《新法算书》·5

推日食分数则以太隂距黄道之视度日月两视径之半以及三视差此并有其本论后篇详之此求月食分数则用太阴之实距黄道度及其视半径地景半径即可得之今先论日月景之各半径次乃定食限及食分也视半径所繇变易

　　凡圆球之去人逺则目视之为平面欲测其大小者不依其形依其径也目之视径虽以平行线受其像然相距有逺近即所测得之大小随而变易近则见大逺则见小矣暗球生景其理准此故受光之体小于施光之体即其景亦随相距逺近而有变易距逺者景钜而长距近者景细而短也

　　如上日月食合作一图甲为地球太阳在最高为丁在最庳为戊太隂日食时在其最高为己在其最庳为庚月食时在其最高为壬在其最庳为辛若从最逺之太阳周癸丑引直线切地周乙丙必相遇于卯从最近之太阳周子寅切地周者必遇于辰子寅辰在癸卯丑限内在内者细且短在外者钜且长因太阳距地逺近不同故也论太隂其在最高己目依甲未甲午两线视之若在最庳庚又依甲申甲酉两线视之故两所之小大不同若在壬在辛其理准此

　　上言日月地景三视径能为变易则日月最高最庳相

　　距之逺近为其缘也自此而外更有二缘一为地所出之气随地不一一为人所禀之目力随人不一气居日月与目之间气厚能散日月之光使易其本象如玻瓈水晶等体厚光彻以照他物之象能改易之是以人所见日食时太隂掩日之视径实大于太阳之视径或相等一遇厚之气【之厚薄或本地固然或因时増减】即太阳之光体因而展拓比于依法推步之视径每多不合故全食时四周亦显有金环也若色微薄则月之视径能掩日之视径全食时昼晦星见矣其在月也遇气亦饶有余光其初亏复圆光曜展拓亦能侵入地景使食时先后稍损于推步之加时也欲明其理姑以数事征之试用一平边尺切目窥月体则白月之光能侵入于尺尺之暗体当月之处似有阙焉此其一也生明之月其有光之半周大于无光之半周光之两端芒角犀鋭似欲包其魄体至日食时体入日日之光体不收光以让月反舒光以拒月故其两端不作鋭角而作钝角也此在晴明时气微薄犹不免尔况浓且厚乎此又其一也日轮西没将及地平适遇云气全轮若为停轨累测不移少迁则忽焉而入又其一也况日食时月之体月食时地景之角体全居气之中气所受日光尤盛四周皆能消景则日食时太隂居日目之间其视径岂能大于日之视径而全掩日体月食时地景之角体岂不能稍杀于推步之实景而损其初末之加时乎若论目力亦能变日月景之各视径者目力既衰大光损之每每易于见暗难于见明故月食时较少壮之目能先见月食侵周之景若日食时太阳光耀初亏不能遽见其阙也西史苐谷测月每夕用五六人皆利眼能手悉用大仪种种合法所测月径趋求画一乃经二十二测得其径为三十一分者二三十二分者六三十三分者七三十四分者六三十六分者一何故大光射目当之者利钝不齐径之小大随异也葢人目之难凭如此【月无大光不能入于窥表通光之窍须人日测有此不齐若日光透表其有不齐繇器防密矣】定视径分秒之数

　　古多禄某限日月地景三径之数定太阳为三十一分二十○秒不论最高最庳恒如是太阴最大者定为三十五分二十○秒最小者亦三十一分二十○秒地景小者四十○分四十○秒大者不过四十六分也然多禄某所当之时乃尔迨其后太阳本天之心与地之心渐次相就至于今最高之去地近于多禄某时其最庳乃去地稍逺而太阳视径遂不得过三十一分太阳稍缩则地景稍赢亦不若曩时之细且短也以故第谷所立新法定太阳之视径在最高为三十○分在最庳为三十二分若太隂则虽距地同所限朔望二时之视径犹不同也葢合朔时月会太阳四周环受其光则此时全魄小于望日之全光几及四分之一是以月在最高即望时得径三十二分朔时止二十五分三十六秒在最庳望时得三十六分朔时二十八分四十八秒也又第谷测之地其北极出地五十六度清之气甚厚故推步交食必依此径乃可得合何者月望时明光甚盛以厚气光乃加显径即似大月朔时遇日之大光自已失光而受光之气环围照映若或消减其魄径即似小也然此第谷所当之地乃尔用之他方未能必合何者此所限大小之径以步日食虽则食既犹显金环月不能全掩日体若他方食既则有昼晦星见虫飞鸟栖者故知一方所定未可槩诸防内以为公法也假如崇祯二年己巳五月朔日食依新厯先推食甚二分有竒至日实测得二分若以第谷所限径用之此日即见食分数仅得一分一十○秒谬于实测逺矣崇祯四年辛未十月朔日食新厯先推食甚二分一十二秒至日实测不及二分若用小月径推算即所得更少不及一分也视径因乎气而为小大如此岂可强执一率以槩诸方乎故欲定本地之日食分必先定本地之气差以限本地之视径又宜累验本地之食分加时然后酌量消息差视径可得而定也今所考求酌定者太阳最高得径三十○分在最庳径三十一分太阴不分朔望【气稍薄故也】在最高视径三十○分三十○秒在最庳视径三十四分四十○秒地景最小者四十三分最大者四十七分日月行最高最庳处之间视径亦渐次不一故列表左右并纪太阳及太隂自行宫度以考日月地景各相当之分数是为视半径表

　　太阴视径差

　　视半径表计太阴从其最高至最庳渐次加大也若论气则南北二方亦有差别西国之北地滨大海其气更厚故月朔应减月望应加以改表中之半径如北极高三十度其加减于半径一十○秒高四十度其加减三十○秒过五十至七十极高度即所加减更多至六分以上也

　　中国北极出地虽止四十二度半亦近海故用加减数如前所列然亦须测验数食审其果否乃可执为恒法耳地景视差

　　地景半径之最小者为四十三分今本表中太隂自行○宫○度与相当者是也继此渐大至太隂自行六宫初度其相当四十七分则为最大其求之有二法一以测候一以推步苐两法所得却又不同则气能变景故也以推步者用太阳在其最高时下照地球所生景长以为定率若太隂过景之处则依其逺近随时算之如第谷当太阳在最高时测其距地之逺得一千一百八十二地半径此所推全景之长得二百五十二地半径又六十分之二十三恒如是若太隂在其最高距地之逺得五十八地半径又八分欲求其所当地景者先于全景内减太隂距地之径数余者为过太隂以外之景角

　　【景角者景为角体也】得一百九

　　十四地半径又一十

　　五分如上图甲乙地

　　半径定为六十万甲丙为全景亦通为一五一四三分【临算末加五位】丁丙为过月以外之景角一一六五五分【临算末加五位】而求月食相当之处丁戊几何广则甲丙与甲乙若丁丙与丁戊也算得四五五一九三九又甲丁戊直角三角形内求丁甲戊角为所限目窥丁戊之大则甲丁为太隂距地逺通为分得三四八八分甲丁戊为直角丁戊依前算得四五五一九三九而甲丁与丁戊若全数与丁甲戊角之切线得一三○五查表得四十四分五十○秒为太隂在最高时所过地景之半径也若太隂在最庳求其食时过景之半径用全景长如前内减五十四地半径五十二分余一百九十七地半径又三十一分为丁丙直线依前法算得四六四二八○四为丁戊线求角以太隂距地之分三二九二为一率丁戊线为二率直角为三率算切线为一四一○查得四十八分二十八秒为太隂在最庳时所过地景之半径也今表中列地景半径小者四十三大者四十七皆少于推得者为月过地景不论高庳皆受外光围迫侵销其景故也论其实则推歩所得为真然不可得见耳若太隂在高庳之间求其过景者依此法随时求丁丙线推算也

　　以测者用前后两月食择食之法欲太阴去其最高最庳距度同则其入于地景之小大亦同但月距黄道不必同又不必全食因以两距度及两食分求得其所过之景径也多禄某引周襄王三十一年庚子三月其地距顺天府西八十一度卯初时得见食于是太隂交周得九度二十○分距黄道北四十八分三十○秒食全径一十二分之三又引周景王二十二年戊寅六月里差同上顺天府寅初时得见食于时太阴交周得○七度四十二分距黄道南四十○分四十○秒食十二分之六如图己乙戊丙圏为地景两食为太隂所过乙甲丙线为黄道

　　如前图第一食太阴在丁次食在戊各依食分入景为

　　己辛为戊庚其太阴之距度为甲丁四

　　十八分三十○秒甲戊四十○分四十

　　○秒而甲戊与甲己必相等【地景之两半径】则

　　甲丁减甲戊余己丁七分五十○秒【两距度之较】又己丁为月径四分之一而先得月径三十一分二十○秒四分之为己丁今去减己丁所余为甲己半景四十○分四十○秒或以距度与食分相较则食差三分与距度之差七分五十○秒若全食一十二分与全月径三十一分二十○秒亦以距度之差推得其景也若后图两距

　　度一大于半景一小于半景亦用此比

　　例以求景假如初食三分得距度四十

　　七分五十四秒次食十分距度二十九

　　分三十七秒食分之差七分距度之差一十八分一十七秒则七分与一十八分一十七秒若全食一十二分与全月径三十一分二十○秒今既食三分即全月径四分之一为七分五十○秒以减距度余四十○分○四秒为地半景又次食得一十分即月心至地景之周得四分亦全食三分之一也全以月全径三分之其一为一十分二十七秒以加距度二十九分三十七秒亦得半景四十○分○四秒

　　地景实差

　　表中记地景差不及半分恒减于地景葢前所论之景实无差或因气有差耳其有差者太隂以其自行高庳有距地之逺近入于最中时时不同也又太阳居其最

　　高所生之

　　景最大过

　　此渐向最

　　庳去地渐近即从地出景渐小渐短也故月食时先以太隂自行定地景之半径又以太阳自行求此实景差而减之乃正得太隂过景之处矣推算之法设太阳先在最高推所生景又设在最庳推所生景得二景之最长最短又设太阳先后距地同而以先过景之径比于后过景之径其二径差即表中之地景差

　　假如丁己

　　为太阳半

　　径第谷所

　　测为甲庚地半径五又四十一分依戊庚平行线减丁戊地半径余戊己得地半径四又四十一分设戊庚为太阳在最高距地之逺一千一百八十二地半径则戊己与戊庚若甲庚与甲辛得甲辛地景于太阳在最高时其长二百五十二地半径又二十三分太隂在其最高最庳之间距地之逺得五十六地半径又四十三分为甲乙以减甲辛余乙辛一百九十五地半径四十○分以推月食之半景乙丙则乙辛与乙丙若甲辛与甲庚得乙丙四六五一六五四【算法以原数通为分又于每率后加五位乗除之】又求乙甲丙角所限目窥乙丙之大以太隂距地之逺依前法算得切线一三六四查八线表得四十六分五十二秒又依此法以太阳在最庳距地之逺一一四一地半径推算地景为二百四十三地半径又三十八分去减太隂在高庳之间距地之径余一百八十六地半径又四十五分依前算得四五九九一二四为乙丙线次以太隂距地之逺三四○三推得切线一三五一查得乙丙半景四十六分二十六秒比前所得差二十六秒为地景之最大实差其余者以太阳自行距最高逺【法算书卷六十六】

　　近依法次第求之新

　　钦定四库全书

　　新法算书巻六十七　　　明　徐光启等　撰交食厯指巻四

　　食限第一

　　食限者日月行两道各推其经度距交若干为有食之始也而日与月不同月食则太隂与地景相遇两周相切以其两视半径较白道距黄道度人以距度推交周度定食限若日食则太阳与太隂相遇虽两周相切其两视半径未可定两道之距度为有视差必以之相加而得距度故特论半径则日食之二径狭月食之二径广论日食之限反大于月食之限以视差也

　　太隂食限

　　表中地景半径最大者先定四十七分太隂半径最大者一十七分二十○秒并得一度○四分二十○秒日月两道之距在此数以内可有月食【可食者可不食也】以此距度推其相值之交常得一十二度二十八分为月食限推法最大距度【四度五十八分半】与象限九十度若距度与交常之弧也其最小者地半径定四十三分月半径一十五分一十五秒并得五十八分一十五秒若距度与之等者依前法推交常度得一十一度一十六分此限以内月过景必有食【必食者无不食也】也抑此两者皆论实望时之食限耳若论平望其限尤寛如圗甲乙为黄道甲丙当

　　白道乙为地景心丙为太阴心月切

　　景在丁其最大两半径为乙丙得一

　　度○四分二十○秒则相值之甲丙

　　得一十二度二十八分为定望食限

　　设平望尚在前为戊则戊平望距丙定望最逺者二度三十八分有奇为丙戊弧以加甲丙弧得甲戊一十五度○六分有奇为太阴切景之时以其心距两交之度西古史多禄某定实望之食限一十二度一十二分中望之食限一十五度一十二分其所定视半径最小之食限一十○度五十○分

　　何谓平望距定望最逺得二度三十八分曰太阳均度最大者二度○三分一十五秒太隂均度最大者四度五十八分二十七秒并得七度○一分四十二秒为两交时日月以实度相距极逺之弧也从此太阴逐及于日行讫七度○二分此时间太阳又自行三十二分二十八秒太隂又须逐及更行三十二分此时间太阳又行三分弱共为三十五分以加太阳均度得二度三十八分为日月之实会望距其中望也如圗甲乙为地心所出

　　过本轮心直线至黄道乙指中会太隂

　　实行在丙太阳实行在丁总丙丁弧七

　　度○二分太隂行至丁太阳己过丁而

　　前又逐及之终合于己故丁己弧三十

　　五分加乙丁共得乙己中实两会相距二度三十八分太阳食限

　　表中太阳之最大半径一十五分三十○秒太隂之最大半径一十七分二十○秒并得三十二分五十○秒所谓二径折半也以此推相值之交常为六度四十○分是太阳不论视差不分南北正居实会之食限也苐日食不在天顶即有髙庳视差太隂每偏而在下交会时以此差故或就近于太阳或移逺随地随时各各不同安得以实度遽定日食之限乎测太隂交食时最大髙庳差得一度○四分【因距逺五十四地半径故】减太阳之最大髙庳差三分余一度○一分【此为太隂偏南之极多者凡日食时必有一方能见其然是为大地公共之最大差】以加二径折半得总视距度一度三十三分五十○秒外此即无日食在其内则可食依前法求食限得两交前后各一十八度五十○分为两大视径折半之限也若以小半径求食限与前差度并得一度三十一分有竒推相值之交周度一十七度四十八分为小视径折半之日食限若日月防入此限内者日必食但非总大地能见必有地能见耳若以中防论食限又须加入实防距中防之度其最大弧三度则中会有食之限二十余度如圗甲乙为黄道甲戊为白道太隂以实度在己

　　以视度在丙太阳乙与太隂丙视相切

　　于丁则己丙为髙庳差己戊为东西差

　　而丙戊为南北差南北差之最大者一

　　度○一分以加乙丙为总距度乙戊若

　　乙丙为大折半【二径折半省曰折半】推得甲戊食限一十八度五十○分或以小折半乙丙加丙戊得甲戊一十七度四十八分设中会更在前为辛得食限甲辛更多于甲戊求北中界日食限

　　北中界者地居赤道之北南不至赤道北不至北极也今依南方极出地十八度北方极出地四十二度定日食之限则最广者太隂距南其交常度七度三十一分太隂距北其交常度一十七度三十五分为可食之限最狭者太隂距南交常七度距北交常一十六度五十三分为必食之限其所繇广狭者因二径折半有大有小即相会时所当距度不同故所限交周度亦异也太隂分南北而定最大日食之限有二义其一论地总本界中有一方焉距北之最大者以十七度为限又有一方焉距南之最大者以七度为限非谓一方所见距北可得十七距南又可得七也其一论黄道度谓本界中有地有时太隂或南或北距天顶最逺则其视距度最大以加于太隂实距度得其最大限在北可至十七度在南可得七度亦非谓诸宫交防皆可得七度十七度之限也今试于本界中论地先论其极髙四十度者又于本地论时先论其不甚逺于天顶者如日月交防在夏至鹑首宫初度设当时不防于正午其髙庳差变为南北差者必少而所增视距度亦少即所得者不为其最大限必设实防正午月距黄道北得其髙弧七十三度二十八分以推髙庳差一十八分○八秒全变为太隂南北差依法加于二径折半得五十○分五十八秒为黄白两道之视距度则所值交周度得一十○度为顺天府北极同髙地黄道本度月距北日食之最大限可食也设月距南则二径折半共三十二分五十○秒反减太隂南北差一十八分○八秒得两道视距一十四分四十二秒所值交周止二度五十○分为本地本度月距南日食之大限可食也次论其甚逺于天顶者设日月在冬至星纪宫初度防亦正午其髙弧二十六度三十○分推得髙庳差即南北差五十六分二十四秒加二径折半得黄北两道总距一度二十九分一十四秒为月实距南所推最大日可食之限一十七度二十四分所以然者人目所见日月以两心合会必在太隂所离视道交黄道之处距其两道实交尚一十一度又本南北差减二径折半得距度二十三分三十四秒相当者得四度三十二分为太隂尚不及实交未过黄道南而以视差故人目所见则已过交出日食限之外矣如圗丙为太隂丁为太阳甲为黄白两道之实交论实距度则日月至甲宜相掩而食今冬至南北差甚大太隂之视行循丙乙视道尚在己距甲逺即己切太阳周入日食之限后太阳丁行黄道至乙与太隂视道相遇是为视交即二曜以两心合防

　　能全食若更前至辛日月亦未及实交甲太隂实未过黄道南而视行则己过太阳之南即丙不能掩日亦不能切日不食矣可见太隂实距北在己为顺天府同纬地最大食限得一十七度有竒至辛遂出食限之外况过甲而后实距南其视度距太阳甚逺安得尚有食乎再于本界中论地论其极髙一十八度者先设日月在冬至星纪宫初度实防在正午得髙弧四十八度三十○分髙庳差全变为南北差四十一分五十八秒加二径折半总得两道相距一度一十四分四十八秒外此无日食在其内可食相值之食限一十四度三十二分其食甚亦未至实交也若行至实交则太隂以视度过交而南四十一分五十八秒矣以较二径折半则视距为大不已出两食限之外乎安得有食设日月会于夏至鹑首宫初度此在天顶北五度三十○分得髙弧八十四度三十○分推南北差得六分○八秒以加二径折半得三十八分五十八秒为太隂入阳厯两道相距度二曜至此即以周相切推得日食限七度三十一分若月距北则两半径减南北差余二十六分五十二秒仅得五度一十○分为日食限也如圗地居夏至之南目视丙月则偏北故太隂之实度在黄道南为

　　本道上之乙与太阳之实度丁甚相逺却以南北视差移而就近及以甲乙为食限二曜相掩必未至甲也若其过实交甲至己在黄道北则因南北差见月更在北与太阳相距更逺不复能相掩矣

　　太阳太隂越六月皆能再食

　　越六月者如寅月食申月得再食也如圗甲丙乙丁为太

　　隂离道交黄道于甲于乙甲丙乙为

　　其距北半圏余乙丁甲为距南半圈

　　己庚戊辛皆为食限依多禄某随迤

　　北诸方所定中会时甲己及乙戊入隂厯为日食限二十○度四十一分【地愈向北食限愈大故也】甲庚及乙辛入阳厯得一十一度二十二分则限外弧己丙戊得一百三十九度庚丁辛得一百五十七度一十六分越六月之中积交周一百八十四度有奇【先去全周】则大于己丙戊及庚丁辛两弧故初月在食限内与正交相近者六月后则近中交亦在食限内而日能再食若月食不论隂阳厯其限皆一十五度一十二分则己丙戊弧庚丁辛弧皆一百四十九度三十六分皆小于中积交周度故初月交周度入己甲庚食限内后六月又在戊乙辛食限内而月能再食

　　太隂越五月能再食越七月不再食

　　以距月之中积交周度与初月食限外之弧相比若度赢者则此食限内能起彼食限内能止即两皆有食若度缩者则一起一止或在两食限之外不再食矣如五平月交周得一百五十三度二十一分【去全周己】月食于髙庳中处其实限一十一度三十○分南北同得限外无食之弧一百五十七度亦南北同是皆大于交周弧则五平月中不可得两食矣亦有可两食者则大月也太阳躔赤道南在其最庳左右必速行同时太隂去全周在其最髙迟行必得定朔策少月大交周弧亦大夫五月之平朔策去太隂全周得一百四十五度三十二分中分之左右并得太阳均度四度三十八分又太隂五月自行一百二十九度○五分中分之以最大加减得其并均度八度四十○分太阳均度应加【实度距最庳左右比平度逺故】太隂均度应减【设月逐日实未追及故】得日月以实行相距总弧一十三度一十八分为月逐日未及之弧如圗太阳从

　　秋向春行本天小半周以当黄道

　　正半周必速行以甲乙直线中分

　　其平行左右各得丙丁均度太隂

　　在本轮自戊过最髙辛至己迟行

　　以甲辛平分其迟行弧左右得壬

　　辛及庚辛均度日月两均度不同类一加一减并之得一十三度一十八分为太阳以实行在前太隂以实行在后之弧而太隂逐太阳行一十三度此时间太阳更行一度○六分以并于太阳均度总得五度四十四分为五大月过五平月之度亦为实交周过平交周之度

　　以加平交周一百五十三度二十一

　　分得一百五十九度○五分较食限

　　外之弧羸二度○五分则月食于甲

　　乙限内为壬距乙甚近而限外交周度壬庚越五月复可食于庚然食之分数少矣

　　又证太隂越七月不能复食者则小月也月大或平即交周弧大于食限外之弧不可得食今太阳在其最髙左右迟行太隂在其本轮最庳左右速行因而成小月

　　夫七月之平朔策得二百○三度

　　四十五分同时太隂自行一百八

　　十○度四十三分如圗甲乙分日

　　月平行甲辛分太隂自行太阳左

　　右各得最大均度丙丁并为四度四十二分应减【实度距最高左右此平度近故】太隂均度壬辛及庚辛并为九度五十八分应加【设月以实行过太阳故】一加一减并两均度得一十四度四十○分为太隂过太阳之弧此时间太阳亦行一度一十分以加其均度得五度五十五分是为七小月间实

　　行不及其平行之度又为七月间交周

　　平行之弧所减以成七小月实行之度

　　今以平行二百一十四度四十二分去

　　减五度五十五分得二百○八度四十七分以加于食限外之弧【此第论太隂在其髙庳中处甲丙左右四食限】为戊乙壬或己庚丁仅得二百○三度小于七小月之实交周二百○八度有奇则月初食在戊丁限内后七月不能于己壬限内再食也

　　太阳越五月或七月皆能再食

　　此越五月能再食者必大月也其间交周实行可得一百五十九度○五分设日月在髙庳中处得二径折半三十二分二十○秒设太隂距度亦正得三十二分二十

　　○秒则以前法求得距交六度一十二

　　分当在乙或在丁而乙丙丁弧乃得一

　　百六十七度三十六分若太隂絶无视

　　差者即食限外之弧乙丙丁大于实交周弧八度三十一分日月合会先在甲乙弧内有食越五大月复防必不能及丁戊为再食矣然太隂既有南北视差则以交周度不及食限内之弧八度三十一分平分之两加于食限得甲己及戊辛各一十○度二十八分而太隂在己或在辛皆距黄道五十四分三十○秒减二径折半余视差二十二分三十○秒倍之得己及辛两视差共四十五分则诸方能得南北差及此分者所见太隂必偏南下掩太阳得有食也今所论五大月太阳速行先于太隂一十三度一十八分又于太隂逐及时间行一度○六分总得一十四度二十四分太隂行尽此度乃及日须一日○九刻是为五大月过五平月时刻则五大月得一百四十八日一十八小时故先定朔在酉正后必在午正若先在午则后在卯又太阳五大月行一百五十一度以最庳平分左右得先定朔在寿星宫二十一度次定朔在娵訾宫二十一度诸方地面得极髙

　　二十余度见太隂离是二壤值是二时

　　南北视差并得四十五分则越五月得

　　再食此外极出地愈髙南北差愈大食

　　限愈寛凡交周在黄道北入甲己食限越五大月必入辛戊食限人居赤道北者可见两食或交周在黄道南入戊壬食限越五大月必入庚甲食限入居赤道南者可见两食

　　谓太阳越七月而再食则小月也否则交周度大于正交及中交之总食限而先在内后必在外不食矣若七小月间交周行依前得二百○八度四十七分而设无南北

　　差者则以日月两半径为食限得甲乙及戊丁各六度一十二分而总乙己丁弧一百九十二度二十四分小于交周一十六度二十三分即太阳先食于丁戊限内越七月后必己出甲乙限外亦不食也既常有南北视差则以较余交周弧一十六度二十三分平分之以加于甲乙及戊丁得甲壬及戊癸二限各一十四度二十三分而壬己癸与交周弧相等又甲壬及戊癸一十四度二十三分得相值之距度一度一十三分三十八秒减二径折半得四十一分一十八秒为各视差倍之得一度二十三分则诸方有此视差者得有食也今所论七小月太阳迟行后于太隂共一十四度四十○分为太隂一日五小时所行之弧是一日五小时者七小月不及七平月之时刻也总七小月得二百○五日一十二小时故越七月得再防先会在卯后防必在酉又太阳行七小月实得一百九十八度【前已证】从最髙平分之得先防太隂在陬訾宫二十七度后防在寿星宫一十五度则凡离是二壤值是二时所见太隂南北视差并得一度二十三分者必越七月得再见日食也此为极出地三十四度以上盖距赤道愈逺视差愈大所见食分愈多矣

　　食分第二

　　欲知此月内有无交食则以食限求之【见上文】欲知此食食分几何则以距度求之距度者在月食为太隂心实距地景之心两心愈相近月食分愈多在日食为日月两心以视度相距其近其逺皆以目视为凖不依实推盖定朔为实交防天下所同而人见日食东西南北各异所以然者皆视度所为也日食详说见后篇此先解月食分则论定望实防人所见者东西九服各异南北天下不殊也如左

　　太隂食甚分数

　　太隂在食限内过地景其两心最相近时为食甚而食分必多欲知食甚之处用距度求之盖距度与地半景及月半径相减得月入景之分【此言分者天周度数之分非平分月径之分也称分有二类见下二文】如两半径得一度距度四十○分相减余二十分为所求月入景之分也但距度与半景或等或不等若过不及之分小于月半径则月不全入景而止食其半或太半或少半而己若距度小于半景者为太隂之正半径则虽全食随复生光其食分即太隂之全径以月自行推之若絶无距度即太隂遇景正在两交则并其两半径可推月食之分也

　　假如甲乙为地景【定望时月

　　入此则失光亦名闇虚】之半径乙

　　丙为太隂半径总得甲

　　丙为月食限限者乙防为二周相切之处食从乙防起渐入渐大若两周相分于乙防则不食也食有三等一曰不全食二曰全食三曰正食不全食者如一圗甲丁为黄道丁辛当白道月心在辛即入景者半是为半食

　　或月心在庚则如二图入景者大半是

　　为大半食或在戊则入景者少半为少

　　半食皆不全食也求食分法以距度减

　　二径折半如图甲己与甲丙等为二径折半甲戊为距度以甲戊减甲己余戊己戊己与戊庚恒相等故于二半径减距度即得其入景辛庚为此食之分也全食者

　　如三圗月心在戊距度

　　甲戊两道如前而距度

　　入于半景者为太隂之

　　半径戊己则己庚入景之分为全径但全入以后太隂或向交行欲至丁或离交行欲至辛其周旋出景外则无既内分矣

　　以上二者皆有距度则皆不食于交防皆偏食也若如

　　第四圗太隂食甚时絶无距度则月心

　　与景心皆防于甲甲乙为半景径甲戊

　　为平月径两半径并为甲丙设甲乙丙

　　为黄道甲丁为白道太隂从丁行以戊边至甲己全入于丁甲半景之内矣又行至边及戊乃食甚故更得甲戊为既内分总得丁戊两半径并为此食之分此月食之最大食于交防者也正食也

　　食分二类

　　求食分之大几何有二类其一为天周度数之分如上文所论者皆是也月食之最大者可得一度○四分有奇其一为太隂本径之分则惟厯家所命如命月体之全径为十二平分则最大食得二十二分五十四秒也如命为十平分则最大食得一十九分○五秒也又此二类者皆系太隂及地景之视径虽距度同分而大小多寡犹多变易设距度恒为二十五分因太隂自行在最髙得月食度数之分为三十三分一十五秒太隂在最庳得食度数分为三十九分二十○秒其自行在一宫或在一十一宫【俱近最髙】得三十三分三十八秒在二或十宫得三十四分三十六秒在三或九宫得三十六分在四或八宫得三十七分三十○秒在五或七宫【俱近最庳】得三十八分四十五秒如前法以太隂半径半景并每去减二十五分即得此食分之数他距度依此推之其所繇渐渐有差者则因太隂距其最髙愈逺则视径愈大故也又平分本径亦有多寡有大小盖太隂在最庳其全体之天度分为三十四分四十○秒得平径一十○分设食甚正在交防无距度则二径折半得天度一度○四分二十○秒推总食之平径分得一十八分三十四秒而一平径分当天度三分二十八秒又设太隂在髙庳之中食甚距度如前其平径亦一十○分以两半径推总食得一十八分四十四秒而一平径分当天度三分一十五秒与前不同则以视径故更设太隂在最髙其视径更小仅得天度三十○分三十○秒食甚在交皆如前亦得平径一十○分而所推总食分更多于前为一十九分○五秒则一平径分当天度三分○三秒可见距度同平分径同而食分不同者月自行有髙庳其去地之逺近异视径亦异故也

　　求月食径分

　　太隂入景以本径分明暗之限为人目所见之分若全食更加入景之余分【即既内分】推得总食分则距度能翕张其二径为食分多寡之缘也今或依第三巻所定太隂及地景视径表用引数求之并而去减其距度则太隂视

　　径与十平分若其二半径减距度之余

　　分与食分或依第二巻前所设求太隂

　　均度之圗用甲乙丁三角形求之盖乙

　　甲丁太隂均度角之正与乙丁直线

　　若甲乙丁总自行余弧角之正与甲丁直线既得甲丁为太隂距地逺次求太隂视径则其距地逺甲丙与

　　太隂实径之正丁乙若

　　全数与丁丙乙角之切线

　　次以太隂半径与地半景

　　大小之比例为一五○与四○三推地景视半径盖一五○与四○三若太隂视半径之正与景视半径之正也既得视半径用三率法如前推算食分欲用表则于引数查视半径而以月视径及两半径减距度之余数查食分然表中列数从引数出其理一也求月食面积分

　　前论月食分皆目可见器可测之视径分也若求其不全食之面入景之分则有别法设甲为地景之心乙为太隂之心以距度得其两心相距为甲乙直线又先得甲

　　丙为地景视半径得乙丙为太隂

　　视半径则甲乙丙三角形内有其

　　三直线可求三角又甲乙丁三角

　　形与甲乙丙三角形等则以丙甲

　　丁总角得丙戊丁弧亦以丙乙丁总角得丙乙丁弧今欲以径与圏之比例推丙戊丁及丙己丁两弧与其本圏半径同类之分若干【弧曲线与直线异类以周径法变曲线分为直线分故曰同类】其法以甲丙及丙戊得景中丙甲丁两半径弧形【两半径弧形者两半径为两腰弧为底求得其容积也说见测量全义第三卷】亦以乙丁及丁己得月上丙乙丁两半径弧形又丙丁直线为等腰两三角形之公底线求其半得丙辛以乘甲辛得甲丙丁三角形之积以乘乙辛得乙丙丁三角形之积次以两三角形之积各减其两半径弧形之积所余丙戊丁己长圆形为太隂入景之面可得其余不入景之面也假如崇祯五年壬申九月十四日夜望月食四分四十二秒食甚太隂距度四十四分其视半径一十六分二

　　十五秒地半景四十三分二十

　　三秒设甲乙为距度乙丙为月

　　半径甲丙为景半径则最大线甲乙与余两腰线甲丙丙乙若两腰线相减之余线甲丁与大线之分也即算得大线之分甲戊以其余平分之为戊辛辛乙

　　次从丙作丙辛必为甲乙

　　之垂线矣既得各线如圗

　　皆通为秒以求甲角及乙

　　角则甲辛与全数十万若甲丙与丙甲辛角之割线算得甲角二十一度四十○分倍之得四十三度二十○分为丙戊丁地景之弧又辛乙与全数若乙丙与辛乙丙角之割线算得乙角七十七度○六分倍之得一百五十四度一十二分为丁己丙太隂周之弧次求其各与本圏半径同类之分则月径及地景径各与其本周若七分与二十二分也推得地景周一六三六一月周六一九一因此用丙戊丁及丙己丁两弧各求其本圏径同类之分则全周一六三六

　　一与所截丙戊丁弧之分若全

　　周三百六十度与本截弧四十

　　三度二十○分算得一九六九

　　为丙戊丁弧其半九八四为丙戊半弧也又太隂全周之分六一九一与丙己丁弧之分亦若三百六十度与本截弧一百五十四度一十二分算得二六五一为丁己丙弧半之得一三二五为丙己半弧也次以甲戊乘丙戊得丙甲丁地景两半径弧形之积二五六一三五二以乙己乘丙己得丙乙丁太隂两半

　　径弧形之积又丙甲辛角之切

　　线【乙丙也】与丙辛若全数【甲丙也】与

　　甲辛得丙辛九六○则彼此求

　　两等边直线三角形之积与求两半径弧形之积通为一法得甲丙丁三角形之积二三二二二四○乙丙丁三角形之积二一一二○○各减其两半径弧形之积得丙辛丁戊分圏形之积二三九一一二丙己丁辛一○九三九二五并之得总数一三三三○三七即丙己丁戊全形之积也又以太隂半径九八五乘其半周三○九得三○四八五七五与总数比得太隂入景之面与其未食之面若一十三分与三十○分也

　　食甚前后时刻第三

　　食甚前初亏也食甚后复圎也两限间之时刻多寡其缘有三一在太隂本时距度因距度或多或寡每食不同即太隂入景浅深不同浅则时刻必少深则时刻必多其二在月及景两视半径半径小太隂过之所须时刻少半径大太隂过之所须时刻多其三在太隂自行自行有时速有时迟虽则距度同视径同而自行迟疾不同即所须时刻不同矣推距度及视径皆依前所设法此专求太隂实行以定食时刻分

　　月食起复行度

　　太隂入景自初亏至食甚之弧与其出景自食甚至复圆之弧两者畧相等故求其一倍之得在景之总弧如圗

　　甲为景心躔甲乙黄道乙

　　丙为白道太隂心至丁为

　　初亏在丙为食甚复圎在

　　戊丁戊者周天之弧也而所截弧极小故作直线用之人甲乙丙三角形也而乙角极小乙丙与乙甲畧等故作平行线用之因而甲丙可为垂线因而丁丙与丙戊亦可为等今自甲出两直线为甲丁为甲戊皆当太隂地景之两半径而甲丙为太隂距度故甲丁戊三角形以甲丁方减甲丙方得甲丁方其根为太隂初亏至食甚行过太阳之弧若不用开方则有别法以角求对边线如甲丁线与丙直角若甲丙线与甲丁丙角既得丁角余为丁甲丙角则丙直角与甲丁线若甲角与月行景之半线丙丁也虽食分不同或半月入景或全体在景求初亏至食甚之弧恒仿此次求食既至食甚亦仿此倍之得太隂全入景至生光及复圎之总弧如圗甲

　　乙为黄道乙丙为白道太

　　隂心行至丁则全入景既

　　至戊即生光得丙丁及丙

　　戊略相等故先得丙丁倍之即丁戊也此则以甲丙为距度甲丁为地半景减月半径之余于甲丙丁三角形用此两线及甲丙丁直角推丙丁线与前同法若欲精求之不听甲乙乙丙为平行仍作两线斜交于乙太隂初亏在丁食甚在丙复圎在戊丙丁是太隂在景之半为距交一十二分之一即作丁庚线与甲乙平行取丙

　　庚亦丙甲距度一十二分

　　之一以减甲丙得甲庚是

　　太隂初亏之距度以加甲

　　丙得甲己是太隂复圎之距度次以甲丁甲庚两线及庚直角求得庚丁线以庚丁庚丙两线及庚直角求得丙丁线为初亏至食甚行度后以甲己甲戊两线及己直角求得戊己线以戊己己丙两线及己直角求得丙戊线为食甚至复圎行度也

　　食甚距度线与白道当为垂线

　　求食时刻设太隂食甚前行度与食甚后行度等即距度线必当为白道之垂线不然者必行度前后不等而时刻亦不等如圗甲乙为白道甲丙为黄道太隂在丁自

　　庚黄极出线过丁月为庚丁弧至戊黄

　　道指太隂实度在戊因太隂在丁得交

　　常分甲丁而庚丁与庚乙若甲丁与甲

　　戊【皆用正算】若得甲丁四十五度与甲戊

　　最差之限得六分【甲戊少于甲丁在圗为己丁】若甲丁在食限内其与甲戊差又不及三分矣因两道之最大距不过五度故也设甲丁弧得二十○度而以甲乙与乙丙之比例推甲丁与丁戊得丁戊距度一度四十二分今作戊己与甲乙为垂线又以甲丙与丙乙之比例推甲戊与戊己亦得戊己相距一度二十四分可见丁与己见有差戊己与戊丁有微差不足见也今不用戊丁开方而用戊己又以戊己平分太隂入景与出景之弧其不得有差甚眀矣

　　太隂食在景时刻

　　前第二巻论月食以食甚时为主于食甚前之初亏至食甚后之复圆总推定时刻分秒其法以太隂在景中行度变为时刻如先得食甚前行度求所当初亏至食甚时刻倍之得其余行度亦变时刻皆依先所定行度用比例法推算也如崇祯五年壬申三月望太隂初亏至食甚行四十○分一十六秒欲变时用三率法太隂行三十三分一十一秒得一小时今四十○分一十六秒应得一时一十二分四十三秒但太隂自行恒异平行食时间恒不居本轮之一处故所用一小时之行分以定食间行之时不得用平行必须考将食之实行查太隂实行时表法恒以自行宫度得一小时之实行每度所值各各不同如太隂平行一时得三十○分二十九秒以本时自行求均度或加或减于平行得实行若加减度表对自行初宫三十二分四十○秒得均度二分四十六秒以减三十○分二十九秒得二十七分四十三秒为表中相当引数初宫初度之率也加减度表对自行一宫三十二分四十○秒得均度二分二十五秒以减一小时之平行余二十八分○四秒为相当引数一宫及一十一宫之率也其余皆仿此第自行在本轮最髙左右必减均度得一时之实行在最庳左右必加均度得一时之实行耳

　　既以实行推定总时刻则以食既至食甚之时减先定食甚时刻分秒得食既时刻分秒以相加得生光时刻分秒又以减食甚前总时得初亏以相加得复圎又以初亏减复圎得总食之时刻分秒若初亏在子时前复圎在子时后则即以丑初为十三时【午正起算用小时】丑正为十四时如是接续减之

　　交食圗义第四

　　求日月失光之面向何方位则有两缘其一从太隂距黄道度作大圏令过太隂太阳两心【此日食也】或太隂与地景两心【此月食也】下至地平周遭移指交食所向之方也其二黄道斜交于地平日月随之行遇食必有时向东南西北有时向东北西南也欲绘交食圗必先察日月所向起复方位苐旧法祗以隂阳二厯分别南北殊粗率今法必可得其度分颇为繁细耳

