《历算全书》·6

乃顺甲丙直线进退闚乙至戊得

　　乙戊丙角为乙丙甲角之半又横

　　过至丁从丁闚丙至乙成一直线顺此直线进退闚甲至丁得甲丁丙角亦为丙角之半则丁戊即乙甲又法不必立表但任指一防为丙而于甲丙直线上任取己防乙丙直线上任取庚防作庚丙己三角形有己角庚角即知丙角末乃如上作丁戊两角为丙角之半即所求

　　论曰此因乙甲在斜面髙处而不能到故借用丁丙戊形测之以丁丙戊乙丙甲两形相等故也何则丙交角既等而乙丙甲外角原兼有丙乙戊乙戊丙两角之度戊角既分其半乙角亦半则两角等而乙丙戊丙两邉亦等矣凖此论之则甲丁丙角为丙外角之半者丁甲丙角亦必为丙外角之半而甲丙丁丙亦等矣两形之角既等各两邉又等则三邉俱等而戊丁即乙甲若甲乙两所在下而丁戊两测在上亦同

　　三角测斜坡第二术

　　斜坡测对山之斜髙

　　对山之斜髙如甲戊乙于对

　　山之斜坡测之如丙丁先量

　　得丙丁之距于丙安仪噐得

　　丙角二【一乙丙丁二戊丙丁】于丁安仪

　　噐得丁角四【一乙丁丙二乙丁戊三戊丁丙四乙丁甲】成各三角形

　　先用乙丙丁形【有丙角丁角及丁丙邉】测乙丁邉　次用戊丙丁形【有丙丁二角及丁丙邉】测丁戊邉　三用乙丁戊形【有乙丁戊丁二邉及丁角】测乙角及乙戊邉　四用乙丁甲形【有乙角丁角及乙丁邉】测乙甲邉乙甲内减乙戊得戊甲邉【乙戊甲为垂线之髙法同】

　　三角测斜坡第三术

　　测对坡之斜髙及其岩洞

　　从丙从丁测对面之斜坡戊甲及乙戊

　　一乙丙丁形【有丙丁两测之距丙角丁角】可求乙丁邉　二戊丙丁形

　　【有丙丁邉丁角丙角】可求丁戊丙戊二

　　邉　三乙丁戊形【有乙丁邉戊丁邉丁

　　角】可求乙戊邉为所测对山

　　上斜入之岩　四丙丁甲形【有丁角丙角丙丁邉】可求丙甲邉五甲丙戊形【有丙戊邉丙甲邉丙角】可求戊甲邉为所测对坡斜髙

　　或戊为髙处基址乙为房檐亦同

　　三角测深第一术

　　测井之深及濶

　　甲乙为井口之濶于甲作垂线至丁【或用砖石投之以识其处】从乙

　　测之得乙角成甲乙丁句股

　　形即以甲乙井口为句得甲

　　丁股为井之深　既得乙丙

　　深【即甲丁】即可用乙己戊形得

　　己戊为底濶法以半径当井

　　深【乙丙】以两乙角【一戊乙丙二己乙丙】之

　　切线并当井底之濶【己戊】若不知井口则立表于井口

　　如庚甲求庚甲二角成庚甲

　　丁形测之

　　三角测深第二术

　　登两山测谷深

　　先于二山取甲乙之平而得其距

　　数为横线即可用三角形求丙丁

　　垂线为谷之深与测髙同理【亦可用以】

　　【测髙也】法为甲乙两角之余切线并比半径若甲乙与丙丁论曰深与髙同理测深之法即测髙之法也存此数则以发其例有不尽者于测髙诸术详之可也

　　附隔水量田法

　　甲乙丙丁田在水中不可

　　得量于岸上戊庚两处用

　　仪噐测之得诸三角形算

　　得其邉【一甲乙二乙丙三丙丁四丁甲】次

　　求乙丁对角线分为两三

　　角形【一甲乙丁二丙乙丁】末用和较法求得分形之两垂线【一甲癸二壬丙】并两垂线而半之以乗乙丁即得田积

　　或用三较连乗法求三角形积并之亦同

　　凡有平面形在峭壁悬崖之上及屋上承尘可以仰观者并可以此法测之

　　解测量全义一卷十二题加减法

　　甲寅象限弧　甲乙半径全数

　　为首率

　　丙寅弧之正丙辛为一率

　　丁寅弧之正丁庚为三率

　　戊己为四率

　　二三相乗为实首率为法法除实得四此本法也今以加减得之则不用乗除

　　丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧其余辰卯【即子癸】丙寅内减丁寅为丑寅【即丙丁】存弧其余癸丑以子癸减癸丑余子丑平分之于壬为壬子或壬丑即

　　四率【其壬子壬丑皆与戊己等】　此因总弧

　　不及象限故以两余相减

　　甲寅象限弧甲乙半径全数

　　为首率

　　丙寅弧之正丙辛为二率

　　丁寅弧之正丁庚为三率

　　戊己为四率

　　以上皆与前同

　　丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧【此总弧大于象限】其余卯辰【即子癸】　丙寅内减丁寅【即丙丑】余丑寅为存弧其余丑癸

　　以子癸加丑癸为子丑半之于壬分为壬子及壬丑二线皆与戊己同即为四率如所求

　　此因总弧过象限故以两余相加

　　今订本书之譌

　　甲寅皆象限弧　甲乙半径

　　一○○○○○为首率

　　丙辛○五九九九五为二率

　　丁庚○二五○一○为三率

　　以三率法取之得○一五○

　　○四为四率

　　今用加减法

　　以丙辛线为正查其弧得丙寅三十六度五十二分亦以丁庚线为正查其弧得丁寅十四度二十九分以丙寅弧与丁寅弧相加得总弧辰寅五十一度二十一分其余○六二四五六如辰卯【即子癸】

　　又以丙寅弧与丁寅弧相减得存弧丑寅二十二度二十三分其余○九二四六六如丑癸

　　因总弧小于象限当以两余相减其较○三○○一○如子丑【于丑癸内减子癸得之】乃平分子丑于壬其数○一五○○五为壬丑或壬子皆与戊己同即为四率　此所得与三率所推但有微差而不相逺

　　按此以加减代乗除依其法宜如此今刻本相减相并讹为并而相减又于相并之弧讹为五十度二十分相减之存弧讹为二十二度二十四分故其正皆讹而所得之四率只一四三一与三率所推不合矣

　　又按以加减代乗除之法不过以明图法之妙其中又有此用耳若以入算终不如乗除之便何也设问毎多整数而正之数皆有畸零不能恰合一也先用设数求弧度必用中比例始得相合则于弧度亦有畸零二也弧度既有畸零则其查余又必用中比例三也两余有用加之时有用减之时易至于讹四也及其所得四率以较三率法之所得终有尾数之差五也盖论数学则宜造其防而施之于用则贵其简易若可以简易者而故引之繁重又何贵乎故曰不如乗除之便也观设例之时便有讹错如此则其不便于用亦可见矣又按此加减法即测量全义第七卷所言加减也其以总存两余相加减而半之者即初得数也然彼以两正相乗得之此以加减得之而省一乗矣实弧三角中大法而彼但举例而隠其图姑示其端于此而又不直言其即弧度之初得数此皆译书者秘惜之故耳向后二图发明所以然之故

　　甲寅象限弧　乙丙半径为首率

　　丙寅弧之正丙辛为次率

　　丙丑弧之正丑戊为三率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】得戊巳为四率【丑壬及壬子并同】

　　论曰戊巳辰【或丑壬戊亦同】句股形与

　　丙辛乙句股形相似故其比例

　　等法为乙丙与丙辛若丑戊与

　　丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】

　　又论曰凡两十字垂线相交作

　　句股则其形俱相似如辰丑线即丙丑及丙辰之正与丙乙半径相交于戊防一十字也辰午线【辰寅弧之正也】丑癸线【丑寅弧之余】相交于子防一十字也此两十字相交而成诸句股形则俱相似矣故戊壬庚与丑壬戊相似而戊壬庚原与丙辛乙相似则丑壬戊与丙辛乙不得不为相似之形矣

　　解曰乙丙首率半径也丙辛正为次率其弧丙寅丑戊正为三率其弧丙丑丙丑既与丙辰同则以丙丑【三率之弧也】加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧而辰卯则总弧之余也以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧而丑癸则存弧之余两余相减其较为子丑【子癸同辰卯故以子癸减癸丑得较子丑】子丑折半于壬而壬丑与壬子皆同戊巳是为所求之四率也

　　如此以量法代算法的确不易但细数难分耳

　　若以酉丙为过象限之大弧丙丑为小弧则酉丑为总弧其正丑丁余丑癸【即丁乙】

　　酉辰为存弧其正辰午余辰卯【即子癸】算法略同但先所用者存弧之正小于总弧今则总弧正小于存弧正大则余小正小则余反大加减之用以小从大其理无二故其图可通用也

　　又按壬丑即初得数也两正相乗以半径除之者也乙亥即次得数也两余相乗以半径除之者也今改用加减则以两弧相并为总弧而相较之余为存弧存总两余相加减而半之成初得数省两正乗矣又以初得数去减余成次得数省两余乗矣

