倒影直影相通之法详变影中

　　解物影

　　矩度为平方两表两影之句股何以分也【矩度直表为股直影为句横表为句倒影为股】曰前已论之详矣今试再以物影明之物为股影为句物高至影末为物与影之句股无较以矩度承之权线必垂于对角其句股亦无较也【第一图】如物高于影则股长句短以矩度承之亦必截直影而使与相应亦股长句短也【第二图】如物短于影则股短句长以矩度承之亦必截倒影而使与相应亦股短句长也【第三图】葢物大股也直表倒影小股也物影大句也直影横表小句也物高至影末大也权线小也此天然之妙合也今于权线所测之度分已定试将矩度转面而观之则小句股与大句股俨然无异也

<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>

　　解两影消长【即变影】

　　日在半象限以下影射倒影然直影非无影也试从倒影外斜引长之则仍遇直影日在半象限以上影射直影然倒影非无影也试从直影下斜引长之则仍遇倒影葢直影倒影合成一象限在象限内一消一长其消之分数即长之分数在象限外则倒影之一度为直影之一百四十四度二度为直影之七十二度三度为直影之四十八度四度为直影之三十六度五度为直影之二十八度又三十分度之四六度为直影之二十四度七度为直影之二十度又七十分度之四八度为直影之一十八度九度为直影一十六度十度为直影一十四度又百分度之四十一度为直影一十三度又一百一十分度之一十二度于直影仍为十二度【其法以矩度十二自乗得幂一百四十四即以所得之影度除之其解详后变影法中】若在几分度之几即将度照分分之以除矩幕【如五度三分度之二即将毎度分作三分五度为一十五分又加三分度之二共一十七分以除矩幕其矩幕一百四十四亦毎度三分之为四百三十二以一十七除之得二五四又一十七分之零二】直影于倒影亦然明乎此则直影倒影可变互用之其在矩度即权线之消长也

　　句股矩测解原卷上

　　钦定四库全书

　　句股矩测解原卷下　　　　余姚黄百家撰以影测高

　　以矩度承日使其光穿两耳而过视权线垂于何度何分若权线垂于对角则影与物等【即前句股无较第一图】量其影长即得物髙在直影则影短于物【即前股长句短第二图】以直表乗物影以直影除之在倒影则影长于物【即前股短句长第三图】以倒影乗物影以横表除之

　　假如权线在直影五度物影二十尺即以直表【十二】度与物影相乗得二百四十为实以直影【五度】为法除之得物髙四十八尺

　　解曰物与物影为大句股矩度为小句股大股不可知而大句可知大句可知而大句之长短原出于大股则大股亦可知立一法焉以矩度一定之小股【直表】因大以定小句小句定则小句小股之比例犹大大句大股之比例也于是遂以一定之小股入于大句中而与之相乗使不可知之大股遂与小股之十二相当而后以小句之五度除之而大股得焉葢十二人所任设者也于十二而得五度则本乎大股者也以十二乗大句而五度代二十【物影】以除幂【相乗总数】则大股亦遂因五度而化为十二也大股之四十八其有合于十二者何小句五度其为五分者十积五分而至二十四则为十二大句二十尺其为二尺者十积二尺而至二十四则为四十八也

　　假如权线在倒影七度五分度之一物影六十尺即以倒影通作三十六分【七度五分度之一毎度即通作五分七度五七三十五分又度之一共三十六分】与物影相乗得二千一百六十为实以横表十二通作六十分为法【亦毎度通作五分】除之得物高三十六尺

　　解曰倒影与直影相反直影为句倒影为股故直影之度自一而至十二引而逺之句渐长也倒影之度自十二而至一引而逺之股渐短也前权线在直影股长句短由股以截句今在倒影句长股短由句以截股其理一也以倒影乗物影者所求在股以小股乗大句以小句除之与前无二也倒影通作三十六分横表通作六十分者以有五分度之一即以毎度通作五分【如三分度之一即毎度可通作三分余仿此】也葢矩度之妙用借权线以测句测股而得其比例其分度则固任人通变也

　　重矩

　　单矩须用量自足至物之数方可入算此句与小句股求股也今不用句止以小句股求股故设重矩

　　假如立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影五度次退后立表四尺与目齐以矩度向物顶线在直影十度相减得影较五度次量二表相去十尺即以矩度十二与表间十尺相乗得一百二十为实以影较五度除之得二十四加表四尺为物高二十八尺解曰后直影为句目平行至物为句矩度直表为股物高为股其比例一也前直影之比例于前表平行至物矩度之比例于物髙亦一也今以影较为矩度股之句表间为物髙股之句何以知其一哉葢前表平行至物数不可知后表至前表其数可知然前表至物之数虽不可知而已见于两直影互异之中今于后直影减去前直影则将其不可知者置之影较则已移物之股近至前表其表间之数同单矩测髙术量足至物之数故与矩度相乗而得物髙此减句不减股以凖之于也之为凖即在直影假如物髙股二十四尺【表四尺不入算】试截句至一尺直影必五分算之仍得二十四如物高股十二尺试截句至一尺直影必一度算之得十二故曰之为凖即在直影

　　以目测高

　　不取日光而用目光别立一表若干尺以审自足至目之数目切矩度乙耳以甲耳向上使物顶从甲耳窍透乙耳窍斜见之视权线在何度分次量自足至物之数其算法与以影测髙术同不另具假令与图

　　解曰目光斜见即物影之也然物不能常有影即有影有不能摄入耳窍者切矩以目其法更防凡目光所及不论髙深广逺俱可入算不爽毫厘

　　变影

　　前矩在直影后矩在倒影者亦以矩度乗表间为实以倒影变直影相较为法除之前后矩俱在倒影者将两倒影俱变直影两影较乗表间为实以矩度为法除之如两影在防分度之防者以矩度照分分之自乗得幂如法变影乗表积如法除之【有防分度之防者测时亦可或前或后使其正当某度无有零分】

　　假如前矩直影十一度后矩倒影九度表间二十尺法以矩度【十二】乗表间【二十】得二百四十尺为实积又以矩度自乗之幕一百四十四以倒影之九度为法除之得十六变作直影十六度两影较余五度为法除之得四十八尺加表四尺得五十二尺

　　陈言曰有物于前立两表望之后表之小句必多于前表之小句此视差之理也而今之之前矩在直影之十一度后矩在倒影之九度若不计其直影倒影之何以变通而第执度分之多寡以为法则后表之视差反少于前表之视差有是理乎故必变倒为直而后可以两影较也

　　假如前矩倒影九度后矩倒影二度表间二十尺法以矩幕【一百四十四】先以前影【九】除之变为十六次以后影【二】除之变为七十二两影较五十六乗表间【二十】得一千一百二十以矩度【十二】为法除之得九尺三寸又一百二十分尺之四【三分】加表四尺得全髙一十三尺三寸三分

　　陈言曰两矩测物有前直影而后倒影者矣未有前倒影后直影者也葢矩愈逺则愈平平则必切于倒影之度故止有前直后倒之法而不及前倒后直之影也至于两影俱倒其影为同类似可不变而亦必变者何也曰其故有二一则倒影之度少于纵矩之小句假如倒影二度以矩度之甲乙纵之则退望之处其人目与物影相叅者必不止于矩度十二分之二而为矩度十二分度之七十又十二分度之二也故必变也一则倒影之度前表多后表少不合于立表之小句假如矩度之甲乙纵之至顶则为一度渐逺则渐为二度三度四五度不等其前少后多直影与小句同也其在倒影则否如以甲丁之矩而纵之其望髙之线之在倒影者始而近也反切于丙丁之十二度渐逺则十一度或十度九度不等愈退则愈逺愈逺则愈平愈平则倒影之度愈少殊非小句渐逺渐长之理故两倒不可不变也变之而倒影之一度变为一百四十四矣【矩幕原数一度无殊】倒之二度变为七十二逓变至倒影之十二度以之为法除幕而仍存原度十二岂非愈逺而愈平愈平而变影愈多不失小句近少逺多之至理乎立法至此亦云宻矣或者曰景之变固因小句之多寡而变然使权线之在一度者其小句虽应多而非一百四十四之多权线之在十二度者其小句虽应少而非犹然十二度之少则是多寡之转移西人亦约畧其法而未必有确然之数也不知立法者必穷于法之源必晰于法之委未有悬空拟合而可云法也试先立一平方形其矩之下丙角作平行线如地平如人目望髙然后以矩之甲角渐运渐髙其权线之切于一度者必矩之甲角髙于乙角一度矣由是而因甲乙之渐低者作斜直线引之令切合于地平必在一百四十四也如在十二度则甲角髙于乙角亦十二度矣其斜切合于地平者亦必在十二度两角形相等凡少于十二度多于一度者推之无不有确然之数也且设有物焉髙十二尺如甲角之髙一度【有原矩度十二】离十二尺以立表表之髙亦十二如乙丙角之髙其离表退望之处为一百四十四如一度之变影以表乗逺得一四四也即矩幕也以退立之一四四为法除而仍得表上之髙一尺即甲角之髙一度也亦即权线之影髙一度也无不合也然其变影之合于小句既有然矣而变影之必以权度除矩幕者何也曰是不难知夫容方求余句余股者以容方自之以余句为法除之而可得余股以余股为法除之而可得余句今矩幕非即容方之自乗乎以权为法其实以甲角之髙为法非以余股求余句乎故立表亦容方法也变影亦容方法也无二法也至甲角之髙十二则成斜方句股等形故倒影十二则其变影亦十二甲角愈低而后斜线之切于地平愈长其几何长者法也其所以长者理也其所以防何长者穷理以立法而非悬空拟合之为也因创为后图可以作变影观亦可以作立表测髙观亦可以作容方求余句余股观【言图未载】

　　解曰变影之法言之论辨矣今取其言之未尽者再为悉之夫矩度之测髙于倒影何以必变哉葢矩度之倒影股也故分度自十二而至一【已详前论影测髙中】今所求在股其影为句乃股短句长权线逾直影之句而至倒影则此倒影亦为句也此变法之所由立也然倒影为股究不可为句今云变倒为直者葢矩度止为十二度之平方直影既穷权线侵股而上在倒影十一度在直影则当为十三度又一百一十分之一也在倒影十度在直影则当为十四度又一百分度之四也股渐低则线渐髙而句愈逺以至倒影一度在直影则当为一百四十四度也【详前论两影消长中】此借倒影以推直影而为之凖耳

　　测深测广

　　用矩度须以甲耳切目乙耳向外测深线在直影深过于广以矩度乗面之广以影度除之倒影广过于深以影度乗广以矩度除之其测广反是

　　假如测深水面十二尺直影三度以矩度【十二】乗广【十二】得【一百四十四】为实积以直影【三】除之得四十八尺如在倒影三度即以【三】乗广【十二】得【三十六】为实积以矩度【十二】除之得三尺

　　假如测广水深四十八尺直影三度则以直影【三】乗【四十八】得【一百四十四】为实积以矩度【十二】除之得广十二尺水深三尺倒影三度则以矩度【十二】乗【三】得【三十六】以倒影【三】除之得广十二

　　解曰测深亦以小句股与句求股也故与测髙同广即逺也故与测逺同【或云从下望高测逺为逺从髙望逺测逺为广】

　　测逺

　　从高测逺先定自地至目之数以甲耳切目乙耳向逺线在直影者以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗高以影度除望高测逺先以重矩测高得高数视后矩影度线在直影者亦以影度乗高以矩度除在倒影者以矩度乗髙以影度除其前矩俱不必推算

　　假如髙六丈测逺权线在直影九度即以【九】与【六】相乗得【五十四】为实以矩度【十二】为法除之得逺四丈五尺假如髙九丈倒影八度以矩度【十二】与髙【九】相乗得【一百八丈】以倒影【八】为法除之得逺十三丈五尺

　　右二则俱从髙测逺其望髙测逺须除矩度乙角下表数【或四尺】如髙六丈除去表四尺得髙五丈六尺与矩度影度相乗其乗除法直影倒影与从髙测逺同不另立假如

　　解曰测逺者以小句股与股求句也视测髙之以句求股正相反故此直影视彼倒影之法此倒影视彼直影之法所得逺数俱平行句数非从髙至逺斜望数也

　　句股矩测解原卷下

<子部,天文算法类,算书之属,少广补遗>

　　钦定四库全书　　　　　子部六

　　少广补遗　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要

　　【臣】等谨案少广补遗一卷

　　国朝陈世仁撰世仁海宁人康熈乙未进士其书以一面尖堆及方底三角底六角底尖堆各半堆等题分为十二法后有抽竒抽偶诸目盖堆垜之法也按堆垜乃少广中之一术与尖锥体相似而实不同盖堆体台体外平而中实堆垜为众体所积面有峻峭中多空隙故二法相较烦简顿殊古少广中仅具以边数层数求积数法亦未有解其故者至以积求边数层数之法则未备焉又其为用甚少故算家率畧而不详世仁有见于此専取堆垜诸形反覆相求各立一法虽图説未具不能使学者窥其立法之意而于少广之遗法引伸触类实于数学有禆不可以其一隅而少之也乾隆四十六年五月恭校上

　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

　　总校官【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书

　　少广补遗

　　海宁陈世仁撰

　　少广补遗第一篇

　　凖本章平立方员开三角及诸尖一十二法一平尖

　　置倍实平方带一纵开之得本数之底数与其径数

　　二立尖

　　置六倍实立方法开之内阙一纵所得之数溢于本数之底与径数一数

　　三倍尖

　　除原实末必五数进一十除之得本数之底数

　　四方尖【尖内诸自乗数依根数序次相并】

　　置三倍实先开立方次以立方根开平方一半平方一次除半方根得本数之径数与其底数

　　五再乗尖【尖内诸立方依根数序次相并】

　　置实二除之于除得数内复减原实平方开之继以开得数为实带一纵方开之得原数之底数　从底数逆数至尖数偶者得底所对之前数数竒者得自尖及底之中数中数与底相乘对数加一五数于数之次亦与底相乘所得数为本数径数

　　六抽竒平尖

　　置实以带一縦方开之得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数以得本数底数

　　七抽偶平尖

　　置实平方法开之得本数径数亦得本数逆数至尖自尖数至底之中数以得本数底数

　　八抽偶数立尖【本尖内层数及层内诸数偶者尽去之抽竒法反之】

　　以前方尖法开之得本数径数亦得本数自尖数至底之中数以得本数底数

　　九抽竒数立尖

　　三倍置实立方法开之阙一縦以所得数减一得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数因得本数底数

　　十抽竒偶数方尖

　　前立尖法开之得本数底数以底数逆数至尖得自尖及底之中数或平分数因得本数径数

　　十一抽偶再乘尖

　　二除原实阙半縦平方法开之方之所得之数即得径数平尖抽偶法收之得本数之底数

　　十二抽竒再乘尖

　　二除原实平方法开之方之所得之数即径数平尖抽竒法收之得自底至尖一之中分数倍之得本数之底数

　　少广补遗第二篇

　　开抽竒抽偶立尖

　　一本尖内层数偶者去之

　　置原数十之而加二为实立方带平方法开之次除半平方阙一縦所得数溢于本数底倍于本数径各一数

　　二本尖诸层内数偶者去之

　　原数就位十之而加五为实立方法开之所余数及半方根者五除方减一即本数之底与径数　立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数径数复减一即本数底数

　　三本尖内层数竒者去之

　　一十二倍置实立方带平方法除之余实就方根増一数取縦其方之根视本数底数及本数径倍数各溢一数其縦之限视本数径数及本数底半数各朒一数

　　四本尖诸层内数竒者去之

　　原数就位十之而加五为实立方法开之阙一縦者所得数减一以五除之即本数之底与径数　立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数底数复减一即本数径数

　　少广补遗第三篇

　　准本章带縦诸方开三角及诸尖之半积为三角带一钝角形　诸尖先得径数以法算得底数一平尖

　　径之半平方加半纵减原实为正实　以径除正实得数径数加之

　　二抽竒平尖

　　径之平方加一縦减原实为正实　径除正实得数倍径加之

　　三抽偶平尖

　　径之方减原实为正实倍径除正实得数径数加之五除减一取之

　　四立尖

　　径之立方一平方三及倍径为数六而一之减原实为正实径竒者径除正实得数次置径加一而二除之为半平方加半縦并径除正实之数半平方加半縦法开之复置径减一亦二除之与开得数并之　径耦者半径除正实得数次置径二除之而加一为平方并半径除正实之数平方法开之复置径二除之减一与开得数并之

　　五方尖【诸数自乗依根数序次相并】

　　四因原数为正实置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减先得正实为次得正实　径除次得正实得数以径之加一为平方并之方法开之开得数复置径减一相并二除之

　　少广补遗第四篇

　　开三角及诸尖之半积先得径数以法算得底数

　　一抽偶立尖【本尖内层数偶者去之】

　　置径倍之取其方与立方又半平方阙一縦为数一十二而一之减原实为正实　径竒者径除正实得数以径之半平方加半縦并之半平方加半縦法开之开得数复置径减一并之　径偶者半径除正实得数径之加一縦方并之加一縦方法开之开得数置径减一并之

　　二抽偶立尖之二【本尖内层数及诸层内数偶者皆去之】

　　置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数二十四而一之减原实为正实　径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为平方并径除正实之数方法开之开得数五除之减一与径之减一之数并之　径偶者半径除正实得数次置径二除之又置径二除之而加一各为方以并半径除正实之数复减一而二除之带一縦方开之开得数五除之而加一与径之减二之数并之

　　三抽竒立尖【本尖内层数竒者去之】

　　置径倍之而益一取其方与立方为数复置径倍之而益二与径之减一相乘得数并之一十二而一之减原实为正实　径竒者以径除正实得数以径之益一数为半平方带半縦并之半方带半縦法开之开得数径之减一并之　径偶者半径除正实得数以径之益一数为带一縦方并之带一縦方法开之开得数以径之减一并之

　　四抽竒立尖之二【本尖内层数及诸层内数竒者皆去之】

　　以径之立方及三平方与倍径为数三而一之减原实为正实　径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为带一縦方并径除正实之数带一縦方开之开得数二因之复置径减一并之　径偶者半径除正实得数次置径二除之而加一为两平方并半径除正实之数减二而以二除之带二縦方法开之开得数复二因而以径加之

　　五抽竒偶方尖【诸自乗数依根数竒偶序次相并】

　　置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减原实为正实　径除正实得数次置径加一为平方并之方法开之开得数置径减一并之

　　少广补遗第五篇

　　开抽偶立失之半积合失内竒偶诸层取层内数偶者去之先得径数以法算得底数

　　其一得径偶

　　径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之减原实为正实　以半径除正实得数复分半径竒偶御之半径竒者置半径加一为方而二除之以并半径除

　　正实之数复二除之平方开之方之所得之数五除减一与半径减一之数并之　半径偶者置径四除之复置径四除之而加一各为方以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径并之　如得正实之后或半径除之不尽与虽尽而并别数平方带一縦方开之不得者设别法如下条

　　如前取径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之复置径益二而二除之取其数为平方减一与前数并之减原实为正实　半径除正实得数分半径之竒偶御之　半径偶者置径四除之而益一为平方以半径除正实之半并之平方开之开得之数五除减一与半径并之　半径竒者置半径益三而二除之为方复置半径益三而二除之转减一为方合之以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径益一之数并之

　　其一得径竒

　　置径减三而取其倍数及其立方与三平方并之六而一之减原实之倍数为正实　置径减一而二除之为法分法之竒偶御之　法竒者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为方并法除正实之数以方开之余实之不及方者法因之而折半若前有剰实者亦折半并之以平方开之　偶者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法二除之复置法二除之而减一各为方倍之以并法除正实之数减一而平方开之余实之不及方者法因之而折半如前有剰实者亦折半并之以平方开之　凡余实因半法不可方者前一方所商未善也退方根别商之　余实之方二因之而减一为正方与前方较其赢绌若正方绌者径之减一之数并之也其绌以法之加二其赢以法为准

　　少广补遗第六篇

　　开抽竒立尖之半积合尖内竒偶诸层取层内数竒者去之　先得径数以法算得底数

　　其一得径偶

　　置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之以其数减原实为正实　半径除正实得数分半径之竒偶御之　半径竒者置半径加一而二除之为带一縦方倍之并半径除正实之数复加倍以带二縦方开之开得数置半径减一并之　半径偶者置径四分之为带一縦方复置径四分之而加一亦为带一縦方并半径除正实之数皆倍之平方开之若原径过四以上者置径减四而二除之数并之　上法如有不合或得正实之后半径除之不尽与虽尽而并别数平方带二縦方开之不得者设别法如下条

　　置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之复置半径益一为带一縦方并之损二为数以减原实为正实　以半径除半正实得数分半径之竒偶御之　半径竒者置半径加一而二除之复加一而为平方并半径除半正实之数皆四因之平方开之开得数半径减一并之　半径偶者置全径四除之益一为带一縦方并半径除半正实之数皆四因之带二縦平方开之开得数半径并之

　　其一得径竒

　　置径减三折半而取其倍数及其立方与三平方并而十之一十五而一之减原实为正实　复置径减一折半为法视法之竒偶分御之　法竒者以半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为带二縦方并之带二縦方法开之余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数法之加一为率　法偶者半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置半法与半法之减一各为带一縦方加倍并之平方法开之其余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数绌者以法之加二赢者以法为率　凡余实因倍法不可为带二縦方或为之不及率者前方所商未善也退方根别商之末方较前方绌者置径之减一并之

　　少广补遗第七篇

　　准本章多乘方以立尖形律余尖得四法

　　一方尖准立尖

　　如数一　一四　一四九

　　一十二倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之所得数溢于本数之底与径一数

　　二抽偶方尖准立尖

　　三倍置实阙半縦平方开之带一縦方法收之得本数底加一以二除之之数与本数径数

　　三抽竒方尖准立尖

　　三倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之得本数底二除益一与本数径益一数

　　四立尖还准立尖

　　如数一　一一二　一一二一二三

　　六倍置实带一縦方开之开得数益一倍之仍除带一縦方得本数底与本数径溢一数

　　少广补开尖法设如

　　第一准本章平立方圆开三角及诸尖计一十二条

　　平尖设如　原数六

　　倍数一十二　带一縦方根三

　　尖之实　一　二　三

　　立尖设如　原数十

　　六因数六十　阙一縦立方根四　减一得三

　　尖之实　一　一二　一二三

　　倍尖设如　原数七

　　二除数三五　末五进一十除得四

　　尖之实　一　二　四

　　方尖设如　原数十四

　　三因数四十二　立方二十七　平方九　半平方四五　半方根一五

　　尖之实　一　四　九

　　再乘尖设如　原数三十六

　　二除数十八　内复减原实余一四四　平方根十二带一縦方收得三　三数逆至尖得中数二二乘三

　　得六

　　尖之实　一　八　二十七

　　再乘尖又设如　原数一百

　　二除数五十　复减原实余四　平方根二十　一縦方收得四　四数逆至尖得对数二　加五数于对数之次得二五四因二五得十

　　尖之实　一　八　二十七　六十四

　　抽竒平尖设如　原数十二

　　一縦方根三　对数三全数六

　　尖之实　二　四　六

　　抽偶平尖设如　原数九

　　平方根三　中数三全数五

　　尖之实　一　三　五

　　抽偶数立尖原注本尖内层数及层内诸数偶者去之设如　原数十四

　　方尖法开之得三　中数三全数五

　　尖之实　一　一三　一三五

　　抽竒数立尖原注尖内层数及层内诸数竒者去之设如　原数二十

　　三因数六十　阙一縦立方根四　四减一得三　对数三全数六

　　尖之实　二　二四　二四六

　　抽竒偶数方尖设如原数三十五

　　六因数二百一十　阙一縦立方根六　六减一得五全数五中数三

　　尖之实　一　九　二十五

　　又设如　原数五十六

　　六因数三百三十六　阙一縦立方根七　七减一得六　全数六对数三

　　尖之实　四　十六　三十六

　　抽偶再乘尖设如　原数一百五十三

　　二除数七六五　阙半縦平方根九　复方之三　中数三全数五

　　尖之实　一　二十七　一百二十五

　　抽竒再乘尖设如　原数二百八十八

　　二除数百四十四　平方根十二　复方之一縦三对数三全数六

　　尖之实　八　六十四　二百一十六

　　第二开抽偶抽竒立尖

　　木尖内层数偶者去之设如　原数二十二

　　加二得数二百六十四　立方二百一十六　平方三十六　半平方阙一縦十二　方根减一得五折半得三

　　尖之实　一　一二三　一二三四五

　　本尖诸层内数偶者去之设如　原数六

　　就位加五得数九　立方八　半方根一　方根五除得四　四减一得三

　　尖之实　一　一　一三

　　又设如　原数十

　　就位加五得数十五　立方八　平方四　半平方二半方根一　方根五除得四减一得三

　　尖之实　一　一　一三　一三

　　本尖内层数竒者去之设如　原数三十四

　　加二得数四百零八　立方三百四十三　平方四十九　余縦二八一十六　方根七减一得六縦限二益一得三

　　尖之实　一二　一二三四　一二三四五六本尖诸层内数竒者去之设如　原数十六

　　就位加五得二十四　阙一縦立方根三　方根减一以五除之得四

　　尖之实　二　二　二四　二四

　　又设如　原数十

　　就位加五得数十五　立方八　平方四　半平方二半方根一　方根五除得四减一得三

　　尖之实　二　二　二四

　　第三准本章縦诸方开三角及诸尖之半积似三角一钝角形

　　平尖设如　原数二十四　径三

　　减六得十八　三除十八得六　加三得九

　　尖之实　七　八　九

　　抽竒平尖设如　原数十八　径三

　　减十二得六　三除六得二　加六得八

　　尖之实　四　六　八

　　抽偶平尖设如　原数二十七　径三

　　减九得十八　六除十八得三加三得六　五除六减一得十一

　　尖之实　七　九　十一

　　立尖设如　原数三十一　径三

　　减一十得二十一　三除二十一得七　七加三得十半平方加半縦开十得四　四加一得五

　　尖之实　一二三　一二三四　一二三四五又设如　原数二十五　径二

　　减四得二十一　加四仍二十五　平方根五

　　尖之实　一二三四　一二三四五

　　方尖设如　原数五十　径三

　　四因数二百　减五十六得百四十四　三除百四十四得四十八并十六得六十四　平方根八并二折半得五

　　尖之实　九　十六　二十五

　　第四开三角及诸尖半积

　　抽偶立尖原注本尖内层数偶者去之设如原数四十九　径三

　　减二十二得二十七　三除二十七得九并六得十五半方加半縦除十五得五并二得七

　　尖之实　一二三　一二三四五　一二三四五六七

　　又设如　原数二十一　径二

　　减七得十四　复加六得二十　一縦方根四并一得五

　　尖之实　一二三　一二三四五

　　抽偶立尖原注本尖内层数及诸层内数偶者皆去之设如　原数五十　径三

　　减一十四得三十六　三除三十六得十二并四得十六　平方根四　五除方根四减一得七并二得九尖之实　一三五　一三五七　一三五七九又设如　原数四十一　径二

　　减五得三十六　并五仍四十一　四十一减一而二除之数二十得一縦方根四　五除四加一得九

　　尖之实　一三五七　一三五七九

　　抽竒立尖原注本尖内层数竒者去之设如原数六十七　径三

　　减三十四得三十三　三除三十三得十一并十得二十一　半方半縦开之得六并二得八

　　尖之实　一二三四　一二三四五六　一二三四五六七八

　　又设如　原数三十一　径二

　　减一十三得十八　并十二得三十　一縦方根五并一得六

　　尖之实　一二三四　一二三四五六

　　抽竒立尖原注本尖内层数及诸层内数竒者皆去之设如　原数六十二　径三

　　减二十得四十二　三除四十二得十四并六得二十一縦方根四　二因四得八并二得十

　　尖之实　二四六　二四六八　二四六八十又设如　原数五十　径二

　　减八得四十二　并八仍得五十　五十减二而二除之得二十四　二縦方根四　五除四加二得十

　　尖之实　二四六八　二四六八十

　　抽竒偶数方尖设如　原数一百五十五　径三

　　减五十六得九十九　三除九十九得三十三加十六得四十九　平方根七并二得九

　　尖之实　二十五　四十九　八十一

　　又设如　原数二百　径三

　　减五十六得百四十四　三除百四十四得四十八并十六得六十四　平方根八并二得十

　　尖之实　三十六　六十四　一百

　　第五开抽偶立尖半积合本尖竒偶诸层取层内数偶者皆去之

　　先得径偶设如　原数一百　径六

　　减二十八得七十二　三除七十二得二十四并八得三十二　二除三十二得十六方之得四　五除四减一得七并二得九

　　尖之实　一三五　一三五　一三五七　一三五七　一三五七九　一三五七九

　　又设如　原数五十　径四

　　减十得四十　二除四十得二十　二十并五得二十五减一而半之得十二　一縦方根三倍三得六六减一得五并二得七

　　尖之实　一三五　一三五　一三五七　一三五七

　　先得径偶次条设如　原数六十六　径四

　　减十八得四十八　二除四十八得二十四半之得十二并四得十六　平方根四　五除四减一并二得九尖之实　一三五　一三五七　一三五七　一三五七九

　　又设如　原数一百二十七　径六

　　减四十三得八十四　三除八十四得二十八并十三减一得四十　二除四十得二十一縦方根得四五除四减一并四得十一

　　尖之实　一三五　一三五七　一三五七　一三五七九　一三五七九　一三五七九十一先得径竒设如　原数一百六十三　径七

　　倍数三百二十六　减二十得三百零六　三除三百零六得百零二并四得百零六　平方开百得十存余实六加五得九　平方开九得三　五除三减一与前方十较之合赢绌率　五并六得十一

　　尖之实　一三五　一三五七　一三五七一三五七九　一三五七九　一三五七九十一　一三五七九十一

　　又设如　原数二百零三　径七

　　倍数四百零六　减二十得三百八十六　三除三百八十六得一百二十八余剰实二　一百二十八并四得百三十二　平方开百二十一得十一余实十一以一五因之并前剰实之半不可方　退方根商一百得方十余实三十二　三十二加五得四十八并前剰实之半得四十九末方得七　五除七减一与前方十较之合赢绌率得十三