　　距度变日月食所向方位

　　太隂食起复之间以本行屡迁其度分即作过两心【月心地景心也】大圏至地平时刻各异所向方位亦时刻各异欲尽推之其多无数故当求其初亏食既食甚生光复圎五向而止如图甲为地景心甲乙为黄道戊丙为白道两道之大距不逺故作平行线论初亏太隂在丙食既在丁食甚在戊即甲丙甲丁甲戊皆过月地景两心之弧因太隂渐近于地景心甲其距度逺近渐次不同而乙甲

　　丙角乙甲丁角乙甲戊角之小大亦不同则太隂所向地平之方位度分亦不同故恒以本距度推本角如甲丙初亏之距为半景月半径并之甲丁食既之距为半景减半月径之甲戊食甚则为太隂之正距度也甲戊丁角可当直角不论其甲戊线与甲丙戊对角若甲丙线与丁戊甲直角得甲丙戊角与乙甲丙角相等【乙甲丙为所求】又甲丁戊三角形依此法推甲丁戊角与乙角丁角【此为所求】相等而食甚乙甲戊为直角故在甲诸角其线不等即所向方位不等论日食则甲丙为日月两半径甲戊为太隂距太阳食甚之视度以求甲丙戊角向下皆同前法今更作圗甲为景心乙丙为黄道若太隂初亏

　　在乙其入景之面必正向东若复圎

　　在丙【初亏在乙复圎必不在丙故曰若指他食也】其出景

　　之面必正向西皆无距度故若其距

　　北在丁或在戊即入景之面向东南

　　或西南若其距南或在己或在庚即入景之面向东北或西北也论日食设甲为太阳心其理同此但出入之面所向与月食所向正相反此为异耳

　　黄道出没变日月食所向方位

　　黄赤两道之两交切地平若一在正卯一在正酉不偏南北即诸方俱无濶度矣外此或黄道距南或距北其距渐多其出没之濶度去离卯酉亦渐多又南北极愈髙其相离更逺如北极出地三十六度黄道度去离春秋分或南或北一宫其濶度左右各一十四度一十五分若去离二宫则更逺其濶度各二十五度一十三分最逺者得二十九度二十九分若北极出地四十度即一宫得濶度一十五度○四分二宫得二十六度四十五分最逺则三十一度一十九分也太隂既随黄道行其食也亦必依其濶度则起复之所向方位太隂亦必依濶度之左右也今欲定其多寡如圗南西北东为地平

　　圏丁甲戊为黄道食时得濶度戊距正

　　东若干太隂心在丙景心在甲过两心

　　之庚甲己大圈指己因戊黄道度距正

　　东逺己随之距正东亦逺而丙月之初

　　入景所向为己也今求东己弧先设辛为天顶出髙庳弧过甲至壬为顶极圏又作一癸午弧与甲庚为直角次甲乙丙小三角形有乙丙距度有甲丙两半径有甲乙丙直角依比例推得甲角次以食时及甲景所躔黄道度得戊甲辛角即得其余辛甲乙角又得辛甲乙所分之辛甲午角【减乙甲丙小角】次甲辛午三角形有甲角有午直角又以北极髙及黄道距赤度得甲辛弧可推得辛午线以加辛癸象限得午癸总弧为午己癸角其余角为甲己壬也而己甲壬为辛甲午之对角甲壬为辛甲之余弧因可推壬己弧又戊甲壬三角形有原推之甲戊有甲壬戊直角有乙甲辛相对之壬甲戊角因可推壬戊弧去减先得之壬己余己戊为所求太隂初入景所向东南维之地平经度以加初所得东戊弧则得东己总弧

　　月食圗

　　西厯恒推日月食所向方位以其所亏及复圎距度作图求距度食甚前与食甚后为一法以太隂自初亏至食甚之实行加入太阳同时所行分秒得太隂初亏至食甚在景之总分以加前所定食甚交常度得复圎交常度以减得初亏交常度次求初亏距度则全数与其交常度若黄白之大距度与其距度求复圎距度仿此假如崇祯五年壬申三月望太隂初亏至食甚景中行过太阳四十○分一十六秒为时四刻一十二分四十三秒同时太阳行二分五十七秒以加前行得四十三分一十三秒为太隂在景之总行其食甚交常度为过中交八度三十五分五十八秒以加太隂总行四十三分一十三秒得复圎交常度一十○度一十九分一十一秒其正一七九一四以减得初亏交常度七度五十二分四十五秒其正一三七一○算得太隂初亏距度四十一分复圆四十九分三十○秒若用表以时分查太阳本行以交常度查太隂距度更易得矣欲依本食作圗其外大圈之半径为月半径地半景并得一度○四分三十二秒【量用比例规或先平分一直线】内取食时所

　　得地半景【此为四十六分三十五秒】作内圈以

　　当景次查距度此食在南初亏四

　　十一分复圆四十九分得太隂初

　　在乙后在丁食甚亦依其距度在

　　丙为食之定分圗上下左右书四

　　方其起复所向方位必与天合也

　　新法算书巻六十七

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法算书卷六十八　　　明　徐光启等　撰交食厯指巻五

　　视差以人目为主第一　四章

　　前言实防中防视时食限等皆日月食之公法也是皆凖于地心今再论月食生于地景景生于日故天上之实食即人所见之视食无二食也日食不然有天上之实食有人所见之视食其食分之有无多寡加时之早晚先后各各不同推步日食难于太隂者以此其推算视食则依人目与地面为凖

　　视防

　　凡交防者必参相直不参直不相掩也日之有实食也地心与月与日参居一线之上也其有视食也人目与月与日参居一线之上也人目居地面之上与地心相距之差为大地之半径则所见日食与实食恒偏左偏右分为两直线各至于宗动天其所指不得同度分是生视差而人目所参对之线不得为实防而特为视防如图甲为地心乙为地面丙为天顶若丁为日戊为月即在甲丙一直线上则实防即为视防因地心与人目无分线故也若日在辛必月在壬方与地面乙作一线

　　为视防矣若月至己与地心甲作一线

　　则实防也今言交食惟以目见为慿故

　　日食全论视防若所居地面不同即食

　　分多寡加时早晏亦随之异也又视防

　　实防在日月本天皆无度分可指而全依宗动天之黄道圏度分则此实防线所指谓之实度视防线所指谓之视度如图甲辛线所指为黄道之庚则庚为太阳之实度若乙目视辛日至黄道癸视己月至黄道午则癸为太阳之视度午为太隂之视度也

　　日月目见之度非实度

　　譬之画图者作平圆形则一举手一运规即得矣若欲为螺旋线先须依法作识又依法作线乃成形焉测天之法亦犹是耳今欲知日月纒离东西南北亦转仪闚表一览可知若欲定其本行所在则非聊一寓目遽能得之必先后累测度分展转较勘乃可定也假令目居地之中心【地之心即宗动天之心】极目所见则有恒星以当彼界两界中间有日月五星是名七曜七曜相视有逺有近无有同者即论一曜亦各时逺时近无时同者是则目所能见也然因目所见得其视度于彼界因以视度测其与某恒星相距若干度分因以是度推其实与地相距若干逺近则可谓即目所见遂得其实行能分别其去地逺近则不可何者七政诸本天虽居恒星天之内乃不见火木土等内天之星以本体能掩最外之恒星则何从辩其内外逺近乎又目所见者太隂太阳二体相若何从知其内外之相距絶远二体之小大絶不相等乎内天之两星参对于外天之两经星目见之能知外者之两相距甚逺内者之两相距不甚逺乎是三者皆目力难慿之效也或曰是则然矣测量之法皆慿目所见也则可废乎曰何可废也惟测内天之星得彼界所指之防以为即在恒星之天聊可得之矣何者凡用在界之弧以测其辏心之角无弗真者目测恒星之天其在地面与其在地心也无以异【地居恒星天中止当一防】若测内天诸曜目虽不在地心相距亦不甚逺故测日月五星于彼界上得防即与实度相近【曰聊可得之曰距不甚逺曰近其实度皆因有地半径视差故】但恒星有时不见或与内天诸曜不相值故厯家以地平代恒星更用逺视之噐以助目力得日月五星之视度分依法推步乃正得其实度分矣

　　人目差

　　两目赅存不惟相助以为明相代以备患亦能彼此互用以察物之逺近葢各以其心【目睛最中之一防为心】受外物之象其过心之两直线至物体则相遇为两腰两睛心自相距为底成三角形因以其比例之大小别物距目之逺近是谓目差縁此可推天上之视差以小喻大其理一也若物大逺于人目则底线极小两腰极长是过睛心之两径线与平行无异正如地球比恒星天之高特以一防为底视差无所繇生矣

　　如图两目之心为甲为乙目所视之物为丙若甲乙线

　　可比于甲丙线【可比者不甚逺则有比例】则两戊己径线渐相就如己

　　而相遇于丙若物更相近为

　　丁则两径速相就为辛庚【甲乙丙及甲乙丁两三角形皆等边又同一底线则丁角大于丙角而丁甲乙角必小于丙甲乙角】而两目之光线皆从己敛向于庚自觉所视之物变逺为近矣若物与目相去甚逺则无比例者因两径絶难相就絶难相遇故也今借此理明视差之公理如本图设丁物之前有横堵为壬癸令甲目独视丁物则所见若在壬令乙目独视丁则所见反在癸而丁前丁后两交角形必相似即丁物亦不逺于壬不逺于癸葢视之目分两线为交角即能分本物之逺近也若不能分两线即不能分逺近

　　地半径差

　　目视星欲辨六曜【月五星也】在恒星之内势不能也则当借地体之大补目力之不及法用地半径为底以推测量所指之界即可得七政逺近上下各居本天之实处如图甲乙两目相距为底则二寸耳今以两地相距数千里或数里当之以为底如甲为顺天府乙为广州府丁为太隂两人同测之一在甲一在乙因此大底之逺近比于各距太隂之两腰得大小之比例则甲丁及乙丁两

　　直线必觉彼此相就以趋于丁

　　矣再使壬癸为列宿天之两恒

　　星【或壬癸为太阳之全体壬当其南周癸当其北周】测

　　者一从甲见太隂丁若在壬以夲体合于一星之体【或太隂之南周齐太阳之南周】一从乙测太隂反在癸转就北以合于他星【或太阳之北周】若甲乙两测之距愈相逺即所见丁月两指之极高亦愈相逺【一偏南一偏北东西亦同】而人在甲能见太隂掩日为日食人在乙即不可得见矣以此壬癸当宗动天上之弧正所谓视差与前言目见之小视差其理一也第两人相距千里万里同时并测太隂其势甚难故立别法代之【详见本书第六卷下文畧言之】假令人正居地心推其所得太隂距天顶应若干度分又同时居地面者实测太隂距天顶得若干度分两度之差即所谓视差也如图甲乙丙为地球丁为天顶甲戊丁直线所至也若太隂在

　　此线左右为己从甲地心测月见之

　　当在庚自地面乙测之乃在辛则先

　　推定丁甲庚角或所当之丁庚弧后

　　推丁乙辛角或所当之丁辛弧【乙距甲与乙距丁无比例甲乙至小故】以两角或两弧相减得视差之弧庚辛

　　问一星距天顶测其宗动天上所指度分在地心测之则距近在地面测之则距逺若论角则地面之乙角大于地心之甲角何以证之其故何也曰因其一逺一近如图太隂在本天其距顶之弧为己戊己戊之距地心甲与其距地面乙逺近之差则目所能识也所能分也

　　【因地之半径与月本天之半径有比例故】则目之在甲与

　　在乙所受己戊弧之象实不能无大

　　小为己戊弧等而两角之大小不等

　　【目受物象皆以角形见交食第一卷】相近者必大逺者必小也角既有大有小所相当之弧不得不有大小则辛之距天顶视庚之距天顶不得不逺矣又论辛庚视差实为辛甲庚角所定何用辛己庚或甲己乙角乎曰甲乙线与甲庚线无比例【小大絶逺故】而甲乙与甲己则有比例即甲己与甲庚亦无比例也既甲乙与甲己同为微末不以入算则

　　用辛己庚角代辛甲庚角无以异矣若

　　论角则丁乙辛角与丁辛弧相当【因甲乙与

　　乙丁无大小之比例】又丁乙己角与乙甲己及甲

　　己乙两角并等【见几何第一卷十六题】则两角并亦与丁辛弧相当矣今丁庚弧既与丁甲庚角相当则余弧庚辛必与余角甲己乙或辛己庚相当也

　　视差以天顶为限第二　六章

　　人目在地面或在地心仰视天所得日月道相参直者止有一不同者无数过两目之垂线止一至顶之线此外分离处处各异

　　三视差

　　视防与实防无异者惟有正当天顶之一防过此以地半径以日月距地之逺测太阳及太隂实有三等视差其法以地半径为一边以太阳太隂各距地之逺为一边以二曜高度为一边成三角形用以得高庳差一也又偏南而变纬度得南北差二也以黄道九十度限偏左偏右而变纬度得东西差三也因东西视差故太阳与太隂防有先后迟速之变二曜之防在黄平象限度东即未得实防而先得视防若在黄平象限西则先得实防而后得视防所谓中前宜减中后宜加者也因南北视差故太隂距度有广狭食分有大小之变如人在夏至之北测太隂得南北视差即以加于太隂实距南度以减于实距北度又东西南北两视差皆以黄平象限为主葢正当九十度限絶无东西差而反得最大南北差距九十度渐逺南北差渐小东西差渐大至最逺乃全与高庳差为一也【三差恒合为句股形高庳其南北其股东西其句至极南则与股合至极东极西则与句合也】

　　论日月视高差

　　太阳出地平上渐升至天顶得九十度在夏至则离赤道北二十三度半为丁辛如北极出地四十度即赤道离地平五十度加丁辛二十三度半得七十三度半此日在午正之高也今太阳未至子午圏别作一高弧从甲过

　　太阳垂至地平上为甲乙丙弧其乙丙既太阳未及午正之圏即其高不至七十三度也两曜去天顶有高庳与恒星有逺近时时处处不同故其视差大小亦各不同惟曜在天顶则无差若下几度则少差愈庳愈差庳至于地平则得其极大差矣今先论太隂如图甲为地

　　心乙为地面丙为天顶丁己为太隂

　　本天丙戊为恒星天若人在地心甲

　　视太隂正在地平己直至戊在参宿

　　第三星下人在地面乙视太隂己直

　　至壬在参宿第一星下是壬戊不同度至一度○六分为太隂之极大视高差若太隂高至庚至辛视差渐减如在丁直视至丙人在甲与在乙悉无交角无差分矣太隂距地心最近者为乙地面至其本体得为地半径者五十六个【后言一个者皆一地半径省文也】若太阳甚逺于地自地

　　面至日轮得一千余个其差更小日

　　出地平之最大差止三分渐高渐小

　　矣凡推日食恒以太阳之视差减太

　　隂之视差得两曜之视差假如甲乙

　　为地球丙丁为日月本天皆如前于最上之天【或指宗动或指恒星其理同也】得戊庚为太隂视差得己庚为太阳视差相减得戊己为两曜之高庳视差

　　求太阳高庳差

　　凡地半径与星距地心之逺此两直线若能为大小之比例者即人在地面所测与星所在之实度分不一是为视差若星距地甚逺其距逺之线极大地半径极小两线絶不能为比例即人所测与地心所出两直线所指之度不能分即不能为视差故求星之距地逺近恒以视差为证以视差之多寡不等推其距地逺近亦不等如测恒星无视差可证其距地最逺测填星防有之仅得数秒而测太隂所得过一度因知七政之最逺者为填星最近者为太隂而太阳得视差三分当在其中央矣太阳太隂之距地逺近如前以月食求之其法更易今以其逺近及地半径反推其视差定为高庳差表如图甲乙为地半径甲戊为太阳距地心之逺任在本天最高或最庳或高庳之间皆有小异今设在高庳之间者如日初出在丙则甲乙丙三角形内乙甲丙为直角

　　甲角直线为甲乙者一千一百四十

　　二个【此中数也】推得甲丙乙角三分为太

　　阳之最大高庳差若太阳在丁其丙

　　丁高弧三十度则以余弧之乙甲丁

　　角推得高庳差二分三十六秒为甲丁乙角若丙丁高弧六十度则甲丁乙为一分三十秒依高度推高差皆凖此至天顶戊即无差

　　求太隂高庳差

　　太隂之距地既近视差既大即其在本轮之最高最庳次轮之最逺最近视差大小亦皆变易其在本轮最高次轮最逺【一限】则距地依歌白泥算六十八个二十一分以六十度高弧推之得视差二十五分二十八秒若在本轮最高次轮最近【二限】距地六十五个三十○分以同前高度推视差二十六分三十八秒若在本轮最庳次轮最近【三限】其距地五十五个○八分以同高弧推得视差三十一分四十二秒若本轮最庳次轮最逺【四限】距地五十二个一十七分以同高度推得三十三分二十八秒是为同六十度弧之最大视差若他高度其法同此所推视差各异矣又太隂在小轮高庳逺近时时变易视差随之无能不变欲考其几何如图甲为太隂本轮之心从地心壬出直线过甲至辛指最高于乙最庳于丙

　　是为次轮心一在最高

　　一在最庳而己丁及庚

　　戊两弧皆设六十度引

　　乙丁及丙戊直线得甲乙丁及甲丙戊两三角形今先求次轮在本轮最高逺近之间各度生何视差借太隂厯指所定以地半径量诸轮之半径得甲己为五个一十一分甲壬为六十个一十八分而己辛止得二个五十一分则甲乙丁三角形内得乙丁为一个二十五分【地半径为个个六十分】甲乙为六个三十六分丁乙甲角六十度推得甲丁线六个○七分以并壬甲总得六十六个二十五分大于壬己线五十五径分有竒是名剰分今更设比例分论之如壬己为六十比分即己辛得二比分三十七秒而剰径分五十五当化为四十六比秒又己辛当六十比分依法推得一十八分正【六十与一十八若二分三十七秒与四十六秒】为次轮上六十度己丁所求高差应减于最近己高差也次论甲丙戊三角形其两线甲丙戊角及剰分同前但壬庚线得五十五个○八分亦以当六十比分即庚癸得三比分○七秒而剰径为五十五比秒又庚癸当六十比分亦推得一十八分【六十与一十八若三分○七秒与五十五秒】是为次轮上六十度庚戊所求高差应加于最近庚高差也葢依前所定四限丁六十度在一辛二己逺近之间高于己得视差少于己故剰分推视差以减于己得太隂在己正高庳差戊六十度在三庚四癸逺近之间庳于庚得视差多于庚故剰分所推视差以加于庚得太隂在戊正高庳差也其余次轮之逺近度求视差皆凖此

　　太隂在朔高庳视差

　　本书二卷论太隂交防时恒居次轮之最近所谓第二第三限在前图为己为庚也因太隂食日加时恒不在本轮之最高最庳而月行次轮周恒倍于本轮周故朔望时太隂恒在次轮之最近最近所行之周名本轮之内圏是大于次轮小于本轮以己庚相距之线为径今欲求内圏之上下左右各度得何高庳视差如图己丙庚内圏己为高最逺庚为庳最近乙距地心甲为地半径

　　六十个一十八分【设歌白泥之数以为

　　法】己丙弧六十度乙丙得五

　　个一十一分与甲乙六十个

　　十八分同类之径分也以甲乙丙三角形推太隂在丙距二限已六十度得甲丙线六十三个○四分因得甲己六十五个三十○分剰得二个二十八分今设己庚为六十○比分即推得一十四比分【六十与一十四若己庚十个二十二分与剰径二个二十八分】为剰分以推太隂在丙之视差加于在己之视差得太隂之真视差

　　假如太隂距天顶四十二度在本轮七十二度在次轮六十○度总论其变视差以距顶倍之度查本表得太隂在逺近之第二限有高庳差三十五分三十一秒以较第一限赢一分二十九秒今距第二限六十○度依前法推得一十八分而六十分与一分二十九秒若一十八分与二十七秒则于二限高庳差减二十七秒余三十五分○四秒是一二限间次轮行六十度之高庳差也又第三限较第四限之视差不及者二分一十九秒而六十与二分一十九秒若一十八分与四十二秒

　　以四十二秒加于第三

　　限之四十二分一十九

　　秒为四十三分○一秒

　　是三四限间六十度之高庳视差今太隂行本轮七十二度又在二三限之间法以丁戊上两视差相减余七分五十七秒于时太隂自行得二十比例分则六十与七分五十七秒若二十与二分三十九秒以二分三十九秒加于前推一二限间次轮六十度之视差三十五分○四秒得太隂居高庳逺近之间本轮七十二度距天顶四十二度次轮六十○度之真视差三十七分四十三秒凡以距天顶余度求四限间之视差法皆凖此其在二三限日食所用有立成视差表依诸高度及距地逺近简之

　　测日月求高庳视差

　　借月食推太阳太隂距地心逺近而求视差以三角形推算为常法欲从天行求之则测日月高度以比其实纬度两度之较为高庳差也隆庆六年壬申有客星见王良北西史第谷以视差求其距地之逺立数法试之其一其至子午圏同恒星在极高度测其相距逺俟行半周在极庳度复测之得逺近之差以推定其高庳差其一用北极出地度考之从极上极下测一恒星得其高庳差度半之以加于下测之度或减于上测之度若未得北极出地之高度即有视差其一南北相距两地同测一星以较于北极或于恒星彼此得度有差则有视差其一测星之高度依法以加以减不正得其赤道上之本纬度则视差所移易也今测日月其距极甚逺又有出有入非如北极恒星常见不隠二曜亦不能同时并测即诸法不可尽用备述此者明测之理且以需他用耳

　　假如万厯十一年秋八月太隂黄经度从冬至起得一十五度四十○分黄道纬距北二度四十二分第谷测其子午高得上周一十三度三十八分其半径一十五分蒙气八分皆以减于高度余实高度一十三度一十五分因太隂在赤道南以减本地赤道高度得太隂赤道纬度二十○度五十○分第以前黄道经纬推本方之实赤道纬仅一十九度五十七分则以相减得五十四分为太隂一十三度一十五分之高庳视差也又万厯十五年六月太隂黄经度从冬至起得七度五十○分黄纬五度有竒推其赤道实纬度一十八度○五分测其上周高一十五度二十○分下周一十四度四十六分得径三十四分太隂心高一十五度○三分内减蒙气六分余与赤道高相减得一十九度○八分为太隂赤道距度较实推赢一度○三分是为本方之高庳视差也从两视径观之可见径大者近于最庳小者近于最高故所测高度畧同所推视差大相逺矣又万厯十四年九月测太隂高四十五度其视径三十四分于时离鹑火宫十一度一十○分而本度距地平正当黄道九十度限不必用赤道纬度以求视差祗以黄道实纬度四度四十五分减视纬度距南五度三十○分得四十五分为太隂高四十五度之高庳视差也

　　以四方分视差第三　五章

　　视高差无定方惟日躔月离所在从天顶下垂线过曜至地平为直角其过曜处分视实之高庳而已至黄道经纬度亦依视高而有变易则因日月视度从黄道偏南北或偏东西或正或斜随所在得其横直视差为南北东西差

　　三视差总图

　　前论视高差为过天顶大圏之弧止向地平随方取之今论南北差是过黄极大圏之弧为黄道两平行圏所限也其一过实度其一过视度东西差则黄道之弧为过黄极两大圏所限也亦一过实度一过视度三视差弧

　　独黄道正南北或正东西则合为

　　一弧外此必成三角形以法推每

　　边之度分也如图甲乙为地半径

　　丙为太隂丙丁为月本天戊己庚

　　为黄道壬己癸为过天顶象限从

　　地心出直线过太隂为甲丙至宗

　　动天指其实度为辛若从地面出乙丙线指其视度为午则辛午弧为太隂高庳视差午申弧与黄道平行过太隂视度于午未辛酉弧亦与黄道平行过太隂实度于辛则两平行弧间午未或辛亥为太隂南北视差又亥辛及午未为过黄道极大圏之弧则亥午在其中为太隂东西视差合三视差得午未辛或亥辛午三角形今依本图设日食在黄平象限西太隂以实行在子正对太阳在己人在乙尚未见食必太隂过东至丙乙丙己参相直则见食是为视防是实防在先视防在后也若食在黄平象限东即反是如次图更易见设乙甲丁

　　为地平戊为天顶甲辛己为黄道丙为

　　其极太阳或太隂在己为实度但人不

　　在地心在地面如庚视太隂在壬则己

　　壬为高差从丙至己至壬作丙己丙壬

　　两弧线即得甲己线交黄道于辛而辛

　　己为东西差辛壬为南北差

　　高弧正交黄道南北东西差

　　以高弧与黄道相交之角分南北东西差可得其防何葢两弧相交以直角则高弧正为距度弧不偏东西即絶无东西差而高庳差径为南北差若黄道自为高弧而太隂在交处无距度则高差径为东西差而絶无南北差若太隂有距度则黄道不同于高弧太隂不免有东

　　西差亦并有南北差如图甲戊为黄

　　道即为高弧与地平为直角甲为天

　　顶太隂在丁则其高差丁戊即为东

　　西差若太隂距南或北作大圏过黄道之两极为乙丙其距度为丁乙丁丙得甲乙甲丙弧与甲丁弧必不等又不交于乙丙弧之极故甲乙丁甲丙丁不能为直角而并得南北东西差且太隂愈近天顶乙丙两角愈鋭南北差愈多太隂愈逺于天顶两角渐大殆如直角而南北差渐少

　　高弧斜交黄道南北东西差

　　太隂有距度求视差甚难其理甚繁其在交无距度者稍易稍简故先之设黄道为甲乙丙其斜交之高弧为丁乙戊太隂无距度在乙其视高差为乙戊得南北差为丙戊东西差为乙丙成乙丙戊三角形其形有丙戊为过黄道两极之弧则乙丙戊为直角有丙乙戊角其相

　　当弧甲丁过高下圏及黄道极之弧也

　　有乙戊视高差法以曲线三角形之理

　　推乙丙丙戊两视差之弧但此三角形

　　小其三边皆为大圏之弧可用直线法推之再设太隂不正在交有距度或南或北如图丁乙为过地平两极之高弧甲乙丙为黄道太隂距南在戊距北在己其黄

　　经度在乙从天顶得丁戊为太隂距

　　南高弧丁己为太隂距北髙弧因实

　　度在戊在己视度在庚在壬得戊庚

　　及己壬为太隂视高差又得庚癸壬辛弧其至癸至辛指太隂视经度与黄道为直角今以实经纬及北极出地度算南北东西差

　　假如以北极高得乙丁过顶弧又有乙戊为太隂距度弧有甲乙丁为高弧交黄道之角加甲乙戊直角得丁乙戊角可推丁戊弧及丁戊乙角若太隂距北有丁乙己为高弧交黄道角之余角亦可推丁己弧及丁己乙角又查丁戊丁己视高差表得戊庚及己壬而太隂距南乙子戊三角形内有子乙戊直角有乙子戊高弧交黄道之角有戊乙距度弧可推子乙及子戊弧则子癸庚三角形内有子庚弧有庚子癸角有子癸庚为直角可推庚癸视距度去减乙戊实距度得南北差亦可推子癸黄道弧减子乙得乙癸东西差其太隂距北则乙

　　癸己三角形内有距度乙己有乙己

　　癸角有乙直角可推乙癸及己癸弧

　　及乙癸己角去减己壬视高差得壬

　　癸弧又壬辛癸为直角可推辛癸及壬辛于乙己距度去减壬辛视距度余为南北差乙癸减辛癸余乙辛为东西差

　　如上説细论视差于理为尽若恒时推步别有防法力省大半盖丁乙己角可当丁戊乙角甲乙丁角可当乙癸己角丁乙弧亦可当丁戊及丁己弧故也若本地距黄道逺依此算即不得有差惟黄道在天顶太隂之大距五度又在本天最庳则差至六分不得用此若太阳将食即太隂居食限之内距度不过一度半依省法算所差者不过一分四十五秒欲并无差仍用原法太隂无距度以视高差求南北东西差

　　依图乙壬戊为子午圏乙甲丙为地平壬为天顶丁甲戊为黄道壬己为高弧太隂在辛则辛己为视高差自黄

　　极癸出癸辛癸己两大圏弧限辛庚

　　为东西差庚己为南北差此三角形

　　有己庚辛为直角辛己为高差更得

　　高弧交黄道之角庚辛己则视高差

　　辛己之正与南北差庚己之正

　　若全数与庚辛己角之正

　　假如高弧交黄道之角庚辛己得六十四度三十五分

　　一十五秒其正九○三二四视高

　　差辛己得五十八分三十六秒正

　　一七○四算得正一五三九查

　　其弧得五十二分五十四秒为太隂

　　南北差庚己此用正法也或用加减算求南北差则以辛己高差减庚辛己角余六十三度三十六分三十九秒得余四四四四六又相加得六十五度三十三分五十一秒其余四一三六八两余相减余三○七八半之得一五三九为南北差之正也或用线求东西差则全数与庚己南北差之割线若辛己高差之余与庚辛东西差之余或用角求东西差则庚辛己曲线三角形甚小可用直线三角形法其高差之正与东西差之正若全数与高弧交黄道角之余假如用线推南北差五十二分五十四秒得割线一○○○一一八五视高差五十八分三十六秒其余九九九八五四七推得九九九九七三一为余得二十五分一十秒为庚辛东西差再以角求东西差则庚辛己角之余四二九一三高差之正一七○四算得七三一为正弧亦查得二十五分○八秒为东西差或用加减算则高弧交黄道角之余二十五度二十四分四十五秒减高差余二十四度二十六分○九秒其余九二○四二加高差得二十六度二十三分二十一秒其余八九五八○两余相减余二四六二半之得正七三一查得二十五分○八秒为庚辛东西差太隂有距度以高差求南北东西差

　　前题算有距视差法简矣又有简于此者但依太隂时距南时距北分两图解之如图甲己丙为子午圏甲乙丙

　　为地平乙丁为黄道天顶在己太隂

　　在子则己癸为高弧子癸为高差又

　　辛当北极北极圏为戊庚负黄道极

　　戊自戊出大圏之弧戊壬过丑指太

　　隂实经度而丑子为实距度又出一

　　大圏弧戊癸至太隂视度癸从癸作垂线至壬得壬子癸三角形而子壬为南北差壬癸为东西差【丑壬寅癸两弧小故壬癸可当丑寅】欲求其几何先依第一法从天顶己连赤道极黄道极为己戊辛三角形形有两极相距之弧辛戊有

　　北极出地之余弧己辛有极至交圏

　　交于子午圏之己辛戊角可推黄极

　　距天顶之线己戊次己戊子三角形

　　有黄极距天顶之弧己戊有太隂出

　　地高之余弧己子又有戊子在第一

　　图为象限戊丑加太隂实距度丑子之总弧在第二图为太隂实距度丑子之余弧可推己子戊角次子癸壬三角形有高差弧子癸有壬子癸角有子壬癸直角可推子壬弧是为太隂南北视差又本三角形以子癸高差子壬南此差推壬癸东西差

　　假如第谷测太隂在枵宫初度五十六分距南四度三十八分日在申正五十○分得太隂高弧九度二十○分得高差五十四分二十○秒其夲方北极出地五十五度五十四分三十○秒即升度为三百一十二度四十三分去减鹑首初之升度余为极至圏交于子午圏之己辛戊角而己辛及辛戊两弧皆不及九十度则己辛戊为鋭角法全数与第一弧之正若第二弧之正与他数【名先得之数】又全数与先得之数若两弧所包角之正矢与他数【名后得之数】而后得之数恒加于两弧较

　　差之正矢得第三弧之正矢如前图

　　依第谷测己辛戊三角形求己戊弧

　　则两道大距弧辛戊【第一弧】之正三

　　九九一五其夲方极高余己辛弧【第二

　　弧】之正五六○五二求先得之数

　　为二二三七三又己辛戊角【两弧所包角】四十二度四十三分得正矢二六五二八求后得之数为五九三五以加两弧较差之正矢一六九六得七六三一为己戊弧【第三弧】之正矢查得二十二度三十一分四十一秒以求己子戊角则己戊子三角形内全数与第一旁线之余割线若夲角旁次线之余割线与他数【名先得之数】又两旁线较差之正矢与对夲角线之正矢相减余为他数【名后得之数】而全数与先得之数若后得之数与本角之正矢如前图己子【角旁次线】为太隂距天顶弧八十○度四十○分余割线一○一三四二戊子【第一旁线】为太隂距南加象限共九十四度三十八分余割线一○○三二八算得一○一六七四为先得之数其较弧较差一十三度五十八分得正矢二九五六减己戊弧之正矢七六三一得四六七四为后得之数依法算得四七五四为己子戊角之正矢查得一十七度四十四分一十五秒以求子壬弧则全数与子癸高差弧之切线若壬子癸角之余【壬子癸与己子戊两交角等】与子壬弧之切线而子癸弧之切线一五九四壬子癸角之余九五二四八算得壬子弧之切线一五一八查得五十二分一十○秒为太隂南北差之子壬弧以求东西差则全数与子癸弧之余九九九八七五一若子壬弧之正割线一○○○一一五一与壬癸弧之正割线算得九九九九九○二为壬癸弧之正切线查得一十五分一十○秒为太隂东西视差壬癸或寅丑

　　又次法甲乙地平甲丙黄道戊癸高弧丁黄道极皆同

　　前此图加戊辛为太隂实经度出地

　　平高之余弧而戊辛己三角形内又

　　有太隂实高度之余弧戊己有太隂

　　实距度己辛以此三边径推戊己辛

　　角为高弧交太隂纬弧之角其余角

　　【前图】或交角【后图】为壬己庚角

　　假如依前算戊己八十○度四十○分得余割线一○

　　一三四二太隂距南辛己四度三十八

　　分余割线一二三七九四七算得一二

　　五四五六○为先得之数以本两弧之

　　较差七十六度○二分得正矢七五八

　　六四戊辛弧七十六度一十五分三十○秒得正矢七六二四五以相减得二八一为后得之数又算得四七六○为戊己辛角之正矢查得一十七度四十五分日食掩地面几何

　　太阳有全食或周边无光而昼晦星见者有全食而周显金环者又有食不全而此地见食之分多彼地见食之分寡者今欲求见全食之地几何广见金环几何逺自见全食之地至尽不见食之地几何更求相距几何地即见食渐差一分此四者大概依视差推算种种具有法焉

　　全食不见光之地面

　　依第谷测定气之高距地面上约有九里欲求全食时得人所共见里数若干即以气高与太隂视径及太阳光气内曲之角定之葢交防时太隂当日目之中掩太阳光其视径必大于太阳视径而人目所周之地平自无光矣但日光从最通明处射地而来一遇次通明之蒙气即曲而斜照【见本厯指第一卷】必依气之高低渐渐聚合广狭不等如气太高则光不至地面而聚合可无满景气太低则光一曲即至地月景反觉开展不止恒测之界今设气高九里以絶日光必月景近地占千余里必太隂视径大于太阳视径四分有余乃可论食在天顶也若食在下度则月径可小景或反大图中气高

　　为甲丁求甲乙丙以定甲丙不受光气

　　之拓界乙丁乙丙皆地半径约一万二

　　千里则乙丁与全数若甲乙与甲乙丙

　　角之割线算得一○○○六○查本表得一度五十九分为甲乙丙角又全数与本角之切线若丙乙线与甲丙线得里数为五百一十九即太隂在顶满景之半径也而全径则一千○三十八里葢食距地平高三十度即太隂视径大于太阳视径止一分必满景径得千余里视径加大里数亦多然防气差表未译故止以地半径差别求之

　　法日月两半径相减以差数加太阳视差即于表中本高度前后查太隂高下视差与得数等即以高度差前后各得满景半径若视差与得数不等即以中比例法求相应之高弧加于高度差如太阳行最高得视半径一十五分太隂行最庳得视半径一十七分二十○秒差数为二分二十○秒试以食在天顶【广东广西等处夏至时是】下二度为八十八以本度查太阳视差表得六秒加两半径差数得二分二十六秒于太隂视差表中以八十八度查二分一十四秒所不及者为一十二秒依比例算得一十一分宜加于二度即更下去顶愈逺也故天顶正下为满景之心前下二度一十一分景缺即初见光其界限约五百四十六里后下高弧等得里数亦等共得一千○九十二即同食甚时同见食掩地面之广也欲论先后时刻自初见满景至复见生光则日月并随宗动天行之度化为里数所得见满景必不止数千里矣若太阳行最高太隂在高庳之正中其差数加太阳视差共一分二十○秒算食甚时得满景二度二十八分为里数六百一十七又太阳及太隂皆在最庳得总差数一分五十三秒算食甚时得八百四十二里为满景至于两径相等或太隂不甚大于太阳即无满景因气曲光内射故也

　　试食甚在下度距地平七十○度太隂在最庳得视差二十一分四十六秒更下二度得视差二十三分四十九秒差二分○三秒至两半径差数余一十七秒加太阳在最高从七十至下二度强所变视差度○七秒总得二十四秒即以比例算应高弧二十四分总得二度二十四分化为里得六百即地平上自中往后见满景之地也若往前设地平高七十二太隂视差一十九分四十○秒较于太隂高七十度之视差差二分○六秒至两半径差余一十四秒加太阳变视差七秒【上下加求太隂从太阳视差故】总得二十一秒因以比例算得二十分加于七十二度化为里得五百八十三即往前之满景前后相加总得一千一百八十三里乃食甚同见满景之地也依本法推算食甚距天顶愈逺得满景愈大而自其中心论前后两半径必随高下度不等如食甚距地平高四十○度在前得三度二十三分为八百四十六里【景之前应高度多查表求后景之后应高度少查表求前】在后得三度三十八分为九百○八里总七度○一分为一千七百五十四里若食高二十○度必前行一千四百八十三里即五度五十六分后行二千二百○八里即八度五十○分总三千六百九十一里为满景因视差近地平变少必度多即得变数与两径差数等径差少【或太阳在最庳或太隂距最庳畧逺】即高度进退亦少里数亦减矣

　　见金环之地面

　　太阳在最高其视径较太隂在最高之视径畧小较在中或最庳愈小无比故全食之食甚不显余光而周无金环明矣其在中距与太隂在最高之视径等虽因气可显金环然以大小之故不能毕露且气所生大小随时随处不一则亦无从可定耳自中距以下太阳视径渐大较太隂在最高至最庳即大三十○秒矣设食甚在天顶因周大一十五秒得四围去中心逺四分度之一而可见金环者约有六十二里乃全径则一百二十五里为此时所同见至先后可见之地者又不止此若食甚距天顶愈逺得金环愈大假如距四十度【高弧五十度】依前一十五秒应得二十分全径则四十余分以三十度高弧应得全径一度二十度高弧应得一度半一十○度应得四度化为里约一千里何也因视差近地平变少得度多故也若论气愈加得金环愈大因此第谷居北方设月朔半径大于望半径亦此意也总见食之地面

