《皇朝经世文续编》·5

二二九六一五一八四五六四　以借用本数之对数

四三四二九四二六四七五六二　除之得

五二八七八五九二一二　　　　　　　借用率数

　　假如有对数一三六一七二七八三六一七五九二八七八四求其真数

法依前求得借用率数五二八七八五九二一二乃以借用本数首位单一下加十九空位得一为第一数正　次以借用本数减去单一得一为乘法以乘法乘第一数又以率数乘之得五二八七八五九二一二为第二数正　乘法乘第二数又以率数反减一得四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九为第三数负　乘法乘第三数又以率数反减二得一四七截用三位乘之三除之得一为第四数正　乃诸正数得一五二八七八五九二一二一内减第三负数得一五二八七八四六五六一九二乃以前求借用率数时递减各对数之真数一三与一四与一二与一五与一四与一一与二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八弃零进一得二三又以前求率数时曾减首位之一应升一位得二十三即所求之真数也

本数　　一一

乘法　　一一

第一数　一　降六位率数乘之得

　二　　　　　　　　　五二八七八五九二一二　降六位率数减一乘之二除之得

　三　　　　　　　　　　　　　　　一二四五九二九　降六位率数减二乘之三除之得

　四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

本数　一五二八七八五九二一二一

减得　　一五二八七八四六五六一九二　以一三乘之得

　　　　一三五二八七一五一七四四六　以一四乘之得

　　　　一四三五二八八五一二一四六七　以一二乘之得

　　　　一二四三五三七五五六九七三八六七　以一五乘之得

　　　　一五二四四七五五二四四七五五二四四八　以一四乘之得

　　　　一四五四五四五四五四五四五四五四四八一　以一一乘之得

　　　　一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八　以二乘之得

　　　　二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八　弃零进一升一位

　　　二三

按此即用求倍大各率第二术也其第三数变为负者凡整率必大于单一其减一减二皆为正减至率数减尽而止而无所为反减故逐数皆正今所用之率数小于单一其减一减二皆为反减反减则为负以为乘法故能变逐数皆正者为正负相间也又凡对数递减得三空位已可递求惟逐数用率数之乘法多位畸零不免繁重故须减至七空位然亦为求十八位对数之真数而设耳若求十一二位则一一即可借为本数而对数递减至四空位即可求借用率数矣

　　割圜连比例术图解序　　　

董佑诚

元郭守敬授时草用天元术求弧矢径一围三犹仍旧率西人以六宗三要二简术求八绵理密数繁凡遇布算皆资于表梅文穆公赤水遗珍载西士杜德美圜径求周诸术语焉不详罕通其故尝欲更创通法使弦矢与弧可以径求覃精累年迄无所得己卯春秀水朱先生鸿以杜氏九术全本相示盖海甯张先生豸冠所写者九术以外别无图说闻陈氏际新尝为之注为某氏所秘书已不传乃反覆寻绎究其立法之原盖即圜容十八觚之术引伸类长求其絫积实兼差分之列衰商功之堆垛而会通以尽句股之变周髀经曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一递加递减递乘递除之差也方圆者天地之大体奇耦相生出于自然今得此术而方圜之率通矣爰分图着解冠以九术原文并立弦矢亘求四术都为三卷辞取易明有伤芜冗其所未寤俟有道正焉

　　割圜连比例后序　　　

董佑诚

割圜解既成之二年朱先生复得割圜密率捷法四卷于钟祥李氏盖干隆初钦天监监正明图所解而门人陈际新所续成者其书释连比例诸率分弦矢为二术皆先设百分千分万分诸弧如本法乘除之弃其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八诸数遂为递加一数以为除法者特取其易知而便于记忆则其于立法之原似未尽也然反覆推衍使弧矢奇耦率可互通钓隐探赜杂而不越盖师弟相承积三十余年之久推其用心可谓勤且深矣陈氏序言圜径求周及弧求弦矢三术为杜德美氏所作余六术则明图氏补之与张先生所传互异又借弧借弦二术并见陈氏书中范氏所作其闇合欤余以垛积释比例而三角及方锥堆三乘以下旧无其术近读元朱世杰四元玉监菱草形段果垛叠藏诸问乃知递乘递除之术近古所有而远西之士尚能守其遗法有足珍者爰记之

　　少广缒凿　　　

夏鸾翔

　开平方捷术一

小初商为一借根　以一借根除本积得二借根　一二借根半之为三借根　以三借根除本积得四借根　三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止

　此术一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根

　算例

　假如平积一百二十一求方根

　小初商一□?○为一借根　一借根除本积得一□?二一为二借根　一二借根半之得一□?一五为三借根　三借根除本积得一□?○九五零多则弃之以便算凡借根借积皆然为四借根　三四借根半之得一□?一为五借根因前借根弃零故五借根适合方根即方根

　　开平方捷术二

大初商为一借根　以一借根除本积得二借根　一二借根半之得三借根　以三借根除本积得四借根　三四借根半之得五借根　以五借根除本积得六借根　下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止

　此术奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根

　算例

　假如平积九十九求方根

　大初商一□?○为一借根　一借根除本积得□?九九为二借根　一二借根半之得□?九九五为三借根　三借根除本积得□?九九四九七四为四借根　三四借根半之得□?九九四九八七此已消尽六位故六位下弃之也为五借根即方根

　　开诸乘方捷术一

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根　下皆如是求至借根渐大与方根密合而止或置外根降一乘积本乘乘数加一乘之为递次除法更捷

　算例

　假如平积五十求方根

　以□?七一之平积五□?○四一为外积□?七一为外根求得一□?四二为递次除法　小初商□?七为一借根　一借积四□?九减本积余以除法除之得□?○七四以加一借根得□?七七四为二借根　二借积四□?九九九五五六减本积余以除法除之得□?○六六五以加二借根得□?七七一六五为三借根截去末二位得□?七七一即方根

　　开诸乘方捷术二

大初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根渐小与方根密合而止

　算例

　假如平积八八求方根

　以□?三之平积□?九为外积□?三为外根求得□?六为递次除法　大初商□?三为一借根　一借积□?九内减本积余以除法除之得□?○三三三三三以减一借根余□?二九六六六为二借根　二借积□?八八七一五五内减本积余以除法除之得□?○一一九以减二借根余□?二九六六四八一为三借根截去末二位得□?二九六六四即方根

　　开诸乘方捷术三

小初商为一借根　以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根以下逐数皆一加一减相间为三借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止

　算例

　假如平积五十求方根

　以□?七之平积四□?九为内积□?七为内根求得一□?四为递次除法　小初商□?七为一借根　一借积四九减本积余以除法除之得□?○七一四以加一借根得□?七七一四为二借根　二借积五□?○四六九七内减本积余以除法除之得□?○三三五以减二借根得□?七七一六为三借根截去末一位得□?七七一即方根

　　开诸乘方捷术四

大初商为一借根　以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根以下逐数皆一减一加相间　下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止

　算例

　假如平积八八求方根

　以□?二九之平积□?八四一为内积□?二九为内根求得□?五八为除法　大初商□?三为一借根　一借积□?九内减本积余以除法除之得□?○三四四八二七以减一借根余□?二九六五五为二借根　二借积□?八七九四一九减本积余以除法除之得□?○一一七二以加二借根得□?二九六六五为三借根　三借积□?八八一二二二内减本积余以除法除之得□?○二一以减三借根得□?二九六六四七为四借根截去末一位得□?二九六六四即方根

　　天元开诸乘方捷术一较数余积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积凡天元借根求借积法以借根乘隅加减长廉以借根乘之加减平廉又以借根乘之加减立廉又以借根乘之至加减方后又以借根乘之即借积也外根之于外积亦然减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根　下皆如是求至借根渐大与元数密合而止

　算例

　假如平方负积十六正方二正隅一求元数

　以□?三二之积一□?六六四为外积□?三二为外根求得□?八四为递次除法　小初商□?三为一借根　一借积一五□?五减本积余以除法除之得□?○一一九以加一借根得□?三一一九为二借根　二借积一□?五九六六一六一减本积余以除法除之得□?○四二八以加二借根得□?三一二三为三借根　三借积一□?五九九九一二九减本积余以除法除之得□?○一三以加三借根得□?三一二三一三为四借根截去末三位得□?三一二三即元数

　　天元开诸乘方捷术二和数余积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又加一为递次除法　一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根以后逐数皆一加一减相间　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止

　算例

　假如平方负积二九正方四负隅一求小元数

　以□?一之积□?三为外积□?一为外根求得□?二为递次除法　小初商□?○九为一借根　一借积□?二七九减本积余以除法除之得□?○五五以加一借根得□?○九五五为二借根　二借积□?二九七九七五内减本积余以除法除之得□?○三九八七以减二借根余□?○九五一一为三借根　三借积□?二八九九六一九九减本积余以除法除之得□?○一九五以加三借根得□?○九五一二为四借根　四借积□?二九一八五六内减本积余以除法除之得□?○九二八以减四借根得□?○九五一一九为五借根截去末一位得□?○九五一一九即小元数

　　天元开诸乘方捷术三益积用此术

大初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根　二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根渐小与元数密合而止

　算例

　假如平方负积一百六十八负方二十二正隅一求元数

　以三□?○之积二四□?○为外积三□?○为外根求得三□?八为递次除法　大初商三□?○为一借根　一借积二四□?○内减本积余以除法除之得□?一八九四七三以减一借根余二□?八一五为二借根　二借积一七□?一五八一内减本积余以除法除之得□?○九四二三以减二借根余二□?八一为三借根　三借积一六□?八三四内减本积余以除法除　之得□?○八九四以减三借根余二□?八一为四借根　四借积一六□?八三内减本积余以除法除之得□?○七八九以减四借根余二□?八一为五借根弃零得二□?八即元数

　　天元开诸乘方捷术四翻积用此术

小初商为一借根　以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根减一之积相减又加一为递次除法　一借积内减本积余以除法除之得数加一借根为二借根　二借积减本积余以除法除之得数减二借根为三借根　下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止

　算例

　假如平方负积二九正方四负隅一求大元数

　以□?三之积□?三为外积□?三为外根求得□?二为递次除法　小初商□?三为一借根　一借积□?三内减本积余以除法除之得□?○五以加一借根得□?三五为二借根　二借积□?二八九七五减本积余以除法除之得□?○一二五以减二借根得□?三四八七五为三借根　三借积□?二九一二三四三内减本积余以除法除之得□?○六一七一以加三借根得□?三四八八一一七一为四借根截去末三位得□?三四八八一为大元数

　　天元开诸乘方捷术五

如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法　乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求虽求至数十位亦非难事

　算例

　假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之

　先用前除法□?八四增求一位得□?三一二三一仍为借根以借根演得借积一□?五九九九九五三六一减本积得余积□?○四六三九　乃用前得元数□?三一二三一又为外根如前求得除法□?八二四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得□?八二四六三为除法　除法除余积得□?○五六二五五五截去末二位以加前得元数得□?三一二三一五六二五为元数　如再欲增求则以现得十位元数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位元数之积减本积之余也得数又可消得九位矣

　按正诸乘方亦可用右术

　　天元开诸乘方捷术六

方廉隅相减以除本积得一借根　一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根　二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止

　算例

　假如平方负积十八正方二十□?○九负隅一求小元数方隅相减得一□?九九以除本积得□?○九四五二为一借根　一借根步至方法得一□?九九九五四八以除本积得□?○九二为二借根　二借根步至方法得一□?九九九九八以除本积得□?○九九弃零得□?○九即小元数

　凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣

　若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后

　又算例

　假如立负方积一亿正方一亿十万一千负廉十万一千一正隅一求元数

　方廉隅正负减得一亿以除本积得□?一即元数也

　右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之其易如此

　　天元开诸乘方捷术七

以方为递次除法　除法除本积得一借根　一借根诸数加减本积以借根平积乘第三层以借根立积乘第四层以借根三乘积乘第五层如是乘至隅而止逐数皆与本积同名相加异名相减以除法除之得二借根　二借根诸数加减本积以除法除之得三借根　下皆如是求至借根与元数密合而止

　右术亦方大者用之为便

　算例

　假如平方负积一百六十正方八十二负隅一求小元数

　以方除本积得□?一九五一二为一借根　一借根??廾乘隅得□?三八七一八加本积以方除之得□?一九九七六为二借根　二借根??廾乘隅得□?三九九四加本积以方除之得□?一九九九八八为三借根收零进一得□?二为小元数

　又算例

　假如立方负积一千兆正方三百亿廉空负隅一求元数

　以方除本积得三三三三□?三为一借根　一借根立积乘隅得三十兆七三五九二五九加本积以方除之得三四五六□?七为二借根　二借根立积乘隅得四十兆一三三三三一加本积以方除之得三四七一□?○为三借根　三借根立积乘隅得四十兆一八一八五六一加本积以方除之得三四七二□?七为四借根　四借根立积乘隅得四十兆一八七九五三一加本积以方除之得三四七二□?九为五借根即元数

　又算例

　假如立方负积一千兆正方二百亿正廉十万负隅一求元数

　以方除本积得五万为一借根　一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以加本积减余数以方除之得四三七五□?○为二借根　二借根平积乘廉得一百兆九一四六二五以减本积二借根立积乘隅得八十兆三七四二三以加本积减余数以方除之得四四六一□?六为三借根　三借根平积乘廉得一百兆九九五八七四以减本积三借根立积乘隅得八十兆八八一二四以加本积减余数以方除之得四四四八□?七为四借根　四借根平积乘廉得一百兆九七九九三一以减本积四借根立积乘隅得八十兆八四三九一以加本积减余数以方除之得四四五□?六为五借根　五借根平积乘廉得一百兆九八七八四以减本积五借根立积乘隅得八十兆八一五六七七以加本积减余数以方除之得四四五□?三为六借根　六借根平积乘廉得一百兆九八五一七以减本积六借根立积乘隅得八十兆八一三八九四以加本积减余数以方除之得四四五□?四为七借根即元数

　右二题旧用益实减实归除得数甚难此术似较易也

　　天元开诸乘方捷术八

如前诸术先求得元数数位为一借根　前得元数数位又为外根又求得递次除法　一借积减本积余再为积变方廉隅一次以除法除之得次小根以加减一借根为二借根　次小根之积减变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得三小根以加减二借根为三借根　三小根之积减次变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得四小根以加减三借根为四借根　下皆如是求至借根与元数密合而止

　按正诸乘方亦可用右术

　天元开方至第五术捷矣然依次累求位数愈多乘法亦愈繁求至十余位得借积已难再求不更难乎今用此术截段求之每次得四五位即易一式乘法不致过繁降位亦复甚易也

　算例

　假如平方负积一百亿正方十万正隅一已求得元数六一八□三?欲增求之

　以六一八□?三为外根如前又求得二二三六□?六为递次除法　六一八□?三为一借根　一借积九九九九九一八□?九减本积余八九一九□?一此术不可割零为初变积负倍前得五位加前方得二二三六□?六为初变方正一为正隅　置初变积以除法除之得□?○三九八八七有奇截用四位得□?○三九八八为次小根以加前得五位得六一八□?三三九八八为二借根　次小根借积八九一七□?四二三一八四一四四减初变积余一□?六七六八一五八五六为次变积负倍前得九位加原方得二二三六□?六七九七六为次变方正一为正隅置次变积以除法除之得□?○七四九八九有奇截用四位得□?○七四九八为三小根以加前得九位得六一八□?三三九八八七四九八为三借根　三小根借积一□?六七六六三七六八九六七四减次变积余□?○二一二八七三二九九九九六为三变积负倍前得十三位加原方得二二三六□?六七九七七四九九六为三变方正一为正隅　置三变积以除法除之得□?○九四八四八有奇截用四位得□?○九四八四为四小根以加前得十三位得六一八□?三三九八八七五七四八四为四借根即元数

　按右例所得十六位元数即理分中末之大分数也

　　截球解义　　　

徐有壬

　几何原本谓球与同径同高之圆囷其外面皮积等截球与截圆囷同高则其外面皮积亦等而不直抉其所以然检梅氏诸书亦未能明释之也蓄疑于心久矣近读李风九章注乃得其解因释之以告同志虽然以戴东原之善读古书而犹谓风此注当有脱误甚矣索解人之难也今释几何原本而风之注因是以明盖风用方今用圆其理则无二也述截球解义

设如径与高等之圆囷内容同径之圆球此球必居圆囷三之二何以明之试将圆囷横切为二则为扁圆囷内容半圆球又将扁圆囷十字直切为四则为圆囷八分之一内亦容圆球八分之一此圆囷上下两平面俱为圆之一象限其外之圆立面为囷外面皮八分之一其凑心两直立面本属囷之半径乘半高即球之半径自乘幂因球在囷内球壳因直切处切成一象限是为球半径幂内容一象限为此体之凑心立面各一

　　图略于此立面任意横截则皆有正弦有余弦有矢有半径

　　图略于此体横切之去其上截则高为余弦

　　图略下半截上面截成两象限一大一小

　　图略

此下半截上下两平行面仍为圆之一象限而上面一象限因有球壳在内界成一小象限其半径即所截之正弦正弦者句也余弦者股也半径者弦也以句为半径作一象限以股为半径作一象限两象限相并作一大象限必以弦为半径　句方股方并为弦方句圆股圆亦并为弦圆句象限股象限亦并为弦象限以方圆比例推之其理易见

然则截体上面之大象限球半径弦为半径内减球壳所界之小象限正弦句为半径所余环积必与余弦股所作小象限余弦股为半径等矣

立面一象限自高而下所截余弦至不齐也上面大象限减小象限之环积亦至不齐也而余弦为半径作象限必与此环积等此环积总为弦上象限句上象限之较此无高无下无小无大无适不然者也

又试依圆囷之底为底即球中腰大圆面以囷之半高为高即球之半径作一圆锥体而十字切之为象限锥积以象限为底此锥之底两旁之边即圆囷半径亦即球半径也

底边之半径为句锥高之半径为股是为句股相等

于此锥体任意横截为各小锥莫不为底边与高相等之锥苟以小锥高为半径作象限面莫不与小锥底相等此亦无高无下无小无大无适不然者也

小锥之高犹余弦也小锥之底犹大象限减小象限之环积也小锥之高为半径作象限必与小锥底等犹余弦为半径之象限必与环积等也

余弦之自大而递小也截高则余弦大截下则余弦小极高则几与半径等极下则几于无余弦其长短有序不乱今各以为半径作各象限层累叠积必成一象限锥与上锥等而余弦各象限即球内各象限减圆囷各象限之余也圆囷横薄切之皆相等之象限面圆球横薄切之各成正弦为半径之象限面用此知球与圆囷相较必少一锥体矣

是故一锥一球相并必与圆囷等而锥居囷三分之一球必居囷三分之二矣

是故三倍圆珠两倍圆囷其积必等

夫囷之求积以囷之外面皮积为底以半径为高作立方为囷之两倍球之求积以球之外面皮积为底以半径为高作立方为球之三倍今既知球之三倍囷之两倍为相等则两立方等矣又知两立方之高同以半径为高则其底亦必等矣

是故球之外面皮积与囷之外面皮积必等

是故球之中腰大圈乘圆径即球之外面皮积

再就前截体观之以球心为心依球壳所截上面小象限弧为界以半径周遭割之剜出一象限锥此锥以小象限为底此象限以正弦为半径以余弦为高是为内锥

再依前法将截球壳外圆囷所多之积割出准前论知此亦为一象限锥此锥以大象限球半径为半径小象限截球正弦为半径之面积较为底即余弦为半径所作之象限亦以余弦为高是为外锥内锥外锥相并为一大锥亦以余弦为高即原截体之高而以大象限半径即球半径为底即原截体之底此锥必为原截体三分之一上下两面平行体与锥体同底同高则锥必居三分之一而所余者必为三分之二矣

圆囷既剜去内锥割去外锥则所余为圆球截积空中如外面则上小下大必居圆囷三分之二

求圆囷截积者囷外面皮截积为底半径为高作立方为截囷之倍积求圆球截积者球外面皮截积为底半径为高作立方为截球之三倍积今既知截囷与截球若三与二则截囷两倍之立方与截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高为相等之半径则其底亦不得不等矣

是故截球之外面皮积与截囷之外面皮积必等

是故截球余弦高乘球之中周大圈即截球之外面皮截积

全球之外面皮积即圆径乘周也半球之外面皮积即半径乘周也截球之外面皮积即余弦乘周也上截球盖之外面皮积即矢乘周也

　　球径求积术

径自乘再乘半之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　四分第三数之一又六分去一七分去二为第四数　四分第四数之一又八分去一九分去二为第五数　诸数相并即球积