　　尖之实　一三五七　一三五七　一三五七九一三五七九　一三五七九十一　一三五七

　　九十一　一三五七九十一十三

　　又设如　原数九十一　径五

　　倍数一百八十二　减四得一百七十八　二除一百七十八得八十九并二得九十一减一得九十　平方开八十一得九余实九方根得三　五除三减一与前方九较之合赢绌率并四得九

　　尖之实　一三五　一三五七　一三五七　一三五七九　一三五七九

　　又设如　原数七十五　径五

　　倍数一百五十　减四得一百四十六　二除一百四十六得七十三并二得七十五减一得七十四　平方开六十四得八余实一十不可方　退方根商四十九得七余实二十五方根得五　五除五减一与前方较之合赢绌率得九

　　尖之实　一三五　一三五　一三五七　一三五七　一三五七九

　　法外设如　原数四十一　径三

　　倍数八十二　平方商六十四得八　余实十八折半得九方之得三　五除三减一与八较之合赢绌率并二得七

　　尖之实　一三五　一三五七　一三五七第六开抽竒立尖半积合本尖竒偶诸层取层内数竒者皆去之

　　先得径偶设如　原数一百二十四　径六

　　减四十得八十四　三除八十四得二十八并十二得四十倍之得八十　二縦方根八　八并二得十尖之实　二四六　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十　二四六八十

　　又设如　原数一百　径四

　　减十六得八十四　二除八十四得四十二并八得五十倍之仍得一百　平方根十

　　尖之实　二四六八　二四六八　二四六八十二四六八十

　　先得径偶次条设如　原数一百五十四　径六

　　减五十八得九十六　三除九十六得三十二半之得十六　并九得二十五四因二十五得一百　半方根十并二得十二

　　尖之实　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十　二四六八十　二四六八十十二又设如　原数八十二　径四

　　减二十六得五十六半之得二十八　二除二十八得十四并六得二十加四倍得八十　二縦方根八并二得十

　　尖之实　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十

　　先得径竒设如　原数一百九十六　径七

　　减十六得一百八十　一百八十减五得一百二十一百二十并八为百二十八二縦方开百二十得十存余实八　六因八得四十八二縦方根得六与前方较之合赢绌率　六并六得一十二

　　尖之实　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十　二四六八十　二四六八十十二二四六八十十二

　　又设如　原数一百六十六　径七

　　减十六得一百五十　一百五十减五得一百并八得一百零八　二纵方开九十九得九余实九以六因之不可为二縦方　退方根商八十得八余实二十八以六因之得一百六十八　二縦方商百六十八与前方较合赢绌率得十二

　　尖之实　二四六　二四六　二四六八　二四六八二四六八十　二四六八十　二四六八十十二

　　又设如　原数一百十二　径五

　　减四得一百零八一百零八并四仍一百十二平方开百得十余实十二　四因十二得四十八二縦方根得六较前方合赢绌率六并四得十

　　尖之实　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十　二四六八十

　　又设如　原数九十四　径五

　　减四得数九十　并四仍九十四　平方开八十一得九余实十三以四因之不可为二縦方　退方根商六十四得八余实三十　四因三十得百二十二縦方除之较前方合赢绌率得十

　　尖之实　二四六　二四六　二四六八　二四六八　二四六八十

　　法外设如　原数四十四　径三

　　五除四十四得八十八　带二縦方商八十得八余实以二因之不可复为带二縦方　带二縦方商六十三得根数竒　商四十八得根数六余实四十　二因四十得八十除带二縦方与前方较之合赢绌率得八尖之实　二四六　二四六　二四六八

　　第七准本章多乗方依立尖形推余尖

　　方尖准立尖设如　原数二十

　　一十二因数二百四十　带一縦方根十五益一数十六　复方之四减一得三

　　尖之实　一　一四　一四九

　　抽偶立尖准立尖设如　原数四十六

　　三因数一百三十八　阙半縦平方根十二　复带一縦方之三　五除三　一得五

　　尖之实　一　一九　一九二十五

　　抽竒方尖准立尖设如　原数八十

　　三因数二百四十　带一縦方根十五益一数十六复方之四　四减一得三倍之得六

　　尖之实　四　四十六　四十六三十六

　　立尖还准立尖设如　原数十五

　　六因数九十　带一縦方根九益一数倍之得二十复除带一縦方四　四减一得三

　　尖之实　一　一一二　一一二一二三

　　少广补开尖法覈原

　　开正尖全积二十法设各就本尖用之

　　平尖法一之一　尖一

　　倍数二　带一縦方根一

　　立尖法一之二　尖一

　　因数六　阙一縦立方根二　减一得一

　　倍尖法一之三　尖一

　　二除数五　进五作十除得一

　　方尖法一之四　尖一

　　因数三　方体一　方面一　半方面五　半方根

　　再乘尖法一之五　尖一

　　二除数五　减原实余四　平方根二　复除带一縦方一

　　抽竒平尖法一之六　尖二

　　带一縦方根一　对数一全数二

　　抽偶平尖法一之七　尖一

　　平方根一

　　抽偶立尖法一之八原注尖内层数及层内诸数偶者尽去之　尖一

　　因数三　方体一　方面一　半方面五　半方根五抽竒立尖法一之九原注尖内层数及层内诸数竒者尽去之　尖二

　　因数六　阙一縦立方根二　减一得二之对数

　　抽竒偶数方尖法一之十　尖一

　　因数六　阙一縦立方根二　二减一即一

　　又尖四

　　因数二十四　阙一縦立方根三　三减一数二

　　抽偶再乘尖法一之十一　尖一

　　二除数五　阙半縦平方根一　复方之亦一

　　抽竒再乘尖法一之十二　尖八

　　二除数四　平方根二　复带一縦方之一　对数一全数二

　　抽偶立尖法原注尖内层数偶者去之二之一尖一

　　加二数十二　方体八　方面四　半方面应阙一縦今阙　二减一得一

　　抽偶立尖法原注本尖诸层内数偶者去之二之二　尖一

　　就位加五数一五　方体一　半方根五　五除一得二减一复一

　　又尖一　一

　　就位加五数三　方体一　方面一　半方面五　半方根五　五除一得二　二减一复一

　　抽竒立尖法原注尖内层数竒者去之二之三尖一二

　　加二数三十六　方体二十七　方面九　縦限视本数径数及本数底半数应朒一数今空　三减一数二抽竒立尖法原注本尖诸层内数竒者去之二之四　尖二二

　　就位加五数六　阙一縦立方根二　二减一得一以五除之复二

　　又尖二

　　就位加五数三　方体一　方面一　半方面五　半方根五　五除一得二　二减一亦一

　　方尖准立尖法七之一　尖一

　　加二数十二　带一縦方根三　三益一得四复方之得二　二减一即一

　　抽偶方尖准立尖法七之二　尖一

　　倍数三　阙半縦平方根二复带一縦方之一　二因一减一亦一

　　抽竒方尖准立尖法七之三　尖四

　　三倍数十二　带一縦方根三益一得四复方之得二二减一以二因之亦二　减一亦一

　　立尖还准立尖法七之四　尖一

　　因数六带一縦方根二　二益一得三倍之得六复除带一縦方得二　二减一即一

　　少广补遗

<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>

　　钦定四库全书　　　　　子部六

　　庄氏算学　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要

　　【臣】等谨案庄氏算学八卷

　　国朝庄亨阳撰亨阳字元仲南靖人康熙戊戌进士官至淮徐道是编乃其自部曹出董河防于髙深测量之宜随事推究设问答以穷其变因笔之于书其后人取残藁裒缉成帙中间大防皆遵

　　御制数理精蕴而参以几何原本梅氏全书分条采摘各加剖晰颇称明显末为七政步法亦本之新法算书而节取其要其于推步之法条目赅广缕列星罗无不各有端绪恭案

　　御制数理精蕴线面体三部凡三十余卷几何原本五卷梅氏全书卷帙亦为浩博学算者非出自专门不能骤窥蹊径今亨阳撮举精要别加荟萃简而不漏括而不支可为入门之津筏虽未能大有所发明而以为学者启之资则殊有禆益矣乾隆四十六年十月恭校上

　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

　　总　校官【臣】陆　费　墀

　　钦定四库全书

　　庄氏算学卷一

　　淮徐海道庄亨阳撰

　　梅勿庵开方法

　　一平方

　　平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根方者初商也初商不尽则倍初商之根为廉法除之得两廉又以次商为隅法自乘得隅以补两廉之空而成正方形是谓次商又不尽则合初商次商得数倍之为防法除之得次两廉又以三商为隅法自乘得隅以补次两廉之空而成正方形自此而四商五商仿而加之能事毕矣

　　凡减隅积皆视其隅数为何等隅数是单则积止于单位隅数是十其积止于百位百止于万位千止于百万位万止于亿位每隅法大一位则隅积大两位所以初商减积止初防次商减积止次防三商四商五商皆可以类推也【自单位作防起每隔一位防之有二防商数有十三防商数有百也】

　　凡初商得一二三四皆书于防之上一位商得五六七八九皆书于防之上两位其故何也五以上之廉倍之则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也所以不同

　　大约所商单数必在亷法上一位乃法上得零之理也开方有实无法廉法者乃其法也

　　次商用归除凡归除得数皆书于筹之第一位今须看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即以次商得数对余实首一位书之若第一位是空则以次商得数对余实上一位书之虽不离筹之第一位而所商之有空位无空位出矣立方审空位之法亦然

　　一立方

　　平方则一方次合两廉一隅以成方面立方则一方次有三平廉以辅于方之三面又有三长廉以补三平廉之隙又有小方隅以补三平廉之隙推之三商四商皆然而方体成矣

　　三平廉长濶相同皆如初商数三长廉长如初商数其两头髙与濶则如次商数

　　立方三位作防者自乘再乘之积止于三位也初商防在首位则独商首位防在次位则合商两位在三位则合商三位也凡初商得一数者书于防上一位得二三四五者书于防上二位得六七八九者书于防上三位其故何也盖开方以廉为法而平方只有二廉其廉之积数只有进一位故一进而足立方则有三平廉而其积数有进一位者有进两位者故必立三等也要其豫为续商之地使所得单数居于法上之一位则同方单一其廉法单三若方单二则廉法一十二变为十数进一位矣故一用常法二用进法也方单五其廉法七十五若方单六则廉法一百零八又变百数进两位矣故五用进法而六以上用超进之法也

　　三平廉用自乘者三平面积也三长廉则未有积故与平廉异也次商数自乘以乘长廉者每长廉之一数各分次商自乘之数也

　　一平方带纵

　　平方带纵者长方面也初商得平方与纵方纵方之濶如平方之数长则加所设纵之数次商得廉纵一廉二隅一盖倍廉不倍纵一为带纵之廉一为不带纵之廉也用法与平方相似但初商时必以初廉得数乘纵数为纵方积然后合两积以减原实为稍异耳

　　若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初商位纪○而纪其改商之数于○下若次商者然既为次商则减积亦尽于第二防

　　初商得五至得九皆书于防上二位不论纵之多寡若得四以下则视纵之多少而为之进退法以纵折半加入初商【单从单十从十百千各以类加】若满五以上则亦进书于防之上两位【如初商三而纵有四初商四而纵有四之类】若纵数少虽加之而不满五则仍书于防之上一位【如初商四而纵只有一初商六而纵只有二之类】搃而言之所商单数皆书于廉法之上一位故初商得数有进退之法乃豫为廉法之地以居次商也初商五以上倍之则十虽无纵加廉法已进位矣初商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为廉法也亦满十而进位矣防法进位故初商亦必进盖豫算所商单数已在廉法之上也

　　又初商若得单数其廉法即为命分凡商得单数必在命分上一位凡开方皆然

　　一立方带纵

　　凡立方带纵有三一只带一纵如云长多方若干或高多方若干是也一带两纵而纵数相同如云长不及方若干髙不及方若干是也一带两纵而纵数不相同如云长多濶若干濶又多髙若干是也大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵数又有纵方故其术不同立方带一纵者长多于方谓之横纵髙多于方谓之直纵初商得立方一方纵一合成长立方形次商平廉三内带纵者二长廉三内带纵者一小隅一合七形而成一形三商以上者皆仿此

　　以积实列位作防如立方法截首一防为初商之实视立方表中积数有小于初商实者用其方根为初商得数用其积数为初商积数次以初商自乘以乘纵数为纵积合计立方积纵积共数以减原积而定初商不及减者改商之及减而止

　　次商则以初商得数自乘而三之又以纵与初商相乘而两之共为平廉法或以初商三之纵倍之并其数以乘初商或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商竝同【所谓带纵防二不带纵廉一也】又以初商三之加入纵为长廉法【所谓带纵廉一不带纵廉二也】乃以平廉法约第二防上余实商除得数为次商于是以次商乘平廉法为三平廉积又以次商自乘以乘长廉为三长廉积就以次商自乘再乘为隅积合计平廉长廉隅积共若干以减余实不及减者改商之及减而止

　　三商则以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为法仍与商得数相乘为平廉法又以初商次商所得数三之加纵为长廉法以除原实如次商法余仿此列商得数依立方法得一书于防之上一位得二三四五书于防之上两位得六七八九书于防之上三位若纵数多廉法有进位则宜用常法者改用进法宜用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次商时酌而定之盖次商时有三平防三长防再加隅一为命分之法法上一位单数也从此单数逆寻而上自单而十而百而千至初商位止有不合者改而书之若与初商恰合不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之也

　　若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数改退小一等数者皆不用上一防而以第二防论之此尤要诀不可忘【或于初商外作圈而以所商小一等数书于圈下亦可以上一防论也】立方带两纵纵数相同者如髙不及方若干则方之横与直俱多于髙是为两纵初商有纵廉二纵方一并立方而四盖两纵廉辅立方之两面而纵方以补其隅合为一短方形也次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二不带纵者一小隅一共七形合一短方形也

　　用法先以纵倍之为纵廉法又以纵自乘为纵方法乃如立方法列位作防视表中求初商方数及立方积次以初商得数乘纵方数为纵方积又以初商自乘数乘纵廉数为纵廉积合计纵方纵廉立方之积共若干数以减原实而定初商不及减改商之及减而止

　　次商则以初商得数加纵倍之以乘初商得数【所谓带一纵之廉二也】又以初商加纵自乘得数【所谓带两纵之廉一也】并之共为平廉法或以初商三之加纵以初商加纵乘之亦同次以初商加纵倍之并初商数共为长廉法【所谓带纵者二不带纵者一也】或以初商三之纵倍之亦同乃置余实列位以廉法位酌定初商列法而进退之以平为法而除余实得数为次商【皆所以减首位是空与否而为之进若退】或合平廉长廉两法以求次商亦同于是以次商乘平廉法为平廉积又以次商自乗数乗长廉法为长廉积又以次商自乗再乗为隅积合计平廉长廉隅积共若干以减余实而定次商又法以次商乗长廉法为长廉法又以次商自乗为隅法并长廉平廉隅法以与次商相乗为次商廉隅共积以减余实亦同不及减者改商之及减而止三商四商仿此

　　立方带两纵纵数不相同者如长多于濶髙又多于长初商有大廉纵一小廉纵一纵方一并立方形而四盖大廉纵以辅髙之一面小廉纵以辅长之一面而纵方以补两纵之阙也次商平廉三内带小纵者一带大纵者亦一兼带两纵者又一长廉三内带小纵者一带大纵者一不带纵者一小隅共七形合成不等方形也用法以两纵相并为纵亷以两纵相乗为纵方乃如立方法列位作防求初商之实以立方表求得初商立方积次以初商乗纵方数得纵方积以初商自乗乗纵廉数得纵亷积合计三积以减原实皆如前法

　　次商则以初商长濶维乗得数而并之为平廉法又以初商长濶髙并之为长廉法乃置余实列位【以平廉酌定初商之位而进退之】遂以平廉为法求次商以次商乗平廉为平廉积以次商自乗数乗长廉为长廉积以次商自乗再乗为隅积合三积以减余实不及则改及则止以待三商余仿此

　　凡不能成一单数者则以所商长濶髙维乗并之如平廉又以长濶髙并之如长廉又加单一如隅为命分母以所余之数为命分子

　　维乗之法如初商三十尺为濶加纵五尺共三十五尺为长又加纵一尺共三十六尺为髙濶乗长得一千零五十尺髙乗濶得一千零八十尺长乗髙得一千二百六十尺并三维乗数共得三千三百九十尺为平廉法若合长亷加隅一即为命分母也

　　若在次商后则加次商得数若在三商后则加三商得数

　　用筹法

　　开方用筹防法廉隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹下而共商之则隅亷合为一法而用加防矣存前法者所以着其理用防法者所以善其事

　　既得初商即倍根数为廉法以亷法数用筹【如商根为四则用八商根为六则用十二】以列于立方筹之上为廉隅共法合视共法筹某行内有与次商之实同者或畧少者减实以得次商以本行内方根命之既得次商则合初商次商倍之以其数用筹列平方筹以求三商四商以下仿此隅者小平方也故可以平方筹为法廉之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于廉下则隅之进位与廉之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法也何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方之廉法是初商倍数故大于隅一位

　　若次商之实小于廉隅共法之第一行则知次商是空位也【不能成一数故空】则于廉法筹下平方筹上加一空位筹为廉隅共法以求三商既得三商则合初商三商数倍之去空位筹以倍数用筹列于平方筹之上以求四商如初商得四次商得空则用空位筹列于八筹之下及三商既得九则倍四○九而为八一八之数空位筹可不用矣若两空位则加两空筹三空位则加三空筹余仿此

　　凡余实必在商数下一位起倘空位则可作圏补之又凡亷隅共法筹第一行数即命分母也盖能满此数即成一单数矣

　　若立方则以初商数自乗而三之为平廉法以平亷法用筹列于立方筹之上为平廉小隅共法别以初商数三之而比共法尾位进一位为长亷法以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长廉法筹下加一空筹以合进一位之数】

　　视共法筹内有小于实者为平廉小隅共积用其根数为次商次以次商自乗数【即平方筹之积数】与长廉法相乗【以平方筹之数寻长廉筹之行取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商搃积以减次商实乃如法以求三商余仿此

　　隅者小立方也故可以立方筹为法平廉之数每大于隅二位今以立方筹为隅法列于平廉下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平防小隅可合为一法长防之两头皆如次商自乗之数故可以平方乗之又长防之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也何以知平防大于隅二位而长亷只大一位也盖平防者初商自乗之积也初商于次商为十数十乗十则成百数矣隅积者次商本位也故平防与隅如百与单相去二位也若长防则是初商之三倍位同初商初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也

　　若次商之实小于平廉小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长廉积则次商是空位也法于初商下作空位圈以为次商而于平防筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长防法下又加一空位筹并原有一空位筹共两空位筹为三商长防法或长防不必加空筹但于得数下加两圜若商数有两空位者平防下小隅上加四空位筹长防积下加三圈

　　盖有空位则所求者三商也初商与三商如百与单而平防者初商之自乗百乗百成万故平防与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理【平防原大二位加二空筹则大四位矣】

　　初商与三商既如百与单则长防与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也

　　命分还原法如原实八步开得方二步除实四步不尽命为方二步又五分步之四然在两亷可得五之四在隅则得二十五分步之十六而已实不及五之四也故通分法还原以分母五通二步得一十分又纳分子四共一十四分自乗得一百九十六为实以命分五自乘得二十五为法除之只得七步又二十五分步之二十一以较原实少二十五之四矣故必另置分母五以分子四减之余一以转乗分子四得四即隅差也加隅差入方积中然后以分母自乗除之则合原积矣

　　若立方积一十七步开得立方每面二步除八步余九步如法命为立方二步又十九分步之九在平防可得十九分步之九在长防与隅则不满也法以分母十九通二步为三十八分又纳分子九分共四十七分为立方全数以全数自乗再乗得一十○万三千八百二十三分为通积另置分母十九自乗得三百六十一内减分子九自乗八十一余二百八十分以分子九乗之得二千五百二十分为隅差又置分母十九内减得分九余十分转乗分子九得九十分以乗命分母十九得一千七百一十分为长亷每步虚数又以长防法六步乗之得一万○二百六十分为长防差合二差共一万二千七百八十分以加入通积共得一十一万六千六百○三分为实以分母十九自乗再乗得六千八百五十九分为法以除实得一十七步合原积

　　庄氏算学卷一

　　钦定四库全书

　　庄氏算学卷二

　　淮徐海道庄亨阳撰

　　几何原本举要

　　凡角度皆起于圆心而见于圆界圆不论大小俱有三百六十度之数度有六十分分有六十秒秒有六十微微有六十纎自此以下又有不尽之数分之故执有度之圆界

　　为凡角大小之规也

　　二平行线若作一斜线交加于上则二横线内外所成

　　之二角俱为相等

　　在平行线上作一斜直线即成八角此八角之

　　庚戊乙甲戊己两相等角谓之对角甲戊庚庚戊乙两角同心谓之并角庚戊乙戊己丁二角相等角一边谓内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖错交谓相对错角庚戊乙丁己辛二角之等角一边谓之外角乙戊己丁己戊二角之相等角一边谓之内角八角之中半钝半鋭各自相等推之三平行线四平行线皆然也凡三角形之三角相并必与二直角等而具半周之度凡三角形自一界线引长成一外角将三角形内所对二角并之始与一外角等

　　凡三角有二形两边线之度各等二线所合之角俱等则二形底线之度必等式亦等其下各二角皆等也若二形三界线之度各相等则三角度亦必等而形内所函亦等也

　　若二形一界线之度相等于相等线左右所生之二角又相等则他线他角俱各等而二形之度俱等也三角形有二边等线者其底线之两角度亦为相等也盖作一长线上剖角下剖底成两直角三角形各相等也则底线左右所成角必等可知

　　凡三角形之长界线必对大角最长对最大次长对次大短者对小者

　　凡三角形必有二鋭角何也凡三角形将三角并之必与二直角等故一钝必两鋭一直亦两鋭即三等角亦皆鋭也

　　凡自一防至一横线作众线众线内有一垂线必短于他线而他线之与垂线相离愈逺者线愈长也

　　凡三角无论直鋭钝合并二界线必长于所余之一界线所以凡自一防又至

　　一防画防线其各线中仅一线直而短余必曲而长矣四边形有五种一四方形边角俱等也一长方形角等而两边长两边短也若四边等而角两钝两鋭者谓斜方形又两边长两边短而角两钝两鋭者谓长斜方形若四边不等四角又不等者谓无法形

　　凡四边平行线形其角之各两对角必俱相等

　　于对角作线分为两三角形是为对角线必将平行线四边形分为两平分

　　凡平行线之四边作两对角线相交处为平分二线之正中

　　凡于四边形对角线之正中作一斜横线截开则将四边形为两平分

　　四边形若于对角线不拘何处交加依两界作二平行线即成四四边形二形为对角线内之形二形为对角线旁余之形此两旁形其积必

　　等盖对角线原属平分而等今交加线中所成两大三角两小三角形亦属平分而等于原两三角内对减两大三角两小三角则所旁余四边形其积亦必等两平行线内凡同底所成之四边形其面积俱等何也如甲乙戊丁丙己两三角形其甲丁戊

　　己二线之度俱与乙丙平行线为等故互相等也若于甲丁戊己二线每加一戊丁线即甲戊丁己两线俱等因甲乙丙丁之四边形为平行线则所各相对之线亦俱等也再戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一边之内外角两形为等自此两三角形减去丁戊庚所存之甲乙庚丁戊庚丙己二形俱等于此所存之二形每加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊己丙乙之相等积四边形矣故凡两平行线内凡同立于一底者则线无论短长所存之四边形俱等积也

　　两平行线内若同立一底凡所有各种三角形之面积亦俱等也盖三角为平行四边形之一半四边既等则三角亦等也底度同亦然

　　凡众角形自角至心作线有防界即成防角形若作六界即成六三角形矣

　　欲知众边形角度之数将边数加倍于得总数内减四其所余之数为直角数即为众角

　　度也如七边形是七个三角形凡三角形并三角等两直角则七三角形等十四直角而圆心所有之七角当四直角矣故将十四直角减四直角余十直角之度为众角之总度也

　　凡一直线切于圆界虽长过界而不与圆界出入交加此谓之切线又两圆之圆界相过相切而不相交加出入谓之切圆

　　凡一直线横分圆界谓之如戊所分圆界之一段谓之弧如甲乙丙线与弧线相遇处成两形如甲乙丙俱为圆

　　之弧分之角

　　凡自之两头作两线外向圆界相遇此角名为圆分内角又谓对弧立角

　　自圆心作二辐线至弧线成三角形谓之分圆面形凡自与圆界相切辐线之末作垂线必在圆外

　　凡在圆线若自圆心作垂线可以平分线垂至圆界便可平分弧线盖自甲心作两半径至乙丙二处其线相等则丙乙二角相等故自甲角至乙丙底线之丁处作垂

　　线便是平分也

　　凡自圆外一防至圆界两边作二切线此二线必相等盖自圆心作二辐线与二切线相切则二切线与二辐

　　线互为垂线而两线相遇之角

　　必俱为直角又于两直角作一

　　对角线是谓线而成丁乙丙

　　与甲乙丁两三角形丙乙丙丁系辐线原等则底线两合角必等减圆内两角数则甲乙丁甲丁乙二角乃两直角之所余也二角既等二切线亦必等矣

　　凡圆有两线若等其分圆弧面之积亦等若自心至两各作一垂线则二垂线度亦等又自心至两线之各两头作四辐线亦等则所成之两三角形亦等

　　于甲乙辐线末作垂线者切线也甲

　　辐线割圆于戊而至丁者割线也戊

　　垂线至己者正也凡立于乙戊弧

　　之角者欲求三角之度三边之数皆于是取也

　　三角俱抵圆边者界角也一角居心二角抵边者心角也心角交与界角有三种其圆心所生界角或在二直线之一线者或在二直线之外者或在二直线之间者此三种心角皆大于界角一倍如第一图心角在丁乙直线之内则心角为甲丙丁钝角形之外角外角则兼有本形丁甲二角之度而丙丁丙甲为一圆之辐线相等则所合丁甲二角亦必相等外角既兼有二角之度则比丁角为大一倍可知矣第二图心角在丁乙直线之外则自丁过内心至戊作一直线成甲丙戊一大心角甲丁戊一大界角乙丙戊一小心角乙丁戊一