　　求满景及金环俱以日月视径为主如太隂大于太阳则生满景太阳反大即为金环此一定之理也今欲得满与缺之景防何或从见满景地面【食既是】至渐不见景地面【复圎是】即以两曜最高最庳之行求之葢日月皆在最高见食地面少皆在最庳见食地面反多【因正在高庳故倘相距渐逺其食景大小亦渐变易】一在高一在庳则见食多寡均矣论天顶全食法加日月两半径以总数查表所得数或等或小加此两数之差更加太阳视差复得总数复查表其旁所得高度即自景中心至不见食之界也【总数不正合髙度用中比例法求之】假如日月皆在最高加其半径总得三十○分一十五秒查表太隂距地最逺之方所对六十高度得三十○分○六秒较两半径总数差九秒太阳视差○一分二十七秒三数并加共得三十一分四十二秒在高度五十九及五十八间【自顶往下故】以中比例推得四十六分乃自天顶至周界得三十一度四十六分为总见食地面之半径而全径则六十三度三十二分化为里共得一万五千八百八十三使日月皆在最库两半径数并得三十二分五十○秒查表本方内得相对高度五十九依前法推得不止五十八度即见食之界距顶三十二度五十○分共六十五度四十分为里一万六千四百一十七若太阳在最高太隂在最庳总得六十四度一十八分即一万六千零七十五里使太隂在最高太阳在最庳算得六十四度五十二分为里一万六千二百一十七

　　若论全食在下度食愈低其景愈大但地面不全受景则人目在地面同见食之广不全依高低度何云食愈低其景愈大视日月两轮大小约等以中心与目正对皆居一直线上虽相距实逺目视之若同为一轮同在一度今欲见其两心相离不正在一线则自此地至彼地势若横行然葢高度全食前后左右皆于日月为横行愈高愈横得景亦少若全食在下度或前或后【以髙弧及同见为主前后非东西南北可定必随日月所居方并过目圏为是】多为对行而非横行愈下愈对必行之多始得其体之离惟多行故迟出景外所以食在下度愈低得景愈广矣何云不全受景见日食即因日月目并居一直线上【此论以体相对虽心不正在一直线防合亦无妨】今全食在高度或前或后行凡日月目直线可对者自正以心相对惟去离渐逺至以边相对则以见食至复圆为止若全食在下度目少进即见食渐高至两曜以边居直线上亦能尽见其复圆使目退行少许见食渐低两曜先至地平不及以边居线上因而体虽尚对而所余食分为目所不见矣纵使更退亦不得见复圆故地面所受之景乃地景【日巳没故】非日食之景耳推下度全食之景法日月两半径并与食甚高度太隂之视差顺表相减余数加太阳视差总数复查表得数等其旁所遇高度即为前行见食之界若不等以中比例求相应之高度与表两半径并加太隂视差更加太阳自食甚高度至夲总数相应高度所变视差而末所得总数必应高度即后行见食之界如日月皆在最高两半径并得三十○分一十五秒设食甚高八十○度太隂视差在此为一十○分二十九秒两分数相减余一十九分四十六秒约应高度七十一得太阳视差五十六秒以加总得二十○分四十二秒乃又应高弧六十九度五十五分即前行至日月过顶二十○度○五分而见食地面共为三十○度○五分若后行两分数宜加得四十○分四十四秒约应高弧四十七度太阳视差自八十至此变一分二十九秒以加总得四十二分一十三秒应四十五度一十六分即日月高相离之界共为三十四度四十四分乃后行见食地面之径也设食甚高为六十○度依本法算得前行见界距三十○度○九分过天顶较前径畧长后行则景长无比必行六十度始见下地平其未见复圎者八十余秒而前后地面见景为九十余度设食甚高四十度必前行三十四度一十四分后行四十度乃下地平尚见食五分八十余秒总见景者七十四度设高二十度往前得四十三度二十分往后行二十度止得见复光约一分总度六十三度有余愈下愈见少即此可知同见食之广不全依高低度因地面不全受景故也

　　若日月皆在最庳得半径并最大数为三十二分五十○秒设高八十度必前行三十一度后行三十六度共六十七度所同见食较前畧广设高六十○度即前行三十一度后行六十度未可见复圆葢所少为一分二十秒耳大概依余日月半径及余高度求同见食之地面皆仿此算而以度数更求里数论先后见食则以总食之时及时气两视差细求之可也

　　见食进退一分应地面几何

　　太阳任在本轮高庳距天顶逺近及在四方偏正俱分一十平分而见食地面则依高弧取前后以定其径葢径之大小依高度前后不能为同即前所云较食在下度与食在高度自得更大乃论满景之公公论也今又设为全食如前行即太阳从下生光渐至上复圆若后行即从上生光至下复圆总进退间止在一十分内欲算法于度数之分所应任取之径分加太阳视差及日月各半径不等之分秒总数查表其旁所对高度即本径分之景界化为里得见本食之地面矣假如日月皆在最高食甚在天顶设生光为一径分【食退是】求所应之度即十径分与三十○分【太阳全径度数之分】若一径分与三度数之分以本三分入表查太阳视差九秒更有日月两半径不等之一十五秒总得三分二十四秒应三度一十三分即去顶生光之界共八百零四里若生光得太阳半径即五径分当一十五度数之分加太阳视差四十五秒及两半径不等之一十五秒共得一十六分应一十五度二十四分距顶之界试以复圆即三十○分查太阳视差一分二十七秒加半径不等之秒总得三十一分四十二秒应三十一度四十六分乃与前求总景之数正合若食若在下度如高六十○度求一径分相应之高弧即以三度数之分如本六十高度太隂视差得三十三分○六秒约对五十七高度因至此太阳变视差八秒宜加且更加两半径不等之秒总得三十三分二十九秒应五十六度一十○分即自食甚至一径分生光得三度五十分较前算自顶退一径分多得三十七分为一百五十余里若求五径分应几何即于六十度太隂视差加一十五分得四十五分○六秒对四十一度查太阳变视差四十四秒加两半径不等之秒总得四十六分○五秒应四十○度四十五秒自食甚至半径生光得一十九度一十五分较前多三度五十一分若日月在本圏别度得视径大小较最高不同必先求径分所应度数之分几何然后依本法算而进食之分与生光之分亦同一理也

　　日食掩地面总图

　　甲为太阳乙为太隂丙为目三者于食甚时皆居一直线上以心相正对也设太阳视径小于太隂视径为丁戊即地面得满景为壬辛必自中心丙至壬至辛乃可见丁戊日轮之边耳设太阳视径大于太隂视径为庚癸而目在中心丙以丙巳丙子直线见太阳庚癸边必周得金环倘退至壬或进至辛即不见之矣论满景总为丑卯自中心丙进前至卯即以卯丁直线见日轮复圆退后至丑即以丑戊直线亦见复圆径之大小在高度低度其理一也

　　新法算书卷六十八

　　钦定四库全书

　　新法算书卷六十九　　　明　徐光启等　撰交食厯指卷六

　　外三差

　　前论交食法有东西南北髙庳三差皆生于地径盖以地为太圜之心为此界以宗动天为彼界日月在两界之间因地径之小于日大于月生彼界之视三差也今言外三差者于三差之外复有三差不生于日月地之三径而生于气气有轻重有厚薄各因地因时而三光之视度为之变易三者一曰清髙差是近于地平为地面所出清之气变易髙下也二曰清径差亦因地上清之气而人目所见太阳本径之大小为所变易也三曰本气径差本气者四行之一即内经素问所谓大气地面以上月天以下充塞太空者是也此比于地上清更为精微无形质而亦能变易太阳之光照使目所见之视度随地随时小大不一也外三差之义振古不闻西史第谷于万厯年间殚精推测钩深索隐厯家推重以为冠絶古今而此秘未睹至其暮年方行万里乃始洞彻原委尚未及著书其门人述遵遗指撰集论次然后交食之法于理为尽则近今十余年事耳盖厯学之难言如此

　　清髙差

　　厯家测騐日月及经纬诸星积累所得其光入人目徃徃不依直线而至夫太隂太阳有地径视差无怪其然也恒星无地径差人测之在地面与在地心不异宜所见者必依直线若之何不然且两星相距近于地平与其相距近于天顶絶不同其各体之大小亦不同又太阳太隂固有地径差其视体偏下视髙度宜少而所得者忽复多定望时二曜正居天地径之两端以理论见一不得见二或并见则半体而已今有时全见之何也古度数家见直物入水中折成曲象空水之交则有钝角以此钝角喻诸星射目之折线于理为允则近地面之气可比于水天体至清可比水晶光在有气无气之交必成折角而能令诸曜之象升卑为髙也若星距顶愈远所射光之折线角愈减其钝而视髙之去实髙也愈多盖近地则湿气愈厚故受为甚而又实非云雾等有质之物且在地浊之上【厯言入浊言浊中近浊入则不见视此为异也】谓之清也因此凡测两星若距度线与地平平行者其气所升视之巳在赤道上迨太阳近午出气之外复测之始以实行交于赤道为真春分秋分反是先以近午之实行在赤道上为真秋分迨昬测之日巳入过赤道而北矣视度乃复在赤道上自朝至中不能有两春分自中至夕不能有两秋分则朝夕所见皆视度非实度也则皆清之高差也

　　问清之气能变易太阳太隂之实度是已其言随地随时又各不同者何谓也曰第谷测定清诸差太阳与太隂大约相等而与诸星则不等其五星所得之差又与恒星不等因此推知致差之因不在距地远近其差大小皆气之所为也气厚薄时之所为也距地远近地之所为也凡考七曜之差皆其高弧至于无之处得其实度而以较于有之处得其视差几何如第谷所居北极髙五十五度冬至日夏至夜皆甚短其测候太阳之差必于夏月太阳出气之上乃可得之测恒星之差又于冬月若夏测星冬测日则尽日尽夜皆在气中无法可得而气之厚薄冬与夏必有分矣故所定气差随之异也若论地则山阜之上气为在髙之距与在庳之距必小有异若不与地平平行而两高弧各异者不论或正【与地平为直角】或斜【与地平为斜角】其在髙之距与在庳之距亦小有异总之星愈近于地两距之实度愈少远则愈多矣第谷之本地北极高五十五度有竒测定太阳太隂之气差大约相等自地平以上至四十余度髙差渐少更高则无有而近地之最大差得三十四分故太阳极近地平以地径视差之偏庳三分气差之视髙三十四分相减得太阳高弧之视差三十一分则目视太阳将入以下周至地平见谓在上而其实体已全入于地太隂以最大之地径视差六十三分气差之视高三十三分相减余三十○分目视之见谓全没而其实体犹全在地平上也多禄某以浑天仪测太阳行春秋分积年所得皆以本日两交于赤道遂为千古不决之疑不知者意其差在仪器仪器果差安得百无一合又安得悉在地平之上竟无差而在下者乎至近世而后知为清之差也第谷用器甚多甚精诸器毕合不可谓有器差而其所得亦复如是所以然者太阳临春分论实度尚在赤道南晨测之为蒙少平地乃多泽国尤多海滨更多葢此气周生于大地之靣外规之界距地心悉等而地靣有高庳其距气界各各不等此为浅深厚薄之缘正如海底有坳突之势因有浅深若海水之靣恒平而已然论其恒势浅气所生之视差少深气为多论其变浅气或忽然増加少易而多深气乃鲜有变时也万厯十八年庚寅夏六月西厯记月食太阳以半体出地其太隂正相对尚高二度入景中已多分及太隂半没而太阳已高二度出地平之上若以恒理论之则太阳心方出地平景心宜同时而入太隂之西周实入于地又当在景心入地之前今太阳心出矣而景心尚高二度非蒙气所为安得此乎然此视高差可谓甚大则以本地近于大山之下大河之滨其气为厚遇夜清气上腾凌晨更甚故也若他地他时未必尽同此数故治厯者当先定本地之诸曜蒙差叅以时令乃能立表推歩其法须累测交食之多寡早晏斟酌定之勿谓精于本法便可随地随时必无舛戾也若立差旣定而临食时气候忽更此则难可豫料然所失无几矣此髙差惟月食累遇之若日食则二曜之气差大畧相等髙弧旣同鲜有变易径可勿论也

　　清径差

　　太阳全食昼晦星见恒事耳中史及西史皆数记之若太隂全在日与人目之间而不能尽掩日体四周皆有余光厯家谓之金环或有阙如钩或云依日月周径本法则不应有此何者凡此一视径或大或等于彼一视径则以此体寘之人目与彼体之间无不全受掩蔽者今止论太阳在其最庳全视径为大得三十一分太隂在其最高全视径为小得三十○分三十○秒其较三十○秒为全径六十分之一耳卽定朔果在此时日月以两心正防何因四周能见太阳之边乎【或有时可见详下文】此説是也然而古今所记实见实测乃复多有之如隆庆元年丁夘三月朔日太阳近于最高得全径三十分太隂在高庳之正中得全径三十二分三十四秒则全掩太阳之外尚余二分三十四秒乃西土实侯至食甚时二曜以心正防见有金环又万厯二十六年戊戌二月朔日太隂在最庳掩太阳复如是论地则此测在西国之内地前测在海滨论北极则此测髙五十度前测正髙四十二度论临食时此测有云前测无云也【云气虽不掩日月亦能变易光曜损益分秒】而第谷专精騐多在北海之滨北极高五十六度累年宻测终不见太隂尽掩太阳昼晦星见是则日光恒赢月魄恒缩又将疑掩之不尽为恒事矣迨万厯二十八年庚子六月朔于内地北极高五十度测得日食五分有半依本地原推正应四分较多一分有半则又日光缩月魄赢也又万厯二十九年辛丑十一月朔日全食第谷门人于本地北极高六十余度测得食甚时见金环四周皆广一分有半【太阳径十二分】万厯三十六年戊申七月朔日食西土内地北极高五十一度测食甚时得二分正同时向北更四度论高视差宜减一分犹宜见食一分而第谷门人宻测乃不见食此两

　　测者皆日先居赢且赢甚也而皆无云综其大都极出地甚髙近海或大泽食时多云气则日光赢测数少于推数极出地迤庳居地平髙去水泽远食时无云气则月魄赢推数少于测数展转推求即清之气随地随时有无厚薄不等能浅深受光于日而变易其照耀之势使人目所见或增或减迄无定限也再騐之海中有小岛其视体甚小于太阳之视径日初出时正当其中平分太阳之体则石之两旁皆显大光若不当其中而石居太阳之左右则不能映蔽日光如两相退让而露太阳之全体此为何故石之蔽日隐显之间虽以一线为界乃海中气极厚日之施光气受之故人目所见日光能侵轶于本界之外也喻月魄于石体其理正同故气盛者全食时如石当日之正中少食时如石当日之左右即髙弧至于午正人目见日无横斜之线不能升卑为高乃地以上之气犹能承受日光使溢界外而展小为大月不蔽日职是故矣如图地心为甲

　　日心为丙太隂正当日目

　　之中为乙月景之最中人

　　目所在为己设太阳之边

　　实为丁为戊其光下照所限月景之界宜为丁甲戊甲两线此限外之气皆得最光也然因乙太隂隔太阳原光于已目目所能正见者非丁戊乃是庚辛而作己辛直线则目宜全不见日周之微光矣苐太阳正照之最光下及于月景四周之外而外气之近地者为次彻之体则太阳之光借此体以侵入于月景本界之内别作一界线曲而向内即人目所正见为癸而癸既切景较远景之处加有光焉【光愈正照愈明切景之光甚似垂线若正照然故比距远之处加明焉】故景之四周从癸至壬目所见皆成日光是为癸壬金环癸壬所在实于空中非太阳之光果外溢至辛也从下视之若在月之四周与太阳同天而太阳之原光若丁戊以外更余辛庚一环矣但癸壬之广狭依气厚薄随地随时一一不同耳曽有人试以铜薄规为小圆形依直角线寘长竿之末退后一丈又寘一规正对前规与为平行后规之心开细孔以目切孔正觑前规之心其前规之全径较两规相距之远得一千分之十以掩天上之弧得三十四分二十○秒与本时太隂光满近最庳之全径等则目视两规与目视二曜大小远近之比例亦等次从后规视前规理宜全掩太隂之体乃所见者四周皆显大光更移后规向前二尺有竒以远近之比例论则前规可掩弧度四十一分然而尚有微光也可见日月近地平固因蒙气有视度之高庳差即去地平远犹有视径之大小差矣

　　本气径差

　　金环又有二种一为虚环人目所见其内规【如上图之癸】为最光向外渐微至外规【如上图之壬】则似次光此为地上清蒙之气所生上文所说是也一为实环若内若外悉是最光此所见者必为太阳原光矣所以然者太隂在最高太阳在最卑则太隂之视径畧小于太阳之视径上文所云六十分之一者是也但实环旣为原光在太阳之周非复向之虚环从蒙气中隐映而得者则人居月景之中何自得见之即在景之偏际亦宜见左失右何自得全见之曰此亦因太阳出光折照至于人目虽正在景中犹得见之折照之繇即非地上清蒙之气而在空中之本气前交食第一卷论月体当食显赤色是气景所生此论地靣当食而见光色是空中本气所射其理一也设甲为太阳其实边乙丙太隂在癸其实边丁戊人居地靣在己辛之间不能以直线见太阳所以得见者太阳全轮旣受掩于月体为壬庚所余庚乙实环皆为原光而以庚壬内规之光正照丁戊月边过丁戊则

　　折而内向以至于地面

　　己辛其所繇内折者欲

　　就于甲癸垂线也【详本篇一】

　　【卷第五】己辛以内皆为月景得界丁辛及戊己成三角形【戊丁为底图未尽景末】又太阳乙丙外规之光正照太隂近处为子丑过子丑又折入景中而相遇于寅【此折甚于前折者愈远于垂线愈欲急就之也】得寅己辛角形形以内为折入景中之重光人目在重光之中从卯辰两交得见光环意疑在丁丑旋绕月轮其实则太阳之原光庚己也

　　问本篇首卷言凡象射次澈之体则成折线故本章言日光过地靣则折入于景为蒙气故也空中本气则甚澈之体何能受光而折入于人目乎曰空中本气为甚澈之体此恒理也然亦有时而变如彗孛搀抢乃及客星等皆在列宿天中非理所宜有难究其所生之縁而实则恒有之今言日食有金环者大抵皆虚环也其实环甚为希有万一有之不得不究所从来故作此论盖虚环旣气所为无可疑者则实环之缘不得不在气之上旣在其上不得不归之空中本气舍是别无可推之理耳兹有气以上变易之征聊足解此万厯三十三年乙己八月西国北极高四十度测太隂在最庳日全食亦全掩原光而其四方尚余赤光如火广数度依此地论必言气所生不足疑亦无待辩矣从此向西北一国北极高五十余度同时测日不全食未尽一分三十余秒日周以外太隂余分甚多而此地尚见是大光岂两地相远如此尚当言蒙气相同之故乎纵使相同而蒙气距地靣极髙无过二百里此不全食之地其交景之顶尚在二百里以上全出气本界之外则安

　　得有本地靣

　　之蒙气受照

　　为光且四周

　　皆见乎彼所见满景四周之光旣不为气所生必为空气所生矣假如甲为太阳乙为太隂丙为地丁戊为气界若全食则所生金环在丁戊之四周也今不全食之地在己其交景之顶为子亦见光【此光非金环因在日周故其理不二】而光中甚黒则非丁戊气所能生矣盖目从己视太隂之下周庚必以己子庚线视其上周必从己壬至太阳辛则太阳之辛癸原光正照己目及蒙气之界面丁壬丁壬之中絶无月景而丁壬等高之景全在己子庚直线之下安所得生光之原乎可见日四周之光必生于气以上必为空气所生或近于月轮在庚子两线之中或在月轮之下不远矣

　　日食昼晦星见

　　凡前史记日食昼晦必因全食若星则不全食而见者有之如晨昏分中日己出己入矣明昧之交正似太阳未全食之光也而大星已见也又或不全食而见者有之故厯家下推将来虽得全食其见星与否未可豫定盖见星不见星之縁不尽在于食分多因气与隂晴耳若食时遇气甚清人目先见最光而习之忽尔失光虽日不全食亦似向晦星乃可见如从大光中暂焉入室见为甚闇也若食时遇气甚厚或多云雾则目先习是次光后见失光不以为异又醲厚之气受返照之光光亦不能甚失日虽全食未及甚晦正如浮云在天虽太阳已没曚昽宜尽而尚有余明星不可见矣自此之外更有太阳正照斜照之缘如太阳当晨昬时斜照于地上气得其正照之光则能返照地面若此时以日食絶正照于气中则地无返照之光又本无正照之光安得不为甚晦乎故午前日食初亏至食甚时加晦生光至复圆时稍明午后食则反是盖太阳愈庳愈能正照气中而地得其返照之光太阳愈高愈正照于地靣而以有食絶其正光惟四外反有从旁斜入之次光耳又或太隂近最高其视径不甚大于日之视径则太阳四周光曜散溢虽则全食地面之次光乃大于少食者亦多有之又使日食切近地平太隂防高于日则地靣所见日下周之原光虽不尽如钩而上气乃与日月叅相对絶其正照即地面絶无返照之光此时亦变为甚晦也推视防

　　交食第三卷求定望改实时为视时所以然者为有升度差也今日食以地心之实防改为地面之视防所以然者为有地半径差也以地半径差论实防视防不同上章已详之矣此求视防则依视差推算法先求日月高弧以得高差又求高弧与黄道之交角因以得南北东西差次求视防与实防之时差以加以减于实防之时刻而得日月正视防之时刻其加减则以黄道九十度为限【即黄平象限】

　　日月距地平高弧

　　视差有多有寡必依太阳出地平所得高度多寡【日月防合若同高度或差一度以下其视差甚防故得太阳高度不必复求太隂高度必求细率则以太阳高度查太隂高差先加于太阳高弧得太隂高真度也】欲求高度几何则用定防【即定朔也】之实时及本时之太阳躔度先以躔度推太阳距赤道之纬度次以定防实时推其距子午圏若干【详见下文用法中】得二角形形有北极出地之余弧有太阳距赤道之余弧有两弧间角为太阳距子午圏弧之相当角算得本形之第三弧为太阳出地高弧之余弧也如图甲乙丙为子午圏甲丁丙为地平丁戊为黄道太阳在庚则乙庚己为高弧壬庚为太阳距赤道之余弧因得乙壬【本地极高之余弧】及壬庚【太阳距赤】

　　【道之余弧】两弧及乙壬庚角【太阳距子午之相当角】以推第三乙庚弧得其余弧庚己太阳出地平上之弧也次推高弧交黄道之角先以升度求庚丁弧次以庚己髙弧以庚丁黄道弧以庚己丁直角推得庚丁己交角因以对角求南北东西差法如次图设庚癸为高差辛为黄道极则辛癸大圏之弧以直角交黄道于壬为庚壬癸三角形先己得壬庚癸角而庚癸壬为余角则全数与高差若壬庚癸角与壬癸南北差又全数与高差若壬癸庚角与壬庚东西差或

　　用简平仪求高弧可免算第其图愈大所取太阳高度分愈眞乃足推算视差如图己戊辛为子午圏甲乙为赤道北极在丙太阳距赤道北依丁戊线行与行壬戊弧其理一也至戊为正午至丁如复至壬午前与午后同所以然者戊丁直线不可得度分数必用戊壬弧量度

　　为凖【戊壬与戊丁皆距等小圏两弧皆小圏之弧即等试想戊壬圏置戊丁线上与戊丙圏纵横为直角则得其理】如彼面之丁为己时至戊为午行至此面之丁为未与壬为己至戊为午复转至壬为未其理一也次作丁庚直线与地平甲己线平行则得己庚弧为太阳在己时或在未时出地平上之高弧也别有表以日食之实时及太阳距赤道纬度查其出地平度而推两曜高差又有髙弧交黄道角表以此三角形【前图之己庚丁】推算法用太阳髙度于太阳距黄道九十度限表中查角【即庚角】详本表又有南北东西差表以太隂高差及髙弧交黄道角依直线三角形推算【因三差线小虽在天实为大圏之弧亦可以直线句股法求之与三角形圎线法所求不异】

　　黄道九十度为东西差之中限

　　地半径三差恒垂向下但高庳差线以天顶为宗下至地平为直角南北差者变太隂距黄道之度以黄道极为宗下至黄道为直角东西差则黄道上弧也故论天顶则髙庳差为正下南北差为斜下而东西差独中限之一线为正下一线以外或左或右皆斜下论黄道则南

　　北差恒为股东西差恒为句高庳差恒为至中限则股为一线无句矣所谓中限者黄道出地平东西各九十度之限也【黄平象限省曰度限】法以子午圏为中限新厯以黄道出地之最髙度为中限【东西各九十度则是最高】两法皆于中前减时差使视食先于实食皆于中后加时差使视食后于实食第所主中限不同则有宜多而少宜少而多或宜加反减宜减反加凡加时不得合天多縁于此此限在正球之地距午不远若北极渐高即有时去午渐远时在午东时在午西大都北极高二十三度三十一分以上者【若高二十三度三十一分以下者则日月有时在天顶南有时在北三视差随之今未及论此】独冬夏二至度限与子午圏相合为一从冬至迄夏至半周恒在东居午前从夏至迄冬至半周恒在西居午后

　　问日月诸星东出渐高至午为极髙乃西下渐卑而没则午前午后之视差岂不分左分右渐次高庳以正午为中限乎曰南北差东西差皆以视度与实度相较得之而日月之实度皆依黄道视度因焉安得不并在黄道从黄道论其初末以求中限乎推太隂之食分以其实距黄道度为主推太阳之食分则以太隂之实距度先改为视距度所改者亦黄道之距度也论实望实防欲求其实时以黄道经度为主今求视防其所差度必不离黄道经度而因度差多寡求其相当之时差以得正视防理甚明矣若子午圏者赤道之中限也度限为东西差有无多寡之限犹冬夏至为昼夜永短之限午正时为日轨高庳之限也惟嵗惟时自宗赤极不借黄道之度中为限东西视差自宗黄极何乃借赤道之午中为限耶昔之治厯者未能悉究三差之所从生徒见午前食恒失于后天午后食恒失于先天故后者欲移而前前者欲移而后又见所移者渐向日中渐以加少遂疑极高至午中则无差不知黄道两象限之自有其髙也亦自有其中也必如彼説以午正为东西差之中限设太阳实食午正遂以为无时差遂以为定朔为食甚倘此时之度限尚在西愈西则愈有西向之差法曰中以东则宜减安得不见食于午前乎傥此时之度限尚在东愈东则愈有东向之差法曰中以西则宜加安得不见食于午后乎如万厯二十四年丙申八月朔日食依大綂法推得初亏己正三刻食甚与定朔无异皆在午正初刻至期测得初亏己正一刻后天二刻此所谓中东宜减见食于前者也今试依新法减时则推定朔在午正初刻内四分四十九秒于时日月躔度在鹑尾宫二十九度八分四十七秒黄道中限在本宫一十三度○一分距正午西一十八度五十九分距太阳躔度一十六度○八分太阳定朔之高尚有五十○度查得太隂髙差三十八分先求髙弧交黄道角为日距度限弧之切线与本角若全数与髙弧之切线得视差小三角形内正对东西差边之角二十○度一十一分再推本角之正与东西差若全数与髙庳差得一十三分○四秒为此时之东西差因此求时差得太隂行一十三分应为时二十四分二十六秒于法宜减故得食甚在午初二刻一十○分三十七秒在定朔之前也更求初亏约用前四刻依法复求视差其时黄道度限在鹑尾宫初度二十○分即午后一十四度四十○分距太阳二十八度四十六分太阳高四十八度得太隂高差四十○分东西差二十四分求其视行度得四刻行二十一分又以开方法得太阳自初亏至食甚行三十一分今视行二十一分得四刻则三十一分应得五刻一十三分五十四秒以减食甚时得初亏在己正一刻内一十一分四十三秒与实测时刻宻合

　　凡九十度限去子午圏不远新两厯所推之定朔不远则两所得之时差亦不远若相距远而度限在东则食在午前或在午后新厯所得时刻皆多于厯度限在西食在午前午后新厯所得时刻皆少于厯如万厯三十八年庚戌十一月朔大綂厯推食甚在申初一刻至期实测得申初四刻先天三刻于时度限距子午圏二十一度○四分在东距太阳五十九度四十七分日月并高一十六度得太隂高差五十四分一十五秒从是算得东西差二十八分三十一秒应时差四刻○一分三十五秒依法与实时相加而实时与大统厯算小异在未正三刻○四分得视时乃大异是繇度限在东加数宜多而午正为限者加数则少安得不先天也又万厯三十一年癸卯四月朔日食九分二十○秒大綂厯推食甚在辰正初刻新厯推得在辰正三刻内此时度限亦在东距午正一十五度四十二分较太阳距正午为更近所得东西差止一十九分二十四秒应时差四十七分四十六秒依法宜减则实时己初一刻○六分改视时为辰正二刻○三分此两食者皆所谓度限在东则食在午前午后新厯所得时刻皆多于厯者也又其甚者若日食在正午及度限之间则宜加者反减之宜减者反加之所失更多如崇祯四年辛未十月朔日食大綂推初亏未初一刻较新厯迟三刻有竒食甚未正初刻新厯推未初一刻内至期实测果在本刻内所以然者新厯以黄道九十度限为中所得时差与实时相减则食甚后退故合大綂以午正为中所得时差反加而前进去之逾远矣盖本日食甚实时日月并已过午正一十七度二十九分○一秒未至黄平象限六度二十二分三十九秒则度限在午西二十三度五十一分○四秒算得东西差三分三十四秒应时差○五分为减而先推实防在未初八分四十○秒因时差退减为未初一刻内三分四十○秒如是止矣若以子午圏为中限则本时日月过午己十七度有竒在西东西差既宜少而多时差又反减为加即多得时刻若此者就用西法算两曜髙三十五度四十八分及其距午正之度能生东西差一十一分一十三秒应得差二十二分定朔在未初二刻○五分相加亦不得不为未正可见中限异同实为加时离合之根也

　　算视防必求黄道九十度限

　　交食以黄道出地之最高度为中限固矣但限内所应加减者则有时差【日食在九十度西时差宜加在东宜减】此实食视食之所繇以先后【详见上篇】故算视防者必先求九十度限所向何方乃可然求之之方不一或依常法定其宫度分或依简法止推两曜当食之时居九十度东西何方而不必问其宫度先以常法论设甲乙丁斜三角形甲为天顶

　　乙为黄道交子午圏日月俱在丁以

　　升度得乙丁弧以太阳距度得甲乙

　　弧查本表得其两弧间之角以甲乙

　　丙三角形内因九十度限在丙必求甲丙为垂线指九十度距甲顶若干更求乙丙为九十度限与子午相距若干则丁丙乃日月距九十度○所自有者而以先得甲乙弧与乙丁弧及两弧间之角因求得时差此本九十度限表所繇起乃常法也第以此求之必先算日月高弧及高弧交黄道角等未免太烦乃简法则惟算黄道何度分当九十度即此斜角三角形内径求甲丁弧为日月高弧之余弧又求甲丁乙角即高弧交黄道之角则视差小三角形内【见前五卷三题】以高弧得高差以本角得交角及余角而推所对之弧为南北东西差固已防若指掌矣再欲察日食在九十度限东若西亦得两法一以黄道在正午度推九十度距午左右何若则以定朔所得太阳躔度较先所得在正午黄道度即得太阳在九十度限东西何方如依甲乙丁斜三角形以升度求乙丁弧必得何度在乙【子午圏交黄道之处】使星纪宫初度或

　　鹑首初度在乙乃为正九十度此外

　　则以食时按极出地度求之盖北极

　　髙过二十三度三十一分凡自星纪

　　初度至鹑首初度黄道度在午者必九十度偏东自鹑首至星纪黄道度在午者反为九十度偏西而距午最远者则在大火宫或枵宫随极髙低不一亦随宫度各处不一也试以极髙二十四度则九十度限距午最远特一十五度耳极髙四十度则九十度限能距午二十四度余宫度在九十度限亦距午渐近因而推日食在九十度之或东或西较较不爽也又一法以黄道交髙弧角求之更凖盖本角向子午圏者在午前为鋭角午后为钝角则食必在九十度之东若本角午前为钝角午后为锐角则食必在九十度之西如此可免再求矣

　　求视防复算视差之故第三

　　日食与九十度相近则太隂之偏东西不多所得时差于本食之实时不甚相远可免复求东西差倘所食远距九十度之限则太隂偏左偏右【左右即东西】者必多而能变其实行以为视行使不再三考求何从而知故必先算太隂之视差化之为时差次求其视行与太阳实相距若干则用以推东西差可得食甚至若初亏复圆总不外太隂之视行而得之此推歩日食者所以复算视差求太隂视行

　　定太隂东西差须得其与太阳相防之实度应先【如在九十度东】应后【在九十度西】乃使太隂实行即从自行可得则或二十八分一小时或三十○分或三十三分有竒【因最髙最庳中距不等故】以三率法推其度差则相应几何时刻因与定朔加减之其所得时亦可于真视防不远但先后防之度差必以太隂实行为主然因视差故每每移其本实行故以实行求时差多谬而以视行求之乃凖矣法曰日食在九十度东则较定朔前一小时食在九十度西则较定朔后一小时复求东西差以两差不等之分秒或加或减于太隂一小时因以实行得其视行若次得之东西差大于先得之东西差其两差不等之数为减若次得之差数小于先得数则两差不等之数为加乃得太隂一小时视行也或不用一小时先于定朔算东西差而以实行化为时差或加或减于本时得视防又以视防与定朔相去不拘若干惟于此时再求东西差两差不等之数依前法加减之必得太隂视行时差因以复算真时差

　　假如崇祯四年辛未十月定朔在辛丑日未初八分四十○秒此时顺天府得东西差三分五十○秒太隂一小时实行为三十三分二十○秒以此算得六分五十四秒为时差因食在九十度东故减得未初○一分四十六秒即相近视防时也次升度先在正午自春分起为二百二十六度二十五分四十○秒因时差宜减一度四十三分则以余升度查本表得躔度在正午者为大火宫一十七度一十二分算得九十度在午西离二十三度三十五分比日月距午更远七度四十四分三十八秒又以太阳髙三十六度一十四分算得髙弧交黄道角八十四度一十七分则以余角复得东西差四分五十○秒两差不等之数为○一分因后得之差大故先得差内减一分实得○二分五十○秒为太隂过太阳之视行也前时差○六分五十四秒今以三率法依本视行得前东西差○三分五十○秒应九分一十九秒为真时差因减故算得视防在午正三刻一十四分二十一秒【一十五分为一刻】

　　考真时差

　　眞时差者为太隂视行反覆推求再三加减脗与视防相合者也欲更考其实须算太隂实距太阳几何若所得分数与太隂所当视防之东西差等则所得视防亦凖若防有不等则以不等之分数化为时依两曜实相距之分数较之视差或大或小依法加减于前视防如距度大日食在九十度东则时差为加食在九十度西则时差为减如距度小则九十度东宜减九十度西宜加分秒内可得其凖也因此再求东西差而以本视防时复求九十度限与其距天顶及距太阳度因以本高弧及高弧交黄道角复算视差如前假如得真时差九分一十九秒何以知其然也因减时九十度略在前即夀星宫二十三度○六分距天顶五十三度四十○分距午二十三度三十一分较太阳复西去○八度二十一分算得高弧三十六度三十四分交角八十三度四十五分推东西差○五分一十三秒故以三率法用太隂实行三十三分二十○秒一小时以真时差得五分一十○秒为太隂实距太阳分数见其与才得之东西差相等则前时之时差亦凖若未等则求所差分数如前东西差三分五十○秒得九分一十九秒为时差此不等之三秒亦得七秒依前法视防内应减实得午正三刻一十四分一十四秒乃真视防也

　　求初亏复圆俱依视差算

　　凡算月食推初亏复圆先以开方求其自初亏至食甚所行之度分若干又自食甚至复圆所行之度分亦若干故所推食甚前后时刻大约相等算日食则不然虽太隂在食甚前后所行度数相等而所应之时刻鲜有不参差者盖视差能变实行为视行有前得之时较后得为多亦有后得之时较前得为多此中种种不一如图甲为太阳乙丙丁皆为太隂甲乙或甲丙为两曜视半

　　径甲丁为太隂食甚视距度则甲乙

　　线之方数减甲丁线之方数其余数

　　开方得乙丁线为太隂自初亏至食

　　甚所行之度与丁丙至复圆数畧相

　　等但太隂行过乙丙线时【除食甚正在九十度】

　　前后未尝相等故求之之法必于前时以东西差求其视行则得初亏距食甚之时又于后时复以东西差求其视行乃得复圆与食甚相距之时然初亏与食甚或皆在九十度东则因初时之东西差大于后时之东西差其两差不等之数减于太隂实行则得视行若初时之东西差反小于后时之东西差其两差不等之数则加于太隂实行而得其视行或初亏与食甚皆在九十度西而初时之东西差大后时之东西差小其两差不等之数用加如初时之东西差小后时之东西差大其两差不等之数用减与前法相反此较初亏与食甚若较食甚与复圆皆为一理第其两相比量俱以先东西差与次东西为主故求初亏则食甚为后时而求复圆则食甚又为前时也或前后两时不同在九十度之一边如初亏在东食甚在西则求东西差必不止食甚前后之两次因九十度而中分之则一视行求其时之多半又一视行求其时之余乃合之为初时至后时太隂视防所行度分矣

　　假如视防在鹑首宫初度午后正二刻距九十度西得东西差○五分设得视行二十二分则太隂自九十度至本视防之度两刻间视东行一十一分如前图乙丁线为二十八分减一十一分所余一十七分为太隂在九十度东自初亏至食甚时所行即因九十度前一小时以东西差得太隂视行二十一分故其行一十七分必须时三刻○四分乃自初食至正午【此正午与九十度同故】为太隂所行之时并午前后时总得五刻○四分为太隂自初亏至食甚过乙丁线所行时也

　　算日食复求太隂视距度之故第四

　　前以实防而不得其视防则所求者在东西差乃今视防真矣然何以知其所食大小之分数及以月掩日所向之方位乎曰此皆由于太隂视距度也故推歩者必先于食甚求视距度则得日应食几何分又于初亏复圆求视距度则得月掩日之光在何方

　　日食分数

　　凡推月食以太隂实距度较其半径及地景半径即得月食之分今算日食法虽同然因视度为主则必以太隂视距度与日月两轮之半径相较乃得日食分矣依法于视径本表查日月半径并之减视距度为太隂掩日之分【天度数之分】次以三率法求食之分【日径分十分之分】因先于食甚求太隂实距度则太隂视防及实防间之本行或加或减于其交周度依时差加减得视防时太隂交周度用算或查表即得距度

　　假如时差为三十五分二十一秒宜加此间太隂过太阳行一十七分五十六秒太阳本行○一分二十七秒相加共得一十九分二十三秒为太隂本行今设交周实度为五宫二十九度因时差应加则交周多得一十九分二十三秒终得太隂食甚时实距北○一分四十一秒次以南北视差本实距度改为视距度故凡于三差小三角形内考时差并求南北差乃所得为正视防若太隂距黄道北人居夏至北则实距度恒减视差为视距度若太阳距黄道南则视差反加于实距度为视距度

　　假如万厯二十四年丙申岁八月朔日食厯官报应食九分八十六秒实测得八分强弱之间依新法算当食甚时太阳高五十○度○五分得太隂高差三十八分因九十度距太阳西一十六度○八分算得高弧交黄道角六十八度四十八分为南北差线其对角为南北差得三十五分因当时太隂近交中在黄道北二十八分五十○秒与南北差相减得○六分一十○秒乃太隂视距在黄道南矣又日月两轮半径并得三十二分○五秒减视距度得二十五分五十五秒以此求食分数得○八分二十九秒乃与所测适合也