　　两余加减例

　　凡总存二弧俱在象限内或俱出象限外则两余相减　若存弧在象限内总弧在象限外则两余相加

　　初得数减余弧例

　　凡存弧之正小于总弧即用存弧之余在位以初得数减之余为次得数　若总弧之正小于存弧即用总弧之余在位以初得数减之余为次得数盖

　　小者余大其余内

　　皆兼有初得次得两数详

　　见环中黍尺

　　甲寅象限弧　乙丙半径

　　为首率

　　丙寅弧之正【丙辛】为次率

　　丙丑弧之正丑戊为三

　　率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】

　　求得戊巳为四率【丑壬壬子并同】

　　以上皆与前图同

　　论曰凖前论丙辛乙句股形与丑壬戊句股形相似法为乙丙与丙辛若丑戊与丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】

　　解曰乙丙首率半径全数也丙辛正为次率其弧丙寅丑戊正为三率其弧丙丑而丙丑【三率】即丙辰以加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧而辰卯亦总弧之余也以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧而丑癸则亦存弧之余也两余相加成子丑【子癸同辰卯皆总弧余】子丑折半于壬而壬丑同壬子亦同戊巳则所求之四率也

　　厯算全书卷五十四

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷五十五

　　宣城梅文鼎撰

　　解八线割圆之根

　　八线割圆説

　　天体至圆最中一防为心过心直线为径圆面诸圏为弧弧与径古用径一围三之比例【有宻术徽术各家不同】然终非弧度之真葢圆为曲线径为直线两者为异类亘古无相通之率夫日月星辰之道皆弧线也人目测视之线皆直线也苟非由直线以得曲线纵推算极精皆非确数于推歩测量诸用所关甚钜其可畧欤西儒几何等书别立数法求得弧与径相凖之率更以逐度之弧准逐度之线内用矢外用割切于是始则因弧而求线继则因线而知弧交互推求虽分秒之弧度尽得其准立法之善即首商髙复生无以易也苐割圆八线表虽乆传于世而立法之根未得専书剖晰大测中如十边五边形之理皆缺焉弗讲薛青州作正解亦仅依式推衍未能有所发明予于厯算生平癖嗜凡有奥义必欲直穷其所以然而后快窃思割圆八线乃厯算之本源岂可习焉不察因反覆抽绎耿耿于心者数年积思之乆乃得渐次防通遂着其图衍其算理之隠赜者明之法之缺畧者补之防而成帙以备好学者之采择云尔

　　立表之根有七

　　一大圆中止有径线初无边角可寻乃作者慿空结撰求得七弧之通而全割圆表即从此推出又絶无假借纽合之病割圆之巧孰有加于是焉

　　表根一　圆内作六等邉切形求得六十度之通法曰六十度之通与圈之半径等作表时命为十万亦曰全数

　　解曰如图辛为心作甲丙丁圈甲丁为全径辛丁为半径次取丁为心辛为界作戊庚辛圈与原圈相交于丙于戊次引长丁辛线至庚必平分丙戊弧于丁亦平分戊丙弧于辛【以丁为戊庚圈心故】次作辛丙丙丁丁戊戊辛四线成丁辛丙丁辛戊二形必皆三邉等三角形何则丁为

　　心辛为界则丁辛与丁丙皆

　　为戊庚圏之半径仍用辛丁

　　为度辛为心丁为界则辛丁

　　又为甲己圈之半径辛丙亦

　　同则辛丁丁丙辛丙三线俱等而辛丁丙为三邉等形丁辛丙三角俱自相等每角六十度夫辛角在心者也则丙丁弧为六十度丙丁即六十度之通与辛丁半径等矣丁戊辛形仿此

　　次以丙辛引至己戊辛引至乙其甲辛己乙辛甲交角俱与丙辛丁戊辛丁角等角等弧亦等即平分大圈为六分次作丙丁等六线相连成六等邉内切形等邉等角葢乙辛己丙辛戊两交角之弧既当六分圈之四则中间己戊乙丙二弧亦必各为六分圈之一故成六等邉形皆以半径为邉此天地自然之数也

　　表根二　圈内作四等邉切形求得九十度之通法曰半径上方形倍之开方得九十度之通

　　解曰圈内四等邉切形即内切

　　直角方形也　如图甲癸丁圏

　　庚为心作丁癸全径又作甲己

　　全径与丁癸十字相交为凑心

　　四直角即平分大圆为四分每分九十度次作甲癸己癸己丁甲丁四线相连成四邉等形其切圏之甲丁己癸四角俱为直角【以各角俱乗半圈故】所容之癸甲丁己为正方形甲癸等为九十度之通用甲庚癸直角形甲庚半径上方与庚癸半径上方并开方得甲癸句股求术也

　　巳上二根并仍厯书之旧

　　表根三　圈内作十等邉切形用理分中末线求得三十六度之通

　　法曰圏径上作理分中末线其大分为十邉等形之一邉即三十六度之通今欲明十邉形之理先解理分

　　中末线欲明理分中末线先解方形

　　及矩形

　　一解曰凡正方形内【如乙庚戊丙方】依一角

　　复作正方形【如丁庚方】以小方之各邉引长之如甲午辛壬即分元方戊庚为四分小方之各邉与大方之各邉俱两两平行其与小方丁庚相对之丁戊形亦必正方形左右所截之午壬甲辛二形必皆矩形而恒自相等一解曰任设一线如甲戊两平分之于乙又任引长之为戊庚【长短不论】其全线甲庚偕引长线戊庚【即子庚】矩内形

　　【甲子矩】及半元线甲乙【癸丑等】上

　　方形【癸辛方】并成子丑壬甲磬

　　折形此形与半元线【乙戊】偕引

　　长线乙庚上之乙丙方形等

　　何则乙庚上方乙丙与磬折形子丑壬甲共用乙子矩形今试以此两率各试去乙子矩形两所余为乙壬矩及丑丙矩夫此两矩形邉各相等【辛丙与乙辛等辛丑与壬辛亦等以壬丑为正方故】其幂亦必等则于乙子形加丑丙得乙丙方于乙子形加乙壬得子甲壬磬折形亦无不等矣　又己辛亦正方形以相对之己庚为正方故己辛方与壬丑方亦等以同在甲庚癸子两平行线内又甲乙乙戊相等故也分中末线

　　解理分中末线　明上二图可论理分中末线矣法曰如图任作甲戊线两平分于乙以甲戊线自之作戊卯方从乙平分处向丁作乙丁线次以甲戊引至庚令乙庚与乙丁等于乙庚上作乙丙方又取庚子与戊庚等作癸子线分戊丁于己则戊己为戊丁元线之大分己丁为小分戊己丁己戊丁三线成连比例戊丁与戊己若戊己与己丁而戊己为中

　　解曰依上二图之论甲庚线偕戊庚矩形及乙戊【即甲乙】上方形并与乙庚上方等今乙庚线既令与乙丁等则

　　乙丁上方亦与乙庚上方等是

　　甲庚偕戊庚矩形及乙戊上方

　　并与乙丁上方等而乙丁上方

　　与乙戊丁戊上两方之并等此

　　二率者共用乙戊上方试以此二率各减去乙戊上方则所存之戊卯方与甲子矩形必等矣夫戊卯方既与甲子矩等又共用甲己矩形试各减去甲己矩形则所存戊子方与卯巳矩形必等矣卯巳与戊子两矩形既等又以巳直角相连则两形之邉为互相似之比例癸己与巳子若戊己与己丁夫癸己即戊丁也则戊丁与戊己若戊己与己丁为连比例而戊己为中率戊己上方【二三率】与戊丁【一率】偕己丁【四率】矩形等戊丁全线为首率戊己大分为中率减戊丁【甲戊同】存己丁小分为末率葢理分中末线云者于一直线上作连比例之谓也求之法以所设甲戊半于乙为句甲戊为股【即戊丁】求乙丁即乙庚也减乙戊句存戊庚即戊己大分减戊丁元线存己丁小分

　　又甲戊引长线止于庚者欲令乙庚等乙丁也若不为连比例戊庚可任意引长之如前二图之论然理分中末线法实从二图之理推出其关键全在乙庚乙丁二线等也

　　解理分中末线大分为三十六度之通　观上诸论可明理分中末线之法然何以知其大分能为十等邉形之一边如图任作甲乙线用上法分之于内为理分中末线甲乙与甲丙若甲丙与丙乙甲丙其大分丙乙其小分次用甲乙全线为半径甲为心乙为界作圏又从乙作乙丁合圏线令与甲丙等末从圏心作甲丁线相连其甲乙甲丁两半径等即甲丙丁为两腰等三角形夫此三角形其腰间之甲乙丁甲丁乙二角必各倍大于底上甲角何则试从丙作丙丁线于甲丙丁角形外作甲丙丁外切圏其甲乙偕乙丙矩内直角形与甲丙上方形等【因连比例等】亦即与至规外之乙丁上方等而乙丁切小圏于丁为切线即乙丁切线偕丁丙线所作乙丁丙角与负丁甲丙圏分之甲角交互相等【见几何三巻三