　　小界角凖前论大心角倍于大界角小心角亦倍于小界角今于大心角减去小心角大界角减去小界角则所减之心角倍于所减之界角而所存之原心角亦倍于所存之原界角也第三图心角在丁乙丁甲直线之间自丁界过丙心至对界作一直线亦如第一图论将心角剖为二界角亦剖为二则分为两心角各倍于两界角仍合为一心角则倍于一界角也

　　自圆之弧线凡一叚任与圆界何处其尖相切所成之界角有防何其度俱为等也盖同立一弧者心角皆大于界角一倍如上节所云则同弧之界角不论何处皆小于心

　　角一倍也因其俱为心角之半则不拘何处作界角皆相等也

　　圆内有一心角一界角若心角所对弧度得界角所对弧度之一半此两角度必相等也盖同弧之心角大于界角一倍今于心角弧度去一半则两角必相等也凡圆之界角若立于圆界之半必为直角盖心角所对弧线若是界角所对弧线之一半则二角之度必等今界角对弧为半周将半周弧剖作二心角则二角皆为直角既为直角则界角对弧乃兼两心角对弧者安得不为直角乎

　　凡圆之界角若在半圆分之小分内必为钝角也如图甲乙丙为小半圆则所余甲丁丙为大半圆若将甲丁丙弧线于丁处平分又自圆心作戊丁戊甲两线丁甲弧大于圆周四分之一为钝角也又心角对弧若为界角对弧

　　之一半则二角度为相等今甲丁正得甲丁丙之半则戊为钝角乙亦为钝角也

　　凡圆之界角若在半圆分之大分内必为鋭角也如图甲乙丙为大半圆所余甲戊丙为小半圆若将甲丙为弧线两分于戊又自丁作丁甲丁戊两线成甲丁戊心角形此

　　心角形所对既不足圆界四分之一则为鋭角也既为鋭角则甲乙丙角必为鋭角可知矣

　　函圆形者有函圆切三角形函圆切四方形有函圆切多边形圆内切形者有圆内切三角形圆内切四方形圆内切多边形函圆众界形之度大于函于圆之界其函众界形之圆界度亦大于所函之众界形在外者大在内者小也故函形界必大于函于形界也

　　有一函圆众界形又一直角三角形此三角形一直角所生二直线内一直线度若与所函圆之辐线度等又一直线度与函圆众界形之各界共度等则三角形面积与众界形面积俱等也如自几边形之心至角作几线分为几三角求三角之中长线即辐线也底等髙等所作三角形俱等即所云二平行线内同底所作三角形俱等也合众三角形之底为一大三角形之底其面积当无不等也

　　一圆所函之众界形一直角三角形此三角形之一直角所生二直线内一直线度与彼圆自心至众界形界所作垂线度若等再一直线度与彼众界形之共界度若等则两形之面积俱等也

　　有一圆形有一勾股形若股如半径勾若全周则两形之面积必等也盖比前函圆之众界形则为小比前函于圆之众界形则为大就中间取之恰合无疑也夫函于圆之众界形辐线及界而不及弧是比圆为小也函圆之众界形辐线虽及弧而众界度共线又长是比圆为大也今以圆周及辐线取直角三角形而合之相等无疑则可得圆之面积也盖圆线式异于直线式难于符合然苟将圆线作万万段亦与直线近也

　　众界形或函圆或函于圆其界数愈多愈与圆界度相近如自函三边而为六边六边而为十二边十二边而为廿四边无论内外愈近圆界度数也试设一函于圆九十六边形又设一函圆九十六边形而作一圆若将函圆形作一千五百六十二分又将他形照此所分之度分之则函于圆形仅得一千五百六十一分矣而圆界度大于所函之众界小于函圆之众界必得一千五百六十一分余其圆界中心径线必得四百九十七分若即小数算之将圆界作二十二分则中心径线必得七分余故在圆界可得直线之度在直线亦可得圆界之度也

　　有一圆形又一众界形此圆界度若与彼众界度等则圆形之面积必大于众界形之面积也试凖前半径作股界度作勾之法求之则方周圆周之界度虽同而圆之垂线长方之垂线短则方所成之三角不及圆所成之三角而所函之面积方亦不及圆矣

　　凡平面上所立之线若无偏斜犹平阶立直柱其各边所生之角若俱直是谓平面上之垂线

　　相对两平面之角各垂线度若俱等此相对二平面谓之平行面

　　平面上所立之平面若无偏斜犹平地上作直壁是谓平面上之直平面

　　自三面四面以上其各瓣相并所存之角谓之厚角成厚角之平面各角度不足于四直角度也何也试将五面厚角尖使其平伸共为一平面则五瓣各相离而有空处

　　不能成圆面故不足四直角也若欲将四直角显尖作厚角其瓣大而不能成平面厚角矣

　　平面三棱厚角其三面内若将两面角并之必大于所余之一角度也试将三平面使之平伸而两角相并一角孤行则可见矣

　　凡平面上二直线相交处作一垂线莫偏斜则此线于平面上在在俱为垂线也盖若有偏则自平面上视之或成钝角或成鋭角既无偏斜则为直角既为直角则移向平面上处处俱为垂线矣

　　众线相交处立一垂线其角若俱直此所交之各线必在平面一也

　　平面上作二垂线正直立之此二线必互为平行也盖于平面上作一直线而正直作二垂线则所交直线之角皆为直角所谓二直线一边成内外之二角也凡平行二线之间任意自此一线至彼一线随处作直线斜线交线三角形线俱同原平行线在平面上二线与他一线平行虽在别面此二线亦互相为平行也

　　相对二平面间若横一线正垂在二平面上俱生直角此相对二面互相为平行面也盖于二平面上各作对角斜线两相交处为两平面之中而垂线正当两线相交之处而俱成直角则两平面上之两对角四边俱系平行则两平面亦必为平行者也

　　二平行而上凡相当之各二线俱为平行也

　　二平行面横穿一平面而皆成直角则中间缝线亦必平行也如以木版穿木版之状

　　各种面内积之处谓体依面之端名之也设如全身无角只有一圆面此谓圆体全身各面俱平而有角此谓平体立方是也其身有曲平两相襍谓之襍体如半截橄防是也全身相对之各二面俱平行此谓平行面体长立方长斜立方是也全身相对之面不平行而独两底面平行此谓底平行面体三角柱是也周围圆形而底与面平谓长圆体圆柱是也一平面底而立几平面俱合于一角而成大此总谓尖瓣体也底三角者为三瓣尖体底四角者谓四瓣尖体底众角者谓众瓣尖体若在平面上立圆面而成鋭尖此谓尖圆体也

　　所云圆体长圆体尖圆体此三种面俱生于一动之间耳以甲乙为枢心将甲乙丙作转式旋转一周即成为圆体也于甲乙丙丁平面形以甲乙为枢心以丙丁线界作转式旋转一周即为长圆体也于甲乙丙三角形以甲乙为枢心以丙界作转式旋转一周即尖圆体也枢心正则为正体枢心偏则偏体矣

　　凡体若面平行相当所对两边面积俱为等也如正方体六面相当则六面面积俱等如长方体各底面相当则底面之面积俱等也

　　凡体苟面积形式一同俱等谓全等体形不等而积等谓等积体积不等而式等谓等式体

　　平行面三凡体形自对角线分为两段此两段为全等体也

　　平行平面之间若同在一底立各平行体形其积俱为等如面例

　　平行平面之间有在等积底所立之各平行体形其积必俱等盖所立之处不同而其度同也故等也

　　平行平面之间有在等积三角形两底所立各三面体形此所立各体之积必俱等也理如前节

　　平行平面之间同在一底作一平行体形作一三面体形则三面体形必为平行体形之一半

　　各种体形难以发明必作图以明然有空实二端空者宗其空实者宗其实乃可耳

　　凡等式体苟立于等积之底其体之髙若等则其积俱为等凡尖圆尖瓣皆然也盖将大体截分为众小体其小体底度亦等也

　　有各种平行底之平面体与各种平面尖体两底积若等其髙数又等则此一平行底之平面体与彼平面尖体三形之积等推之平行面体与四瓣尖体三形之积等平行底之圆面体与圆面尖体三形之积等盖三面尖体为三平面平行底平面体三分之一四面尖体为平行面体三分之一尖圆体为圆柱体三分之一也若将实形作空形以水注之作比例可见

　　凡相等界度之体内其圆体所函之积数强于他种体所函之积也如一圆一方一十二瓣体论积皆不及圆盖如论面函于圆界之积大于各等边平形所函之积也六面俱为等面八角俱为直角是谓正方体

　　厚角正体有五种观于各面数而名之也一为四瓣面之体此四面每面有三角各三角各三界度若俱等是谓四瓣体二为六瓣面之体即正方体也三为八瓣面之体共八面面各三角各三界度若俱等是为八瓣面体四为十二瓣面之体此每面有五角各五界度若俱等是谓十二瓣体五为二十瓣面之体此每面有三角每面各三角各三界度若俱等是谓二十瓣体此正体五种外不生他形总不外三角四角五角之平面合而成也盖将三角平面形三瓣形合成一厚角余一面求角合角界合界必取等角等界之平面三角形也四瓣体是也将三角平面四形合之复加四形八瓣体是也将三角平面五形合之复加十五形二十瓣体是也然欲以三角六形合之不能成厚角矣盖六三角平面形界于界角于角而对合之成六角之平面形能为平尖不能显也是故三角形所生只于四瓣八瓣二十瓣自此而外无有也四角所成只于正方角此外无有也将五角平面形三形合之所成厚角即如十二瓣体是也此外不能成他角也至六角平面形则将三角相合已等于四直角能为平而已不成厚角也六角如此七八以上可知矣

　　凡比例面比面体比体线比线不同者不相谋也凡将两物度数互相比之此比出之度数为大为小谓之比例其比者与所比于物者俱谓率齐数之谓也其比之物谓前率其所比于之物谓后率也如甲乙二线相比此所比出之甲线或为长或为多乙线或为短或为少谓之比例也将此二线相比故谓之二率而所比之甲线谓之前率其比于之乙线谓之后率矣

　　凡两两相比谓之四率如一率与二率之比同于三率与四率之比此为同理比例也如一率甲二率乙三率丙四率丁乙线为甲线六分之五丁线为丙线六分之五则甲乙二线之比同于丙丁二线之比是谓同理比例苟求得乙线有甲几倍之数则可知丁线有丙几倍之数也

　　又凡四率将一率与三率分作几分将分数相等定凖此两率分度虽不同而分数为等于是以二从一以四从三防几分为均其一与二之比即如三与四之比为同理比例也

　　有两不同之比例如二率四率之分数相等而一率于二率为四之六三率于四率为四之五则不同矣而可相比例谓一与二之比大于三与四之比也前比例之数多再比例之数少也故又谓之两不相同之比例也有相连比例率如甲线一【一率】乙线二【二三率同】丙线四【四率】甲与乙之比同于乙与丁之比是谓相连比例仿此于相连比例之内将一率甲与三率丙比者谓隔一位加一倍之比例也将甲与丁比者谓隔二位加二倍之比例也将甲与戊比者谓隔三位加三倍之比例也比例难于讲觧试作圆以明之于大圆内作小圆于圆之中心作二线割小圆弧抵大圆弧则成大圆己甲庚小圆辛甲壬之甲角此甲角之对弧己庚苟为大圆之六十度则亦为辛壬小圆之六十度盖圆之大小虽不同而分数为等故以大圆周为一率庚己弧为二率小圆周为三率壬

　　辛弧为四率一与二之比同于三与四之比也两圆周为比之之率为前率两弧为比于之率为后率两两相当分数俱等是为顺理比例也仿此凡各率各度虽异相当之数若等一二之比同于三四之比俱为顺理比例又有几种论如左一种反比例反一为二反三为四仍相等也如前大圆周为一率大弧界为二率小圆周为三率小弧界为四率今以大弧界为一率大圆周为二率小弧界为三率小圆周为四率比例亦同也一种转理比例谓一与三比二与四比也以大圆周为一率小圆周为二率大弧界为三率小弧界为四率其比例亦无不同也

　　一种分理比例谓于一率三率中各减与二率四率相等之一分以比二率四率仍为相当比例也如二率四率原于一率三率为六之一今各减一率三率之一分则又为五之一比例亦然也

　　一种合理比例谓合原一率二率之数以比二率合原三率四率之数以比四率原各为六之一今又各为七之一也

　　一种更理比例谓换却二率四率之原数各更以他数如原各为六之一今又各为六之五也

　　一种隔位比例如有两项四率原为相当比例则以此四率中之一率与四率为比又以彼四率中之一率与四率为比合为一四率仍为相当比例率也

　　一种错综比例如此边有相连比例三率彼边亦有相连比例三率取此中末之比例彼中末之比固也苟错综之则取此中末之比例彼另设一线置于彼第一线之比又取此上末之比例彼另设一线与彼中线之比盖彼虽另设一线仍是相连比例线此相连之比同于彼相连之比此隔位之比亦同于彼隔位之比也一种相减比例如甲丙乙丁二线所有之三倍内减去丙戊丁己二倍互相之比同于原甲丙乙丁二线之比

　　也

　　一种相加比例如甲乙二线照本度各加三倍为丙丁线互相之比同于原甲乙二线之比也

　　得此比例线之法则面之相当者为比例面体之相当者为比例体也且线亦可以例面面亦可以例体也如甲六分线与乙三分线相比丙六分面与丁三分面相比戊六分体与巳三分体相比每每相当分数相等则互相为比例也

　　以二数相乗所得两数为均若以二线均为几度每各线度作小方形以此线小方乗彼线小方即成两直角四界形盖以一线为横一线为纵彼此互乗形亦均也又一线分为三度作小方形一线分为四度有竒作小方形一线横一线纵乗成函十二长方形而竒数亦附于方末也

　　又将前线所作方形取其半相乗亦得四方形也盖取三方之半而为六小方取四方之半而为八小方八六四十八六八亦四十八便成两函四十八之长方形而其总度仍相等也盖兼取其半而无改于原度故也四方直角平面形凡在一线可以相乗也如甲乙形欲

　　乗丙丁线则将此

　　形作四小方体又

　　将丙丁依甲乙所

　　分之厚分比之若得三分则将甲乙形三层垜之遂成函十二小方形之直角体也凡六面平行直角体必得垒一四边直角平面与一直线相乗而成也

　　凡两直角平面形欲相比例有两比例焉如大形之长度与小形之长度几倍为均大形之寛度与小形之寛度几倍为均是也然合【阙】比两比例仍是一比例如甲方之长与乙方之长三倍为均甲方之寛与乙方之寛两倍为均二三相乗为六则甲方之形与乙方之形之比例为六倍为均也

　　若长四倍为均寛三倍为均三四一十二则大

　　形与小形之比例为十二倍为均也再若大形之横度比小形十二为均小形之直度比大横直度三倍为均则以三除十二得四大形比小形四倍为均也若四倍则以四除十二得三倍为均皆成一比例也

　　有两直角形若此形之长倍于彼形之长而彼形之寛反倍于此形之寛则此两形之积为等也或一倍或三四五六倍皆然凡有相比例四率其在中之二率三率相乗所得数必同于一率四率相乗所得数也如一率二二率四三率三四率六以中率三四相乘为十二首尾率二六相乗亦一十二也试将三度四度之线相乗作长方形又将二度四度线相乗作长方形形虽不同而积等也故一二三率已知者也所求四率未知者也既求得四率则以一率与四率相乗所得数与二率三率相乗所得数无以异也如东河之水流速三倍西河之水流速六倍东河之流一秒十缸欲知西河之流一秒几何缸则以东河之三倍为一率西河之六倍为一率东河之十缸为三率求得西河之流二十缸试相乗之数为等也又如三个兵每月饷六两今已五月应饷几何则以三兵为一率六两为二率五月为三率求得饷银一十两试相乗之数又等也

　　有两个直角面苟此面之横界与他面之横界此面之纵界与他面之纵界比例若等则此两面相比之比例即为两界相比之比例隔一位加一倍之比例即前相连比例一条所云也盖两界之比例第为一倍之比例而两面之比例为加一倍之比例也如甲之横界大于乙一倍而为二纵界亦大于乙一倍而

　　为二则甲之面大于乙之面三倍而为四为二倍为均者二若甲之横界纵界各大于乙五倍则甲之面内与乙之面内六倍为均者有六矣

　　丙乙之边线为相连比例丙乙之面于相连比例中为隔一位加一倍比例今设一甲线为一分乙线为二分丙线为四分为相连比例则丙面与乙面之比同于丙线与甲线之比盖丙面大于乙面三倍丙线长于甲线三倍共为隔一位加一

　　倍之比例也

　　前数节所论直角面之纵横界比例等者谓之同直角面其两相比例之横界俱谓之相当界也

　　在相同直角面纵横两相当界之比例必等也

　　在相同直角面于两面相当之一界作为两方面则所作两方面互相之比即同于原面互相之比亦为隔一位加一倍之比例也

　　直角体则有三比例长也寛也厚也如大形之长寛厚各大于小形之长寛厚一倍则先成长寛倍之平面形于平面形上又叠一相等之平面形则亦倍厚矣倍而成平面则二倍为均者有二倍而成体则四倍为均者有二矣

　　有直角两体苟此一体之底与他一体之底为大一倍而他一体之厚与此一体之厚亦大一倍则此二体之积等盖即一体之竖起与放倒也

　　有两直角体苟此体之长寛厚界与彼体之长寛厚界相比之比例若俱同谓之同式体而长寛厚各一边相比例之界俱谓相当界也

　　凡两直角同式体互相比之比例为界比例之隔二位加二倍之比例也如大体之长寛厚比小体各大一倍则此两体相比之比为隔二位相加之比例也盖界线为相连之比例者倍而为平面为隔一位相加之比例又倍而为体则为隔二位相加之比例也苟作一相连比线之率甲为一分乙为二分丙为四分丁为八分又作一直角体与三界各加一倍之直角体则小体与大体之比同于一率甲线与四率丁线之比若知甲线比丁线为八分之一即可知大体比小体为八分之一也有直角同式两体在此两体比例相当之二界立作两四方体互相以比之其比例仍同于原体之比也盖原体为隔一位加一倍之比例则于两相当界所作体亦为隔一位加一倍之比例均是八分之一也

　　凡二平行线内凡有直角面互相之比同于与此两底互相之比也如甲己面之丙己底界与戊丁面之己丁底界若大三倍则甲己面与戊丁面亦大三倍也试将戊己相兼之纵界依此

　　界分与丙己己丁底界相乗成甲己面十二分戊丁面四分总为大三倍也

　　凡二平行线内所有凡平行四边面互相之比同于其两底界互相之比也盖同底所立之直面斜面积俱同则直面斜面之比例俱等故底若大三倍则

　　面亦大三倍也

　　凡在二平行线之间若有两三角形以两形积互相之比必同于两底界互相之比也盖同底所作之三角形为四边形之一半四边形之比例等则三角形之比例亦等故三角底若大一倍则三角形积亦大一倍底若大三倍则积亦大三倍也

　　凡三角几形之底俱在于一直线又与各底相对之众角皆聚于一处则其三角众形必在二平行线之间也观图可见

　　凡三角形作与底线平行之线不拘何处截断则两旁之线皆成四比例线如图甲丁与丁乙之比同于甲戊与戊丙之比是二段互相比之比例同也又甲丁一段与甲乙全线之比同于甲戊

　　一段与甲戊全线之比是分线之比例同也故曰四相比例也盖自乙至戊自丙至丁作乙戊丙丁二线分为几三角形此内之乙戊丁丙丁戊两三角形既在二平行线之间又同立于丁戊之底则其积等也又各増入甲戊丁三角形其积亦等也又甲丁戊丙丁戊两三角形其底线同在甲丙一直线而两角又相遇于丁即如前所云二平行线之间有两三角形则两形积互相之比必同于两形底界互相之比则甲丁戊形积比丙戊丁形亦同于底线甲戊比戊丙之比例再彼甲丁戊乙丁戊两形积之比亦同于甲丁丁乙两底线之比也再甲乙戊甲丁丙两形之积既等则甲丁戊形积与乙丁戊形积之比同于甲丁段与乙丁段之比而又同于甲戊段与丙戊段之比是以甲丁段与乙丁段之比必同于甲戊段与丙戊段之比也故以甲丁为一率丁乙为二率甲戊为三率可以求戊丙之四率也诚如是以甲乙丙全形之三角或与所分甲乙戊三角或与所分甲丙丁三角之比例俱为同也因其比例同而此三角全形所分两形之积既为等则甲丙丁所分形之甲丁底与甲丙乙全形之甲乙底互相之比其甲乙戊所分形之甲戊底与甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱为同也则甲丁段之一分为一率甲乙全线三分为二率甲戊段一分为三率甲丙全线四分为四率亦为相比例率也

　　凡在三角形内不论何处作与底平行直线则以所作平行线与原底线之比同于两边所截一段与各每边全线之比也

　　如图所截若甲丁段二分甲乙线六分则丁戊线亦为二分乙丙线亦为六分可知也何也试将甲乙丙三角形转以乙甲线为底于戊丁线之

　　戊处至己处作与甲乙平行线则己乙之度即戊丁之度准前节全线与截段相比之例则戊丁平行线与原为底乙丙全线之比必同于甲戊与甲丙全线甲丁与甲乙全线之比也故以甲戊为一率甲丙为二率戊丁为三率乙丙为四率为四相比例以甲丁为一率甲乙为二率戊丁为三率乙丙为四率亦四相比例率也大小三角形每每相当角若等则其积虽异而其形为同谓同式三角形也再有一三角形自此形分之出一庚子癸三角形又出一子丑

　　壬三角形此所分出两形与原形每每相当角俱等亦谓同式形也

　　三角众形内相当各二角度若等则余一角度必等亦谓同式三角形也盖三角相合必与二直角等足半周之度也

　　有众大小三角形若同式将众形相当界互相比之比例为同俱为相比例率也如二勾股同式形则此股与相当股之比必同于勾与勾之比股与股之比也试将勾股如前截一小勾股可騐矣

　　同式直角两形互相之比同于在此各一面相当界所作方形相比之比例盖三角积得方形之半全与全之比若半与半之比也

　　同式直角两形互相之比即是各一面相当界相比之比例为加一倍之比例也如甲线一分乙线二分丙线四分为相连比例线今两形之三边线若各大一倍则亦如直角四边形积为大三倍矣大三倍则非相连比例线而为甲线一分与丙线四分隔一位加一倍之比例也

　　同式钝角鋭角互相之比亦同于此各一面相当界所作方形互相比之比例而为在此各一边相当界互相比之比例隔一位加一倍之比例也理如前节

　　有多边众形其边数同而相当角度等谓同式多边形则大形甲边之比与小形甲边之比同于乙边与乙边之比也

　　有众曲界形在曲界形之或内或外作相函之各种直

　　界形其

　　式若等

　　亦谓同

　　式曲界形也两襍界形二圆分形亦于两中间各作三角形若同式即谓之同式襍界同式圆分也

　　大小各圆分之式若同其分限虽殊而分数必等与其分相对所成之心角必俱等也

　　将同式大小多边两形内为三角以分此所分相当大小三角形之式俱同也如两五边形各分为三三角形

　　则甲乙丙与己庚辛相当为同

　　式甲丙丁与己辛壬相当为同

　　式己壬癸与甲丁戊相当为同式盖两形相当角度等则相当界互相比之比例等也乙丙庚辛二界相当之比同于甲丙己辛相当二界相比之比例由是甲丙己辛之比同于丙丁辛壬之比而丙丁辛壬之比亦犹甲丁己壬之比而甲丁己壬之比亦犹丁戊壬癸之比故曰相同式也

　　凡同式多边大小众形互相之比同于在此相当界所作四方形互相比之比例而与此各一

　　面相当界互相比之比例为加一倍之比例也理如前

　　凡大小同式直界形互相之比同

　　于在其形内外相函之同式形各

　　相当界立作平面方形互相比之

　　比例如图甲乙丙庚辛壬相当三角各二形之比同于在甲丙庚壬所作方形相比之比例也盖大形所函者甲丙己丁之形小形所函者庚壬癸丑之形故于甲丙庚壬相当二界立作方形而得比例也

　　凡圆曲襍各种界形之内将每每一类同式形互相之

　　比同于在所比形之内外

　　相函同式形之每每相当

　　所作方形相比之比例也如

　　图大小二圆形内虽函六面同式多边

　　两形函甲己丙丁庚丑壬癸直角四边同式两形函甲丙丁庚壬癸三角同式两形而但取所函四边形甲丙壬庚相当界所作之方形便得圆形比例也盖众界之界愈多则于圆界愈近故将直角形分为千万界形在圆界可以近用之而圆曲形亦既可以为千万直界形以用之故将此二圆为同式直界互相之比同于在所函同式形之相当二界所作方形相比之比例也然则二圆互相之比同于或在辐线或在径线所作方形相比之比例可知矣

　　凡大小平面体之相当角度若俱等相当界互相比而比例若同是谓同式体正方体四瓣面体皆然若圆柱体则论其中所函尖瓣等体若同式则谓之同式圆体各种体之式若同将每每一类体互相之比同于在每每相当界作四方体相比之比例如于两同式尖瓣体之相当作四方体是也

　　同式各种体内将每每一类体互相比者同于在此内外各所函者函于者同式体之每每相当界作方体互相比之比例也如两球体函于两方体以小球则大球则以小方为一率小球为二率大方为三率可以得大球之四率也

　　自直角三角形之直角至相对界作一垂线分为两直角形则此大小三三角形俱为同式也盖中垂两傍所成俱为直角而乙角又不变两

　　角相等则一角亦等而丁变为甲甲变为丁矣丙角亦不变而与乙甲丁同为同式三三角形也自直角三角形之直角至于对界作一垂线截相对界为两段则所截之两段长者为一率短

　　者为三率而垂线为中率为相连比例三率也如甲乙丙甲丁乙两角俱为同式则比例必同以乙丁比甲丁同于甲丁比丁丙也

　　自直角作垂线至于对界在此垂线作四方形又将所分对界两段一段为长一段为髙合作长方形两积俱等也盖三线既为相连比例线

　　凡相连比例三线其中线自乗之积同于一线三线相乗之积故也

　　凡直角三角形是谓勾股勾股上两方合之与上方等积何也如图以甲乙丙全形分为甲乙庚甲庚丙大小两形是为同式形而每每

　　相当界互相比之比例同也于是以小形庚丙与全形甲丙之比同于全形甲丙与全形乙丙之比为相连比例率也则在甲丙中率所作四方形必同于一率庚丙为髙与三率乙丙为长相乗所

　　作长方形之积等也又大形乙庚与全形甲乙之比同于全形甲乙与全形乙丙之比亦为相连比例率而在甲乙中率所作方形同于一三合率所作方形之积等也今庚丁乙壬所分之两形与己丙戊乙两方形每等则将所分两形相合则乙丁方形自然与己丙戊乙两方形等可知矣