　　日食图说

　　新法以图显本食所向之方故上下书南北左右书东西其绘图则以太隂距度为主但食时先后太隂距度常有变易或初亏距度多而复圆距度少或初亏距度少而复圆距度多此其故盖因食在交处前后之不一也若前后离交相等则虽距度同而所向南北未免有不同矣故日食前后求太隂视距度必以交周所应食甚视距度减其自初亏至食甚所行径度则得太隂初亏视距度又以加于自食甚至复圆所行径度则得其复圆视距度也复求交周所应太隂食甚视距度惟查距度表内上下左右则得交周度及其在交前后分数○

　　假如前万厯二十四年食甚得视距度○六分一十○秒即交中后查本表右得○一度一十二分其本表上则得六宫乃所应视距度交周也又当时自初亏至食甚太隂所行径度三十一分○七秒与交周相减得六宫○度四十一分五十一秒相加得六宫○一度四十三分○五秒即初亏及复圆交周也依此交周复查表得初亏视距度○三分三十三秒而复圆得八分五十三秒因此畵本食图如乙丁及丙戊两直线以直角在甲相交指南北东西方乙丁为黄道甲心为太阳居其中依前食论其太阳半径得一十五分一十五秒较太隂

　　半径畧小甲戊线则并两轮半径为

　　三十二分○五秒因太隂食甚在辛

　　甲辛乃当时视距度○六分一十○

　　秒初亏在壬即乙壬与甲己相等只

　　三分三十三秒复圆在庚得丁庚与

　　甲癸相等共八分五十三秒而壬辛

　　庚皆视距南也

　　新法算书卷六十九

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法算书卷七十　　　　明　徐光启等　撰交食歴指卷七

　　测食分

　　算食而不测食将何以攷其法非强天即自欺故必随测随算了了于目了了于手则视差视径时分俱凖而法乃得矣

　　测太隂食分

　　常法全頼目力因分太阳径为一十分太隂径亦如之食甚时则以所见不食之径约略不能见之余分设并见失光之体庶防所食有半者依此以测犹可此外则多有谬焉何也太隂未食以前欲用器测全径食甚时又测光所存之余径此际甚难【其光微又无从定中线故】且不正合于法今补此阙用太隂地景两径之比例及太隂见缺之边如图地景心在丙得乙戊辛弧为边太隂心在甲以

　　其乙丁辛边弧入景中为所缺自乙

　　至辛作直线更一直线联其两心及

　　两边交切之界于乙或辛为甲乙乙

　　丙及甲丙而甲丙及乙辛以直角相交于己使太隂入景之边乙丁辛为六十度因半之于丁得乙丁对乙甲己角为三十度必余角甲乙己为六十度【甲己乙直角故】甲乙割线二万乙己止一万则以甲乙与乙丙之比例【一与三是】乙丙得六万为丙乙己角之割线查八十度二十四分本角之切线五九一二三六为丙己而甲己为甲乙己角之切线一七三二○五两切线为甲丁及丙戊所减【甲丁与甲乙丙戊与丙乙自相等】余丁己二六七九五戊己八七六四并之得三五五五九为甲乙二万分比例之分因以推太隂之食分盖设太隂半径得一十六分与之相乘用二万除得食二分五十一秒【度数之分】即径分止有五十三秒以此测虽微有差所推径分终近矣

　　测太阳食分

　　宻室中对太阳开小圆孔以受其光因孔小出光之体大则所正照之光必为角形其底在太阳其角在孔之中夫光一入内又复展开为角形以致底所对之墙转其原形以上为下以左为右使墙与光直角相遇则底为圆形不则为圆长形使孔不圆且小则光底在墙或彷佛孔形而所像太阳之形大都不眞何也太阳孔墙三者皆有逺近大小之比例盖孔距墙得其本径数与太阳所距本径数等则光底在墙必像太阳圆形及孔之多边形各等为杂形若两径数不等而太阳距墙得径数多则光底失去原形转随孔形得径数少则光底必因之愈少故测食者恒设孔小而圆乃可逺近无差因以墙上所缺之形征太阳所食之分法以规器于纸上先画大小不等数圆圏各以径分之其径以十或更宻平分之临测室中以圏受光不拘逺近任用大小圏全以脗合于光为凖既合便转纸使其圏径横过余光形中平分两角则光缺之界即所食分数方光与圏合时遂以笔于光景间微识三四小防求心因之作圏略得太隂掩太阳大小之比例如图甲乙丙丁为太阳食外

　　之余光正与甲乙丙圏界相合其心在

　　戊其径与丁以直角交景而平分甲及

　　丙两光角则得太阳食七分有竒更取

　　三防为甲丁丙以己为心【防何三卷二十四题】以甲丁丙辛为太隂乃以己丁较戊乙亦得日月两径大小之比例日食射光之容

　　测日食以最微之孔对照之西土用绿色玻瓈仅见日周俱掩去余耀反照则用水盘欲细则以平面镜所接之光反射墙上可略得分明苐对照水中反照皆非实测之法惟射光于墙略近然因尚容次光乱其景犹未足故前以宻室测食之分为本法今再全觧之欲光从外入室内以其形正彷原形尽乎大小之比例倘孔非最小【防何称无分防之小】而圆则太阳食照必畧变其余光之角形为不彷原之一又太隂掩太阳其径略小即失天上视径之比例为不彷原之二因径小所食之分较天上之眞分亦少为不彷原之三三者皆归一缘盖接光之孔稍广则从中心摄太阳之形全显于墙或纸亦并周孔边之每防全进焉乃每防所进射之形虽圆其出外与

　　孔之圆不平行而每防射形之公界

　　复与之平行且内抱中心所射之形

　　亦与之平行如图乙丙丁界内为光

　　即太阳总形也其内圏壬庚癸为孔

　　之广因圆故其受光至平面亦圆苐

　　太阳大不可比其光一入复寛为戊己辛形与内圏平行以其中心甲与太阳正对故以逺近之比例可推本形甲戊半径与太阳视半径大小之比例然庚内圏之防射太阳形为丙己辛较于中圏更以戊丙径线出外【戊丙与甲庚孔之半径等】而壬癸及余防皆射圆形则外得乙丙丁总圏其甲丙与太阳半径无大小之比例以逺近可推也又因原形入室内必借孔形以两形合别为杂形今测太阳设圆孔原形无从可变【除上为下左为右】而食之时其自变形露角射于宻室内又与孔之圆形不合因而损其角似圆矣如图太阳食之余光实为甲乙丙丁乃从甲孔之心射入以丙丁乙弧不异于孔形而丁甲乙角

　　形则异矣故本界四周以孔半径展

　　开【甲戊丙己乙辛丁壬皆半径】外得戊辛己壬为

　　总界与前图所觧同则以辛己壬弧

　　元合于孔形而壬戊辛亦必彷之其

　　彷之之规必依孔半径故丁乙各为心得壬癸及辛庚弧皆变为圆角耳

　　室中测食日月两径有定差

　　依本食图丁甲乙弧为太隂掩太阳之边其心在癸从癸心出直线至丁至甲至乙又乙丙丁中原形使之过庚为圏而从其甲心引直线至壬至辛至己因甲乙丙丁为日食余光之真形实合于原则癸甲与甲丙或癸乙与甲乙癸丁与甲丁【甲丙甲乙甲丁皆太阳半径癸甲癸乙癸丁皆太隂半径】得真大小之比例亦与原视半径全合今宻室之中辛己壬戊光形实以甲戊孔之半径周展其界则太阳

　　亦展半径自甲致之于壬于辛于己而甲辛与甲癸太阳半径之比例必过甲乙与本甲癸之比例太隂半径亦然移癸甲为癸戊其癸丁癸乙皆曲而小故甲乙与癸戊之比例又大于甲乙与癸甲之比例而甲辛愈大【因甲辛大于甲乙故】可徴两径在光形宻室之中比于两径实在食时必依孔之广狭变其大小未尝正合焉室内测食食之分有定差

　　依前图总光界辛己壬弧以加壬丁辛弧作全圏则甲乙

　　元为食分与丙乙太阳全径实得比例

　　今总光形之径己丁较之丙乙长两孔

　　之半径【即己丙及乙丁】故本径与食分变比例

　　因而甲乙比于己丁线不如比于丙乙

　　线得大小之理若丁戊【光形食之分】则既乙丁与甲戊等亦自与甲乙相等可徴其大小之比例在光形有失矣

　　或问测食与算食分数不合而每每所测分数恒不及必因食形假耳今欲改为真形从何法得曰以太隂半径加孔半径于太阳余光之内反减之各依本心光形内作弧得甲庚丙癸原正形即从甲太阳形心及丁太隂形心推定也

　　定食分及两径比例必系真光形

　　推算食分以定多寡法以两曜视径较于距度求之今欲于所测对騐亦以日月两径以其两心相距防何即可得矣但测时因太阳行速依前法于形中防号以求径并距孔时逺时近就景于先所画圏亦不易故纸距孔须定度【用窥管前开小孔后置白牌彼此以平行相照】可免多圏多量之烦受景之底大小依逺近如图外有己壬辛大圏为定周分

　　度数共作四象限【用以取食方向见下文】中有乙

　　戊丙丁小圈以甲为轴能转动此乃受

　　光形之圈故以丁戊指太阳全径以甲

　　心及孔之中心与太阳中心正对本圏

　　上安量尺即戊丁中空以两旁与圏径平行其尖鋭直至大圏以能指度为用量尺上仍有方尺为乙丙中开一小陷道以合于下前后可任进退将用浑器对太阳时便转中圏令其径平分余光之角随以方尺就之其交径之防必用号以识之有光无光之边交径防亦然

　　即以此定乙甲丙弧分食与不食之

　　形不须别防如二图设乙丙丁戊为

　　太阳食形得心在甲丙戊为径以方

　　尺【乙己丁】切光之钝角【乙丁】交径于己景

　　边交于戊今依孔半径得己庚作壬庚辛直线与方尺平行而更作辛癸壬子即日食之真形何也使壬丁辛乙各于方尺为垂线必自为平行线因而庚己亦于方尺为垂线【因作法盖庚己为丙己径之分】则庚己壬丁辛乙三线皆等既等而庚己为孔之半径则余两线亦各半径可知壬辛两防当孔中心为真形之鋭角则日月两边实于此防相交而壬癸辛为太阳壬子辛即太隂两弧中必食分外则为所存光之真形也

　　或问真原形既定何以依之推两径之比例及太阳食之分数曰孔与形相距之度与甲癸真形之半径若全数与原视半径之切线查表得太阳视半径试以全形为一百分孔径一十分相距万分一百减一十余癸丑为

　　九十半之得甲癸四十五以算终得一

　　十五分二十八秒【度数之分】论太隂半径此

　　以庚辛中比例线求之盖先以庚癸太

　　阳径分求庚辛【见防何三卷三十五题】次以庚子

　　与庚辛若庚辛复与庚寅得全子寅论食分则癸丑与一十平分若子丑与食之分或若癸子与未食之分于十分相减余则为所食之

　　测日食细法

　　用方尺量食之形或景淡而景符无处可用欲以所测推太隂视径未免微差今更用一器愈凖愈易前所云受

　　光形之表中有轴能令小

　　轮转动轮上定量尺随以

　　同转则因以载方尺而外

　　指度数矣此则两尺俱不

　　用本小轮改为方形如图甲为表中之轴亦为太阳景心【先依太阳在本圏某宫度取视径作圏】乙丙丁戊则大方形也转以甲轴以辛为表鋭用鋭以指外圏之度左右【大方形】开两小陷道能受小方形为己庚癸壬此中亦有小圏即掩太阳之太隂也周圏先去孔半径形【得圏大小不等预以引数取定或备数面以待临期更换亦可】其四围【小方形】开空止存六小条与方相连以支圏将测用大方置衡上【长方尺为衡其图在下前所言窥管亦可】与孔以定度相距小方贯入其前令中圏以边合于景食甚时见本圏上方余光先至而左右尚未及必圏小宜换大若左右先与光齐而上方未及则圏大宜换小总以正合为凖万厯二十九年辛丑冬至后两日苐谷门人在西土测日食用本器大方中圏设一百一十分小方圏七十五分两数总而半之得九十二分三十秒即初亏时太隂与太阳以中心相距之分【任取无度数之分】故至食甚时所见食之分【略得八分】此中必减去余分乃两心相距之分苐先定太隂视径因小方圏正食于景而设径有七十五分二十八秒以加孔径一十六分三十○秒总得九十二分以此求度数之分得太隂在最髙本径三十分三十秒若求食之分因当时形中得食八分【径平一二分之十分】以比例法算得七十四分【任取分之分】与两心初亏相距之分相减余一十八分三十秒化为度数之分得六分○八秒【光形一百一十分减孔全径一十六分三十秒余分为法数太阳在最痹径三十一分为实数

　　算得六分○八秒】如图甲丙太隂半径减甲

　　乙两心之距余乙丙为九分○七秒

　　加乙丁太阳半径【一十五分三十秒】得丙丁

　　为二十四分三十七秒【度数之分】即月体

　　掩日之分故以三十一【全径】为法以十二平分为实算得九分三十二秒即太阳实食之分较于形中所见食多一分三十二秒矣

　　或问测食常法因难分食与未食之径不待言矣今室中测食虽能明分之而所见食分非真食分所测径非真径则古测又奚足用曰因分得日月两径大小之比例及明暗之界即推真食分及真径之根盖古之定日月两径多依此测不能无差今从而改之此外尚有测其径之多法【见月离厯指】

　　以真视径比例推食之实分

　　测食者于室中任用器之长短孔之大小不必拘逺近之比例而惟以先列视径表定食分为止法以所测之光形作圏以光景之界弧求心【防何三卷二十五题】即太隂心亦作圏必量两圏径【用比例尺或预分定数百平分之线】得各分数若干总而半之即于两曜视半径并分数等何为分数等也日食形内光与景各失其本然止以边论则犹是若两心相距则非矣盖两心相距与原形恒有比例因彼所张此反损各半径与原半径不合而两并与原并数则有合焉故以此总【两半径量之分】与彼总【两半径度数之分】之比例各本分【或日或月】推相应之半径【形中非真半径】与真半径比较得差数因以复推食分加于测食分即得所食之实分矣

　　假如万厯十八年庚寅七月朔苐谷门人在西土测日食见食六分正【依十二径分大统亦能见推食五分有竒依十径分】光景各半径并得四十七分太阳近最髙得半径一十五分○二秒太隂距最髙四十余度得半径一十五分二十五秒两半径并为三十○分二十七秒即与前四十七分等故一为法一为实求二十三分【太隂或景任取之分】相应度数之分若干算得一十四分五十四秒比太隂视半径差三十一秒而差数或加或减于太阳半径则以真半径为法【当差数加也】推得六分一十三秒【孔小故受景正而测之分比推算之分略近】为真食之分

　　又一法用逺镜或于宻室或在室外但在外者必以纸殻围窥筩以掩余耀若絶无次光者然而形始显矣葢玻瓈原体厚能聚光使明分于周次光又以本形能易光以小为大可用以细测【以小为大非前所云光形周散也因镜后玻瓈得缺形光以斜透其元形无不易之使大见逺镜本论】然距镜逺近无论止以平面与镜面平行开阖长短俱取乎正【光中现昏白若云气则长边有蓝色则短进管时须开阖得正】余法与前同崇祯四年辛未十月朔在于厯局测日食用镜二具一在室中一在露台两处所测食分俱得一分半【径分十分】先依顺天府算以太阳引数三宫二十七度取视半径一十五分四十二秒以太隂引数五宫一十九度取半径一十七分五十八秒半径俱悮用大故并而减太隂当时视距度二十七分二十二秒余六分一十八秒因算得食二分试依新列表改之则太阳得一十五分二十一秒太隂得一十七分一十七秒并而复减视距度余五分一十六秒算得一分四十三秒为真食分必如镜所测也夫镜所测形为丁乙丙戊即太阳食边之下映者与实在天所食之形相反【大光过小孔之

　　故】依丁乙丙弧求己心即太隂

　　心设其半径己乙为五十分甲

　　戊四十八分两半径并得九十

　　八分【皆比例之分】为法数两半径又

　　并作三十二分三十八秒【度数之分】为实数则以太隂五十分推得一十六分三十九秒为己乙度数之分必较于己壬真视半径得差三十八秒为乙壬今论径分【以十分分之】以三十八秒算得一十二秒宜加所测之辛乙一分三十秒总得辛壬为一分四十二秒正合于所算食分矣

　　或问逺镜前后有玻瓈在前者聚光渐小至一防乃在后者受其光而复散于外则后玻瓈可当一防之孔何所射之光形不真乎曰后玻瓈不正居聚光之防必略进焉以接未全聚之光乃复开展可耳【见逺镜本论】故谓此当甚微之孔则可谓当无分防之孔则不可所以用镜测者纵或不真然较之不用镜者不但能使所测之形大而显亦庶防于真形不逺矣

　　测食方位

　　古多禄某以交食占验欲定何州郡则以本食方位求法近世以本方位立法因推太隂距太阳视经纬而以所测定其视行也

　　测日食方位

　　太阳本食或正向南北东西则目力所及一见能决惟不尽出于正而偏有所距则因以分别所偏若干定分数多寡此必实见之测乃可得耳前论食分设两轮盘并在一平面上与太阳正对亦与外耳进光者平行其下大盘不动分以过圈径从径左右边分全度数用以测食方向上小盘则能运转载量尺与下轮边以对度数为主将测全器对太阳下盘之径线对髙弧以光形之角较本线或正或偏因推所向方位设两轮底方以直角安表衡上为甲乙与外耳戊正对太阳毫不偏于左右则乙戊衡正居过天顶及太阳圈之平面【前所云髙弧也】而甲乙直线自上至下亦当天上本圏径之分外

　　有木矩架为丙丁己【全形见月离三卷】以丁己柱正立取地平柱端作运轴使衡能上下转以入架腰定丙乙太阳出地平髙度而全架则又周转如辘轳也用法日食时表衡对太阳以甲乙方之面正受其景则上下轮环转而方尺与余光两角或积或平行其量尺所指轮边度分即太阳本食所偏向髙弧度分也又本衡末于架腰自指太阳髙度则得时分因得太阳及髙弧距正东西以加或减于日食之角偏去髙弧度分终得食景偏去正东西度分设衡下无架可分太阳髙度则以别法求时刻而于衡之末以直角加横平方其甲乙直线及浑衡亦合于髙弧圏之面若不用量方两尺依前第二法用两方形有圏者以上方进入下方之中圏直至形前掩景周围与光齐而左右小条当方尺与两余光之角或相积或平行其外鋭亦指本景所向之方与前同如太阳初亏测方向得偏髙弧距三十度太阳出东地平髙四十一度三十四分躔降娄宫初度因得己时髙弧距正东四十八度○四分【或查表或以三角形算】减食方向距髙弧度余一十八度○四分即初亏向西北度若太阳复圆其方向髙度时分皆如前则一十八度○四分为复圆向东南度又设方向距髙弧过象限三十度【角上左旋】髙度时刻俱同前则与髙弧距正东相加得七十八度○四分即初亏向东南复圆向西北度【初亏向东南复圆必不在西北此盖指前后两食论也】

　　或问所测方向距髙弧线之度何以知其宜加与减于本髙弧距正东以得其自距正东之度曰日食时设有大圏径过日月两曜中心左右至地平此即太阳失光及未失光之面所向度分今本圏以直角交髙弧则向位距正东或正西之度与髙弧距子午圏之度等【地平圏上算】本圏合于髙弧通为一圏则髙弧至地平所指度亦为本食所向度若夲圏斜交髙弧则以下轮盘外圏因知两距度宜加与否【两距度者过心圏距髙弧髙弧距子午圏者】盖午前过日月两心之线测得在右上象限或左下象限宜加余象限冝减午后则反是【不拘初亏复圆】或见日食余光之上角在髙弧及子午圏线中则过心线之距加于髙弧子午两线之距此在午前后共法设甲乙丙丁为下轮盘之外圏分四象限各象限分九十度甲为天顶甲丙线当髙弧甲己甲戊皆子午线中小圏即太隂掩太阳者或食

　　甚或初亏复圆时在其东西南北及中

　　央皆一类【天上向位在西图中反在东诸方皆如此】设庚为

　　太阳过两心之线为庚乙因以直角交

　　甲丙线其至地平必两相距正九十度

　　故丙距己【地平上算】乙距正东之度皆等又设辛为太阳则过两心线与甲丙同为一线故甲丙所至地平度亦为太阳辛食所向之度也又设壬为太阳则以壬癸过两心线者得壬癸乙角加于丙甲己角减于丙甲戊角【因太阳壬之上角在丙甲己内即午前在丙甲戊外即午后故】得总或余角以定日食向盖过两心之圏恒指向位又恒随髙弧设髙弧与子午圏全合为一必过心圏以直角交者所指向位在正东【食复圆时】或正西【食初亏时】若斜交则因角大小不等食形所向度距东西逺近亦不等其髙弧不正与子午圏合而相距在其左右则过两心圏虽以直角交犹随髙弧距正东西左右若斜交则本圏更距东西不等盖以此两故求其距度直至与髙弧合则惟髙弧定距度也以长圆形求日食方位

　　前论宻室测日食分法以平靣之方受景盖孔小而方又正对太阳其景必圆今以斜对之平面亦在宻室中受景孔仍如前小则所得形必长圆【凡地平距黄道内者对太阳宜斜】其

　　长径线可当髙弧法用白纸置地平

　　上【任置何处宜与地平等】令受日景必自为长

　　圆形次于本形两端各识数防又于

　　两光缺角亦各识一防以便用规器

　　取食偏距髙弧度设乙丙为长圆形

　　之大径当髙弧线求丁戊景缺偏距乙丙线若干则平分径于甲以甲为心丙为界作圏次与甲丙作垂线过丁戊两角至己至壬此己壬弧半之于辛作甲辛直线则得丙甲辛角即日食偏距甲丙髙弧之角设丙辛乙半圏分一百八十度以规取丙辛弧定度分若干试依先测之横径【若未测以太阳髙度求之】以甲为心作中小圏从两光缺角引直线与长径平行至本圏之边得庚癸弧其出中心至外大圏甲辛直线者交于小圏之弧为两平分则知先所取丙辛食方向距髙弧之度无谬也

　　因长圆形之心不正居光角形之枢线而横径较光角形之正底亦微过焉故欲求其正设角形中线至子以太阳髙度之余推子乙子丙则于本髙余度加一十五分【太阳半径依引数取】又减一十五分得三不等度查各度切线以相较得乙丙长径之正度也如甲乙丙为光角形至地平乙戊因斜遇为长圆形其长径为乙丙太阳在甲当髙三十七度余五十三度角形枢线甲子则戊子为五十三度之切线减一十五分余五十二度四十五分其切

　　线戊丙反加一十五分得五十三度一十五分切线为戊乙今戊乙减戊丙余二四○九为丙乙即形中长径也求横小径则全数与太阳距天顶之割线若太阳半径之切线与横小径算得一四八六【两径自较得一十与一十七之比例欲各较于全数设全数为十万】因此依前图算设乙丙为大圏之径则以本比例得小圏作长圆形引丁己及戊壬垂线如法半之终得辛甲丙角为二十二度三十分宜加或减于髙弧距子午圏以求其自距子午圏与前法同测月食方位

　　治铜为一匾圏约寛二三寸许周分三百六十度其圏内俱开空止留四线如十字交罗中心交罗处安量尺方尺其尺径较圏径略长皆能旋动与前测食分器同将测时从初度取上下正对太隂以垂线取凖地平转其方尺令对两余光角则量尺抵边所指度分即本食向方距髙弧度也盖宻室月景不显必室外测乃可若用地平经纬仪上置前圏以象限载之转中线对髙弧须凖与地平合可免算髙弧距正午度

　　又简法以界尺对两角令其或取恒星或五星同居一直线上加太隂髙差【以髙度于本表取】得其向恒星若干免以髙弧复求别距度何也因切两角之线其过景边交月边处必俱以直角交过月景两心之线故得角与星居一直线则从此相距九十度逺者必为本食所向之方矣太阳初亏能向东复圆能向西否太隂初亏能向西复圆亦能向东否

　　从来论日食者俱以初亏向正西或西南或西北复圆即向正东或东南或东北月食初亏向东复圆即向西或偏东偏西此定法也今细考之殊多不然盖初亏复圆两向相反者此非一食可有之事必两食而日月体不全食或有之先以月食论如图以甲为心即地景之中心以其半径为界作圏从上至下引乙丙直线可当髙弧横作丁戊当黄道斜入西地平下得乙甲丁为其两

　　圏之交角又作己辛直线与黄道线

　　以直角交于甲心设太隂本心在己

　　或在辛此为定望故甲己甲辛各为

　　月景各半径并与距度等又己为隂

　　厯渐小必己庚【白道】距黄道渐近辛为

　　阳厯渐大必辛壬【白道】距黄道渐逺此太隂未及辛先与甲近彼太隂过己后渐与甲近两者未免微有食【距度比甲己甲辛两半径并较少故】其所食大则从甲心出直线至白道以直角所交之防下为癸上为子是也试以甲癸或甲子当五十八分较甲辛甲己略少【两半径并共六十分】则五度【最大距度】之割线与全数若五十八分与两心之距【月心地景心】得五十七分四十七秒余二分一十三秒变为食分即四十四秒故依图一食之初亏在己他食之复圆在辛而复圆向东初亏向西者此耳可遂守为一定不易之成説哉

　　若东地平黄道斜升其上亦与前同设癸子为黄道乙甲子为黄道交髙弧之角则丁戊线以直角交黄道者上有丁为隂厯渐小而壬丁白道与黄道渐近下有戊为

　　阳厯渐大而戊庚白道距黄道渐逺必

　　辛一食之初亏向西丙他食之复圆向

　　东万厯四十一年癸卯十月十六夜大

　　统厯官报月食四分四十八秒初亏子

　　正三刻复圆丑正三刻西土第谷门人

　　测三分强总时得八刻弱与大统略合但先后两处不能不异盖此【中土】太隂初亏略过子午圈彼【西土】出东地平髙未及二十度因行阳厯而距正东去北其初亏向正西复圆偏西南

　　论日食其方向之变不但以黄道斜升故即视差亦有之盖降娄东出必黄道交地平角渐大至鹑首出则愈大故太隂在地平上不论何宫度其随宗动徃北甚多以本行去南反少气差亦少而太阳夲食距赤道南午后其初亏可向东距赤道北午前复圆可向西又寿星出则至降娄为半周本角渐小太隂去南较其本行回北己多必气差更大而太阳距赤道北午前初亏可向东距赤道南复圆反可向西今试以黄道斜升之故设太阳在降娄一十五度出东地平髙一十○度北极髙四

　　十度当此有食则太隂在阳厯距南二

　　十○分【视距度分】虽不全食约有三分之一

　　如图丁壬为地平丁庚为黄道两圏斜

　　交于丁则戊为正东壬为正午庚癸过

　　九十度限之弧髙有三十度太阳在甲

　　髙一十○度太隂在乙初亏距黄道二十分得甲乙丙直角三角形甲乙两心之距当三十一分【日月各半径并】求甲角以定甲乙过两心之线至地平何度即本食之向位盖甲乙线与乙丙线若全数与甲角之正得甲角为四十一度四十八分余对角乙甲丁一百三十八度一十一分今甲戊丁三角形内戊为直角庚丁癸角三十度必余丁甲戊角六十度而戊甲乙七十八度一十二分故甲戊己三角形内求戊己地平限定本食向何度则全数与甲戊髙弧之正若甲角之切线与戊己弧之切线【图中设为直线天上实为弧】得戊己为三十九度四十四分因髙弧于此至正东则戊壬为九十度减戊己弧余五十度一十六分即所向偏东南过子午圏东之度若设隂厯太阳复圆皆同度则太隂在辛而己辛弧又北过子午圏向西北亦距北之西五十余度

　　若气差变向之故则如万厯二十七年己亥七月朔苐谷测太阳东北出地平【日躔鹑火初度故】其本体之顶有缺则必西南为所食向方又太隂虽行中交因黄道交地平角甚大本行已近北必得气差少则复圆尚居太阳西而本食方位已不可转而东矣又万厯十六年戊子正月朔太阳躔娵訾七度有食初亏在午后六刻第谷测其过日月两心之圏距髙弧偏西七十二度有竒复圆在未正三刻半又测得本交角尚有一十二度【两弧相距】可征尚未向东而初亏食甚复圆皆以西为方向矣如图甲乙当髙弧丙丁为黄道太阳在己太隂在戊过两心之

　　弧己戊求其距甲己若干以太阳食

　　时躔度及北极髙度【五十五度五十五分】先定

　　甲己丙髙弧交黄道角为五十四度

　　二十四分则余对角一百二十五度

　　因太阳半径一十五分二十秒太隂半径一十五分五十八秒并得三十一分一十八秒为己戊线太隂距北一度○八分减气差四十三分○五秒余二十四分五十五秒为丁戊线因而丁为直角故丁己戊三角形内求己角得五十二度四十五分与甲己丁角相减余七十二度五十一分为初亏距髙弧向西北度论复圆则

　　甲己丙交角有四十四度四十四分

　　太隂距度一度○五分减气差三十

　　八分四十四秒余二十六分一十六

　　秒为丁戊线其己戊同前推得丁己

　　戊角五十七度○三分减甲己丁角余一十二度一十九分为戊己距甲己髙弧即复圆向西之度当时太阳初亏鹑火宫二度复圆本宫一十五度出东地平故黄道髙太阳近北气差渐少令太隂距太阳不能复过东矣假使北极更低必得黄道愈髙太隂徃北减气差愈多因知复圆距东更逺万厯二十三年乙未八月朔第谷门人在东西两处测验或得食二分半或得食三分盖在西者测太阳初亏微过正午故髙弧与子午圏略同而向位距本圏偏东尚有九度在东者测太阳后一刻有竒得其初亏正向天顶则地平北子午圏之东是其向位也从是知初亏向西即复圆向东非定论也且初亏不尽向西复圆不尽向东又已彰明较着有如是也成法悮人可胜浩叹

　　以方位算太隂视经纬

　　万厯二十六年戊戌二月朔西土己正二十七分初亏后测食约有一分【十五分一刻十二分一径】太阳径线三十○分三十五秒太隂三十二分四十四秒各依本引数所定其本食所向过两心线交髙弧者测得九十度正为直角如图甲乙丙为子午圏丁为赤极髙依本地四十七度○二分丙为天顶太阳在己以丙己为髙弧丁己定距度弧太隂在壬因日月各半径并得三十一分四十○秒减二分三十三秒【即所食一分化为度数分】余二十九分○七秒为己

　　壬日月两心相距之分又丙己壬角测九十度因推壬辛即太隂距甲辛黄道视纬度辛己即太隂距太阳视经度先求九十度限距天顶即甲丙庚三角形内丙庚边也盖太阳躔娵訾一十六度四十三分得升度三百四十七度四十七分减测时距午所应升二十三度一十五分余升度三百二十四度三十二分应黄道居天之中枵宫二十二度一十○分乃距赤道一十四度

　　一十一分为甲乙弧加乙丙赤道距天

　　顶与北极依本地出地平髙等得甲丙

　　为六十一度一十三分此时出地平黄

　　道度为实沈宫二十二度三十一分则

　　娵訾宫二十二度三十一分当九十度限为庚而甲庚弧三十○度二十一分因而甲庚丙角恒为直角则本三角形内以甲庚及甲丙两边求庚丙第三边【于甲丙弧割线加五空位以甲庚弧割线除之】得五十六度○四分即九十度限距天顶之弧欲免算则以太阳躔度及测时刻依法查本表即得九十度距天顶也以己庚丙直角三角形因得庚丙边【五十六度○四分】庚己边【太阳在己即娵訾宫一十六度四十三分九十度限在庚即本宫二十二度三十

　　一分相减余五度四十八分为庚己也】于庚丙弧切线加

　　五空位以庚己正除之余庚己丙交

　　角为八十六度○七分对甲己丙角必

　　为九十三度五十三分【此太隂初亏在太阳之西比子】

　　【午圏略近所居】第测壬己丙角正为九十度余壬己辛角止三度五十三分因求太隂视经纬度则于壬己辛小三角形内【因小可当直线三角形】以壬己边【日月两心之距】及先所得诸角【辛为直角因算己角得三度五十三分壬即余角】算得壬辛视纬度距北一分五十七秒己辛视经度距太阳前二十九分○二秒即此可见测食方位之用有如此

　　测交食变形之时

　　交食形者乃日月食起复之间光为景所损而变迁其态以相示者也但受损之光初少渐多多而复少今欲逐时逐刻以宻求之其形无数且可不必大都初亏食甚复圆为太阳太隂所共而食既生光则太隂所独此五限测法须先求时对食分及食所向方位与距恒星度分乃可一一得矣

　　测太隂食之时

　　常法测恒星髙度若未见星先测太隂自髙度乃以升度求时【见髙弧用法】苐谷用自鸣钟或刻漏将浑天纪限等仪屡测太隂余光边距恒星若干或太隂恒星至正午俱以刻漏识之若太隂正在黄道九十度限则从恒星之近者起算为易得其本心及地景心升度可知恒星距太阳度因以取凖时刻有用界尺测太隂两角或对地平圏平行或对恒星居一直线上或尺线过两角之中对月景两心皆以求太隂视处定其经纬以推时刻万厯三十一年癸卯四月西土月食苐谷门人测之预备刻漏取其能细指时至分秒者试以数日令迟速脗与天合于太隂未食之前测大角星在正午考时得亥初三刻八分三十秒刻漏指亥初一十二分三十秒亥正一十○分【即亥正三刻四分】木星居正午髙二十四度三十二分【极髙五十度】亥正一十八分【亥正三刻一十四分】初亏向位在东南距髙弧自径线下起算四十五度三十分亥正二十三分【子初○四分】向位距四十二度前此太隂未食约四刻时与心宿大星同髙弧此已离去距西盖因视差故亥正二十九分半【子初一十○分】向位距三十九度三十分从土星对月景两心得一直线过亥正四十二分【子初一刻九分】周星【天市垣者】至正午向位三十三度三十分食四分一十○秒先所过土星今反距其下矣亥正五十一分【子初二刻二分】向位距二十八度稍迟得食五分子初二分半【子初二刻○七分】土星在正午髙二十一度四十七分子初九分【子初三刻○四分】缺太隂圏之半周子初一十九分【子正○一分】太隂心至正午其余光边髙一十九度○七分子初二十四分【子正○六分】向位距一十五度子初四十三分【子正一刻一十分】余光两角正垂下距地平等食六分三十秒子正二分【子正二刻一十四分】两角与木星皆居一直线其一角略髙向西因知食甚已过子正二十三分【丑初○五分】向位偏西距髙弧下一十八度三十分子正四十七分【丑初二刻】向位距三十度丑初三分【丑初三刻】距西三十二度丑初一十四分【丑初三刻一十一分】尚距三十二度将复圆其边有次景因用土星测向位然必定土星之经纬乃无遗漏当测时其本星距氐宿北星一十七度二十二分距天江北第六星一十三度二十○分因是知其过子午髙得躔柝木宫初度四十五分三十秒距北二度一十○分三十秒

　　万厯四十四年丙辰八月去顺天西一百○度四十五分【西逻玛京都】亲测月食以星髙度及自鸣钟推得时刻初亏河鼓中星过西髙二十一度得一十三时四十四分三十秒【时为小时从午正起算即丑初三刻十五分作一刻后仿此】左肩在东髙一十一度得一十三时四十四分二十秒毕宿大星髙三十一度得一十三时四十一分一十二秒当时钟有一时○九分【从子正起算后同此】盖钟所指时分每后太阳三十四分先后两日试验俱如一即一十三时四十三分食既织女大星距子午圏西髙一十五度得时一十五时○三分一十二秒右肩二十六度推得一十五时○五分乃钟指二时三十七分即一十五时一十一分生光织女髙一十一度得一十五时三十一分四十五秒右肩髙三十一度推得一十五时三十三分四十五秒钟得三时三十五分复圆测天津第四星西髙一十九度得一十七时○四分一十二秒乃钟有四时二十二分即一十六时五十六分又同都一人另居一地测有四十六次所得时刻初亏复圆与前测同惟食既少得五分生光少二分耳今以新法推算复圆全与此合其余限虽微有参差然亦不逺三四分矣

　　测太阳食之时

　　太阳出东地平左旋渐髙至午正则最髙过午复渐低至西则没此太阳自行一昼之时刻也故得其髙度即可求时其初亏食甚复圆等限惟以此为常测法苐非宻室中不可故又仍用前器架上之衡及矩架俱如前而方架之式之用见月离三卷各细分度数下方为地平从正东正西至子午圏诸弧之切线衡为太阳距天顶之割线矩架之股又为太阳距顶之切线此三度所以全本器之用也测时将方架置几上以中线对南北一手转矩架随太阳行并动其衡使之上下以受光一手对轮盘上之尺才一对景即于衡矩架下方架各识以号【号宜同如一二等数是】而以号所对各器之度加轮盘所测之景因推太阳食时及向位食分诸用万厯庚子嵗六月朔刻白尔距顺天府西九十九度一十五分用本器在宻室中测本食共测一十五次作号一二等如左

　　号　　一二　三四五六　七八九【一一一一　一一○一二三　四五】

　　其下方架东西边所分各当二千分自后至中左右各当一千二百分先安置与子午圏对【以太阳距正午左右相等之髙度或先一日或测后攷对得架偏必差度或加或减于推测之度得地平正弧】然后测得地平弧以推时刻今依一十五号列所测分及相应之地平弧

　　号一二三四五六七八九十【一一一一一一二三四五】如左

　　测　【一一一一一一　　　　　　　　七一八六三○○八八七六六五四四】首一及二号所分【五七三一七七○七二四七三二七三一一○三四五三四八五八七四四一】对测分在方架度【二三三三四四五五五五六六六六七○○三六一八○三五八○二六八○】北自中起数至分【三二一三○○○五二一三○二二一五一五九八九七六四○二二五七五】东余转东北角徃南其度分则架上平分所推即目正午渐去西太阳所对地平弧也以测分推度分法二千与测分若全数与地平弧之切线假如甲乙丙丁为下方甲丁乙丙每边分二千戊丁戊丙各一千二百分戊壬正对子午圏

　　亦二千当测得戊己即七五一

　　平分求戊辛弧则壬戊与戊己

　　线若壬辛全数与戊辛弧之切

　　线算得三七五五○查表得二

　　十○度三十五分若景过丁角在甲丁边上遇庚则甲庚为戊庚弧之余切线故壬甲与甲庚线若全数与戊庚弧之余切线【壬甲与戊丁等】刻白尔转矩架时下架悮随之动使地平弧略有差故以矩架求髙弧以髙弧攷正地号一二三四五六七八九十【一一一一一一二三四五】平弧因推时【五五五五五五六六六六六六六六六六六七七八九○一一二三四六八九】刻如左