　　球径求球壳积术

径自乘三之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并即球外面皮积

　　截球余弦求截球积术

　　　识别得余弦乘周又乘半径为截球积之三倍　半径自乘内减余弦自乘余为正弦自乘求其圆面又乘余弦为截求内锥之三倍　两积相并为截球积

半径自乘三之内减余弦自乘又以余弦乘之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并为截球积

　　截球矢求截球上盖积

　　　识别得矢乘周又乘半径为锥积之三倍　矢乘矢径差为正弦幂求其圆面乘余弦为内锥之三倍两锥相减余为盖积

矢减半径又加全径以矢自乘乘之为第一数　四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数　诸数相并为截球上盖积

　　附录椭圜求周术

　椭圜求周无法可驭借平圜周求之则有三术以袤为径求大圜周及周较相减此项梅侣氏之术也以广为径求小圜周及周较相加此戴鄂士氏之术也余亦悟得一术以椭周为圜周求其径以求周即为椭圜之周术更直捷兼可贯三术为一术如后方

堆垛术曰一为第一数　一乘三乘第一数四除之为第二数　三乘五乘第二数九除之为第三数　五乘七乘第三数十六除之为第四数　七乘九乘第四数二十五除之为第五数　九乘十一乘第五数三十六除之为第六数　依次列之为初表

招差术曰广袤各自乘相减四而一为乘法一次乘初表第一数二次乘第二数三次乘第三数四次乘第四数五次乘第五数六次乘第六数仍依次列之为表根

招差又术曰以袤为除法一次除表根第一数三次除第二数五次除第三数七次除第四数九次除第五数十一次除第六数相并为袤径较以减袤为借圜径

堆垛又术曰三因借圜径为第一数　四分第一数之一二分去一三分去二为第二数　四分第二数之一四分去一五分去二为第三数　四分第三数之一六分去一七分去二为第四数　四分第四数之一八分去一九分去二为第五数　四分第五数之一十分去一十一分去二为第六数　递求至若干位相并为椭圜周

　右术分四层即用项氏术变通得之其图说之详已见项氏书中兹不复赘若用戴氏术通之前后三层均如旧惟第三层不同如下

招差又术曰以广为除法一次除表根第一数正三次除第二数负五次除第三数正七次除第四数负九次除第五数正十一次除第六数负递求至若干位正数相并内减负数余为广径较以加广亦为借圜径

　此即戴氏术变通得之余三层皆同前

　若移第四层为第一层先以求大圜周或以广求小圜周后依初表表根及招差又术各得周较加减所得并同即项戴二君术也

　　四元解序　　　

顾观光

四元之术至明而失其传近得徐钧卿罗茗香诸公相继阐发始有蹊径可寻然按法求之恒苦其难而不适于用约其大端盖有三焉天物相乘与地人相乘并用寄位则幂与幂乘推而上之几有无方位置之处一也剔消之法以一式截分为二左右斜正初无一定之规非熟于法者安能无误二也次式副式通式及上中下诸式之名任意作记易滋学者之疑三也繙阅之暇每欲改易算式而其道无由乙已冬海甯李君秋纫以所着四元解示余余受而读之见其以面体释四元以面体之自乘再乘定算式而相消所得直命为初消次消三消则向所难之三事均已无之作而叹曰心之神明固若是之日出而不穷乎非四元无以尽天元之变非天元无以尽少广之变而非少广之面体则亦无以定四元之位而直　发明其所以然窃为一言以蔽之曰析堆垛成广隅而已古法置太极于中心而环之以八又环之以十六其递增也皆以八堆垛之式也新法置太极于一隅而附之以三又附之以五其递增也皆以二廉隅之象也置太极于中心则上下左右动有牵制置太极于一隅则升降进退无往不宜由是四元相乘皆有位无寄位也四元为法皆可除无剔消也且其定位之图既化诸乘方为平方相乘相消之图又化诸乘方为立方反覆辨论均能假象以达难显之情何李君之心曲而善入如此李君又有弧矢启秘对数探原诸书皆本天元之术而引而伸之实发前人所未发余冀其悉合而传之以为言算者一大快也

　　对数探原序　　　

顾观光

对数探原者海甯李君秋纫所着也西人对数之表以加减代乘除用之甚易而造之甚难李君巧借诸乘尖堆以定其数又化诸乘尖堆为同高同底之平尖堆以图其形由是递加递除而诸对数指顾可得精思所到生面独开矣究其立法之原不越乎天元以虚求实之理是故尖堆之底即天元也尖堆之高即正数也平分其高为若干分依分各作横以截其积而对数之法由之以生何也对数之首位自一至九止矣一之对数为而百亿之对数亦为故尖堆下段之积不可求而总积亦不可求非无积也正以其大之极而一至九之数不足以名故反命为此盈虚消息如环无端之妙也二至十之共积为一十一至一百之共积为一一百一至一千之共积亦为一推之至于万亿无不如是此尖堆渐上渐狭渐下渐阔之理也以加倍代自乘则二段之积不得不同于三四两段之积以三因代再乘则二段之积不得不又同于五六七八四段之积此尖堆二段以上积数相等之理也尖堆之底无尽积亦与为无尽而求两对数较则所得皆为最上一段之积故二十尖堆已足当亿万尖堆之用西人不达乎此乃用正数屡次开方对数屡次折半以求之亦识流而昧其原矣易不云乎易则易知简则易从李君渺虑凝思无幽不启盖实有以通易简之原而体神明之撰者西人见之应亦自悔其徒劳也

　　数学跋　　　

顾观光

江氏数学继梅氏历书而作者也其于七政运行之故岁实消长之原曲畅旁通实足补梅氏之未备自钱竹汀谓宣城能用西学江氏则为西人所用且极诋其冬至权度如公孙龙之言臧三耳甚难而实非无识者往往惑之平心而论江氏之囿于西法固矣钱氏之说则又囿于中法而非实事求是之学也七政盈缩迟疾之原或曰小轮或曰不同心天世无陵云御风之人谁为正之然使小轮所用止在盈缩迟疾之间则谓其巧算而非真象无不可也无如日月在小轮之上半周则距地远而视之亦小在小轮之下半周则距地近而视之亦大视径有大小即地半径差有损益而影径分之多寡亦由之而殊是七政之有高卑不待盈缩迟疾而后信也有高卑则舍小轮与不同心天固更无他法矣两心差之有大小西人早已言之日躔历指偁意罢阁于汉景帝时测两心差为十万分之四千一百五十一九执历推定日法分一象限为六段计其积差凡二度十四分以正切求两心差得十万分之三千九百江氏推刘宋大明时两心差四三五与意罢阁所测正相近唐开元时冬至减时大于今四刻有奇则较九执历为稍赢耳钱氏谓两心差古大今小仍是杨郭百年消长之法不知消长以定冬至为根而两心差之加减则以平冬至为根根既不同算何由合元明以来岁实由消而渐长议者纷纷江氏妙解算理因授时历议所述丁丑至庚辰四年冬至自相乖违而知其刻下小余有三十分断为长极而消之大界证佐甚明恐善辨者亦难为郭氏解也西法行之已久不能无差江氏之书诚有主持太过之弊然元嘉十三年甲戌冬至诸历皆得癸酉大明五年乙酉冬至诸历皆得甲申而江氏所推独与古人吻合元嘉十八年己亥冬至则据隋志以正宋志之光大二年乙巳冬至则据太建四年丁卯冬至而疑其测验之非真此皆由古籍中参稽而得非徒立异同钱氏考之不审乃以为辞穷而遁是算术不足信而史文必无一字之舛也有是理乎两心差古大今小江氏未有定率而改最卑每岁东行为一分三秒则精思所到遂与噶西尼之新法不约而同可见考诸古而无疑者质诸今而自合若合于古而不合于今则其合也亦幸而已矣易不云乎天地之道贞观者也天有常行不以古今而异谓西人之术必不可以考古是古之天行异于今也谓古之天行异于今是古与今当各有一天也而岂其然哉江氏书世无善本七政小轮诸纷如乱丝恐其久而失传无以为治历者先路之导今特详为校正书中精确不磨之处读者当自知之惟无以是古非今之见先横于中此则余所旦暮遇之也夫

　岁实消长其故有二一由两心差有大小一由黄赤距有远近吴江王氏青州薛氏并尝言之今薛氏天学会通未见足本晓庵新法又脱去补遗不知其说云何江氏之说得其一而失其一盖考之未审矣夫黄极环赤极二万五千八百六十八年而一周即岁差也黄道既退行于赤道则岁实必渐消惟是西人旧说皆以岁差为恒星东行遂与最高行两数混淆无从分析中法知岁差为岁不及天矣而又不知最高之有行分宜乎岁实消长历千余年而未有定论也近日西人新测春秋分点每岁西行五十一秒最高每岁东行十一秒八两心差古大今小约百年差二万五千分之一黄赤道古远今近约百年差四十八秒咸丰庚申最卑过冬至十度二十八分五十三秒三黄赤大距二十三度二十七分二十七秒三八

皇朝经世文续编卷七

　学术七文学三附算学

　　五星岁轮与伏见轮之不同　　　

顾观光

西法步五星土木火用岁轮金水用伏见轮梅勿庵谓五星皆有岁轮而伏见轮即岁轮上星行绕日之圆象婺源江氏从之着金水二星发微绘图立算缕析条分而征之等边等角之两三角形以着其理二家之说可谓详且明矣余尝细译历书而知岁轮与伏见轮之算其不可强同者有四试详言之土木火次引以初实行减太阳实行得之是次引大小一由于太阳之盈缩一由于本天之高卑而金水二星但以初均加减伏见平行不用太阳盈缩差其不同一也土木火以初实行减太阳实行则初均数为加者距日度反差而少初均数为减者距日度反差而多此缘上三星之行迟于太阳故如此立法若金水二星之行速于太阳初均数加则距日度亦加初均数减则距日度亦减而乃反用初均以加减伏见平行与上三星算同而理正相反其不同二也用岁轮则心在本道有升度差用伏见轮则心在黄道无升度差其不同三也土木火以正交行减初实行是用次轮心距正交度金水以正交行减初实行又加伏见实行而初实行与伏见实行相并之度即平行与伏见平行相并之度是从伏见轮言之为星距正交度从本天言之即本轮心距正交度矣其不同四也因此四事而知岁轮与伏见轮之用离之则双美合之则两伤矣然则梅氏江氏之说非乎曰未可非也所不同之四事历书均已言之曰伏见轮虽以太阳为心实以太阳本轮心为心也曰伏见轮最远点无定分其距平远点之度必与初均等也曰伏见轮最远点距伏见轮正交之度必与伏见轮心距本道正交之度等也之三者非征之实测未易决其是非惟谓伏见轮在黄道无升度差则即以伏见轮之理考之而知其必不可通何也伏见轮之心虽行于黄道而其面与黄道斜交半在南半在北惟正交中交二点与黄道合联此二点过心成一直此必与黄道平行而其距伏见轮远近之度时时不等设正交距最远九十度则伏见轮之上下一南一北成偃卧之势谓其无升度差理固然矣若正交与最远合则伏见轮之左右一南一北成侧立之势与土木火本道之斜交于黄道者其象正同又安得无升度差乎斯时黄道如句视纬如股伏见轮面如弦自黄极出抵黄道及星在伏见轮之右者其度必差而东在伏见轮之左者其度必差而西历书概置不论但以本道即黄道一语了之不思经度与纬度相待而成无升度差安得复有视纬此可以理决之不俟实测而后信也要之伏见轮之法本于岁轮自承用者逐影忘形遂至抵牾不合回历五星并用太阳平行并无升度差岁轮与伏见轮通为一法西人于土木火三星屡改益精而金水二星仍同回历由泥于伏见轮在黄道之说而不复深思盖改法者已不知伏见轮为岁轮上星行绕日之圆象矣梅氏江氏之说颖悟绝伦表而出之以告天下后世之读古人书而死于句下者

　　几何原本六和六较解　　　

顾观光

大分四正方十六　小分三四六四奇正方十二　两正方较积四其边二与大分有等　半小分一七三二奇正方三　大分上作少一正方之矩形与半小分正方等长三阔一

大小两分相并得七四六四奇为第一合名第二第三同

　　相减余五三五奇为第一断第二第三同

设有比例八与大分有等　以乘矩形之长得二十四其边四八九八奇以乘矩形之阔得八其边二八二八奇两数相并得七七六奇为合名自之得五九七一奇即第一合名乘比例之矩形两数相减得二七奇为断自之得四二八五奇即第一断乘比例之矩形

设有比例六九二八奇与小分有等以乘矩形之长得二十七八奇其边四五五八奇以乘矩形之阔得六九二八奇其边二六三二奇　两数相并得七一九奇为第一合中自之得五一七一奇即第二合名乘比例之矩形　两数相减得一九二六奇为第一中断自之得三七九奇即第二断乘比例之矩形

设有比例七与大分小分皆无等　以乘矩形之长得二十一其边四五八二奇以乘矩形之阔得七其边二六四五奇　两数相并得七二二七奇为第二合中自之得五二二四奇即第三合名乘比例之矩形　两数相减得一九三七奇为第二中断自之得三七五二奇即第三断乘比例之矩形

大分四一二三奇正方十七　小分三六五奇正方十三　两正方较积四其边二与大分无等　半小分一八二奇正方三二五　大分上作少一正方之矩形与半小分正方等长三六一奇阔一六一奇

大小两分相并得七七二八奇为第四合名第五第六同

　　相减余五一八奇为第四断第五第六同

设有比例八二四六奇与大分有等　以乘矩形之长得二十五二四奇其边五二三奇以乘矩形之阔得八七四九奇其边二九五七奇　两数相并得七九八奇为太自之得六三七二奇即第四合名乘比例之矩形　两数相减得二六六为少自之得四二六八奇即第四断乘比例之矩形

设有比例七二一奇与小分有等　以乘矩形之长得二十二七其边四六九七奇以乘矩形之阔得七六五其边二七六五奇两数相并得七四六二奇为比中方自之得五五七一奇即第五合名乘比例之矩形　两数相减得一九三二奇为合比中方自之得三七三二奇即第五断乘比例之矩形

设有比例七与大分小分皆无等　以乘矩形之长得二十一四二七其边二七二三奇　两数相并得七三五一奇为两中面之自之得五四九奇即第六合名乘比例之矩形　两数相减得一九五奇为合中中方自之得三六二九奇即第六断乘比例之矩形

大分十五正方二百二十五小分十一一八奇正方一百二十五两正方较积一百其边十与大分有等　大小两分相减余三八二奇为第一断　即以较积方边为比例圆半径以乘第一断得三十八二奇开得断六一八奇即圆内容十边形之一边

大分十二五正方一百五十六二五小分五五九奇正方三十一二五两正方较积一百二十五其边十一一八与大分无等　大小两分相减余六九一奇为第四断　有比例二十圆径与大分有等以乘第四断得一百三十八奇开得少十一七五奇即圆内容五边形之一边

大分十七三二奇正方三百小分十二九一奇正方一百六十六六六两正方较积一百三十三三三其边十一五四奇与大分有等　大小两分相减余四四一奇为第一断　即以较积方边为比例球内容六面体之一边以乘第一断得五十八九奇开得断七一三奇即球内容十二面体之一边

大分十一一八奇正方一百二十五小分五正方二十五两正方较积一百其边十与大分无等　大小两分相减余六一八奇为第四断　有比例十七八八奇容二十面体上五边形之圆径与大分有等以乘第四断得一百十四九奇开得少十五一奇即球内容二十面体之一边

　　圆锥三曲记　　　

顾观光

凡圆锥体横剖之成平圆斜剖之成椭圆平圆祗有一心其周之距心恒等椭圆则有二心自二心出抵圆周二之和必与长径等也命椭圆之长径为横轴短径为纵轴则任于圆周作纵为股所截长半径之横为句股幂乘长半径幂与句幂乘短半径幂之和恒与两半径幂相乘之数等其过心之倍股即长轴之通径以长径为连比例之首率短径为中率则通径为末率也股幂与所分长径二分相乘之幂若短径幂与长径幂于长径上作平圆则同句之平圆股与椭圆股若长径与短径矣任于圆周出二斜抵横轴之两端为正余二通弦则二通弦对角正切相乘之幂即长径幂约短径幂之数自圆周作二斜与二通弦平行则椭圆切也引横轴与切相交成句股形切为弦纵为股则其句为次切法以横幂与长半径幂相减为实横为法实如法而一即次切也自切点作抵横轴与切成直角是名法法为弦纵为股则其句为次法法以短半径幂乘横为实长半径幂为法实如法而一即次法也椭圆法平分切点距二心之交角故切与距二心之交角亦相等矣二切既与二通弦平行则自二属点过中点之斜径亦与二通弦平行命之曰相切径任于圆周作纵与一半径平行截其又一半径为横与横轴上之句股比例并同故相属径之二幂和与长短径之二幂和恒相等也径端距二心相乘之幂与半径幂等相属径四端之四切成平行四边形亦与长短二径相乘之幂等若以二径之平圆面积为首末率而求其中率即椭圆面积也

凡圆锥体依一边之势自对边斜剖之至底成单曲形以此形横置之作过心横轴引长至顶点外如顶点距心度乃作垂与轴成直角即准也任于曲上作横直交于准必与距心等任于曲上作纵为股截轴之横为句以句为连比例之首率股为中率则通径为末率通径者过心之倍股也折取其半即心距准之度矣自纵上端作斜为曲之切引横轴与之相交亦与次切成句股形又作法直交于切亦与次法成句股形单曲之次切倍于横而次法恒为通径之半以纵约次法或以次切约纵皆切与轴交角之正切也切点距心交法之角恒等于法交轴之角故法之两端其距心亦相等切点距心交切之角恒等于切交轴之角故切之两端其距心亦相等自心作斜直交于切即切点顶点两距心之中率矣任作通弦与切平行又自切点作横径与轴平行必分通弦为两平分半通弦为纵截横径为横与横轴上之句股比例并同若句股相乘取三之二即所截单曲之面积也

凡圆锥体依立垂之势自一边直剖之至底成双曲形以此相等之二形横置之其二顶点之相距即为横径任于曲上出抵二心二之较必与横径等也自横径之中作直交于横径即为纵径中点距心为弦其距顶为句求得股为半纵径自横径之上下截之复作相等之二曲形为相属双曲引纵横二径为二轴皆过曲之二心以横径为连比例之首率纵径为中率则通径为末率即横轴上过心之倍股也任于曲上作纵为股截横径之引长为句股幂乘半横径幂与句幂乘半纵径幂之较恒与两半径幂相乘之数等股幂与句加横径乘句之幂若纵径幂与横径幂矣自纵上端作切法二亦与次切次法二成句股形其求切交轴之角与单曲同双曲之切平分切点距二心之交角故其法亦平分切点距二心之外角任于曲上出二斜抵横径之两端为正余二通弦二通弦对角正切相乘之幂即横径幂约纵径幂之数自横径之中又作二斜与二通弦平行四端皆抵曲命之曰相属径以此二径引而长之任于曲上作纵与一半径平行截其又一半径之引长为横与横轴上之句股比例并同故相属径之二幂较与纵横径之二幂较恒相等也相属径四端之四切成平行四边形与纵横二径相乘之幂等纵横径四端之四切成长方形作对角二斜引而长之与四曲渐近而永不相合命之曰渐近以横径约纵径即渐近与横径交角之正切矣任与曲上作纵与一渐近平行截其又一渐近为横纵横二相乘之幂恒为中点距心幂四之一引长纵以四曲为界补成平行四边形恒为纵横二径相乘幂二之一任于曲上作切以二渐近为界必平分于切点故切点上之相属径亦与切相等若以股乘半横径与句乘半纵径二幂之和乘讷氏对数二七一八二八二以减句股相乘之幂即所截双曲之面积也

此三曲皆圆锥之分形其离切之率当以合吻圆度之任于曲上作诸圆形与曲同切于一点则圆周之离切半径小者较速半径大者较迟而诸圆形中必有一圆周与曲吻合无间即合吻圆也命圆半径为曲率半径则各点曲率半径之比同于法立方之比法立方为实半通径之平方为法实如法而一即曲率半径也椭圆二心相距之半之为两心差以长半径约之则为椭率置圆周率三一四一五九二六五以长径乘之为实椭率自之为屡乘数递取其四之一十六之三三十六之十五以减实即椭圆周也置圆周率以长短二径相乘之幂乘之为实椭率自之为屡乘数递取其六之一二十之三四十二之十五以减实即椭圆体之曲面积也法乘纵而以通径约之于上法加纵而半之以乘讷氏对数加入上位即单曲之长也以通径约圆周率四因三除以乘法次法两立方之较即单曲体之曲面积也椭圆体积等于外切圆柱三之二单曲体积等于外切圆柱二之一单曲面所容最大长方其横径恒为轴三之二圆锥所容最大单曲面其轴恒为斜距四之三引而伸之触类而长之曲之能事毕矣