　　在勾股三界作凡同式三形上积兼有勾股之积也

　　在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圆在二小界作甲庚乙两半圆亦如前节为等也而甲庚乙半圆之甲戊乙弧一段甲己丙半圆之甲丁丙弧一段若减之则所余甲庚乙戊甲己丙丁二段又与甲乙丙原三角形之积等也

　　一圆之内二线不拘何处相交以相交所截之段互相转比之比例俱同为四相比例率也如图二线于己处相交以此戊己段与己丙段相比之比例将己丁己乙相比之位转之为己乙己丁虽以后为前以前为后比之其比例仍同而戊己己丙己乙己丁四段为相比例率也

　　盖乙戊己丁己丙两形此两形之乙角丁角既俱切于圆界而又同立于戊丙之弧则此二角为等而二角之己角为对尖之角其角亦为等二形之三角俱等即为同式也同式则戊己己丙相当二线互相之比即同于己乙己丁相当二线互相比之比例又戊己己丙己乙己丁四段俱为相比例率也

　　于圆径线不拘何处作一垂线将径线截为两段则所截之两段为一率三率而垂线为中率成相连比例也即勾股垂线之理

　　自圆外之凡一防出二线过圆界

　　之二处至相对弧界则此两全线

　　互相之比同于在圆界外所有之

　　二段转位以比之比例而为四相比例率也如圆自丙至丁自戊至乙相交作二线成甲丙丁甲乙戊两三角形则两形之丙戊二角既同切于圆界同立于乙丁之弧则丙戊等角也再甲角既系公共则亦等角也二角既等则同式矣同式则甲丙甲戊相当二界互相之比同于甲丁甲乙相当二界相比之比例以甲丙为一率甲戊为二率转位甲丁为三率转位甲乙为四率俱为相比例率也

　　将函于圆之三角形于甲角作平分角之甲戊直线则甲乙傍线与甲丁段直线之比即同于甲戊全直线与甲丙傍线之比也盖甲乙戊甲丁丙形之丙戊二角同弧同切其度为等而甲乙戊之甲角丁甲丙之甲角既自一角

　　而平分为两角其度亦必等是为同式形也则以两形之相当甲乙小界与甲丁小界之比同于又相当甲戊大界与甲丙大界之比也

　　将函于圆三角形之甲角为两平分自甲角至底线作甲丁直线分底线为两段以乙丁与丁丙之比同于甲乙傍线与甲丙傍线之比也盖自丁处作甲乙平行之丁戊线成戊丁丙小三角形则全形之乙角与小形之丁角为

　　平行线一边之内外角为等而丙角系公共角亦为等为同式形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角为平行线间之尖错交角度为等而甲丁戊甲乙丁之甲角原系平分亦为等是甲丁戊角之丁角甲角等可知两角既等则两等角所对甲戊丁戊线亦必等也是故全形甲乙线与甲丙线之比同于相当丁戊线与戊丙之比而甲戊线与丁戊线等则甲乙比甲丙亦若甲戊比戊丙也又丙乙丙甲二线既为丁戊平行线所截则乙丁比丁丙若甲戊比甲丙也

　　凡球体在长圆内苟此球径线与长

　　圆体之底径髙度若俱等则此球积

　　为长圆体三分之二也何则将球体

　　合长圆体于乙丁平分之又将半长圆体内减去半球体余乙己庚丁申丙癸凹面体为与己庚壬尖圆体等积等也何以知之将尖圆凹面二体俱与己庚底平行分为几段之面则两体之面积每段各相等也试将尖圆体分癸夘申一段之面积必与分曲凹形午癸申戌一段周围之面积等矣何也以壬癸半径作正方与壬子子癸两线作两正方并之为

　　等也又以壬癸半径线作一圆与以壬子子癸为两半径线作两圆并之为等也再壬乙与壬癸俱是一圆之

　　半径线必等而壬乙与夘午俱为

　　一长方之平行线亦必等则卯午

　　与壬癸亦必等也是则以壬子子

　　癸为两半径作两圆亦必等于卯午半径线所作一圆也今将夘午所作圆内减去与壬子线相等之癸卯线所作之圆即余癸午曲凹形一段周围之面与癸子为半径线所作圆面等也夫卯癸线与癸子线既为等线而卯癸与癸子为半径作两圆亦必等则癸午曲凹形之面积必与卯癸为半径作圆之面积等矣再将壬未半径作一圆以壬辰辰未为两半径作两圆等亦如前所云以

　　辰未为半径作一圆与壬未相等辰已线为半径作一圆之面积内减去辰未作圆之面积所余未巳曲凹形一段周围之面积与壬辰为半径作圆之面积等而壬辰与辰寅既为正方之等线则以尖体内之辰寅为半径作圆之面积与相对未巳曲凹形之面积等也夫两体每段所分既俱相等则全体亦必相等矣前云一尖圆体与一长圆体其底积髙数若等则尖圆体与长圆体为三分之一也所余曲凹形既与尖圆等积则亦三分之一而所减半球为半长圆体三分之二而全球为全长圆体三分之二矣

　　有一尖圆体又一半球体苟尖圆体底径与半球体径度等而尖圆体髙度与半球体半径又等则此尖圆体为半球体积之一半也盖尖圆为长圆三分之一而半球为长圆体三分之二则尖圆为半球之半也又球体径度与尖圆体底径度若等而球体半径与尖圆体髙又等则此一球体之积当四尖圆体之积也盖将尖圆加一倍则与半球等合四尖圆则与全球等也有一球体又一尖圆体苟尖圆体底面积与球体外面总积若等而尖圆髙度与球体半径又等则此两体之积为等也何也将球体从外面至心分为千万尖体此所分千万尖体之底积必与原球外面之总积等亦即与尖圆体之底面积等也又原尖圆体之髙与所分千万尖体之髙旣等则一尖圆体之积与所分千万尖体总积等也如是其所分千万尖体之总积既与原球之积等则此尖圆体之积必与此球体之积等可知矣

　　凡有一球体苟以此球体之半径作一圆则所作圆之面积于此球体外面积为四分之一也如前节之言既为相等又作一小尖圆体其底径与原球径等其髙与原球体半径等则于原球为四分之一而于前大尖圆体亦为四分之一也此大小两尖圆体之髙度既等其两底面积之比同于两体积之比例体积为四分之一底面积亦为四分之一而于球体外面之积亦为四分之一也因其为四分之一而小尖圆体之半径原与球体半径等则以此球体半径作圆之面积亦与球体外面积为四分之一可知矣

　　有一球体又一圆形苟此圆形之半径与球体径度若等则此一圆形之面积为与一球体外面积等也盖以球之半径作圆之半径则其面积为球四分之一若以球之全径为圆之半径则半径所作之圆视全径所作之圆面积又为四分之一矣何则凡圆互相之比同于相当界所作方形互相比之比例又为每相当界互相比之比例为加一倍之比例也兹两半径之比为大一倍而两圆面之比又加一倍即是半径作圆为一分全径作圆为四分既为四分则此圆面积与球体外面等积可知矣有长圆体又一长方体苟此长方体底面积与长圆体周围面积若等又此长方体髙度与长圆体半径之半又等则此长方体之积为与一长圆体之积等也何也将长圆体从壬癸

　　心线至外面分为千万长体则此所分千万长体之共积为子己长方体积之一半也盖子庚髙度与所分千万长体之壬丁髙度相等又长方体之庚己底面积与所分千万长体之底共

　　面积及长圆体甲丙周围面积等如前所云所分千万长体之共积与子己长方体为一半亦如以子庚髙度分一半为戊庚而戊己长体即与所分千万长体相等矣如是则戊己长方体积与甲丙长圆体等积可知也有一球体一长圆体苟此长圆体之底径度髙度与球体径度若等则此球体外面之积为与长圆体周围之面积等也

　　盖将球体半径乙壬分为六分用半径之半三分与戊

　　己庚辛长圆体之面积相乗得数照

　　前节所云为长圆体之积也又用所

　　分六分之二为乙壬半径三分之一

　　与球体外面积相乗得数为球体之积也夫球体比长圆体积为三分之二矣然用三与长圆体周围之面积相乗者为得长圆体积用二与球体外面积相乗者为得球体积今以球体与长圆体相比之比例同于为乗面积用三二两数之比例如是则球体外面之积与长圆体周围之积等可知也

　　有一平面鸭卵形其大径度与圆径若等则鸭卵形之平面积与圆面积之比同于以鸭卵形之小径与大径相比之

　　比例也何也将与戊己径线平行任分几线此每线假如庚辛与壬癸之比同于戊己与乙丁之比而为作鸭卵形之定理也今每平行线俱依此之比例即平行鸭蛋形之积与圆形之积相比同于乙丁小径与戊己大径之比例也

　　长方面内有平面鸭卵形正方面内有圆形苟长方之寛与鸭蛋形小径度等长与大径度等而正方一边度又圆径度俱与鸭蛋形大径度等则以长方面积与正方面积之比例同于以鸭蛋形面积与圆形面积相比之比例也又鸭蛋体大径与球体径度若等则鸭蛋体外面积与球体外面积相比之比例同于以鸭蛋体小径与大

　　径相比之比例也何则将两体外面俱分几平行圆此每圆假如以子丑圆界与寅卯圆界之比同于以子丑圆径与寅卯圆径之比也今照作鸭蛋形之定理而子丑径与寅邜径之比同于戊己径乙丁径相比之比例诚如是其每大圆界与相对小圆界俱依此为比例则两外面积之相比同于两径之相比可知矣

　　有能函鸭蛋体之长圆体则鸭蛋体外面之全积为与长圆体周围之积等也则试以鸭蛋体之大径作球之径又作一函球之长圆则函球之长圆与函鸭蛋之长圆周围面积之比同于两底圆界相比之比例亦同于大径线与小径线相比之比例也又球体之面积与函球体之周围面积既等则以函球体周围面积与函鸭蛋体周圆面积之比亦同于大径与小径之比也则是鸭蛋体面积与函鸭蛋体周围面积二项与球体面积相比皆同于大径与小径之比则鸭蛋与函蛋体两项面积相等可知矣

　　有一鸭蛋体函于一球体则两积之比同于鸭蛋体小径线所作正方面与球体大径线所作正方面相比之比例也

　　有一鸭卵体有一恰函鸭蛋体此两体积之比同于球体积与函球体积相比之比例也

　　有一鸭蛋体恰函于长圆体内则鸭蛋体积为得长圆体积三分之二也盖蛋体与函卵体之比同于球体与函球体之比则彼为三分之二此亦三分之二也有一长方体恰函鸭蛋体有一见方体恰函球体则长方体积与鸭蛋体积之比同于见方体积与球体积相比之比例也又长方体积与见方体积之比同于鸭蛋体积与球体积相比之比例也

　　有一球体恰函于长圆体内若将此两体俱于寅邜处

　　分之此所分球体子丙丑一段之

　　凸面积与所分相对长圆体寅巳

　　庚卯一段之周围外面积为等也

　　何则假如于癸子丑辰小长圆体内减去壬子丑小尖圆体此所减小尖圆体积为小长圆体积三分之一其所余者必是三分之二而此所分寅子丑邜曲凹体之一段周围面积与子丑线为径作相对圆之面积等矣如是则乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体与癸子丑辰小长圆体此二体之底面积髙度既等其体积亦等而乙寅子丑卯丁曲凹体之积与壬子丑小尖圆之积等矣然因何为等盖壬子丑小尖圆体所分每每圆之面积与所分相对每每曲凸体周圆之面积等也壬子丑小尖圆体积既为癸子丑辰小长圆体积三分之一又此小长圆体积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为相等则是乙寅子丑卯丁曲凹体之积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为三分之一苟于乙子丑丁球段内减去壬子丑一小尖圆体余乙子壬丑丁球体一段之积与乙寅卯丁一长圆体积为三分之二也若于乙寅卯丁长圆体内减去壬寅卯尖圆体为此乙寅卯丁长圆体三分之一余乙寅壬卯丁长圆体一段之积与乙子壬丑丁球体一段之积等也今将乙寅壬卯丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体之共底面积相乗得数为乙寅壬卯丁一段之体积数也又以此乙子壬丑丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体若以乙壬半径为髙度用三分之一与所分千万尖体之共底面积相乗得数为乙子壬丑丁一段之体积数也如前所云此乙寅壬卯丁一段体积与乙子壬丑丁一段体积既等则此两体面积亦必等而此乙丙丁半球体凸面积与乙己庚丁半长圆体周围外面积亦等若于半长圆内减去乙寅邜丁一段外面积于半球体内减去乙子丑丁一段外面积此所减之乙子丑丁一段面积与彼所减之乙寅邜丁一段面积为相等此所余子丙丑球体一段面积与彼所余寅己庚邜长圆体一段面积相等可知也有鸭蛋体一半有球体一半若全球体径度与全蛋体大径度等而半鸭蛋体髙度与半球体髙度亦等则此半蛋体外面之积与半球体外面积同于以蛋体小径度与球体径度相比之比例也理同前

　　有大小半鸭蛋体有大小半长圆体若全体之小径与全体之底径等而大小半体之髙度又等则此大小半鸭蛋体外面之积与大小半长圆体周围外面之积等也何则试作一鸭蛋体外函以球体又外函以长圆体照甲己髙度截于寅丑为长

　　三分之一则全与全半与半之比亦若三分之一与三分之一之比也是小半蛋体之外面积与小半球体外面之积之比亦若函小半蛋体外面之积与函小半球体长圆之外面积相比之比例而小半球之外面积既与函球小半长圆之外

　　面积等则小半蛋体之外面积安得不与函蛋体小半长圆之外面积等乎

　　有一鸭蛋体恰函于一球体内则以鸭蛋每段之积与相对球体每段积之比同于以鸭蛋体小径之所作正方面积与球体径度所

　　作正方面积之比也如图甲寅邜一段与相对球体甲子丑一段俱与乙丁戊己大小径线平行分为几圆面此所分蛋体每圆之面积与所分相对球体之每圆面积之比同于以乙丁小径度所作正方面积与戊己大径度所作正方面积相比之比例如是则以甲寅邜之体积与甲子丑之体积之比同于乙丁径之方面积与戊己径方面积相比之比例可知矣

　　在一直线一边立垂线法如乙丁线欲于乙边作垂线则将规矩一股任意立于甲丁线上或

　　丙处为心又以一股自乙处转作一圆则于丁乙线之甲处相交自相交丁处过丙心至相对圆界作一直线此线于戊处与圆界合自戊处至乙处作一戊乙直线即垂线也

　　分圆界为三百六十度法则照圆之辐线度分此界为六段六段分为十二段十二段各平分为三段则为三十六段三十六段各平分为五段则为

　　一　百八十段一百八十段又各平分为二段则成三百六十段矣

　　一直线上欲作一三十度角则将甲乙线照分度圆之丙丁辐线度截于戊处又以规矩一股立于甲一股自戊处旋转作一弧线乃以规矩取圆界

　　之丙庚度将弧线截于己处自己至甲作一直线即为三十度角也

　　有丁戊直线欲于丙处作平行线则以规立于丙向丁戊线作弧线如甲又以规取丙甲度立于乙向丙防平行作一弧线又照甲乙度以规立于丙向第二次所作弧线处再作一弧线则二线于己处相交自丙至乙作一直线则成平行线也

　　如甲乙线上作一四方形则以规矩立于甲作丙乙弧线又立于乙作甲丁弧线又于甲乙两头如法立甲丙乙丁垂线于丙丁二处相切又作丙丁一直线即成为四方形矣

　　如乙圆之外有甲防欲于此防作切圆线则于甲防至圆心作一直线又以乙为心

　　以甲为界作甲丙弧线又自甲乙线所割丁处作丁己垂线截外圆界于丙又自丙至乙作一直线又于丙乙线所割戊处作甲戊线则所求之切线也

　　欲知圆界内等角之角度则三角形各六十度四界形角各九十度五界形角各一百○八度六界形角各一百二十度七界形角各一百二十八度三十四分十七秒【度各六十分分各六十秒】八界形角各一百三十五度九界形角各一百四十度十界形角各一百四十四度十一界形角各一百四十七度十六分二十二秒十二界形角各一百五十度

　　作函圆多界等度之各种形法则自圆心作几辐线【三边作三线四边作四线余仿此】

　　于辐线末各作切界线引至合角则成函圆多界形也

　　作函多界俱等各种形圆法则照平分直线法作垂线引二垂线相交处为心以角为界即成函多界之圆形也

　　各形作内切圆亦照分直线法以交合处为心以边为界即是也

　　一三角形一圆形欲于此圆外作切界三角形与原有之三角形同式如图将乙丙底线引长作辛壬线即成乙丙两外角即于图作

　　与辛乙甲等之子癸戊角作与壬丙甲等之己癸子角于癸己子三辐线末作垂线引而合之即成同式形也何也盖三角形之三角相并必与两直角等今丑戊癸子四边形作戊子线分

　　为两形此四边形之四角相并必与四直角等就中减戊子原作之两直角所余癸丑两角相并亦与两直角等也又直线上内外并必与二直角等则辛乙甲外角甲乙丙内角并之必为两直角今戊癸子角既为效辛乙甲所作则戊丑子角必等甲乙丙角可知矣凖此而论则丙角必等于卯角甲角必等于寅角又可知矣若欲于圆内作切界同式三角形如图任意作与甲角等度之辛角将角逐线引至圆界作辛庚辛戊二线再自戊至

　　庚作一直线又于戊处仿乙角作戊角引线至壬切圆界再自壬至庚作直线即成同式形何也盖戊壬庚庚辛戊两形同立于戊庚之弧而

　　壬辛两角同切于圆界则两角为等因其为等此辛角原仿甲角而为比壬等于辛则亦必等于甲也又戊角乃仿乙角而为比亦必等也二角既等则庚角之等丙角可知矣

　　勾股形作容方则以直角为心勾末为界规作一象限将弧线两平分处作直线至直角分线为两于线分处作一勾垂线又作一股垂线

　　即成两直角也

　　有甲乙直线欲将此直线为正方对角线与正方边相较之所余求作一正方则以甲乙线为一边线作一小正方作甲丙小对角线又以丙为心乙为界作一圆又引甲丙线至戊作甲戊为大正方一边线作大正方即是所求之正方也何也引甲

　　乙线至己为对角线乙己之线与戊己之线等盖丙乙丙戊同为小圆之辐线则戊乙两角为等也若于丙乙己丙戊己二直角内减去乙丙戊则所余乙戊两角又等也两角既等则两边亦等而甲乙为戊己相较之余也

　　有一直线将此线为底作一两边等度而两边各一角为上一角之倍则将两头各作七十二度角两线引长相交则上角必三十六度也若以一直线为两边等度线则作一三十六度角两边如线之长而止又作一底线则下两角各七十二度也

　　若欲以一直线为五边形之一边则如前于此线之两头各作七十二度之两边等形于此形外作切角圆形再于两长边弧线度各平分

　　之则成五边形也何则丙乙弧之界角为三十六度若为心角则七十二度则丙乙弧乃得圆分之七十二度于圆分为五分之一也则于甲丙弧及甲乙弧各两分之合成五分故为五边形也

　　理分中末线将全线求大小分则将全线为一边线作一两边等度两底角与上一角各大一倍之三角形又作五边形乃自甲至乙作直

　　线截于丙处则丁戊为全丁丙为大分戊丙为小分得相连比例也盖丁甲乙戊两弧线度等则甲戊丁乙甲戊两角度必等又戊甲乙角与

　　戊丁乙角共立于乙戊弧则角度亦等也再甲戊乙与戊甲丁两角本相等若以等角内减去甲丙戊形则所余丁甲乙丁戊乙两角必等矣然则丁戊乙角原系与乙丁戊角为大一倍作者则丁戊乙角比甲戊丙戊甲丙两角为等矣其丁丙甲角因为甲丙戊之一外角与丙甲戊丙戊甲两内角为等而丁丙甲与丁甲丙两角为等矣因其等则丁甲丁丙两线为等也又丁甲甲戊两线原等其甲丁戊角必与甲乙丁角等而丁戊甲甲戊

　　丙大小两三角形内小三角形之丙甲戊角与大三角形之甲丁戊角亦等又丙戊甲之戊角与丁戊甲之戊角原系共角亦必等因大小两三角形既等是为同式则以戊丁线与甲丁线相比之比同于以戊甲线与丙戊线相比之比例而丁甲与丁丙等戊

　　甲与丁甲等亦与丁丙等则以丁戊全线与大分丁丙相比之比同于丁丙大分与丙戊小分相比之比例为相连比例也

　　欲平分甲乙一直线为数段则于甲乙末各作一直线如丙丁将丙丁各为平分作线割甲乙

　　线则甲乙线亦为平分也于是甲乙线与乙壬线之比同于甲丁线与丁己线相比之比例矣

　　又如有甲乙线于己辛两处分为三分又有丙丁一线亦欲分为三分为相比例三率则以甲乙线丙丁线为平行线自甲乙之末各分直线切丙丁线末至

　　戊相防又自辛己两处各作两线亦合于戊则丙丁线即分为三分而为甲乙线之相比例三率矣

　　有直线二率作与此相连比例三率线法如有八分

　　甲乙四分甲丙之二线求作一二分

　　之相连线则将甲丙甲乙二线合成

　　甲角又于乙末増甲丙线度为甲戊

　　线自乙至丙作一直线又于戊作乙

　　丙之平行线如戊己将甲丙线引至己处则所引丙己线度即为二分之分而为甲乙甲丙相连比例第三率也【甲乙甲丙乙戊丙己为比例四率乙戊同甲丙除去不用则甲乙与甲丙之比同扵甲丙与丙己之比也】有直线三率欲作相比例第四率线再为相比例数率线则照様作甲丙线而以甲乙线度截于乙处乃用规矩以甲为心以乙为界作一弧线而取乙丁线度一股立于乙一股交于弧线得相交之丁处遂作乙丁线又作甲戊线切丁

　　末如甲丙度长又作与乙丁平行之戊丙线其戊丙线即为第四率也盖甲丙全与甲乙段之比同于丁乙平行线与戊丙底之比比例同也若欲作相比例数率则将甲戊甲丙线引长如癸子中作平行数线分为五叚即得十相比例率也故以甲乙与甲丙之比同于丁乙与戊丙之比例甲丙与甲己之比同于戊丙与庚己之比例甲己与甲辛之比同于庚

　　己与壬辛之比例甲辛与甲癸之比同于壬辛与子癸之比例也

　　比例尺二股各有平分线分为二百余分假如有丁戊一线欲分为十分则以规矩取丁戊线度立于尺各二百分之乙丙二防将尺乙丙二处照丁戊线度开之使不移动次以规矩立于尺之第二十分之己庚二防取己庚之间度此间度即是平分丁戊线为十分之度也何也如甲乙丙三

　　角形为己庚平行线所截则甲己与甲乙之比同于己庚与乙丙之比例甲己二十分甲乙二百分为十分之一乙丙十分己庚一分亦为十分之一也

　　于比例尺作圆之诸线之总线法则自甲之合处至乙丙二末作二线于甲乙之丁处为心以甲乙两末为界作半圆而分半圆界为百八十度自甲处至所分圆界各作线而立规矩一股于甲处又以一股于戊二十度己四十度庚六十度辛八十度壬百度癸百二十度子百四十度丑百六十度等处取线度各作于甲乙甲丙两线上即为诸线度之总线也其取用之法若欲知寅角之度则以规矩一股立寅处一股任意作夘辰弧线随取寅夘辐线之度立于尺之六十度之丁未处将尺之丁未照辐线度开之勿动乃将

　　规矩取夘辰弧线之度放于尺两股所容中间何处恰好若恰容在八十度之申酉处则是现原有寅角八十度之线也何则若作丁未申酉二直线则甲申酉之三角形为平行之丁未线所截则甲丁与甲酉之比同于丁未与申酉之比也然则甲丁为六十度线甲酉为八十度线其与底平行之丁未线既与小圆辐线等所以丁未线为小圆六十度之线申酉线亦为小圆八十度之线以此知寅角夘辰度之为八十度也如此凡大小圆之辐线度安于尺之六十度处照此开之其大小圆之诸线之度俱现于两股间也【以六十度通即半径故】

　　于比例作分平面线法自甲之合处至乙丙二末作直线截甲丙线于丁处照甲丁度于甲末作甲戊垂线自戊处至所截丁处作戊丁线照戊丁线度将甲丙线截于己处自戊至己作戊己线又照戊己线度将甲丙线截于庚处自戊至庚作戊庚线照此不止作至

　　丙末又将甲乙线亦照甲丙所截截之即成分平面线也何则于甲丁戊直角三角形之三界作三正方形甲丁甲戊上方相等者也丁戊上方兼甲丁甲戊两方者也至甲己之界即丁戊之界是甲己上方比甲丁上方为大一倍甲庚方大甲丁方为二倍也由是推之甲庚方大甲己方一倍甲辛方又大甲庚方一倍如此则甲辛甲壬等界上方俱是大于甲丁界上方三倍四倍可知也苟有一癸子平面四方形欲大于此形二倍之四方形则以规矩取癸子界度立于丁处将尺照此度开之勿动次将规矩取尺庚寅处度作方即大于癸子方二倍也盖于丁丑庚寅作二线而甲庚寅之三角为丑丁平行线所分则以甲丁比甲庚若丑丁比寅庚也甲庚既大于甲丁二倍则寅庚亦大于丑丁二倍矣有二直线欲以此二线作中比例线法则将二直线相连为圆径以平分处为心以两末为界作圆形然后于二线连接处作垂线切圆界则为中比例线也

　　有二直线作中二率比例线如图将二线合为直角又引作十字线如丁与丙取矩尺庚癸二角正跨两引线上使矩尺壬辛股二处正切于甲戊之末遂作甲癸癸庚庚戊三线其所现乙癸乙庚则为中二率线

　　也盖以戊癸之丑为心戊末为界作半圆以甲庚之寅为心甲末为界作半圆则乙癸线者甲庚半圆径上之垂线为甲乙乙庚之中率也乙庚线者戊癸半圆径上之垂线

　　为乙戊乙癸之中率也则以甲乙线比乙癸线同于以乙癸线比乙庚线也以乙癸线比乙庚线同于以乙庚线比乙戊线也故曰中二率也

　　于比例尺作分体线法则于甲之合处至二股之乙丙二末作甲乙甲丙二线以规矩取丁己方体之戊己界度立于甲而截于甲乙线之庚处次作大于戊己界一倍之辛壬线依前法求得中二率为癸子丑寅二线将癸子界作见方体则此

　　体大于丁己见方体一倍也盖四线为相连比例率而戊己与辛壬为加二倍之比例则丁己卯子二体为同式而以戊己癸子各一界相比之比例为加二倍之比例也戊己辛壬二线之比因同于丁己卯子二体之比例若辛壬第四线大于戊己一倍则卯子体亦大于丁己体一倍矣次将规矩取癸子界度一股立于甲一股照此度截于甲乙线之辰处则此度所作方体大于原丁己体一倍矣再作比原丁己体之戊己界长二倍之己未线照前求中二率之申酉戌亥二线将申酉第二率线度取于规矩一股立于甲一股截甲乙线之干处则甲干界度所作方体比原丁己体为二倍可知也照此不止作大于丁己体之戊己界或三四倍或五六倍之