　　【○七○四一五一一六六六四九五六四九六○三七二六○六九四二○四】矩架之立柱【二二二二二三三三三三三四四四四四六六七八一二四五七八○三六七】当句其数宜

　　股【五一七五九七六六三二九一九三九○五七○六三五八七三三四三五七】作五○四○句【五五五五五五五五五五五五五五五○○○○○○○○○○○○○○○】今则少异欲

　　依之算亦无

　　谬而矩架之

　　底为股上衡

　　为其长短

　　随太阳髙低

　　时时不等故

　　数亦不等此

　　求太阳距天

　　顶或以股或以皆同法而句与与股若全数与太阳距天顶之切线次以髙度【日距天顶之余】求地平弧则全数与极出地髙之割线若太阳髙度之割线与先得之数【为待用之数】次北极太阳两髙差度之余与太阳距赤道度之正相减余次得数则两数【先得与次得】为实全数又为法算得地平余弧之矢依测本食之地极髙四十七度○二分其割线一四六七一九太阳距天顶之余六七四度○四分其割线二二八六六三算得三三五四九一为先得数两髙度差一十七度○二分查余九五六一三为减太阳当时距度【二十二度一十六分】之正三七八九二余五七七二一即次得数算得一九三六四八为矢故减首位以所余查八线表得六十九度二十八分即从正西起地平弧余二十度三十二分即对太阳过正午地平之弧以此求时则乙丙丁斜角三角形内得乙丁为极髙之余得乙丙为太阳距赤道之余得乙丁丙角为对地平【此二十度一十八分】至半周余弧之角求丁乙丙即对赤道弧之角以定相应之时欲依直角三角形必丙丁引至

　　甲得甲直角则先求甲乙丁角【可用十设算见测量全义七卷本角得七十四度五十一分一十八秒】次求甲乙线甲乙丙三角形内因得甲乙乙丙两线以甲直角推甲乙丙角【此八十四度一十九分一十八秒】则乙总角减甲乙丁角余丁乙丙角为所求【此余九度二十七分四十六秒化为时得三十七分五十○秒过正午】测本食之复圆上衡微有阻碍不及受太阳全景故以髙弧推时较地平所推差四分宜半之借此补彼则得二时五十七分三十○秒为正时

　　新法算书卷七十

　　钦定四库全书

　　新法算书卷七十一　　　明　徐光启等　撰古今交食考

　　日食

　　书经

　　征　惟仲康肇位四海乃季秋月朔辰弗集于房按唐大衍厯作仲康五年癸巳嵗九月庚戌朔日食在房二度元授时厯亦称仲康五年癸巳九月庚戌朔交泛二十六日五千四百二十一分依此得太隂尚距交前约九度新法亦推得九度二十三分然皆中防时平行若视防时实行则交常度为五宫一十八度一十七分因得实距一度余在阴厯本食距加减时限【即黄平象限东】甚逺必得时差多气差反少因气差止一十六分为实距分所减余视距四十四分乃并日月两半径得三十一分三十三秒以较视距分尚不及则月不能掩日而癸巳年九月庚戌朔絶无食又以厯年考之仲康五年无癸巳乃丙寅也癸巳去丙寅后二十七年就使九月朔日有食亦非书所载之食况本不食乎新法推得仲康时仅四年与五年正交与秋分近两曜已入食限其余年交距秋远虽两曜防合入食限内应食者有之不在季秋月朔与书所载无与惟四年乙丑九月壬辰朔太阳躔寿星一十度三十分实交周一十一宫二十七度二十分得太阳实距黄道南一十七分二十秒即入食限与秋分近但加气差五十分三十余秒较两半径并距度太大必不食况此乃定朔之距度而定朔在酉正一刻外【依今加减表算】日入巳二刻矣若视防必须加时即二曜絶无视距因得食甚尚在酉正后六刻余并无带食试更西去四刻或少加时【不依今加减表】存定朔于地平上且依北极出地一十八度算【云南交趾等处因与二曜益近故】其定朔则在酉初一刻得视防与日入不甚逺应见带食苐气差为三十八分以加实距总得四十六分与二曜半径并相较亦无食盖繇气差加以实距使太隂偏南不能掩日非独加减时故也若五年丙寅季秋月丙戌朔太阳平行躔寿星初度五十一分与书所载之房宿合寔交周为○宫五度二十四分查表得实距北二十八分而以气差一十三分相减余一十五分为二曜半径并所减余一十六分三十八秒推得见食五分三十余秒但依古安邑及北极出地三十六度用今加减表算定朔应在次日丁亥太阳出之前时差应减因得食甚不可见试东去一二时必能见食何也盖太阴实距北得气差使之掩日九州内有处可见如以二十八分查太隂视差表中行得上横行髙度应六十三度余二十七度为二曜距天顶度因以太阳实躔查黄道九十度表所得侧对二十七度者乃北极出地二十五度即全见食地也【因设二曜在正九十度上絶无时差而气差全变为髙下差即所减去前二十八分故】距此南北内外亦应见食惟分数多寡不一耳设东来一时依北极出地二十五度算得气差二分四十五秒为寔距所减余二十五分四十秒即视距分与二曜半径并相较余六分应推见食二分论定朔此时二曜髙尚有一十七度在辰初二刻【日出卯正前约二分】虽时差复有所减能使视防在卯前不见食甚然可多见食至复圆而曚气差亦畧补地半径差使日月可早出总之论中土之西不能见食非太隂不甚掩太阳乃时差无从得算盖时差必先求定朔定朔即依加减所得而加减复归太阳本圜心去离地心故但二心相距古今不等【见日躔厯指】即加减亦异新法为求均度止立二百恒年表者亦以见此后数未免畧变至求所变几何止可及中古未能及上古乃书仅云仲康五年辰弗集于房此外不纪食于何时测于何方见食若干分傥因之退求二心之距依法立表自可得其食之必然况与年月宿度俱符者乎再帝尧时大槩春在昴秋在房仲康去尧未逺俱依此为定故得日在季秋月朔遂谓辰弗集于房其寔房渐移东是日尚居氐宿末度非真至于房也或因不凖得时刻误以他年且晦朔不明及谓太隂距逺不能掩日之光亦滋惑矣

　　诗

　　小雅　十月之交朔日辛卯日有食之亦孔之丑【大夫刺幽王也】案周正建子十月乃夏之八月是在周幽王六年乙丑岁十月辛卯朔授时推是日辰正四刻合朔交泛一十四日五十七刻入食限梁太史令虞邝唐僧一行亦步得是日日食今以法依本地去顺天府西约减二刻考之是日定朔己初三刻内一十分太阳寔躔鹑尾宫○四度三十九分算以时差得减一时三十六分乃得食甚在辰正初刻○四分授时得辰正四刻未推地经加减故于视防时得实交周○宫八度五十九分查表得实距四十六分三十六秒减气差一十五分一十六秒余太阴视距在黄道北三十一分二十秒与两曜半径并相减余三十一秒则得食分止三十秒耳授时推交泛一十四日等数欲以正交起算则与日月不合若从中交起算则得平交周与新法所得去正交北畧逺虽能入食限亦不过此食分矣

　　春秋

　　襄公　二十有四年秋七月甲子朔日有食之既案鲁春秋仍用周正七月乃夏正建寅之五月也今以法考之是月甲子日未正二刻定朔申初初刻○八分食甚实交周○宫○三度二十二分二十秒实距度一十七分三十二秒因在黄道北减气差一十六分一十二秒得视距一分二十秒应见全食且本月径大于日径掩太阳邉周有竒经称日既政与法宻合

　　襄公　二十有七年冬十有二月乙亥朔日有食之传曰十有一月乙亥朔日有食之

　　案周十二月即夏十月依法推步本月不入食限且无乙亥朔惟十一月则夏之九月也是月新法推得定朔在巳初一刻一十分食甚在辰初四刻内一十二分实交周度五宫二十八度二十三分在隂厯实距分八分三十四秒与气差一十六分五十三秒相减余视距八分一十九秒减两半径并数查表得食分七分六十三秒月朔则以传所载为是

　　汉景帝中三年甲午嵗九月戊戌晦日食几尽

　　今以法考之是日定朔依本地算在午初一刻○分四十六秒日实引一十一宫○一度三十七分三十八秒月实引四宫一十四度四十九分四十八秒太阳寔躔大火宫一十四度二十四分二十一秒黄平限在寿星宫一十三度○七分初东西差二十二分四十二秒次东西差三十○分四十八秒应减一时○五分一十四秒为巳正初刻一十○分三十二秒食甚因得实交周○宫○九度○八分五十八秒太隂实距黄道北四十七分二十四秒改视距九分二十四秒应食七分四十余秒则是十月戊戌日日食而汉厯误推为晦何也

　　汉成帝河平元年癸巳嵗四月己亥晦日食不尽如钩刘向云日蚤食时从西北亏起

　　今以法考之是日乃五月己亥朔非四月晦也日实引六宫○九度一十九分二十一秒月实引六宫二十二度一十七分三十八秒本地定朔在巳正二刻○九分四十四秒太阳实躔实沈宫二十四度一十八分四十七秒因得初东西差一十六分五十四秒次东西差二十二分四十三秒为巳初三刻○四分二十一秒食甚太阴实距黄道北一十六分四十七秒内减气差一十四分二十六秒为视距二分二十一秒应九分半有竒所云日食不尽如钩脗与法合及先一时查表得东西差三十五分二十一秒月行分三十二分一十六秒视行一十九分三十八秒应辰正初刻一十一分初亏正刘向所谓蚤食时也夫上下千百年而分数时刻一一不爽如此则此日之推步为何如哉

　　汉安帝延光四年乙丑嵗三月戊午朔日食陇西酒泉朔方各以状上史官不觉

　　今以法考之是日定朔依本地算未正二刻○三分日实引四宫一十度三十六分月实引三宫○五度二十七分太阳实躔降娄宫二十九度○九分初东西差五十二分一十二秒次东西差五十六分四十一秒因得加时一时五十三分食甚在申正一刻一十分此时实交周○宫○六度二十三分即太阴实距北三十二分五十秒气差一十二分五十二秒因实距改为视距度一十九分五十八秒应得食分三分八十四秒夫时在申正已非夜食可比食及三分亦不得借口不救三方各以状上而史官不觉汉之厯法可知矣毎读两汉前后史误朔为晦至差一二日当食失推郡县以闻者屡屡汉人又安得为知厯哉

　　陈宣帝太建八年即周建徳五年齐后主武平七年丙申嵗周书六月戊申朔日食齐载六月戊申朔太阳初亏刘孝孙言食于卯时张孟賔言食于申时郑元伟董峻言食于辰时宋景业言食于巳时至日食乃于卯申之间陈无

　　今以法考之是日日实引六宫二十九度一十二分三十三秒月实引五宫二十一度二十二分二十四秒太阳实躔鹑首宫二十一度○五分案陈都金陵【今应天府】定朔在辰初二刻○八分三十三秒次黄平象限在大梁宫三度○九分次东西差五十四分二十七秒应减一时三十六分○九秒为卯正初刻○二分二十四秒食甚实交周五宫二十三度五十三分一十八秒太隂实距三十一分四十四秒内减南北差二十一分一十二秒为视距分十分三十二秒应食七分一十六秒夫食及七分而不载食陈厯之踈可知甚于卯正应亏于卯初之先齐人之言卯者为近而言辰者逺言巳者则愈逺矣

　　隋文帝开皇十四年甲寅嵗七月朔日食

　　案刘晖驳张胄大业厯曰是日依厯时加巳上食食十五分之十二半强至未后三刻日乃食亏起西北食半许入云不见食顷暂见犹未复生因即云障今以法依西安府考之是日癸巳朔申初二刻一十二分食甚未正三刻内一十三分初亏查实交周五宫二十四度四十五分实距分二十七分四十五秒与气差三十二分○六秒相减余视距四分二十一秒得并径减距余数二十八分应见食九分三十五秒与刘晖未后三刻日乃食少顷犹未复生之语最相符合

　　唐开元十三年乙丑嵗天正南至东封礼毕【是年封防山】还次梁宋史官言十二月庚戌朔日当食帝乃彻膳素服以俟卒不食大衍推是月入交二度弱当食十五分之十三而阳光自若纎毫无变虽术乖谬当不至此今以法考之是日定朔申正初刻○三分太阳在星纪宫二十一度三十八分二十八秒宻求食甚时刻距黄平限九十八度则太阳已西入地平下矣虽实交周度约在○宫○七度二十九分应得有食但求初亏度限又与升度相距八十六度地平已近且日光闪烁毎毎先食而后见谓之纎毫无变宜也惜当日厯官见不及此徒留彻膳素服一案以来后世之指耳

　　宋太祖干德三年乙丑嵗二月壬寅朔日食騐天不食议者俱指为当食不食日度失行

　　今以法考之是日定朔巳正三刻一十二分二十九秒本地真时差五分五十四秒视距分二十二分四十二秒并径减距得八分四十秒食止二分五十四秒想当日厯官或推时太蚤至期不騐遂谓不食一当食时又或片云掩蔽而所食无几倐忽已过误而不觉耳且食不及三分不救与不食同是未可知特一拈破

　　宋真宗大中祥符七年甲寅嵗十二月癸丑朔日食验天不食纲目书司天监奏日食不应羣臣表贺

　　是日壬子推得平望一十七时四十一分二十六秒月实距日三度三十九分四十九秒其时为加应加七时一十二分四十五秒因太阳躔星纪宫八度三十八分一十九秒复减三分○五秒共得二十四时五十一分○六秒进一日为癸丑定朔在子正三刻○六分○六秒则食在夜误推在昼司天氏之过也乃不罪推步者而輙纷纷称贺宋人之欺罔也甚矣

　　宋仁宗景佑三年丙子岁四月己酉朔日食殿中丞王立言是日日食二分半之不食纲目无

　　依法推得是日定朔辰初一刻○三分三十八秒太阳实躔大梁宫一十四度○四分一十二秒宻求九十度限在娵訾五度五十三分距天顶四十七度○三分交角余度四十度五十一分得南北差四十二分一十二秒虽实交周在○宫一度五分三十八秒太阴实距五分四十二秒但气差数大改视距分为三十六分三十秒两半径并实无此数又安得有食分可见乎日食二分半之説误矣之不食是

　　宋庆厯四年甲申嵗十一月戊申朔日当食不食纲目无依法推得是月戊午朔误推戊申朔其日定朔酉正一刻○三分三十七秒太阳实躔析木六度二十三分四十七秒九十度限在娵訾二十五度五十五分相距一百○九度三十一分其为夜食无疑矣纲目删之是也又安所得当食不食哉

　　宋神宗元丰元年戊午嵗六月癸卯朔太史言日当食验之不食议者云是日卯时日食史云验之不食而纲目载食想当时原食也

　　今以法考之是日在辰初初刻一十一分四十一秒太阳实躔鹑首二十四度三十一分五十秒因宻求视防黄平限在大梁二度二十六分相距八十二度○六分得气差二十二分○六秒虽食甚应卯初三刻一十二分二十五秒而实交周五宫一十六度四十九分二十七秒距分减去气差尚余视距四十四分五十二秒其验之不食宜矣又安所谓当时原食哉

　　宋哲宗绍圣二年乙亥岁二月丁卯朔太史言日当食验之不食

　　今以法考之是日定朔寅正二刻一十二分○六秒太阳实躔娵訾二十四度○一分二十七秒查黄平限在大火宫二十三度一十六分与太阳相距甚逺其为夜食无疑矣误推在昼司厯过也

　　宋徽宗崇宁五年丙戌嵗七月朔日当食不亏

　　今以法考之是日定朔在午正初刻○三分二十秒太阳实躔度在鹑火宫一十四度○四分四十六秒次度限在本宫七度五十一分距天顶一十六度一十五分交角余度一十九度二十七分气差一十六分五十一秒实交周○宫○九度三十三分五十一秒距分四十九分三十一秒减气差一十六分五十一秒余视距三十一分四十秒减两半径并数实余二十八秒应不见食其不亏宜也有谓是日史不载而纲目有之想当时日官误推不食既而见其食则讳而削之未可知也亦独何哉至本年十二月戊午朔原不入食限应不食

　　南宋髙宗绍兴三十一年即金正隆六年辛巳嵗正月甲戌朔日食太史言日当食而不食帝不受朝金无以法考之是日定朔辰初一刻○一分五十秒太阳躔娵訾一十五度一十二分三十六秒黄平限在析木一十三度五十五分地平上无髙弧已非在昼且实交周六宫一十九度不入食限不应食金人无之是也帝不受朝厯官当受过矣

　　宋孝宗乾道三年即金大定七年丁亥嵗金书四月戊辰朔日食宋无金主避正殿减膳伐皷应天门内百官各于本司庭立明复乃止

　　依法推得是日定朔未初一刻○五分太阳实躔大梁○七度○四分四十一秒交角余度三十九度三十分气差二十分三十秒求得时差四十四分三十八秒为未正初刻○四分三十九秒食甚实交周○宫○七度三十分五十七秒太阴实距三十八分五十八秒因在黄道北改为视距一十八分二十八秒得食分四分四十秒夫食在日中已非夜食不书者比见食四分四十秒又非三分以下不救之类而乃当食失推致令河北独专其美何哉富弼曰万一契丹行之岂不为朝廷羞其即此日之谓也

　　宋宁宗嘉泰二年即金太和二年壬戌嵗五月甲辰朔日食太史言午正食甚草泽赵大猷言午初三刻日食三分验之午初一刻起未初刻复如大猷言

　　今以法考之是日定朔午初二刻○七分三十五秒太阳躔度在实沈宫八度○二分东西差四分一十五秒气差八分应午初二刻食甚实交周一十一宫二十六度四十九分共得视距二十四分四十八秒应见食二分三十秒与大猷所推较亲

　　明隆庆六年六月乙卯朔日食防官得初亏卯正三刻复圆巳初三刻约食有八分大统推得见食八分二十一秒初亏卯初二刻食甚辰初初刻复圎辰正二刻今以法考之是日定朔巳初一刻一十四分太阳实躔鹑首二十七度○四分三十九秒黄平限在实沈九度二十一分距天顶一十八度一十九分太阳髙差四十五分五十三秒交角余度六十五度○八分得东西差三十九分二十一秒食在东应减时差一时二十七分为辰正初刻○一分五十八秒食甚实交周○宫○四度一十一秒太隂实距二十分四十七秒内减气差一十八分一十八秒余视距度二分二十九秒减两半径并数得二十八分约食九分余复求得太阳距黄平限六十三度一十二分日食月行分三十分四十一秒视行二十三分○八秒应减一时一十九分三十三秒为卯正三刻内初亏脗与测合再求九十度限在实沈一十七度三十八分视行二十三分二十○秒应加一时一十七分四十四秒为巳初二刻内复圎与所测较亲若大统则初亏先天五刻复圎亦先天五刻矣

　　万厯三年乙亥岁四月初一日己巳朔日食防官得初亏未初二刻复圎申初三刻约食有六分余大统报初亏未初一刻食甚未正一刻复圎申初二刻见食六分六十秒

　　今以法考之是日太阳实引四宫二十一度四十九分一十八秒太隂实引五宫○四度五十四分三十二秒定朔未初一刻○四分四十三秒太阳实躔大梁二十八度二十二分一十四秒黄平限在实沈二十五度五十一分距天顶一十六度三十三分髙下差三十一分五十三秒东西差二十六分四十八秒气差一十七分二十四秒应未正一刻○一分二十四秒食甚实交周○宫○一度二十七分一十一秒视距分九分五十秒应食七分二十八秒减一时得黄平限在实沈一十八度一十六分东西差一十九分一十八秒应未初一刻一十分一十九秒初亏实与测合惟复圎则在申初一刻○分二十五秒乃台官谓得申初三刻恐食甚既在未正一刻而亏复间当不悬逺至此

　　万厯十一年癸未嵗十一月初一日己卯朔日食防官得初亏午初三刻食甚未初二刻复圎未正二刻约食九分余大统推得初亏午初二刻食甚未初初刻复圆未正二刻食九分六十七秒

　　今以法考之是日太阳实引一十一宫一十六度四十四分二十七秒太隂实引○宫○七度三十八分一十七秒定朔午正二刻○九分四十秒太阳寔躔析木二十一度四十二分○七秒度限在星纪四度四十分距天顶六十三度二十八分髙差五十三分五十五秒东西差六分○一秒气差五十三分三十四秒食在限西应加二十一分三十五秒为未初初刻○一分一十五秒食甚实交周○宫一十度○九分四十五秒得视距度一分应食九分三十一秒脗与测合其初亏则在午初二刻○七分○七秒与测较亲复圎为未正三刻○一分似与测逺矣

　　万厯二十二年甲午嵗四月初一日己酉朔日食台官得初亏巳初四刻食甚巳正四刻复圎午初四刻约食三分余大统推得初亏巳初三刻食甚巳正三刻复圎午初三刻食三分九十一秒

　　今以法考之是日太阳实引四宫二十一度五十二分一十五秒太隂实引三宫一十四度二十八分○八秒定朔午初初刻○八分三十七秒太阳实躔大梁二十八度四十分二十四秒次度限在本宫二十一度○八分距天顶二十二度五十二分得髙差二十三分四十七秒东西差七分气差二十二分三十四秒应巳正四刻内食甚与所测合实交周○宫○八度三十六分○一秒太隂视距度二十一分四十秒应食三分一十八秒与测宻合再减一时度限在大梁八度一十二分髙差三十三分二十四秒东西差一十九分三十秒应巳初三刻内初亏加一时度限在寔沈一度四十三分髙差二十分一十九秒东西差二分四十二秒其复圎时刻似与所测较远

　　万厯二十四年丙申嵗閠八月初一日乙丑朔日食台官得初亏巳正二刻食甚午初四刻复圆午正四刻约食八分余大统推得初亏巳正三刻食甚午正初刻复圎未初一刻食九分八十六秒

　　今以法考之是日太阳实引八宫二十五度三十六分○四秒太隂实引四宫○八度四十一分五十四秒定朔午正初刻○四分三十三秒太阳实躔鹑尾二十九度○九分三十三秒次黄平限在本宫六度二十六分距天顶三十三度四十四分高差三十八分二十六秒交角余度二十九度二十分东西差一十八分一十八秒气差三十三分一十二秒应午初二刻内食甚实交周五宫二十四度○八分○三秒改视距度二分四十四秒应食九分四十六秒与大统算合减一时得度限在鹑尾七度○分东西差一十六分三十九秒应午正三刻内初亏加之度限在寿星二度五十五分东西差二分四十九秒求得视行一十分四十七秒应午正四刻复圎与测宻合

　　万厯三十一年癸卯嵗四月初一日丁亥朔日食台官得见食八分余初亏辰初二刻食甚辰正三刻复圎巳初三刻依大统算初亏食甚皆先天三刻复圎先天一刻余

　　今以法考之是日太阳实引四宫一十二度三十七分太隂实引二宫二十五度二十四分定朔巳初一刻外○六分实日躔大梁宫九度四十七分以次时差得减时四十七分应辰正三刻内○四分食甚查表得日食月行分三十一分二十五秒以食甚前视行推得一时一刻○二分应辰初二刻内○二分初亏又以食甚后视行推得一时一十分应巳初三刻内一十四分复圎俱与测合再查实交周五宫二十二度五十五分实距分三十六分五十秒内减气差三十四分二十八秒余二分二十二秒为两半径所减余数查表得食八分八十秒大统推九分六十二秒似未合天

　　万厯三十五年丁未嵗二月初一日甲午朔日食厯官推得初亏酉初三刻至日入未见亏食

　　今以法考之是日太阳实躔娵訾宫七度三十二分顺天府昼长四十四刻日入酉初二刻末虽定朔应申正二刻○七分然时差近地平最大以加时得食甚酉正一刻○九分初亏酉初一刻一十分此时日虽未入相去无几而阳光闪烁微秒难窥谓之不见亏食宜也

　　万厯三十八年庚戌嵗十一月初一日壬寅朔日食大统推得初亏未正一刻食甚申初三刻复圎酉初初刻台官实测得初亏未正三刻食甚申正初刻至申正四刻日巳入未见复圎

　　今以法考之是日太阳实引一十一宫一十七度五十六分太隂实引一十一宫一十九度四十一分定朔在未正三刻○四分实日躔析木宫二十三度一十六分求时差得一时二十分应加在申正初刻○九分食甚因以太隂一时视行求得一时一十三分应未正三刻一十一分初亏俱与所测亲其复圎距分与初亏同应酉初一刻○九分查应天府是日日入申正四刻若顺天则在申正二刻○五分是复圎时日巳入三刻有竒不见复圎是也

　　万厯四十五年七月初一日癸亥朔日食大统推酉正二刻日未入见食八十九秒候至其时日体全明不亏今以法考之是日太阳实引七宫○四度一十六分太隂实引一十宫○五度四十分定朔在戌初初刻○四分即日入后○一分矣实日躔鹑火宫○九度○分半昼为二十八刻○三分求时差得太阳距黄平限九十度三十分则最大时差二十九分四十一秒气差至满一度依时差得加一时○二分应戌正初刻○六分日入盖已久矣求初亏则先一时算得时差三十二分一十二秒以太隂视行三十一分二十三秒推得五十分与食甚相减应戌初一刻○一分则日入巳一十三分何能见食八十余秒哉

　　天启元年辛酉嵗四月初一日壬申朔日食大统推得见食四分初亏申正三刻食甚酉正初刻复圎戌初初刻日已入未见复八十秒台官实测得初亏酉初一刻复圆在天钦天监罚俸三月

　　今以法考之是日太阳实引四宫二十三度一十一分太隂实引二宫二十二度一十三分定朔在申正一刻一十四分实日躔实沈宫○度一十七分算得次加时一时二刻○九分应酉正初刻○八分食甚酉初初刻○八分有竒初亏俱宻与天合复于食甚后一时求得太阳距黄平限八十九度一十八分近于地平推得时差一时○二分应戌初初刻一十分复圎查表得是日日入戌初初刻一十二分即复圎后已二分因无帯食分

　　月食

　　宋仁宗嘉祐八年癸卯嵗十月癸未望月食得卯七刻食甚授时推辰初刻食甚大明亦然

　　今以法考之是日太阳实引一十宫二十四度二十一分四十五秒太隂实引二宫二十五度三十四分四十九秒实交周六宫○一度一十九分四十五秒实望六时四十九分○五秒加视分九分四十三秒汴京距顺天西一千里应减一刻在卯正三刻食甚谓卯七刻者政与法宻合若授时大明所推则又后天二刻矣至是日得食一十七分二十五秒寅正二刻一十二分初亏卯初三刻○二分四十一秒食旣辰初二刻○九分五十五秒生光辰正三刻○分三十四秒复圎俱可不论

　　明天顺四年庚辰嵗闰十一月戊午望月食卯正二刻见食四分强弱之间厯官不报食

　　今依新法考之是日太阳实引○宫一十一度三十二分一十二秒太隂实引五宫二十四度一十九分○三秒实交周一十一宫二十六度二十二分五十五秒月食一十二分四十五秒实望七时四十九分四十八秒内减视分五分二十五秒应辰初二刻一十四分二十三秒食甚得初亏距分一时五十二分四十秒应卯初三刻○六分四十三秒初亏查髙弧表得本日日出辰初一刻○七分则日未出月已入地平下其见食仅四分强弱之间是也若大统谓是日初亏辰初一刻日出卯正四刻误推在昼故不报厯法踈宻于此可见一斑矣

　　万厯五年丁丑嵗闰八月十六日庚子晓望月食厯官推得卯初四刻初亏至其时月体全明未见亏食今以法考之是日太阳实引九宫一十度○四分三十八秒太隂实引○宫一十一度二十七分一十一秒实交周○宫○三度五十四分五十六秒应食一十二分四十○秒实望八时○一分四十二秒加视分四分一十九秒应辰正初刻○六分○一秒食甚得初亏距分一时五十七分四十六秒应卯正初刻○八分一十五秒初亏查髙弧表是日日出卯正一刻则初亏时政日将出时安有分秒可见哉其报见食一分三十三秒者误矣

　　万厯十七年己丑岁十二月十五日戊子夜望月食厯官报子初二刻食甚至其时月体全明未见亏食今以法考之是日太阳实引○宫二十四度○七分四十三秒太隂实引一十一宫○五度三十分一十六秒实交周一十一宫一十六度四十八分三十三秒距黄道南一度○八分○三秒太阴地景两半径并五十八分○三秒其不及距分者尚有十分又安所得食分哉谓之月体全明政与法宻合

　　万厯二十六年戊戌嵗七月戊戌夜望月食厯官报食九分一十二秒至期台官实测得十分余为食既今以法考之是日得实交周一十一宫二十五度二十一分查表实距南二十四分并两半径减之余四十分三十二秒此时太隂自行过最庳一十一度其全径为三十四分四十秒入景最深应食一十一分五十秒大统以两半径恒如一不知其变大是以不推食既也

　　万厯二十九年辛丑嵗五月壬子夜望月食台官实测得见食四分余食甚丑初一刻复圎丑正三刻而初亏止前食甚三刻

　　今以法考之是夜得平望亥初一刻○二分加时一十五刻○二分为实望太阳躔实沈宫二十四度更加升度时差四分应丑初一刻内○八分食甚脗与测合此时太隂与最髙相近实交周一十一宫二十一度○六分实距南四十六分与两半径并相减余一十三分查表得食四分○七秒凖与天合其初亏距分推得五刻○六分与食甚相减应子初四刻内○二分初亏加之应丑正三刻内○九分复圎总计食分食甚复圎新法俱与测合惟初亏不合者此乃漏刻科误报之罪何也盖月食太隂入景自初亏至食甚与出景自食甚至复圎两时俱相等未有后距六刻而前仅三刻之理考右明前后月食不下数百条而时刻自相矛盾者居多甚矣台官之溺职也

　　万厯二十九年辛丑嵗十一月己酉夜望月食厯官报食七分八十一秒至期实测得八分余

　　今以法考之是日太隂自行五宫二十一度○三分得其半径为一十七分一十八秒地景半径四十六分一十九秒并之减距度三十二分三十三秒余数查表得食八分八十三秒与所测合其报七分余者盖此日太隂近最庳入景深分数应多而大统依恒定之景径推算故分数少耳至测初亏为食甚前六刻复圎为食甚后九刻者讵台官政在醉梦中耶

　　万厯三十年壬寅嵗四月丙午夜望月食台官测得初亏子正一刻食既丑初一刻大统俱先天二刻测食甚丑正一刻大统先天三刻其余俱测不精以前食甚者为八刻后食甚者为十二刻非也又识复圎为卯初一刻计总食共二十刻亦非也

　　今以法考之是日太阳实躔实沈宫一十三度四十分算得顺天府日出寅正三刻内○九分旧法依南京日出分故见复圎在日将出时遂误为卯初一刻而不知实后三刻也此时平望在卯正初刻○六分减时一十六刻○四分余数复加升度之时差六分得食甚丑正一刻内○八分以太隂实引一十一宫实距分四分查表得初亏子正一刻内○二分食既丑初一刻内一十分皆与测数合因而生光复圎可知矣又何得若是悬絶哉

　　万厯三十年壬寅嵗十月甲辰夜望月食寔测得月已出见食十分余生光酉初三刻复圎酉正二刻大统后天二刻识月出时为酉初二刻此乃应天府日入分非顺天府日入分也且依之算食旣前宜见月

　　今以法考之是日太阳实躔析木宫六度五十八分顺天见入地平为申正二刻一十二分大统推食旣申正三刻不合天也依法算得平望在本日巳正二刻加时六时一十四分更加升度时差八分应申正三刻○七分食甚日入后已十余分矣以太隂实引四宫实距分一十分查表得加五十九分为生光应酉初三刻○六分总加一时五十五分得复圎应酉正三刻○二分皆亲于测数

　　万厯三十四年丙午嵗二月乙卯夜望月食台官实测得酉正一刻月已出见食一十余分戌初一刻生光戌正一刻复圎

　　今以法考之是日太阳实躔降娄宫四度入酉正初刻○五分南北地畧同谓酉正一刻日出是但大统推食甚后天二刻依法算得平望寅正二刻○七分加时一十三时○一刻一十三分更加升度时差二分应酉正一刻内○七分食甚以太隂实引三宫实距一十五分查表得食甚时加五十五分为生光应戌初一刻内○二分总加一时五十七分为复圎应戌正一刻内○四分俱与天宻合

　　天啓六年丙寅嵗十二月十五日癸丑望月食厯官报一更一防初亏测候初亏在昼

　　今以法考之是日太阳实引一宫○四度二十分四十秒太隂实引九宫○六度四十五分五十一秒实交周一十一宫二十四度○分四十一秒月食九分一十一秒实望一十八时三十九分五十秒内减视分九分四十八秒应酉正二刻○分○二秒食甚求得初亏距分一时四十三分○五秒应申正三刻○一分五十七分初亏查表得本日日入申正三刻一十三分是初亏在日未入之前已一十一分○三秒测得在昼是也一更一防之説误矣

　　天啓七年丁卯嵗十二月十四日丁未望月食厯官报复圎辰初三刻不见复光八分四十六秒测复圎在天今以法考之是日太阳实引○宫二十三度三十九分四十四秒太隂实引七宫一十七度一十二分五十二秒实交周○宫○一度四十七分二十○秒月食一十六分一十二秒实望得五时一十分二十五秒内减视分八分三十五秒应卯初初刻○一分五十秒食甚初亏寅初初刻○七分五十四秒食既寅正初刻○一分一十九秒生光卯正初刻○二分二十一秒其复圎应在卯正三刻一十分四十六秒查髙弧表得本日日出辰初初刻一十四分则见复圎巳一刻有竒又安有所为不见复光八分四十六秒哉

　　凡十五分为一刻四刻为一小时二十四小时为一日

　　新法算书卷七十一

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法算书卷七十二　　　　　徐光启等　撰交食表卷一

　　算交食诸表法

　　交食有本表有借用表大都算交防交食分数及视径视差食既复圆诸用者为本表葢原为防食设数列表则止以算食鲜及他用也若算日躔月离及浑天仪等项诸表亦可用以算交食此为借用之表也今所论列表独交食所用余通用者各见本厯指无不详明其法厯元后二百恒年五行表【算法】

　　二百恒年五行表者太阳及太隂当此时或为自相较所行或与定处较所行宫度分也何谓自相较乃首朔为每年厯元后第一平朔而余行皆以随合之为准【厯元为冬至后第一子时昔朔即本时之后第一朔】何谓与定处较乃日月引数彼为太阳当时从最庳自行此为太隂当时从最髙亦自行及太阳经度乃其从冬至平行而交周度即太隂当时所过罗防宫度也欲算首朔则恒于原根或加太隂年或减通闰法【见交食厯指二卷新厯平歳三百六十五日减十二朔实余数为通闰因与大统畧异】

　　假如崇祯元年戊辰首朔为一十四日加太隂年即十二朔实得日数三百六十九于太阳平歳相减只余四日若复加太隂年日数少太阳平歳无可减故与己巳之根四日等数加一十三朔实而总数乃能减之至壬申年为闰则总数三百六十六日皆全减去是以其根无日止得十六时等数也用减法则戊辰年通闰可减而次己巳年不可复减因根数少故必先加一朔实而后减也至壬申年因闰一日故前数宜减一十一日而无余日也

　　算太阳太隂引数及交周与太阳经度表法皆相同或以加则用其十二朔实之行【见交食厯指二卷】或以减则全周三百六十度减太阳十二朔实之自行余数【一十○度四十三分五十二秒】为本年之根所减得次年之根但首朔有加朔实之处此必用全周减十三朔实自行之余数【为一十一宫一十一度三十七分三十一秒】与前根相减乃得次年之根耳假如戊辰年有根为九度二十一分二十二秒因首朔加太隂年十二朔实此依加法亦加是年间太阳及太隂之自行交周及太阳之平行其太阳自行总数为一十一宫二十八度三十七分三十○秒即己巳次年之根也又本年首朔因加十三月此亦加十三月间太阳自行得一十六度五十九分五十九秒为庚午之根至壬申宜闰虽首朔多减一日此不须论也依减法戊辰年论太阳引数减一十○度等数而次年减一十一宫等数是因本己巳年首朔根借一朔实故余皆仿此

　　用法

　　表首行书首朔者天正冬至后第一子正后之首平朔也以求日月平防次太阳太隂引数者平朔日所当日月之自行度也以求均度而推定朔次交周度者以求距度次太阳经度者以求视时此四行皆平行皆与首平朔日时相当列表每年最上书纪年向下五行所列时日宫度分秒皆从本年天正冬至后第一子正起算最下书宿书纪日皆用数为本年天正冬至后第一日所得宿及干支也推交食上得年中得首平朔及同时四种平行下得宿满二十八去之余为所用又得日满六【十去之余为所用】

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>

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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>

　　厯元前总甲子表【算法】

　　前表纪首朔即厯元后第一经朔此则不然乃用以冬至相近者为首朔不拘在先与后也试以太阳经度对六十六甲子首朔得在冬至及厯元之中盖太阳经行只○一分○五秒化为时得其过冬至止二十六分首朔减二十六分余三时一十八分为冬至在本戊午日之时与首朔先后差二十六分矣算表先求六十年五行之总数葢首朔以通闰为第一年之根恒以加通闰得次年及后年之诸根满朔实减之每四年闰一日余四行用太隂年间本行

　　为首根而复加之恒如此得诸年之根遇首朔减一朔实之处此加一朔实间之行而不论闰日六十年总行已有定法【两甲子相随之数相减余数即六十年之行数表中查之以此为恒法】则上推首朔恒用加推余行恒用减满一朔实彼此共去之【俱交食厯指二卷】用法

　　总甲子者第一甲子为唐尧八十一年第六十六甲子则天启四年也凡欲上推往古则用此表先查所求年在第几甲子次查本年为本纪中第几零年余法与厯元后二百恒年表同

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>

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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>

　　六十零年散用五行表　【算法】

　　朔实减通闰余数【一十八日二十一时三十二分四十一秒】为太隂一太阳平歳所欠以满十三朔实者或十三朔实减太阳平歳所余与上同故本数能定次年之首朔即表中起首之数也第太阳平歳必余有数时渐满一日为闰日乃朔实内所先减去得一十七日等时为首数以后凡隔四年多减一日若余数少于通闰无可减必借加一朔实然后可减矣太阳引数等行恒以加十二朔实之行为表其首数必应合与日数即十三朔实先除全周之行也日数凡加朔实而减者亦加当时之行以更加十二朔实之行满周恒除之故不用闰日也

　　用法与厯元后二百恒年表同

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>

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　　十三月表用法

　　十三月表不论首朔以朔实为主每以一朔实加首朔即得次朔如是逓加可求本年诸平朔也凡五表第一上纪日时分秒右首行纪月数次各行为朔实每加一朔实则加一月如三月则朔实八十八日有奇也后四表上纪宫度分秒右首行皆纪月次各行皆本行之宫度分与所求各月相当之数下纪望策以加首朔则得首平望次依本月数先加朔实次加一望策得本年诸平望余四表下皆列本望策加法同

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　　加减度表　【算法】

　　加减度表有太阳均度从最庳起为初宫初度有太隂均度从其本轮最高而起最高或最庳左右之数虽皆同【盈初与缩末盈末与缩初】上下相对之数反异【缩初与盈初缩末与盈末】故表中以两曜本轮之初度对末度从初宫起顺数从六宫起逆数则表中于上下所应数无不合矣欲算表先求自行为引数则太阳以本圏半径及两心之差【夫本圏心与地中心】太隂以两轮【小轮及次轮】及本轮之半径皆依三角形可得第本表及次四行时表皆为借用之表必查本厯指乃得其详法而算之