　　静重学记　　　

顾观光

重学之本始于权衡权与物均而衡平则左距与右距等若不均而衡平则左距乘左重与右距乘右重等比例之法由此起矣杆之异于衡者不惟其平而惟其定直杆或平或斜并与衡同曲杆则视力与杆之交角其角正得九十度比例同于直杆不正得九十度则左距乘左重与右角正弦若右距乘右重与左角正弦或有曲杆之折角而求左右两角则左距乘左重为实右距乘右重为法实如法而一内减折角余弦折角正弦除之即左角余切也求右角者仿此

二力之引重而行也二相合则用其和二相对则用其较若不相合而未至于相对者以二力补成平行四边形作对角为二力之合率三力以上其理一也

引重之器有七其助力各不同杆之助力为右距与左距之比轮轴之助力为轴径与轮径之比齿轮之助力为小轮齿数与大轮齿数之比单滑车之助力为一与二之比连滑车之助力为一与二依滑车数少一乘方积之比或为一与索数之比或为一与二依动滑车数乘方积少一之比斜面之助力为股与弦之比劈之助力为劈背与劈边之比螺旋之助力为两螺距与柄长为半径所成圆周之比七者或分或合或复或单皆能以小力运大重其力与重皆若重动速与力动速也

独体合体均有重心自重心作垂必与地平成直角凡三边形各于半边作对角三相交之点为重心其距角与距边若二与一也两两相等四边形于相等边之半作联两相交之点为重心其距两边恒相等四不等边以对角分为两三边形各以法求其重心两重心联为一则大形垂与小形垂若小形之重心距与大形之重心距也凡尖锥体先求底之重心自底心至尖作联其四之一为底心距重心若去其尖则以上下两重心作联全体之重心必在此上矣设诸面体之角各为质点而以联之又或断而不连或动而不定亦必有此重心引重之器以力与重联为一力降则重升而联上必有定点即重心也既有重心可明定理体之定于一点者自悬点作垂必过重心体之定于一面者自重心作垂必与定点相合体之定于一点及一面者自重心作垂为一边自面之定点作直交于面为又一边面之定点距重心为底则两定点相距为三角形之大分边体之定于两点者以此两点引而长之必交于重心所作之垂也体之定于两面者两定点之抵力各与其面成直角引而长之亦必交于重心之垂也

凡体已定而微动之或复原处或离其原处则固定与非固定之别也设小半球切于大半球之凸面其重心恒为球半径八之五自切点作与地平成直角重心在此内者为固定在此外者为非固定法以两半径相乘为实两半径相并为法实如法而一为固定率若切于大半球之凹面则两半径相乘为实两半径相减为法实如法而一为固定率

屋梁相定之理三梁相合成两等边三角形加重于顶自顶点作垂分为两句股形则句为梁平力之率倍股为梁垂力与加重之率三梁相属以次递降自下梁重心作直引中梁与之相遇复自相遇点至下梁下端作斜则与地平成句股形句为下梁平力之率弦为下梁垂力之率四梁相属长短轻重如一合地平成五不等边形自顶点作垂则与地平成大句股又自下梁上端作地平则与垂成小句股小股对角之正切与大股对角之正切若一与三也

桥环相定之理先令诸劈之大小形状左右俱等自桥顶作垂以诸劈之左右切面引而长之必与垂遇于一点此点即环心也各切面与垂之交角其切较为各劈重率割为各劈抵力率不合此率而又无面阻力桥必圯矣由劈之重心作垂自切面之中作直交于切面为抵力引而长之与左右两垂相遇必在劈行之中若出劈外而又无胶固力桥必圯矣桥之下面为圆者自圆心作地平又以圆半径为股桥顶至圆心之垂为弦取其句于垂上自圆心截之复作一地平此自中至边渐与桥之上曲相近而永不相合任于此上作一垂交于下地平又自圆心作一斜乃取交点距桥顶之度于斜上自圆心截之即上曲所到也桥之上下面俱为地平者中间必为垂面各切面与垂之交角其切较为各劈重率即为各劈面积率抵力不出劈外与桥环同

凡糙面有二阻力一在平面一在斜面光面则祗有平面之阻力也任何面体行于平面其重即为抵力两面俱木而纹平行者取抵力二之一两面俱木而纹横直相交或两面俱金者取抵力四之一两面一木一金者取抵力五之一各以乘抵力为面阻力斜面之阻力则置物于平面而以一边徐徐举起于物欲下未下之时测斜面与地平之交角其全数与角正切若抵力与面阻力也桥环诸劈之重不合于切较则抵力与切面斜交试于抵力之端作直交于抵力又于直交之中依斜面阻力角度左右各作一角即为斜交之大限切面在此二限之中环亦定矣

有小圆柱旋转于大圆柱中其相切处亦生面阻力两面俱木者取抵力十二之一两面一铜一铁者取抵力七之一各以乘抵力为面阻力轮轴滑车率皆准此

　　动重学记　　　

顾观光

凡动无他力加之则方向必直迟速必平若加以他力而方向异于本动者以二方向补成平行四边形作对角为二速之合率力之加于物而生动也不论正加旁加其动力恒等于抵力故左重与右重若右速与左速二物相引则速之大者必减小者必增各以其重乘所增减之速其数亦相等也

凡球行于平面是生平力二球相击其体平而复凸是生凸力球之无凸力者或铅或瓦击时二速消尽二球必止而不行矣凸力有等于平力者谓之全凸力有小于平力者谓之朒凸力呢纱等球凸力为平力九之五象牙球为九之八玻璃球为十六之十五正相击后二球分行于二对面各生新速其击前速与击后速若平力与凸力也设二球皆全凸力正相击后小球之速必减而大球之速必增二重和与二重较为倍大重与减速之率又为倍小重与增速之率各以其重乘速而并之击前与击后亦等二球之凸力等而正相击后小球止而不行其大球与小球必若平力与凸力也若以动球击静球而二体相等又皆为全凸力者其动静必互相易动球小于静球则小者返行而大者前行必小于小者之前速动球大于静球则小者之速必大于大者之前速而大者随行其速小于前速三球在一上以次递小而大中二球之较大于中小二球之较者大球由中球传速于小球必大于直传速于小球若中球为大小球之中率则传速最大矣

自击点过二球心作交其合于球行之方向者为正相击不合者为斜相击二球方向一直一横则击后横者斜行以击前二方向引而长之补成平行四边形作对角即斜行之也二求俱斜则击后二方向与击前二方向互为平行自方向之端作直交于交前后各成两句股形其两句必自相等又以击前二方向引之相交则交角之对边即击时之两半径和也

二球相距必有重心至相击时重心即为击点二球相对而行则重心恒不动故左重与右重若右距与左距相随而行而后速大于前速则重心随而前行法以两重各乘速而并之为实并两重为法实如法而一即重心行也设二球平行于二斜重心必平行于一直以二斜引之相交取二速之度自交点截之为两腰作联为三角形之底则左速与右速若右分边与左分边乃自分边处至交点作直即重心行也

凡有凸力之球斜击于不动之面则击后必斜行自击点过球心作交又自方向之端作直交于交成前后两句股形凸力全者两句股形相等而方向与交之交角前后亦必相等凸力不全则后角与前角之正切为平力凸力之率后角与前角之正弦为前速后速之率无凸力者击后行于面边其前速与后速若全数与角正弦也

凡动有二一为平速一为渐加速平速动成长方形速为阔时为长则路为长方积渐加速动成堑堵形力为高时为长与阔则速为长方积路为堑堵形积物在空中为地力所引而下坠愈下愈速即渐加速也地形椭圆长径过赤道短径过两极径幂与地力为转比例故两极下地力与赤道下地力若百四十五与百四十四两极赤道之间地力适中于一秒中测物之下坠凡十六尺又万分尺之六百九十七倍之为一秒之地力依堑堵形求之速与路俱可得矣声之行为平速一秒中凡千十七尺设投石井中历几秒闻水声则以地力除二开平方为石过井率以声速除一为声过井率并之以比所历之时即井口距水之深也大小二重悬于定滑车者大重必随地力而下二重和与二重较若地力与长加力物自斜面下行两面皆为光面必相切而行非旋转而下斜面之弦为重率股为力率力乘地力即斜面之长加力以堑堵形之比例通之地力乘股以除二弦幂即时幂也二地力以乘股即速幂也故不论弦之长短但股等则速亦等以重引重令行于斜面垂面之重大则重上行垂面之重小则重下行以垂重乘弦与斜重乘股之较乘地力为实并二重以乘弦为法实如法而一即长加力也设有圆面直交地平自顶点至圆界作诸通弦则物任行于何通弦自顶点至末点时刻俱等大小两圆面之顶合为一点直交地平自顶点至大圆界作诸大通弦中有诸小通弦则物行于两通弦之较自小圆界至大圆界时刻俱等凡此相等之理皆由地力而生也

抛物空中上行极则弯环而下其两端恒相等是名抛抛与地平之交角适足四十五度者抛界最大其左右皆渐小而两两相等至九十度则无抛界矣若抛物于斜面则视斜面与九十度之交角抛中分此角者抛界最大其左右亦渐小而两两相等至九十度则无抛界矣以抛之切为弦则垂为股地平为句切生于平速之抛力故时速相乘而得弦垂生于渐加速之地力故半地力乘时幂而得股以平三角之比例通之抛交地平之倍角正弦乘速幂为实地力为法实如法而一即平面抛界也抛交地平角与抛交斜面角相并为和相减为较和角较角两正弦之较乘速幂为实较角余弦幂乘地力为法实如法而一即斜面抛界也九十度之抛即为抛高倍之为平面之最大抛界又以斜面交九十度角之大矢除之即斜面之最大抛界故平面之抛界视斜面为大矣自抛高上端作横为规规距抛顶之度与抛顶距心之度等自心作横直交于心距规两端皆抵抛此必倍于心距规即末率也心距规以二抛高为最大故末率以四抛高为最大抛与平之交角自地平上以渐而小至抛顶则与平合而为一无交角矣垂所截之地平为实抛交地平角之余弦幂乘二抛高为法实如法而一以减抛交地平角之正切即交角正切也若以同速抛各物而同在一平面者历若干秒各物所到之点联之成平圆形若不在一平面成立圆形其抛点距圆心之度即若干秒中地力下行所过之路矣

悬物空中左右限以曲令物一往一来则与曲乍合乍离而其行又成曲是名摆倍圆径为摆长又倍之为摆周则圆周为摆之界即横径也于横径之中作垂必抵摆之底点以此垂为圆径作平圆形则任于垂上作横其所截平圆之弧必等于平圆外之横而所截之摆周必倍于平圆内之通弦物自摆下行为地力所引其速与垂等以测各处地力之大小至易见也一秒之地力为实圆周率三一四一五九二六五三自之为法实如法而一为秒摆长秒摆者一秒摆动一次也设地力为定数则摆长之平方根与时刻成正比例摆长为定数则地力之平方根与时刻成转比例故以秒摆长除摆长或以地力除原地力平方开之皆为摆动一次之时刻也若以较数求之则摆长者动迟摆短者动速以摆长与秒摆长之较乘一昼夜八万六千四百秒为实倍秒摆长为法实如法而一即一昼夜摆动加减次数地形高下处处不同高则摆动迟下则摆动速一昼夜加减次数为两处高下差之率倍之为两处地力差之率摆之用尽于此矣

有诸质点各以联于平面力加一点则诸点随之而动此与独动不同因诸质点各有抵力环轴时必互相感召或生动或阻动也距轴愈远用力愈少力距相乘积等则速亦等自轴心作地平为句自诸点各作垂为股诸点之距轴为弦各以质重乘弦幂而并之即诸点之质阻率力乘距幂为实质阻率为法实如法而一即实生力也诸质点为地力所引亦各有长加力自轴心作直则分诸点为左右两边各以质重乘句视诸点在直之一边者相加在两边者相减用乘地力又以所求点之距轴乘之为实质率为阻法实如法而一即所求点之长加力也诸质相距必有重心其距轴为弦垂为股所截之地平为句合各质重以乘重心之句与质重各乘距轴之句以相并者其数正等引重心距轴而长之即为摆心重心摆心两距轴相乘即环轴半径幂也自重心作直与距轴成直角亦分诸质点为左右两边而诸点之距重心为弦直为股所截之距轴为句各以质重乘句其在重心之两边亦相等也合各质重以乘重心距轴幂又以质重各乘弦幂而并之亦与质阻率等重心距轴与距摆心相乘即环重心之半径幂合各质重乘之与质重各乘弦幂以相并者其数亦等重心为心轴心为界作平圆形任于圆上取一点为悬点摆次并同若以摆心为界其理亦同故悬点与摆心点可互易也

二重一加于轮一加于轴而在轮周者下行在轴周者上行轮轴之长加力各如其半径之比三轮相属或联以索或衔以齿而二重一加于第一轮一加于第三轴轮轴之长加力如三轮半径连乘与三轴半径连乘之比不等二重加于杆之两端者二重之长加力各如距重心之反比矣凡圆体有转动有过面动此二动常相因也以索之一端缠于圆体一端过定滑车而以重悬之设等质之实圆柱则柱重乘地力以加悬重为实三因悬重以加柱重为法除之即过面动之长加力悬重乘柱径又乘地力为实三因悬重加柱重以乘柱径幂八之一为法除之即转动之长加力若圆柱空而极薄则柱重乘地力为实倍悬重以加柱重为法除之即过面动之长加力倍悬重以乘地力为实倍悬重加柱重以乘柱半径为法除之即转动之长加力设索之一端缠于圆体一端着于定点则过面动之长加力实圆柱为地力三之二空圆柱为二之一球为七之五也圆体由斜面而下两面皆为糙面令圆体不为直动而为转动则不用地力而用直动之长加力其比例并与此同不等二重加于静滑车者令大重下行之长加力即令小重上行之长加力若加于二滑车而一静一动者动滑车之长加力为静滑车二之一因速减半故也若加于连滑车而一静数动者第一动滑车之长加力为静滑车二之一第二动滑车为四之一第三动滑车为八之一既得诸器之长加力用和分法推之即可知诸器之动矣

凡二体相切相磨皆能生面阻力而动速渐减使牵力与面阻力等则物之行恒为平速矣车行于石路之牵力小者为物重千分之十六大者为二千分之三十九路极不平处至千分之二十四火石路为千分之六十四铁轨路牵力或为物重二百四十分之一或为三百分之一平石路为七十分之一石子路为十五分之一若车行于斜而其所加之牵力等于股为实弦为法设斜面二丈最高一尺则比平面牵力加物重二十分之一也陆路不论速之大小阻力恒同水路则速幂渐大阻力亦渐大故车或五小时行十里或一小时行十里牵力并同而舟则一小时行十里较五小时行十里者牵力当加二十五倍也惟一小时十里以上阻力增率甚小因舟速甚而高出水面耳生动之力有六曰定质重曰流质重曰定质凸力曰流质动力曰流质涨力曰人畜能力皆以力乘路为当程功定质重之动力斜面与垂面不同设自行车路高一百尺长四千尺轻车一千斤以重车四千斤下行之力引之上行面阻力为二百分重之一法以重较三千斤乘高一百尺得三十万为当程功以二百除一千得五斤为上行阻力以二百除三千得十五斤为下行阻力并之以乘长四千尺得八万为实程功是当程之功比实程为四倍弱也用于垂面则以重乘路当程之功即为实程之功矣流质重之动力以水言之其当程功与定质同而水中又有横流之水互相推荡不能用以程功故水激上半轮当程功与实程功若五与四水激下半轮当程功与实程功若十与三也捕鸟鼠之巧机能生暂动巧偶钟表之发条能生长动皆凸力也发条动时抵力恒有改变故以绕轴渐卸时所过微路乘各秒中所加抵力之路为所程功风气之力有二风枪用涨力风帆用动力水气亦有涨力与动力其动力大小之比皆若速立方大小之比矣人畜能力以静体为最大人力二十八斤又五分斤之四马力一百四十四斤行则力必减小行至极速则力不能程功而一小时中极速之限人行六里马行十二里故求人所程功者以一小时里数与六里相减余数自之四因五除为人力求马所程功者以一小时里数与十二里相减余数自之为马力各以里数乘之为所程功也

车以平速行于平路其力必等于面阻力若有阻物如小石类而车体甚坚阻物与轮周仅遇于一点过此点时车必减速加力则速不减矣车过阻物上行时所加之力为重阻力车行忽改方向震动时所加之力为震阻力法以轮半径除阻物高为第一数轮半径幂倍之以除阻物高幂为第二数以此两数之较乘平速幂为震阻力率地力乘阻物高为重阻力率并两率以乘车重即车过阻物之加力也若阻物高小于轮半径则平速幂为震阻力率轮半径乘地力为重阻力率或以薄铁片附于轴下取其凸力令轮心渐离直而不震动阻力可减大半也

以物击物其受击物之抵力由两物相遇而生故铁锤之力大于纱球铁墩所抵之能大于软枕而锤之能力消于墩之抵力其所历之时刻又有不同时刻愈小抵力必愈大而物性受凹愈少者时刻亦愈小也钢铁凸力率九百万尺如以铁锤击铁墩则锤高加墩高以乘锤高又以锤下行数乘而倍之为实凸力率为法实如法而一平方开之即锤墩共凹之路锤高乘凸力率又以锤下行数乘而倍之为实锤高加墩高为法实如法而一平方开之即铁墩之抵力也若以锤击钉入木则力为平力而钉能动抵力必小钉长加锤高以乘木径倍凸力率除之即钉入木之路锤高乘平行数木径除之内减钉入木路即锤钉共凹之路也

　　流质重学记　　　

顾观光

物各有质木石之类为定质风水之类为流质而流质又有轻重之分轻如风气重如水液其体皆得热而大得寒而小而水之质独异当寒暑表之四十度为极小之限更寒则反增大至三十二度而成冰矣成冰之时其体增大最速故瓶盆贮水每因冰而迸裂也流质在器为地力所引必皆平于地平地球旋转生离心力地心下引生向心力二者又有并力而水面必直交于并力故海面当赤道则曲于球形当二极则平于球形月过处有引力又合地力而生并力必令水面改变即潮汐之理也水之小者同于平面故测两地高卑以水为准若二处流质相通必升至于平面以法激之能令水自下而上能令水载大重而上升或不用水而用风气理亦同也定质抵力惟在引力所加之方向流质抵力处处皆同设水在器中于其四周开相等之四小穴以短柱塞之令可进退一柱渐进则余柱必渐退其抵力之比同于穴大小之比去其一柱器必向对边而倾以一边无抵力也流质愈深抵力愈大立方一尺之水抵力六十二斤半以乘体积即水抵力之重矣流质抵力必有重心设上下不等正方体水满其中重心必近于大方令大方在下则重心低而抵力大大方在上则重心高而抵力小若有两器同底同高不论方斜尖直其底之抵力并同旁面抵力必在重心之下设为平行四边形则抵力心之高为三分高之一设为两等边三角形角尖在上则为四分中垂之一角尖在下则为二分中垂之一凡水闸当抵力心处必多加能力以阻水也

定质为流质所载重者必变而轻故竹木入水必升铁入水银亦升因等体积之流质重于定质故也定质重为向下之力流质重为向上之力二力同在一垂相等则物必定由此可得体积相等轻重不等之率如金重三十五分入水中则重三十一分所少四分即等于金体之水重是知水与金之重率为一与八七五矣若不合相定之理则物在水中或升或降令物升降之力即等体积之水重与物重之较也人入水中身重小于等体积之水重又胸中空处能大能小首昂则胸大而两重较更大且以两手入水必不沉也若手出水则身重大于等体积之水重而身必沉沉至水底抵力愈大身之体积愈小而不能复升矣人于桅端下坠入水必深以身重大于等体积之水重也殁则体涨大而复升以身重小于等体积之水重也气球上升亦同此理其上升之力即球重于等体风气重之较矣风气又有冷热之分而热轻于冷又热则体必加大而等体之冷风气愈重二重之较即令热风气上升之力聚火处开烟囟令烟速出于上即此理也烟囟高则热风气向上直升恒高于顶数尺外风不能敌之低则热风气亦低或不能敌外风而回入室中矣

凡空处皆有风气风气涨力四面散行直至遇物拦阻而止设冷热等则涨力大小与空体大小有转比例如有长空圆柱两端一通一塞以通之一端入水则柱中空体为水所逼渐下渐小而令柱下行之力必渐加大此即风气之涨力以涨力与抵力恒相等也水热至寒暑表之二百十二度其涨力与风气等每方一尺抵力二千一百二十斤更热则涨力极大虽至坚之物不能当之矣