　　长线如前求得中二率将所求第二率度截于尺线上即成比例尺之分体线也若有一坎庚见方体欲作一大于此二倍之体则以规矩取坎庚体之艮庚界度将比例尺之所截庚处照此开之勿动次将比例尺第三所截干处之开度取于规矩即是大于坎庚体二倍之形界盖甲庚线与甲干线之比同于以庚庚与干干线之比例甲干上方大于甲庚上方二倍则干干上方必大于庚庚上方二倍可知矣又有易分之法如一面之界度长一百厘则以此界一百厘自乘再乘则此体积共乙百万厘大此一倍之体数为二百万厘其二百万厘体之一面界度为一百二十五厘又大二倍之体数为三百万厘其三百万厘体之一面界度为一百四十四厘如此累加将外界之厘数书明又将厘度分于尺寸欲书入比例尺则将所书之数以规矩取所分之度初照一百厘界度截比例尺之庚处次照一百二十五厘界度截于辰处三照一百四十四厘界度截于干处不止至末与前法所分俱为同也

　　有一直角四界形作为与此等积之正方形如图将甲乙乙丙合为一直线求得中率之丁乙线作丁戊正方形为与甲丙等积也盖相连比例三率其中率自乘之积与首率末率相乗之积等故丁己上方与甲乙乗乙丙之方等积也

　　凡有三角形知其一角之度及角两旁之界

　　度或知其二角之度及一界之度或知三界度而不知角度欲求全知法如甲乙丙三角形知丙角为三十七度角两旁丙甲界长十四丈丙乙界长十三丈则作与丙角为等之丁角亦三十七度角傍丁戊界作为十四分长丁己界作为十三分长自戊至己作直线相防与甲乙丙大形同式将戊角之度取于规矩安于分度圆界看容多少便知戊角度若干若容七十度则大形甲角之度亦为七十度矣又小形己角可知为七十三度则大形乙角亦七十三度矣再因小形戊己界分作九分可知大形甲乙界之为九丈矣余皆如此盖即小以知大举一以例余也

　　作不用比筭测髙深广逺各种三角形之仪器法先作甲乙丙半圆界分为百八十度将此半圆之丁甲丁乙丁丙三半径线每每分为一百分各作直线纵横相交防如碁局再于径线之两末作两立表安住不动又于丁心处如图作一逰表如戊己将逰表亦如半径度分为二百分再于此仪器后面挂一坠线为庚即可按线而测矣如欲测旗杆之髙则将仪器之丁心安于所立之处定准坠线

　　以甲乙径线两末之立表与旗杆癸处对准为地平穏住不动再将戊己逰表与旗杆尖之辛处相对准次量所立之丁处至旗杆癸处得若干若得四十丈则看仪器地平线上自丁心起用四十分当四十丈如子再防子处垂线与上逰表相交处得若干若得三十分如丑则旗杆之髙为三十丈也若欲测丁辛线数则防自丁至丑相交处得若干分若得五十分则相当数为五十丈也若欲测丁癸辛三角形之各角度则癸角既为直角再防圆界自乙至游表相交处得若干度为丁角度与九十度相减所余者为辛角度也

　　画地图者选戊己两处可以尽见诸形先于戊处立仪器指诸要数处看所成之数角各得几何度记之次移仪器到己处将不动表与己对准为地平亦指于诸要数处看所成之数角亦各几何度亦记之然后取一幅纸任意作一线为戊己相当线将前所测角度仿而作之一　一与前相当成数三角形其中边所有之形一一画上即成图也若将大图蹲入小图则将大图分为数正方形小图亦分为数正方形与大图相当将大图中某方形内所函之山河城渠村林依蹲而入于小图即与原大图同也　凡有多界形仿此或为大或为小之同式形方如甲乙丙丁一无法形欲减各界之半作同式形则任意自一壬处作诸对角线又任意将甲乙界之度取其半为甲乙平行线作于甲壬乙

　　壬二线之间恰容癸子处照此于对角线间作诸界之平行线则所成癸子卯己之形即是原有形每界减一半之同式小形也苟欲作大于原有之形则将对角线任意引长而照前任意加为界度与原界作平行线即成所欲作之大形也或自一角发线亦可

　　凡两数相乗者平行方数也如二三相乗为六是也三数连乗者立方数也如二三乗得六又乗以四则为四六二十四也【以上为几何原本】

　　凡一与三之比同于四与十二之比一与五之比同于十二与六十之比二之比三亦犹四之比六也六之比九也盖凡可以倍计者皆可为比例二其二而为四二其三而为六三其二而为六三其三而为九故三与九之比同于六与三十六之比【按末句有误数】

　　凡可以度尽大数之众小数相合于此加数根之一所得之总数与所度之大数等也如大数有六可以小数二三度尽若加数根一则亦六也

　　大数二十八可以小数二四七十四度尽若将二四七十四与数根之一并之则亦二十八也

　　有一比例数求与此比例相等之相连比例数法如三与五之比例求与此比例相等之相连比例几将三自因得九又三与五因得十五又五自因得二十五则此九与十五及二十五之三数为三与五比例相等之相连比例三数也三与五之比同于九与十五之比例九与十五之比同于十五与二十五之比为相连比例也又将三因九因十五因二十五得二十七及四十五与七十五又将五因二十五得一百二十五此所得二十七四十五七十五一百二十五之四数为三与五比例相等之相连比例四数同于三与五之比例也

　　凡一数除众数所除得数之比同于原众数之比也如以三归十二而得四以三归十五而得五则四与五之比若十二与十五之比也而四与十二之比同于五与十五之比也

　　有同相比例四数其首末相乗所得数与中两数相乗之得数等也有相等两方数则此纵与彼纵之比同于以彼横与此横之比也如四六相乗与三八相乗皆为二十四则以此之六比彼之八以彼之三比此之四比例为等也

　　凡以两数除一数而尽此得之两数相比若所用以归除两数之比也如四除三十六而得九六除三十六而得六则九六两数之比若六四之比也

　　凡有平加众数此众数内之凡一数若作为原数将此数以上有几位平加几次相差之数与首数并之得数为与原数等也如上所列之数若将十五作原数此十五以上有四位而众数原平加之数系三若将三之四次数而与首数三相并得十五与所作原数之数等也由此推之若于平加众数内凡减一位将所余之位数与原平加之数相乗得数与众小数内至小数相并与众数内至大数为等也假如上六数内减一数余五数将此五与平加之三相因得十五与至小数三相并得【三六九二五八一一一】　十八为与至大数相等矣

　　凡平加众数若将此数内之两数相并所得数与两傍相等隔位之他两数相并得数等也如十二与九为廿一十五与六亦廿一十八与三亦廿一也盖升愈升降愈降合降与升则但见平也

　　又将此内凡一数之两傍数相加折半即与中间数等也如十五加九为廿四折半斯得十二矣十二加六为十八折半斯得九矣十八加十二为三十折半斯得十五矣其理则前节可推也

　　又此平加众数若将首末两数相加以所有几位之位数相乗得数折半则与原有众数之总数等也如十八加三为廿一以位数六乗之得乙百二十六折半得六十三与众数之总数等也盖照前节推六数相加合成三十三今以六乗故必折半也若五位或七位之竒数理亦相同

　　凡平加之位若是竒数则以中一位之数与位数几相乗即得众数之总数也如所列以中一位一○乗位数五得五十即为众数之总数也盖首尾相加乗位数折半而得总数今中位乃首尾相加之一半故以乗位数【四七○三六一一一】总数【○五】　即为总数也

　　凡有自一每位平加二比例众竒数之总与位数自乗之得数等也如所列总数得四十九以位数七七自乗亦四十九也若一三五七九五位总数二十五以位数五自乗亦二十五也理如前节以中一位数乗位数同盖七位则七为中五位则五为中故也亦如首乗相并【一三五七九一三一一】　折半乗位数之理也

　　凡有自二每位平加二之比例众偶数以位数加一以与位数相乗即与众数之总数等也如所列位数是七加一为八以与位数七相乗为五十六即总数之数也亦即首末相加折半乗中一位之理也若位数是偶则【二四六八○二四一一一】　以位数自乗可得众数之总数也

　　凡平加比例之众数如所列以小数一与大数十一相减余十以平加数根二除之得五再加入小数一得六【一三五七九一一】　即原有之位数也

　　凡平加比例知小数及位数与平加数根而求大数法如所列知小数三知位数六知平加数根四将位数六减一余五与平加数四相因得二十加十入小数三即大数为廿三也

　　若欲知小数则亦以位数六减一余五与平加数四相因得二十以与大数十三相减余三则此三即为至小数也

　　若知小数及位数及平加数根而求知总数则先察得大数为二十三加入小数三为二十六以与位数六相乗得一百五十六折半得七十八为所求之总数也若知大数及平加数根及位数而求知总数法亦如之若知大小两数及位数求平加数根法则将三与廿三相减余二十又将位数六减一为五除之得四则此四为平加数之根也

　　若知大小两数及平加数根而求位数法则将大数与小数相减余二十以平加数四除之得五加一为六即是所求之位数也

　　若知平加之数根与位数及众位之总数而求至大至小之两数法则将总数七十八以位数六除之得十三为首末两数相加之一半又将十三加倍作廿六为首末两数相加之总数乃将位数六减一余五与平加数根四相乗得二十为至大数又将前所得之二十六与此二十相减余六为小数之加一倍数此数折半为三是所求之至小数也将三加入二十得二十三为所求之至大数也此法之理备于前矣

　　凡不等两数求一数可以度尽之法如二十与廿四相减余四又将四与二十相减余十六以十六与四相减余八以四减八则无余则此四为度尽两数之数也谓之转减亦谓之纽数

　　三边无角不可以相比例则必先求中长线以为正然后角可求也然中长线之数为正而仅有半径无角无余则其数又不可知故以勾求股之术求之除一边为则总较之术所求者勾也盖两之总之较既具于上两边矣所求者欲破下边以为两勾而得其较耳两之总乗之较以两勾之总除之必得较矣【钝角则以较除而得总】以勾较之余取其半以益较必得大勾矣存其半必得小勾矣如此则中长线之数可明而勾股相求之术可施既得勾股之数则用以与半径正余相比例而角可得矣

　　一角有角无对边数两边有边无对角数则皆不可以互求矣然此两边所对之角乃与得角合成半周度是此角之外之弧度即两角之度也但未知两角之大小何如剖分耳惟外角有平行之对角与两角之一角等度则虽其数未可知而其形可剖欲知其数者必以两角之较求之欲知两角之较者又必以两边之较例之两边有总有较半外角又有切线则可因是以求半较角矣以半较角减半外角则小边对角之度得矣其余一角则可以三隅反矣

　　三较连乗者求三角容圆之半径也○三较者三边与半总相较之余也三较连乗所得之数乃容员半径自乗又乗半总之数也故以三较连乗为中率而以半总除之则得容员半径之积数矣以积数开方则得半径矣○两数所以相合者何也盖引伸三较于一边则半总也从两边之角直剖为长线于第一较处横断作小勾即容员半径也至末总断作大勾而以容员半径乗之即二较三较相乗之数也小勾自乗比乗大勾如第一较与半总之比例则二较相乗以小勾自乗乗之亦如第一较与半总之比例

　　【阙】

　　钱百文买果百颗　梨一颗钱三文　柑一颗钱二文橄榄七颗钱一文　算得梨四颗钱十二文　柑四十颗钱八十文　橄榄五十六颗钱八文【按此条前后皆有阙文】

　　庄氏算学卷二

<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>

　　钦定四库全书

　　庄氏算学卷三

　　淮徐海道庄亨阳撰

　　勾股测量

　　立表杆测法【凡立表杆必用垂线取直并量所立地距人立尺寸以取凖】

　　测髙【设有一旗杆距人立处三丈欲知其髙立表杆测之】

　　法以距旗杆三丈处立一表杆髙四尺【如图丁丙】向前又立一表杆髙八尺【如图戊己】看两表端与旗杆顶齐【如图甲丁】量两表间相距五尺【如图丁庚】乃以五尺为一率前表八尺内减后表四尺余四尺【如图戊庚】为二率距旗杆三丈【如图丁辛】为三率求得四率二丈四尺【如图甲辛】加入后表四尺得二丈八尺【如图甲乙】即旗杆之髙也

　　测逺【设有一树欲知其逺用表杆测之】

　　法先立一表杆对树【如图甲乙】次于表杆处取直角横量十五丈立一表杆【如丙】再依次表立一表杆对树参直【如丁】乃于丁表处作垂线至丙乙线界【如图丁己】量得五丈复量丙

　　己度得三丈爰以三丈为一率五丈为二率十五丈【丙乙】为三率求得四率二十五丈【如图甲乙】即树之逺也

　　比例【比例者以原有之两数为例以今有之一数与之比较而得所求之数也凡比例皆列四率以二率三率相乗以一】

　　【率归除得四率为所求】

　　正比例【一名异乗同除】

　　法以原有之两数为一率二率今有之一数为三率得四率为所求凡一率与三率为类二率与四率为类设如每三人赏银一两八钱今应赏二百四十人共该银若干　法以原有之三人为一率一两八钱为二率今有之二百四十人为三率求得四率一百四十四两即赏银总数

　　转比例【一名同乗异除】

　　法以今有之一数为一率原有之两数为二率三率得四率为所求假如有田一畆原濶八步长三十步今要濶十二步该长若干　法以今濶十二步为一率原长三十步为二率原濶八步为三率求得四率二十步即今所求之长数【葢乗除之数逓増逓减者为正比例总数相同分者多则得数转少分者少则得数转多为转比例】

　　正比例带分

　　设如每铜二斤六两换锡三斤九两今有铜七斤十二两该换锡若干

　　法以原铜二斤六两通为三十八两为一率原锡三斤九两通为五十七两为二率今铜七斤十二两通为一百二十四两为三率求得四率一百八十六两即今所换锡数以每十六两为一斤除之得十一斤零十两

　　转比例带分

　　设如营造每日用五十六人计一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人完工该几何日

　　法以今用六十四人为一率因分母为九【即命一月为九分也】加入分子三共十二为二率原用五十六人为三率求得四率十分半满分母九分收为一月余一分半即命为一月又九分月之一分半为完工之日数若欲知一分半之日数则以九分为一率以一月通为三十日为二率以一分半为三率求得四率五日是为分子日数

　　合率比例【系合两比例或合三比例用一次除乗而得】

　　设如以夏布换绵布但知每夏布三丈价银二钱每绵布七丈价银七钱五分今有夏布四十五丈应换绵布若干

　　法以夏布三丈与绵布价银七钱五分相乗得二两二钱五分为一率夏布价银二钱与绵布七丈相乗得一两四钱为二率夏布四十五丈为三率求得四率二十八丈即夏布四十五丈所换绵布之数【此两比例合为一比例法】如分两比例算之则先以夏布三丈为一率价银二钱为二率今夏布四十五丈为三率求得四率为价银三两即夏布四十五丈所值银数再以绵布价银七钱五分为一率绵布七丈为二率夏布所值银三两为三率求得四率二十八丈即为夏布所换绵布之数

　　设如原有鹅八只换鸡二十只鸡三十只换鸭九十只鸭六十只换羊二只今有羊五只问换鵞几何

　　法以羊二只与所换鸭九十只相乗得一百八十只再以所换鸡二十只乗之得三千六百只为一率以原鸭六十只与原鸡三十只相乗得一千八百只再以原鹅八只乗之得一万四千四百只为二率今羊五只为三率求得四率二十只即羊五只所换鵞数【此三比例合为一比例法】如欲分三比例算之则先求羊五只所换鸭数以羊二只为一率鸭六十只为二率今羊五只为三率求得四率得鸭一百五十只即羊五只所换鸭数次求鸭一百五十只所换鸡数以鸭九十只为一率鸡三十只为二率今羊五只所值之鸭一百五十只为三率求得四率得鸡五十只即羊五只所值鸡数然后求鸡五十只所换鵞数以鸡二十只为一率鵞八只为二率今羊五只所值之鸡五十只为三率求得四率得鹅二十只即羊五只所换鵞数也

　　测髙【设有一旗杆不知其逺今欲求其髙用表杆两测求之】

　　法先立一表杆髙四尺【如图丁丙】向前又立一表杆髙八尺【如图戊己】看两表端与旗杆顶齐【如图甲丁】量两表间相距五尺【如图丁庚】记之再退后三丈对凖前表立一表杆髙四尺【如图壬癸】向前又立一表杆髙八尺【如图子丑】看两表端与旗杆顶齐【如图甲壬】量两表间相距一丈【如图壬夘】乃以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减余五尺【如图壬寅】为一率前表八尺与后表四尺相减余四尺【如图子夘】为二率先测与再测相距之三丈【如图壬丁】为三率求得四率二丈四尺【如图甲辛】加入后表髙四尺得二丈八尺【如图甲乙】即旗杆之髙如欲求其逺则以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减余五尺【如图壬寅】为一率再测之距度一丈【如图壬夘】

　　为二率两测相距之三丈【如图壬丁】为三率求得四率六丈【如图壬辛】即旗杆距退后表杆之逺

　　又法设塔一座欲知其髙用相等两表测之

　　法先立一表杆比人目髙四尺人离表杆六尺防塔顶与表端齐又自前表退后六丈复立一表杆亦比人目髙四尺人离表杆八尺防塔顶与表端齐乃以前表距分六尺与后表距分八尺相减余二尺【如图己壬】为一率表比人目髙四尺【如图辛庚】为二率两表相距六丈【如图辛戊】为三率求得四率十二丈【如图甲癸】加表比人目髙四尺【如图癸乙】共十二丈四尺【如图甲乙】即人目以上之髙再加人目距地之尺寸即塔顶距地平之髙如求塔距前表之逺则以两表

　　距分相减之二尺【如图己壬】为一率前表距分六尺【如图丙丁】为二率两表相距之六尺【如图辛戊】为三率求得四率十八丈【如图戊癸】即塔距前表之逺再加六丈即塔距后表之逺又法设楼一座欲知其髙以不等两表测之

　　法先立一长表比人目髙六尺人离表五尺四寸防楼与表端齐又退后二丈立一短表比人目髙四尺人离表六尺四寸防楼脊与表端齐乃以前表比人目髙六尺【如图丙丁】为一率前表距分五尺四寸【如图目丁】为二率后表比人目髙四尺【如图戊己与庚辛同】为三率求得四率三尺六寸【如图目辛】为前表与后表同髙所得之距分【庚目辛勾股形与戊壬己勾股形同】爰以三尺六寸【如图目辛与壬己同】与后表距分六尺四寸【如图目己】相减余二尺八寸【如目】图壬为一率后表比人目髙四尺【如图戊己】为二率前表距分五尺四寸【如图目丁】内减三尺六寸余一尺八寸【如图辛丁】与两表相距之二丈【如图己丁】相减余一丈八尺二寸【如图戊庚】为三率求得四率二丈六尺【如图甲癸】加表比人目之髙四尺【如图癸乙】共得三丈【如图甲乙】即人目以上之髙再加人目距地尺寸即楼脊距地之髙

　　又日景测髙【设一旗杆量日景长十丈问髙防何】

　　法于同时立一表杆髙四尺量表景长二尺乃以表景二尺为一率表髙四尺为二率旗杆之景一丈为三率求得四率二丈即旗杆之髙

　　矩度测量【矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横竖俱界线画成小方分对中

　　心所出线两边安表取中心安逰表定凖坠线以成勾股】

　　测髙【设有一旗杆距人立处三丈欲测其髙防何】

　　法用矩度以定表看地平逰表看旗杆顶得距地平分四十分【此矩度系界画为一百分自中心平分半矩为五十分】乃以半矩五十分【如图丁己】为一率所得距分四十分【如图辛己】为二率距旗杆三丈【如图丁庚】为三率求得四率二丈四尺【如图甲庚】即矩度中心所对地平至旗杆顶之髙再加矩度中心距地【如图庚乙】即所求旗杆之髙也

　　测逺【设有一树欲求其逺用矩度测之】

　　法须平安矩度以定表与逰表定凖正方直角定表对树随逰表所指立表杆二三处横量十五丈复安矩度定表对表杆逰表对树得矩中心距分三十分乃以距

　　分三十分【如图戊丁】为一率半矩五十分【如图戊丙】为二率横量十五丈【如图丙乙】为三率求得四率二十五丈【如图甲乙】即所求树之逺也

　　重矩测髙【设山一座欲知其髙以重矩测之】

　　法用矩度以定表看地平逰表看山顶得距地平分四十分又向后量九丈复安矩度以定表仍看前矩定表所看原处逰表看山顶得距地平分三十二分乃以前矩距分四十分【如图己庚】为一率半矩五十分【如图丙庚】为二率后矩距分三十二分【如图辛壬】为三率求得四率四十分【如图丙子】乃以后矩之半矩五十分与四十分相减【后矩之辛壬丑勾股形与前矩之癸子丙勾股形相同】余十分【如图丁丑】为一率后矩距分三十二分【如图辛壬】为二率两矩相距九丈【如图丁丙】为三率求得四率二十八丈八尺【如图甲戊】即矩度中心所对地平至山顶之髙再加矩度中心矩即所求山之髙　若求山距后矩之逺则以相距矩分相减之十分【如图丁丑】为一率半矩五十分【如图丁壬】为二率两矩相距之九丈【如图丁丙】为三率求得四率四十五丈【如图丁戊】即后矩距山之逺减两矩相距九丈即前矩距山之逺

　　又法设有一石欲知其逺不取直角于左右两处测之

　　法先平安矩度于右以定表对左矩中心逰表看石得距中心距分三十七分五厘其逰表之斜矩分为六十二分五厘次安矩度于左以定表对右矩中心逰表看石得距中心距分十一分二厘五毫其逰表之斜距分为五十一分二厘五毫横量两矩相距三十九丈乃以两矩中心距分相并得四十八分七厘五毫【如图甲乙与丙丁两勾股相并】为一率右矩逰表之斜距分六十二分五厘【如图右丁】为二率横量三十九丈【如图右左】为三率求得四率五十丈【如图石右】即右矩距石之逺如求左矩距石则仍以四十八分七厘五毫为一率以左矩逰表之斜距分五十一分二厘五毫【如图甲左】为二率仍以三十九丈为三率求得四率四十一丈【如图石左】即左矩距石之逺也

　　又法设隔河一树欲知其逺不能定直角斜对树两测求之

　　法先平安矩度于一处复随定表所指横量十七丈安一矩度【如止用一矩度则记凖一处亦可】以先安矩度定表看后安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分四十九分其逰表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分十五分其逰表之斜距分为五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减为三十四分【如图戊乙】为一率先安矩度逰表之斜距分七十分【如图乙先】为二率横量十七丈【如图先后】为三率求得四率三十五丈【如图树先】即先安矩度距树之逺如求后安矩度距树则仍以三十四分为一率以后安矩度逰表之斜距分五十二分二厘【如图丁后与戊先等】为二率仍以十七丈为三率求得四率二十六丈一尺【如图树后】即后安矩度距树之逺

　　尖圆体【圆底尖堆得长圆体三分之一倚壁尖堆二分之一内角堆得圆底尖堆四分之一外角

　　堆得圆底尖堆四分之三】

　　圆底尖堆设积米一堆髙五尺底周一十四尺问该米数几何

　　法以底周十四尺用圆周求面积法求得圆面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二毫有余为尖圆堆之防面积再与髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余【为长圆体积】三归之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为圆底尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得米一十石零三升九合八勺有余即所求圆底尖堆之米数

　　倚壁尖堆设倚壁积米一堆高四尺底周六尺该米几何

　　法以底周六尺【此全圆周之半】倍之得一十二尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余【为全圆面积】折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余为倚壁尖堆之底面积再以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余【为半周长圆体积】三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余为倚壁尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得三石零五升五合七勺有余即所求倚壁尖堆之米数

　　倚壁内角堆设倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺该米几何

　　法以周一十二尺【此全圆周四分之一】四因之得四十八尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余【此全圆面积】四归之得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余为倚壁内角凖之底面积再与髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分【为长圆一角之体积】三归之得七十六尺三百九十四寸三百七十分为倚壁内角堆之积数然后以石率除之得三十石零五斗五升七合有余即所求倚壁内角堆之米数

　　倚壁外角堆设倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺该米几何

　　法以周三十三尺【此全圆周四分之三】三归四因得四十四尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二毫有余四归三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十六厘四十四毫有余为倚壁外堆之底面积再以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为倚壁外角堆之积数然后以石率除之得九十二石三升七合有余即所求倚壁外角堆之米数

　　截积

　　正方形从一边截积设正方积二百二十五尺今欲于一边截积四十五尺问截濶几何

　　法以总积二百二十五尺开平方得十五尺为正方边以十五尺除截积四十五尺得三尺即截积之濶于十五尺内减三尺余十二尺即截剰余积之濶也

　　正方形从两边截积设正方积三百六十一尺今欲截积一百六十五尺余积仍为正方形问应得边数几何

　　法以总积三百六十一尺与截积一百六十五尺相减余一百九十六尺开平方得一十四尺即截积所除之正方边

　　长方形截积设长方形一万九千二百尺长比濶多四十尺今减积二千八百八十尺问余积长濶各几何

　　法以总积一万九千二百尺用带縦平方得长一百六十尺濶一百二十尺今如欲截濶则以长一百六十尺除截积二千二百八十尺得十八尺为截积之濶于原濶一百二十尺内减十八尺余一百零二尺即截剰余积之濶如欲截长则以濶一百二十尺除截积二千二百八十尺得二十四尺为截积之濶于原长一百六十尺内减二十四尺余一百三十六尺即截剰余积之长截积

　　勾股形截上段积设股三十六尺勾二十七尺今从上段截积五十四尺问应截长濶各几何

　　法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五十四尺倍之【即甲丁与丁戊相乗之长方】为三率求得四率八十一尺开方得九尺即所截之濶【葢股与勾之比必同于甲丁丁戊相乗之长方与丁戊自乗之正方之比】再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之濶九尺为三率求得四率十二尺即所截之长

　　勾股形截下段积设股三十六尺勾二十七尺今从下段截斜方形积四百三十二尺问截长及上濶各若干

　　法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内减所得四率六百四十八尺余八十一尺开方得九尺为所截之濶再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率濶九尺与勾二十七尺相减余十八尺【如图己丙】为三率求得四率二十四尺【如图戊己与丁乙等】即所截之长或用勾股形有边求积法求得勾股积四百八十六尺内减从下段所截之斜方积四百三十二尺余五十四尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所得之濶即上濶上段之长与股三十六相减即下段所截之长

　　三角形截积算法与勾股形同【底濶如勾中长如股】

　　斜方形截上段积设两直角斜方形长二十四尺下濶二十尺上濶十二尺今从上股截积一百六十八尺该截长濶各几何

　　法以长二十四尺为一率下濶二十尺内减上濶十二尺余八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三十六尺为三率求得四率一百一十二尺再以上濶十二尺自乗得一百四十四尺与所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之濶乃以上下两濶相较减之八尺为一率长二十四尺为二率截濶与上濶相减余四尺为三率求得四率十二尺即所截之长

　　斜方形截下段积设斜方形长二十四尺上濶十二尺下濶二十尺今从下段截积二百一十六尺求截长濶

　　法以长二十四尺为一率下濶内减上濶余八尺为二率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以下濶二十尺自乗得四百尺内减所得四率一百四十四尺余二百五十六尺开方得一十六尺即所截之濶再以上下两濶较减所余之八尺为一率长二十四尺为二率下濶二十尺内减截濶十六尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截下段之长

　　梯形

　　梯形截上段积截下段积

　　法俱与斜方形同

　　上下两濶较比斜方形为二倍截积比斜方形亦为二倍故其比例皆同

　　梯形自一边截勾股积设梯形长一百二十尺上阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百五十尺求截长阔几何