　　十二】此二率者每加一丙丁

　　甲角即甲丁乙全角与丙

　　甲丁丙丁甲两角并等夫

　　乙丙丁外角与丁甲相对

　　之内两角并等即乙丙丁

　　角与甲丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与乙丁两线亦等夫乙丁原与甲丙等即丙丁与丙甲亦等因丙甲丁丙丁甲两角亦等又甲角既与乙丁丙角等即乙丁丙甲丁丙两角亦相等是甲丁乙倍大于丙丁甲亦即倍大于相等之丙甲丁角也而甲乙邉与甲丁等则甲乙丁角亦倍大于甲角也

　　次解曰丙丁乙角何以知其与丙甲丁角交互相等试作未丁全径与乙丁为直角又作未丙线成未丙丁直角夫丙未丁丙丁未二角并与一直角等乙丁未亦一直角此二率者各减去未丁丙角所存丙丁乙丙未丁二角必等夫丙未丁负圏角也丙甲丁亦负圏角也同负丙丁弧则丙甲丁角与丙未丁角等夫未角与丙丁乙角等也今既与丙甲丁等则丙甲丁角亦必与丙丁乙角等

　　依上论显甲乙丁形之乙丁二角俱倍大于底上甲角形内之丙丁乙形与甲乙丁原形相似其丙乙二角亦倍大于乙丁丙角乙丁丙丁甲丙三线俱等夫甲丁乙形之甲乙丁三角并等两直角今乙丁二角既倍大于甲角是合乙甲丁角而为五分两直角矣则乙甲丁角该五分两直角之一为三十六度夫五分两直角之一与十分四直角【全周】之一等则乙甲丁角或乙丁弧即十分圏之一分乙甲丁甲又各为半径则乙丁即十等边形之一边夫乙丁与丙丁等丙丁与甲丙等则甲丙与乙丁亦等而甲丙即理分中末线之大分故圏径上作理分中末线其大分为三十六度之通

　　圏内作十等边切形法　先依上作甲丁乙两腰等三角形以甲乙甲丁各引至圏界为乙己丁戊其己戊弧与乙丁等次以戊乙弧半于庚作乙庚戊庚二线各半之于辛于壬又作癸丑子寅卯庚诸线俱过甲心各抵圏界即平分大圆为十分末作戊己等十线相连即所求十边形之理据厯书见几何十三卷九题而几何六卷巳后之书未经翻译不可得见考之他书未有发明其义者余特作此解之

　　表根四　圈内作五等邉内切形求得七十二度之通法曰六邉形上方形及十邉形上方形并开方得七十二度通

　　解内切五等邉形法　法曰甲乙丁圈于圈内作甲丙

　　丁两腰等乗圈角形令腰间丙丁

　　二角各倍大于甲角即甲角所乗

　　之丙丁弧为全圈五分之一何则

　　甲丙丁形之三角并等两直角今丙丁二角既各倍大于甲角则甲角为五分两直角之一又甲为乗圈角所乗之丙丁弧必更倍大于甲角之度为全圏五之一矣【七十二度】夫丙于二角又倍大于甲角则其所乗甲丙甲丁二弧亦必倍大于丙丁为全圈五分之二即作丙戊丁乙二线平分丙丁二角亦平分甲丁甲丙二弧分大圈为五平分丙丁线即五等邉之一末作丁戊等四线相连成五等邉内切形等邉等角　此系歴书原法新増作五等邉形法

　　甲庚壬平圆内作五邉等形法任作

　　切圆直线如子丑切平圆于甲乃以

　　切防甲为心任作半圈如子寅丑次

　　匀分半圆周为五平分如子辰等次

　　从半圆上取五平分之各防作直线至切防甲此直线必过半圆周【如甲辰线必过庚寅甲线必过戊余仿此】末于平圆内联各防作通即成五等邉形【庚甲乙甲本为通补作戊庚丁戊乙丁三线并与庚甲乙甲

　　等皆七十二度通也】

　　解曰卯甲寅负圈角正得丁心戊

　　分圆角之半卯甲寅既为十等面

　　凑心之角必三十六度也则丁心

　　戊角必七十二度而为五等邉角矣　或作半圆于外如下图亦同前论

　　解六邉十邉两方并等五邉上方形　法曰依前理分中末线法作己丁丁丙二邉为十分圏之一乙己乙丙甲乙三线俱为中末线之大分与十边形之一等乙丁

　　其小分次取己丁

　　弧之倍至丙作甲

　　丙线得己丙七十

　　二度为五分圏之

　　一【己丁丙为十分圏之二即五分

　　圏之一矣】作丙己线即

　　五等形之一边也

　　己甲丙为七十二度之角次取己为心己丁大分为界作丁未庚圏又以丙为心丙甲半径为界作子甲丑图两圏相交于辛末从丙心向交防【辛】作丙辛线从己心向交防【辛】作己辛线成丙己辛三角形此形辛为直角丙辛六边形之边【即子丙】为股己辛十边形之边【即己丁】为句己丙五边形之边为用句股术得己丙七十二度之通

　　解曰丙辛己形何以知辛防必为直角试观乙己丁乙丙丁俱为两腰等形又自相等合之成己乙丙丁四等

　　邉斜方形则丙己线必平分

　　乙丁小分于壬甲丁线因己

　　丙弧为己丁之倍亦平分丙

　　己于壬壬防为直角又形

　　内所分之乙壬己乙壬丙丁壬己丁壬丙四句股形俱自相等夫丙己邉上方形为壬己上方形之四倍【几何言全线上方形为半元线上方形之四倍】而壬己上方乃乙己上方减去乙壬上方之数【句求股】是以乙己上方四倍之【即己乙己丁丙丁丙乙四线上方之并】减去乙丁小分上方【乙丁上方为乙壬上方之四倍以乙壬为乙丁之半故也即乙壬等四小句方之并】所余即与丙己上方等矣而此四乙己方减乙丁上方之余又与全数上方及中末线大分之方并等【即十邉形之一】何则试观二图【即理分中末线图】甲丁为全数甲戊为全数上方丁乙为大分丁子为大分上方两方之并成甲壬子戊磬折形此形内容丁子大分方形之四则重一庚己小分之方【取丙丁与乙丁等则己丁壬乙俱为大分之方而庚壬矩与丁子方等甲壬矩又与庚壬矩等是共有大分上方形之四倍而庚己小方则重叠在内庚己乃辛己小分之方也】今试于磬折形内减去重叠之方【癸辛方】是即于四个大分方内减一小分上方亦犹之前图四乙己方内减去乙丁上方而所余必等矣夫此磬折形既与前四乙己方内减乙丁上方之余幂等而此余幂又与丙己上方等则此磬折形亦与五等边之一丙己上方等而磬折形乃甲戊丁子两方之并也甲戊方之根甲丁即前丙辛己形之丙辛边丁子方形之根丁己即前丙己辛形之己辛边今丙辛己辛上两方并既等于丙己上方是丙辛己为句股形而辛为直角矣丙辛半径股也己辛大分句也丙子弧六十度之边子丙即丙辛股己丁弧三十六度之边丁己即己辛句而丙辛己辛丙己三边适凑成句股形故厯书言六边上方并十边上方与五边上方等葢以此也

　　若作戊乙线成戊丁乙句股形与前丙辛己形等戊乙即五边形之一益可见辛之必为直角矣

　　求七十二度通法取迳甚竒大测止具算术未着其理【据云见几何十三卷十题】薛书及孔林宗説殊多牵附余此图与原算脗合乃知古人立法之简奥也因更推衍四法如下

　　如图午丁大圈依理分中末线法作十邉等内切形丁午等俱大分次从癸昴诸防【癸甲昴甲俱为大分】作癸昴昴壁等线俱为小分各连之则中末线之大小两分成内外两十邉等形俱各两两平行一切于周一切于径次任取

　　戊为心甲为界作圈

　　亦依上法用其大分

　　小分作内外两十邉

　　等形末作乙丙乙丑

　　等五线为五邉形之

　　各邉诸线交错得求

　　乙丙邉之法有五

　　一丁乙丙形有丁丙全径有丁卯全数及卯乙大分并为丁乙【丁乙与午戊必平行】乙为直角用股求句法得乙丙邉二乙丙寅形有乙寅小分为句有丙戊戌寅两大分并得丙寅为求得乙丙股

　　三乙甲丙形用其半甲壬丙形有甲丙全数有甲辛大分有辛壬为辛戊小分之半并为甲壬求壬丙勾倍之得丙乙邉

　　四乙壬戊形有乙戊大分为有壬戊小分之半为句求乙壬股倍之得乙丙邉

　　又形中两圈相交内有甲卯乙戊未为小五邉形其各邉即大分甲辰戊丙庚形同又有甲卯乙戊丙庚为小六邉形其各邉亦即大分又小五邉形与午丑乙丙氐大五邉形相似而体势等则其各邉俱成比例乙甲全数与甲卯大分若乙午与午丑则以甲卯与午乙相乗全数除之亦得五邉形之一其午乙线以乙亢午直角形用句求股术取之