　　用法

　　加减度表以太阳太隂之引数查均度以均度或相加或相减于平行得二曜实经度其首行所书太阳太隂各加减者顺加逆则减顺减逆则加故各项下俱有加减而上则总以顺逆各贯下也次行是其各度分秒上下各一横行上为顺数下为逆数所记宫度者乃太阳太隂公用之引数湏照各宫顺逆字号顺逆查也各直行所当太阳太隂或加或减者均度也两引数相较有

　　【分秒两均度相较则有较分以其较分】

　　【依中比例法可得】

　　【细引数之细均度】

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　　四行时表用法

　　平朔望或在定朔望之前或在其后若在前则以所差不及时刻加于平而得定若在后则以所差过时刻减于平而得定也四行表者皆所用以加减前后时刻也上书时自一至六十亦可当分亦可当秒其法先查时次查分查秒依表得数总计之为所求若无时止有分秒其法同也四行第一数为月距日度分秒第二为太隂引数第三为交周度第四数为太阳平行亦为其自行一日之间二行所差甚少故也表右行度数亦当分

　　亦当秒以时查得度以分得分以秒得秒惟太阳行迟数时间无过分秒故不列度数

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>

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　　加减时表　【算法】

　　算加减时表必较太阳所躔宫度与赤道升度【可以用升度表】两度惟在二分二至则相同此外渐有差数自二分右行黄道度多升度少自二至亦右行升度反多躔度为少其最差之数在分至折中略得二度二十九分法以两道升度之差化为时分所得最差逺之处止九分假如降娄一十度对赤道升有九度一十一分○二秒差四十八分五十八秒化为时得三分一十六秒因在春分后夏至前躔度大过升度故用加若在夏至后躔度不及升度时分则用减如鹑首宫三十度对升度一百二十二度一十一分五十三秒所过躔度得二度等零数化时为八分四十七秒表中号为减以平时求定时必依表上下所书加减之号若以定时反求平时则易加为减易减为加如测太阳在降娄宫十度为正午时乃躔升两度差五时三分一十六秒应减得太阳在本宫度之平时

　　用法

　　求视时以太阳之实度本表查分秒得太阳所躔宫在上顺数用所求分秒依号加于实时得视时若太阳所躔宫在下逆数用所求分秒依号减于实时得视时左右书太阳所躔实度横入表至太阳所躔宫下相值者即所求数

　　加减时表上半

　　【加减时表下半】

　　十二宫距宿钤

　　此出恒星厯指定各宿距星躔度皆于崇祯元年应合故去数年相逺求食在何宿何度以得其在分秒之内必先或加或减是中积年恒星之本行则可得也【每年五十一秒以后推算宜加以前反减】

　　用法

　　以太隂当食时所躔之度减前少宿度者余度为日月食在本宿黄经度如太隂在大火宫二十四度三十三分二十四秒因氐宿距星躔本宫九度五十四分此乃前少数为太隂躔度所减余一十四度三十九分二十四秒即氐宿太隂食时所躔之度再设太隂食时在大火宫正二度则前少数为寿星宫二十九度一十四分亢宿距星所居故大火宫二度借前一宫而减二十九度一十四分余二度四十六分乃本亢宿太隂食时所躔之度也

　　十二宫距宿钤【依黄道】

　　宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分星纪斗　　　○五○三　鹑首井　　　○○○八牛　　　二八五四　鹑火鬼　　　○○三三

　　枵女　　　○六三五　　　柳　　　○五○九虚　　　一八一四　　　星　　　二二○九危　　　二八一三　鹑尾张　　　○○三二

　　娵訾室　　　一八二○　　　翼　　　一八三六降娄壁　　　○四○一　寿星轸　　　○五三六宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分降娄奎　　　一七一七　寿星角　　　一八三九娄　　　二八四六　　　亢　　　二九一四

　　大梁胃　　　一一四六　大火氐　　　○九五四昴　　　二四四七　　　房　　　二七四八

　　实沈毕　　　○三一六　析木心　　　○二三四参　　　一七一四　　　尾　　　一○○七觜　　　一八三五　　　箕　　　二五四三

　　十二宫距宿钤【依赤道】

　　宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分星纪斗　　　○五三九　鹑首井　　　○○○七枵牛　　　○○○三　鹑火鬼　　　○二五六女　　　○六五三　　　柳　　　○五一七虚　　　一八○○　　　星　　　一七二一危　　　二六四一　　　张　　　二三○九

　　娵訾室　　　一一三四　鹑尾翼　　　一○二八壁　　　二八三四　　　轸　　　二九○六

　　宫次宿距星在其度　分　宫次宿距星在其度　分降娄奎　　　○九二五　寿星角　　　一六二六娄　　　二三三二　　　亢　　　二八一○

　　大梁胃　　　○五三六　大火氐　　　○七二九昴　　　二一二一　　　房　　　二四一○

　　实沈毕　　　○一四五　　　心　　　二九三八参　　　一八一九　析木尾　　　○五四七觜　　　一八四三　　　箕　　　二五○五

　　升度表用法

　　日月皆依黄道行故止以当食所躔度径求相应宿黄经度依前表用法则可若欲以日月黄道度求相应宿赤经度必先定黄赤二道相望同升之度分令日月与星皆同归一道后依前表用法以日月赤经求宿赤经则可矣用表必日食时以太阳实度月食时以太隂实度查初行本宫下方内所对度分乃为日月当食时赤经度分即以之查前表距宿赤道度焉推算表法具在测量全义中

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十二>

　　新法算书卷七十二

　　按右系太阴距度表底本前阙一页

　　视半径表　【算法】

　　太阳及太隂距地最逺或最近得何视径生何地景前已详之厯指无庸赘兹特就逺近中依各引数求所当视径以列表法本轮全径与其髙庳差【髙庳谓远近】若每度之矢与相当之差所得数半之加于小减于大乃所得即其视半径也假如太阳行最髙距地逺其视径为三十分行最庳距地近得视径有三十一分差止一分细算一分当化为六十秒欲求太阳距最髙或最庳各六十度应作何视径因六十度之矢为五○○○○以乗六十秒得三○○○○○○除二万【全径也】余一十五秒半之得七秒以加七秒于太阳最小视半径作一十五分○七秒查表中所列引数得二宫○度【此距最髙六十度】以减于太阳最大视半径余一十五分二十一秒查表得八宫○度【此距最庳六十度】余算皆如是至若太隂距地不用表则惟推其均数时本三角形多设一三率法算第三邉即太隂距地线也

　　用法

　　求交食分必以日月地景之各半径而太阳行最髙最庳其距地逺近不等故地景之大小亦不等表中先得地景向下查差数为地景所减月距地数则推步日食求视差所用也表上下书日月引数上顺数下逆数以日引数查太阳半径及地景差数以月引数查太隂地景各半径及月距地数

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>

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　　太隂实行表　【算法】

　　太隂一小时有自行有均度有距日行必以自行之均度或加或减于距日行乃始得太隂自最髙起在某宫某度一小时实行也盖太隂自行一小时得三十二分四十○秒而均度则因所距髙庳逺近恒不一故以三十二分四十○秒随引数求而加减之何也自最髙均度渐长至髙庳折中又渐消必以自行分所得数于均度长处与距日行相减消处相加即得太隂某宫某度实行矣假如以○宫初度表得太隂均度○五分○四秒以比例算三十二分四十秒得○二分四十六秒于太隂距日一小时行度相减余二十七分四十三秒即太隂在○宫初度实行自一宫初度得○二分二十五秒犹减余二十八分○四秒至二宫只四秒亦减余三十分二十五秒过此至四宫均度渐少故所得○一分二十四秒应加于太隂距日行得三十一分五十二秒余宫度算法俱同此

　　用法

　　求太隂初食至食甚各时刻必以其本时行度变为时刻但太隂自行或疾或迟时时不同故表中查与食甚相近一小时之实行用三率法推总行时左右书宫上下书度皆太隂自行宫度以宫横行以度直行得相遇分数为当时一小时之实行

　　太隂实行表

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　　食分表　【算法】

　　查前表得太隂及地景各视半径并之总数减太隂距度余为实数以一十相乗【一十太隂全径平分也】而太隂视径即法数也故依本表设最大视径为三十四分四十○秒最小者为三十○分自大至小【表中每隔一十秒】各为法数余数自○一至六十四【两半径并最大数也】各为实数亦以一十乗以径数除乃列表苐日食则以日月两半径并减太隂视距度余数为实而太阳本视径为法算亦与前同用法

　　表上横行自三十四分四十○秒渐减至三十○分者乃太隂全径最大最小之限直下入表第二右行者乃太隂地景两半径内减距度所余数也横至两数相值即为所求之月食分秒若日食则上横行分秒者当太阳全径而右行则太阳太隂两半径内减距度所余之数查表法同前

　　两半径并减距度余数

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　　两半径并减距度余数

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　　两半径并减距度余数

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　　两半径并减距度余数

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　　两半径并减距度余数

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　　月食时分表　【算法】

　　月食时分者自初亏至食甚又自食既至食甚总之以食甚为主各以倍得先后时分法于太隂距度每分之方数减太隂引数所应得月景各半径并之之方数开方得根为太隂自初亏至食甚行度依本引数用其实行求相当之时刻即初亏至食甚时也求食既之时分亦然盖月景各半径相减所余数之方数减太隂距度毎分之方数求其根即太隂自甚既所行度而以本实行所化为时假如设太隂距度一十三分【凡大数化为秒】其方数六○八四○○依引数○宫初度其半径及景之半径并为五十八分一十五秒【查径有本视径表】得方数一二二一五○二五以两方数相减所余数开方得其根三四○六即五十六分四十六秒乃太隂自初亏至食甚行度又以本引数初度查本表得其实行二十七分四十三秒因推得八刻○二分五十三秒乃其入景至食甚之时今求食既以后之时则仍以前引数用两半径相减余二十七分四十五秒其方数为二七七二二二五减前十三距度分之方数以求根得一四七一为太隂所行度复以太隂亦于前实行推应得时数为五十三分○四秒此止以十三分距度推第一行对引数初宫食甚及食既时若余宫尚有六行皆以十三分距度算须用每宫视半径及太隂一时实行因不能相同故所推食甚食既时亦有异至以余距度分推算食时俱同此法第此特设太阳行最髙引数所显地半景者若太阳去最髙则地景略有变必先考定差数然后如前法算又太阳离最髙其景之变不过数十秒弃之无甚大谬可不必逐宫度宻求故本表止用太阳三处所生地景之异一为最髙法具前一为最庳乃于每行对太隂引数所得景半径宜减二十八秒一为中距则地半景宜减一十七秒后亦如前法算所以分为上中下三表

　　或问算食既时须地半景求余方数与距度之方数相减而算今至何距度分可无食既与否曰太隂视半径加距度分得总数大于地半景则无食既时分若小则太隂全体入景必应食既矣假如本表以上二十七分加于太隂半径一十五分一十五秒【应第一行引数半径也】总数四十二分一十五秒尚未及此处地半景四十三分则太隂全体仍入景中又试以二十八分得总数四十三分一十五秒则知月不全入景乃如第一行无食既若第三行太隂半径一十五分四十七秒地半景四十三分四十九秒月半径加距度分二十八分总数亦四十三分四十七秒则此数以上虽无食既以下微有之又未可执一论也

　　用法

　　查表必须太阳太隂各引数及太隂距黄道度【此三行前表已取定】以太阳引数知其距最髙或最庳若干因而用上中下表若引数不正合于表首所书三限可取相近者用以太隂引数查表侧十二宫亦取相近者乃横进则知所用时分之在何行【欲细算必依比例法求两引数中之时差】复以太隂距度上下差表遇本食之横行即食甚食既时分

　　【太阳最髙限】

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　　【太阳在中距】

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　　【太阳最髙限】

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十三>

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　　新法算书卷七十三

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法筭书卷七十四　　　明　徐光启等　撰交食表卷五

　　黄道九十度表【筭法】

　　总分表为五方其第一方从白羊宫起顺书十二宫二方书时分卽以十二宫度之升度取时分盖距春分渐远时数渐多不必论北极出地度至第三方则为九十度限第四方为距子午圏第五方为距天顶各项因北极出地逐处不同欲以定度齐之必不可得故极之髙度异其数亦异今算以黄赤距度及黄道与子午圏交角因三角形内得一角一邉【见本厯指六卷】则全数与交角之余若黄道度距天顶之切线与九十度距正午之切线盖以黄经于本表查交角又于本表查其距度若经度在赤道内则以北极出地度减距度得黄经距天顶度若黄经在赤道外则其距度反加于北极出地度得其距天顶度始推得九十度限距正午卽表中第四方所列数次于本九十度距子午度加第一方所对宫度得九十度限在某宫某度分卽第三方所列数又全数与黄道度距天顶之正若交角正与九十度距天顶之正算得表中第五方所列数假如北极髙三十四度求白羊宫五度得九十度在何方【设五度当天之中在正午诸如此】夫白羊五度距赤道北有二度与极髙度相减余三十二度其正五二九九二切线六二四八七以本五度查交角表得六十六度三十四分其正九一七五二余三九七六八先求距子午度则依法算得切线二四八四八查八线表得十三度五十七分为第四方应白羊五度数以加本五度作十八度五十七分为第三方相应数又以正依法算得正四八五二○查表得二十九度○三分卽五方所应得数也若简法则冬夏两至各左右九十度距子午圏距天顶皆等故表中数亦等如金牛初度与狮子末度春分与秋分赤道内外皆如此然论九十度限则以距至节前后等两数并得三十度如双兄二十七度对限二十七度一十三分在夏至前正三度夏至后亦三度【巨三度】得对限二度四十七分前后两数相加得三十度故于两至前之数减三十卽得两至后之数可省算全周之半交

　　用法

　　以太阳实行查表第一方所列横对时分加于原得时分【论日食此为定朔】次查总时数其横对则有九十度限有距子午圏距天顶等度分皆应本时所得数如太阳在金牛宫一十○度其时为二时三十○分设原时为卯正卽一十八时【从正午起皆小时也】因加前时总得二十小时三十○秒复查表卽得卯正九十度诸度分

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十四>

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　　新法算书卷七十四

　　钦定四库全书

　　新法算书卷七十五　　　　明　徐光启等　撰交食表卷四

　　算黄道九十度表所以然

　　设浑天仪为甲丙丁戊其戊庚丁已圏当地平以丙为极即天顶甲庚已圏为黄道交地平于庚于巳半圏在地平上半在下戊丙丁圏过黄极及天顶而交黄道于甲为九十度限则甲庚甲己各为象限也乙丙辛为子午圏交黄道于乙而黄道又交赤道于壬赤道亦交子午

　　圏于癸则依本仪论九十度限所

　　距何度皆于甲乙丙三角形内求

　　算本形为直角三角形以甲为直

　　角【黄道过天顶圏此处交故】而甲乙丙角因黄

　　道在此交子午圏于本表以黄经

　　宜查乙丙边因赤道距天顶依极髙恒有定故查距度表得交子午圏之黄道度距赤道若干本距度以加或减于赤道距天顶度必得黄道交度距天顶之弧即三角形内乙丙边也【依本仪黄道交度距赤道之弧为乙癸在　赤道内故丙癸赤道距天顶减乙癸余乙丙】宜求甲乙边即九十度限距正午弧【表中第四方】及甲丙边即本限距天顶【表中第五方】又设壬黄赤两道相交之节为春分则壬乙为降屡初度过子午圏之弧即表中第一方以加于甲乙得甲壬总弧即九十度限距春分弧故法云于九十度距子午度加第一方所对宫度作第三方即本九十度宫度分也　用法云原时加于太阳躔度所对时分然后以总时分查表得所求九十度限设太阳至子午圏为正午时依前图乙为太阳因在午无时可加而表中所对时即乙丁弧以升度求得者【乙丁弧之升度

　　在赤道上算为癸丁三度四十分得一刻三十○度得一时】余

　　所对数径为甲防及甲乙甲丙弧

　　也设太阳过正午至丁为未时或

　　不及午止巳为巳时则或加【过者加】或减【不及者减】一时于表中升度先定

　　之时何也当躔度为金牛初度在乙得乙丁弧为三十度以癸丁升度得时为七刻○七分此更无时可加躔度在丁则丁壬为三十度其升度得时为八刻加躔度之时分总得一十五刻○七分若躔度在巳以戊乙得八刻减七刻七分余八分至午则黄赤两道未及午相交而在正午者必为双鱼二十八度夫九十度限依此或进或退距午逺近不一故距顶多寡皆不等也

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>

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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>

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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十五>

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　　新法算书卷七十五

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法算书卷七十六　　　明　徐光启等　撰交食表卷五

　　南北髙弧表説

　　南北髙弧表者太阳于某地入某宫度加某时刻各地平上之髙弧度分也云某地者诸方之极出地髙下不等即同日同时而太阳出地平上之髙下不等故列表用表皆于本地先定极出地之髙次依法推之云某宫度者太阳距赤道逺近日日不等故求赤道南北纬度当先定其经度次查南北距度表得南北各纬度云时刻者太阳东升渐髙至午正而极髙后乃渐降以至西入中间各时各刻分一一不等也有极髙有纬度有时刻设此三率而得第四则太阳地平上之髙弧度分今算表随地推之难可通用其可通用者相距一度以下日髙差甚微故间度作表亦可　太阳南北纬度日行多寡不同其在春秋分时日行二十四分在冬夏二至时日行止一二分故表中不用黄道经度而用纬度【距赤道之纬】即每方首行所列赤道纬若干度是也纬度又分南北北在上南在下每方上列时刻上下各列度分则本方本时太阳出地平上之髙弧也又午正前后其距午之刻等则地平上之髙必等故一行中并列午前午后时刻

　　算法

　　推算髙弧详见测量全义兹更立一便法以列表葢午正太阳在赤道上无距度则赤道髙即太阳髙而午前午后相距之时刻必等其全数与赤道髙之正若太阳距午正之余与其在本时髙度之正设太阳去赤道内外有距度在午正距北度宜加距南度宜减此外则须另算法以太阳距赤道度于本地髙度一加一减得总数及余数两数之正并而半之将本半数于前总数或余数之正相减余为卯酉之正以查太阳距北至卯酉之髙度也次以半数之正乗太阳距午正之余【时刻化为度】总数以全数除所余数加于卯酉之正得太阳距北某时髙弧之正减于卯酉之正即得太阳距南某时髙弧之正如卯酉正大于余数则余数不能减而太阳距南某时无髙度必入地平矣若卯前酉后其正足以减除余数得其正查所值时刻即为太阳之髙弧使卯酉正较余数小无可减则太阳卯前酉后之某刻亦未有髙度也

　　假如赤道髙五十二度【北极髙三十八度】设距二十度以加于赤道髙得七十二度减于赤道髙得三十二度则两度正并而半之得七四○四九以减于前正得卯酉之正为二一○五七试以辰或申时距午度因本时正得六十以余五○○○○乘七四○四九而以全数除之余三七○二四加卯酉正二一○五七得五八○八一查三十五度三十○分为太阳本时距北二十度地平髙弧减卯酉正二一○五七余一五九六七查九度一十一分即太阳距南二十度地平髙弧又试于辰初酉初因太阳距午七十五度余二五八八二与七四○四九【前两正并半数】相乗以全数除余一九一六四较卯酉为少因不能减且反为正所减余一八九三查一度○五分是其所得髙弧凡极髙三十八度太阳距南二十度则日未出日巳入两时絶无髙度如距北二十度不但辰酉初太阳在地平上即卯初戌初亦在地平上有一度○五分矣算时须先简本时刻求太阳距午度【东与西等】查其余为表【待用之表】更依赤道髙以黄道在其内外之距度先求正葢于每一距度求每刻之髙弧又于每刻太阳距午之度求凡距赤道之髙度一一得其正则巳了若指掌矣

　　用法

　　一以时求太阳出地平髙因推地半径差及太隂之三视差法先于黄赤距表查太阳所躔宫度或南或北距赤道若干得本时太阳纬度于本地本纬度表中求本时刻【若刻前后有若干分则用中比例法】因纬度南北得其同行中或上或下度分即太阳地平上髙弧度分假如考宋仁宗天圣二年甲子五月朔日食所得实食时为巳初二刻其地则汴京北极出地三十五度有竒其时则太阳距北纬度二十三度二十○分【日躔实沈二十三度】查表得髙弧五十二度四十分

　　二以髙求时【测对食时必用此法日恒星皆同所得时皆为距子午圏时】法于本方本纬度表依南北号或上或下求测髙度分【如无同数用中比例法求差以加于近小之率】即中行中所得午前后时刻【一大时三十度一刻三度四十五分】假如崇祯四年十月辛丑朔日食初测日午正髙三十八度比时日躔大火宫一度二十分得距南一十二度用本度表中【北极出地四十度】查三十八度于本行中得时为午正一刻是本食日初时刻　论月食如天啓七年丁卯嵗十二月丁未望夜西安府【极髙三十四度二十分】月初测得大角星出东地平髙四十七度其纬在北二十一度一十三分查表因无极出地数欲细算宜用中比例法则依极出地三十六度以本星髙度查表得距午一十一刻一十三分依极髙三十四度正得星距午十二刻○七分所差九分即两极髙度之时差因极髙多二十分【依西安府算】得一分三十秒为十二刻○七分所减则于本极出地三十四度二十分以大角髙得其距午一十二刻○五分三十秒【依此算太烦终得小差当取近数免比例或求两髙度差可免复求两极髙差总以数相近者为主】今求实时【实时即太阳本行度】则太阳升度三百○二度四十二分【因在枵宫初度三十二分従春分起算】减大角升度二百○九度三十二分余九十三度一十○分化为时得六小时一十二分四十秒加星距午三时○五分三十秒得太阳距午九时一十八分一十○秒即本夜丑正三刻初脗与时合

　　太阳距赤道表

　　黄赤二道相距南北度分是为距度即赤道之纬度也春秋二分则为二道之交太阳行此无距度冬夏二至乃二道相去最逺者得二十三度三十一分三十秒日躔二分以后渐距多二至以后渐距少故表上六宫始于二分止于二至下六宫反是查表用上宫度必求于右下宫度则求于左而中方所对度分即本宫本度距赤道度分也

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十六>

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　　新法算书卷七十六

　　钦定四库全书

　　新法算书卷七十七　　明　徐光启等　撰交食表卷六

　　算髙弧所以然

　　算髙弧有法法有原必出于天上所设圏非可意为揣度也如图以甲为心作乙丙丁为子午圏乙丁为地平甲壬为赤道从地平取北极髙【设为四十度】得丁戊则余戊丙【为五十度】与壬乙赤道髙等今太阳在赤道行必从甲出地平上为卯正渐髙距甲三十度为辰距六十度为已距

　　九十度至壬为午又渐低距壬三

　　十度六十度为未为申至九十度

　　复在甲为酉正此春秋两分昼夜

　　所以等也此时求太阳每时刻得

　　何髙度法以甲壬为全数较于壬

　　庚即壬乙弧之正若较甲巳即

　　壬巳赤道弧之余【设壬巳戊圈竪立与壬已甲赤道同】与巳辛即乙癸弧之正得太阳在已时髙若干为乙癸弧所量也

　　如太阳不在春秋二分距赤道或内或外多寡恒不等则其髙度较赤道髙亦不等故距内离赤道渐逺亦渐髙若距外愈逺愈不及其髙以此时求髙几何更有一法如次图赤道左右有平行线太阳距度在内者为乙丙在外者为戊巳内则交地平于丁得昼线丁乙大夜线丁丙小外则交地平于壬得壬戊为昼线小壬巳为夜线反大而丁乙与巳壬丙丁与戊壬即夏昼与冬夜冬昼与夏夜葢太阳南北距同度则皆等法于癸庚赤道髙加庚乙太阳距内度得癸乙弧其正乙壬线又与癸庚赤道髙减等太阳距外度为庚戊余癸戊弧其正

　　戊子线与丙丑线等【因冬昼夏夜同距度

　　故算恒设内外距度等圏中替戊子恒用相等之丙丑】又法

　　云两正并而半之即丙丑加于

　　乙壬作乙寅半之于卯得乙卯或

　　卯寅各半正又云本半正于

　　总或余数之正相减余卯酉时

　　之正即乙壬减乙卯余卯壬或卯寅减壬寅亦余卯壬而卯壬与甲辰等甲辰即太阳在卯正或酉正出地平髙故卯壬为本时髙弧之正以查其度分

　　若太阳在午正则以其距南北度或加或减于夲赤道髙得太阳午时正髙若午前或后则如第三图以甲为心作乙辛丙半圏当竪立分十二时【小时】乙为午辛为卯为酉与在乙甲丙线等以此算髙弧无论太阳在午前后及南北距俱不异法祗取时刻为准法以半数之乘太阳距午之余以全数除得余数为南北通用数也设太阳距午三十度【已及未时】则圗中在赤道内得乙戊正弧余弧戊辛而余甲巳在赤道外得丙癸为正癸辛为余而甲庚即余与甲巳等又全数甲乙与甲丙亦等乙丁半数之与丙

　　丑线等所算得己壬与卯庚亦等

　　故在北一得巳壬在南不必算求

　　卯庚葢巳壬线者彼此通用何也

　　法以加卯酉之正得太阳距北

　　在本时髙弧正反减之即得太

　　阳距南亦本时髙弧正如图壬

　　子及卯寅各与甲辰等则巳壬加壬子得巳子即太阳在己【巳即戊距午三十度】距赤道北出地平髙度也卯庚减卯寅余寅庚即太阳在庚【庚即癸距午亦三十度】距赤道南出地平髙度也

　　求食在昼否简本表日食必先以太阳经度查其距赤道表得在南或北若干次以本距度及食之时依本地查表遇空行则以无髙度知太阳在地平下虽食本地不得见矣论月食亦以太隂经度查赤道距度表与前同苐其不正在两交则自未免有距度以之或加或减于赤道距终得正距葢太隂距内入两道间则以距赤道度减其距黄度若太隂距外出黄道更距赤道逺则以加其距黄度得正距赤道度而查本表亦依极出地以距度以食时查与日食同

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十七>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十七>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十七>

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　　新法算书卷七十七

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　　钦定四库全书

　　新法算书卷七十八　　　　明　徐光启等　撰交食表卷七

　　天顶黄道两圏交角表【算法】

　　以太阳地平高及其距黄平象限度求交角法全数与太阳距天顶之余切线【卽太阳交角防所居】若太阳距黄平象限之切线与交角之余查八线表得交角若干度【见本厯指五卷】卽以每高度与太阳距黄平象限度依法推算列全表【中外共用谓之全表】上横行书一至八十九爲太阳距黄平象限度右直行书二十七至八十九爲地平高度此表处处可用第中土九十度最低止二十六度而太阳之距限与地平高亦相近于二十六度故表中祗取相近之二十七度起算而此数以下不与焉今算表以地平高度爲法则全数与太阳距黄平象限之正若地平高度之切线与本角之余切线以太阳距限之度自一至八十九与地平高自二十七至八十九逐度如法推之卽得黄道与高弧相交之各角防

　　假如地平高三十度查切线爲五七七三五与太阳距黄平象限一度之正一七四五相乗以全数除之得一○○六为余切线查八线表得八十九度二十五分为交角余角为三十五分又设地平高四十度其切线八三九一○太阳距黄平象限一十○度得正一七三六五算得余切线一四五七○查交角得八十一度四十二分余角八度一十分而所得之正角为气差余角即为时差今表中所载皆余角也若求正角即以余角之余简本表之相当数即得正角余俱仿此

　　用法

　　表右直行从二十七起至八十九止分三段为地平高度【地平高度即距天顶之余】上横行从一至八十九为太阳距黄平象限之度算日食必以黄平象限表求太阳距本限若干又求本限距天顶若干度查本表横直两数所值之数即得所求交角余度

　　天顶黄道两圏交角表

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>

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<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷七十八>

　　新法算书卷七十八

　　钦定四库全书

　　新法算书卷七十九　　　明　徐光启等　撰交食表卷八

　　太阳太隂视差表【算法】

　　视差者乃太阳太隂髙下视差皆以距天顶度及距地心地半径数所求得者盖太阳距地逺近以最髙最庳为限两限中逺近之数依中比例法可算但差数甚微止用髙庳折中于诸距顶度较定视差即自无谬而太隂则不然太隂有小轮有次轮其次轮之心在小轮之最髙而月居次轮之边最逺此为太隂距地心初限使居次轮边之近处即其次限又次轮心在小轮最庳月居其边与小轮心近即三限逺即四限诸限俱以互相距之逺近与其距地心之逺近各有比例因各推视差所得自不同矣如太隂从次轮近处行或至逺处必减次限之视差【设心在小轮最髙因距地渐逺故】或加三限之视差【设心在小轮最庳因距地渐近故】此求在中视差多寡比例之一縁又太隂次轮心不恒在小轮髙庳两处而每环转于左右上下时时不一亦为视差多寡不同之一縁故以本心在髙庳中比例复加逺近度于前算定以太隂体旋次轮边之逺近度得正距地度与距天顶度因推得太隂髙下正视差以此列表对地平髙度书两中限【次限及三限】之视差左右书两末限之差数【初限及四限】更纪月体逺近次轮心上下比例差成太隂视差公表【月食外亦可用故谓之公表见本厯指五卷】今因太隂朔望时无次轮且于次轮最近处旋绕亦别为小轮【见本厯指二卷】而其体卒不能出两中限之外【次限三限】以距地故算表可免求比例之烦特就其在次限三限间距地逺近【约为五十四至五十八地半径】每隔一地半经与其距顶每一度较算列本表

　　假如太隂在朔望小轮最髙距地心五十八半径○八分总化为分数得三四八八则本数与一地半径【六十分也】若全数【十万】与太隂在地平之正得一七二三查表【八线表】得五十九分一十六秒为太隂距地五十八半径○八分极大之视差也设使髙有数度【多寡俱一法】则地半径一加一减于其距地之逺得总数及余数各化为分数又太隂髙度加一象限总而半之查切线则前总数与余数若本切线与他切线得度于前半者宜减余度即本太隂髙度视差如地半径为一太隂距地五十八半径○八分总得五十九半径○八分减之余五十七半径○八分髙度加象限一一○半之五五查切线得一四二八一五算得一三七九五八查弧五十四度○四分于五十五相减余五十六分即太隂髙二十度距地逺之视差若距地五十四半径依二十髙度算得他切线一三七六二二查五十三度五十九分四十八秒于五十五相减余一度○分一十二秒即本表所书数余算法同此

　　用法

　　表上书髙弧度即太阳太隂所共用度得太阳髙度随查度下视差大者不过三分论太隂则以视径表中太隂引数查其距地逺于本表旁数相对取近者横查本髙度下数即为太隂视差分秒如表无本髙度则以中比例法算

　　【太阳太阴视】

　　【差表距地半】

　　距地半径数

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　　距地半径数

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　　距地半径数

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　　时气差表【算法】

　　时气差非髙差及交角度无从可列【见本厯指本卷】葢三差并以三小弧为直角三角形其中髙差对直角交角对气差而余角则对时差因弧小能当直线故全数与髙差若交角正与气差或余角正与时差交角大则余角小而气差多者时差反少若两角等两差亦等彼所加必此所减所以右书顺左书逆亦此故也

　　用法

　　表上先查髙差既对即以交角横查表左右【因交角有在顺数者有在逆数者】如交角四十五度以下得时差在右行气差在左行四十五度以上者反是故上有时差下必书气差或上气差下必书时差恒与交角互相随

　　时气差表

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　　日食月行表【算法】

　　日食月行者为日食自初亏至食甚而太阴此时所行度分也葢日食毎以视行求时分乃视行食甚先后不等未若月食能以倍数即得其复圆必须再以太阴视行推算其此时所行度分乃可法太阳及太阴各半径并化分为秒以所化数求其方数随以太阴视距度方数相减求其根即得太阴自日初亏至食甚所行度分第距度逐分求其方数而两半径则隔一宫以求之其列表如前月食时分将最高中距最庳三处分上中下用法亦与之同

　　【日在最髙】

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　　【日在中距】

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　　【日在最低】

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　　新法算书卷七十九

　　钦定四库全书

　　新法算书卷八十　　　　　明　徐光启等　撰交食表卷九

　　算时气差简法

　　治厯一书交食为最乃交食中诸法所难者尤在视差西史从天仪图以三角形算此常法也间有用表者亦云简矣然就中所列非一表所求非一端终不得为简也刻白尔【第谷友也】反覆三差之原总其理而撮其要依之作表力省功倍故名曰简法太阴距目等得极出地髙黄道交地平限则气差周亦皆等

　　云太阴则太阳五星同一理云极出地髙因极髙低不等则天顶之距黄道人目之距日月五星本体逺近不一视差无不因之有变云黄道交地平因黄道未定随天左旋时距顶逺时距顶近而日月五星从之虽距地心同距目微有异亦得视差之变故以定黄道定极髙求

　　七曜逺近则视差可得而

　　论矣如图甲为地心以乙

　　丙丁为地靣以丙为人目

　　所居故甲丙线上至戊为

　　天顶设丁正居黄极下则

　　乙丁为黄轴与己壬作垂线而己壬乃黄道也今使太阴距天顶最近视度在己为丙目以丙己直线所望者则因戊己为髙弧而庚己髙下视差以丙己辛角或己丙庚角量之【两角为平行线内相对角故等】故凡从丙出直线居己戊癸过顶圏之平靣与丙己相等者至己壬黄道周边所作角周亦等何也丙辛既为己壬之垂线则己壬黄道

　　于过顶圈相交之公界两圈以直角交必丙辛线与诸黄道平靣上之线等为垂线其得丙辛己丙辛壬及诸

　　黄道靣上线凡为丙辛所至之角安得不等为直角夫使丙己周至黄道皆等【因太阴距目等故】则丙辛底同余丙己辛角之所周必等【几何一卷八题】盖本角原以戊己当髙弧能量髙下视差今复以之当出黄极经圏于黄道上定气差则同一角也同一量也角周等得气差无不等太阴距地心等虽距目不等其气差周略等

　　人目正居黄道下则月随黄道圏行絶无气差可求惟目或居黄极下则以黄轴去地心太阴周距地心等必距目亦等而气差自等故目在黄圏黄极之中周视太阴之行虽时近时逺而逺近之最差在正中处其距黄圏黄极皆等彼此约有四十五度如图太阴距地心以甲己线一周等则距目以己乙线正前所谓居黄道下絶无气差者也然或以己丁线则目在黄极下矣得丁己

　　丁壬周距太阴线者皆等

　　而其不等之距必在丁乙

　　两限之间最不等者在丙

　　即丁乙限之正中气差之

　　有变易者此也今目在丙

　　欲求太阴将出地平与其至正午两处差异同若干设太阴距地心最近得地半径五十四在黄道己或壬则甲己较甲丁有五十四与一之比例【细算甲己作五四○○○○○甲丁即一○○○○】　故丙乙四十五度查正七○七一一为丙辛必与丙癸等因而甲辛亦等甲己减甲辛余五三二九二八九为辛己甲壬加甲辛得五四七○七一一为辛壬先求丙己辛角【气差角也】则辛己与辛丙若全数与本角之切线算得四十五分三十八秒次求丙壬辛角则辛壬与辛丙若全数与本角之切线算得四十四分二十六秒两角差止一分一十二秒第前设己角在正午而壬实与之对则壬角必在子矣此不须论差惟以丙辛为底其上立辛戊与甲丙辛平靣为垂线自甲出甲戊与甲己等以定其短长自丙出丙戊与甲戊等得丙戊辛甲戊辛两角亦等【甲辛与辛丙等甲辛戊及丙辛戊皆直角而辛戊又同故见几何一卷八题】葢因己辛戊为直角设太阴在戊必去己正九十度出地平上而丙戊辛角则能量气差矣欲算之与前同丙戊与丙辛若全数与本角得四十五分○一秒较己角差三十七秒可见

　　太阴距地心等虽距目差地半径所得气差亦庶几等太阴距地心等虽距目不等而目视之若在视黄道下得气差实等

　　何云视黄道如图甲丙为地半径较真黄道天之逺絶无比例故目在丙与在己壬线同而戊乙平行线亦可当

　　己壬线则己壬为真黄道而戊

　　乙其视黄道也今以丙目设太

　　阴居戊居乙其目必以丙戊丙

　　乙不等之线始能视之则因此在视黄道距地心以甲戊甲乙两直线皆等即本线至视黄道周所作角亦等何也甲乙戊三角形因得两腰等则戊乙底线两端之两角亦无不等【几何一卷五题】而周两腰所作角自等则本角因丙在黄极所出圏之平靣皆当气差可见气差周等时差变必以太阴距九十度限为主

　　如前图甲乙丁过天顶圏之平靣上立戊丙垂线得戊丙甲戊丙己皆为直角又本靣上于癸立戊癸直线则因戊在己戊壬圏而己戊壬圏与本平靣以直角相交【当竪立之圏】必甲癸戊角为直角与甲癸己甲等太阴居戊甲戊甲己相等而甲癸同则两三角形内余相当之腰及

　　余角皆等必全甲癸戊三

　　角形能当全甲癸己三角

　　形因以本形显气差为甲

　　癸线所对而甲癸丙亦直

　　角则丙戊癸三角形内亦

　　显气差为戊角所量丙癸线所对也【甲癸以直角横黄道行丙癸顺黄道行故】苐前设戊丙甲为直角则戊庚相距九十度【此庚戊当髙弧】太阴居戊正在地平以丙戊癸形所显即其最大时差【癸丙为黄极距顶之正使其距度不变则其弧不异而时差亦同又使黄极距天顶或逺或近时差亦必依之为大为小而大小皆太阴在地平是其最大时差也】今太阴或去地平逺所得时差渐变又无髙弧可测则不必以戊丙庚角而惟以戊丙己角量其多寡可也葢己癸壬视黄道圏以直角交丁乙出黄极经圏【与庚己戊外圏同靣此当倒圏】得九十度限在己故太阴在戊就己愈近得戊丙己角愈小因而戊丙癸三角形中余丙角大则对角亦小虽丙癸线不异其时差为戊角所量无不异矣【丙戊癸三角形以丙癸底线合己壬黄经上又以两腰在黄道圏同靣上】至太阴正居限中则丙戊丙己及癸戊三线者皆归一直线絶无戊角亦絶无时差也

　　或问丙戊癸三角形全在视黄道平靣上代辛戊甲在实

　　黄道靣上三角形故甲戊线

　　较之癸戊线微长未免癸戊

　　丙角较之甲戊辛角略异即

　　时差何能真乎曰试以丙丁弧得半象为四十五度此即差之极逺处【若丙目在乙则两底线及两角形全合为一若丙目在丁则两腰归一全无时差可论】欲求两差同异设太阴距地五十四地半径为甲己算【法同前】得甲己癸角为四十五分○一秒因而癸己线【与癸戊线同】五三九九五三二与丙癸底线【四十五度之正】合算得丙戊癸角为四十五分若甲戊合甲辛同算得甲戊辛角亦四十五分弱半秒又不待言矣