地球外之风气层层包裹近地最厚渐高渐薄至一百五十里则无风气矣用玻璃管长三十二寸内径极小不过八分寸之一两端一通一塞满贮水银倒植水银器中则管中水银必降最卑至二十八寸最高至三十一寸其不能再降者为风气之所抵而风气厚薄时时不等故升降亦时时不等也海面水银高二十九寸九分二厘二毫在高山则必降风气薄而轻也在深壑则必升风气厚而重也大率高九百尺水银降下一寸是又为测高之简法矣水在器中或倒悬而水不出以口有风气抵力也虹吸内两边倒悬之水俱欲下行在顶点有两分之意而顶点无空势不能分两边一短一长必令短者逆流而上所以无空者风气抵之也若顶点高过三十二尺即有空矣极大虹吸高不得过三十二尺

风气冷热处处不同赤道之下日光正射而热入必多斜射则热少愈斜则愈少故一年热气中率赤道之下寒暑表八十四度两极之下仅得四度然则赤道下之风气较他处热而轻故必上升而其下南北之冷风气入之复受热气上升而其下之冷风气又入之如水之流终古不断遂生上下二潮上自赤道流向两极下自两极流向赤道而名之曰风风气恒随地球而行地球右转之势近赤道者较速近两极者较迟故上潮速恒而下潮迟及其降至地面迟则与地转相逆而北半球为东北风南半球为东南风速则与地转相顺而北半球为西南风南半球为西北风其势正相反也赤道下有飓风亦由于此盖上下方向相对遂成回旋之风矣摆用流质与定质同其动之比同于长平方根之比水自器中出口其速之比同于口离水面平方根之比设于器旁开二口一离水面一尺一离水面一百尺则一百尺之速必十倍于一尺之速如有少于此者面阻力为之也口在器底则水向下直行口在器旁则水依抛物行设为径寸平圆之口则近口处径一寸渐远渐小小至八分寸之五谓之截面此面距口有一定之度过此则形不变故测流质出口多少不用口面积而用截面积也

舟行水中阻力之比同于速幂之比而阻力又有大小之不同全在水中则大半在水中则小行于阔处则大行于狭处则小若于狭处一小时行十余里舟行愈速出水愈高其阻力必大减矣水行川中上面速于下面中流速于两边因底与两岸有面阻力且多曲处故也曲处凹边之流速于凸边因各点有离心力能令水积于凹边也上下行速不同方向或异甚至有对面者如海口潮来咸水从下入淡水从上出以重者下而轻者上也浪乃略高之水行于水面与水行方向不同如桅上旗因风而生绮浪亦与旗行方向不同故水浮水面浪虽拥击而水不行也浪每因风而生水阔二三百尺深三四尺浪高不过三寸深二三十尺浪高约尺半故可以浪之高低测水之深浅矣潮汐高卑由于日月摄力朔望时用其和两弦时用其较而二摄力之大小时时不等因日月距地时时不等而摄力与距地之立方有转比例也日力大小自十九至二十一月力大小自四十三至五十九故潮之最高与最卑若两大数和与两小数较即若十与三之比也各地早晚不同当考者有五事一为月过中差潮涨在月过中后若干时刻日日不同大率当以朔望为准二为半月差月过中又因距日而生差当于日月赤道纬度及地心差为中数时测之此差半月而复故名半月差三为潮距朔望差潮之大汛不在朔望而在朔望后之三潮上潮距月过中之平数即潮距朔望也四为日差一日二潮高卑不等或早潮高或晚潮高当于各地测之五则日月地心差不同赤道纬度不同潮之高卑时刻亦因之而变测之既久乃知变者皆其常也有诸海港合而复分水道屡变有时成环绕之行水道变则迟速亦变是又当兼测水道矣

　　天重学记　　　

顾观光

日居中而不动地球环之其旋转于本心而一日一周者昼夜之故也其循行于本道而一岁一周者寒暑之故也旋转之势依赤道循行之势依黄道二道交角今为二十三度二十八分交点每岁西行五十秒一故地行黄道一周三百六十五日五小时四十八分四十九秒七再加二十分十九秒九而后复于恒星即岁差也黄道椭圆而日不正当椭圆之中两心差一六七八三六最高每岁东行十一秒八故地绕太阳一周三百六十五日六小时九分九秒六再加四分三十九秒七而后复于最高即历周也最高差与岁差共一分一秒九积二万九百八十四年而最高周于黄道则复其初矣地行于椭圆周每日五十九分八秒三三所历之时刻等所过之面积亦等而最高半周角度小于积度则实行差而迟最卑半周角度大于积度则实行差而疾故日距地之平方与速率有反比例日距地之面积与时分有正比例也中距日视径三十二分三秒三高则变小卑则变大大小之比同于日距地之反比矣黄道椭圆而地形亦为椭圆长径过赤道短径过两极二径之比若二百九十九与二百九十八地之旋转近赤道则渐疾而下引之力减近两极则渐迟而下引之力增故物在两极较赤道重一百九十四之一各度加重之比同于纬度正弦幂之比也地径与日径比若一与一百十一五地径与黄道径比若一与二万三千九百八十四故日之地平视差为八秒六各度视差之比同于视距天顶正弦之比也赤极环绕黄极二万五千八百六十八年一周为诸星所摄动而黄赤大距古大今小约百年差四十八秒其最大差为一度二十一分赤极又为月所摄动而成小椭圆之行长径十八秒五短径十三秒七四凡十九年一周长径恒向黄极故大距又有微差矣地以二十四小时旋转一周而考之钟表亦有微差一为椭圆迟疾差近最高则行迟而自转有减分近最卑则行疾而自转有加分一为黄赤升度差近二分则黄道一度当赤道不足一度故自转有加分近二至则黄道一度当赤道一度有余故自转有减分合二差以加减平时即真时也光行之速一秒凡五十五万五千里而地行黄道一秒仅五十五里故光速率与地速率若半径与二十秒五之正切是为光行差近地恒有蒙气能令七政升卑为高地平视差三十三分地平以上渐小而其差又随时随地不同此必征诸实测非算术所能御矣

月绕地而又绕日其旋转于本心与环绕乎地球皆二十七日七小时四十三分十一秒五而一周故月向地之面终古不易也月行白道与黄道斜交其角五度八分四十八秒交点退行于黄道每日三分十秒六四故月行南北二十七日二一二一而一周即交终也白道椭圆而地不正当椭圆之中两心差最大最小之比若三与二其中数为五四八四四二最高每日顺行六分四十一秒八故月行迟疾二十七日五五四五而一周即转终也月行于椭圆周每日十三度一七六四亦以面积为平行角度为实行与太阳同中距月视径三十一分七秒大小之比亦为月距地之反比矣月地之行每日差十二度一九七五积二十九日十二小时四十四分二秒八七而复合是为一月地径与月径比若一与二七二九地径与白道径比若一与五十九九六四三五故月之地平视差其中数为五十七分六秒也日月二半径和加月地平视差其最大者一度三十四分二十七秒日月两心距小于此数则地面必有见食之处故日食限之距交为十六度五十八分法自日体之两边各作与月体相切引长之成尖圆其尖或过地或不及地若以两交互切月引长至地界内即生淡影人在淡影中则见食在尖圆中则见食既也月与内虚二心距等于月外虚二半径和即月入外虚之时等于月内虚二半径和即月入内虚之时故月食限之距交为十一度二十一分法自日体之两边各作与地球相切引长之成尖圆即内虚也若以两交互切地引长之过月体即外虚也日光透过蒙气则折而下其交外虚之角即倍地平蒙气差其交内虚之角即倍蒙气差与日视径之较月八外虚为昏黄色入内虚则浅者为蓝绿色深者为红紫色也凡摄力之大小与相距之平方有反比例月距地心约地半径之六十倍故地摄月力为地面摄力三千六百之一日之摄力甚大于地而日地距大于月地距约四百倍故日摄月力仅得地摄月力一百七十九之一也白道长径与地之行每日差五十二分二十七秒二五积二百五日八九四而复合此一合中两心差有增减长径亦有进退而增减进退之差在最高者较大在最卑者较小大小之比若二十八与二十五矣朔望前二象限切力恒令速率增增则长径变长朔望后二象限切力令恒速率减减则长径变短又朔望左右各五十四度四十四分法力向外令曲率略小两弦前后各三十五度十六分法力向内令曲率略大其最大差为一度四分一月而复名二均差也月受日之摄力朔时距日近而略大望时距日远而略小故日心斜交地月之令月增减于椭圆行其最大差为二分名月角差也地行于椭圆周最高后距日渐近则日摄月力渐大最卑后距日渐远则日摄月力渐小其最大差为十一分一岁而复名年差也二千年间地道两心差恒变而小约百年差二万五千分之一则年差亦微有不同而月之平速恒变而大约百年差十一秒九其一终之时甚久未能征诸实测也二体相距必有重心其距二体心远近之比若二体轻重之比联日地为一直其公重心在日体中联月地为一直其公重心在地球中故月地之公重心绕日地之公重心而自人视之一若月绕地而地又绕日焉然因此而日之经度亦有微差一月而复因名之曰月差其最大者不能至八秒六八秒六者日之地平视差也白极环绕黄极十八年六而一周而赤道既退行于黄道又退行于白道则赤极所行方向恒正交赤白二极距故不成正圆而为次摆其速率亦时大时小二道所生二差之比若二与五矣

五星绕日而行轨道并为椭圆与地球同其两心差各以长半径准之水星二五五一四九金星六八六七火星九三三七木星四八一六二一土星五六一五五距日中数以地道半径准之水星三八七九八一金星七二三三三一六火星一五二三六九二三木星五二二七七六土星九五三八七八六一地与五星周时平方之比各同于距日立方之比推得五星之恒星周水星八十七日九六九二五八金星二百二十四日七七八七火星六百八十六日九七九六四六木星四千三百三十二日五八四八二一土星一万七百五十九日二一九八一七其交黄道之角水星七度九秒一金星三度二十三分二十八秒五火星一度五十一分六秒二木星一度十八分五十一秒三土星二度二十九分三十五秒七其交点与最高点行皆甚迟故联两交点为一恒平分黄道焉外星之摄动内星也于内道上取距外星等于日距外星之两点内星自等距点至交点者交点退而后自交点至等距点者交点进而前内星之摄动外星也二道相距小于内道距日者于内道上取距日与外星相等之两点其交点之进退与外星摄内星同二道相距大于内道距日者二星在交之两边交点退而后在交之一边交点进而前若二星中有一星正当交点则交点不动矣二道渐相近而摄力又引之近二道渐相远而摄力又推之远则交角变大二道渐相近而摄力反推之远二道渐相远而摄力反引之近则交角变小引之近者交点退推之远者交点进故交角之大小与交点之进退不相应也法力能变曲率向内则曲率增向外则曲率减切力能变速率顺则速率增逆则速率减故法力向内而星近高点则长径退近卑点则长径进自高至卑则两心差增自卑至高则两心差减法力向外者反是切力顺而星近高点则两心差减近卑点则两心差增自高至卑则长径退自卑至高则长径进切力逆者反是是两心差与最高行互为消长而切法二力亦互为消长故五星之椭圆周古今不甚相远也人视五星见其忽顺忽逆忽留若无法者因地不在星道之心而又绕日环行故也若自太阳视之则有迟疾而无留退故求地心经纬度当以日心经纬度为根先用弧三角形直角为一角星道交黄道角为一角最卑交点二经度较为两角所夹之弧求得对直角之弧以加减星距最卑度即星距交度仍以直角为一角星道交黄道角为一角星距交度为两角所夹之弧求得对交角之弧即日心纬度又求对直角之弧以加减交点距春分度即日心经度也次用平三角形直角为一角日心纬度为一角星距日为对直角之边求得纬度角之对边为星距黄道又求得两角所夹之边为星对边又以星对边为一边地距日为一边星地二日心经度较为两边所夹之角求得对角之边为日对边又求地距日之对角以加二日心经度较再加地之日心经度即星之地心经度又以日对边与星距黄道为夹直角之两边而求星距黄道之对角即地心纬度也土木二星之互相摄动也二星一合为七千二百五十三日四积至三合则土二周木五周而多八度六分以除三百六十度又以一合日数乘之得三十二万二千三百七十三日约八百八十三年然其差因积久而大故九百十八年而一周此一周中一星速率增而周时变短则一星速率减而周时变长其最大差土星四十九分木星二十一分二星经度之比若二星体积各乘长径平方根之反比也金星之摄动地球也一合为五百八十三日九二积至五合则地八周金十三周而少二度二十四分以除三百六十度又以一合日数乘之得八万七千五百八十八日约二百四十年而一周此一周中地速率减则日地中距变大地速率增则日地中距变小其差甚微然因此而月之速率亦有增减其最大差为二十三秒金星摄力又有直加于月者地转三终则金转五终而多二十七日十三小时七分三十五秒六较月转终少十分五十六秒七约为三千六百二十五分月转终之一凡二百七十三年而一周其最大差为二十七秒四是又在日地二摄力之外矣五星地半径差并小于月测之甚难而联日星与地为三角形则星距日与地距日若星距日度正弦与地道半径差之正弦此差一年而周与光行差相似若以光行星与地道差为夹直角之两边而求地道差之对角即星所在之度也

彗星行法与五纬同而椭圆之长径甚长两心差甚大故或数十年而一见其差甚多不能尽知其根数也因格彗半长径二二一六四两心差八四七四三六交黄道角十三度七分三十四秒凡三年一一而一周迪未谷彗半长径三九九四六两心差六一七二五六交黄道角二度五十四分四十五秒凡五年一六七而一周勃陆孙彗半长径三一五二一两心差七九三六二九交黄道角三十度五十五分七秒凡五年二一六而一周比乙拉彗半长径三五一八二两心差七五五四七一交黄道角十二度三十四分十四秒凡六年二二而一周飞彗半长径三八一一七九两心差五五五九六二交黄道角十一度二十二分三十一秒凡七年一六一而一周达唳彗半长径六三二六六两心差七五六七二交黄道角三十一度二分十四秒凡十五年三二五而一周好里彗半长径一七九八七九六两心差九六七三九一交黄道角十七度四十五分五秒逆行凡七十六年一六而一周又有干隆三十五年之彗两心差七八五八交黄道角一度三十四分凡五年半而一周道光二十三年之彗最卑距日五五八交黄道角三十五度三十六分二十九秒逆行凡二十一年八七五而一周又有顺治十八年之彗约一百二十九年而一周嘉靖三十五年之彗约二百九十二年而一周康熙十九年之彗约五百七十五年而一周上考往古有当见而不见者必近日而昼见有虽见而先后一二年则为他星所摄动也干隆五十一年至道光十八年因格彗已十五周每周减百分日之十一洪武十一年至道光十五年好里彗已六周每周增千分年之四百四十五增减之故未得而详彗之头如星气渐近中心渐厚尾恒背日盖太虚中之薄气故借日光而明有时隔彗能见恒星知其为薄气而非实体矣

　　代微积拾级序　　　

李善兰

几何之学自欧几里得至今专门名家代不乏人粤在古昔希腊最究心此学尔时以圜锥诸曲之理为最精深亚奇默德而后其学日进至法兰西代加德立纵横二轴推曲内诸点距轴远近自有此法而凡曲无不可推故曲之数多至无穷而以直为限一例用曲之法驭之既得诸曲依代数理推之可得诸平面诸曲面诸体其已推定之曲略举其目曰平圜椭圜双抛物半立方抛物薜荔叶蚌摆余摆和音次摆弦切诸指数对数亚奇默德螺对数螺等角螺交互螺两端悬葛西尼诸椭圜平行动而圜锥诸曲与他曲统归一例无或少异此代数几何学也自有代数几何而微分学之用益大微分学非一时一国一人所作其源流远矣数学有数求数代数无数求数然所推皆常数微分能推一切变数创法者不一家理同而术异求本之者日尔曼人也立界说曰以小至无穷之点积至无穷多推其几何名为推无穷小点法难者曰无穷小之点虽积之至无穷不能成几何解之曰但易无穷小为任何小即有积可推矣故其说虽若难解而其理未始不合也而英国奈端造首末比例法不用无穷小之长数乃用有穷最小长数之比例而推其渐损之限其几何变大则为末限变小则为首限此法便于几何而不便于代数后造流数术弃不用而谓万物皆自变其变皆有速率凡几何俱可用直显之故速率之增损可用直之界显之此说学者皆宗之嘉庆末法兰西特浪勃造限法自云不过用柰端首末比例耳而兰顿别创新法凡微分一凭代数不云任近限而云已得限名曰賸理拉格浪亦造法多依附戴老之理大略与兰顿同总论之微分不过求变几何最小变率之较耳家数虽多理实一焉奈端来本之同时各精思造法未尝相谋相师也奈端于元上加点以显流数如申为甲之流数是也用以推算觉不便故用来氏之彳号以显之积分者合无数微分之积也亦用来氏之禾号以显之微分积分为中土算书所未有然观当代天算家如董方立氏项梅侣氏徐君青氏戴鄂士氏顾尚之氏暨李君秋纫所着各书其理有甚近微分者因不用代数式故或言之甚繁推之甚难今特偕李君译此书为微分积分入门之助异时中国算学日上未必非此书实基之也

　　代微积拾级序　　　

伟烈亚力

中法之四元即西法之代数也诸元诸乘方诸互乘积四元别以位次代数别以记号法虽殊理无异也我　朝康熙时西国来本之奈端二家又创立微分积分二术其法亦借径于代数其理实发千古未有之奇秘代数以甲乙丙丁诸元代已知数以天地人物诸元代未知数微分积分以甲乙丙丁诸元代常数以天地人物诸元代变数其理之大要凡线面体皆设为由小渐大一刹那中所增之积即微分也其全积即积分也故积分逐层分之为无数微分合无数微分仍为积分其法之大要恒设纵横二以天代横以地代纵以彳?天代横之微分以彳?地代纵之微分凡代数式皆以法求其微系数系于彳?天或彳?地之左为一切面体之微分故一切面体之微分与纵横之微分皆有比例而叠求微系数可得面体之级数曲之诸异点是谓微分术既有面体之微分可反求其积分而最神妙者凡同类诸题皆有一公式而每题又各有一本式公式中恒兼有天地或兼有彳?天彳?地但求得本式中天与彳?天之同数或地与彳?地之同数以代之乃求其积分即得本题之全积是谓积分术由是一切曲曲所函面曲面曲面所函体昔之所谓无法者今皆有法一切八求弧背弧背求八真数求对数对数求真数昔之视为至难者今皆至易呜呼算术至此观止矣蔑以加矣罗君密士合众之天算名家也取代数微分积分三术合为一书分款设题较若列眉嘉惠后学之功甚大伟烈君亚力闻而善之亟购求其书请余共事译行中国伟烈君之功岂在罗君下哉是书先代数次微分次积分由易而难若阶级之渐升译既竣即名之曰代微积拾级时几何原本刊行之后一年也

　　谈天序　　　

李善兰

西士言天者曰恒星与日不动地与五星俱绕日而行故一岁者地球绕日一周也一昼夜者地球自转一周也议者曰以天为静以地为动动静倒置违经畔道不可信也西士又曰地与五星及月之道俱系椭圆而历时等则所过面积亦等议者曰此假象也以本轮均轮推之而合则设其象为本轮均轮以椭圆面积推之而合则设其象为椭圆面积其实不过假以推步非真有此象也窃谓议者未尝精心考察而拘牵经义妄生议论甚无谓也古今谈天者莫善于子舆氏苟求其故之一语西士盖善求其故者也旧法火木土皆有岁轮而金水二星则有伏见轮同为行星何以行法不同歌白尼求其故则知地球与五星皆绕日火木土之岁轮因地绕日而生金水之伏见轮则其本道也由是五星之行皆归一例然其绕日非平行古人加一本轮推之不合则又加一均轮推之其推月且加至三轮四轮然犹不能尽合刻白尔求其故则知五星与月之道皆为椭圜其行法面积与时恒有比例也然俱仅知其当然而未知其所以然奈端求其故则以为皆重学之理也凡二球环行空中则必共绕其重心而日之质积甚大五星与地俱甚微其重心与日心甚近故绕重心即绕日也凡物直行空中有他力旁加之则物即绕力之心而行而物直行之迟速与旁力之大小适合平圜率则绕行之道为平圜稍不合则恒为椭圜惟历时等所过面积亦等与平圜同也今地与五星本直行空中日之摄力加之其行与力不能适合平圜故皆行椭圜也由是定论如山不可移矣又证以距日立方与周时平方之比例及恒星之光行差地道半径视差而地之绕日益信证以煤坑之坠石而地之自转益信证以彗星之轨道双星之相绕多合椭圜而地与五星及日之行椭圜益信余与伟烈君所译谈天一书皆主地动及椭圜立说此二者之故不明则此书不能读故先详论之

