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《九章算术》·九章算術卷第八 方程

汉朝 九章算术 张苍 著

〔一〕今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,實三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何?

  荅曰:

  上禾一秉,九斗、四分斗之一,

  中禾一秉,四斗、四分斗之一,

  下禾一秉,二斗、四分斗之三。  方程術曰,置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗,於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次,亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者,上為法,下為實。實即下禾之實。求中禾,以法乘中行下實,而除下禾之實。餘如中禾秉數而一,即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實,而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一,即上禾之實。實皆如法,各得一斗。  〔二〕今有上禾七秉,損實一斗,益之下禾二秉,而實一十斗。下禾八秉,益實一斗與上禾二秉,而實一十斗。問上、下禾實一秉各幾何?

  荅曰:

  上禾一秉實一斗、五十二分斗之一十八,  下禾一秉實五十二分斗之四十一。  術曰:如方程。損之曰益,益之曰損。損實一斗者,其實過一十斗也。益實一斗者,其實不滿一十斗也。

  〔三〕今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,實皆不滿斗。上取中,中取下,下取上各一秉而實滿斗。問上、中、下禾實一秉各幾何?

  荅曰:  上禾一秉實二十五分斗之九,

  中禾一秉實二十五分斗之七,

  下禾一秉實二十五分斗之四。  術曰:如方程,各置所取,以正負術入之。

  正負術曰:同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之。其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。  〔四〕今有上禾五秉,損實一斗一升,當下禾七秉。上禾七秉,損實二斗五升,當下禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何?

  荅曰:

  上禾一秉五升,

  下禾一秉二升。  術曰:如方程,置上禾五秉正,下禾七秉負,損實一斗一升正。次置上禾七秉正,下禾五秉負,損實二斗五升正。以正負術入之。  〔五〕今有上禾六秉,損實一斗八升,當下禾一十秉。下禾十五秉,損實五升,當上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何?  荅曰:

  上禾一秉實八升,

  下禾一秉實三升。

  術曰:如方程,置上禾六秉正,下禾一十秉負,損實一斗八升正。次置上禾五秉負,下禾一十五秉正,損實五升正。以正負術人之。  〔六〕今有上禾三秉,益實六斗,當下禾十秉。下禾五秉,益實一斗,當上禾二秉。問上、下禾實一秉各幾何?

  荅曰:

  上禾一秉實八斗,

  下禾一秉實三斗。

  術曰:如方程,置上禾三秉正,下禾一十秉負,益實六斗負。次置上禾二秉負,下禾五秉正,益實一斗負。以正負術入之。

  〔七〕今有牛五、羊二,直金十兩。牛二、羊五直金八兩。問牛羊各直金幾何?

  荅曰:

  牛一,直金一兩、二十一分兩之一十三,

  羊一,直金二十一分兩之二十。

  術曰:如方程。  〔八〕今有賣牛二、羊五,以買十三豕,有餘錢一千。賣牛三、豕三,以買九羊,錢適足。賣羊六、豕八,以買五牛,錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何?

  荅曰:

  牛價一千二百,

  羊價五百,  豕價三百。

  術曰:如方程,置牛二、羊五正,豕一十三負,餘錢數正;次牛三正,羊九負,豕三正;次牛五負,羊六正,豕八正,不足錢負。以正負術入之。

  〔九〕今有五雀、六燕,集稱之衡,雀俱重,燕俱輕。一雀一燕交而處,衡適平。并燕、雀重一斤。問燕、雀一枚各重幾何?

  荅曰:

  雀重一兩、一十九分兩之十三,

  燕重一兩、一十九分兩之五。

  術曰:如方程,交易質之,各重八兩。

  〔一0〕今有甲乙二人持錢不知其數。甲得乙半而錢五十,乙得甲太半而亦錢五十。問甲、乙持錢各幾何?

  荅曰:

  甲持三十七錢半,  乙持二十五錢。  術曰:如方程,損益之。  〔一一〕今有二馬、一牛價過一萬,如半馬之價。一馬、二牛價不滿一萬,如半牛之價。問牛、馬價各幾何?

  荅曰:  馬價五千四百五十四錢、一十一分錢之六,  牛價一千八百一十八錢、一十一分錢之二。

  術曰:如方程,損益之。

  〔一二〕今有武馬一匹,中馬二匹,下馬三匹,皆載四十石至阪,皆不能上。武馬借中馬一匹,中馬借下馬一匹,下馬借武馬一匹,乃皆上。問武、中、下馬一匹各力引幾何?

  荅曰:

  武馬一匹力引二十二石、七分石之六,

  中馬一匹力引十七石、七分石之一,  下馬一匹力引五石、七分石之五。

  術曰:如方程各置所借,以正負術入之。

  〔一三〕今有五家共井,甲二綆不足,如乙一綆;乙三綆不足,如丙一綆;丙四綆不足,如丁一綆;丁五綆不足,如戊一綆;戊六綆不足,如甲一綆。如各得所不足一綆,皆逮。問井深、綆長各幾何?

  荅曰:井深七丈二尺一寸。

  甲綆長二丈六尺五寸,

  乙綆長一丈九尺一寸,

  丙綆長一丈四尺八寸,

  丁綆長一丈二尺九寸,

  戊綆長七尺六寸。

  術曰:如方程,以正負術入之。

  〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黃禾四步、黑禾五步,實各不滿斗。白取青、黃,青取黃、黑,黃取黑、白,黑取白、青,各一步,而實滿斗。問白、青、黃、黑禾實一步各幾何?

  荅曰:

  白禾一步實一百一十一分斗之三十三,

  青禾一步實一百一十一分斗之二十八,

  黃禾一步實一百一十一分斗之一十七,

  黑禾一步實一百一十一分斗之一十。

  術曰:如方程,各置所取,以正負術入之。

  〔一五〕今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉,重皆過於石。甲二重如乙一,乙三重如丙一,丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何?  荅曰:

  甲禾一秉重二十三分石之十七,  乙禾一秉重二十三分石之十一,

  丙禾一秉重二十三分石之十。

  術曰:如方程,置重過於石之物為負。以正負術入之。

  〔一六〕今有令一人、吏五人、從者一十人,食雞一十;令一十人、吏一人、從者五人,食雞八;令五人、吏一十人、從者一人,食雞六。問令、吏、從者食雞各幾何?

  荅曰:

  令一人食一百二十二分雞之四十五,

  吏一人食一百二十二分雞之四十一,

  從者一人食一百二十二分雞之九十七。  術曰:如方程,以正負術入之。

  〔一七〕今有五羊、四犬、三雞、二兔,直錢一千四百九十六;四羊、二犬、六雞、三兔直錢一千一百七十五;三羊、一犬、七雞、五兔,直錢九百五十八;二羊、三犬、五雞、一兔,直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價各幾何?

  荅曰:

  羊價一百七十七,

  犬價一百二十一,

  雞價二十三,

  兔價二十九。

  術曰:如方程,以正負術入之。

  〔一八〕今有麻九斗、麥七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗,直錢一百四十;麻七斗、麥六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗,直錢一百二十八;麻三斗、麥五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗,直錢一百一十六;麻二斗、麥五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗,直錢一百一十二;麻一斗、麥三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗,直錢九十五。問一斗直幾何?

  荅曰:

  麻一斗七錢,

  麥一斗四錢,

  菽一斗三錢,

  荅一斗五錢,

  黍一斗六錢。

  術曰:如方程,以正負術入之。

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