　　表根五　圈内作三等邉内切形求得一百二十度通

　　半之为六十度正

　　法曰全径上方形内减六边形

　　上方形开方得一百二十度之

　　通

　　解曰甲为圏心甲乙为半径作圏次乙为心仍用乙甲为半径作弧与大圏相交于丁于戊其所截之丁乙戊弧即三分圏之一何则依前六边形之论丁乙戊乙二弧俱为六分圈之一今丁乙戊弧乃倍大于丁乙必三分圈之一矣【一百二十度】即作丁戊线为三等边形之边次以乙甲引至丙必平分丁丙戊大半圏于丙以丙乙为过心线既平分丁戊弧于乙亦必平分丁丙戊弧于丙也从丙作丙戊丙丁二线成丁丙戊三边等内切形求之用乙丁丙三角形丁为直角【以丁角乗丙戊乙半圏故】丁乙为六边形之一丙乙全径上方减去丁乙半径上方【丁乙即乙甲】余开方得丙丁边句求股术也

　　表根六　圏内作十五等边内切形求得二十四度之通

　　法曰三边等形与五邉等形之较即十五分圏之一可求二十四度通

　　解曰戊丙大圈丑为心作丙子全径取丙防为宗依前法作丙甲辛三邉等形又作丙戊乙己庚五边等形丙甲弧为三分圈之一【一百二十度】丙戊乙弧为五分圈之二【七十二度】相较得甲乙弧二十四度即十五分圈之一也其求甲乙之邉以五邉形之邉乙己半于癸三邉形之邉甲辛半于壬得乙癸与甲壬相减【丁壬即乙癸】存甲丁为股次作乙丑甲丑两半径成乙丑癸甲丑壬二直角形以

　　乙丑半径上方减乙癸半

　　上方余开方得癸丑邉又以

　　甲丑半径上方减甲壬半

　　上方余开方得丑壬邉次以

　　丑癸与丑壬相减得壬癸【即乙丁】为句末用甲丁乙直角形甲丁上方与丁乙上方并开方得甲乙为十五等邉内切形之边

　　又解曰甲乙弧何以知为十五分圏之一凡一圏内作三边等形又作五边等形以其边数三与五相乗得十五即知可为十五等边切形其两弧之较必有十五分圏之一如甲乙也余仿此推　此亦厯书原法

　　表根七　圈内作九等边内切形求得四十度之通【新増】求内切九等边形　法曰甲为圆心于圆内先作庚子辛三边等形【法见前】平分大圆为三分次用甲庚为度作

　　庚己线与庚辛为直角庚为

　　心己为界作己壬弧为全圏

　　六之一【六十度】次于己壬弧上

　　任取癸防向甲心作癸甲直

　　线与庚辛交于戊其自癸至戊之度令与甲乙半径等次癸为心戊为界作圏与大圏相交于丙于庚【庚防为己壬弧圏心又癸戊半径与庚己等必相交于庚】从癸又作癸庚癸丙二线得庚戊丙圈所割之庚乙丙弧必为庚辛弧三之二辛丙为三之一即全圏九分之一也末作丙辛线为内切九等形之邉依此作丙乙乙庚诸线成九等邉内切形等邉等角解曰癸戊线既等甲乙半径则两圈相交之庚戊丙庚乙丙两弧必等又癸甲线既过两心【甲大圆心癸庚戊丙圈心】试作庚丙通必平分通于丁亦平分庚丙弧于乙与丙庚弧于戊而庚乙与丙乙等庚戊与丙戊等又两弧【庚乙丙庚戊丙】共用庚丙通则丙戊与丙乙庚戊与庚乙亦各相等其丙戊丙乙庚戊庚乙四线亦等又癸丙癸戊癸庚三线俱即半径【癸为庚戊丙圈心故】则癸庚戊癸丙戊为两腰等三角形而两癸角又等【庚戊丙戊二弧等故】则两形之邉角俱自相等又丙戊辛形其戊辛二角亦等何则戊角之余为丙戊庚角而丙戊庚乃庚戊癸丙戊癸两角之并亦即癸丙戊癸戊丙两角之并【癸戊庚角与癸戊丙等因两形为等形亦与癸丙戊角等】是丙戊辛角必与戊癸丙角等其丙辛戊角乗庚丙弧则辛角必得庚丙之半与乙丙弧等亦与丙戊等是丙辛戊角亦与戊癸两角等而辛丙戊为两腰等形因得戊丙与辛丙两邉亦等夫丙戊边本与戊庚等则丑丙与戊庚亦等而丙戊即丙乙庚戊即庚乙是辛丙丙乙乙庚三线等也而辛丙丙乙乙庚三圈分亦等矣前庚乙辛弧乃全圈三之一今庚乙又为庚辛三之一即全圈九之一为四十度而庚乙即四十度通　按癸丙线必与庚甲平行其交己壬弧之丑防必居癸壬弧之中而壬丑丑癸癸己为三平分各得十二度

　　求九边形之边　法曰取十边形相较可得九分圏之

　　边如图乙辛戊圆甲为心取

　　辛丙弧为十边形之一【三十六度】戊乙弧为九邉形之一【四十度】辛丙为十邉形之邉乙戊为

　　九边形之边二线令平行则其较弧辛乙与丙戊相等【各二度】次作辛乙丙乙诸线成辛乙戊丙四邉形此形有丙辛边【前第五根所得】有辛乙边【一度正之倍用后法所得】先求丙乙线用丙辛乙钝角形作辛丁垂线以辛丙半之因乙辛得辛丁次以辛丁上方减辛乙上方开方得乙丁又以减辛丙上方开方得丁丙并之得乙丙线与辛戊等次以乙丙自乗方内减去辛乙自乗方余以辛丙除之得乙戍为九边形之边即四十度通也【上图之庚乙线】

　　解曰丙辛线既与戊乙平行则丙乙辛戊两线相等辛乙与丙戊亦等从辛从丙作辛己丙午二垂线所截戊乙线之戊午己乙为丙辛戊乙二线相较之半亦必等夫丙乙自乗得丙乙上方形辛乙自乗得丙戊上方形【辛乙与丙戊等故】而丙乙上方乃丙午乙午上两方之并丙戊上方又丙午戊午上两方之并则试于丙乙上方减去丙午上方所余为乙亥方丙戊上方减去丙午上方所余为午未方而午未方即己子方也今于丙乙上方形减丙戊上方形是减去丙午上一方又减去巳子一方【即戊午上方形】所余为午卯丑亥磬折形夫午乙与己戊二线相等则午丑与巳酉两方形亦等因得卯午矩与申酉矩等移卯午补申酉则丑未矩形与午卯丑亥磬折形等矣故以子丑除之【子丑即丙辛以卯亥为正方故】得子未边即乙戊四十度通也

　　按九边形法诸书所无然缺此则九十度之正不备壬寅秋客润州魏副宪官署时魏公鋭意厯学因作此图补之

　　附求一度之通【一度为全圆三百六十之一亦可名三百六十等邉内切形】法曰一度之通取相近之数用中比例法得之如图庚乙弧为一度先设甲庚一度三十分依前法【表根六及表法一】求其正甲癸○度○二六一七六八九又求其通得○度○二六一七九二半之得○度○一三

　　○八九六为己庚四十五

　　分弧正己辛也三分之

　　得己寅○度○○四三六

　　三三为十五分弧略大线

　　加己辛【即未丑】得壬丑○度○一七四五二八为一度弧略大之正次于甲癸线内减己辛【即戊癸】余戊甲亦三分之得丙戊○度○○四三六二四为十五分弧略小线加戊癸得丙癸○度○一七四五二即丁午也为丁庚一度略小弧之正夫大小两其差八数为壬亥半之得四壬申也【申亥同】加小减大得乙子○度○一七四五二四为乙庚一度之正若求其通用正与正矢为句股求之【此薛仪甫歴学防通法】

　　再细求一度正【系作枚法】

　　前四十五分弧之正○度○一三○八九六法以四十五分半之为廿二分三十秒求其正得六五四四九又半之为十一分十五秒求得正三二七二四五夫廿二分三十秒之弧倍于十一分十五秒而其亦倍则知二十分以内之弧正若平分数【纵有叅差非算所及】法以廿二分三十秒为一率正六五四四九为二率十五分为三率得四率十五分正○度○○四三六三二六次以十五分正与四十五分余○度九九九九一四三相乗得○度○○四三六二八八六○六八六为先数以十五分余○度九九九九九○四八与四十五分正○度○一三○八九六相乗得○度○一三○八九四七五三八为后数【相乗之理见表法六】两数相并得○度○一七四五二三六一四五为一度正与薛书略同但此法似宻

　　论曰弧与非平分数然一度以内弧相切曲直之分所差极微故可以中比例法求也

　　按上七根所求者皆各弧之通表中所列俱正葢论割圆必以通便算则惟正然正即通之半全与分之比例等其理一也

　　作表之法有七

　　用上根数于大圆中求七弧之通以为造端之始而各度之尚无从可得爰立六种公法或折半或加倍或相总或相较转辗推求以得象限内各度之正葢上诸法乃其体此则其用也二者相资表以成焉

　　表法一　有一弧之正求其余及半本弧之正与余

　　解曰如图甲为圈心乙丙戊弧为全圈四之一【九十】乙甲戊甲俱半径设有戊丁丙弧其正为丙庚即从丙作丙甲线成丙庚甲直角形法甲丙全数上方减丙庚正上方余开之得甲庚与丙辛等即丙戊弧之余也又用甲庚减甲戊半径得庚戊矢又作丙戊线成丙庚戊直角形法庚戊矢上方与丙庚上方并开方得丙戊为戊丁丙弧通半之得丙己或戊己即半本弧丙丁或丁戊之正又以丙甲己形【戊甲己形同】用句求股