　　谈天序　　　

伟烈亚力

天文之学其源远矣太古之世既知稼穑每观天星以定农时而近赤道诸牧国地炎热多夜放羊因以观天间尝上考诸文字之国肇有书契即记及天文如旧约中屡言天星希腊古史亦然而中国尧典亦言中星历家据以定岁差焉其后积测累推至汉太初三统而立七政统母诸数从此代精一代至郭太史授时术法已美备惟测器未精得数不密此其缺陷也中国言天者三家曰浑天曰盖天曰宣夜然其推历但言数不言象而西国则自古及今恒依象立法昔多禄某谓地居中心外包诸天层层硬壳传其学者又创立本轮均轮诸象法綦繁矣后代测天之器益精得数益密往往与多氏说不合歌白尼乃更创新法谓太阳居中心地与诸行星绕之第谷虽讥其非然恒得确证人多信之至刻白尔推得三例而歌氏之说始为定论然刻氏仅言其当然至奈端更推求其所以然而其说益不可摇矣夫地球大矣统四大洲计之能尽历其面者无几人焉然地球乃行星之一耳且非其最大者计绕太阳有小行星五十余大行星八其最大者体中能容地球一千四百倍其次能容九百倍也设以五百地球平列土星之光环能覆之而诸行星又或有月绕之总计诸月共二十余设尽并诸行星及诸月之积不及太阳积五百分之一太阳体中能容太阴六千万倍可谓大之至矣而恒星天视之亦只一点耳设人能飞行空中如最速子亦须四百万年方能至最近之恒星故目能见之恒星最小者可比太阳其大者或且过太阳数十万倍也夫恒星多至不可数计秋冬清朗之夕昂首九霄目能见者约三千设一恒星为一日各有行星绕之其行星当不下十五万况恒星又有双星及三合四合诸星则行星之数当更不止于此矣然此仅论目所能见之恒星耳古人论天河皆云是气近代远镜出知为无数小星远镜界内所已测见之星较普天空目所能见者多二万倍天河一带设皆如远镜所测之一界其数当有二千零十九万一千设一星为一日各有五十行星绕之则行星之数当有十亿零九百五十五万意必俱有动植诸物如我地球伟哉造物其力之神能之钜真不可思议矣而测以更精之远镜知天河亦有尽界非布满虚空也而其界外别有无数星气意天河亦为一星气无数星气实即无数天河我所居之地球在本天河中近故觉其大在别星气外远故觉其小耳星气已测得者三千余意其中必且有大于我天河者初人疑星气为未成星之质至罗斯伯之大远镜成始知亦为无数小星聚而成而更别见无数星气则亦但觉如气不能辨为星之聚设异日远镜更精今所见者俱能辨恐更见无数远星气仍不能辨也如是累推不可思议动法亦然月绕行星行星绕太阳近代或言太阳率诸行星更绕他恒星与双星同然则安知诸双星不又同绕一星而所绕之星不又绕别星耶如是累推亦不可思议伟哉造物神妙至此荡荡乎民无能名矣

　　割圜八缀术序　　　

左

学术八文学四附算学

　　圜率考真图解跋　　　

曾纪鸿

曩读古今人数学书莫不言割圜之难数理精蕴中所载圜率与西人固灵所求三十六位之数相同皆用内容外切屡次开方之法欲求此三十六位之率不下数十年工夫亦綦难矣后有泰西杜德美特立屡乘屡除之法省去开方较旧法为稍捷然秀水朱君小梁用其术以求四十位圜率止有二十五位不误其后十五位概行误足见纷赜繁难易于淆乱果臣先生属纪鸿等凝心构思幸得创兹巧法敛级甚速按等推求了如指掌迩日深于算者穷理之功多演数之功少反觉不切于日用今左君壬叟黄君玉屏竟用此术推得各弧背真数至百位之多庶几息诸家之聚讼而为古之困于圜率者置一左券也

　　对数序　　　

刘彝程

人莫不知对数之用世亦不乏求对数之书奚俟后有论譔顾是书之不容已于作也其要有二一则自来求对数者求一对数祗可得一对数今思得一法求一对数俱可得两对数盖以前册开方第二术求大于本数之对数较易正负相间之诸数为皆正即为小于本数之对数较以前册开方第三术求小于本数之对数较易诸数皆正者为正负相间即为大于本数之对数较以此求诸对数以备立表视前人诸法不尤捷乎此首卷之所以要也一则近来西书求对数半较其法颇捷而立法之原不详间以开方之理推之乃知亦系开方之法但此开方与前册开方诸法不同盖以中方根求大小两方根半较法也爰自平方至无量数九乘方各以率数阐之莫不显然一贯而开方之说可以据为定论无疑此次卷之所以要也至是书中逐事逐节阐微抉隐于对数之理均觉似非小补然以视最要之端则犹为余事矣

　　论对数根　　　

刘彝程

　　　第一问

问何谓对数根曰命单一下带无数空位零一之数为方根求其无量数九乘方之积为真数次置方根零数即零一之一以一无量数乘之得单一为真数之自然对数由自然对数求得定准对数即对数根也法以十之自然对数为首率十之定准对数单一为中率求得末率为对数根盖十之自然对数与十之定准对数单一之比若以单一为自然对数与其定准对数之比而此所得定准对数用之乘一切方根零数可得一切数之定准对数以其为诸对数之所自出故曰对数根也

　　　第二问

问以对数根乘一切数之方根零数而得一切数之定准对数其理若何且求一切定准对数舍对数根尚别有法乎曰一切数之方根零数既为一切数之自然对数则置本数之方根零数任以若干数之定准对数乘之以若干数之自然对数除之必得本数之定准对数顾此法须一乘一除不若有乘无除或有除无乘之便有乘无除者以对数根为乘法是也有除无乘者以十之自然对数为除法是也盖自然对数单一与定准对数对数根之比同于一切自然对数与一切定准对数之比而所宜置之一率系单一可以省除宜以单一为一率对数根为二率一切自然对数为三率求得四率为一切定准对数故以对数根乘一切方根零数即得一切定准对数又十之自然对数与十之定准对数之比同于一切数之自然对数与一切定准对数之比而十之定准对数系单一可以省乘故以十之自然对数除一切方根零数即得一切定准对数夫位少之数乘便于除位多之数除便于乘似以十之自然对数为除法较以对数根为乘法为便十之自然对数与对数根皆位多之数顾乘除方根零数乃乘除于得数之后得数即得方根也乘除所借之根单一为乘根于第一数之先第一数即连比例之第一数乘除于后与乘除于先原无少异则与其以十之自然对数除方根零数孰若以对数根乘借根单一之为便乎此求对数者所以恒置对数根为第一数之实也置对数根为第一数之实即如以对数根乘单一也

　　　第三问

问求对数根共有几法曰旧法以十为本积开五十四次平方然后以方根为真数以方根之零数为自然对数以单一折半五十四次为定准对数置单一以定准对数乘之自然对数除之得对数根此一法也戴氏以十为本积先开三十一乘方为用数然后以用数开无量数九乘方求得方根零数以三十一乘方之廉率乘之即三十二乘之得十之自然对数以十之自然对数除定准对数单一得对数根此又一法也李纫叔氏以二为本数求得自然对数三因之得八之自然对数又求得四与五之自然对数较命为八与十之自然对数较四五与八十比例同故对数较亦同以加八之自然对数为十之自然对数然后以十之自然对数除单一得对数根此又一法也夫旧法极繁不可为训戴李二术因十之自然对数不可径求故一则借用数以求之一则分二次以求之皆法之极善者也

　　　第四问

又问求对数根别有法乎曰无论以若干数之自然对数除本数之定准对数皆得对数根以对数根乘诸自然对数既得诸定准对数则以诸自然对数除诸定准对数必得对数根但诸数之自然对数与定准对数恒难兼而有之如二可得自然对数不能得定准对数十之平方根可得定准对数不能得自然对数试思何数可兼得自然与定准两对数则得对数根矣间尝于戴李二法外另立二法此二法比戴李之法亦大略相似前一法与戴法相似后一法与李法相似此法任取略大于单一之数皆可为求对数根之借端明乎此然后觉求之术途径甚宽非一格所能限矣法如左

一任取略大于单一之数为借根屡自再乘至比十略大或略小而止为借积以十为本积视借根屡自再乘为若干次即以十开若干乘方得数为十之若干乘方根次以此方根为本数以若干乘方之廉率除十之定准对数单一为本数之定准对数复由本数求得自然对数然后以自然对数除定准对数得对数根

　假如任取一一为借根自乘得一二一为平方以平方自乘得一四六四一为三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一为七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三为十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五为二十三乘方此法较以一一累乘二十三次略捷视二十三乘方之数与十相近而略小乃以此数为借积十为本积求十之二十三乘方根法以借积减本积得一五二六七三二五为屡次乘法十为屡次除法置借根一一为第一数乘法乘第一数除法除之得一六五二九四五八以廉率二十四除之得六八八七二五三为第二数除法除之得一三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得五三九四为第三数乘法乘第三数除法除之得八一以四十九乘之七十二除之得五五一为第四数乘法乘第四数除法除之得八以七十三乘之九十六除之得六为第五数诸数相得一一六九四一七一四为十之二十三乘方根以上用开方第一术

　次以十之二十三乘方根为本数以廉率二十四除十之定准对数得四一六六六六六六七为本数之定准对数仍以开方术求本数之自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得一六九四一七一四为较积即为屡次乘法置借根单一借积一借根必仍为一以乘法乘之除法除之得一六九四一七一四合以一无量数除之今不除寄为母即为第一数正本系第二数因但求方根零数故径以第二数为第一数乘法乘第一数除法为单一除与不除无异故可省去得一一三九三一六一又一乘之二除之一乘二除与一无量数乘二无量数除等得五六九六五八一为第二数负乘法乘第二数得五一四八五又二乘之三除之得三四三二三三为第三数正乘法乘第三数得三四二六八五又三乘之四除之得二五七一四为第四数负如是求得二七四为第五数正一七三八为第六数负一五为第七数正一三为第八数负一为第九数正诸正数相诸负数以减之得九五九四一四五六合以一无量数乘之因第一数已寄一无量数为母是此数已为一无量数与方根零数相乘之数故即为借积与本数之对数较又此对数较合加借积之对数为本数之对数而借积系单一无对数可加诸数之中惟单一无对数故此对数较即为本数之自然对数置本数之定准对数四一六六六六六六七以自然对数九五九四一四五六除之得四三四二九四四八二即对数根也以上用开方第二术

一任取略大于单一之数为本数求得自然对数次以本数屡自再乘至比十略小或略大而止复求得此数与十之自然对数较次置先所求自然对数以屡自再乘之次数加一乘之以后所求自然对数较加之得十之自然对数然后以十之自然对数除十之定准对数单一得对数根

　假如任取一一为本数求其自然对数法以单一为借积即为屡次除法以借积减本数得一为较积即为屡次乘法置借根单一降一位屡乘法除法皆为一乘除所得之数但降一位而数不变故以降一位代乘除一次也得一为第一数正此处寄母及得数后不复以无量数乘之之说俱已见前置第一数降一位一乘之二除之得五为第二数负置第二数降一位二乘之三乘之得三三三三三三为第三数正置第三数降一位三乘之四除之得二五为第四数负如是求得二为第五数正一六七为第六数负一四为第七数正一为第八数负诸正数相诸负数以减之得九五三一一八为一一之自然对以上用开方第二术

　次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五为一一之二十三乘方视此数与十相近而略小乃以此数为小积十为大积复开无量数九乘方求大小两积之对数较法置大积自除得一为大借积以大积除小积得九八四九七三二六七五为小借积以减大借积得一五二六七三二五为较积乃以较积除小借积得六□?五五四八六七第二位为单数故志以口为屡次除法合以较积为乘法小借积为除法今以乘法除除法为除法则屡次乘法可以省去置大借积之根单一以除法除之得一五二五五九八为第一数正除法除第一数一乘之二除之得一一六三七五为第二数负除法除第二数二乘之三除之得一一八四为第三数正除法除第三数三乘之四除之得一四为第四数负第一第三数相以第二第四数相减之得一五一四七八为大借积与小借积之自然对数较亦即为大积与小积之自然对数较大小两借积皆寄大积除法为母同一寄母则与原大积小积比例仍同比例同故对数较亦同次置一一之自然对数以二十三乘方之廉率二十四乘之即是以累乘之次数加一乘之也得二二八七四四四三二为小积之自然对数以大小两积之自然对数较加之得二三二五八五二为十之自然对数置定准对数单一以十之自然对数除之得四三四二九四四八二即对数根也以上用开方第四术

　　代数术序　　　

华蘅芳

代数术二十五卷余与西士傅兰雅所译也傅君本精于此学余亦粗明算法故傅君口述之余笔记之一日数千言不厌其艰苦凡两月而脱稿缮写付梓经年告成爰展阅一过而序之曰数之名始于一而终于九故至十则进其位而仍以自一至九之数名之至百则又进其位而仍以自一至九之数名之如是以至千万亿兆其例一也夫古人造数之时所以必以十纪之者诚以数之多可至无穷若每数各与一名则吾之名必有穷时且纷而无序将不可记忆不如极之于九而以十进其位则举手而示屈指而记虽愚鲁者皆能之故可便于民生日用传之数千百年至今不变也观夫市廛贸易之区百货罗列精粗美恶贵贱之不同则其数殊焉多寡长短大小之不同则其数又殊焉凡欲以其所有易其所无者必握算而计之其所斤斤计较者莫非数也设有人言吾可用他法以代其数天谁能信之良以其乘除加减不过举手之劳顷刻而得无有奥邃难明之理在其间本无藉乎代也惟是数理幽深最耐探索畴人演算务阐精微于是乎设题愈难布算愈繁甚至经旬累月不能毕一数且其所求之数往往杂糅隐匿于各数之内而其理亦纡远而不易明若每事必设一题每题必立一术枝枝节节而为之术之多将不可胜纪而仍不足以穷数理之变则不如任数理之万变而我立一通法以驭之此中法之天元西法之代数所由作也代数之术其已知未知之数皆代之以字而乘除加减各有记号以为区别可如题之曲折以相赴迨夫层累已明阶级已见乃以所代之数入之而所求之数出焉故可以省算学之工而心亦较逸以其可不藉思索而得也虽然代数之术诚简矣诚便矣试问工此术者遂能不病其繁乎则又不能也夫人之用心日进而不已苟不至昏眊迷乱必不肯中辍故始则因繁而求简及其既简也必更进焉而复遇其繁虽迭代数十次其能免哉由是知代数之意乃为数学中钩深索隐之用非为浅近之算法而设也若米盐零杂之事而概欲以代数施之未有不为市侩所笑者也至于代数天元之异同优劣读此书者自能知之无待余言也

　　论四元相消之理　　　

汤金铸

四元之书今所存者以元朱汉卿四元玉监为最古然四元实由天元所推广而天元则宋秦道古数学九章元李镜斋测圆海镜益古演段郭邢台授时厤艹皆着其法今并存唐王又孝通辑古算经所立诸术多与天元四元所衍得者同疑亦据此而作也考九章算术少广章曰借一算为法步之似即立天元一所自始顾天元因借一而立然所借止于一用犹未广故推衍为四元而四元法则悉本方程以为用也盖天元地元即方程之一色二色而今式云式即方程之一行二行故方程多一色须多一行犹元术多一元即多一式四元之相消无异方程之互乘对减方程对减一去一色而省一行四元相消一亦去一元而省一式然则对减者方程之转枢而相消者实四元之关键矣夫相消原与常法相减无异而理则有殊盖减则数有大小即有减余之数而相消必两数参差相等消后数有对者汰之无对者列为正负存之故所得必正负相当而等于无数天元四元如是方程亦如是也相消法立一元者须得相等两如积相消遇寄左数须开平方始与又数等者即又数等于左数之平方根也故以又数自乘即与寄左数相等因自乘必无奇零开方数常不尽故以此通之也或遇左数当以某数除之始与又数等者即又数小于左数若干倍也则以其数乘又数令大若干倍即与左数相等因如积常不受除故以此通之也两数既等即可消为一行得开方式若立二元者既有两如积相消而得一式矣然式中又有两元之和数或较数则两元仍不可知故必更求两如积相消而得又一式乃以此二式相消得开方式其法以所得二式左右列之以右式最左一行乘左式以左式最左一行乘右式则二式之最左一行必相同而相消必尽犹方程之互乘对减必减去最上一层也知其必尽故不必乘亦不必减所以省算也如是屡乘屡消以消至一行止为开方式若遇两式中左行之数彼大于此若干倍者可以约率求之不必互乘盖互乘所以齐同今此既小于彼若干倍则依若干倍之即与彼齐同矣遇两式之行数不同如左式三行右式止二行者即以右式移左一行消之其能移左者如以地元一乘之也遇层数高下不同者亦然如右式有数在太上一层左式太下一层始有数可令右式降而从之或以左式升而从之其能任意升降者如以天元一除之或乘之也若立三元则可任意升降而不可任意左右盖地人两元互相牵制也必消去人元或地元乃可任移左右也立四元则牵制更多升降左右均所不能必消去天元或物元乃可升降消去人元或地元乃可左右也故三元四元之法遇行数层数不齐者必用剔消法驭之剔消之理因各式之数既正负相当则任以一数乘之或除之其相当固不变即其数任分为二各自乘相减所得仍相当不变也故三元法遇各式行数多少不齐即将少行之式直剔为二各自乘而相消则数本为元者可增而为面体及多乘方可与多行之式相消矣四元法遇各式行数层数均不齐者则直剔一式使少行增为多行又横剔一式使少层增为多层亦可与多行多层者相消矣至旧法天物相乘地人相乘得数皆纪于夹缝中式中有此则视其由何数相乘而得者即以其数除而去之若不受除则乘他式以齐之凡此皆不外通分齐同之义而能尽相消之用者也

　正负相当等于无数则任以数乘之除之或自乘开方或剔乘相消必仍相当而等于无数作者以此释相消之理良由于四元代数贯彻纯熟故能语必破的

　　九减法及任用他数减试说　　　

沈善蒸

验乘除之误旧传九减之外其三四六七八皆可作减试之法惟一二五不可用因乘除之误恒差一二五等数故也梅氏算书祗有九减七减两法因用他数减试之法均同七减故用他数之减法可不俱载焉按九减法无论验加减乘除之误先以法数各位相并满九者以九减之减至不满九而止又实数得数并减亦如之并减过之数法仍为法实仍为实如验乘法者仍相乘验除法者仍除之验加减者仍加减之所得之数满九者又九减之必与减过之原得数相同是为无误若不同必有误矣七减法则稍异不能各位相并须从首位次第以七减之减至尾位不满七而止减毕后乘除加减试验之法皆与九减同试言其理夫数起于一极于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一与十百千万之较数为九九十九九百九十九九千九百九十九按此诸较数俱为九之倍数以九减之俱能却尽无余又如三与三十之较数二十七七与七十之较数六十三亦为九之倍数故无论何数退下一位或几位即与九减几次无异譬如八十退下一位变为八即如八十以九减八次亦为八所以九减之法十百千万均可并入单位而他减则不能并也又准此理九减之法可以改为以并代减更为简捷假如八百六十五万五千七百八十四今欲以并代减将各位相并得四十三又相并得七则与九减减得之数同若论用他数减试视九减孰为难易则他减难而九减易因九减可并故也然九减法有利亦必有弊凡乘除之误往往因加错位次与减错位次者居多乃九减不能验出此等之误因九减亦不计位次之故是以九减虽称捷法诚不如七减之尽善也

　　论海洋深浅之理　　　

沈善蒸

依重心之理而论大西洋必深于太平洋赤道以北之洋必深于赤道以南之洋何以故凡地球吸力非地心所生是地球全体各质点皆有吸力各点互吸其力必聚于公重心犹之一重物各质点皆有重率而重心必归于一点也凡万物之有重力皆因地球吸力所致而重力与吸力原非二物故吸力之心即重心无疑所以地面上有物坠下必向地球之公重心而海面恒与重心至地面径线成正交故重心即球心也又因地球以二极为轴每日东转一周而生离心力焉故北半球之垂线俱向重心而稍偏南垂线者即悬线也南半球之垂线俱向重心而稍偏北维赤道与二极地方之垂线直向重心是以地球为微匾形矣今阅地图北半球陆地多于南半球若使海洋深浅略同则北半球地质多于南半球是北半球重而南半球轻其公重心必偏在北半球海水亦随之而北乃北半球之低地没为海南半球之浅海变为陆何能成现在之形状以鄙意度之北半球之海洋应倍深于南半球之海洋故北半球洋面虽少以深补之仍不为少南半球洋面虽多以浅消之仍不为多乃两半球之地质轻重相等而重心亦无偏北之势庶能成现在之形状又大西洋应深于太平洋之理亦然不知此论然否须质诸泰西测海家验以实测方可自信如其不然必因地质有松密北半球地质多而松南半球地质少而密亦能轻重相等可使重心不偏也

