弦与管的振动

　　在科学史上，正如杠杆原理的诞生要比人类实际使用杠杆晚得很多一样，有关乐器的声学理论也要比人类实际上演奏各种乐器要晚很长的历史时期。

　　弦乐器琴、瑟、筝、筑，可能在上古时代已有了雏型，后来他们中的古琴成为中国传统乐器，一直流传至今。胡琴类弦乐器产生较晚，大约隋唐时期先在少数民族中盛行。管乐器中篪〔chi迟〕、笛、箫、笙的历史也非常悠久。其中的笙早在商代已成为演奏乐器，考古发掘的最早的骨笛是新石器时代的器物。然而，从数理角度探讨它们的发音机制、确定它们的音高位置的规律却是在西周中晚期才开始的。

　　弦线发音的高低是由其振动频率决定的，而振动频率又决定于弦长、线密度和张力。大约公元前6至5世纪，人们已经懂得了音调与弦长的定量关系，这就是闻名的“三分损益法”。这是我国古代物理学史中最早用数学公式总结物理规律的一个例证。方法是：从一个被认定为基音的弦(或管)的长出发，把它分为三等分，再去掉一分(“损一”)或加上一分(“益一”)，以此来确定另一音的长度。在数学上，就是将发基音的弦长乘以2/3(损一)，或乘以4/3(益一)。依此类推，计算12次，就可以在弦上得到比基音高一倍或低一倍的音(即高八度或低八度的音)，也就完成了一个八度中的12个音的计算。从这12个音中选出五个或七个，就构成了五声音阶或七声音阶。这方法的最早记载见于《管子·地员篇》，比希腊毕达哥拉斯(约公元前570-496年)提出的基本相同的方法要早得多。

　　古代人除了对音调与弦长成反比关系总结出“三分损益法”的规律外，他们还知道音调随线密度变化的关系。《韩非子》记述“大弦小声、小弦大声”(《韩非子·外储说》)，就是这种关系的定性描述。同时，还研究张力对音调的影响：当粗弦调得太紧因而发音太高时，要在同一乐器上调出某一调式，那么细弦就有绷断的危险。(《淮南子·泰族训》)

　　以三分损益法计算而得的弦音，自然纯正，悦耳动听。但是，用它计算而得的高八度音，并非是完全的高八度，而是比八度高。在西方，以五度相生法(即乘以2/3)所得的结果也是如此。为了使数学计算能得到一个完全八度音，东西方的音乐家都曾作过种种尝试，花费了上千年的时间。最后完成这一计算并创造一种新的数学方法的是明代科学家、王子朱载堉。他将八度音程(即2)平均地分为十二等分，在数学上解决了求等比数列的难题。朱载堉称这种方法为“新法密律”，现在称之为“十二平均律”。这就是现在的钢琴、手风琴等键盘乐器普遍采用的数理方法。十二平均律是朱载堉在1567—1581年间创建的；而今天在音乐舞台上占有乐器之王的钢琴是西方文化的产物。在中国播下的科学种子却在西方开花结果，这是东西方文化交流中至今仍有重大影响的文明之光。

　　在管乐器中，管内空气柱的振动与弦线振动有本质的不同。管振动是纵波，或空气的疏密波；弦振动是横波。(图3-1)古代人常以管作为定音器，以12支长度不同的竹管(或铜管)来标定以三分损益法计算而得的八度内12个音，这12支竹管就称为律管。在历史上，曾经有不少人误以为，管长与弦长相等，它们的发音音高也一致。事实上，由于受惯性影响，管内空气柱的振动要延伸到管外(见图3-1)，所以要使管振动与弦振动的音高一致，管长就不能等同于弦长，而是要比弦长稍微短一些；或者使管内径缩小。这种校正管乐器发音的方法在中国古代都曾被讨论过。特别是朱载堉成功地创造了缩小管内径的校正方法，他所得到的律管管内径的系统的校正公式及校正数据，直到19世纪还受到西方音乐家和声学家的极大推崇。