　　法以长一百二十尺为一率上濶二十尺与下濶八十尺较减余六十尺折半得三十尺【如图乙戊】为二率截积四百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十五尺开方得一十五尺为所截之濶【如图乙辛】乃以半较三十尺为一率长一百二十尺为二率截濶十五尺为三率求得四率六十尺即所截之长

　　梯形自一边截斜方形积设梯形长一百二十尺上濶四十尺下濶八十尺今自一边截斜方形积四千二百尺求所截之上下濶

　　法以上濶四十尺与下濶八十尺较减余四十尺折半得二十尺为所截斜方形上濶与下濶之较又以截积

　　四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺除之得七十尺为所截斜方形上濶与下濶之和加较二十尺得九十尺折半得四十五尺即下濶减较二十尺得五十尺折半得二十五尺即上濶

　　分积

　　三角形平分面积一半仍与原形同式

　　设三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边四十二丈面积三百三十六丈今分面积一半与原形同式问所截三边各长若干

　　法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一百六十八丈为二率底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八毫为所截之底边乃以原底边为一率大腰边为二率所截底边为三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘有余即所截之大腰边又以原底边为一率小腰边为二率所截底边为三率求得四率十四丈一尺四寸二分有余即所截之小腰边○凡各形截积仍欲与原形同式者算法

　　仿此

　　圆面截弧矢形有矢求圆设圆形径一尺二寸矢濶二寸四分求长

　　甲乙为全径甲戊为矢丙丁为甲丙丁为截弧矢形

　　法以矢濶二寸四分为首率圆径一尺二寸内减矢濶二寸四分余九寸六分为末率首末率相乗得二十三寸零四分开方得四寸八分为中率【即丙戊】倍之得九寸六分为弧矢形之

　　圆面截弧矢形有求矢设圆形径一尺七寸长一尺五寸求矢濶

　　法以长一尺五寸折半得七寸五分自乗得五十六寸二十五分为长方积以圆径一尺七寸为长濶和用带縦和数开方法算之得濶四寸五分即矢形之矢弧矢形求圆径设弧矢形长一尺一寸矢濶四寸求圆径

　　法以矢濶四寸为首率长一尺二寸折半得六寸为中率以中率六寸自乗首率四寸除之得九寸为圆之截径加矢濶四寸即圆径

　　圆面截弧矢形求积

　　法用勾股八线表比例求截弧之度分随比例得所截弧背之丈尺乃自截弧至圆心作一弧背三角形以半径数与弧背之丈尺相乗得数折半为弧背三角形之面积又自圆心至作一平三角形用半径与矢相减余数为中垂线以中垂线与相乗得数折半为平三角形面积两三角形面积相减即弧矢形面积

　　又法以矢与相加以半矢乗之得数为弧矢形面积此法较前法微疎如无八线表则以此法算之并积

　　两正方形并积有边较求分积及边

　　设大小两正方积共四百一十尺大方边比小方边多六尺问分积及各边几何

　　法以共积四百一十尺加倍得八百二十尺又以两方边较六尺自乗得三十六尺与八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为两方边之和加较六尺折半得十七尺为大正方之边减较六尺折半得十一尺为小正方之边以方边各自乗得积数

　　两正方形并积有边总求分积及边设大小两正方形积共六百一十七尺两正方边共三十五尺求分积及各边之数几何

　　法以共积六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以两边和三十五丈自乗得一千二百二十五尺与倍积相减余九尺开方得三尺即两方边之较两边和三十五尺与边较三尺相加折半得十九尺即大正方之边减边较三尺得十六尺即小正方之边次方边各自乗得积数

　　两正方形相并有边较积较求各边设大方边比小方边多七尺大方积比小方积多三百四十三尺求各方边

　　法以积较三百四十三尺用边较七尺除之得四十九尺即两正方边之和加较七尺折半得二十八尺为大正方之边减较七尺余二十一尺为小正方之边两正方形相并有边总积较求各边设大小两正方边共三十一尺大正方积比小正方积多一百五十五尺求各边

　　法以积较一百五十五尺用两边和三十九尺除之得五尺为两方边之较与两边和三十一尺相加折半得十八尺即大正方之边减较五尺余十三尺即小正方之边

　　两正方形并积有积较求各边设大小两正方积共一百三十尺大正方积比小正方积多二十二尺求各边

　　法以积较三十二尺与共积一百三十尺相减余九十八尺折半得四十九尺即小正方之积开方得七尺即小正方之边小方积四十九尺与积较三十二尺相加得八十一尺即大正方之积开方得九尺即大正方之边三正方形并积有三边较求各边设三正方形共积三百八十一尺大方边比次方边多六尺次方边比小方边多三尺求各方边

　　法以大方边比小方边所多之较六尺自乗得三十六尺又以次方边比小方边所多之较三尺自乗得九尺两数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减余三百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积【其濶为三小正方边长为三小正方边两大方边较两次方边较】又以大方边较六尺倍之得十二尺次方边较三尺倍之得六尺两数相并得十八尺为长濶较用带纵较数开方法算之得濶二十四尺归之得八尺即小正方边加次方边所多之较三尺得十一尺即次方边再加大方边所多之较三尺得十四尺即大正方

　　容面

　　圆面容正方设圆径十尺问内容正方边几何

　　法以圆径十尺自乗得一百尺折半得五十尺开平方得七尺零七分一厘有余即圆面内所容正方边也圆面容三角形设圆径二十尺问内容三角形之一边尺寸防何

　　乙丙与半径等甲乙丙为正勾股形全径为乙丙为勾则甲丙为股

　　法以圆径二十尺为折半十尺为勾用勾求股法得十七尺三寸二分有余即圆面内所容三角形之一边三角形容正方面设三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺问内容正方边防何

　　法先用三角形求中垂线法求得十二尺为中垂线与底四十四尺相加得五十六尺为一率中垂线十二尺为二率原底边四十四尺为三率求得四率九尺四寸二分八厘有余即三角形内所容正方边也

　　三角形容圆面设三角形每边一尺二寸问内容圆面径防何

　　乙丙丁勾股形与甲丙丁勾股形同式丙丁勾为乙丁之半则甲丙勾亦必为甲丁之半甲丁与乙甲等故甲丙圆面半径得乙丙中垂线三分之一倍之即为全径

　　法先用三角形求中垂线法求得一尺零三分九厘有余为中垂线以三归之得三寸四分六厘有余为圆面半径倍之得六寸九分二厘有余即所求圆面径

　　勾股形容正方设勾九尺股十二尺问内容正方边几何

　　法以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺为一率勾九尺为二率股十二尺为三率求得四率五尺一寸四分二厘有余即勾股形内所容正方面边也

　　勾股形容圆面设勾九尺股十二尺问内容圆面径几何

　　乙庚与乙戊等庚丁与丁己等于乙丙与丙丁勾股和内减乙丁所余为戊丙及丙己二段各为圆面之半径相并即为全径

　　法以勾股求法求得十五尺为乃以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺内减数十五尺余六尺即所容圆面径

　　鋭角钝角三角形容圆面式

　　法先用三角形有边求积法求得三角形积倍之为长方积并三边共数除之得数为圆面半径加倍即为全径

　　按分逓折比例　二八差分　三七差分　四六差分　逓折差分　加倍减半差分

　　设有人一千六百名二分赏银八分赏米求赏银赏米人数各几何

　　法以二分八分相并得十分为一率人一千六百名为二率二分为三率求得四率三百二十名即赏银人数再以八分为三率求得四率一千二百八十名即赏米人数

　　设有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之求各得米数若干

　　法以二分为甲衰八分为乙衰二归八因得三十二为丙衰三数相并得四十二分为一率米数五百八十八石为二率若以甲衰二分为三率则求得四率二十八石即甲应分米数若以乙衰八分为三率则求得四率百一十二石即乙应分米数或以丙衰三十二分为三率则求得四率四百四十八石为丙应分之米数设有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八逓减纳之甲户三十乙戸四十丙戸五十丁户六十戊户七十问各户该纳若干

　　法以逓减最少之戊户为二衰丁户为八衰挨次二归八因则丙户为三十二衰乙户为一百二十八衰甲户为五百一十二衰再以甲户三十与甲衰五百一十二相乗得一万五千三百六十为甲户共衰数　以乙户四十与乙衰一百二十八相乗得五千一百二十为乙户共衰数　以丙戸五十与丙衰三十二相乗得一千六百为丙户共衰数　以丁户六十与丁衰八相乗得四百八十为丁户共衰数　以戊戸七十与戊衰二相乗得一百四十为戊户共衰数　乃以五等衰数相并得总衰二万二千七百为一率粮数二千六百五十五石九斗为二率以甲衰五百一十二为三率求得四率五十九石九斗零四合为一甲户应纳粮数以四户三十乗之得一千七百九十七石一斗二升为甲户共纳粮数　以乙衰一百二十八为三率求得四率十四石九斗七升六合为一乙戸应纳粮数以乙户四十乗之得五百九十九石零四升为乙户共纳粮数　以丙衰三十二为三率求得四率为一丙户应纳粮数以丙户五十乗之得数为丙户共纳粮数　丁戊二等算法仿此以上系二八差分之式

　　设有银五千两令二县分支东县支七分西县支三分问各支若干

　　法以三分七分相并得十分为一率银五千两为二率若以东县七分为三率求得四率三千五百两即东县应支之数以西县三分为三率求得四率一千五百两即西县应支之数

　　设以车载物行十里限二十刻今已行七里该几刻方到

　　法以十里为一率二十刻为二率十里减去已行七里余三里为三率求得四率为六数即再行六刻方到

　　设有熟丝四百九十七两七钱按绢绫缎逓次三七分织问各该若干

　　法将三数三因之得九分为绢衰三归七因得二十一分为绫衰七数七因之得四十九分为缎衰三数相并得总衰七十九分为一率总丝四百九十七两七钱为二率若以缎衰四十九分为三率则求得四率三百零八两七钱为织缎余数以绫衰二十一分为三率则求得四率一百三十二两三钱为织绫线数以绢衰九分为三率则求得四率五十七两六钱为织绢线数设有田一百三十八亩每畆徴米二斗今欲七分徴米三分折丝每米一石折丝一斤问各该若干

　　法以三分七分相并得十分为一率以米二斗乗田一百三十八畆得总米二十七石六斗为二率七分为三率求得四率十九石三斗二升即徴米之数再以总米二十七石六斗减去徴米十九石三斗二升余八石二斗八升为折丝之数以米一石为一率丝一斤通为十六两为二率折丝米八石二斗八升为三率求得四率一百三十二两四钱八分以斤法收之得八斤四两四钱八分即米三分折丝之数

　　以上系三七差分法

　　设有水田三百畆令上下二戸四六分灌问各灌若干畆

　　法以四分六分相并得十分为一率田三百畆为二率以六分为三率求得四率一百八十畆即上户应灌之田以四分为三率求得四率一百二十畆即下户应灌之田

　　设有粮一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按四六逓次应载问各载若干

　　法以四分为戊衰六分为丁衰挨次六因四归得九分为丙衰十三分半为乙衰二十分二五为甲衰五数相并得总衰五十二分七五为一率粮一千二百六十六石为二率以甲衰二十分二五为三率求得四率四百八十六石即甲舟应运粮数以乙衰十三分半为三率则求得四率三百二十四石以丙衰九分为三率则求得四率二百一十六石以丁衰六分为三率则求得四率一百四十四石以戊衰四分为三率则求得四率九十六石为各舟应运粮之数

　　设有熟稻七百九十九畆六分八厘令甲乙丙三人挨次以十分之六收获问各分收若干

　　法以一百为甲衰六十为乙衰三十六为丙衰三数相并得总衰一百九十六为一率稻七百九十九畆六分八厘为二率甲衰一百为三率求得四率四百零八畆又以乙衰六十为三率求得四率二百四十四畆八分以丙衰三十六为三率求得四率一百四十六畆八分八厘即三人应收之米数

　　以上系四六差分法

　　设有银一千二百六十六两五钱令四商以十分之七逓次贩货出卖问每人该银若干

　　法以一千为第一人分数七百为第二人分数四百九十为第三人分数三百四十三为第四人分数合并得二千五百三十三分为一率银一千二百六十六两五钱为二率以四商分数各为二率求得各四率第一人五百两第二人三百五十两第三人二百四十五两第四人一百七十一两五钱为各贩货之数

　　设有生铜入炉三次每次镕去渣十分之二今得浄熟铜三百四十八两问原铜防何

　　法以八分自乗再乗得五百十二分为一率十分自乗再乗得一千分为二率熟铜三百四十八两为三率求得四率四百八十四两三钱七分五厘即原铜之数设有绢四百七十丈一尺八寸四分令三等人戸挨次照十分之六出之上户二十五中戸三十下戸四十八问每戸出若干

　　法以一百为上等分数以二十五戸乗之得二千五百分以六十为中等分数以三十五户乗之得一千八百分以三十六为下等分数以四十八户乗之得一千七百二十八分三数相并得总衰六千零二十八分为一率绢四百七十丈一尺八寸四分为二率以三等各衰为三率求得各四率上户七丈八尺中户四丈六尺八寸下户二丈八尺零八分即三等人应出之数

　　设一人织绢日加一倍四日而成六丈七尺五寸问日织绢若干

　　法以一为初日分数二为次日分数四为三日分数八为四日分数合并得十五分为一率绢六丈七尺五寸为二率以一二四分各为三率求得四率四尺五寸为初日所织倍之得九尺为次日所织又倍之得一丈八尺为次三日所织又倍之得三丈六尺为第四日所织合之共六丈七尺五寸也

　　设一人借银为商三次每次得利比本银加一倍每次还银二百两三次本利还尽亦无余银问原本若干

　　法以一为本银分数二为本利共分四为二次本利共分八为三次本利共分即以八分为一率原本银一分为二率又以一为第三次还银分二为第二次还银分四为第一次还银分合并得七分与二百两相乗得一千四百两为三率求得四率一百七十五两为原本银数

　　设有田一千二百畆令甲乙丙丁四人挨次逓减一半分种问各种若干畆

　　法以八为甲分四为乙分二为丙分一为丁分合并得十五分为一率田一千二百畆为二率以甲八分为三率求得四率六百四十畆即甲所种田数折半则乙得三百二十畆又减半则丙得一百六十畆又减半则丁得八十畆也

　　设有银三千一百六十两令三等人逓次减半分用一等二十名二等二十四名三等三十名问每等人得银防何

　　法以四为一等分数以二十乗之得八十分二为二等分数以二十四乗之得四十八分一为三等分数以三十乗之得三十分合并得一百五十八分为一率银三千一百六十两为二率以各等人数各为三率求得四率一等银八十两二等四十两三等二十两即各等每一人应得银数

　　以上皆各等差分之例

　　按数加减比例　逓加逓减差分　超位加减差分互和折半差分　首尾互凖差分

　　设有金六十两令甲乙丙三人依次逓加五两分之问各得若干

　　法以三人为一率六十两为二率一人为三率求得四率二十两为乙应得金数加五两则为甲之数减五两则为丙之数

　　设有银九百九十六两分给八人自末名以上逓加十七两问首末二人各得若干

　　法以八人为一率九百九十六两为二率一人为三率求得四率一百二十四两五钱再以十七两折半得八两五钱加之得一百三十三两为第四人应得银数再加十七两得一百五十两为第三人再加十七两得一百六十七两为第二人再加十七两得一百八十四两为首二人应得银数又将原数以八两五钱减之得一百一十六两为第五人应得银数再以十七两逓减三次余六十五两即末一人应得银数

　　设有一百人首名赏银一百两以下逓减五钱问该银若干

　　法以一分为一率逓减五钱为二率九十九分为三率求得四率四十九两五钱即第一名多于百名之数于一百两内减之得五十两零五钱即第一名应赏之数又与第一名赏银各得一百五十两零五钱以百名乗之得一万五千零五十两折半得七千五百二十五两即赏银总数

　　设一人行路日增六里共行三百二十里但知初末两日所行共一百六十里问该行防日初末两日各该若干里

　　法以初末二日共行之一百六十里折半得八十里乃共日之中数为一率一日为二率共行三百二十里为三率求得四率四日即所行日数又以日增六里折半得三里加于中数八十里得八十三里为第三日所行里数再加六里得八十九里为第四日所行里数第二日则减中数之三为七十七里初日更减六里为七十一里

　　设有人十三日共织布一十三丈五尺三寸因日渐长每日加工六寸问初末两日各织布若干

　　法以十三日为一率布一千三百五十三寸为二率一日为三率求得四率一百零四寸为第七日所织之数亦即初末两日互相折半之中数乃以第七日上计初日下计末日俱得六分与逓加六寸相乗得三十六寸于一百零四寸内减之余六十八寸初日所织之数加之得一百四十寸为末日所织之数

　　设有田七百二十畆令甲乙丙三人依次逓减分耕问各该若干畆

　　法以三分为甲衰二分为乙衰一分为丙衰合并得六分为一率田七百二十畆为二率一分为三率求得四率一百二十畆为丙所耕之田二因之乙得二百四十畆三因之甲得三百六十畆凡命法中不足所减分数者以此为例

　　设有粮一千一百三十四石令五等戸逓减纳之一等二十四户二等三十三戸三等四十四等五十一五等六十问毎户纳若干

　　法以五四三二一为五等衰分以五衰乗二十四户得一百二十分以四衰乗三十三户得一百三十二分以三衰乗四十二户得一百二十六分以二衰乗五十二戸得一百零二分以一衰乗六十户得六十户五数合并得总衰五百四十分为一率粮一千一百三十四石为二率一分为三率求得四率二石一斗为第五率一户应纳粮数二分因之得四石二斗应第四等三分因之得六石三斗属第三等四分因之得八石四斗属第二等五分因之得十石五斗属第一等皆就一戸算之以上逓加逓减例

　　设有米二十四石分与甲四分乙五分丙七分丁九分问各得若干

　　法以四五七九合并得二十五分为一率米二十四石为二率以甲乙丙丁各分数各为三率求得四率甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石二斗二升丁八石六斗四升即各得分数

　　设有银五千两买得马四匹园一区宅一所其园价多马三倍宅价又多园四倍问各价若干

　　法以一分为马衰加三倍得四分为园衰又将四分加四倍得二十分为宅衰合并得二十五分为一率价五千两为二率以马衰为三率求得四率二百两为马价加三倍得八百两为园价园价加四倍得四千两为宅价设有银七十两买骆驼马驴各一匹但知马比驼价为九分之四驴比驼价为九分之一问各价若干

　　法以一分为驴衰四分为马衰九分为驼衰合并得十四分为一率银七十两为二率驼马驴各衰数各为三率求得各四率驴为五两马为二十两驼为四十五两即各畜之价

　　设一人为商三次初收获利比原银多二倍二次获利比初次本利又多四倍三次获利比二次本利又多三倍共计利与原银得九百两问原本银若干

　　法以一分为初次本衰加二倍得三分为初次本利共衰又于三分加四倍得十五分为二次本利共衰又于十五分加三倍得六十分为三次本利共衰即以六十分为一率三次本利共九百两为二率一分为三率求得四率十五即原本银数

　　设有米五百三十五石赏三等人一等二十名二等五十名三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗问各等每人得米若干

　　法以五斗米数与二等五十名人数相乗得米二十五石一等多二等七斗是多三等一石二斗与一等二十名人数相乗得米二十四石合并得四十九石于总米五百三十五石内减去此数余得四百八十六石乃以三等人数相并得一百八十人为一率四百八十六石为二率一人为三率求得四率二石七斗即三等一人应得米数加五斗为三石二斗是二等人所得再加七斗为三石九斗是一等人所得

　　以上系超位加减

　　设有米一百八十石令甲乙丙三人互相折半分之但知甲多于丙三十六石问各该米若干

　　法以三人为一率米一百八十石为二率一人为三率求得四率六十石即乙应得米数再以甲多于丙之三十六石折半为十八石加于乙数为七十八石属甲减于乙数为四十二石属丙

　　设有银二百四十两赵钱孙李四人互相折半分之但知赵多于李十八两问各该银若干

　　法以四人为一率银二百四十两为二率一人为三率求得四率六十两为钱孙二人相和折半之数再以赵多于李之十八两三归【四人用三归若三人则用二归五人则用四归也】得六两即四人逓加之数较折半得三两加于六十两即钱银数再加六两为六十九两即赵银较于六十两减三两为五十七两属孙再减六两为五十一两属李以上互相折半

　　设甲乙丙丁四人挨次分银但知甲得六十九两丁得五十一两问乙丙两人银数

　　法以三分为甲多于丁之衰数【四人故用三分若五人则用四分六人则用五分也】为一率于六十九两中减去五十一两余十八两为二率一分为三率求得四率六两为四人逓加之较于丁之五十一两内加六两得五十七两为丙再加六两得六十三两属乙如三色者则以首尾两数相和折半即得中数

　　设七人运粮不言总数但知第一人第二人共运二十三石七斗第五第六第七共运二十六石一斗其逓加之数俱相等问每人运粮若干

　　法以二十三石七斗折半得十一石八斗五升为第一人第二人相和折半之数于二十六石一斗以三归之得八石七斗即第六人应运粮数乃以第一分第二分之中数一分半与第六分相减余四分半为一率第一二人共运折半之中数十一石八斗五升与第六人之八石七斗相减余三石一斗五升为二率一分为三率求得四率七斗即每人逓加之数由第一人而上逓加七斗则第五得九石四斗第四得十石一斗第三得十石八斗第二得十一石五斗第一得十二石二斗设八人分米但知第一二两人共得十一石九斗第七八两人共得八石三斗其逓加之数俱相等问每人应得米数若干

　　法以十一石九斗折半得五石九斗五升为第一二两人相和折半之数再以八石三斗折半得四石一斗五升为第七八两人相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第七分第八分之中数七分半相减余六分为一率第一第二相和折半之五石九斗九升与第七第八相和折半之四石一斗五升相减余一石八斗为二率一分为三率求得四率三斗即每人逓加之较折半为一斗五升加于五石九斗五升得六石一斗为第一人应得米数以次逓减三斗即以下诸人之数

　　设有竹九节截为九筒逓次长短不均但知根底三节共盛米三升九合梢上四节共盛米三升问九筒各盛米数

　　法以三升九合三归之得一升三合即第二节盛米之数又以三升四归之得七合五勺即第七八两节相和折半之数乃以第二分与第七第八折半之中数七分半相减余二分半为一率以一升三合与七合五勺相减余五合五勺为二率一分为三率求得四率一合即每节逓加之较自第一节所盛一升三合而加一合即第一节所盛米数逓减一合即以下诸节之数也设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人逓减纳之定甲乙纳数与丙丁戊纳数相等问各纳防何

　　法以四分为甲多于戊之衰【自甲至戊隔四位故以四分为衰数也】三分为乙多于戊之衰合并得七分以二分为丙多于戊之【次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同】十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三总分数合之得三十分为一率米二百四十石为二率每人衰数各为三率求得四率甲六十四石乙五十六石共一百二十石丙四十八石丁四十石戊三十二石亦共一百二十石

　　设有粮一千零九十二石令七次逓减运送定前二次与后五次运数相等问每次运数若干

　　法以十八分为第一次比第七次所多衰数【第一至第七隔六位应以六为所多衰数则每位逓加一分但前后较归除不尽不可分法故将六分用三因之为十八分则每一次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同】十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三次之数乃以三次为一率三分为二率一次为三率求得四率一分即第七次之分数每次逓加三分则第六次四分第五次七分第四次十分第三次十三分合并得三十五分第二次十六分第一次十九分合并亦三十五分然后并两总数得七十分为一率粮一千零九十二石为二率一分为三率求得四率十五石六斗即第七次一分之运数再以每次各分较乗之则第一次得二百九十六石四斗第二次得二百四十九石六斗合之为五百四十六石是前两次运数第三次得二百零二石八斗第四次得一百五十六石第五次得一百零九石二斗第六次得六十二石四斗与第七次十五石六斗合之亦为五百四十六石是后五次运数以上首尾互凖

　　边求积

　　设三广田南濶六十步北濶八十步中濶四十步长一百二十步中濶距南北边相等问积几何

　　法宜截作两梯形田算之以南濶六十步与中濶四十步合并折半得五十步与半长六十步相乗得三十步为南半截梯形积又以北濶八十步与中濶四十步合并折半得六十步与半长六十步相乗得三千六百步为北半截梯形积两形相合六千六百步以畆法除之得二十七畆五分即三广积法

　　积求边

　　设三广田积二十七畆五分南濶六十步北濶八十步中濶四十步中濶距南北边相等问长几何

　　法以二十七畆五分用畆法化步得步数四因之置南北濶将中濶数倍之三数相并为法除之得一百二十步即三广田之长

　　如两距不必相等必有距南北各数或边求积或积求边皆截两梯形算之

　　庄氏算学卷三

<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>

　　钦定四库全书

　　庄氏算学卷四

　　淮徐海道庄亨阳撰

　　曲线体

　　设长圆体径与高皆七尺问积几何

　　法以长圆体径七尺求得圆面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圆体之积也

　　又法以长圆体径七尺求得圆周数与髙七尺相乗得数为长圆体之外面积以半径之三尺五寸乗之得数折半即长圆体之积也

　　又法以长方体积一○○○○○○○○为一率长圆体积七八五三九八一六三为二率现设之长圆体径七尺自乗以髙七尺再乗得数为三率求得四率即长圆体之积也

　　【一率一○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率三四二四率二六九三九一五六九九○九】

　　设尖圆体底径六尺中髙六尺问积几何

　　法以底径六尺求得底面积数以髙六尺乗之得数以三归之即尖圆体之积也

　　又法以尖方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积七八五三九八一六三为二率现设之尖圆径体底径六尺自乗以髙六尺再乗得数三归之成尖方体积为三率求得四率即尖圆体之积也

　　【一率一○○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率七二　四率五六四八六六七七三六】

　　又法以长方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积二六一七九九三八八为二率现设之尖圆体底径六尺自乗以髙六尺再乗得数为三率求得四率即尖圆体之积也

　　【一率一○○○○○○○○　二率二六一七九九三八八三率二一六　四率五六五四八六六七八○八】

　　设尖圆体底周二十二尺自尖至底周之斜线五尺求中垂线之髙几何

　　法以底周二十二尺求得底径数折半得半径为勾以自尖至底周之斜线五尺为求得股数即中垂线之髙也

　　【三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余即中垂线之髙】

　　设圆球径二尺问外面积几何

　　法以圆球径二尺求得周数与径二尺相乗得数即圆球之外面积也

　　【一十二尺五十六寸六十三分七十厘有余即圆珠外面积】

　　设圆球径一尺二寸问积几何

　　法以圆球径一尺二寸求得圆面积数以圆球径一尺二寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即圆球之体积也

　　又法以圆球径一尺二寸求得圆球之外面积数以半径六寸乗之得数三归之即圆球之体积也

　　又法用方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也【一率一○○○○○○○○　二率五二三五九八七七五　三率一七二八　四率九○四七七八六八三】

　　又法以圆球径一○○○○○○○○为一率正方边八○五九九五九七为二率现设之圆球径一尺二寸为三率求得四率数为与圎球积相等之正方体每边之数自乗再乗即圆球之体积也

　　又法以二十一分为一率十一分为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也

　　设圆球积六尺问径几何

　　法以球积一○○○○○○○○　为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之圆球积六尺为三率

　　求得四率数为与圆球径相等之正方边之正方体积开立方即得圆球之径也

　　【一率一○○○○○○○○　二率一九○九八五九二一七　三率六　四率一一四五九一五五九】

　　【○二】

　　又法以方边一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○○九八为二率现设之圆球积六尺开立方得数为三率求得四率即圆球之径也