　　质点　　　

韩应陛

欧罗巴人光性论云物之微分人亦能分然不能至不可分之地蒙以为人之不能分非物之不可分以几何之理言之物虽大合之可至无穷虽微分之可至无穷尺椎之说也而以为物有不可分之地者何也定质质点大水质点小水质点大气质点小气中各类应又分何类质点大何类质点小九与黍大小悬殊也以囷盛丸以盂盛黍囷底穴则丸相聚下至尽囷而正盂底穴则黍相聚下至尽盂而止其下之形与水之下之形无以异也顾囷之穴必大于丸盂之穴必大于黍囷之穴不大于丸则丸不得下也盂之穴不大于黍则黍不得下也故丸也黍也以网盛则下以布帛盛则不下布帛以盛水则下陶为密矣以盛水久而水沁于外陶孔大水粒小也?比陶为尤密矣?质较疏者以盛水水无沁于外以盛油久而油沁于外?孔大油粒小也水粒之大大于?孔油粒之大不大于?孔也据此而知凡物质之有点点之有原度不独定质重流质亦有之则亦可推此而知不独重流质轻流质亦有之轻流质之有质点虽无据岂遂不能更有他器烈以测而知之者乎而今则未有其器可以测而知之者也

　　极说　　　

韩应陛

凡可论之物有有极者有无极者有两端皆有极者有一端有极一端无极者一端有极一端无极者数也度也数始于一一数之至小也不可更减也故即以是为小极由是而递加加之而至无穷也此小有极大无极者也度终于三百六十三百六十度之至大也不可更加也故即以是为大极由是而递减减之而至无穷也此大有极小无极者也两端皆有极者南北极是也几何之理是也几何之理始于点终于体点不可减故为小极体不可加故为大极点不但不可减亦不可加使点可加加而为线是点虽不本大而固可使大维其不可加使大故终于点终于小也故为小极也体不但不可加亦不可减使体可减减而为面是体虽不本小而固可使小惟其不可减使小故终于体终于大也故为大极也是两端皆有极者也而几何中线加减不离线递减不及点递加不及面面加减不离面递减不及线递加不及体体加减不离体递减不及面递加减不及他形也是线也面也体也小亦无极也大亦无极也是两端皆无极者也而线以两点为界即以两点为极而两端可引之至无穷是两端皆无极者也面以心一点为心线为界体以重心一点为心面为界心为小极线为大极重心为小极面为大极也而面之心一而已其界之线递加而无穷也递减而无穷也体之重心一而已其界之面递加而无穷也递减而无穷也是又小有极大无极者也一端有极一端无极者也投物水中水之浪层层相生以至无穷投物处极也其层层相生而无穷者无极也声亦然出声处为极声渐远而渐微者无极也光亦然出光处为极光渐远而渐暗者无极也地球之理亦如是也地球以地心为极而水附于土以共为一球气又附于水土以共为一大球地心吸力极大以渐而减地心吸力地质点滞力用足相反也力足相敌也力相敌故相定几何度球面距地心一里吸力几何则等几何度球面距地心加一倍为距二里其吸力必减四倍何也距地心二里球面必四倍大于距地心一里球面也则距地心二里球面质点滞力必四倍大于距地心一里球面质点滞力也夫地心吸力加于地质递加递进以至地面亦加于水递及水面地水之上地心吸力又加风气使地心吸力不加风气则风气之性既自生涨力能推诸点四面散行渐远地心地水向心风气离心方向相反地上气下应生空隙今乃不然足证非是地心吸力加于地质渐远渐减以至地面地面之上又加风气渐远渐减以至无穷何也地面风气涨力有几何重可测而知如以玻璃方器抽出风气外面风气挤逼立碎试问此器不用风气用几何力方能挤碎设云一十六两则风气挤力极小当不能减于一十六两挤力涨力名异实同非有二义地心至地面万五千里据上所云其距倍是为三万里面大四倍力减四倍吸力涨力为成四两使更倍是为六万里面大四倍力减四倍吸力涨力为成一两其距递加其力递减递加之数可至无穷递减之数去多存少去三存一终存四一亦自无穷譬如尺椎日取其半万世不竭使不取半日取四三万世之后终存四一是故地心吸力最大渐远渐减以至地面又加风气渐远渐减以至无穷永无尽界地心极也其渐远渐减而无穷者无极也故风气尽界说称风气愈高愈薄涨力愈小涨力能推诸点四面散行渐远地心其方向与地心力对面此言是也至称涨力渐小至与地心力相等风气诸点不复推开而有尽界者其义非是也

　　繙译航海通书原本　　　

金楷理

是书所列日月行星每日躔度悉照英国都城外之观象台地名固林为志经所定其地在赤道北纬五十一度二十八分三十八秒凡日月星从午迤西旋转复至午为一日所历之太阳平时日月星多寡不同在日则曰太阳日二十四时在月则曰太阴日约二十五时弱即今日过午至明日过午为一日在行星则各有行星日在恒星则有恒星日二十三时五十六分三秒半弱其命时也悉以太阳平时为宗　设太阳为不动则地轴旋转及绕日其方向终古不变月星绕日从地心见其迟速不一成各星日也

测算有平时真时之别按钟表走时平分即太阳之平时日晷测时不平分即太阳真时其理解见译之航海通书

凡钟表宜照平时开准盖真时由测星而得平时以意平分之谓为平时者别于真时也

平时真时之较曰时差每日午正以所差之数列如表

设于一千八百七十年正月初一日在该处测日心正交午所得之午正即为该处真时查其时差为三分五十一秒四零依号加于真时则知日交午之平时为午正三分五十一秒四零也

凡推算必先准定一处为起算之端如此表依英国为准移用他处俱照相距该处之远近为加减相距十五度即差一点钟设同此一时在该处为午正者其西十五度之处尚为午初盖同时太阳不能分居两处之午也

行船表即度时表在该处开准者任至某处欲知该处之时检表即得验诸实测尚须推算其时差以加减之凡算家所定之表宜各照其测处之午为准

常用以夜半子正起至明日子正为一日而中分于午为午前十二点午后十二点此书则以正午起至明日正午止历二十四点为一日如常用在正月初二日午前七点钟四十九分此书则为在正月初一日十九点四十九分也余仿此　每月月终必多列一日即下月初一之数便中比例之用也

每月第一页所列诸数系日心正交该处午时之数其赤道经度自春分点记起日距赤道南北若干度谓之纬度

若干别时求日之赤道经纬度及时差之法当以次行所记之一点较数上求之表所列之数为午正前后一点中日所移之数若算别时之较取距午正折中之处而比其较中之较视下日较数之大小以别加减乃加减于本日较数内即为所求时每点应移之数而与所求时相乘即得其午正后所移之准数以加本日午正如日之赤纬度及时差在退行时则减于本日午正即得所求之数也考其所列之每点较数乃并上下两日之行分乃以两日共四十八点归之即得下日之一点较

设是年正月十六日在该处四点钟时求日之赤道纬度则检表内十六日午正之一点较为二十八秒七六十七日午正之一点较为二十九秒七五两较相减得较中之较为零秒九九以二十四点归之得每点差百分秒之四有奇乃以求午正后四点折半为二点即其中处与百分秒之四有奇相乘约得百分秒之八乃视其下日之较为渐大故加于十六日一点较数上共为二十八秒八四即所求四点时每点应移之赤道纬度乃以四点因之得一分五十五秒四查十六日正交午时在赤道南二十度五十五分五秒视十七日纬度小于十六日则知渐减以减十六日之纬度余为南二十度五十三分十秒即所求四点时之赤道纬度也求经度及时差之法皆仿此

日半径每日过午所历之恒星时因日距赤纬之南北而改变及半径有大小别所历之时因之不等考其测日之过午必测日之外环相切于午加此半径所历之时而得日中心过午之时故设此表也首页时差表为真时改平时之用设是年正月十六日该处真时为午后三点求其平时查正月十六日时差次行一点较为千分秒之八百四十四十七日为千分秒之八百十五则十六日三点之较应为千分秒之八百四十二法见前以三点因之得二秒二六以加十六日时差十分零三秒七五共为十分零六秒二八再加三点得三点十分零六秒二八即所求之平时

四月首页时差表有加有减十五以前为加十五以后为减中有粗画作记每月第二页表为该处平午正时日之赤道经纬度按此表从日之黄道经纬及黄道交角等数算出记真太阳所见处距地球赤道及真春分点之数

任于何地何时算日之赤道经纬度法　设于是年三月初一日在英国偏西九十八度之处平时为二十一点二十分求日之赤道经度按偏西九十八度应加六点三十二分为英国之三月初二日三点五十二分也查三月初二与初三两日经度之较为三分四十三秒九五以二十四点比三分四十三秒九五若三点五十二分与三十六秒八凡四率比例皆用以比若与四字括之以即一率比即二率若即三率与即四率下仿此以加三月初二之经度二十二点五十二分三十八秒一二共为二十二点五十三分十四秒二零即所求经度也如求纬度亦查初二与初三两日纬度之较为二十二分五十七秒六以二十四点比二十二分五十七秒六若三点五十二分与三分四十一秒九查两日之纬度渐减以减于初二日纬南七度九分五十三秒六得纬南七度六分十一秒七即所求之赤道纬也若更穷其细依前法求两日之每点较数比例之则愈密也因各曜之迟速在一日之内亦非平分必以渐而改日之半径因距地远近而异夏至后十余日在其至高故半径最小冬至后十日在其至卑故半径最大每日列表如测日之高度若测其上环必减此半径或测其下环则加此半径或测日月相距度乃并日月两半径以加减之即得其中心之距度

第二页时差表为平时改真时之用故其加减之号与真时条下相反两数有微差者乃时差中亦应移之数即时差行也日之赤道经纬度亦同

既有平时如号加减即得真时设于是年四月初二日在该处之平午正时欲求其真时查此日午正时差表应减三分三十七秒七零以减初二日午正即为四月初一日二十三点五十六分二十二秒三零即所求之真时也又如在该处偏东一百零五度之地四月十五日平时为十五点即十六日午前之三点钟时此系偏东处平时求真时偏东一百零五度应减七点是为英国之四月十五日八点查十五与十六两日时差之较为十四秒七九因一为加一为减故相并为一日较以二十四点比十四秒七九若八点与四秒九三而十六为当加之日十五为当减之日其十五日表内减余之数只剩零秒四六少于应减之数乃以比得之数反减零秒四六余四秒四七其号即变为加乃加于十五点共得十五点零四秒四七为所求处之真时

恒星时者乃每日该处平午正时午上赤道经度距春分起点之数乃日之平分赤道经度也设太阳为不动则地轴每日旋转一周又兼绕日之行视恒星所居之原点已西移三分五十六秒半也逐日累之则成恒星时矣

是书所载恒星时乃算家常用之表以明正午测望时距分点偏西之度分秒恒星时分点其差甚微故曰真恒星时而不名平恒星时如以日有平时而欲求恒星平时即日之平经度以十五约之即为平恒星时恒星之真时与恒星平时之较十九年中止差二秒三差甚微细故不另立表也算家测各恒星经度其表已悉订正无误是书因之倘欲变更测凡章动之数皆须改易也

凡测量以求日之平时即以平午正之恒星时为准如用恒星时求日之平时或用日之平时求恒星时俱用五百零四至五百零七页之等时表查之即得设于是年正月初二日二十一点九分二十四秒零四之恒星时求该处午相当之太阳平时

法以今有恒星时内减本日午正之恒星时十八点四十七分四十一秒余为本日午正后之恒星时二点二十一分四十三秒零四检等时后表即得其相当之太阳平时为二点二十一分十九秒八二即所求盖以恒星时一点比太阳平时五十九分五十秒一七零四若本日午后恒星时二点二十一分四十三秒零四与所求之太阳平时二点二十一分十九秒八二与表数合

又如正月初二日二点二十一分十九秒八二之太阳平时求该处午相当之恒星时

法以今有太阳平时检等时前表即得其相当之恒星时为二点二十一分四十三秒零四以加本日平午正之恒星时十八点四十七分四十一秒共为二十一点九分二十四秒零四即所求盖以太阳平时一点比恒星时一点零九秒八五六五若今有太阳时二点二十一分十九秒八二与所求之恒星时二点二十一分四十三秒零四与表数合即加于本日午正之恒星时是也

凡测算在该处之西者其平午正之恒星时每点照加九秒八五六五在该处之东者则减亦如之

设于该处偏西九点十分六秒之地十五度为一点求正月初二日平午正之恒星时乃以一点比恒星时长于太阳平时之较九秒八五六五若偏西九点十分六秒与一分三十秒三七偏西应加以加表内是日平午正之恒星时十八点四十七分四十一秒共为十八点四十九分十一秒三七即所求

每月第三页列太阳黄道经度从春分点起而光行有差故所记经度真数为平午正时之数

设以囷为连半径以四百九十七秒九八与囷相乘减余为日之经度真处因光行之差其过见处较后于真处也

太阳黄道纬度乃自太阳中心成一弧与黄道之面交股其弧度即为太阳黄道纬度也

　考日之黄道纬度根于自转日之本体想亦椭圆二十六日奇自转一周与表内交终之率恰合因此悟及也

带半径之对数乃平午正时地心与日心真影相距之对数即黄道之长半径即日距地心对数

以上诸条为量日之准而行星及彗星之行度皆藉以推测其距日心之处而求地之经度须查太阳经度而订其光行差即可测算

光行差表见二百四十二页黄道交角等表内每十日列一数余详五百三十二页内

凡于太阳黄道经度既得其光行差数其章动数可求诸恒星之位

月半径者乃自月心至地心一如半径则月之半径如正切所成之角如从地心见之也

地平视差者乃自地心至月心一如半径则地球半径如正切所成之角如从月心见之也

凡测见月之外环而欲求其中心可用月半径表至于地之各纬度望月求其视差必以月在地平时最大之视差为比例盖以地为匾球则随处可以测月即高出地平之处其差亦能算故于地面测月可改为不异地心见月耳

两项较中之较相加共一秒七折半得百分秒之八十五为中较再以八约之得百分秒之十一则所较不过差百分秒之十一也

照此细推视差其差为十分秒之四

每月第四页月行黄道经度纬度之数其正交分点处乃自地心推算所载表数无益航海之人黄道经度乃专为章动而设盖月之动也迟速不一欲于子午两正外测月之黄道经纬二度则须较其秒数甚有较至三四次始得其准者月年者乃日月合朔一周之日数也如中厤每月日数月过子午圈者乃太阴中心每日过该处上子午之平时表数仅记十分分之一不更求其细依表测月可定行船经度以推测潮信至欲求月出月入时候亦用此表而参以半弧表表中有○此记号者乃明此日太阴不过该处子午圈也月行之数较多于日太阴行一过太阳尚未及一周太阳在月行一周之中故每月有一日不过子午圈者

如正月三十日月行多于日行五十二分三即两次月过午时之较查其上次过午时乃在正月二十九日二十三点十五分六下次过午则在正月三十一日零点七分九是知中间之一日月尚未及一周也若日月相距在半周时每月有一日不过下子午

三百九十页至四百二十八页记月相近之星表内亦记月在何时常仅过该处午线一次如三百九十三页记正月三十一日月仅过下子午线一次三百九十四页记二月十五日月仅过上子午线一次之类

无论何处欲求月过子午圈之平时设其地在该处之东者则以昨今过午时相较如在该处之西者则以今明过午时相较乃以二十四点比两次过午时较若所偏经度化时与所求之较在东者应减在西者应加盖在东者太阴必先过午也

设于是年正月二十六日午前在该处之东六十度求月过子午圈之平时按二十六日在午前者为此书之二十五日查月过该处午为十九点三十六分三与前一日过午时之较为五十二分九以二十四点比五十二分九若四点即偏东六十度所变之时与八分八于十九点三十六分三内减之偏东故减得十九点二十七分半即所求设于是日再求偏西六十度月过午之平时则将十九点三十六分三与后一日过午时之较为五十四分三以二十四点比五十四分三若四点偏西度变时与九分一乃加于十九点三十六分三得十九点四十五分四即所求

以上算法似嫌未密然寻常用之差亦无几不必过求其细也

每月第五页至十二页所记每日每点太阴所行赤道纬度纬度每十分之较数其纬数时数地平经度月出月入等项可由诸页检算至表列之数乃从地心推出

设于是年正月十二日午后八点四十五分在该处东六十度之地求月之赤道经度

法以偏东六十度变为四点以减于八点四十五分为该处之正月十二日四点四十五分查是日四点表数为三点二十七分二十八秒八五五点表数为三点二十九分二十九秒八零两数相减余二分零秒九五以六十分比二分零秒九五若四十五分与一分三十秒七一加于四点表数得三点二十八分五十九秒五六即所求

求纬度亦同此法惟有时较中之较亦不甚小故有每十分纬度之较如前所设时求赤道纬度查是日四点纬表每十分之较为八十六秒六九五点纬表每十分之较为八十六秒一四是四点二十二分半之中即四十五分折中之处其每十分之较应为八十六秒四八即将两较中之较用六十归之二十二分半乘之以减于四点下十分之较即得所求理与日躔一点较同以十分比八十六秒四八若四十五分与六分二十九秒二查表知纬度渐加以加于四点表数纬北十三度五十三分二秒三得纬北十三度五十九分三十一秒五为所求月之赤道纬度太阴形载每月第十二页所记朔望两弦时仅至十分分之一月之黄道经度与日无距度为朔距日九十度为上弦一百八十度为望二百七十度为下弦所列俱为该处之平时

月过其本天最高最卑二点为离地最远最近所由分其所列表数亦为该处之平时

每月第十三页至十九页为月中心与日心及行星恒星之斜距度乃从地心推算逐日照该处平午正时起每越三列一数凡既测见月距星之斜距度则当依表加其视差而减其蒙气差盖推算之表数乃月与星之实相距度测得者为月与星之视相距度在月要推月之视差用太阴高弧视差表止能改月之视高为实高其斜距弧上实距与视距之较须再用三角形算盖高弧视差即如高下差再推东西南北差也可以凭月心与何星之实相距度依下法推其为该处之何平时诸星自西徂东表以距月最西起列至最东为序西则在月之西东则在月之东

诸星距月度数每三点有较即列其比例对数用以较定度数而得该处平时法详后

任于何日何时测得月与星斜距度按前法改为实距度乃查此表是日月与其星相距度与所测略近者取其前一数相距度与所测度相较余求比例对数见航海表内减前一数之傍所列之比例对数余检比例对数表所对之时分秒加于前一数之时即得该处之平时比例对数表至三小时其数为故省一三小时乘之也按此一比例不用对数算之亦易以表中前后两距度化秒比历时三点钟若所测距度减前一数距度之较不足减反减之与所求之历时恒加于前一数之时是也

加月星相距度数与前后比例对数之较其加减同率则照前法自无谬误若其加减异率者欲求该处之时另应查一准数法详下

一　如前法求　二　查表内某度前相近一数或后相近一数得两项比例对数相减而得其较　三　于第四百九十八页准数表内傍行查时即先依前法比出其零时分乃以所得零时检此表而以比例对数之较于表上横行查对检其与零时分纵横相遇之秒数即为所求之准数也　四　视比例对数渐减则加此准数若渐加则减此准数加减于先得之零时分可得该处之平时设于是年正月初十日测得月实距飞马甲西名星四十四度十九分五十秒求该处平时查初十日该星表所测相距度在三点六点之间则三点为相近前一数算如下

　三点月与星相距四十三度四十五分二十九秒其比例对数三千九百十九

　今测月星相距四十四度十九分五十秒

　　两距度之较为三十四分二十一秒　　　　　比例对数七千一百九十四

　　比列对数表所对之时为一点二十四分四十一秒　　　　　　减余三千二百七十五

查三点与六点之表知前后比例对数之较为四十九再查第四百九十八页准数表内一点二十分与所算之时为最近而以四十九即用四十八亦可行下查其纵横相遇之准数为十五秒因其比例对数由渐而减故加于算出之时上为三点以后之零时故求得该处平时为正月初十日四点二十四分五十六钞也如不算准数即差经度三分四十五钞准数之表仅列至一百三十八凡遇比例对数之较有大于此者可折半以检表查得准数后倍之理亦同