　　合论三差列表

　　因太阴距顶九十度在戊以戊丙甲为直角以甲戊丙得其最大髙下视差为甲丙则太阴距地与地半径若全

　　数与本髙视差又因甲癸

　　戊为直角而甲戊癸当气

　　差必癸戊丙为时差欲求

　　戊气差则太阴距地与九

　　十度限距顶之正若全数与本角之正欲求戊时差则先求癸戊腰线全数与甲角之正若太阴距地与本线乃癸戊线与丙余角若丙癸底线与本戊角苐最大时差为太阴近地平所得者则以甲丙癸三角形求之全数与黄极距顶之正若最大髙差与最大时差今列表其上横两行一地半径数即从诸曜至太阴止为七政距地数也一最大髙下视差即诸曜近地平为本图甲戊丙角所推得也表右行书九十度即黄道九十度限距天顶以查气差者或本限距地平【限距地平与黄极距天顶同】以查时差者故算表任用何距度大端都归于一假如九十度限距天顶五十度或限髙五十度所推分秒皆同试以太阴距地五十四地半径得髙下视差六十三分则全数与六十三分若五十度之正与四十八分一十六秒此分秒时当气差时当时差因度限距顶为五十度或反距地平亦五十度故也

　　或问本表既别求九十度限定其髙度及距天顶若干然后查求视差较诸法不甚大异今独别之曰简法此简之玅可得言乎曰常法或依三角形算或依表查若三角形除九十度限及髙度外须更算距子午圏日月髙弧黄道过髙弧交角诸法乃敢求髙气时三视差查表则须太阳距赤道表髙弧表交角表又须各视差本表种种推求亦綦繁顾有一开卷而三差俱备如是尚不谓简乎虽然算交食者因其当然求其所以然必多方磨勘而其故始明其理始得尤不当以简为定法用法

　　未算视差先求定朔以两曜实经及本食实时查黄道九十度限表求本限距天顶若干余度即为距地平髙也次求气差则以限距天顶本度查右行以太阴距地心查上第一横行【用视径表内太阴距地数】其下得本距地太阴所应最大髙视差减太阳最大髙视差【大阳行最髙或近应一分行最庳应三分在髙庳之中应二分俱因此改】以余数入表两数相遇即得气差次求时差必两次查表亦以限距顶之余度从右以本髙视差从上至中得最大为本太阴距地之时差【近地平所生为最大】又以太阴实经较限所躔宫度得其相距度则以最大时差从上以限曜两相距度从右查表至中格得所正应时差若成数有竒零先以度查表得分秒又以分查表得秒微或求气差或求时差俱如此

　　假如崇祯七年甲戌岁三月朔日食定朔在巳正○七分四十九秒日月实防在降娄宫八度三十分以本度查九十度限表得应时三十一分加巳正八分总得二十二时三十九分【俱小时从午正起算】以此时复查九十度限表得限距顶四十四度○四分余四十五度五十六分即限距地平髙度以太阴引数【七宫一十四度】查表得太阴距地五十五地半径又查本表得最大髙视差六十二分减太阳在中距最大髙差二分余六十○分求气差上以六十○分右以四十四度入表中得四十一分四十一秒即食时所应得太阴气差也【较以三角形所得止差一十七秒】上行又以六十分右以四十五度查表得四十二分二十五秒因而限距地平髙度外尚有五十六分故又上行以六十○分右以五十六分查表得四十九秒四十四微与前相加总最大时差四十三分一十五秒今太阴在降娄宫八度三十○分九十度限在降娄宫初度五十九分【查本表得】相距七度三十一分则复查表以四十三分【最大时差】从上以七度从右得五分一十五秒又以三十一分【相距之零数】从右本四十三分以下得二十二秒次一十五秒从上【最大时差之零数】七度从右得一秒五十○微总为时差五分三十九秒较三角形所算止差一十五秒他算俱凖此

　　列表之法上两横行一以地半径从多数逓至少数一以髙下差从一逓至六十六每数各列五次旁以黄道九十度距天顶及距地平数从九十逆书至一分五段焉因上每一数通关旁之九十等数一二行不能尽书故分为五段旁数既分五段上方自不得不各列五次而

　　【中方之时气差亦以五段列出用表时须防此意查之】

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十>

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　　新法算书卷八十

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法算书卷八十一　　　明　徐光启等　撰八线表卷上

　　割圆八线表用法

　　割圆八线表即大测表也其数之多其用之广于测量百法中皆为第一故名大测分言之则有正数切线数割线数矢数余数余切线数余割线数余矢数皆于割圆之一分以其相当之直线与其曲线相求而为测量推算之用故名割圆八线也其义与法畧见大测二卷中今此刻与他本小异故先述其列表法次述用法一二如左

　　列表法二条

　　一既称八线刻中何以无矢矢者之互余相减即得也【法见后条】今所列者以一弧之正切线割线彚为一方又以其相反相对弧【如初度之相反相对则八十九】之三线彚为一方两方平列并为同面一览可得故于初右方为弧初度顺列至四十四度皆在右方也于初左方为弧之八十九度逆列至四十五度皆在左方也初右方之上下各一横行上行顺书正弧某度下行逆书余弧【正弧反对】某度其中直列第一格为本弧之分自上而下书初【作○】至三十第二格为本弧之正三十率各与其本分横相直也第二格书切线第三格书割线亦如之初左方之上下亦各一横行上行顺书余弧某度【度与右方之上行同】下行逆书正弧某度【度与右方之下行同】其中直列之末一格为本弧之分自下而上书三○至六○其顺列三线与右方同也次右方中第一直行为本弧之分顺书三一至六○次左方中末行逆书○至三○余同前合二面为正余各一度其六十分之各三线咸在目矣次三左右方书次度俱如前法

　　二大表之全数或八位或九位十位今小表止全数六位以便推算

　　表中用线相求法九条

　　一设弧背上圆线之度分秒求其相当之各正线法先查取所设度于本度各直行查所设正分于本行中横查所求某号【正切线之数是也】其相对数即所求正数若度分外有设秒表中所无也而求各正线则用中比例法取设秒上下之两正分相减余为差以差数乘设秒数为实以全秒六十为法而一得数以加于设分下所得数并为所设度分秒数

　　假设三五度四十分之弧求其正如法求本度分本号得五八三○七即是

　　又假设二十三度三十一分三十秒求其割线用中比例法则所设秒在三十一分三十二分之间也查本度分本号得三十一分之割线为一○九○五八三十二分之割线为一○九○七二相减余一四以三十秒乘之得四二九为实以六十为法而一得七以加三十一分之割线为一○九○六五所为求数【其比例则六十与一四若三十与七也】

　　二设弧之度分秒求其相当之各余线

　　假设二十三度三十一分之正弧求其余查二十三度三十一分之他方同行本号下取数得九一六九四若设秒用中比列如前

　　三设正等直线数求其弧之度分秒

　　法于本号横取所设数相合者即其相当之本度分也不合则取表中一数与设数相近而较少者以相减得差以乘六十得数为实以表中较多一近数与初近数相减得差为法而一得数以加初近数之弧度分为设数之弧度分

　　假设八八六八八为正求其弧查得六十二度二十九分正为适足

　　又假设七六五四二为正求弧查近且少者遇四十九度五十六分之正七六五二九相减余一三以六十乘之得七八○为实以多少两近数相减之较一八为法而一得四十三并得四十九度五十六分四十三秒二十防【其比例则一八与六十若一三与四三三也】

　　四设某直线数为某弧之余某线求其弧于设数本方本号求得本线数查他方本横行得弧度分

　　五若圏半径为不全数【满十为全数余皆为不全数】而求某弧之各直线法以设弧先求本表本线之数【第二率】乘不全之半径【第三率】以全数【第一率】而一得所求设弧之某直线【第四率其比例则第一与二若第三与四也】

　　如测天句股説谓用天径一百二十一度七十五分今设二十三度三十一分之弧求其正先于本表查本弧之正得三九九○一【第二率】以周天半径【第三率】乘之减末五位得二四二九○○○【第四率不用而一者第一率为全数故乘讫即是也】

　　六求矢法求设弧之余以减全数得正矢如设二十三度三十一分求正矢查其余得九一六九四以减全数得○八三○六为二十三度三十一分之正矢若求余矢则以正减全数得余矢

　　七有不全径之数设矢求其弧

　　法以全数【第三率】乘设矢以不全径【第率】一而一得数【第四率】以减全数为余求其弧

　　如半径六十万【古法】为不全数设四四一为正矢求其弧法以全数乘设数得四四一○○○○○以不全径六十万而一得七三五查得七十四度三十九分为设矢之弧

　　八有弧求其通以设弧之半求其正倍之即设弧之通

　　九求通之弧以设之半为正查度倍之得通之弧

　　表外用法八条

　　一有天度【三百六十五度四分之一】弧求其各直线

　　先以天度通为平度【三百六十度用通率表】次依前法求之如旧法问半弧背二十四度黄道矢若干先以二十四度通为平度得二十三度二十九分一十秒求矢得八四○一【第三率】以不全半径六○八七五【第三率】乘之得数减后位得五度一十一分四十一秒

　　二造简平仪定时线节气线用正数倍省工力三造平浑仪等器定经纬度圏之心用切线数甚便甚凖

　　四造日晷用切线割线可减多圏多线倍省工力五测天量地俱以割圆八线为本【见本説】

　　六圆线与直线异类也亘古迄今未有相通之比例此割圆八种本是直线其原出于圆线其用之也可令异类之线相比相似所差极防故厯家推算以为津梁无能舍置也

　　七球面上大小圏最难得其比例因此诸线可相比相凖不失分秒

　　八地平上用此诸线可定诸方相距之里差可定太阳出入时刻可定昼夜长短时刻可定日月交食真防视防相距时刻【各有本论】

　　右用法畧举一二他用甚广各见本法中【其造法见大测诸篇】

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十一>

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　　新法算书卷八十一

　　钦定四库全书

　　新法算书卷八十二　　明　徐光启等　撰八线表卷下

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　　增　凡所设之弧过象限而求其正等线者即以半周

　　内减之用其较查表即得所求如设一百

　　三十度之弧求其正即以一百八十度

　　减之余五十度查五十度之正切割等

　　线图説见前

　　论乙丁为一百三十度之弧其正为丁

　　己其余丁庚则丁己线为乙丙丁弧及丁

　　戊两弧之正他线类如此则查表用五十度之弧亦得一百三十度之等线数

　　八线表代句股开方法

　　一设股求句　用正余代　【直角傍两腰各能当句股两名互用之同理】

　　法以【外数】为一率　全数【十万】为二率股【外数】为三率　如法求得第四率【即正内数】查八线表正相近而略少者取【其余以设】

　　乗之得数右减五位即所求勾数

　　如为五十八股为二十五以全乗股得二五○○○○○以五十八除之得正四三一○三查表正弦与此数相近而略少之余九○二三三以设五十八乗之得五二又三三五一四为所求句外数

　　一　五十八【外数设数】　　　一　十万【内数　即全】

　　二　十万【全数】　　　　　　　二　五十八【外数】三　二五○○○○○【股外数】　三　九○二三三【勾内数即余】四　四三一○三【正内数】　　四　五二又三三五一四【勾外数】

　　二设勾求股【亦用正余代】

　　法以外数为一率　全数十万为二率勾外数为三率　如法求得第四率【即勾内数正】查八线表正相近而略少者取其余以

　　设乗之得数即所求股数

　　如为一万二千九百四十五勾为七千七百六十七以全乗勾得七七六七○○○○○以一万二千九百五十四除之得正六○○○○查表正与此数相近而略少之余八○○○三【去三作○】以设一万二千九百四十五乗之得一○三五六为所求股外数

　　一　一二九四五【外数】　一　十万【全数外数】

　　二　十万【全数】　　　　二　一二九四五【外数】三　七七六七○○○○○　　三　八○○○○

　　四　六○○○○　　　　四　一○三五六

　　三设勾股求用割切线代

　　法以勾外数为一率全数为二率股外数为三率如法求得第四率【即切线内数】查八线表切线与此数相近者取其割线以句外数乗之

　　得数右减五位即所求数

　　如句设一百五十六股设四十七以全乗股得四七○○○○○以句一百五十六而一得三○一二八【即切线内数】查表切线与此数相近者之割线得一○四四四○以句一百五十六乗之得一六二九二六四【即所求○】一　一百五十六【句外数】　　　一　十万【全数】

　　二　十万【全数】　　　　　　　二　一百五十六【设句】

　　三　四七○○○○○　　　　三　一○四四四○【割线内数】

　　四　三○一二八　　　　　　四　一六二九二六四○

　　新法算书卷八十二

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　　钦定四库全书

　　新法算书卷八十三　　明　徐光启等　撰防何要法

　　防何总论

　　防何家者脱物体而空穷度数数其截者度其完者度有三曰线曰面曰体线以度长短面以度广狭体以度厚薄线自始引为线线展为面面运为体者无长线者无广面者无厚为线之界线为面之界面为体之界体不可为界线面体防何之论起焉

　　界说章第一【十六则】

　　界者一物之始终解篇中所用名目作界说

　　第一界

　　防何者度与数之府也

　　第二界

　　者无分无长短广狭厚薄故无分如上图甲真圆□一真平相遇处止一防毕世积防不能结线【凡图十干为识干尽用十二支等字】

　　第三界

　　线止有长无广厚如一平面光照之有光无光之间不容一物是线也如上甲乙图毕世积线不能结面

　　第四界

　　面者有长有广无厚一体所见为面凡体之影极似于面无厚之极也如上甲乙丙丁图毕世积面不能结体

　　第五界

　　体有长有广有厚如上甲乙丙丁戊己庚图

　　第六界

　　分者防何之防何也小能度大而尽之无赢不足者以小为大之分若小不能尽度大当称防分防何之防如上甲乙四与丙丁八戊己十二等数皆能尽分者则甲乙四为丙丁八戊己十二之分

　　若庚辛四与壬癸六一即赢二即不足不能尽度者不得正名为分则称之为三分六之二【他数仿此】

　　第七界

　　者非防何故不能为线及诸防何之分

　　第八界

　　线非广狭之防何故不能为面之分

　　第九界

　　面非厚薄之防何故不能为体之分

　　第十界

　　线有曲直线之一能遮两界是直线如上图甲乙不遮则不直如下图丙丁

　　第十一界

　　面之中间线能遮两界不碍不空是平面如上图甲乙

　　丙丁不遮则不平如下图戊己庚

　　第十二界

　　直线垂于横线之上为横线之垂线如上图丁乙为甲

　　丙之垂线

　　第十三界

　　两直线于同面行至无穷不相离亦不相逺终不得相

　　遇者为平行线如上甲乙丙丁两线

　　第十四界

　　两防何以防何相比之理为比例两防何者或两数或两线或两面或两体各以同类大小相比谓之比例若线与面或数与线此异类不为比例若同类相比而不以防何亦不为比例也如白线与黑线或有穷之线与无穷之线虽则同类实无比例有穷之线毕世倍之不能及无穷之线故也

　　凡比例有三种有数之比例有量法之比例有乐律之比例本卷论量法之比例

　　第十五界

　　比例相续不断为连比例其中率与前后两率递相为比例而中率既为前率之后又为后率之前如上图甲二与乙四比乙四又与丙八比是也第十六界

　　中率一取不再用为断比例如上图甲四自与乙八比丙六自与丁十二比是也

　　备噐章第二

　　防何在厯家则多用图画图必先备噐噐有三曰尺曰规曰矩尺以画线而贵直规以画圜而贵调矩以画方而贵凖噐凖矣不识用法则茫无措手今以用法着于篇

　　审尺章第三

　　画图首画线线贵直线界于尺故先求尺直

　　如甲乙为尺面丙丁为尺侧一棱先以丙丁画一戊己线丙合戊丁合己次转丙丁棱画一己

　　戊线丙合己丁合戊不出不入则尺直矣不直再当琢削画线章第四

　　尺既直矣线可无曲然画时又有法须以鐡或铜铸笔上长其柄令可把手下截濶出复渐窄而下其正面削

　　极平背令稍圆去末寸许作一小

　　窝窝下渐细至末用时以墨汁入

　　小窝以平面倚尺作线则墨汁自就下或恐墨污其地将尺削去丙丁侧一棱则墨线莹细如丝即作于规末亦得

　　审平面章第五

　　平面者诸方皆作直线

　　法曰如甲乙丙丁为面欲审其平即用直尺施于甲角绕面运转不碍不空全合直尺是平面也

　　引线章第六

　　有一短直线求平引长之

　　法曰如有甲乙线欲平引长之先以甲为心以乙为界画小半圜以乙为心任取一度于小半圜上下各作规界线为丙为丁次以丙丁为心任取一度向前作短界线相交为戊末引甲乙线至戊则得所求若欲

　　更引长仍依此法

　　平分直线章第七【法有二】

　　有有界之线求两平分之

　　第一法

　　如有甲乙线求两平分先以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半愈长愈凖向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末用尺作丙丁直线即甲乙有

　　界之线两平分于戊矣

　　第二法

　　若所分之线下面无地可作短界线即于甲乙线上先画两短界线于丙次或开或收规度仍前从甲从乙向上又作两短界线于丁规度愈相逺画线愈凖末以丙丁二交用尺

　　如前画线则得所求

　　作垂线章第八【法有四】

　　有一直线任于一上求作垂线

　　第一法

　　甲乙直线任指一防于丙求丙上作垂线先于丙左右任用一度愈逺愈凖各截一界为丁为戊次以丁为心任用一度但须长于

　　丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界线交处为己从己至丙以尺画线则得所求

　　第二法

　　于丙左右如上法截取丁与戊即任用一度以丁为心于丙上下方各作短界线次用元度以戊为心亦如之则上交为己下交为庚末作己庚直线视直线交于丙防即得所求若丙防在

　　甲乙端上则当暗引长甲乙线后如前作亦得

　　第三法

　　若直线甲端上求立垂线又甲防外无地可暗引线则先以甲乙原线上方任取一防为

　　丙以丙为心甲为界作大半圜圜界与甲乙线相遇为丁次自丁至丙依前法作直线引长之至戊为戊丁线戊丁与圜界相遇为己末自己至甲作直线即所求

　　第四法

　　若甲乙线所欲立垂线之防乃在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取一防为丙如前一二法于丙上立丁丙垂线次

　　以甲丙丁角两平分之【分法在后三卷第四章】为己丙线次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线又用元度以戊为心向己作短界线为庚末自庚至甲作直线得所求立垂线章第九【法有四】

　　有无界直线线外有一求自彼作垂线至直线上

　　第一法

　　如有甲乙无界直线直线外有丙防求自丙防作垂线至甲乙线先以丙为心向直线两处各作小半圜或两短界线为甲为乙次仍用一度以甲为心向丙防相望处作短界线

　　又以乙为心亦如之两线相交处为丁末自丙至丁作直线截甲乙线于戊则丙戊为垂线

　　第二法

　　于甲乙线上近甲或乙任取一防为心以丙为界作一圜界于丙防及相望处各稍引长之次于甲乙线上视前心或相望如前图或进或退如后图任移一为心以丙为界作一圜界与前圜交处得丁末自丙至丁作直线得丙戊垂线

　　第三法

　　若丙防垂于甲乙线之界不能于丙左右画圜如前二图又或不能暗引长甲乙线则当以甲为心于丙及相望处各作短界线于丙于丁又进以乙为心以丙为界仍相望作两短界线末从丙丁二交处作直线则得

　　所求

　　第四法

　　若甲乙线在面之邉且下无地可措规如前四图则当用前章第三法或以丙为心任指甲乙线上两为丁为戊次任取一度以丁为心向丙上作短界线次用元度以戊为心仍向丙上作短界线交于己末自己至丙作直线引长之至庚得所求又有便法在后平行线中

　　作平行线章第十【法有三】

　　一求作直线与原设直线平行

　　第一法

　　于甲求作直线与乙丙线平行先任作甲丁线与乙丙斜交次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己次取戊己圜线为度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直线即所求

　　第二法

　　先以甲为心于乙丙线近乙处任指一作短界线为丁次任用一度以丁为心向丙截取一分作短界线为戊又用丁戊元度以甲为心对甲平行作短界线为己次用甲丁

　　元度以戊为心对甲平行作短界线于己末自甲至己作直线即所求

　　注曰凡有不等度须一度用一规始元度不爽如一规而数易其度则元度永不复矣此丁先生秘法

　　注曰以上二法以甲防定逺近若无甲防任指所欲逺近为界可当甲防

　　第三法

　　此法比前法更简易即西本防何亦未载乃敝师伯先生所授如有甲乙线任逺近求作平行线近甲取心向上以所求逺近为度作小半圜次用元度近乙取心向上复作小半圜末以尺依半圜为界作直线即所求

　　注曰以上平行数法可推用作沿邉直线之垂线如有甲乙线求乙线界上作一垂线先以乙为心向甲任取一防为丙又用元度以丙为心向甲指一防为丁又以乙为心任取一度向上方作一短界线愈逺愈凖又以丁为心用元

　　度仍向上方作一短界线与前界线相交于戊次自戊至丙作垂线末以前作平行线法随用一法以丙乙为度作平行线正垂在乙防上即得所求

　　求分一直线任为若干平分章第十一【法有四】

　　凡造厯象数欲分直线为不等分不谙其法大费手力抑且不凖宜熟后法以便用

　　第一法

　　如甲乙线求五平分先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作五平度为甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直线末用平行线法作丁壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即壬癸子丑与甲乙为五平分

　　第二法

　　如甲乙线求五平分即从乙任作乙丙线为丙乙甲角次于乙丙任取一防为丁作丁戊线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸线令小于

　　甲乙次从甲过癸作甲子线遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引长之而分甲乙于丑于寅于卯于辰为五平分

　　第三法

　　如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线相聨即分甲乙于己于辰于卯于寅为五平分

　　第四法

　　此法极简极神可分百千不等之线与百千不等之分

　　先作一噐如丙丁戊己为平

　　行线任平分为若干格噐愈

　　大格愈宻其用愈广格毎分

　　作平行线相聨今欲分甲乙

　　为五平分即规取甲乙之度以一规髀任抵戊丙线上一规髀抵第五庚辛线上如不在庚辛者即渐移之至线界而止既至壬即戊壬之分为甲乙之分

　　又如有甲乙线求十七平分先以规取甲乙之度以一

　　规髀抵戊丙

　　线一处以一

　　规髀抵此噐

　　庚辛第十七

　　格为壬次从

　　戊至壬画一直线次取所过两格相距之度以此为凖分甲乙直线则得十七分矣或图小而所分者大欲广其用则逓倍之如图一尺欲分一丈为十九分须取一丈十分之一为一尺用前法为十九分后以尺逓十倍之则一丈己分为一百九十分矣毎十分作识如所求余以此推之

　　一直线求截所取之分章第十二【法有二】

　　第一法

　　如有甲乙直线求截取三分之一先从甲任作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命三分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作乙己直线末作丁庚线与己乙平行即

　　甲庚为甲乙三分之一也

　　第二法

　　如甲乙直线求截取七分之三先以前章法分甲乙线为七分后取其三于庚则得所求如欲截取十分之七十四分之九等不均之数亦如之

　　有一直线求截各分如所设之分章第十三【一法】

　　法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相聨于甲任作丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙分于丁戊焉

　　有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例章第十四【一法】

　　法曰如甲乙线求两分之而两分之比例若所设丙与丁先从甲任作甲庚线为庚甲乙角次截取甲己与丙等己庚与丁等次作庚

　　乙线聨之末作己辛线与庚乙平行即分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁

　　有两直线求别作一线相与为连比例章第十五【法有二】

　　第一法

　　有甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例者任合两甲乙甲丙为甲角而甲乙与甲丙之比例若甲丙与所求他线也先于甲乙引长之为乙丁与甲丙等次作乙丙线相聨次从丁作

　　丁戊线与丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求线【若以甲丙为前率仿此】

　　第二法

　　以甲乙乙丙两线聨作甲乙丙直角次以甲丙线聨之而甲乙引长之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为所求

　　线

　　三直线求别作一线相与为断比例章第十六

　　法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相聨次从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引长之遇丙戊于戊即丁戊为所求线

　　两直线求别作一线为连比例之中率章第十七法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平

　　分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率

　　新法筭书卷八十三

　　钦定四库全书

　　新法筭书卷八十四　　明　徐光启等　撰防何要法

　　总説

　　圜成于线线有二种为曲为直直线或单或众前卷已详之众线或三而成三角形或四而成方形或多而成诸不等形曲线或半或全半线有不等之用全线或成圜形或成卯形等角形及方形卯形详见后卷今先论圜形

　　界说章第一【十二则】

　　第一界

　　圆形于平地居一界之间为圜

　　第二界

　　外圆线为圜之界

　　第三界

　　圜之中处为圜心

　　第四界

　　自圜之界作一直线过中心至他界为圜径如上图甲

　　丁乙戊为圜界丙为心甲乙为径

　　第五界

　　凡直线切圜界过之而不与界交者为切线如上图甲乙丙线是也若先切圜界而引之入圜内则谓之交线如丁戊是也

　　第六界

　　凡两圜相切而不相交者为切圜相切而相入者为交圜加上图

　　第七界

　　凡直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各邉为形内切形如上图丁戊己为甲乙丙形内切形

　　第八界

　　凡直线形居他直线形外而此形之各邉切他形之各角为形外切形如前图甲乙丙为丁戊己形外切形其余各形仿此二例

　　第九界

　　直线形之各角切圜之界为圜内切形如上图甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙是也圜之界切直线形之各角为形外切

　　圜同上图

　　第十界

　　直线形之各邉切圜之界为圜外切形如上甲乙丙形之三邉切圜于丁于己于戊是也

　　第十一界

　　一圜之界切直线形之各邉为形内切圜如前图

　　第十二界

　　一直线之两界各抵圜界为合圜线如上图之甲乙线

　　造规章第二【法有四】

　　圜形以至圆为凖至圆必出于规规必欲极凖极顺其用甚活乃堪造厯凡造规之法有四详列于后

　　第一法

　　先以铜或鐡范成二股上濶下窄至末而鋭近头小半截作凹凸状令可相合次以钉钉其圆头贵寛得宜任意可开收规下半截为规髀一规髀作墨池如首卷第三章法以适用凡欲造厯象必须备规其造式见后规图

　　第二法

　　凡规有三用一画虚线则须铅条当先以铜叶为管虚其中横开小路上套小铜圜可上下松以出入铅条末畧奓出以留小圜如下甲图一画墨线则当作墨路如前章法如下乙图一画铜板线须以纯钢为末如下丙图右三髀俱另作不相连本规其本规如前法造但截去一髀临截处长半寸许作一小箱状虚其中亦令方可受规髀柄如下图丁处箱面作旋螺用时任入一规髀以铜消息如旋螺者贯定之如下戊图则任意可画线而一规可具三用矣此为第二法如下图

　　第三法

　　造厯恒用规依比例法分线分圜或以大形移变小形或以小度移变大度其分法稍难今作一四髀规或铜或鐡畧如剪形上下作四规髀上短下长令上凖下度或半或三之一或十之一及种种不等则作线圜时或欲以大变小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小变大先以上髀取度次以下髀移度则得所求其或半或三之一或十之一俱从髀之长短而分下愈长则度愈大上愈短则度愈促

　　第四法

　　前三种规长不逾尺止堪小用如欲造玑衡大噐则当

　　更变其式如下图其规以铜范为极方条上下如一任作防尺于条左末作锥垂下二三寸以纯钢为之更造一锥与前锥等上方寸许仍凿方孔令透可受方条任逺近可推移方孔旁更凿圆孔仍前法作旋螺贯定方条使两锥坚定不爽分毫可画大圜如下图

　　有圜求两平分之章第三【一法】

　　如有甲乙丙圜求两平分用尺任以圜一处为界正过心画一直线则圜体两平分矣

　　有圜之分求两平分之章第四【一法】

　　如有甲乙丙圜分求两平分之先于圜分两界作甲乙线次两平分之于丁从丁作丙丁为甲乙之垂线【一卷第八章】即丙丁分甲乙圜分

　　为两平分若有圜不露其心又求两平分之亦如此法有圜求四平分之章第五【一法】

　　凡立天象多用四分圜为周天四象限故造法不可不凖如有甲乙丙圜求四平分先以前法作甲乙线过戊心两平分之次依作垂线法于戊心上自丙至丁作垂线得所求

　　有圜求六平分之章第六【一法】

　　凡厯家分周天度多用六数或十二或二十四今详其法如有一圜求作六分不用他法惟以画圜之元规周圜界六歩则自然分为

　　甲乙丙丁戊己六平分矣

　　有圜求十二平分之章第七【一法】

　　先以本卷五章法四平分于甲乙丙丁次以画圜元规从甲从乙上下各指一防又从丙从丁左右各指一则得所求若欲二十四分毎分为两则得所求矣

　　有圜求三百六十平分之章第八【一法】

　　凡厯家所用细分周天度以三百六十为率今详其法

　　如有甲乙丙圜先依前法四平分之为四象限次以规

　　元度依前法十二平分为十二宫

　　就以所分十二宫各三分之各包

　　十度次毎十两平分之各包五次

　　毎宫又五平分之各包六今用六

　　度之规至终不改从子宫初一度歩

　　起完一周又次从初五度初十度

　　十五度二十度二十五度各歩完一周则平分三百六十分矣

　　有圜之分任截防度章第九【一法】

　　如有甲乙圜之一分欲取三十五度如用常法必须先求圜分之心依后十一章法成圜后均分三百六十乃取三百六十之三十五分其法颇繁今有简妙法先备一铜板分一子丑寅象限为九十分合极凖设有甲乙圜之界自甲起欲取三十五度之分先从甲至圜心作甲丙半径线如与子丑寅象限半径合

　　则移彼度子卯至甲乙线上至庚即得所求如大小不合则以规取子丑寅半径以丙为心或甲乙内或外作一圜分若丁戊圜在外则当引长甲丙线至丁取子丑寅限三十五度以丁为始移于丁戊圜上至己从丙心过己作一直线截甲乙于庚则甲庚为甲乙圜上三百六十分之三十五也若所范铜板欲其用广当从寅心重重作圜与子丑平行又自子丑外圜逐度引直线至寅心后所欲取圜分之度若其半径与子寅不等或同于他子丑内圜之半径则可径移其度于所分圜上不尔仍用前法

　　有圜求防其心章第十【一法】

　　如有甲乙丙丁圜欲求其心先于圜之两界任作一戊己直线次以平分线法作丙丁垂线两平分之于庚则庚为圜心

　　有圜之分求成圜章第十一【一法】

　　如有甲乙丙圜分求成圜先于圜分任取三于甲于乙于丙从甲至丙丙至乙各作一直线各两平分于丁于戊次于丁戊上各作垂线相交处为己末以己为心以圜为界旋转即得所

　　求

　　任设三防不在一直线求作一过三之圜章第十二【法有二】

　　第一法

　　如有甲乙丙三防求作一圜贯之先以甲为心任取一度向乙上下各作小圜分又以乙为心向甲仍用元度上下各作小圜分相交处为丁为戊次又以甲为心向丙上下作小圜分如前

　　次以丙为心亦如之相交处为己为庚次从丁至戊从己至庚各作直线相交处为辛末以辛为心任取一防为界旋规成圜即得所求

　　第二法

　　先以三防作三直线相聨成甲乙丙三角形次平分两线于丁于戊次于丁戊上各作垂线合相遇于己末以己为心甲为界作圜即得所求

　　有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线章第十三【一法】

　　如有甲乙丙圜求作合线与所设丁线等其丁线不大于圜之径线径为圜内之最大线更大不可合先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与丁等者即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取

　　乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙戊等则与丁等

　　三角形求作形外切圜章第十四【一法】

　　甲乙丙角形求作形外切圜先平分两邉于丁于戊次于丁戊上各作垂线为己丁己戊而相遇于己末以己为心甲为界作圜必切甲乙丙而为三角形之形外切圜

　　三角形求作形内切圜章第十五【一法】

　　甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分之作乙丁丙丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三邉各作垂线为丁己丁庚丁戊末以丁为心戊为界作圜即过庚己

　　为戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉于戊于己于庚此为形内切圜

　　有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角章第十六

　　甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲次作庚甲乙角与设形之己角等次作辛甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设丁戊己形等角

　　有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角章第十七

　　甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先于戊己邉各引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙而相遇于子于丑于癸【若作甲丙线即癸甲丙癸丙甲两角小于两直角而子癸丑癸两线必相遇余仿此】此癸子

　　丑三角与所设丁戊己三角各等

　　有圜求作内切圜直角方形章第十八

　　有甲乙丙丁圜求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内切圜直角方形

　　有圜求作外切圜直角方形章第十九【法有二】第一法

　　甲乙丙丁圜其心戊求外切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两径末界之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬

　　辛为外形

　　第二法

　　以戊甲为度依平行线法作己庚辛壬上下两线与乙丁平行次用元度作己辛庚壬左右两线与甲丙平行即得所求同前图

　　有直角方形求作形内切圜章第二十

　　甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各两平分于戊于己于庚于辛而作辛己戊庚两线相交于壬末以壬为心戊为界作圜必过戊己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉是为

　　形内切圜

　　有直角方形求作形外切圜章第二十一

　　甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作对角两线为甲丙乙丁而交于戊末以戊为心甲为界作圜必过乙丙丁甲而为形外切圜

　　有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角章第二十二

　　如有甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形等邉等角先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角各倍大于己角次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分作丙戊丁乙两线末作甲乙

　　乙丙丙丁丁戊戊甲五线相聨即甲乙丙丁戊为五邉内切圜形而五邉五角俱自相等

　　有一圜求作内切圜五邉及十邉形章二十三

　　如有甲乙丙圜心为丁先作甲丙过心线次作乙丁垂线次平分丁丙线于戊作乙戊线次取戊乙度移于径线为戊己次作乙己直线盖乙己为甲乙丙圜五分之一以此为度可作内切

　　圜五邉形丁己度可作内切圜十邉形

　　有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角章第二十四

　　甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先依前章法作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形次乃从己心作己甲己乙己丙己丁己戊五线次从此五线作庚辛辛壬壬癸癸子子

　　庚五垂线相遇于庚于辛于壬于癸于子五垂线既切圜即成外切圜五邉形而等邉等角

　　五邉等邉等角形求作形内切圜章第二十五甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己自己作己丙己丁己

　　戊三线次从己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五垂线末作圜以己为心庚为界必过辛壬癸子庚而为甲乙丙丁戊五邉形之内切圜

　　五邉等邉等角形求作形外切圜章第二十六

　　甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己次从己作己丙己丁己戊三线与己甲己乙俱等末以己为心甲为界作圜

　　必过乙丙丁戊甲即得所求

　　求作圜内六邉切形其形等邉等角章二十七

　　如有甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邉内切圜形等邉等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙庚戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作甲乙

　　乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相联即得所求

　　求作圜内十五邉切形其形等邉等角章第二十八

　　如有甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形即各邉当圜十五分之五次从甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角各邉当圜十五分之三而戊乙得

　　十五分之二次以戊乙圜分取乙己度两平分于壬则壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共作十五合圜线即得所求【以此为例推用逓分可作无量数形】

　　圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等章第二十九

　　如有甲乙丙丁戊两圜同以己为心求于甲乙丙大圜内作多边切形不至戊丁小圜其多邉为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊也次从戊作庚辛为甲戊之垂线即庚辛线切丁戊圜于戊也次以甲丙两平分于乙

　　乙丙两平分于壬以壬丙两平分于癸则丙癸圜分必小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所求切圜形之一邉也次以癸丙为度递分一圜各作合圜线得所求形

　　新法算书卷八十四

　　钦定四库全书

　　新法算书卷八十五　　明　徐光启等　撰几何要法

　　界説章第一【凡十则】

　　第一界

　　角者两线纵横相遇所作线有曲直两

　　直相遇为直线角两曲相遇为曲线角

　　一直一曲相遇为杂线角曲杂两线角

　　更有别论今先明直线角

　　第二界

　　凡直线正垂于横直线之上必成两直

　　角相等如上图甲乙为垂线丙丁为横

　　线而乙之左右两角相等为两直角若

　　反以甲乙为横线则丙丁为甲乙垂线也【如今用短尺一纵一横互相为直线互相为垂线】

　　第三界

　　垂线斜交于横直线之上必成两不等角两不等角一大

　　于直角一小于直角大为钝角小为鋭角如上图戊己庚为钝角戊己辛为鋭角故直角惟一而鋭钝两角其大小不

　　等乃至无数

　　第四界

　　凡二直线不能为有界之形故直线之形有界者至少有三角有三直线为边名曰三边形亦曰三角形如上图三边

　　形止有三种

　　第五界

　　三边线相等为等边三角形亦为平边三角形如上甲乙丙图

　　第六界

　　两边线相等为一不等三角形如上丁戊己图

　　第七界

　　三边线俱不等为不等边三角形如上庚辛壬图

　　第八界

　　三边形有一直角为三边直角形有一钝角为三边钝角形有三鋭角为三边各鋭角形如上三图

　　第九界

　　凡三边形恒以在下者为底在上边为腰如上图甲乙甲丙为腰乙丙为底

　　第十界

　　凡言角者俱用三字为识其第二字即所指角也如甲乙

　　丙角其乙字指角

　　三髀规章第二

　　规以二髀为常法或倍之于两端为四髀前卷己详之矣兹有三髀规新式造法两髀如常如前二卷中所设是也旁一髀即附于二髀之枢稍引长之出头其头端上有眼衔旁一髀令其圆活可上下左右如下图用法见后

　　于有界直线上求立等边三角形章第三

　　如甲乙直线上求立等边三角形先以甲为心乙为界或上或下作一短界线次以乙为心甲为界亦如之两短界线

　　交处为丙末自甲至丙丙至乙各作直线即所求于有界直线上求立一不等三角形章第四

　　如甲乙直线以甲为心任取一度或长或短于甲乙线上用前法作一短界线次以乙为心用前度亦如之两短界线

　　交处为丙从丙至甲至乙各作直线即所求

　　于有界直线上求立三不等角形章第五

　　如甲乙直线以甲为心或长或短用一度如前作短界线次以乙为心甲度长今用短度甲度短今用长度于甲乙不

　　等作短界线交处为丙从丙至甲至乙作两直线即所求

　　有直线角求两平分之章第六

　　如乙甲丙角求两平分之先于甲乙线

　　任截一分为甲丁次于甲丙线截甲戊

　　与甲丁等次或用元度或任取一度以

　　丁为心向乙丙间作一短界线次以戊

　　为心亦如之两线交处为己从甲至己

　　作直线即所求若向乙丙无地可作短

　　界线则宜仍以丁以戊为心向甲上作短界线为己从己至甲作直线即所求【如上图】

　　有直角求三平分之章第七

　　如甲乙丙直角求三平分之先任于一

　　边立平边角形为甲乙丁次分对直角

　　一边为两平分丁戊从此边对角作垂

　　线至乙即所求

　　有角任分为若干分章第八

　　如乙甲丙角欲分为四为八为十六等分则先分两分又各两分之得四又各两分之得八又各两分之得十六愈分愈倍如任欲分为几分如三五七九之类则先以甲为心向乙作一圜分次以规分圜分任作几何分末从所分度