　　术求己甲得半本弧之余【癸丙等】若

　　再以丙己丁己二边求丙丁半之

　　又得半丙丁弧之正余仿此逓求

　　之

　　论曰丙戊弧既平分于丁其丙戊

　　亦必平分于巳故半丙戊为半本弧

　　之正试作丁甲壬象限则丙己正己甲余尤了然矣

　　表法二　有一弧之正余求其倍本弧之正与余解曰甲丙象限内设有甲戊弧其正戊己余己乙今求倍甲戊之甲丁弧正丁癸与余癸乙法先作丁甲线为丁戊甲倍弧之通此线必为乙戊线平分

　　于壬则壬甲亦为甲戊弧正与

　　戊己等丁壬亦等夫壬甲既等戊

　　己则其余壬乙亦必等己乙法

　　用己戊乙庚壬乙两形乙戊全数

　　与戊巳正若乙壬余【即乙己】与壬庚而壬庚即辛癸倍之得丁癸为倍弧甲丁之正

　　论曰乙戊己乙壬甲两形相等戊乙等甲乙戊己等甲壬己乙等壬乙故壬乙得为余又乙戊己乙壬庚两形相似故第四率可求壬庚【即辛癸】而壬庚必为丁癸之半以丁癸甲直角形丁甲既平分于壬从壬作壬辛垂线亦必平分其股于辛也故倍癸辛得丁癸为倍弧甲戊丁正又壬庚线亦平分甲癸句于庚用甲壬庚形依句股术求甲庚倍之以减甲乙存癸乙或丁子即倍弧之余也

　　表法三　求象限内六十度左右距等弧之正解曰六十度左右距等弧之正与其前后弧两正之较等如图乙丙象限内设丙戊为六十度【不动】有丙己小弧【须在三十度以上】丙巳丁大弧其大弧与丙戊六十度之较戊丁令与丙己小弧与戊丙六十度之较戊己等其大小两弧正一为己辛一为丁庚相较为丁癸此丁癸与己壬丁壬等则丁癸为戊丁戊己距等弧之正壬甲为余

　　论曰试从巳向子作巳子线则丁巳子为三边等形何则形中壬子丁壬子己两形相等【丁子壬己子壬两角本等又同用壬子边则两形自等】而丁子壬角与乙甲戊角等【以丁庚与乙甲平行故】为三十度【乙甲戊为丙戊甲角六十度之余】则丁子巳角为丁子壬之倍必六十度又丁子壬巳子壬两角等则其余壬丁子壬巳子二角亦必各六十度而与丁子巳角等则丁子巳为

　　平边三角形夫丁子巳既为平边

　　三角形其巳癸垂线必平分丁子

　　于癸子壬垂线必平分丁巳于壬

　　两分之丁癸与丁壬必等而丁癸

　　乃己丙丁丙大小二弧两正【一巳辛一丁庚】之较

　　按此须先求得象限内六十率之正依上法可求左右三十率之正外此即不可用以六十度之余止三十度故也

　　表法四　任设两弧之正余求两弧并及较弧折半之正

　　解曰戊壬象限内任设不齐之两弧一置在上如戊丙

　　一置在下如丁壬中间所容丙丁

　　弧即戊丙丁壬两弧并之余今求

　　半丙丁弧丙乙【丁乙同】之正法作

　　丁壬弧正丁辛余丁癸戊丙

　　弧正丙壬【即癸己】余丙子又作丙丁线为较弧之通成丙己丁直角形次以丁壬弧正【丁辛巳子同】减戊丙弧余【丙子】得丙己为股丁壬弧余【丁癸】减戊丙弧正【癸己】得丁己为句句股求得丙丁邉半于庚得丙庚或庚丁为丙丁半弧丙乙之正

　　巳上俱系厯书原法

　　表法五　有一弧之正求倍本弧之矢因得余解曰设戊乙弧其正乙丁戊丙为戊乙弧之倍其正丙己正矢戊己丙戊为倍弧通半于辛其辛戊与乙

　　丁等法用戊丙己戊辛甲两直角

　　相似形【二形同用戊角故相似】甲戊与戊辛

　　若丙戊与戊己倍弧矢夫四率之

　　理二三相乗之矩内形与一四相

　　乗之矩等则丙戊乗辛戊即甲戊乗戊己而丙戊乗辛戊所得矩形为辛戊上方形之倍【戊辛自乗得辛庚方倍之为丙庚矩即丙戊与戊庚相乗之幂也戊庚即戊辛】而全数【甲戊也】又省一除故以乙丁正【即辛戊】自乗倍之退位即得戊己倍弧矢用减半径得倍弧余己甲若反之以戊己矢折半进位开方即得半本弧之正【丁乙】　此孔林宗术勿庵称为正简法余作此图以着其理

　　表法六　任设不齐之两弧求两弧相并之正及相较之正

　　解曰寅巳未圏甲为心寅巳为一象限设寅已弧内有己辛弧若干度为前弧又有己戊弧小于己辛为后弧戊子为后弧正子甲其余午辛为前弧正午甲

　　其余次取辛丑弧与己戊后

　　弧等则己戊丑为前后两弧之

　　并弧丑亥即并弧之正次作

　　丑壬线为丑辛弧正与戊子

　　等其余壬甲亦与子甲等辛壬亦与子巳等法用甲午辛甲壬丁二相似形以后弧之余壬甲因前弧之正辛午全数【甲辛】除之得壬丁为初数【卯亥等】寄位　次用甲辛午丑壬卯二相似形【甲辛午形之辛角与丑乙辛角等因丑壬乙为直角其丑壬卯角亦与丑乙壬角等则亦与甲辛午角等又二形之卯午俱为直角则两形相似】甲辛与甲午若丑壬与丑卯则以前弧之余甲午因后弧之

　　正丑壬全数【辛甲】除之得丑

　　卯为次数末以五卯与初数

　　卯亥相并得丑亥为已戊丑

　　两弧相并之正　若求两

　　弧相较之正法以后弧丑壬正引长之抵圈界于癸则丑癸为丑辛癸弧之通因壬防为直角其癸壬与丑壬必等因得丑辛癸辛两弧亦等夫丑辛弧原与戊巳后弧等则辛癸与戊己弧亦等即以辛癸减辛己前弧得癸己为两弧之较癸庚即较弧之正癸酉其余法用丑辰癸形此形内之癸申壬丑卯壬二直角形相等【丑癸辰句股形丑癸既平分于壬则从壬作壬卯壬申二垂线亦必平分丑辰句于卯癸辰股于申而癸申壬丑卯壬两形必等】因得壬申即丑卯次数【壬申等卯辰卯辰即丑卯】用以减初数壬丁存申丁即癸庚也为较弧癸巳之正亦与戊辛弧正等

　　若两弧相并在象限外如次图巳寅丑弧理亦同【钤记同前】有不齐之两弧求相并相较弧正又法

　　法曰两弧【小甲丙大甲戊】相并曰总弧【甲癸】相减曰多弧【戊丙】置大小两弧以大弧正【戊辛】因小弧较【子庚】曰先数【庚乙】以大弧较【辛庚】因小弧正【庚午】曰后数【午未】　视两弧在象限内者以后数【亥壬】减先数【亥丙也以午亥丙形与庚乙子形等故】为多弧正【壬丙】以后数卯丑加先数【丑已以庚巳丑形与庚乙子形等故】为总弧正【卯巳也以卯午巳形与庚酉癸形等故卯己即酉癸】若两弧过象限者加减各异

　　又或置大小两弧【同上】以

　　大弧正【戊辛】因小弧正

　　午庚曰先数【庚未】以大

　　弧较【庚辛】因小弧较

　　【庚子】曰后数【子乙】　视两弧在象限下以后数【午亥】加先数得多弧较【壬庚】以后数【庚丑】减先数【庚未】得总弧较【丑未即午卯亦即庚酉】若两弧象限内外不等加减亦异

　　此法详三角会编五卷梅勿庵先生环中黍尺亦着其法然彼所论者弧三角形此则平圆中求正也

　　表法七　圆内有五通错互成四不等边形求不知一弧之通

　　解曰甲为圆心戊庚为圆径戊丙丙丁丁庚俱为通成戊庚丁丙四不等形丁戊丙庚为对角线法丁戊偕丙庚相乗之矩形内减丁庚偕丙戊相乗之矩形余为戊庚与丙丁相乗之矩形葢丁庚丙戊相乗之矩与戊庚丁丙相乗之矩并与丁戊丙庚两对角线相乗之矩