设于是年五月二十一日测得月距飞马甲星除去视差蒙气差外实距为三十度零八分零二秒求该处平时

查二十一日该星表数所测相距度在十八点与二十一点之间则十八点为相近前一数算如下

　十八点月相距为三十度三十六分三十一秒　　　　比例对数五千一百五十

　今测距度为三十度零八分零二秒

　两距度之较为二十八分二十九秒　　　　　　　　比例对数八千零零七

　检表之时为一点三十三分十四秒　　　　　　　　减余二千八百五十七

查十八点与二十一点之表其比例对数之较为二百五十二此数大于一百三十八故半之为一百二十六再查四百九十八页准数表傍行内与所算零时分相近者为一点三十分次查上面比例对数之较第一百二十六之行与傍行时分纵横相遇之准数为三十九秒倍之因较数以折半检表故得数倍之为七十八秒因比例对数由渐而加故于所算之时分内减之即为十八点以后之零时分故求得该处平时为五月二十一日十九点钟三十一分五十六秒也若不算准数即差经度十九分半然差多至此亦罕有也星之比例较数愈小则测之愈易缘月之向星或离星所行加速所测倍准且当比例对数渐减必其本数加大故对数渐减知月行渐远而测之较便矣如是年正月二十日午正至三点钟时土星最易测查是日之比例对数仅二千二百七十数较少于他星故土星表自二十起至二十六日止均易测算也又如是年七月十六日九点至十二点内以比例对数言之其易测者序如下

第一土星　　　　　第二毕宿大星　　　第三木星　　　　　第四娄三

第五火星　　　　　第六太阳　　　　　第七金星　　　　　第八河鼓二

以上诸星测不易准如欲验其准否须测数星而比较之视其比例对数之小者庶可无差按各条用法皆测得星月相距以推该处之平时其用比例对数之较求准数一表乃巧而捷因月行斜距迟疾渐改不可以平行驭故再求准数加减之所以齐其不齐也

每月第十九页乃算家爱里氏所定恒星准数乃用下页甲乙等号对数及该处十二年星部算出西国算家以此法精于白水而氏故恒用之以其不用加减之号法省且便也列如表

下页亦兼列白水而氏法各有其妙

设于是年二月初五日在该处平子正时求某恒星距赤道经度及距北极度并岁差光行差章动准数等数分点过午之平时者乃春分起度之点每日过该处午时之恒星时即恒星时当午正中时分点距午之时数故是表谓之恒星子午正中时凡已知恒星时而欲求太阳平时可用第五百零六七页之等时表算之每月第二十页乃白水而氏恒星准数表是表明恒星真处及其中处有方程式或用乘数不依恒星之处为众星公共之数盖惟凭日月黄道经度月之交点也表内对数为公共对数算家用之随算一星可合方向照三百二十九页之表已经于该处平子正时算合惟丙丁二号内除二式

是表与英会星厤合算可得彼厤所记恒星之处凡星厤内未及之星应先算其与他星相合对数而后用甲乙丙丁号内之数或即照第三百三十页及三百三十一页列之表推算亦可因是表不论何星皆合也其数系从三百二十九页方程式算出列譬于左申明二表之法用星厤者其勿忘恒星赤道经度准数之号耳

设于是年二月初五日平子正时在该处求其星赤道经纬二度岁差光行差及章动之准数此星即英会星厤第一千六八十七号之星

　　天△为经度准数　　　　　黄△为纬度准数

旧历数表　是表乃英星士黑失而氏添入谓有此表可省天算家查数之烦

分日平时者谓自春分后所过平时也以平午正时为则而记其日之分数是年正月初一日至三月二十二日又百万分日之二十一万四千七百五十一为一千八百六十九年之春分后自二十一日又百万分日之二十一万四千七百五十一以后乃为本年春分年之始时因春分年为三百六十五平日又百万分平日之二十四万二千二百十六是年三月二十二日平午正相合春分时为三百六十五日又百万分日之二万七千四百六十五可知是年三月二十二日又百万分日之二十一万四千七百五十一乃春分年新旧之交也日分者乃春分年日之共分如是年正月十九日平午正时为三百零三日又百万分日之二万七千四百六十五以此例推直至三月二十二日春分年终乃改共分为百万分日之二十一万四千七百五十一是年三月二十三日平午正时为百万分日之七十八万五千二百四十九此共分数应加于每日春分时至明年而止

凡日到平春分时设在某处午线上此处午线之平太阳时适与春分时相合周而复始至明岁春分年终日已过某处午三百六十五次又二四二二一六则春分起点又应在他处午上矣是知春分之末每年必移二四二二一六即向西五点四十八分四十七秒四六是年与明年之间春分东过经度百万分日之七十八万五千二百四十九即该处西五点九分十四秒四八也

一千八百二十八年行海通书始附列此表盖天下各处仪象台之子午远近不一概以春分时则随处皆可得一同数之日而与日行迟速亦无异同故历家观象论时不必更详何处之时如是年正月初五日彗星过最卑之点在英国平时为五点四十七分在泼立司法都平时为五点五十六分二十秒六而以春分时核之则俱为一千八百六十九年二百八十九日六点二十六分三十二秒九八盖以两地测之则有远近不同之数而春分年乃天下公共之时也

凡已得太阳平时而求相合之春分时如于该处相合之平时内加此日该处平午正之春分时其总数即所求时如前彗星之譬泼立司在该处之东九分二十秒六于五点五十六分二十秒六内减去九分二十秒六为五点四十七分与该处平时相合以加该处正月初五日春分平午正时二百八十九日又百万分日之二万七千四百六十五约其分数即三十九分三十二秒九八故当日彗星过最卑点时为二百八十九日六点二十六分三十二秒九八即一千八百六十九年春分后之日时也

一千八百二十八年行海通书附用迪白而氏平黄道经度以定春分时所定之时每年长短一例俱系三百六十五平太阳日又二四二二六四以后推算太阳纵使加精此数亦无可更改嗣于一千八百三十四年至一千八百五十六年其行海通书则改用白水而氏平黄道经度以定春分时其时则每年长短不一英星士黑失而氏谓一千八百二十七八年至一千八百三十三四年间应将白迪二家之表不同之数较正自一千八百五十六年以后春分年应永定为三百六十五平太阳日二四二二一六若一千八百三十四至一千八百五十六年之春分年长短其差甚微可以不计盖其差之最大者亦不过万分日之二也

一千八百二十八年起至一千八百三十三四年止较正白迪二家表数如下

论年之日数　表列统年日数自正月一日平午正起故正月一日为零而以初二平午正为满一日论年之分数　此分数乃以万分为一年而用三百六十五日又千分日之二百四十二分之逐日登记其数计日加二十七分半以便天算家也

第二百四十二页列黄道与赤道相交之角每十日记其数记至明年正月六日止故于十二月则多六日为三十七日此角度数常改因有中减率地轴旋动也凡知星距此一面或黄道或赤道若干数即可依表算得彼面之数如从黄道经纬度算可得赤道经纬度或从赤道经纬度算可得黄道经纬度是也设值表上未列之日而欲求是日之交角数则以前后所记二数求每日比例较分即中比例但其较甚微故平常测量止取表内相近之数用之

日之地平视差乃日心至地心为一直地之横半径上再出一斜射日心成一最大角形如从日心见之也是表亦十日一记地心距日心愈远此角愈小视差之用乃人在地面测日可改到地心推算也光行差

光常流行地又常依轨道行故所见日处非其真处真处较在见处之前是以有差所差之数表内亦十日一记凡已知日见之黄道经度而求其真处依表加此光行差即得如从地心推算一星之处而求日之真黄道经度亦加此光行差设是年四月十一日平午正时所列日见黄道经度为二十一度二十三分十一秒二加光行差二十秒四得二十一度二十三分三十一秒六即真黄道经度

岁差　春分点在赤道上所退之数即恒星东移之数十日一记用以正平春分之经度如是年四月十一日真春分之日见黄道经度为二十一度二十三分十一秒二光行差为丁此号为减二十秒四春分差为丁十六秒八反用┴此号为加法加此二数得二十一度二十三分四十八秒四为四月十一日平春分日之真黄道经度减相合之岁差十三秒八为二十一度二十三分三十四秒六为四月十一日之日真黄道经度但此数系以是年正月一日平春分算起者

春分差凡日月星所列黄赤诸表俱系平春分算定但平春分点与真春分点不符故有春分差所差之数十日一记于平春分之黄道经度内减此差数即得真春分之黄道经度

若所指一星黄道经度据真春分言则将此差数反用之即得平春分之黄道经度设是年四月十一日真春分所合太阳黄道经度为二十一度二十三分十一秒二相合之春分差为丁十六秒八反用⊥法得二十一度二十三分二十八秒即为此日平春分之太阳黄道经度

赤道经度之春分差亦照此法推算即得与黄道相交然其度分须燮点算变时表恒星等时亦同此

月正交点之平黄道经度　六十日一记以平春分算如值表内未列之零日可用表末在表之下每日计┬三分一八每日退行数算之如欲约算月将平掩何星亦须此表也

第二百四十三页至二百五十页日之纵横每日列该处平午正时日心与地心之纵横用□?天□?地□?人号记之○?天为每日过真春分○?地为赤道面向夏至之○?人为赤道面交股向北之　算家以彗星难推故别列此表变真春分○?天○?地○?人纵横而用是年正月一日之平春分纵横

第二百五十一页至三百页乃诸大行星之表以水金火木土及天王海王分列七表其赤道经纬度皆依该处每日平午正时从地心推算列表谓星之中心如从地心见之惟天王海王二星每隔四日列表　又各行星之黄道经纬度皆从日心推算谓星之中心如从日心望见之以平春分记之其地心之赤道经纬度有光行差故所记为其见处凡求纬度时罗盘偏东偏西即可测望金火木土四星而得之盖能见太阳时亦能见此诸星也　内金木二星尤易测量行星过该处午之平时亦可藉此以推过他处午之平时然亦有一日内不过该处午者因行星日较长于平太阳日也行星如月亦有不过午之日表以○?(?＊)为记查是年四月十二日水星不过该处午是日水星日之始早于太阳日二分九在十二日午正之前而其终则迟于太阳日十分分之八在十三日午正以后故太阳一周日间此星不及过午也若如中法子正起算水星无日不过子午者

亦有一日过午二次者则以行星日较短于太阳日也盖行星日之始在太阳日之后而其终则在太阳日之前故太阳一周日间行星必过午两次矣表亦记之但与月有异因太阴日恒长于太阳日行星有退行时短于太阳日者如是年六月初四日水星过该处午在午正后一分再于是日之二十三点五十四分九即初五午前也复道午也

求行星过别处午之平时　查前后两日过午之较为行星二十四点中之加速率或减速率既得此率再以距英国经度而比其较此较数谓之正数或加或减于行星过英国午时之上但布算者宜详细审察如测处在英国之东则所有加速率乃行星过测处午早于英国若所有减速率乃行星过测处午迟于英国在英国之西者反是

设于是年二月初四日午后六点钟测处平时在英国偏西三十度之处求水星赤道经纬度并水星过测处午之平时

法偏西三十度应加二点钟为英国之二月初四日八点钟以算赤道经度查二月初四日水星赤道经度为二十点五十五分三十五秒九五二月初五日为二十点五十分五十三秒八一两数之较为四分四十二秒一四以二十四点比四分四十二秒一四若八点与一分三十四秒零五查表经度渐减以减于初四日经度余为二十点五十四分零一秒九零即为所求水星赤道经度也然其每点之减率不同须再算较中之较法见日躔减之得二十点五十四分零秒五八为所求赤道经度

再求赤道纬度　查二月初四日为南十三度三十三分二秒九二月初五日为南十三度五十一分二十五秒九两数之较为十八分二十三秒以二十四点比十八分二十三秒若八点与六分七秒七加于初四日之纬度得纬南十三度三十九分十秒六即所求赤道纬度再推较中之较应减七秒九法见日躔

求水星过测处午之平时　查二月初四水星过英国午为二十三点四十九分二二月初五为二十三点四十分九其较为八分三以二十四点比八分三若二点偏西三十度所化之时与十分分之七测处在英国之西且又减速率应减于初四之过午时为二月初四日二十三点四十八分五即得测处水星过午之平时寻常测算不必求精用此法则无大差

第三百零一二页乃水金木火土天王六行星之赤道地平视差及半径越五日一记下载水土二星乘数为算极半径之用木土二星极半径等于赤道半径乘千分之九百二十七

第三百零三至三百二十四页记五星及天王海王过该处午时之赤道经纬度及每点较数每间日一记用以较算过别处午之赤道经纬度应推其相距英国之数用每点较数求之如所设经度在其东则取本日表数与前二日之表数核其较如所设经度在其西则与后二日之表数核其较以两项每点较数相减得其较中之较以两日共四十八点归之乃以两处相距之经度变时折半取其中数乘之视下一数每点较数比本日较数大小以别加减乃加减于本日每点较数为所求时每点较数之准数复以两处相距度变时乘之即得里差应移之赤经度理与日躔每点较数法同乃视下二日赤经度之进退以别加减加减于本日经度得测处之赤经度求纬度法仿此

设是年三月初二日在英国东六十度之地求过午之赤道经纬度　查三百零四页内是日水星过英国午时其赤道经度为二十一点十三分四十二秒二五每点经度之较为┴此代数记号西表作一译改作┴十一秒五七用上法推得四点相距六十度变时时之每点较数为十一秒五四与┬减西作十译改作┬四点相乘得┬四十六秒一六以减于是日英国过午之赤道经度此逆推而上之法理亦同得二十一点十二分五十六秒零九为水星过测处午时之赤道经度也　再查是日水星纬度表为南表以南为┬数十六度四十七分三十七秒二每点较数为┴二十八秒五如上法推得准数为┴二十八秒二与┬四点相乘得┬一分五十二秒八以加是日纬南度得纬南十六度四十九分三十秒一即水星过测处午时之赤道纬度也

再设在三月初一日算其经度准数应为┴十一秒一八纬度准数应为┴二十四秒七也

凡测见行星之环而欲推算其至中心之数可用半径过午之恒星时表若推算其纬数则用半径表地平视差表用以便观象者改到地心推算也

第三百二十五至三百八十九页记一百四十七恒星之赤道平经纬度以是年正月一日午正后千分日之四十八为起算之端记其岁差　其赤纬南北各有记号惟以北纬为┴凡纬北可依号加减南纬为┬在纬南者须反用其号

设于是年五月三十一日求毕宿大星之平赤道经度查经度岁差为┴三秒又万分秒之四千三百五十三再查五月第二十页末行万分年之分数表内其三十一日相合分数为四千一百零七依原表加万分之二十六得万分之四千一百三十三此数与三秒四三五三相乘得一秒四二此即正月一日又千分日之四十八以后至五月三十一日岁差之比例分数也既有┴号应加于正月一日又千分日之四十八时候所记赤道平经度四点二十八分二十七秒七八二上共得四点二十八分二十九秒二零二是为五月三十一日所求毕宿大星之赤道平经度又查赤道纬度岁差为┴七秒六二二如前法与万分年之四千一百三十二相乘得三秒一五既为北纬度则依号加于正月一日又千分日之四十八时候所记之赤道平纬度北十六度十四分四十四秒一四内共得北十六度十四分四十七秒二九是为五月三十一日所求毕宿大星之赤道平纬度

又如是年六月初三日求帝星之赤道平经纬度查经度岁差为┬万分秒之二千四百八十九再查六月第二十页是日年之分数为万分之四千一百八十九依原表加万分之二十六得万分之四千二百十五此数与岁差相乘得千分秒之一百零五依号减于正月一日又千分日之四十八时候平赤道经度十四点五十一分六秒八五七减余为十四点五十一分六秒七五二是为六月初三日所求帝星之平赤道经度

又查赤道纬度岁差为┬十四秒七五七与年之分数四千二百十五相乘得六秒二二依号减于正月一日又千分日之四十八时候平赤道纬度北七十四度四十一分十一秒二四减余为北七十四度四十一分五秒二是为六月初三日所求帝星之平赤道纬度

又如是年五月三十一日求心宿中心平赤道纬度查其岁差为减八秒三八七与是日年之分数为万分之四千一百三十三见前相乘得三秒四七因为纬南度故岁差之┬号应反用遂加于所记正月一日又千分日之四十八时候该星纬南二十六度八分二十七秒六二共得纬南二十六度八分三十一秒九是为五月三十一日所求心宿中星之平赤道纬度每月第二十页所载白水而氏之推方表已设譬于三百二十九页此三百三十页及三百三十一页所用英会星部恒数定星表亦于五百二十九页内详其法勾陈第一星及第三星并逐日列表其余一百四十五恒星皆越十日列一数所列之数皆以是日恒星过该处午时之经纬度表之上面所列赤道经度之点分数与纬度之度分数因一岁之中恒星赤道经度出入之数只争在秒故其大数总计于上端止以秒数小余记其下故其秒数即有过于六十外者亦不便收分仍以秒计如三百四十六页是年十二月十七日屏星第二所见之赤道经度为四点五十九分六十秒四二其实则为五点秒四二也　又如三百四十八页是年十二月十七日厕星第一所见赤道纬度为南十七度五十四分六十二秒七其实则为南十七度五十五分二秒七也其不可移换大数者限于幅耳

每十日并列其经纬较数便求零日用中比例也

恒星亦有一日过该处午两次者倘遇其日亦即记其经纬度两次如三百五十四页七月三十日记柳宿第五星过午两次凡遇恒星过午两次之日若非表列之日即于经度上下十日之中间别列小字指出十日内之何日此星过该处午两次则太阳日十日内其星既过午十一次则其所记之较数亦应作十一分比例如三百四十八页参宿第二星表内六月初十日与二十日之间傍注小字为十三以明六月十三日此星过午两次也查表傍较数为秒一二作十一日分之每日应为千分秒之十一其十三日之第一次过午为十日内第三次应用三因千分秒之十一而得其较十三日之第二次过午为十日内第四次应用四因千秒之十一而得其较其十四日之过午为十日内第五次也虽差数止微其理固如是也

如欲细算五极星所见位数须寻一准数此准数当以代数∥?求之

是表记星所见之位不算准数者缘星之变率每日约二十六度所变甚大故不记也惟三百八十八九两页于月之黄道经度则每度记之表末申明其法正每日光行差之方程式记在序内

第三百九十页至四百二十八页乃近月之星谓其赤道经纬度距月不远凡欲算地上东西二午之较即较所测见之星与月相距赤道经度而得之盖月如不动则星与月赤道经度之较无论何处午皆可一例相同惟月常行动则过二处之午已自改其赤道经度所改度数加于二处之午较数内即知西边午应移若干度而月始至故知月赤道经度之较亦可算东西二午之较月明环之赤经度与月中心之赤经度在过该处之上下午时表列其数均有上字下字作记号甲乙二字记月之左右二环

星之等数表即记星之大小表之左行记其日数及十分日之几

每隔一点即十五度月改赤道经度表即月过该处午时之每点较数也　如月自英东七度半至英西七度半两处之较为一点此一点所移之数即从月之明环赤经度推测故其半径亦常改也

凡东西二午之较不大谓在一二度之间可用近月之星算之若较数甚大谓相距十度以上而欲详算其经度应以东西二午之中间午为准求得月所移赤道经度之数而推得之　如欲约算月之明环过他处子午之赤经度用此测之　法以英国午与测处午经度之较与月所移经度相乘得数视测处午距英国之东西以别加减在东者减在西者加乃加减于表内赤经度即为测处子午上月明环经度

设于是年六月十八日月过英国上午时其乙明环赤经度为二十二点四十七分四十七秒二四其每点较数为一百二十四秒五而求乙环过泼立司法都上午之赤经度　查泼立司偏东九分二十秒六化为千分点之一百五十六与每点较数相乘得十九秒四二以减偏东故减表内赤经度余二十二点四十七分二十七秒八二是为乙明环过泼立司午之赤经度

凡他处距英国不甚远者其月之赤纬度亦可如法约算惟地偏于东及纬度在南者皆为负数即以前譬明之　是日月过英国上午为南十二度三分四十一秒八每点较数为┴六百二十三秒一此数与┬千分点之一百五十六相乘得┬一分三十七秒三此负数与纬南度相加月之纬南渐减因偏东故反减得纬南十二度五分十九秒一是为月过泼立司午时之赤纬度

星名表侧有＊号者指此星不论在赤道南北俱可与月同时测算以定月之视差也

月半径过午所历之恒星时　此数因月距赤纬之南北而改变时时不等凡测见月之外环相切于午之时而加此数即改为中心过午之时

第四百二十九页至四百四十三页记日月交食在何地何时可以望见记其算出之诸根数

第四百四十四页至四百五十四页记星之交食其数有五　其一记一等至六等之恒星于该处平子正时为月所掩在该处能测见者　其二记行星或恒星自一等至五等不论何处见其为月所掩者　其三记星与月应于该处何平时同一赤经度　其四记月与星合一经度时其纬度有何较数　其五记在何纬度外月不掩星