　　【一率一○○○○○○○○　二率一二四○七○○九八三率一八一七一二○　四率二二五四五○二】

　　设撱圆体大径六寸小径四寸问积几何

　　法以小径四寸求得圆面积数以大径六寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即撱圆体之积也

　　又法以小径四寸自乗得数以大径六寸再乗得数为长圆方体积乃以方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现得之长方体积为三率求得四率即撱圆体之积也

　　【一率一○○○○○○○○　二率五二三五九八七七五　三率九六　四率五○二六五四八二】设撱圆体积五十寸大径比小径多二寸问大小径各几何

　　法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设撱圆体积五十寸为三率求得四率为长方体积乃以大径比小径多二寸为长圆与濶之较用带一纵开立方法算之得濶数即撱圆体之小径加大径比小径多二寸即撱圆体之大径也【五寸九分九厘二毫大径】

　　【一率一○○○○○○○○　二率一九○九八五九三一七　三率五○四率九五四九二九六五八五○】

　　设上下不等圆面体上径四尺下径六尺髙八尺问积几何

　　法以上径四尺求得上圆面积又以下径六尺求得下圆面积又以上径四尺与下径六尺相乗得数开方得中径用径求圆面积法求得中圆面积数三数相并与髙八尺相乗得数三归之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余即上下不等圆面体之积也

　　又法以上径四尺与下径六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下径六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等圆面体上补成一小尖圆体之共髙乃以下径六尺求得圆面积数与所得共髙数相乗得数三归为大尖圆体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余数为上尖圆体之髙以上径四尺求得圆面积与上髙数相乗得数三归之为上小尖圆体之积与大尖圆体积相减余即上下不等圆面体之积也

　　又法以正方体积一○○○○○○○○为一率圆面体积七八五三九八一六三为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以髙八尺乗之得数三归之成上下不等正方体积为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余即上下不等圆面体之积也

　　【一率一○○○○○○○○　二率七八五三九八一六三　三率二○二六六六六六六六六　四率一五九一七四○二七七○一】

　　又防法以一○○○○○○○○为一率二六一七九九三八八为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以髙八尺乗之得数为三率求得四率即上下不等圆面体之积也

　　设上下不等撱圆面体上大径四尺小径三尺下大径八尺小径六尺髙十尺问积几何

　　法以上大径四尺与上小径三尺相乗得十二尺以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺又以上大径四尺与下小径六尺相乗下大径八尺与上小径三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺乃以方积一○○○○○○○○为一率圆积七八五三九八一六三为二率三数相并为三率求得四率数与髙十尺相乗得数三归之即上下不等撱圆面体之积也

　　又防法以一○○○○○○○○为一率一三○八九九六九四为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并以髙十尺乗之得数为三率求得四率即上下不等撱圆面体之积也

　　设截球体一段髙二寸底径九寸六分问积几何

　　法以髙二寸为首率底径九寸六分折半为中率求得末率一尺一寸五分二厘为圆球之截径加髙二寸为

　　圆球之全径折半为圆球之半径又以髙二寸为勾底径折半为股求得五寸二分作平圆半径用求圆面积法求得平圆面积数即为截球体一段之外面积与圆球半径六寸七分六厘相乗得数三归之余为自圆球中心所分球面尖圆体积又以截球体底径九寸六分用求平圆面积法求得截球体之底面积数于圆球半径六寸七分六厘内减去截球体之髙二寸余数与截球体之底面积数相乗得数三归之余为自圆球中心至截球体底径所分平面尖圆体积与球面尖圆体积数相减余即截球体一段之积也

　　【七十六寸五百七十一分八百八十厘有余即截积数】

　　设空心圆球积二千寸厚三寸问内外径数各几何

　　法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之空心圆球积二千寸为三率求得四率为空心正方体积乃用算空心正方体法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得数与所得空心正方体积数相减余数六归之得数用厚三寸除之得内径相乗长方面积数乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶一尺一寸四分六厘三毫九丝七忽有余即空心圆球内径加较六寸即空心圆球外径也

　　【一率一○○○○○○○○二率一九○九八五九三一七　三率二○○四率三八一九七一八六三四】

　　设圆窖一座周二十四尺髙十尺问盛米若干

　　法以周二十四尺求得圆面积数与髙一丈相乗得数为圆窖之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率圆窖体积四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余即所盛之米也

　　【一率二千五百寸　二率一石　三率四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余　四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余】

　　设圆窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径各几何

　　法以米一石为一率一石积数二千五百寸为二率盛米一百六十石为三率求得四率四百尺为圆窖之积数以髙十尺除之得四十尺为圆窖之面积乃以圆积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九

　　五四为二率现得之圆窖面积四十尺为三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十毫有余开平方得七尺一寸三分六厘四毫九丝有余即圆窖之径数再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九毫四丝有余即圆窖之周数也

　　【一率一○○○○○○○○二率一二七三二三九五四　三率四○四率十五○九二九五八一六○】设积米一堆髙五尺底周十四尺问米数几何

　　法以底周十四尺求得圆面积数为尖圆堆之底面积

　　与髙五尺相乗得数三归之为尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之尖圆堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率求得四率一十石零三升九合八勺一杪有余即所堆之米数也

　　【一率二五　二率一　三率二五九九五三○六八二　四率一○三九八一】

　　设倚壁积米一堆髙四尺底周六尺问米数几何

　　法以底周六尺为半周倍之为全周以周求得圆面积数折半为倚壁尖圆堆之底面积以髙四尺乗之得数三归之为倚壁尖圆堆之积数以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之倚壁尖圆堆之积数七尺六百三十九寸四百三十六分有余为三率求得四率三石零五升五合七勺七杪有余即倚壁所堆之米数也

　　【一率二五　二率一　三率七六三九四三六　四率三○五五七七】

　　设倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺问米数几何

　　法以周一十二尺四因之得四十八尺为全周以周求

　　得圆面积数四归之为倚壁内角尖圆堆之底面积与髙五尺相乗得数三归之为倚壁内角尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之倚壁内角尖圆堆之积数七十六尺三百九十四寸三百七十分为三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有余即倚壁内角所堆之米数也

　　设倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺问米数几何

　　法以周三十三尺三归四因得四十四尺为全周以周求得圆面积数四归三因得数为倚壁外角尖圆堆之底面积以髙六尺乗之得数三归之即倚壁外角尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为率一石为二率现得之倚壁外角尖圆堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八杪有余即倚壁外角所堆之米数也

　　【一率二五　二率一　三率二三一九二九七二八八四率九二四三七一八】

　　各等面体

　　设四面体每边一尺二寸求积几何

　　法以每边一尺二寸为每边折半得六寸为勾求得股数为每一面之中垂线与每边一尺二寸相乗折半为每一面之面积又以每边一尺二寸为每一面之中垂线取其三分之二为勾求得股数为四面体自尖至底中心之立垂线或以每一面之中垂线数为每一面之中垂线取其三分之一为勾亦得股为四面体自尖至底中心之立垂线以此立垂线与每一面之面积数相乗三归之得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余即四面体之积也

　　又求自尖至底中心之立垂线防法以每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方即得自尖至底中心之立垂线

　　又以正方体积一○○○○○○○○为一率四面体积一一七八五一一二九为二率现设之四面体之每边一尺二寸自乗再乗为三率求得四率即四面体之积也

　　【一率一○○○○○○○○　二率一七八五一一二九三率一七二八　四率二○三六四六七五　○】设四面体体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘问每边数几何

　　法以四面体积一　一七八五一　一二九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即四面体之每一边也

　　【一率一一七八五一一二九　二率一○○○○○○○○　三率二○三六四六七五○　四率　一七二八】

　　又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率四面体之每边二○三九六四八九○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘开立方得五寸八分八厘三毫三丝六忽五微有余为三率求得四率一尺二寸即四面体之每一辶也

　　【一率一○○○○○○○○　二率二○三九六四八九○三率二○三六四六七五○　四率一二】设八面体每边一尺二寸求积几何

　　法以八面体分作二尖方体算之将每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为二尖方体之共底面积又以每边自乗之一尺四十四寸倍之开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余为二尖方体之共髙即八面体之对角斜线以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗三归之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余即八面体之积也又法以正方体积一○○○○○○○○为一率八面体积四七一四○四五二一为二率现设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余即八面体之积也

　　【一率一○○○○○○○○　二率四七一四○　四五二一　三率一七二八　四率八一四五八七○一二】设八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘问每边之数几何

　　法以八面体积四七一四○四五二一为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即八面体之每一边也

　　【一率四七　一　四○四五二一　二率一○○○○○○○　○　　　三率八一四五八七○一二　四率一七三八】

　　又法以正方体之每一边一○○○○○○○○为一率八面体之每边一二八四八九八二九为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘开立方得九寸三分三厘九毫二丝六忽有余为三率求得四率一尺二寸即八面体之每一边也

　　【一率一○○○○○○○○　二率一二八四八九八二九　三率九三三九二六　四率一二】设十二面体每边一尺二寸求积几何

　　法以十二面体分作十二五角尖体算之将每边一尺二寸求得五等边形之分角线为一尺零二分零七毫八丝零九微有余自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现设之每邉一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六毫四丝零七微有余为每一面两角相对之斜线又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八毫二丝零三微有余为三率求得四率一尺五寸七分零八毫二丝零二微有余为十二面体之中心至每边正中之斜线乃以此斜线为每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余为勾求得股一尺三寸三分六厘二毫一丝九忽六微有余为十二面体之中心至每一面中心之立垂线以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余为一五角尖体积十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余即十二面体之总积也

　　【一率六一八○三三九九　二率一○○○○○○○○　三率一二　四率一九四一六四○七一率六一八○三三九九　二率一○○○○○○○○　三率九七○八二○三　四率一五七八○八二○二】

　　又法以正方体积一○○○○○○○○为一率十二面体积七六六三一一八九○三为二率现设之十二面体之一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余即十二面体之积也

　　【一率一○○○○○○○○　二率七六六三一　一八九○三　三率一七二八　四率一三二四一　八六九四六四】

　　设十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘求每边数几何

　　法以十二面体积七六六三一　一八九○三为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即十二面体之每一边也

　　【一率七六六三一一八九○三二率一○○○○○○○○　三率一三二四一八六九四六四　四率一七二八】

　　又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率现设之十二面体积开立方得数为三率求得四率即十二面体之每一边也

　　设二十面体每边一尺二寸求积几何

　　法以正方体积一○○○○○○○○为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率现设之二十面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百○六厘有余即二十面体之积也

　　【一率一○○○○○○○○　二辛二一八一六九四九六九　三率一七二八　四率三七六九九六八九○六】

　　又法以二十面体之每边七七一○二五三四为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率现设之二十面体之每边数为三率求得四率为与二十面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗即二十面体之积也

　　【一率七七一○二五三四　二率一○○○○○○○○　三率一二　四率一五五六三六九】设二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘求每边数几何

　　法以二十面体积二一八一六九四九六九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也

　　【一率二一八一六九四九六九　二率一○○○○○○○○　三率三七六九九六八九○六　四率一七二八】

　　又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率现设之二十面体积开立方得数为三率求得四率即二十面体之每一边也

　　【一率一○○○○○○○○　二率七七一○二五三四　三率一五五六三六九　四率一二】

　　庄氏算学卷四

　　钦定四库全书

　　庄氏算学卷五

　　淮徐海道庄亨阳撰

　　中西笔算

　　度量权衡

　　度法

　　丈　尺　寸　分　厘　毫　丝　忽　微　纎　沙尘埃　　漠　模糊　逡巡　须防　瞬息　弹指刹那　六徳　虚空　清浄【俱逓以十析】

　　量法

　　石　斗　升　合　勺　撮　抄　圭【俱逓以十析】　粟【六粟为圭】

　　权衡

　　两　钱　分　厘　毫　丝　忽【俱逓以十析忽以下并与度法同】凡丈　石　两以上则为十　百　千　万【逓増十倍】　亿兆　京　垓　秭　穰　沟　涧　正　载　极

　　恒河沙　阿僧秖　那由他【不可思议无量数亿以下俱逓増万倍】

　　田法

　　顷【百畆为顷】畆【二百四十步为一畆】分【二十四步为分】步【方五尺为步】

　　斤法

　　斤【十六两为一斤】两【以下俱与权衡同】

　　里法

　　里【三百六十步为一里计一百八十丈】

　　厯法

　　周天【十二宫为周】宫【三十度为宫】度【六十分为度】分　秒　微　纎忽　芒　尘【俱逓以六十析】

　　日时

　　日【十二时又为二十四小时】时【八刻又为二小时】刻【十五分】分以下俱与前同

　　石法

　　石【积二千五百寸即正方一尺髙二尺五寸此系旧法如以尺度较仓积先将现用斗较准然后用为比例方得宻合也】

　　命位

　　凡数视所命单位为本如度法命丈为单位则尺寸分厘皆为竒零命尺为单位则寸以下为竒零而丈则进而为十若命寸为单位则分以下为竒零而尺则进而为十丈则进而为百量法命石为单位则斗升合勺皆为竒零命斗为单位则升以下为竒零而石则进而为十若命升为单位则合以下为竒零而斗则进而为十石则进而为百衡法命两为单位则钱分厘毫皆为竒零命钱为单位则分以下为竒零而两则进而为十若命分为单位则厘以下为竒零而钱则进而为十两则进而为百故凡列数单为一位十为二位百为三位千为四位万为五位如有数一万二千三百四十五则以单位为末向前列之共有五位即知此数首位是万矣至于厯法宫度分秒日时刻分之定位则每项命两位如宫曰几十几宫度曰几十几度分曰几十几分之类葢因秒以六十而进分分以六十而进度度以三十而进宫故常列一位即命一等者宫度时刻则两位命为一等而每一等有十单之列焉此又命位之最要者也

　　加法

　　加者命众数而总成也葢数始于一终于九至十又复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之数合前后之位言之有单十千万之等先自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之数则不以十进必足所命之分始进一位

　　减法

　　减者较众数而得余也凡以少减多以小减大原有之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减必从其类【如千减千百减百之类】如或下数大于上数不足减则借前之一以减本位【加法由后而进前减法则借前而退后其理一也】前位作一防以志之既得本位则前位所借之一并于前数而为减数然数相减必先辩其多寡首位必大于减数始可其定位亦然原列之次为减余位

　　因乗

　　因乗者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则必至于繁而无统此因乗之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而得如两位以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乗数为法实列于上法列于下必使法实相当【如千对千百对百十对十单对单之类】按法乗实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有竒零与否如无竒零则实中所命之单位相对即法尾之数若有竒零则法实相乗者法实之一位统得数之二位【如单位后竒零有一位则截得数之二位竒零有二位则截得数之四位向前为单位纪之】法实相乗再以法乗者【即自乗再乗也】法实之一位统得数之三位【如单位后竒零有一位则截得数之三竒零有二位则截得数之六位向前为单位纪之】是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乗之类以三位论者则为自乗再乗之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左

　　开平方法

　　平方积者两数相乗所得之数也开之之法每方积二位得方边一位

　　法以自乗数与方根相商以相合者即定为初商书于积之上而以自乗之数书于初商积之下爰以方边末位积数续书于下为次商亷隅之共积乃以初商之数倍之为亷法以除余积足几倍即定次商为几倍书于方积之上而以次商数为隅法与亷法数相加得数为亷隅共法书于余积之左以次商数乗之得数与次商亷隅共积相减减尽则已如有余数又为第三位以后积数商开之法与次商同

　　开带纵平方法

　　较法

　　法以縦方积四因以较自乗二数相加以开平方法开之得边总加较折半为长减较折半为濶也

　　又法以纵多折半自乗与原积相加以开平方法开之得数为半和于半和较减半较得濶于半和加半较得长也

　　较数纵平方有较无长濶和故四因积数与较自乗数相加得长濶和积开方为长濶和

　　和数纵平方有长濶和无长濶较故用和自乗得和积与四因积相减余数为较积开平方为长濶较

　　总之有长濶和有较者于和内加较折半为长减较折半为濶其理同也

　　和法

　　法以纵方积数四因以和自乘得数减去四因之数以开平方法开之即长濶相较之数以较数与和数相加折半为长减较即濶也

　　又法以和数折半为半和自乗与原积相减以开平方法开之得数为半较于半和减半较为濶于半和加半较为长

　　开立方法

　　立方者自乗再乗所得之数也有正方体之积数而求其每一边之数也每积数三位得边数一位其体形有初商之一大正方【此为自一至九自乗再乗数】为首位用各数自乗再乗为首位积以减通积余数为次位以后积数次位积形为磬折体包大方之三面故有三平亷其边与大方等其厚与次商数等有三长亷其长与大方等其寛厚皆与次商数等有一小隅系次商自乗再乗之数法以初商数自乗相因为三平廉面积与余积相商约得几倍【用为少之数】即定次位为几数然后以次商数与初商数相乗三因为三长亷面积又以次商自乗为小隅面积三数相并为平亷长亷小隅之共面积再以次商数乗之为磬折形通积以减余积减尽则止如有余数又为第三位以后积数开之之法与次商同

　　开平方者有正方面之积数而求其每一边之数也每积二位得方边一位以纵横之积数能至十倍故也法以各数自乗之数除首位积其余数为第二位以后积数次以首位数加倍为亷法以商余积得几倍即定次位为几数并以此数为隅法然后以第二位数与亷法隅法相乗以减余积减尽则止再有不尽之数又为第三位积数照前商除其法皆同

　　田地顷畆分法

　　纵横方五尺为一步二百四十步为一畆一百畆为一顷凡地纵横相乗得积步得积步以二百四十步除之得畆数再二十四步为一分除不尽者为零若干步凡得积丈以六十除之得畆数【每边数一丈得积四步】再六丈为一分除不尽者为零若干丈尺

　　正比例

　　以原有之两数及现有之一数而求所不知之一数也其法以原有为两数为一率二率以现有之一数为三率二率三率相乗一率除之得四率为所求三率与一率同类四率与二率同类

　　庄氏算学卷五

　　钦定四库全书

　　庄氏算学卷六

　　淮徐海道庄亨阳撰

　　比例十法

　　一法正方

　　边求积【设正方边五十步问积数若干】

　　法以方边五十步自乗得二千五百步即正方积如系田地则以畆法二百四十除之得畆数二十四步为一分满一百畆为顷凡面积皆同

　　积求边

　　即开平方法

　　方求斜【设正方边五十尺求对角斜线】

　　法以方边五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺开方得七十尺七寸一分○六毫有余即对角斜线又倍积求边与此法同

　　斜求方【设对角斜线五十尺求正方边】

　　法以对角斜线五十尺自乗得二千五百尺折半得一千二百五十尺开平方得三十五尺三十五分五厘三毫有余即正方边○又正方积折半求方边与此法同

　　四倍积求边

　　法以方边数加倍即得

　　二法长方

　　边求积【设濶八尺长十二尺求长方积】

　　法以濶八尺与长十二尺相乗得九十六尺即长方面积

　　积求边

　　有长濶较或长濶和者用开带纵平方法算之有濶边者以濶数除积得长边有长边者以长数除积得濶边

　　更面【设长方形长十二尺濶八尺今将长积倍之仍与原长方同式问得长濶各几何】

　　法以濶八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺开方得一十一尺三寸一分三厘有余即所求之濶乃以原濶八尺为一率原长十二尺为二率今濶一十一尺三寸一分三厘为三率得四率一十六尺九寸七分有余即所求之长

　　三法斜方形【有两直角】

　　有边求积

　　法以上濶二十丈与下濶二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈与长五十丈相乗得一千二百丈即斜方形积数

　　有积数有长有上下两濶较求上下濶

　　法将积数加倍以长除之得数为上下两濶和加较折半得下濶减较折半得上濶

　　有积有上下濶求长

　　法将积加倍以两濶共数除之得数即所求之长梯形【算法与前斜方形同】

　　四法三角形

　　有中长有底濶求积【设底濶八十尺中长七十五尺问面积】

　　法以中长七十五尺与底濶八十尺相乗得六千尺折半得三千尺即三角形面积

　　有积数有底濶求中长【设三角形积三千尺底濶八十尺问中长】

　　法以积三千尺倍之得六千尺以底濶八十尺除之得七十五尺即三角形之中长

　　有积数有中长求底濶

　　与前法同

　　勾股形

　　有边求积有积求边算法俱与三角形同葢三角形之中长即勾股形之股三角形之底为勾之两倍三角形积亦勾股形积之两倍俱得长方面之一半故全与全半与半为比其数相同

　　甲丙丁为三角形丙丁为底濶甲乙为中长甲丙乙为勾股形甲乙为股丙乙为勾甲丙为

　　五法鋭角钝角三角形【多边形附】

　　三角形求中垂线及面积【设三角形大股十七尺小股十尺底二十一尺】

　　法以底二十一尺为一率两腰相加得二十七尺为二率两腰相减余七尺为三率求得四率九尺为底边之较【如图戊丙】与底二十一尺相减余十二尺【如图乙戊】折半得六尺【如图乙丁】乃用勾求股法以甲乙小腰十尺为自乗得一百尺为方乙丁六尺为勾自乗得三十六尺为勾方方内减去勾方余六十四尺开方得八尺为股即甲丁中垂线再以中垂线八尺与乙丙底二十一尺相乗得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形面积

　　凡十字正方角为直角大于直角者为钝角【如图甲角】不及直角者为鋭角【如图乙角丙角也】甲乙边为小腰甲丙边为大腰乙丙边为底戊丙为底较甲丁为中垂线

　　多边形

　　有边有对角斜线求面积

　　法依对角斜线分多边形为几形算之

　　六法两两等边无直角斜方形【此等形必有对角斜线方可命算】有边求积【设斜方形两小边皆二十五尺两大边皆三十九尺对两鋭角斜线五十六尺问面积】

　　法以对角斜线分斜方形为两三角形以对角斜线五十六尺为底大边三十九尺小边二十五尺为两腰用三角形求中垂线法【法载三角形条下】求得中垂线十五尺乃以对角斜线与中垂线相乗得八百四十尺即斜方形之面积

　　有勾有股求

　　法以股自乗得股方以勾自乗得勾方两自乗数相加开平方得数为

　　有勾有求股

　　法以勾自乗得勾方以自乗得方方内减勾方余数开平方得数为股

　　有股有求勾

　　法以股自乗得股方以自乗得方方内减股方余数开平方得数为勾

　　甲乙为对角斜线丁己与丙戊俱为中垂线

　　七法方环形

　　有边求积【设方环外周二十八丈内周一十二丈求面积】

　　法以外周二十八丈四归之得七丈自乗得四十九丈又以内周一十二丈四归之得三丈自乗得九丈两自乗数相减余四十丈即方环面积

　　有积及濶求内外边【设面积四千尺濶二十尺求内外方边】

　　法以濶二十尺自乗得四百尺【如图之甲壬寅戊小正方】四因之【为四正方】得一千六百尺与环积四千尺相减余二千四百尺【壬戊子辛等四縦方共积】四归之得六百尺【一线方积】以濶二十尺除之得三十尺即内方边又以濶二十尺【如图甲壬】倍之【如甲壬并子丁】得四十尺加内方边三十尺【如戊辛与壬子等】得七十尺即外方边

　　有内外方边求边

　　法以外周二十八丈四归之得七丈【如图甲丁】又以内周一十二丈四归之得三丈【如图戊辛与壬子等】七丈与三丈相减余四丈【如图甲壬及子丁二段】折半得二丈即方环外周至内周之濶

　　八法圆面

　　径求周【设圆径一尺二寸】

　　法用周径定率比例以径数一一三为一率周数三五五为二率现设圆径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九毫有余即所求之圆周

　　周求径【设圆周一丈五尺】

　　法以周四三五五为一率径数一一三为二率现设圆周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六毫有余即所求之圆径

　　径求面积【设径八寸】

　　法用径求周法求得圆周二尺五寸一分三厘二毫七丝有余折半得一尺二寸五分六厘六毫三丝有余又将径八寸折半得四寸两折半数相乗得五十寸二十六分五十四厘八十二毫即所求之圆面积

　　又法用方周圆周定率比例以方周定率四五二为一率圆周定率三五五为一率现设圆径八寸自乗为三率求得四率即圆面积

　　周求面积【设圆周六尺六寸】

　　法用周求径法求得圆径二尺一寸零八毫四丝五忽折半得一尺○五分○四毫二丝二忽又将周六尺六寸折半得三尺三寸两折半数相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八毫即所求之圆面积又法用圆周方积与圆积定率比例以圆周方积一○○○○○○○○为一率圆积七九五七七四七为二率现设之圆周六尺六寸自乗为三率求得四率即圆面积

　　圆面积求径【设圆面积六尺一十六寸】

　　法用圆周方周定率比例以圆周二五五为一率方周四五二为二率现设之圆面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十三毫为正方面积开方得二尺八寸○五毫有余即所求之圆径

　　圆面积求圆周【设圆面积六尺一十六寸】

　　法用圆积求径法求得圆径二尺八寸零五毫有余又用圆径求周法求得八尺七寸九分八厘有余即圆之周数

　　九法撱圆【一名鸭蛋形】

　　径求面积【设大径九尺小径六尺问面积】

　　法以大径九尺与小径六尺相乗得五十四尺为长方积乃用方积圆积之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圆积七八五三九八一六为二率长方积五十四尺为三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分有余即所求撱圆形之面积

　　积求径【设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫大径九尺问小径】

　　法用圆积方积之定率比例以圆积七八五三九八　一六为一率方积一○○○○○○○○为二率现设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫为三率求得四率五十四尺为长方积以大径九尺除之得六尺即撱圆形之小径如有小径求大径则以小径数除长方积得数即大径

　　十法圆环形

　　圆环形有内外周及濶求面积【设外周二十一尺三寸内周七尺一寸濶二尺二寸六分问面积】

　　法以外周二十一尺三寸与内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得十四尺二寸以濶二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圆环形之面积

　　圆环形有内外径求面积

　　法用圆径求周法以内径数求得内周外径数求得外周又以内径与外径相减余数折半为环濶依前有内外周及濶求面积法算之即径

　　圆环形有内外周求面积

　　法用圆周求径法以内周数求得内径外周数求得外径乃以两径相减余数折半为环濶依前有内外周及濶求面积法算之即得

　　圆环形有面积及濶求内外径【设面积四百六十二尺濶七尺求内外径】

　　法以濶七尺除面积得六十六尺即内外周相并折半之数为中周【如图戊己周】乃用周求径法求得径二十一尺有余为内外径相并折半之数为中径【如图戊己径】加濶七尺得二十八尺有余即外径中径内减濶七尺余十四尺有零即内径

　　圆环形有面积及濶求内外周

　　依前法求得内外径再用径求周法算之即得

　　圆环形有面积及内周求外周并濶【设面积三尺三十六寸内周一尺一寸】

　　法以内周一尺一寸用周求径法求得内径三寸五分零一毫有余又用周径求积法求得内周圆面积九寸六十二分七十七厘五十毫与圆环积三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七厘五十毫即外周圆面积乃用有圆面积求径法求得外周径二尺零九分七厘七毫内减去内径三寸五分零一毫余一尺七寸四分七厘六毫折半得八寸七分三厘八毫即圆环形之濶又用径求周法求得周六尺五寸九分有余即外周数也

　　圆环形有面积及外周求内周并濶【设面积三百八十四尺外周八十八尺】

　　法以外周八十八尺用周求径法求得外径二十八尺零一分一厘一毫有余又用周径求积法求得外周圆面积六百一十六尺二十四寸六十四分内减去环积三百八十四尺余二百三十二尺二十四寸六十四分

　　【积乃用有圆面积求径法求得内周径一十七尺一寸九分六厘与外径二十八尺零一分一厘二毫相减余一十尺八寸一分五厘二毫折】【半得五尺四寸零七厘六毫即圆环形之濶再用径求周法求得周五十四尺零二分二厘八毫有余即内周数也庄氏算学巻六】