　　等也若有丙戊丁庚戊庚丙

　　庚丁戊五通用此可得丙

　　丁弧之通

　　论曰庚戊丁形与庚丙丁形

　　其戊丙两角等【同乗丁庚弧故】若以

　　丙丁引至己作庚己丙直角形则庚戊丁庚己丙两直角形相似庚戊与戊丁若庚丙与丙己夫四率之理二三相乗矩形与一四相乗之矩等则庚丙与丁戊相乗所得即庚丙与丙己相乗之己壬矩也【取己癸与庚戊径等】次作丁辛线与己癸平行割圈于子其子庚弧与丙戊弧等何则戊丁庚为直角丙丁子亦为直角同用戊丁子角【子戊弧】则丙丁戊庚丁子两角必等其所乗之丙戊庚子两弧亦等矣因得庚子边即丙戊通又庚子丁角与庚戊丁角等【同乗丁庚弧故】于庚作庚乙垂线与己丙平行成子庚乙直角形与庚戊丁直角形相似戊庚与庚丁若子庚与庚乙依四率之理庚子【即丙戊】与丁庚相乗所得即庚戊与庚乙相乗之己辛矩也【丁辛即庚戊己丁即庚乙】用以减己壬矩形余丁壬矩形乃庚戊与丁丙相乗之幂故以庚戊除之得丁丙为丁丙弧之通

　　若戊丙丁庚非半圈【或大或小不论】则庚

　　戊为戊丙庚弧之通理亦同但

　　己壬为斜方形如上图戊丁庚为

　　小半圈成己壬斜方其庚乙线不

　　与丁己平行法作己庚乙角令与

　　丁己庚角等则腰间相对丁乙二角亦等因得庚乙丁己为等边而庚乙子钝角为丁乙庚之余与丁己庚角自等亦即与圆内戊丁庚角等而庚乙子庚戊丁为相似形庚乙即丁己

　　此上古多罗某法诸书未有能言其故者得余此图庶不昧古人精意　已上二法系余所增

　　用上七法交互推求可得象限内各度之正细推之又可每隔十五分【四分度之一】得一正十五分以下用中比例法以十五分正为实十五为法而一得一分之正逓加之得每度内各分之正立割圆表又此正算一象限巳足以适满一直角故也

　　求切线角线矢线

　　割圆正而外又有切割矢三线并正为四线合其余为八线葢以八线凖一弧弧之曲度得其真矣切线止切圈以一防全在圏外割线从圈心过规半在内半在外正与矢全在圈内如图甲为圈心庚丁为象限庚甲丁甲俱半径设有庚乙正弧即戊乙为正乙辛【戊甲同】为余次于圏外作庚己线与戊乙平行切圈于庚又从甲心过所截弧乙防作甲己线与庚己交于己成甲己庚直角形此己庚为乙庚弧正切线己甲其正割线也而甲己庚直角形与圆内戊甲乙形相似甲戊与戊乙若甲庚与庚己故以余除正半径因之得本弧正切又戊甲与甲乙若庚甲与甲己故以余除半径全数因之得本弧正割以戊甲余减甲庚半径得庚戊本正矢此皆庚乙弧相当之线也夫庚乙既为正弧则乙丁为余弧作乙辛线为余弧之作丙丁线切圏于丙为余弧之切甲乙引出之遇于丙甲丙为余弧之割成甲丙丁直角形与圆内甲乙辛形相似甲

　　辛与辛乙若甲丁与丁丙得

　　余切甲辛与甲乙若甲丁与

　　甲丙得余割乙戊【即甲辛】正

　　减甲丁半径得辛丁余矢此

　　又丁乙余弧相当之线也一正一余共有八线若或以丁乙为正弧即庚乙反为余弧其八线正余之名亦互易葢此为正彼自为余耳

　　论曰庚乙正弧之各线为甲庚己甲戊乙两句股形所成乙丁余弧之各线为甲丁丙甲辛乙两句股形所成而甲庚己形与甲丁丙形相似【一为顺句股一为倒句股】又圆内之乙甲辛甲戊乙二句股形俱自相似亦与甲丁丙甲庚己二形相似是庚乙弧相当之线成相似之直角形四设算可以用正亦可以用余是一弧而能兼用八线此八线表所由名也

　　按表中不列矢线者以矢线用正余减半径即得且不常用故省之　又按割圆之难全在求正若切割线俱以比例得之

　　附求割线省法【用加减算】

　　如乙己弧为二十度其切线乙戊求割线甲戊法先以余己丙七十度半于丁得丁己三十五度丁丙等次

　　以戊乙切线引长之令与戊甲

　　等作甲戊辛两腰等三角形而

　　乙庚弧必与丁丙等即查乙庚

　　弧之切乙辛并乙戊得戊辛即甲戊割也

　　解曰乙庚弧何以与丁己弧等葢甲辛戊既为两腰等三角形则甲角之己庚弧必为丙己余弧【己壬也】之半壬庚与己庚等而庚防居己壬弧之中夫丙己与己壬并等两直角则己庚弧之不满直角者必为丙己之半今丙己既半于丁则以丁己益己庚丁甲庚必为直角而乙甲丙亦直角也共用乙甲丁角【或丁乙弧】则丙己与乙庚等

　　求矢线　余减半径得正矢正减半径得余矢求切线　余除正半径因之得正切正除余半径因之得余切

　　求割线　余除半径半径因之得正割正除半径半径因之得余割

　　按圆内矢二线当正弧初度则无九十度极大即半径圈外切割二线切线当正弧初度亦无割线即半径至九十度俱极大且切与割平行不能相遇名曰无穷之度然至此亦无切割之可言矣惟将近九十度防有极大之切割线

　　定八线正余之界

　　庚戊丙半圆甲为心戊丙为象限设丙乙正弧在九十度内则乙壬为正壬丙为正矢甲丁为正割丙丁为

　　正切其戊乙余弧乙己为余己

　　戊为余矢甲辛为余割戊辛为余

　　切若设庚戊乙为正弧在九十度

　　外亦以乙壬为正丁丙为正切

　　甲丁为正割壬丙为正矢而庚壬亦为正矢又名大矢其余弧仍用戊乙【非乙丙】在庚戊象限之外乙己为余戊己为余矢戊辛为余切甲辛为余割葢乙壬正为丙乙庚乙两弧共用故总以戊乙为余弧也凡算三角形取用正余诸线以此为凖

　　厯算全书卷五十五

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　歴算全书卷五十六

　　宣城梅文鼎撰

　　方圆幂积一卷

　　方圆幂积说

　　歴书周径率至二十位然其入算仍用古率【十一与十四之比例本祖冲之径七周二十二之宻率】岂非以乗除之际难用多位欤今以表列之取数殊易乃为之约法则径与周之比例即方圆二幂之比例【径一则方周四圆周三一四一五九二六五而径上方幂与员幂亦若四与三一四一五九二六五尾数八位并以表为用】亦即为立方立圆之比例【同径之立方与圆柱若四与二一四有竒则同径之立方与立员若六与三一四有竒】殊为简易直截癸未歳匡山隠者毛心易干干偕其壻中州谢野臣惠访山居共论周径之理因反覆推论方员相容相变诸率庚寅在吴门又得锡山友人杨昆生定三方员订注圗说益觉精明甚矣学问贵相长也

　　方圎相容

　　新法厯书曰割圆亦属古法盖人用圭表等测天天圎而圭表直与圎为异类讵能合欤此所以有割圎之法也新法名为八线表云

　　又云径一围三絶非相凖之率然径七围二十二则盈径五十围百五十七则朒或详绎之则径一万围三万一四五九虽亦小有竒零不尽然用之颇为相近今算得平方与同径之平圆其比例若四○○与三一四五九平方内容平员平员内复容平方则内方与外方内员与外员之幂皆加倍之比例

　　假如戊己庚辛平方内容甲乙丙丁

　　员员内又容甲乙丙丁小平方小方

　　内又容壬丑癸子小平员如此逓互

　　相容则其幂积皆如二与一也

　　假外大平方【戊己庚辛】之积一百则内小平方之积【甲丁乙丙】必五十平员亦然

　　若求其径则成方斜之比例大径如斜小径如方假如内小平方积一百以甲丁或丙乙为径【甲丙或丁乙并同】开方求一百之根得径一十其外大平方积二百以甲乙或丁丙为径【或用戊庚或己辛或己戊或辛庚为径并同】开方求二百之根得径一十四一四有竒

　　甲乙为甲丁方之斜故斜径自乗之幂与其方幂若二与一而其径与斜径若一十与一十四【一四竒】也折半则为五与七【○七竒】故曰方五则斜七有竒也

　　三邉形内容平员平员内又容三邉则其幂之比例为

　　四与一甲乙丙三邉形内容丁戊己

　　平员平员内又容丁戊己小三邉则

　　内小三邉形为外大三邉形四之一

　　内外两平员之幂其比例亦为四与一

　　若有多层皆以此比例逓加

　　浑员内容立方立方内又容浑员如此逓互相容则外员径上幂与内员径上幂为三倍之比例外立方与内立方之径幂亦然丙庚丁浑员内容丙甲丁乙立方丙戊及戊甲皆立方边【丙辛及甲辛并同丙乙及甲丁等亦同】丙戊甲辛为立方面【余六面并同】丙甲【为方面斜线】丙丁【为立方体内对角线】即浑员径【乙甲同其辛壬及己戊皆亦对角若作线亦同】丙乙及甲丁等又皆为立楞【戊壬及辛己同】解曰立方面上斜径之幂为方幂之倍【句股法也