　　至甲作直线即所求如上图

　　有三直线求作三角形其三边如所设三直线等章第九

　　如甲乙丙三线毎两线并大于一线任以一线为底以底之甲为心第【二三】线为度向上作短界线两界线交处为丙次

　　向下作丙甲丙乙两腰即所求

　　设一三角形求别作一形与之等章第十

　　以所设三角形之三边当甲乙丙三线以前法作之即所求或又用前所备三髀规以规形所设三角形度移于别处

　　即所求

　　一直线任于一防上求作一角如所设角等章第十一

　　如甲乙线上有丙防求作一角如所设丁戊己角等先于戊丁线任取一防为庚于戊己线任取一防为辛

　　自庚至辛作直线次以前法于甲乙线

　　上作丙壬癸角形与戊庚辛角等即所

　　求

　　有三角形求两平分之章第十二

　　如有甲乙丙三角形求两平分之任于

　　一边两平分之于丁向角作直线即所

　　求

　　凡角形任于一边任作一防求从分两形为两平分章第十三

　　有甲乙丙角形从丁防求两平分之先自丁至相对甲角

　　作甲丁直线次平分乙丙线于戊作戊

　　己线与甲丁平行末作己丁直线即分

　　本形为两平分

　　有三边直角形以两边求第三边长短之数章第十四

　　如甲乙丙三角形甲边直角先得甲乙甲丙两边长短之数如甲乙六甲丙八求乙丙边长短之数其甲乙甲丙上

　　所作两直角方形并旣与乙丙上所作

　　直角方形等【原本卷四十七】则甲乙之羃【自乗之数

　　曰羃】得三十六甲丙之羃得六十四并之

　　得百而乙丙之羃亦百百开方得十即

　　乙丙数十也又设先得甲乙乙丙如甲

　　乙六乙丙十而求甲丙之数其甲乙甲

　　丙上两直角方形并旣与乙丙上直角方形等则甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百减三十六得甲丙之羃六十四六十四开方得八即甲丙八也求甲乙仿此

　　新法算书卷八十五

　　钦定四库全书

　　新法算书卷八十六　　明　徐光启等　撰几何要法

　　界説章第一【凡八则】

　　第一界

　　方形者四直线两纵两横相遇所成亦谓之四边形如上甲图

　　第二界

　　四边形之四线等而四直角者为直角方形如上甲图

　　第三界

　　四边两两相等而俱直角者为长直方形如上乙图

　　第四界

　　四边等但非直角者为斜方形如上丙图

　　第五界

　　四边两两相等但非直角者为长斜方形

　　如上丁图

　　第六界

　　已上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形如上

　　戊图等本卷多以直方形为论为其多有用也

　　第七界

　　凡形毎两边有平行线为平行线方形如上已图

　　第八界

　　凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有对角线者为角线方形其两形无对角线者为余方形如甲乙丙丁方形于丙乙两角作一线为对角线又依乙丁平行作戊巳线依甲乙平行作庚辛线其对角线与戊巳庚辛两线交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬巳丙及戊壬辛

　　乙谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之余方形

　　审矩章第二

　　凡作方形必欲用矩故先论审矩法后论弃矩求方之法矩以两尺纵横而成然必成直角方准若稍出入必为鋭钝两角而不成矩今欲审直角先审两尺之棱如首卷第

　　一法后于他坚体上作半圜中画径线次以矩角倚半圜之界视二尺棱正切径线与圜相交处则矩准而可用矣若有出入则当更改或于坚体上作一直线更作一垂线四边作直角以一矩准四直角不爽则至准矣

　　一直线上求立直角方形章第三

　　如甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲乙线等次作丁丙线相联即得所求

　　有直线形求作直角方形与之等章第四

　　甲直线无法四边形求作直角方形与之等先作乙丁形与甲等【本卷第五第六章】而直角次任用一边引长之如丁丙引之至己而丙己与乙丙等次以丁己两平分于庚其庚防或在丙防或在丙防之外若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣若庚在丙外即以庚为

　　心丁己为界作丁辛己半圜末从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等如上图丙辛壬癸

　　有三角形求作平行方形与之等而方形角又与所设角等章第五

　　设甲乙丙角形丁角求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先分一边为两平分如乙丙边平分于戊次作丙戊己角与丁角等次自甲作直线与乙丙平行而与戊己线遇于己末自丙作直线与戊己平行为

　　丙庚而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等而有丁角

　　有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角又与所设角等章第六

　　设甲乙丙五边形丁角求作平行方形与五边形等而有丁角先分五边形为甲乙丙三【三角】形次依前章法作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角次于戊辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与

　　乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑平行方形与丙等而有丁角即此三形并为一平行方形与甲乙丙并形等而有丁角自五边以上可至无竆俱仿此法

　　有多直角方形求并作一直角方形与之等章第七

　　如五直角方形以甲乙丙丁戊为边任等不等求作一直角方形与五形等先作己庚辛直角而己庚线与甲等庚辛线与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角而辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线

　　旋作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线而己子线上所作直角方形即所求

　　有平行方形求作三角形与之等而三角形角如所设角等章第八

　　如有甲乙丙丁平行方形戊角先作丁乙己角与戊等遇甲丙线于己次以乙丁线引长之为庚取丁庚度与乙丁等

　　末作己庚直线乙丙庚三角形与甲乙丙丁平行方形等而有戊角即所求

　　一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角又与所设角等章第九

　　设甲线乙角形丙角求于甲线上作平行方形与乙角形等而有丙角先依本卷第五章法作丁戊己庚

　　平行方形与乙角形等而戊己庚角与

　　丙角等次于庚己线引长之作己辛线

　　次作辛壬线与戊己平行次于丁戊引

　　长之与辛壬线遇于壬次自壬至己作

　　对角线引出之又自丁庚引长之与对

　　角线遇于癸次自癸作直线与庚辛平行又于壬辛引长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子线得丑即己丑子辛平行方形如所求如欲即于甲线立形则先依本章法作己辛子丑方形次于甲线一界作寅角如辛己丑角等次取寅卯如己丑等末成平行方形即得所求

　　设不等两直角方形如一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等而并之又与元设两形并等章第十

　　先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角

　　而丙丁线与乙等次作戊丁线相联末

　　于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半

　　于直角己戊己丁两腰相遇于己而等

　　即己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁上所作两直角方形等

　　两直线形不等求相等之较几何章第十一

　　甲与乙两直线形甲大于乙以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁

　　丙辛庚平行方形与乙等即得辛庚戊

　　己为相减之较矣

　　有圜求作一直角方形与之等章第十二

　　方圆圆方之法自古名贤究折而未准

　　吾师丁先生几何六卷之末设此神法

　　其法之用甚广今撮其要以推作方圆

　　圆方之法先设甲乙丙丁直角方形次

　　以乙为心以甲为界作甲丁限象任分

　　为若干度今姑分为九十度又分甲乙丙丁两线如前数为九十次自乙心至象限逐度皆作虚线次从甲乙丙丁两线对望作平行线其与限象线交处俱作次从甲作曲线贯诸防贯诸防之线则甲戊线为方圆圆方之根线而乙甲为边乙丁为底次自甲至戊作一直线若乙戊直线与所设欲方之圜半径等则甲乙线为所设圜限象之界线若圜半径长则于乙丁线上截乙己与半径等引长甲乙线作己庚与戊甲线平行庚至乙即长径圜限象之界线若圜半径短则于乙丁线上截乙辛与半径等作辛壬线与戊甲平行则壬至乙即短径圜限象之界线今有

　　子丑圜或大或小其半径与乙辛等先

　　作一寅卯直线立一辰己垂线次从己

　　起取己午午未各与乙壬等次取己申

　　与乙辛等次两平分申未于酉以酉为

　　心以申或未为界作半圜切垂线于辰

　　末取己辰作直角方形之一边则此方

　　形与所设圜等以此可推不特一方与一圜即方之一边线与圜一限象等方之半边线与圜半限象等

　　有直角方形求作一圜与之等章第十三

　　如有甲线为方之边先取一圜依前法

　　求其作方之线如前度得申己次作辰

　　申直线次截戊己如所设甲线等次自

　　戊作戊卯线与辰申平行末以己卯为

　　半径之度作一圜即得所求

　　推用一法

　　依两章方圆圆方之法可推任有直线形可作一圜与之等又任设一圜可作直线形与之等须先依前章法求多边直线形作一方形与之等次依本章法作一圜形与直角方形等则得一圜与所设直线形等若又有圜求作一三角形先依本章法作一方与所设圜等次依前法作三角形如所设方形等则所作三角形如原设圜等

　　新法算书卷八十六

　　钦定四库全书

　　新法算书卷八十七　　明　徐光启等　撰测量全义叙目

　　测量全义十卷前九卷属法原后一卷属法器法原者法之所以然也凡事不明于所以然则其已然者茫茫不知所来其当然者昧昧不知所徃即使沿其流齐其末穷智极虑求法之确然不易弗可得已况天之髙星辰之逺厯数之且隠也而不究其原可乎旋观徃代如二十一史所载汉以后诸家之厯详矣大都专求法数罕言名理即才士间出亦各窥一二莫覩大全杂以易卦乐律益增迷瞀何恠乎千八百年而未有定法也夫厯法之原有二其一则象纬之原也天事也其一则推测之原也人事也象纬之原如测天约说所论百中之一二耳其他散见于七政本论防而通之聊足着明矣此书所论则推测之原也古今言推测者又有二其可以形察可以度审者谓之叀术不可以形察不可以度审者谓之缀术此所论者又缀术也缀术之用又有二其一总物以为度论其几何大曰量法也其一截物以为数论其几何众曰算法也厯象之家兼用二法如鸟之傅两翼也则无所不可之矣凡几何之属有四曰防曰线曰靣曰体引为线线展为靣靣积为体究此四者诸有形有质之物细若纎芥钜若大圜悉可极其数而尽其变所以能范围不过曲成不遗也不可为度线不可为形必三线交始成三角形焉凡度与数不用此形即巧厯无从布算故三角者虽形体之始基实测量之纲要诸卷中当首论者此也凡言度数必通大小通近逺者也三角形繇两视线一径线径线者所测物之广也径之两端出两直线入交于目睛之最中而成形如分寸咫尺为近小之形乃至大圜七政为逺大之形形絶不等然其为三角等则比例必等因而用小推大用近推逺亡不合者故曰通大小通逺近也夫学难者必自近也学微者必自显也最难且微莫如天之三光最易且显莫如地之百物次卷所测测地与物以此故也然而测一物之髙一山之髙与测日月星辰去地之髙也无以异则亦通大小通逺近者也其次进而测靣靣者平方平圆之类其变不可胜穷也然而测物之靣与测地景之靣测日月星之靣其理一也又进而测体体者立方立圆之类其变不可胜穷也然而测物之容与测地之容日月星之容其理一也是皆逺近大小通焉者也既曰通焉而不言逺大先言近小者则所以习之也习之奈何习手与目以求其贯也习心与意以求其信也不习不贯未有能信者也习且贯未有不信者也故习小习近言逺大者之所求也夫论度数至于测体深矣微矣然而皆平靣直线也天则圆体其靣圆靣其线曲线也测圆靣之难十倍平靣测曲线之难十倍直线盖圆与曲谓之弧而测弧无法于无法中求有法其势不得不难世有传弧矢算术测圆术者皆非术也其本术稍见于大测其为数则割圆八线表而此书第七至第九则言其理与法也盖以弧背求矢用测曲线三角形展转推求展转变易凡周天众规相交相距所以经纬七政运行四时推迁运防者上下百千万年可知也诸天诸曜种种运行悉无一定之法其为纷莫可胜原此弧诸法则何以能追求至尽乎盖所论者非诸曜自行之度数而宗动天之度数也宗动者不依七政而能为七政之凖则厯家谓之天元道天元极天元分至终古无变易也因此推歩是以有恒御无恒厯家之立法最难在此其用法最易亦在此矣终之以法器何也曰器之用大矣智者非器不作明者非器不述差者非器不改合者非器不验教者非器无以措其辞学者非器莫能领其意巧者非器未繇见其长拙者非器有所匿其短是以唐虞钦若首在玑衡厯代以还屡更其制据今所有则浑天仪简仪立运仪浑天象四器也而年逾数百久阙缮治地址倾垫枢轴锈蚀浑天一仪不复运动简仪立运犹似堪用复少黄道规环且测多端止慿一器架柱森列多成映蔽均赋辰度尚未精宻刻定宿度则又元时所测非今测也此卷中分列诸器择其最急畧有五种曰测髙仪曰距度仪曰地平经纬仪曰赤道经纬仪曰黄道经纬仪有此诸仪相袭并用彼碍则此通可以无求不得矣更求宻测责以分秒无差则一式又湏三器三器俱列用相参较三测并合则制器精工安置如式测验得法灼然具见矣有不合者可以推究病源更求厘正厘正之后测复参差则择其同者用之若止据一器有得即真乌从知其然不然可不可乎且旧仪大环径止五尺二寸度止十分今拟新式用半径者六尺则三倍大也度得百分则十倍细也用全径亦六尺度可六十分亦六倍细也夫今之改宪欲求倍胜于古非倍胜之器谅无从得之矣或疑法器重大取数复多即用物必奢是又不然今之旧仪不能揣知轻重大都唐宋以来考诸史志约畧相等宋史言东都浑仪四座每座约铜二万余斤今拟诸式槩从轻省若得宋元一仪之费足以尽造诸器有余矣且每式三器诚不可少若宛转相就则经纬仪可以得距地平仪可以得髙一倍本数亦能通用或五大既全稍从狭小以为副贰兼用精铁以省铜材固无不可则所计一仪之费尚可损其半也惟是旧仪欲将脩改则一器止堪一用其脩改之费恐过于造作计不当为之耳惟浑天象止以测到度分量度经纬在于施用未为闗切今体制完美无烦再造矣

　　界说二十三则

　　第一界

　　正弧全圏四分之一或大焉或小焉

　　如图甲乙丁为全圈之半乙丙丁为四分之一是名一象限九十度正弧之大无过于此若甲乙丙则大于象限丙丁则小于象限但

　　小者皆名正弧而大者则名过弧

　　第二界

　　余弧正弧之剰分

　　如庚己正弧庚乙为余弧是正小于己

　　乙也如庚丁过弧则大于丁乙而庚乙

　　为过弧之余弧也

　　第三界

　　通者通弧之相当线分圏为两分【相当线亦名对线】

　　如庚丙线与庚乙丙弧相当又与庚己子丙弧相当第四界

　　圏内线极大过心者为圏径

　　如己戊丁是

　　第五界

　　正之半

　　如丙甲庚半之为丙甲正当丙乙弧又丙辛子半之为丙辛正当丙丁弧或曰正者从圏上一防作垂线至己丁径上则丙辛为丙丁弧相当之正第六界

　　余余弧之正

　　如丁丙正弧则丙乙其余弧丙甲为丙乙之正丙丁之余

　　第七界

　　倒者余与半径之较亦名矢

　　如丙甲余与辛戊线等以辛戊减丁

　　戊半径存辛丁为丙丁弧之倒亦为

　　丙丁弧之矢

　　第八界

　　全径之半象限弧之正

　　第九界

　　直线角在圏心或大或小皆居对弧两腰间【相当弧亦曰对弧】如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧则角生于丙戊丁戊两腰间

　　第十界

　　余角者余弧之正角【对角亦名正角亦名相当角】

　　如丙戊乙角为丙丁正弧之余角即丙乙余弧之正角第十一界

　　切线者圏径界之垂线亦名切圈线在圏外【如下界之丙甲线】第十二界

　　割线者直角之对线亦名交线亦名截线在圏之内外如甲戊丙形甲直角【凡言甲角当九十度弧之直角】戊为心丙戊交圏于乙割线也此线限心上角

　　限甲乙弧则角与弧胥生于甲戊戊丙两腰间又曰正割线者正弧之割线如甲乙正弧则戊丙正割线也第十三界

　　余切线者余弧之切线

　　第十四界

　　余割线者余弧之割线

　　如戊丁余弧乙己为割线是甲戊弧之余割线

　　第十五界

　　全圏三百六十度半径之全数十万平分【或用一万或用百万千万皆可】第十六界

　　设弧者任取全圏之一分【凡言设者先有定数也或称有或称得】

　　如甲戊丙角形戊为心甲乙丁其象限弧也取甲乙一分四十度则甲乙为设弧也

　　第十七界

　　设角者设弧之角

　　如戊心甲戊戊乙两腰弧甲乙则因弧而称甲戊乙角言角之度分即对弧之度分

　　第十八界

　　设正

　　如丁戊半径十万分先言丙辛若干分则所设丙丁弧之正

　　第十九界

　　设切线

　　如甲乙全数先言甲丙若干数则所设切线

　　第二十界

　　设割线

　　如甲乙全数先言乙丙若干数则所设割线

　　第二十一界

　　设邉线

　　如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五丈或甲丙三丈俱所设邉线

　　第二十二界

　　方数者方形邉自乗之数

　　如正方邉四自之得一十六方之各邉俱等

　　方形根者开方所得方形一邉之数

　　第二十三界

　　平形有方有矩【方者直角方形矩者矩内直角形】

　　矩形邉两两自相等有一邉有实用算得所求他邉开方法有本论本书今别撮为图欲求根一简即得省布算焉简法见筹算

　　测量全义卷一

　　第一题

　　通与通弧正与正弧比例等【比例等后省曰若】

　　解曰有己庚乙丙丁圏其通径己戊丁戊上作乙戊垂线别作庚甲丙线与己丁平行则庚甲丙为庚乙丙通弧之对题言

　　庚甲丙通与庚乙丙通弧之比例若丙甲正与乙丙正弧

　　论曰戊心上垂线作直角平分庚乙丙弧则庚甲戊丙甲戊两角形等何者庚戊丙戊从心至界等甲两旁直角等甲戊同邉则两形必等两角之对弧亦等【几何三卷二十六】故庚甲丙偕庚乙丙两全与丙甲偕丙乙两半比例等

　　第二题

　　圏内正弧等正亦等反之正等正弧亦等

　　解曰有全圏丁丙乙寅己丁寅为径设丁丙乙寅两正弧等从丙从乙作丙戊乙己两垂线截径于辛于壬作直角平分两

　　【三卷第三】亦平分丙丁戊乙寅己两弧【三卷三十】是丙丁丁戊偕乙寅寅己之各两半与丙丁戊偕乙寅己之两全比例等则其丙辛戊乙壬己之两全与丙辛辛戊偕乙壬壬己之各两半比例亦等题言丁丙乙寅两正弧既等则丙辛乙壬两正必等

　　论曰丙丁与乙寅两弧既等则作丙庚乙庚自心至界之两等线得丙庚丁角与乙庚寅角等【三卷二十七】丙辛庚与乙壬庚两直角亦等而丙辛庚乙壬庚两三角形必等故丙辛乙壬两正必等反之丙辛与乙壬丙庚与乙庚各等丙辛庚乙壬庚两直角等则丙庚辛乙庚壬两角亦等【一卷第八】而丙丁乙寅两对弧必等【三卷第二十六】

　　第三题

　　圏之内大弧大小弧小反之大大弧小小弧各相对

　　解曰甲乙丙丁圏甲己大弧丙庚小弧题言己卯大于庚寅

　　论曰试取甲辛弧与丙庚弧等从庚乙己辛各

　　作垂线过甲丙径至于丑于丁于癸于子其庚寅辛壬两半等【本卷二】即庚丑辛子两全亦等【三卷第三】己癸近心大于辛子【三卷十五】是全大于其全也【五卷十五】己卯视辛壬半不大于其半乎次论曰试截卯己于午与庚寅等午上作垂线至辛与丙甲径平行午卯庚寅既等自与辛壬等【皆在两平行线内】甲辛丙庚两弧亦等己甲全弧大于辛甲分弧己卯大必大于辛壬小是大对大弧小对小弧也第四题

　　圏径截亦截弧任分之两分与两弧之正各相似解曰有圏径乙辛截丙丁通于己截丙乙丁通弧于乙其丙乙乙丁两分弧之各正为丙甲戊丁题言丙己己丁两分

　　与甲丙戊丁两正比例等

　　论曰丙甲己丁戊己两角形相似何者两形有相等之己交角有相等之两直角即丁角与丙角必等【一卷三十二】是形与形邉与邉俱相似而丙己己丁两分之比例与丙甲丁戊两正自相似

　　第五题【三支】

　　三不等角形作垂线任分底为二其大分依大邉大邉上方大于小邉上方其较为底全线偕分余线矩内形先解曰丁乙丙角形三邉不等丁乙小丁丙次之乙丙大为底【凡邉大者为底】从丁角作垂线至底题言分底为二者谓垂线之甲在形内盖乙丙邉大即对角之乙丁丙角

　　亦大乙丙两角必小如谓在形外即以乙丙邉引长于己而令己作直角将丁己乙三角形内有丁乙己钝角【甲乙丁为锐角故也】又有己直角是两角大于两直角也可乎次解曰丁甲垂线任分乙丙底题言甲丙大分依丁丙大邉

　　论曰丁丙邉既大于丁乙邉即其上方形亦大而丁丙上方与甲丁甲丙上两方幷等【一卷四十七】则甲丁甲丙两邉幷亦大于甲丁甲乙两邉幷试减同用之甲丁则所存

　　甲丙亦大于甲乙是甲丙大分依丁丙大邉也三解曰丁丙方大于丁乙方其较乙丙偕戊丙矩内形论曰试截甲戊与甲乙等其乙戊线平分于甲有引增戊丙线则乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形幷与甲丙上方形等【二卷第六】次各加一甲丁上方形则乙丙偕戊丙矩内形及乙甲【即甲戊也】甲丁上两方形或丁乙上方形【乙甲甲丁两方幷与丁乙方等一卷四七】与甲丙甲丁上两方幷或丁丙上方形俱等夫丁乙上方形内有甲乙甲丁上两方形独少乙丙偕戊丙矩内形则丁丙上方大于丁乙上方形之较为乙丙偕戊丙矩内形

　　第六题【四支】

　　三不等角形从角作垂线任分底为二知其邉数即知各分数

　　解曰同前图乙甲甲戊等戊丙为任分之较法曰丁乙丁丙上两方之实相减余者以底数而一得戊丙以减底数余者半之得乙甲

　　小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得二百二十五丁乙自之得一百相减存一百二十五以底十八为法而一得六又十八之十七戊丙也以减十八存十一又十八之一乙戊也半之得五又三十六之十九乙甲也次解曰依二卷十三题乙丙为两锐角则丁丙上方小于丁乙乙丙上两方其较为乙丙偕乙甲矩内形二法曰用前数乙丁一百乙丙三百二十四两方形幷为四百二十四减去丁丙方形之数二百二十五存一百九十九为实底数一十八为法而一得乙甲之数约之为五又三十六之十九者二

　　三解曰以丁大角为心丁乙小邉为界作全圏截丁丙于己乙丙于戊丁丙引长于辛丁乙丁辛两半径等则辛丙偕己丙与乙丙偕戊丙两矩内形等【三卷三十六】乙甲甲戊又等【三卷三】丙乙大邉有戊丙分在圏外

　　法曰用前数丁丙十五加丁乙十或丁辛得辛丙二十五丁己与丁乙等则辛己径为二十以己丙五乗辛丙得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六又十八之

　　十七为戊丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲四解曰以丁大角为心丁丙大邉为界作全圈乙丙底引长于戊丁乙邉引长于庚于己即庚乙乙己矩内形与丙乙乙戊矩内形等【三卷三十五】丙甲甲戊既等庚丁丁丙亦等庚乙邉二十五丁丙丁乙两邉幷亦二十五丁己丁丙各十五减丁乙十存乙己五

　　与庚乙相乗得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六有竒为戊乙以加乙丙十八得戊丙平分得丙甲第七题

　　断比例之四率以三推一名三率法

　　解曰四几何为两比例等先有三推得第四或同类或异类其前其后不得更易用反理亦用转理列第一第二第三率即可推第四率依七卷十九题中率相乗与首尾两率相乗得数等故二三相乗为实第一为法而一得四率也昔人因其用大算家必需称为全法焉【同类异类反理转理俱见几何四卷】

　　第八题

　　三邉直角形锐角为心底为界作象限圏半径为全数在心角对邉为其弧之正其旁为正弧之余余弧之正解曰如前图甲乙丙直角形乙锐角为心乙丙底为界作丁己象限圏引乙甲邉于丁从心作乙己垂线题言甲直角乙丙为对邉作全数【本界说八】丙甲邉为在心角之对邉即丁丙弧

　　之正【本界说五】而甲乙邉为丁丙正弧之余为丙己余弧之正所以然者试从丙作丙戊与甲乙平行甲直角丙戊乙亦直角则丙戊甲乙两线等【一卷三十四】丙己弧为丁丙正弧之余弧丙戊为丙己余弧之正为丁丙正弧之余【甲乙同】

　　又如后图用锐角丙为心乙为界则乙甲

　　为丙角之对邉为乙丁正弧之正甲丙其余【乙戊同】第九题

　　三角形邉与邉之比例若各对角之正

　　解曰题一言直角形依前论各邉为对角之正在心角与正弧与正俱同理则弧与弧与角与角其比例俱等二言三邉等即三角俱等【一卷五】角之正亦等则邉与邉皆若角与角三言己乙丙杂角

　　形三邉形不等则以己乙小邉引长于丁为乙丁与己丙等丙为心己为界作己庚弧又乙为心丁为界作丁戊弧末作丁辛甲己两垂线至乙丙底

　　论曰丁辛乙甲己乙两直角形之丁辛甲己平行同用乙角即各邉俱相似【六卷四】则乙丁与乙辛若乙己与乙甲又先设乙丁己丙等是丙己邉与丁辛若己乙邉与甲己也夫丁辛为乙角之正甲己为丙角之正更之则丙己邉与己乙邉若乙角正之丁辛与丙角正之甲己也

　　第十题

　　有三角即有三邉之比例

　　解曰直角形设一锐角自有其二【一卷三十二】三邉等形设一邉自有其三两邉等形有腰间角以减两直角平分其较自得底上角杂角形有两角幷以减两直角其较为第三角【杂角者总直钝锐也下文以直角为例】如乙角四十二度查正得六六九一三丙角四十八度得七四三一四则丙甲邉与乙甲邉若六六九一三与七四三一四约之为三十三与三十

　　七有竒也其乙丙与丙甲若全数与乙角之正六六九一三也钝角同理

　　第十一题

　　三角形有设角之比例即有各角之几何

　　解曰乙丙丁角形丁角与乙角若三与四乙角与丙角若四与六题言可得各角之几何

　　论曰三几何分之有比例幷之亦有比例【五卷十八】乙丙丁三角幷得十三其与丙若十三与六与丁若十三与三与乙若十三与

　　四

　　如求每角几度则用三率法三角幷为第一两直角幷一百八十为第二每角之分数为第三推之得第四

　　或用四卷八题之法三与四四与六四数横列之以第一第三相乗所得为第一率以第二第三相乗所得为第二以第三第四相乗所得为第三【再用前法】又如乙与丙若三与四丙与丁若五与六列数如图

　　第十二题　论直角三邉　【四支】

　　三角形有锐角及直角之对邉求余邉

　　一法曰置【三角形之直角之对邉也】如乙丙二丈五尺乙角三十六度五十二分丙角必五十三度○八分求丙甲邉以乙角为心作

　　丁丙戊象限弧则乙丙全数也丙甲邉乙角之正也一率甲直角之全数十万

　　二率丙乙邉外数二十五尺【言内者八线表数言外者今所求得数如丈尺等】三率乙角【三十六】一度五十二分　　或用丙角五十三度

　　正内数五九九九五　　　　其正内数八○○○三

　　四率得一四九九约得一丈四尺　　四率得二丈

　　为甲丙邉外数　　　　　为甲乙邉外数

　　用加减法

　　凡全数为第一率如置十万即第二第三率之数进为万加○若过万则退位两率各当正向各表上取其弧两弧幷而相减求总存两弧之各余若总数过九十者两余相加其半为第四率总数不过九十者两余相减所存半之为第四率

　　如全数与二十五若五九九九五与所求数法二十五作二万五千正表取其弧得十四度二十九分查第三率得三十六度五十二分两弧幷得五十度二十分其余为六三八三三相减存二十二度二十四分其余九二四五五两余之较二八六二三半之得一四三一为第四率与三率乗除所得同

　　用切割两线

　　二法曰丙乙角为心甲为界作甲戊己

　　弧截乙丙于戊则乙甲邉全数也甲丙

　　乙角之切线也乙丙乙角之割线也有

　　乙设角即有其切线与割线而求甲乙邉则乙角之割线与乙丙【外】若乙甲全数与乙甲【外】又求甲丙邉则乙角之割线与乙角之切线若乙丙【外】与丙甲【外】

　　一乙角三十六度五十二分之割线三四九九五二乙丙外邉二十五　　或二乙角之切线七四九九一

　　三全数十万　　　　　○三乙丙外邉二十五四得二十为外甲乙邉　　四得十五为外甲丙邉

　　三法曰设直角傍之一邉如乙丙甲角

　　五十三度八分用正则乙丙为全数

　　其法为丙角之正与乙甲外数若甲

　　直角之全数与乙丙底外数

　　丙角五十三度八分之正八○○○三

　　乙甲邉外数二十

　　乙丙全数十万　　　　乙角之正五九九九五得二十五强即乙丙底外数　　得一十五强乃甲丙邉外数

　　用割切二线

　　四法曰设乙甲邉与乙角则甲乙全【内数】与其外数若乙丙割线【内数】与其外数或

　　若甲丙切线【内数】与其外数底与邉俱得

　　乙甲全数十万

　　乙甲邉数二十

　　乙角割线内数一二四九九五　　乙角切线内数七四九九一得二十五强即乙丙外数　　得一十五强即甲丙外数

　　第十三题【三支】

　　有两邉求余邉又求其角

　　一支两邉在直角之傍

　　一法曰先求邉用勾股法两邉数自之幷

　　而开方得直角之对邉【一卷四十七】次以邉求其角因角与角之比例若邉与邉用正数为丙乙邉之外数与甲角之全数若丙甲邉外数与乙角之正亦若甲乙邉外数与丙角之正

　　丙乙外数五

　　全十万

　　甲乙外数三　　　　甲丙邉外数四

　　用剖切线

　　二法曰丙锐角为心丙甲为全数甲乙其切线丙乙割线也先求角则甲丙邉

　　外数与全数若甲乙邉外数与丙角之切线丙甲外数四

　　全十万

　　甲乙邉外数三

　　得七五○○○为丙角之切线查得三十六度五十二分

　　有丙角自有乙角而求丙乙邉则全数与甲丙外数若丙角之交线与丙乙外数

　　全十万

　　甲丙外数四

　　丙角交线一二五○二二

　　得五为丙乙邉外数

　　二支一邉为直角之对一邉在直角之傍

　　三法曰先用勾股法两设邉各自之相减余开方得所求邉有邉求角则角与角之比例若邉与邉

　　四法曰不用开方用第一支求角法有二邉即有对角之数次求邉则丙乙全数与丙乙外数若乙角之正与丙甲外数

　　全数十万

　　乙丙外数五

　　乙角之正八○○○三

　　得四为甲丙邉外数

　　用割切两线

　　五法曰求角用乙角之割线则乙甲外

　　数与全数若乙丙外数与乙丙内数内

　　乙丙者乙角之割线也

　　乙甲邉外数三

　　全数十万

　　乙丙外数五

　　得一六六六六六为乙角之割线查得五十三度五十二分【丙角三十六度○八分】

　　六法曰求邉用乙角之切线则乙甲内全数与乙甲外数若乙角之切线与甲丙外数

　　乙甲内全数十万　　或乙角之割线一六六六七九

　　甲乙外数三　　　　　乙角之切线一三三三四九乙角之切线一三三三四九　　　乙丙邉外数五得四为甲丙邉外数　　得四为甲丙邉外数

　　又问有一邉及两邉之比例余邉几何

　　法曰设一邉与第二邉有比例或大或小则以大比例为前数为第一率设邉数为二率

　　比例之后数为三率用三率法得四率为第三邉之数次用勾股法求第三邉如乙甲一丈乙甲与甲丙若二十与二十五得甲丙一丈二尺五寸次用开方求之又问设两邉总之较问各邉若干此测量不常用见勾股索隠

　　又增题　三邉直角形设两腰以求角法曰设甲乙七十五甲丙百则以乙丙底平分于丁作丁戊垂线交丙甲腰于戊从戊至乙角作戊乙线是与戊丙等【一卷十】次以戊为心乙为界作丙乙己半圏丙甲腰引长至己即乙甲为丙甲甲己之中比例线【六卷十三】是乙甲上方形与丙甲甲己矩内形等次以乙甲邉自之以丙甲邉而一得甲己知丙己径之

　　数即知丙戊及戊乙半径之数用三率法外戊乙与全数若外乙甲与乙戊甲角之正夫乙戊甲在心角也丙在弧角也弧角半于心角则因乙【戊甲】角得丙角【三卷二十题】

　　甲乙七十五自之五千六百二十五甲丙百而一得五十六又四之一与丙甲幷得一百五十六又四之一即丙己半之得七十八又八之一即丙戊半径

　　戊丙七八又八之一

　　全十万

　　甲乙七五

　　乙己弧正九六○○○

　　查得七十三度二十二分半之得三十六度四十一分用切线甲丙全数也丙甲为丙乙甲角之切线则甲丙一率也全数二率也甲乙三率也所得丙角之切线也

　　第十四题【论杂角三邉形】

　　有三角及一邉求第二第三邉

　　解曰依前论邉与邉若角与角如设乙角六十○度丁角三十六度丙角八十四度乙丙邉一十○歩

　　法曰所有邉其对角之正为第一率邉数

　　为二率所求邉对角之正为三率得四率即所求邉数

　　丁角之正五八七七九

　　乙丙邉数一十

　　丙角之正九九四五二　　乙角之正八六六○○一得十七为丁乙邉　　得十五为丙丁邉

　　若三角形有钝角当借用其余角之正

　　第十五题【三支】

　　有角及其旁两腰求余邉余角

　　一支不论角之体势　如丁乙丙角形乙丁邉一十二歩丁丙一十五歩丁角二十四度三十七分而求乙丙邉乙角丙角先以丙丁邉引长之丁为心乙为界作乙壬辛戊弧截引长邉于戊次作戊乙通从丁作丁庚辛线与丙乙平行末平分戊乙作丁甲壬线

　　解曰乙丁丙角二十四度半强则乙丁戊角

　　必一百五十五度半弱庚丁戊角与丙角等【在平行线内】庚丁乙角亦与丁乙丙角等盖丁乙线交两平行线故其相对两内角等则乙丁邉与丙角之正或庚丁戊角之正若丁丙与乙角之正或庚丁乙角之正依显戊庚与庚乙若庚丁戊角之正与乙丁庚角之正亦若乙丁【一十二】与丁丙【一十五】也【本卷四题】次以乙丁丁丙同比例之戊庚庚乙幷得戊乙二十七半之得甲戊一十三又半为外一率甲丁戊角之切线为内二率甲戊内减比例之小数戊庚存甲庚一有半为外三率求得甲丁庚角之切线为内四率查得本角之度知甲丁戊角则亦知甲戊切线知甲庚庚戊之比例则亦知甲丁庚角之切线甲庚也甲丁庚为乙丙两角之较以加减得各角之数

　　乙丁邉十二丁丙邉十五总二十七代以乙戊也半之得十三半甲戊也减比例小数即十二余一半甲庚也丁角二十四度三十七分乙丙两角幷得一百五十五度二十三分即戊丁乙也其半七十七度四十一分甲丁戊也

　　法曰乙丁丁丙两邉数幷半之为第一率乙丁戊角之数半之为甲丁戊其切线为二率甲戊内减去比例之小数十二所存甲庚为三率得甲丁庚角之切线查度以减甲丁戊外角所存为庚丁戊角之度即丙角之度既得角则用前法求邉【或两腰总数作第一率两腰较作第三率】

　　甲戊十三有半

　　甲丁戊角之切线四五八○○一

　　甲庚有一半

　　得五○八一五为甲丁庚角之切线查得二十六度五十六分

　　甲丁乙角七十七度四十一分加甲丁庚角二十六度五十六分共一百○四度三十七分即丁乙丙角也又甲戊丁角七十七度四十一分减甲丁庚角二十六度五十六分余五十度四十五分为丙角则乙丁邉与丁丙邉若丙角与乙角

　　二支所设为钝角解曰如丁乙丙角形丙钝角一百三十度丁丙邉一十二歩丙乙邉一十五歩用设邉如乙丙引长之从丁作垂线至引长邉得甲在形外何者甲乙丁角形有甲直角丁丙乙角形有丙钝

　　角则丙丁乙丙乙丁两角小于甲丁乙丁乙甲两角盖每角形之三角幷等两直角钝大于直则所余两角幷必小于直角之两余幷矣故丁甲线在丙丁之外丁丙乙角既一百三十度甲丙丁其余角也必五十度丙丁甲角必四十度一法用正用开方丁角为心丁乙邉为界作戊乙辛圏分又丁丙为界作午丙子象限圈即甲丁丙直角形有丁丙邉十二歩甲丙丁角五十度丙丁甲角必四十度而求甲丁甲丙两邉其法全数与丁丙若甲丙丁角之正与甲丁甲丙亦如之既得两邉开方求丁乙邉【甲丙丙乙幷之得勾丁甲为股故也】

　　全数十万

　　丁丙邉外数十二

　　甲丙丁五十度角之正七六六○四　甲丁丙四十度角之正六四二七九得九又一百之十九为甲丁邉外数　得七又一百之七十一为甲丙邉外数【甲乙二十二又一百之七十一甲丁九又一百之十】自之幷得一万之六○○二四三五开方得一百之二四四九即丁乙邉约之得二十五不足有三邉以求角则丁乙邉与全数若丁丙邉与乙角之正查得二十二度有竒

　　用割切两线丁为心作甲己象限圏即丙丁为丙丁甲角之割线甲丙其切线也乙丁为乙丁甲角之割线甲乙其切线也甲丙丁角有五十度其形内有丁丙两锐角有丁丙邉十二歩而求甲丁甲丙两腰得甲丁九歩又一百之一十九甲丙七歩又一百之七十一以丙乙丙甲幷为甲乙邉二十二歩有竒则甲丁乙三角形有甲丁甲乙两邉开方求丁乙底得二十四歩

　　半有竒

　　甲丁丙角割线一三○五四

　　丁丙邉外数十二

　　全数十万　　　　　　甲丁邉角切线八三九一○得九又一百之十九为甲丁邉外数

　　有三邉以求角则甲丁邉外数与全数若甲乙邉外数与乙丁甲角之切线

　　甲丁邉数九歩一十九分

　　全数十万

　　甲乙邉之数二十二歩七十一分

　　得二四七一一六为乙甲丁角之切线查得六十度五十分

　　三支所设为锐角解曰如丁乙丙角形乙锐角二十四度二十七分丁乙邉三十六歩乙丙邉五十二歩十五之十一一法用正数亦用开方从乙丙底之对角丁作垂线分元形为甲乙丁甲丙丁两形次以丁为心丙为界作寅丙壬弧又以乙为界作辛乙庚弧夫甲乙丁角形丁乙为全数设乙角则甲丁为正甲乙又丁角之正用法求甲丁为一十五歩求甲乙为二十二歩又一十五之一十一则以甲乙减丙乙存甲

　　丙线二十歩依显丁甲丙角形有丁甲一十五歩甲丙二十歩用开方法求丁丙得五歩末以三邉求甲丙丁角得三十六度五十○分

　　全数十万

　　丁乙邉外数三十六

　　乙角之正四六六七　乙角之余九○九○六得十五为丁甲邉外数　得二十三又十五之十一为乙甲邉外数丁丙邉二十五

　　甲丁邉十五

　　全十万

　　得六○○○○为丙角之正查得三十六度五十五分