凡算月掩何星可用诸表表内所记星月之数皆从地心推算故地上不论何处皆可通用惟须算其距英国若干经度变时以加减之在东者加在西者减即得月星相合时之测处平时

设于是年八月初四日月掩氏宿第三星在英国平时为十六点二十九分五十七秒而在泼立司平时为十六点三十九分十七秒六因泼立司在英国东九分二十秒六故也

纬限者谓自地上某度起至某度止得见月掩何星外此不见其掩是为纬度之限也

设有人自星望地而月界其中则地面几分为月所掩而月自西至东移过时地面成一带形阔与月径相等若反言之则人在地面于带形中望月则星为月掩在带之上下两限但见月与星相切而不相掩是为纬度限在其上者为上限在其下者为下限

纬限表以明星在何度应为月掩外此不必布算也

如英国在赤道北五十一度二十八分三十八秒即北极高出地平度设于是年八月内查四百五十一页表自十六日起查末行纬限表至十七日掩α星只指一希腊字星名α希腊字在赤道北二十六度之处起至九十度之间皆可见惟被掩之时在三点十一分四十四秒是在午后日光所逼仍不能见惟是日之十二点四分二十一秒月又掩○星在赤道北十四度至九十度之间八月十九日十四点一分十七秒月掩毕宿第五在赤道南四度之处起至赤道北六十八度之间又是日十四点三十五分三十八秒月又掩是星在赤道北六度之处起至八十五度查四百五十六页表知已上三星之所掩其二在英国能见其一不能见也

第四百五十五六页之表乃恒星与行星在该处地平上为月所掩记其不见至再见之恒星时及平时记星于月环内始隐于某度复见于某度若以翻影镜测之凡穿过月之北极与中心成一大圈与月环成一交点方近月环之星距交点若干度当从角之北点数之穿过月之天顶与其中心成一大圈亦与月环成一交点方过月环之星距交点若干度则从角之顶点数之用此角可测量小星且当星之隐而复见时亦须先知此角不然难定镜之方向

表内月掩几星时有在该处不得见者然离该处不远即能见也

第四百五十七页至四百七十六页是表所记木星之月或食或掩或月过或影过等数皆准该处之平时图形以明其隐显之处如自翻影镜视之图内之形虽举望日之数然木星离地甚远目力不及故其体与影一月内更变甚微除与日对峙时形状有异外余则通月皆然试以两月图形较之便可晓然当木星距该处地平上八度日在地平下八度时其月之食有此米为号明该处可以测望至木星在地平上日在地平下时有此十为记则亦能望见也

□?甲者指月木星月被星影所掩方隐之际也○?乙者指月离星影再显之时也此乃月距木星略远则然若日星对峙时则月之食也近星之体日星对峙以前月之隐见在木星之西日星对峙以后月之隐见在木星之东用翻影镜视之则东西相反日星对峙以前仅见第一月之隐对峙以后方见其显至第二月被星影所掩时其隐见鲜能并见第三第四月或可并见云

凡在别处求木星某月隐见之时即以测处经度在英国之东西推算在东加经度之较变时在西减经度之较即为所求时然亦须查木星之地平上下与日在地平上下如日在地平上光耀难见算之者应以半弧表自东至西日出入半弧也助以半天球始可定日星距地平之方向

测得木星月之食可定地上经度第一月最易测惟须详悉测量之的确时刻此时与英国时之较即为经度之较化度测处之时早与英国为在其西迟于英国为在其东

设于是年七月二十四日在泼立司法都测得木星第一月之隐平时为十四点三分二十四秒九乃查第四百六十六页表内英国平时为十三点五十四分四秒三其较为九分二十秒六即两处相距之经度因所测之时迟于英国故知其在东也

凡测星月之掩木星与其月除表有差数外尚有别样难处不能详定地之经度且远镜测量各不同若欲详算经度须用相类之镜算其地面蒙气视差若不必详算则以测见木星为某月所掩约计地上经度如某月之隐见俱能测得则更妙矣

表内约计月食月过之过所以便天算家预备测量推验此表之差否因测此二事须用最妙之镜而海上尤不易测也　入出二字记月初遇木星环面为入初离木星环面为出

第四百七十七页至四百八十七页　木星两月毘连表内用数记之以代寻常之○号而不记其黄道纬度在上者记于上在下者记于下

表右为东表左为西如见木星之月自西向东移动时则知木星在月与地之间而月行于后半轨道故有食有掩若见月自东向西移动时则知月在木星与地之间而月行于前半轨道故有月过与影过

设于是年正月二十七日在英国八点钟时平时用翻影镜测望木星月如图其第一第二两月实在木星之左从翻影镜视之则在右第三第四两月实在右而反左　表首西东二字乃月实在木星之东西方向也木星常在该处天顶之南图左之月应见于木星之西图右之月应见于木星之东盖月之倒影故遂反其方向也乃自木星中心起一直远近相等而左右互易以此验图可得月之真向

表内时分皆指该处平时观表与图可以辨木星之诸月而亦以别他星之近木星者

第四百八十八页至四百九十页　行星与月或与他行星合一赤经度及行星与恒星或合经度或合纬度皆每月一格记其日时行星当此时候最易测望又以便天算家考验表之然否

第四百九十一页　土星光环之位表中越二十日一记以明其能见与否○为光环之短轴距何赤纬度∣∣∥∥甲乙甲乙为光环所见大小之数丑∣丑之比以定能见与否盖太阳与地同在一边高过环面时其环自能测见若不能见之时则其故有三　一则环面平过日心则∣丑与○等

二则环面平过地心即丑与○等皆不能见　三则日在环之一面而地又在一面亦不能见因环上无经光之面向地耳

第四百九十二三页记月之明环约于何平时侧动最大记火星金星之环在何月中光显几分至月之纬度侧动之数则不论何时皆可照四百九十三页计之

第四百九十四页至四百九十七页　系该处潮汐与中国无涉故不译

第四百九十八页之准数表　凡测见月距星之度数业将蒙气视差等推准可求秒数相较即比例对数之较于表内查一准数以加减之即可得该处相合之时其算之法见后五百二十五六页内

第四百九十九页及五百页　表内之数算月之侧动

第五百一页至五百三页　为测勾陈大星若不在午线时可用此表能算地上纬度法如左

先将仪差及蒙气推准减于星之高点再照五百四页改测望之太阳平时为恒星时于此表内查得相合之第一准数为⊥┬按号加减于测见之高度得所求纬度之约数复以所算恒星时查第二第三表得相合之第二准数加此二准数于上约数内即得真纬度

　　航海通书改率说　　　

贾步纬

是集从英国行海通书译出考西人之航海来游实以此书为乡导盖海舶既驶远洋茫无畔岸可纪罗盘祗可辨方向不能测其现行何地惟藉天度可认地球之经纬数理精蕴天上一度相当地面二百里计三十六万尺以天度之一秒当地面一百尺此论南北纬度则然若东西偏度不正当赤道下每度皆不满大圈之里数须依弧三角法算之昼则量日夜测月星辅以算术道里之距了如指掌是以无远弗届故吾中国航海亦以繙译此书为首务特延西士层解条分阐明理数撮要删繁译成是集以引诱来学凡吾同志咸宜家置一集朝夕讲求引伸类长制备仪象随时测量并可验其算法之疏密然否实为推步家特开门径学者必由是而学焉则庶乎其不差矣

　　改率

考行海通书原依英都观象台之中线立算诸星行度表悉照该处平午正时解见时差从地心起数其天周以春分起步与中国不同今译改时遵　京都顺天府为中线诸星皆从子正起天周以冬至起步中西同用平时共宗地心立算三百六十度为一周天中法又分为十二宫以冬至丑宫初度起逆行十二支每宫三十度每度六十分每分六十秒又一日二十四时此书从西例以一点钟为一时便布算也故凡言一时皆一小时也每时六十分中法又以十五分为一刻一时为四刻因多增位数不便布算姑从西例不命刻每分六十秒秒下小余则随秒不以六十递析

据西士实测得东西经线相距一百十六度二十七分变时见变时表为七点四十五分四十八秒盖英国午正已为顺天七点四十五分四十八秒也故用原书之本日午正星度再加四点十四分十二秒之星行度即凑满半日十二时之数倘星之经纬有退行者则减即得明日顺天之子正度也

　　中比例算法

星者算法也用星必先明算一二三四之四率比例为西算之大宗其法以已知推未知故以原有之数为一率二率今有之数为三率恒以二率与三率相乘数为实以一率为法归除之得所求之四率数也

　　时差

推算所得曰平时通书表数俱按平时算定如钟表之走平分时也中国又名实时日晷所测曰真时中国又名用时盖时刻并宗赤道原系平分黄道与赤道斜交在赤道则度有阔狭日行黄道又有冬盈夏缩之异缘此两端故生时差即平时与真时之较也两数相减曰较其数列如表加减于平时即得真时也

　　钟表宜开平时说

西书云一昼夜地球自转一周则宗北极一岁中地球绕日一周则宗黄极两极相距二十三度二十七分西率尚有二十余秒零数且每年有行分如岁差然盖日晷测时皆依绕日之轨而出故与赤道自转之率有异细较之且逐日不同用度时表候之表之极准者行船用以较偏度故又名行船表二十四时中即一昼夜甚有差至半分者故设时差加减也

然则钟表但能走平分与赤道同率如太阳之盈缩黄赤道之升度差不与焉故必开准平时按号加减时差以求合于日晷测量之要事也

如先测得日晷午正求钟表平时则将时差号反用加者减之减者加之以加减十二点即得平时

　　逐日测北极高度不拘何地

法候日晷将交午正之前后凡日晷至午正可不问地之经纬何度节气早晚器之密咸可一概施之惟罗盘指南鍼与日影有偏向且随地不同中国恒偏于日影之东故测太阳高度宜过晷数分候之用纪限仪屡测太阳高度取其最高之度为本日午正太阳高度内减蒙气差加地半径差则改视高为实高随查通书内本日太阳赤道纬度表数俱子正起求午正用中比例南加北减于太阳实高度得赤道距地平度亦即北极距天顶度再与一象限九十度相减得测处北极出地度　若测恒星高度赤纬加减与太阳同法惟恒星无地半径差但减蒙气差即实高度

又法任于何日算勾陈大星过上子午线之时分测其视高度内减蒙气差改为实高度又减距极度约一度二十二分半余即北极高度或算其过下子午线之时分测其视高度内减蒙气差加距极度亦即北极高度

　　测候用时表说

凡度时表必按京师之平时开准盖诸曜黄赤经纬表数俱依京师平时起算故任至何地视表内之时分与通书上星行经纬度随时?合时表实为省算之捷径设无时表船至某处尚未知其地经纬何度用何比例求星之所在必任设多处逆探推求岂不费算故西人航海测天仪器而外度时表与通书二者相须为用缺一不可也

　　算星过午线时即中星时置本日星之赤道经度内减本日太阳平行赤道经度即恒星时若不足减加二十四时减之此为设星在午正太阳平行距午正后之时分视其数不满十二时则加十二时过十二时则减十二时比例要从子正起算故加减十二时为本日星过午之泛时如恰在子正即为平时有距时分因日星俱有行分故曰泛时如法再求明日星过午线之泛时以一日化一千四百四十分为一率两日之泛时较化秒为二率本日泛时化分为三率求四率即泛时内应行之泛时较秒数视两日之泛时顺逆以别加减如明日之数多则加于本日数明日之数少则减于本日数加减于本日泛时即京师星过午之平时如算太阴过午线每时俱有细行只须用一时之数为比例不用两子正比例

　　有某地纬度用日晷测偏度

法以日晷按其地极高度测得时分若非午正晷须极准方应视京师平时表内系何时分加减本日本时之时差改为京师日晷时与所测日晷时相减以时较化度法见变时表即得其地距京师之偏度也所测时早于京师为偏东迟于京师为偏西

　　测太阴过午算偏度

任至何地测得太阴过午视京师平时表内系何时分随检通书本日太阴过午系何时分与所测时分相减余为两地所测处与京师过午时分较乃检通书之明日过午时分内减本日过午时分余化分加一日化一千四百四十分为一率一日化一千四百四十分为二率两地过午时分较为三率求四率为偏度时分检变时表得偏东西度早于京师为偏东迟于京师为偏西

盖测太阴视差多端惟其过正午时但有南北视差可于经度无关是以便于测算诸曜每日过午之时分较数惟太阴为最大用以比例求偏度易准若恒星每日过午时分较祗三分五十六秒五六太阳平行度即恒星时也故测得两地过午时分较每点钟减十秒即偏度时分西人航海常测月过午差为算偏度之捷径也

　　赤道经纬度说

按西书七政经纬度并宗赤道立算求其故皆因诸曜随天西转西谓地球自西徂东亦同惟赤极不动故其经纬随地随时测算较易若黄极每日既绕赤极一周则其经纬晷刻异视不惟测候甚难即凭以知地之经纬布算亦不易故西书云黄道经纬度无益航海之人考其数亦从赤道经纬度用斜弧算出又其五星之黄道经纬度皆从日心立算恒以星出入黄道之南北交终为一周天如水星只八十八日一周金星二百二十余日一周之类并无退留之行用于仰观不合故是集止取其赤道经纬度列表若求黄道经纬度　钦天监既有七政时宪书颁行故省推算

　　表算日食法　　　

贾步纬

　　求入限

所求年干支察首朔食应表表见后得年前十二月朔食应以后每朔但于月数上递加一月小余仍之满食周十一月七三七六五者去之此即月距交平行十三周天月数余为所求朔食应视某月朔入食限

　　二月三六五二三六以外

　　三月一三八五二八以内

　　八月六七五六四七以外

　　九月三七二四一三九以内

　　附求望食限

所求年干支察首望食应表得年前十二月望食应以后每望递加一月小余仍之满食中五月八六八八二五者去之即得逐月望食应视某月望入食限

　　二月五五六一一七八以外

　　三月三一二七七一八以内

右平朔望可食之限摘徐钧卿先生法不过举其大凡欲定食之有无须用日躔月离求实朔望太阴距交度始为的食限也

　　求实朔泛时

以平朔距冬至之日数用推日躔月离法法见考成后编各求其子正黄道实行将本日子正太阳实行与太阴实行相较如太阴实行未及太阳则平朔日即为实朔本日如太阴实行已过太阳则平朔日即为实朔次日平朔前一日为实朔本日又用推日躔月离法各求其子正黄道实行将本日子正太阳实行内减太阴实行余为月距日度分化秒求对数法见数理精蕴加日法一千四百四十分对数内减一日之月距日实行对数次日日实行内减本日日实行余为一日之日实行又次日月实行内减本日月实行余为一日之月实行内减一日之日实行余为一日之月距日求对数即是得距本日子正分数之对数检表得真数以时收之得实朔泛时如次日月实行仍未及日则次日为实朔日乃以次日日实行内减月实行余为月距日化秒求对数加一千四百四十分对数内减前所得一日之月距日实行对数得距次日子正后分数之对数

　　求泛时月距正交

次日月距正交内减本日月距正交不及减加十二宫减之余为一日之月距正交化秒求对数加泛时距子正分数之对数内减一千四百四十分对数得距本日子正之月距正交化秒对数检表得真数以度分收之加本日子正月距正交得泛时月距正交

　　求的食限

视月距正交自初宫初度至初宫十八度二十六分自五宫十一度三十四分至六宫六度二十二分自十一宫二十三度三十八分至十一宫三十度皆入食限为有食不入此限内者不食即不必算

视泛时若在夜距日出前日入后五刻以内者可见食五刻以外者全在夜不可见即不必算如泛时在日出入前后者先须加减时差审昼夜

　　求实朔实时

实朔泛时上下设前后两时如泛时为丑正二刻则设丑正初刻为前时寅初初刻为后时用推日躔月离法各求其黄道实行以前后两时日实行相减为一小时日实行以前后两时月离黄道实行相减为一小时月实行两实行相减为一小时月距日乃以前时日实行内减月实行余为前时月距日化秒求对数加一小时化三千六百秒对数内减一小时月距日化秒对数得距前时秒数之对数检表得真数以分收之加于前时得实朔实时再以实朔实时用推日躔月离法各求其黄道实行则日月必同宫同度分秒不异方准乃视本时月距正交入前限者为有食

　　求均数时差

实朔日引宫度察日躔均数时差表即得记加减号

　　求升度时差

实朔日躔黄道宫度察升度时差表表见后即得记加减号

　　求实朔用时

实朔实时加减二时差得实朔用时

　　求日实行

前后两时日躔黄道实行相减为一小时日实行

　　求月实行

前后两时月离白道实行相减为一小时月实行

　　求实行总较

日实行与月实行相加为实行总相减为实行较

　　求半外角

置半周一百八十度内减黄白大距余数半之即半外角

　　求半较角

实行较对数凡弧度求对数化皆秒入算求三差法仿此如求八线对数必要弧度入算加半外角正切对数内减实行总对数余为半较角正切对数

　　求斜距交角差

半外角减半较角余为斜距交角差

　　求斜距黄道交角黄白二经交角

实朔黄白大距加斜距交角差即斜距黄道交角亦即黄白二经交角实朔月距正交初宫十一宫白经在黄经西五宫六宫白经在黄经东记东西号

　　求两经斜距

日实行对数加实朔黄白大距正弦对数内减斜距交角差正弦对数余为两经斜距对数

　　求斜距对数较

一小时三千六百秒对数内减两经斜距对数余为斜距对数较各限距弧求距时加对数较距时求距弧减对数较故用对数较

　　求食甚实纬

斜距黄道交角余弦对数加实朔太阴黄纬化秒下同对数内减半径对数即前位所进之一余为食甚实纬对数检表得真数为秒秒下必带小余一位求三差法仿此记南北号与实朔月纬南北同

　　求食甚距弦　食甚距时

斜距黄道交角正弦对数加实朔太阴黄纬对数内减半径对数余为食甚距弧对数再加斜距对数较即食甚距时对数检表得真数为秒以分收之月距正交初宫六宫为减五宫十一宫为加记加减号

　　求食甚用时

实朔用时加减食甚距时得食甚用时即京师食甚用时

　　求太阳实引

实朔太阳引数加减太阳均数得太阳实引

　　求太阴实引

实朔太阴引数加减太阴初均数得太阴实引

求地平高下差

太阴实引宫度及本天心距地见月离察交食太阴地半径差表表见考成后编得太阴在地平时最大地半径差内减太阳地平地半径差十秒余为地平高下差

　　求太阳实半径

太阳实引宫度察交食太阳视半径表得视半径内减太阳光分十五秒即实半径

　　求太阴视半径

太阳实引宫度及本天心距地察交食太阴视半径表得太阴视半径

　　求并径

太阴实半径加太阴视半径得并径

　　求距时日实行

日实行对数加食甚距时对数内减三千六百秒对数余为距时日实行对数加减号与食甚距时同

　　求食甚太阳黄道经度

实朔太阳黄道实行加减距时日实行得食甚太阳黄道经度

　　求食甚太阳赤道经度

食甚太阳黄道经度察黄赤升度差表得黄赤升度差加减黄道经度即食太阳赤道经度

　　求食甚太阳赤道纬度

食甚太阳黄道经度察黄赤距度表得食甚太阳赤道纬度记南北号

　　求食甚太阳黄赤道宿度

用上元甲子列宿黄赤经纬度表列宿黄道经度加岁差每年五十二秒算至所求年察食甚太阳黄道经度足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阳黄道宿度　又将赤道宿度按赤经加减岁差算至所求年察食甚太阳赤道经度足减本年赤道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阳赤道宿度

　　求太阳距北极

置九十度南加北减太阳赤道纬度得太阳距北极

　　求黄赤二经交角即黄道赤经交角之余

食甚太阳黄道经度察黄赤二经交角表得黄赤二经交角冬夏至后黄经在赤经西东记东西号

　　求赤白二经交角

黄赤二经交角与黄白二经交角即斜距黄道交角东西同号相加东西仍之异号相减东西从数大者得赤白二经交角记东西号此之谓东西乃白经在赤经之东西也若两角相等而减尽无余则白经与赤经合无交角如无黄赤二经交角则黄白二经交角即为赤白二经交角东西并同

　　求北极距天顶

置九十度减本地北极出地度得本地北极距天顶

　　求半和弧　半较弧

日距北极与北极距天顶相加半之为半和弧相减半之为半较弧

　　求正弦对数较

半和弧正弦对数减半较弧正弦对数得正弦数较其号为减因与半角余切相减也