　　斜为方为句又为股并句股实成实故倍方幂即成斜径之幂】又以斜径

　　为股立方之立楞为句求得立方体内両对

　　角之斜径为此实内有股实【即面上斜径之幂为

　　方幂者二】有句实【即立楞之幂立楞原即方邉故其幂即立方面幂】共得方

　　幂三而此丙对角斜径即浑员之径内小员径又在立方体内即以方径为径其径之幂即立方面也故曰三倍比例也立方内又容立员则内员径即立方之径

　　若求其径则外径大于内径若一十七有竒与一十内径之幂百开方得一十为径则外径之幂三百开方得一十七【又三十五之一十一】为径若有几层互容皆以此比例逓加卽得若求其体积则为五倍有竒之比例【若有多层亦以此比例逓加】假如内容立方积一千则外大立方积五千一百九十四有竒解曰立积一千则其径幂一百而外大立积之径幂三百又以径一十七【又三十五之一十一】乗之得五千一百九十四【又七之二】　此言大方积又在圗上浑员之外

　　积之比例

　　立方同径之立员其比例为六○○与三一四

　　立方同径之员柱其比例为四○○与三一四

　　员柱与同径之立员其比例为三与二

　　方圎周径相求

　　同积较径　为方变员员变方之用

　　凡方圎同积则员径大方径小其比例若一一二八三七九与一○○○○○○

　　解曰员径一一二八三七九则方径一○○○○○○也法曰有员径求其同积之方径当以一○○○○○○乗以一一二八三七九除

　　有方径求其同积之员径当以一一二八三七九乗以一○○○○○○除

　　凡方员同积则员径上平方与方径上平方其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五解曰员径自乗四○○○○○○○○则方径自乗三一四一五九二六五

　　法曰有员径求其同积之方径当以三一四一五九二六五乗之四○○○○○○○○除之得数平方开之得方径

　　有方径求其同积之员径当以四○○○○○○○○乗三一四一五九二六五除得数平方开之得员径凡方员同积则员径与方径若一○○○○○○与○八八六二二六

　　解曰员径一○○○○○○则方径八八六二二六也法曰有员径求同积之方径以八八六二二六乗员径一○○○○○○除之即得方径

　　有方径求同积之员径以一○○○○○○乗方径八八六二二六除之即得员径

　　约法

　　以一一二八二七九乗方径去末六位得同积之员径以○八八六二二六乗员径去末六位得同积之方径同积较周

　　凡方员同积则员周小方周大其比例若一○○○○○○与一一二八三七九亦若八八六二二六与一○○○○○○

　　解曰员周一○○○○○○则方周一一二八三七九也

　　方周一○○○○○○则员周八八六二二六也约法

　　以一一二八三七九乗员周去末六位得同积之方周以○八八六二二六乗方周去末六位得同积之员周凡方员同积则其径与径周与周为互相视之比例解曰方周与员周之比例若员径与方径也

　　论曰凡同积之周方大而员小同积之径则又方小而员大所以能互相为比例

　　约法

　　以方周乗方径为实员周除之得员径若以员径除实亦得员周

　　以员周乗员径为实方周除之得方径若以方径除实亦得方周　皆用异乗同除例如左

　　一　员周一○○○○○○　　一　方周一○○○○○○二　方周一一二八三七九　　二　员周○八八六二二六三　方径○二八二○九四【七五】　三　员径○二八二○九四【七五】四　员径○三一八三○九【八八】　四　方径○二五○○○○积七九五七七【四四八　　　○○○○○○】　　积六二五○○○○○○○○

　　一　员径一○○○○○○　　　一　方径一○○○○○○二　方径○八八六二二六　　　二　员径一一二八三七九三　方周三五四四九○四　　　三　员周三五四四九○四四　员周三一四一五九二　　　四　方周四○○○○○○积七八五三九【八一六　　　○○○○○○】　　积一○○○○○○○○○○○○

　　第四率并与一率乗得四倍积四除之得本积

　　论曰以上皆方员周径互相求乃同积之比例方员交变用之即比例规变面线之理

　　同径较积较周　即方内容员员外切方

　　凡方员同径则方积大员积小周亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五

　　方径一○○○○周四○○○○　积一○○○○○○○○员径一○○○○周三一四一五竒积○七八五三九八一六方径二○○○○周四○○○○　积四○○○○○○○○员径二○○○○周六二八三一竒积三一四一五九二六五凡径倍者周亦倍而其积为倍数之自乗亦谓之再加比例授时厯谓之平差

　　径二倍周亦二倍而其积则四倍径三倍周亦三倍而其积九倍乃至径十倍周亦十倍而积百倍径百倍周亦百倍而积万倍皆所加倍数之自乗数亦若平方谓之再加也

　　同周较积较径

　　凡方员同周则员积大方积小径亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五

　　方周一○○○○○○径○二五○○○○积六二五○○○○○○○○员周一○○○○○○径○三一八三○九八八积七九五七七四七○○○○方周四○○○○○○径一○○○○○○积一○○○○○○○○○○○○员周四○○○○○○径一二七三二三九五四积一二七三二三九五四○○○○论曰周四则径与积同数但其位皆陞皆视周数之位今用百万为周则积陞六位成万亿矣故虽同而实不同不惟不同而且悬絶定位之法所以当明也

　　问位既大陞而数不变何耶曰周径相乗得积之四倍于是四除其积即得所求平积此平幂之公法也兹方员之周既为四则以乗其径而复四除之即还本数矣惟周数之四或十或百或千万亿无定而除法之四定为单数故无改数而有进位也

　　又论曰周四倍之径与周一之径为四倍其积则十六倍所谓再加之比例

　　浑圎内容立方径一万寸求圎径　法以方斜一万四千一百四十二寸为股自乗得二亿为股实以方径一万寸为句自乗得一亿为勾实并勾股实为三亿为实开方得一万七千三百二十○半寸命为浑圎之径

　　又以浑圎径求围得五万四千四百十四寸弱　周径相乗得九亿四千二百四十七万六九九四寸为浑幂以四除浑幂得二亿三千五百六十一万九千二百四十八寸竒为大平圎幂即立方一万寸外切浑圎之腰围平幂也

　　圎柱积四万○千八百十○亿四三一八四九八四寸以浑圎径乗平圎幂得之

　　倍圎柱积以三除之得浑圎积二万七千二百○六九五四五六六五六寸

　　约法　立方径一千尺其积一十尺　外切之浑圎径一十七尺三二○五　浑圎积二千七百二十○尺六九五四　约为二千七百二十一尺弱

　　试再用径上立方求浑圎积法【即立方内求所容浑圎】以浑圎径自乗再乗得浑圎径上立方以圎率【三一四竒】乗之得数六除之得浑积并同

　　立方与员柱若四○○与三一四竒【同径之员柱也】

　　立方为六方角所成员柱为六员角所成其所容角体并六而方与员异故其比例如同径之周　此条为积之比例

　　员周上自乗之方与浑员面幂若三一四竒与一○○浑员面幂与员径上平方形亦若三一四竒与一○○皆员周与径之比例

　　浑员面幂与员径上平员若四与一

　　员柱面幂与员径上平员若六与一【六员角之底皆外向合成此数】平员并为一而员柱幂为其六倍浑员幂为其四倍浑员为员柱三之二即此可徴积之比例如其面也以上四条并面幂之比例浑员体与员角体若四与一浑员面既为平员之四倍从面至心皆成角体故体之比例亦四倍

　　立方面与径上平方若六与一【六面故也】

　　立方体与浑员体若六○○与三一四竒

　　浑员面与径上平方既若三一四竒与一○○而立方面与径上平方若六与一平方同为一○○而立方面为其六倍浑员面为其三倍一四竒故立方之面与浑员之面亦若六○○与三一四竒也而体之比例同面故亦为六○○与三一四竒

　　立员得员柱三之二

　　论曰凡员柱之面及底皆立员径

　　上平员也旁周似员筩亦如截竹

　　周围并以员径为髙即员径乗员

　　周幂也为径上平员之四倍与浑

　　员面幂同积【半径乗半周得平员则全径乗全周必平员之四倍】合面与底共得平员之六倍而浑员面幂原系平员之四倍是员柱幂六而浑员幂四也而体积之比例凖此可知亦必为三之二矣【三之二即六之四之半】

　　问体积之比例何以得如面幂曰试于员柱心作员角

　　体至面至底成员角体二皆以半

　　径为髙平员为底其余则外如截

　　竹而内则上下并成虚员角于是

　　纵剖其一邉而令员筩伸直以其

　　幂为底以半径为髙成长方锥【底濶

　　如全径直如员周髙如半径锥只一防】此体即同四

　　员角【或纵剖为四方锥亦同皆以周四分之一为底濶以全径

　　为底长以半径为髙其体并同员角何也以周四之一乗全径与半

　　径乗半周同故方底同员底而其髙又同则方角同员角】合面

　　底二员用共六员角矣而浑员体

　　原同四员角【浑员面为底半径为髙作员锥即同四员

　　角】是员柱浑员二体之比例亦三

　　与二也

　　员角体得员柱三之一　凡角体并同

　　凖前论员柱有六员角试从中腰平截为两则有三员角而员筩体原当四员角今截其半仍为二员角或面或底原系一员角合之成三员角以为一扁员柱然则员角非员柱三之一乎

　　若立方形各从方楞切至心则成六方角【皆以方面为底半径为髙】从半径平切之为扁立方则四周之四方角皆得一半成两方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成一扁立方而方角体亦三之一矣