　　为内周圆面

<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>

　　钦定四库全书

　　庄氏算学卷七

　　淮徐海道庄亨阳撰

　　正方体

　　边求积

　　法以边数自乗得平方面积再以边数乗之得立方体积如系米糓则用石法除之得石斗各数【二千五百寸为一石二百五十寸为】

　　【一斗二十五寸为一升】凡筭积糓法皆同

　　倍积求边【设正边二尺】

　　法以每边二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求边数

　　八倍积求边

　　将边数加倍即得

　　长方体

　　边求积

　　法以长边与濶边相乗得长方面积再与髙数相乗得长方体积○如系米糓则用石法除之得石斗各数

　　倍积求边【设长一尺二寸濶八寸髙四寸今将其积倍之仍与原形同式问长濶髙】

　　法用正立方比例先以长一尺二寸自乗再乗得立方积一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长再用比例以求濶与髙以原长一尺二寸为一率原濶八寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之濶又以原长一尺二寸为一率原髙四寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之髙

　　长圆体

　　圆周及髙求积【设圆周二十四尺髙十尺】

　　法用圆周求面积法求得圆径七尺六十三寸九十五分有余又求得圆面积四十五尺八十三寸六十六分有余为圆面积再与髙十尺相乗得四百五十八尺三百六十六寸有余即所求之长圆体积○如系米糓或米窖问盛米几何俱以石法除体积得石斗各数有径求积法同

　　积及髙求周径【设圆窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径】

　　法以石法二千五百寸与米数相乗得四百尺为圆窖积以髙十尺除之得四十尺为圆窖面积乃用圆面积求径法【用圆周三五五方周四五二比例开平方】求得圆径七尺一寸三分六厘有余即所求之圆径再用径求周法【径二三周三五五比例】求得二十二尺四寸一分九厘有余即所求之圆周

　　带纵较数立方

　　带纵立方者两两等边长方体积也髙与濶相等惟长不同者为带一纵立方长与濶相等而皆比髙多者则为带两纵相同之立方至于长与濶与髙皆不同者则为带两纵不同之立方开之之法大槩与立方同止有带纵之异耳其带一纵之法如以髙与濶相等惟长不同为问者则以初商为髙与濶以之自乗又以初商加縦数为长以之再乗得初商积至次商以后亦有三方亷三长亷一小隅但其一方亷附于初商积之方面者即初商数其二方亷附于初商积之长面者则带纵也其二长亷附于初商积之方边者即商数其一长亷附于初商积之长边者则带纵也其带两縦相同之法如以长与濶相等皆比髙多为问者则以初商加纵数为长与阔以之自乗又以初商为髙以之再乗得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两纵其二方亷附于初商积之旁面者则各带一縦也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长濶两边者即各带一纵也其带两纵不同之法如以濶比髙多长比濶又多为问者则以初商为髙又以初商加濶纵为濶与髙相乗又加长縦为长以之再乗得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两縦其二方亷附于初商积之旁面者则一带濶纵一带长纵也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长濶两边者则各带一纵也惟小隅则无论带一纵两纵皆各以所商之数自乗再乗成一小正方其每边之数即三方亷之厚亦即三长亷之濶与厚焉凡有几层亷隅皆依次商之例逓析推之法虽不一要皆本于正方而后加带纵故商出之数皆为小边方体共十二面边若带一縦或带两縦相同者则八边相等四边相等若带两縦不同者则每四边各相等是故得其一边加入纵多即得各边也

　　带一纵立方

　　设带一纵立方积一百一十二尺其髙与濶相等长比髙濶多三尺问髙濶长各几何

　　法列积如开立方法商之其

　　积一百一十二尺止可商四

　　尺乃以四尺书于原积二尺

　　之上而以所商四尺为髙与濶【因髙与濶等故四尺即方之髙与濶也】加纵多三尺得七尺为长即以髙与濶四尺自乗得一十六尺又以长七尺再乗得一百一十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与濶俱四尺加纵多三尺得七尺即立方之长也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百一十二尺其甲乙为髙甲己为濶己戊为长甲乙甲己俱四尺己戊为七尺己戊比己庚多三尺即所带之縦甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方积庚辛壬丙丁戊扁方形即带纵所多之扁方积也

　　设如带一纵立方积二千四百四十八尺其髙濶相等长比髙濶多五尺问髙濶长各几何

　　法以初商积二千尺商十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之髙濶加縦多五尺得十五尺为初商之长即以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之长十五尺再乗得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为初商积乃以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之髙濶十尺与初商之长十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共一十二尺为初商次商之

　　髙濶加纵多五尺得十七尺为初商次商之长乃以初商次商之髙濶十二尺自乗得一百四十四尺又以初商次商之长十七尺再乗得二千四百四十八尺与原积相减恰尽即知立方之髙濶俱十二尺其长为十七尺也设带两纵相同立方积五百六十七尺其长濶俱比髙多二尺问长濶髙各几何

　　法以共积五百六十七尺可商八尺因留两纵积故取略小数商七尺乃以七尺书于原积七尺之上而以所商七尺为髙加纵多二

　　尺又以髙七尺再乗得五百六十七尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为七尺加纵多二尺得九尺即立方之长与濶也

　　设如带两纵不同立方积三千零二十四尺其濶比髙多二尺其长比濶又多四尺问髙濶长各几何

　　法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加濶比髙多二尺得十二尺为初商之濶再加长比濶多四尺得十六尺为初商之长即以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之长十六尺再乗得一千九百二十尺书于原积之下相减余一千一百零四尺为次商积乃以初商之濶十二尺与初商之长

　　十六尺相乗得一百九十二尺又以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之髙十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺三数相并得四百七十二尺为次商三方亷面积以除次商积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之髙加濶比髙多二尺得十四尺为初商次商之濶再加长

　　比濶多四尺得十八尺为初商次商之长乃以初商次商之髙十二尺与初商之濶十四尺相乗得一百六十八尺又以初商次商之长十八尺再乗得三千零二十四尺与原积相减恰尽即知立方之髙十二尺其濶为十四尺其长为十八尺也

　　直线体

　　设正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几何

　　法以每边二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺倍之得一十六

　　尺即如戊己庚辛正方体积

　　每边二尺五寸一分有余

　　设长方体长一尺二寸濶八寸髙四寸今将其积倍之仍与原形为同式形问得长濶髙各几何

　　法以长一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长既得长乃以原长一尺二寸为一率原濶八寸为二率今长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之濶也又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之髙也或以濶八寸自乗再乗倍之开立方亦得一尺零一厘有余为所求之濶以髙四寸自乗再乗倍之开立方亦得五寸零三厘有余为所求之髙也如图甲乙丙丁长方体甲乙髙四寸丁戊濶八寸甲戊长一尺二寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体此两长方体积之比例即如相当二界各作两正方体积之比例也

　　设堑堵体形濶五尺长十二尺髙七尺问积几何

　　法以濶五尺与长十二尺相乗得六十尺

　　又以髙七尺再乗得四百二十尺折半得

　　二百一十尺即堑堵体形之积也

　　又法以濶五尺与髙七尺相乗得三十五尺折半得一十七尺五寸与长十二尺相乗得二百一十尺即堑堵体形之积也如图甲乙丙丁戊己堑堵体形以甲乙髙与乙丙濶相乗折半得甲乙丙一勾股面积又与丙丁长相乗即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也

　　设刍甍体形濶四尺长十二尺髙四尺问积几何

　　法以濶四尺与长十二尺相乗得四十八尺又与髙四尺相乗得一百九十二尺折半得九十六尺即刍甍体形之积也

　　又法以濶四尺与髙四尺相乗得一十六尺折半得八尺与长十二尺相乗得九十六尺即刍甍体形之积也

　　如甲乙丙丁戊己刍甍体形以乙丙濶与甲庚相乗折半得甲乙丙三角形面积又与丙丁长相乗即得甲乙丙丁戊己刍甍体形之积也

　　设方底尖体形底方每边五尺自尖至四角之斜线皆六尺问尖至底中垂线之髙几何

　　法以底方每边五尺求对角斜线法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有余折半得三尺五寸三分五厘五毫三丝有余为勾以自尖至底四角斜线六尺为用勾求股法求得股四尺八寸四分七厘六毫八丝有余即自尖至底中立垂线之髙数也如图甲乙丙丁戊方底尖体形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线折半于己得乙己为勾以自尖至角之甲乙斜线为求得甲己股即自尖至底中立垂线之髙也

　　又法以底方每边五尺为平面三角形之底以自尖至四角之斜线六尺为两腰角平面三角形求中垂线法求得一面中垂线五尺四寸五分四厘三毫五丝为以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾求得股四尺八寸四分七厘六毫七丝有余即自尖至底中立垂线之髙数也如图甲乙丙丁戊尖方体其四面皆为平面三角形一为甲乙丙一为甲丙丁一为甲丁戊一为甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙为底以甲乙甲丙为两腰求得甲庚中垂线以甲庚为底边折半得庚己为勾求得甲己股即自尖至底中立垂线之髙也设方底尖体形底方每边六尺髙三尺问积几何

　　法以下方每边六尺自乗得三十六尺又以髙三尺再乗得一百零八尺三归之得三十六尺即方底尖体形之积也如甲乙丙丁戊方底尖体形以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲乙髙再乗得庚乙丁辛扁方体形此扁方体与尖方体之底面积等其髙又等故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等也

　　设阳马体形底方每边六尺髙亦六尺问积几何

　　法以底方每边六尺自乗得三十六尺又以髙六尺再乗得二百一十六尺三归之得七十二尺即阳马体形之积也如甲乙丙丁戊阳马体形以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲丁髙再乗得己乙甲丁正方体形此己乙丁甲一正方体之积与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等故三分之即得阳马体之积也此阳

　　马体形与尖方体形虽不一而法

　　则同也葢尖方体形尖在正中阳

　　马体形尖在一隅凡体形其底面

　　积等髙度又等其体积必相等也

　　设如鼈臑体形长与濶俱四尺髙九尺问积几何

　　法以长与濶四尺自乗得十六尺以髙九尺再乗得一百四十四尺六归之得二十四尺即鼈臑体形之积也葢鼈臑体即勾股面之尖体如甲丙乙丁鼈臑体形以丁丙长与乙丙濶相乗成乙丙丁戊正方面形以甲丁髙再乗成甲庚戊乙丙己长方体形此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等而甲乙丙丁鼈臑

　　体之积又为甲戊乙丙丁阳马体积

　　之一半阳马体为长方体三分之一

　　则鼈臑体又为长方体六分之一矣

　　设上下不等正方体形上方每边四尺下方每边六尺髙八尺问积几何

　　法以上方每边四尺自乗得一十六尺下方每边六尺自乗得三十六尺又以上方每边四尺与下方每边六尺相乗得二十四尺三数相并得七十六尺与髙八尺相乗得六百零八尺三归之得三百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也

　　又法以上方边四尺与下方边六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下方边六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等正方体形上补成一尖方体形之共髙乃以下方边六尺自乗得三十六尺与所得共髙二十四尺相乗得八百六十四尺三归之得三百八十八尺为大尖方体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余十六尺为上小尖方体之髙以上方边四尺自乗得十六尺与上髙十六尺相乗得二百五十六尺三归之得八十五尺三百三十三寸有余为上小尖方体之积与大尖方体积二百八十八尺相减余三百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也

　　设上下不等长方体形上方长四尺濶三尺下方长八尺濶六尺髙十尺问积几何

　　法以上长四尺与上濶三尺相乗得十二尺倍之得二十四尺下长八尺与下濶六尺相乗得四十八尺倍之得九十六尺又以上濶三尺与下长八尺相乗得二十四尺以下濶六尺与上长四尺相乗得二十四尺四数相并得一百六十八尺与髙十尺相乗得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也

　　又法以上长四尺倍之得八尺加下长八尺共十六尺与上濶三尺相乗得四十八尺又以下长八尺倍之得十六尺加上长四尺得二十尺与下濶六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺与髙十尺相乗得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也

　　设上下不等刍甍体形上长十尺下长十四尺下濶五尺髙十二尺问积几何

　　法以上长十尺与下濶五尺相乗得五十尺以髙十二尺再乗得六百尺折半得三百尺为上下相等刍甍体积又以上长十尺与下长十四尺相减余四尺与下濶五尺相乗得二十尺以髙十二尺再乗得二百四十尺三归之得八十尺与先所得上下相等刍甍体积三百尺相并得三百八十尺即上下不等刍甍体之积也如甲乙丙丁戊上下不等刍甍体形自其上棱之甲戊两端直剖之则分为甲己辛壬戊一刍甍体甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体故以与上长相等之己庚与己辛濶相乗即得己辛壬庚刍甍体之面积与甲癸髙相乗折半得甲己辛壬戊刍甍体积又以甲戊上长与丙丁下长相减所余丙辛壬丁二叚即二尖方体之共长与乙丙濶相乗得

　　乙辛与庚辛二尖方体之底面积与髙相乗三归之即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积与一甲己辛壬戊一刍甍积相加即得甲乙丙丁戊一上下不等刍甍体之总积也

　　设两两平行边斜长方体形长二尺四寸濶八寸髙二尺七寸问积几何

　　法以长二尺四寸与濶八寸相乗得一尺九十二寸又以髙三尺七寸再乗得七尺一百零四寸即两两平行边斜长方体形之积也如图甲乙丙丁戊己斜长方体形以乙丙濶与丙丁长相乗得乙丙丁庚长方面积以戊丙髙再乗成己乙丙丁辛壬长方体凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积俱相等故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体必与己乙丙丁辛壬正立长方之体积为相等也

　　设空心正方体积一千二百一十六寸厚二寸问内外方边各几何

　　法以厚二寸自乗再乗得八寸八因之得六十四寸与共积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸六归之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸

　　为内方边与外方边相乗长方面积乃以厚二寸倍之得四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶八寸即内方边得长一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体其甲丑即空心正方体之厚以之自乗再乗八因之得壬辛子癸类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面丑寅巳子类六长方扁体六归之得丑寅己子一长方扁体用厚二寸除之得丑寅夘辰一长方面积其丑寅濶与戊己等即内方边其丑辰长与甲乙等即外方边其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等丑戊辛辰并之即长濶之较故以厚二寸倍之为带纵求得濶为内方边长为外方边也

　　又法以厚二寸倍之得四寸为内方边与外方边之较自乗再乗得六十四寸与空心正方体积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸三归之得三百八十四寸以内外方边之较四寸除之得九十六寸为长方面积以内外方边之较四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶八寸即内方边加较四寸得一尺一寸即外方边也

　　设大小两正方体大正方体比小正方体每边多四寸积多二千三百六十八寸问大小两正方边多几何

　　法以大正方边比小正方边所多之较四寸自乗再乗得六十四寸与大正方体比小正方体所多之积二千

　　三百六十八寸相减余二千三百零四寸三归之得七百六十八寸以边较四寸除之得一百九十二寸为长方面积乃以边较四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶十二寸即小正方之边数加较四寸得十六寸即大正方之数也如甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体试于甲乙丙丁大正方体减出戊己庚辛一小正方体余壬申戊辛庚丙丁三面磬折体形即大正方积比小正方积所多之较甲戊为磬折体之厚即大正方边比小正方边所多之较此三面磬折体形依开立方次商法分之则得癸子丑三方亷体寅夘辰三长亷体己一小隅体以甲戊边较自乗再乗得己一小隅体与磬折体积相减余三方亷体三长亷体三

　　归之则得癸一方亷体寅一长亷体共成午甲已未庚甲乙扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除之则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长濶之较故用带纵开平方法算之得乙庚濶与戊乙等即小正方之边数以甲戊与戊乙相加得甲乙即大正方之边数也

　　设大小二正方体共边二十四尺共积四千六百零八尺问两体之每边及体积各几何

　　法以共边二十四尺自乗再乗得一万三千八百二十四尺内减共积四千六百零八尺余九千二百十六尺三归之得三千零七十二尺以共边二十四尺除之得

　　一百二十八尺为长方面积乃以共边二十四尺为长濶和用纵和数开平方法算之得濶八尺即小正方之边数与共濶二十四尺相减余十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体以共边二十四尺自乗再乗则成壬乙癸子一总

　　正方体内减甲乙丙丁戊己庚辛大小两正方体之共积余丑寅夘三方亷体辰已午三长亷体三归之则得丑一方亷体辰一长亷体共成未壬乙丙戊甲一扁方体用壬乙共边除之则得未壬戊甲之长方面形其未壬濶与壬申等其壬戊长与甲乙等故以壬乙共边为长濶和用带縦和数开平方法算之得未壬濶即小正方之边数与长濶和相减余壬戊长即大正方之边数也

　　设人立河坡平处欲知水边低于平地之数用重表之法测之

　　法于河坡平处立四尺表杆测之稍前再立二尺表杆防两表端参对水边低处量得距分六尺向前直量三丈复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆防两表端参对水边低处量得距分四尺八寸乃以前测之距分六尺与后测之距分四尺八寸相减余一尺二寸为一率表杆四尺与二尺相减余二尺为二率前测与后测相距三丈为三率求得四率五丈为水边低于表尖之数内减去表髙四尺余四丈六尺即水边低于河坡平处之数也

　　设人在山上欲知山涧之深用重表测之

　　法于山边立二尺表杆稍后立四尺表杆测之看两表端参对涧底量得两杆相距得三尺再退量五尺复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆防两表端参对涧底量得两杆相距得三尺四寸乃以后测之距分三尺四寸与前测之距分三尺相减余四寸为一率表杆四尺与二尺相减余二尺为二率两表相距五尺为三率求得四率二丈五尺为山涧距表尖之深内减去表髙四尺余二丈一尺即所求山涧之深也

　　设东西二树欲知其相距之逺测距东树七十丈距西树五十丈问二树相距

　　法用同式形比例先以距东树七十丈取其五十分之一得一丈四尺即对东树直量一丈四尺作记又以距西树五十丈亦取其五十分之一得一丈即对西树直量一丈作记乃于两作记处斜量如得四尺五寸是为

　　同式形之相距数然后以所得之四尺五寸用五十求之得二十二丈五尺【因两作记处为二树测处五十分之一则所得同式形之相距数亦必为二树相距数五十分之一】即二树相距之逺也

　　设东西二树欲知其相距之逺用重表或取同式形测之问二树相距

　　法先用不取直角测逺法【如测石测树之法】求得二树距测处之逺再用知两逺求相距之法求之

　　设左右两峰不知其髙逺欲求两峰相距

　　法先用重表求髙逺法各求得髙与逺【其髙为尖峰距地平之髙其逺为山根距测处之逺】如求得左峰髙四十八丈逺六十四丈右峰髙六十五丈逺七十二丈乃用勾股求法以左峰四十八丈为股逺六十四丈为勾求得八十丈即左峰距人之逺以右峰髙六十五丈为股逺七十二丈为勾求得九十七丈即右峰距人之逺然后用知两逺求相距法各取其百分之一对左峰直量八尺作记对右峰直量九尺七寸作记如于两作记处横量得一丈二尺即加一百倍为一百二十丈得两峰相距之逺

　　左峰髙如左甲逺如甲丙右峰髙如右乙逺如乙丙两峰相距如

　　设如有井不知其深于井沿取一直角横量一尺五寸测之问水面距地之深

　　设井口径濶九尺法于井沿取直角立表杆测之人目对表端斜向井沿看水以恰见水边为凖如表髙四尺量得表距井沿一尺五寸则以一尺五寸为一率表髙四尺为二率井口濶九尺为三率求得四率二丈四尺即水面距井沿之深也

　　方圆诸率

　　径○七

　　周二二

　　径○五○

　　周一五七

　　径○三二

　　周一○○

　　径一一三

　　周三五五

　　径一○○○○○○

　　周三一四一五九二

　　凡径求周者以周率乗以径率除得周周求径者以径率乗以周率除得径

　　平方积四○○○○○○○○

　　平圆积三一四一五九二六五

　　平方积一○○○○○○○○

　　平圆积○七八五三九八一六

　　平方积四五二

　　平圆积三五五

　　平方积一四

　　平圆积一一

　　立方积　同平方率

　　圆柱积同平圆率

　　圆周自乗积八八

　　圆周中占积○七

　　方柱积三

　　方锥积一

　　圆柱积三

　　圆尖积一

　　圆柱积三

　　圆球积二

　　立方积六○○○○○○○○

　　立圆积三一四一五九二六五

　　立方积一○○○○○○○○

　　浑圆积○五二三五九八七七

　　立方积六八七

　　浑圆积三五五

　　立方积二一

　　浑圆积一一

　　立方积二一

　　浑圆积一　一

　　浑圆面积四

　　平圆面积一

　　撱圆求积

　　两径相乗数以十一乗之十四除之得所求

　　解曰取撱圆两径之中率作圆其容与撱圆等浑撱圆求积

　　小径自乗再以大径乗之以十一乗二十一除得所求解曰方体浑撱圆之比例犹立方与浑圆也

　　弧矢求径及离径半径

　　置折半自乗以矢除之得所求

　　解曰半股也矢句较也余径句和也股之自乗积以和除之得较以较除之得和故以矢除之得余径余径加矢折半为半径半径减矢为离径也弧矢求积【旧法以矢相并得弧背径一围三之义也疎甚不可法】

　　置弧背以离径并矢【即半径】乗之别置以离径乗之两数相减余折半得所求

　　解曰弧背圆周分线也离径并矢圆半径也于弧背两端作线防于圆心成杂线形求积之法当与圆同故以半径乗背折半得积也又杂线形内除弧矢形余一三角形以为濶以离径为高高乘濶折半得积以减杂线形积则所余者弧矢积矣故以半径乗背离径乗相减折半得积也

　　求中率法

　　以两率相乗得数平方开之得中率

　　截方锥体求积法

　　置上方自乗下方自乗上下方相乗三数并以髙乗之以三除之得所求

　　右形得方体一堑堵方锥各四今方体三堑堵方锥体各十二故以三除也【凡堑堵二之一方锥三之一】

　　截圆锥体求积法

　　置上径自乗下径自乗上下径相乗三数并以髙乗之再十一乗四十二除得所求【元当用三除之又十一乗十四除之今用四十二除者三因十四得四十二合两次除为一次除也】

　　截直鋭体求积

　　倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之两数并以髙乗之以六除之得所求

　　右形具体如截方锥今得直体六堑堵锥体各二十四故以六除也

　　截撱圆鋭体求积

　　倍面大径加底大径以面小径乗之又倍底大径加面大径以底小径乗之两数并以髙乗之再以十一乗八十四除得所求【此以六因十四得八十四也】

　　庄氏算学卷七

　　钦定四库全书

　　庄氏算学卷八

　　淮徐海道庄亨阳撰

　　七政经纬

　　日躔法

　　年根

　　查二百恒年表内年根録之随记最髙冲之数于旁【表内之数微满三十即进一秒下并同】

　　日数

　　查周嵗平行表内日数録之随记最髙行之数于旁

　　平行

　　年根与日数相加得之

　　髙冲

　　最髙冲与最髙行相加得之

　　引数

　　以髙冲减平行得之或平行不及减加十二宫减之

　　均数

　　以引数宫度分查加减差表得之【数内秒满三十收为一分也】法○宫至五宫顺查本行与左行相较六宫至十一宫逆查本行与右行相较将较数以引数零分乗之得数视本行大者减小者加若引数无零分则直用本行之数随记加减号【如引数系九宫一十八度十七分逆查本行为一度五十七分四十二秒较右行一度五十七分三十六秒得多六秒以引数七分乗之得四二为四秒一十二微去微数不用净得四秒将本行四十二秒减去四秒为一度五十七分三十八秒得均数记减字号】

　　细行

　　以均数依加减号加减于平行得之

　　宿度

　　以细行宫度查距宿钤取度分小于细行者用之若本宫宿度分大于细行则借前一宫用【自己巳年起算至本年共若干年以每年五十一秒乗之以六十除之得数何度分以加于用宿之度分内与细行度分相减余为某宿几度几分】月离法

　　四年根

　　查二百恒年表録之【月自行即引数　正交年根加减六宫用如七减六为一一加六为七余同】

　　四日数

　　查日平行表内日数録之

　　平行实行

　　年根日数相加得之正交年根减日数即得

　　两日差

　　以太阳宫度查日差表得分数即以分数查时刻平行表得之【表内秒满三十收为一分】随记加减号

　　平行总平引

　　以日差依加减号加减于两平行得之

　　两均数

　　以平引宫度分查加减差表同日躔随记加减号

　　实行实行引

　　以均数依号加减于平行总平引得之

　　太阳

　　録本日日躔细行

　　距日次引

　　以实行减太阳即得满六宫者去之

　　次均

　　以距日次引宫度查二三均表定直行再以实行引宫度定横行○一二宫顺查三四五宫逆查相较【其较出之数若系二四六等行以二除之三六九等以三除之得数或余一二秒复化为微除至三十微即进一秒视本位大小而加减之得次均数记加减号】

　　白道经

　　以次均依号加减于实行得之

　　交均大距数

　　以距日次引宫度查交均表得之表内距限即大距之数记加减号

　　正交经

　　以交均依号加减于正交平行得之

　　中交

　　以正交之宫加减六宫用

　　白经

　　即録前白道经之数

　　月距正交

　　以白经转减正交经得之

　　同升差

　　以月距正交宫度查白道升度得之记加减号

　　黄道视行

　　以同升差依号加减于白道得之

　　视纬

　　以月距正交宫度查黄白距度表定横行又以大距数之数查表内相近之数用之定南北号

　　四宿

　　查距宿钤同日躔各以本度分减之

　　过宫

　　土木星法

　　年根交行

　　查恒年表

　　两日数

　　查平行表

　　两平行

　　如日躔

　　前均中分

　　以引数平行宫度分查表相较同日躔记加减号

　　实经

　　以前均依号加减于平行得之

　　日躔

　　即録本日细行

　　次引

　　以日躔转减实经得之

　　次均较分

　　以次引宫度分查表同前均记加减号

　　三均

　　以中分较分分数相乗逢三十秒进一分以下十除之即得

　　并均

　　二三相加得之

　　视经

　　以实经依次均号加减于并均得之

　　正交实经

　　以实经数録之

　　距交

　　以实经倒减交行得之

　　中分

　　以距交宫度查纬行表相较将较出之分化为秒以五除之得若干计本位至本数得几分【如距交二宫十三度即查二宫十度与十五度相较十度系五分四十九秒十五度系四分三十八秒较多一分十一秒将分化为秒共得七十一秒以五除之得一十四秒计十位至十三位得三分为四十二秒得五分○八秒余仿此】视本位大小加减之即得如有纬行细表则不用分如其数直书之纬限亦同

　　纬限

　　以次引宫度分查纬行表纬度之数距交在前六宫用北度之数后六宫用南度之数以五分之或以两数平分之亦得表内旁另注加减字于数内加减之

　　视纬

　　以纬限度化为分用中分零分相乗得数以六十除之距交在前六宫纬北后六宫纬南

　　宿度

　　火星法

　　年根正交

　　同土木

　　两日数

　　同土木

　　两平行

　　同土木

　　两均数距日

　　同土木

　　实行引

　　同土木

　　太阳

　　即日躔

　　相距

　　以太阳倒减实行得之

　　半距距余半

　　相距在前六宫相距折半为半距不用距余半相距在后六宫以实行正减太阳得半距半距折半为距余半

　　日引

　　以太阳减去本年最髙冲之数加减六宫用

　　半径

　　以实引宫度分查表相较得之

　　日差

　　以日引宫度分查表相较得之

　　星数

　　以半径日差相加得之

　　总

　　以距日星数相加得之

　　较