　　浑员体分为四则所分角体各所乗之浑幂皆与员径上平员幂等

　　甲戊丙丁浑员体　从丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半径各自其浑幂透至乙心而以半径旋行而割切之则成上下两员角体一甲卯辰丑乙【以甲丑卯辰割浑员之面为底乙为其锐此割员曲径自丑而甲而辰居员周三之一】一丙癸寅子乙【以子丙寅癸浑员之割面为底乙为其锐此割员曲径亦

　　三之一如三百六十之一百二十】此上下两角体

　　相等皆居全浑体四之一中腰成

　　鼓形而上下两面并穵空各成虚

　　员角【其外则周遭皆凸面如丑戊子及辰丁癸之割员状此割

　　员曲径自辰而丁而癸居员周六之一为三百六十之六十】

　　此鼓形体倍大于上下两角体居浑员全体之半若从戊乙丁腰横截之为二则一如仰盂一如覆碗而其体亦浑员四之一也

　　如此四分浑体而其割员之面幂即各与员径上之平员幂等故曰浑员面幂与径上平员若四与一也问何以知中腰鼓体能倍大于上下两角体曰试于子丙乙癸角体从子寅癸横切之则成子未癸午小员面

　　为所切乙子寅癸小员角体之底

　　乃子寅小半径乗子未癸小半周

　　所成也然则以子寅小半径乗子

　　未癸小半周又以乙寅半半径为

　　髙乗之而取其三之一即小角体矣

　　试又于中腰鼓体从丑子及卯寅

　　及辰癸诸立线周遭直切之脱去

　　其外鼓凸形即成员柱体之外周

　　截竹形又从酉乙申横切之为两

　　【一仰盂一覆碗】则此覆碗体举一式为例

　　可直切断而伸之亦可成方角体

　　此体以乙寅半半径乗子未癸午

　　小员全周为底【其形长方】又以小半径

　　子寅【子寅即乙申】为髙而乗之取三之

　　一为长方角体此长方角体必倍

　　大于小员角体何也两法并以小

　　半径及半半径两次连乗取三之

　　一成角体而所乗者一为小员全

　　周一为小员半周故倍大无疑

　　也

　　又丙癸寅子亦可成角体与乙子

　　寅癸等覆碗体既倍大则兼此两

　　角体矣

　　凖此而论仰盂体必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑两角体亦无疑也

　　又角体内既切去一小角体又穵

　　去一相同之小角体则所余者为

　　丙癸寅子员底仰盂体

　　鼓体内既穵去如截竹之体则所

　　余者为内平【如丑子及辰癸】外凸【如子戊丑及辰

　　丁癸】之空圈体而此体必倍大于员

　　底仰盂体何以知之盖两体并以

　　半径为平面【丑子与癸丙并同】并以员周

　　六之一为凸面而腰鼓之平面以

　　半径循员周行员底仰盂之平面则以半径自心旋转周行者两头全用旋转者在心之一头不动而只用一头则只得其半矣故决其为倍大也

　　凖此而甲丑卯辰亦为穵空之员覆碗体而只得鼓体之半矣由是言之则上下角体各得中腰鼓体之半而鼓体倍大于角形浑体平分为四夫复何疑

　　曰浑体四分如此真无纎芥之疑体既均分为四则其浑体外幂亦匀分为四亦无可复疑但何以知此所分四分之一必与径上平员相等耶曰此易明也凡割浑员一分而求其幂法皆从其所切平面员心作立线至凸面心而以其髙为股员面心至邉之半径为勾勾股求其斜用为半径以作平员即与所割圎体之凸面等幂假如前圗所论上下两角体从丑夘辰横线切之则以甲夘为股夘丑为句求得甲丑与半径同以作平员与丑夘辰甲凸面等然则此角体之凸面岂不与径上平员等幂乎

　　甲亢半径与甲丑同以作丑

　　亢平员与甲丑夘辰凸面等

　　幂

　　试又作甲戊线为半径之斜线【甲乙与戊乙皆半径为句为股故也】以为半径而作平员必倍大于半径所作之平员而浑员半幂与之等则浑员半幂不又为平员之倍乎

　　【如图甲丑为半径作乙庚房平员与丙戊甲平员等亦与甲辰夘丑

　　割员凸面等为浑幂四之一也】

　　【甲戊为半径作戊心亥平员与甲丁乙戊半浑幂等而倍大于乙庚

　　房亦倍大于丙戊甲平员则平员居浑幂四之一】

　　如是宛转相求无不脗合则平员为浑员幂四之一信矣取浑幂四之一法

　　当以半径为通以一端抵圎径之端为心旋而防之则所割浑幂为四之一而其浑幂与圎径上平员幂等

　　甲辰【即丁乙】之自幂一百辰夘之自

　　乗幂【七十五】如四与三则辰丑通

　　为径以作平员亦丁戊全径上平

　　员四分之三也大小两平员各为

　　底以半径为髙而作员角体其比

　　例亦四与三也

　　今浑员径上平员【即下戊径上平员】所作之员角体既为浑积四之一则辰丑通径所作之员角体即浑体十六之三矣【即甲丑夘辰角体及乙丑夘辰角体之合】若以丑辰通上平员为底半半径为髙而作角体即浑体三十二之三

　　分浑体为四又法

　　甲乙丙浑员体　从员周分为三【一丑甲辰一辰癸丙一丙子丑各得周三之一】又从辰从丙从丑依各半径【辰乙丙乙丑乙皆是】至乙心旋而

　　切之则成三角体者三各得浑体

　　四之一【一辰甲丑乙一丑子丙乙一丙癸辰乙说见前】则

　　其所余亦浑体四之一也【此余形有三平

　　员面以辰丑丑丙辰丙为员径而并穵空至乙心如员锥之幂有两】

　　【凸面以辰丑丑丙辰丙之员周为界以乙为顶皆弧三角形三角并锐】两凸面各得浑员幂八之一按辰丑即一百二十度通也凖前论以此通为圎径作平员为底半半径为髙而成员角体此员角体积即为浑员体积三十二分之三【即先所论员角体八之三】

　　若依此切浑员体成半平半凸之体其积为浑积三十二之五【即员角体八之五】

　　环堵形面幂　锥形面幂

　　有正方正员面欲于周作立围之堵墙而幂积与之倍法于方面取半径为髙即得

　　甲乙丙平方于其周作立起之

　　方围形如环堵取平方乙丙半

　　径为髙则方围面幂倍大于平方

　　论曰从平方心乙对角分平方为四成四三角形并以方根为底半径为髙于是以此四三角形立起令乙锐上指则皆以乙丙半径为髙而各面皆半幂故求平方以半径乗周得幂也然则依方周作方墙而以半径为髙岂不倍大于平方幂乎

　　凖此论之凡六等邉八等邉以至六十四等邉虽至多邉之面而从其各周作墙各以其半径为髙则其幂皆倍于各平幂矣然则平员者多邉之极也若于其周作立圈如环而以其半径为髙则环形幂积亦必倍大于平员有方锥员锥于其周作围墙而幂积与之倍

　　法于锥形之各斜面取其至锐之中线【如乙丙】以为环墙之髙即得

　　方墙如环堵底用方周髙如乙

　　丙即斜面自锐至底之斜立中

　　线

　　解曰此以锥体之斜面较幂也

　　论曰凡方锥皆有棱两棱交于锐各成三角面而斜立从此斜立之三角面自锐至根濶处平分之得中线【乙丙】于是自棱剖之成四三角面而植之则中线直指天顶而各面皆圭形为半幂故凡锥体亦可以中线乗半周得幂也然则于底周作方墙而以中线为髙四面补成全幂岂不倍大乎

　　凖此论之凡五棱六棱以上至多棱多面之锥体尽然矣而员锥者多棱多面之极也则以其斜立线为髙而自其根作员环则其员环之幂亦必倍大于员锥之幂前条所论切浑员之算得此益明盖员仰盂员覆碗及穵空之鼓形其体皆一凸面一平面相合而成其凸面弧径皆割浑员圈六之一其平面之濶皆半径然而不同者其内面穵空之平幂一为锥形【仰盂覆碗之内空如笠】一为环形也【鼓体之内空如截竹】准前论穵空之环幂必倍大于锥形之幂则其所负之割浑员体亦必环形所负倍大于锥形而穵空之鼓体必能兼员覆碗员仰盂之二体

　　撱圎算法【订厯书之误】

　　偶查撱圎求体法见其截小分之法有误今以数考之假如撱圎形长径为一千四百尺短径七百尺大分截长径一千○五十尺

　　甲己三百五十戊乙七百相并得

　　一千○五十　以此乗

　　己乙一千○五十尺　以此除

　　两数相同

　　右依厯书先求得庚壬甲圎角形为苐三率再用截大分轴己乙为法为苐一率以截小分轴甲己并戊乙半长径为苐二率求得小分之容与圎角形等夫小分之容形外为弧线圎角之容形外为直线小分必大于圎角而今等是不合也况自此而截小分渐小则乙己大分轴反大于甲己小轴及戊乙并之数而求小分之容反将更小于圎角矣有是理哉【小分渐小如辛癸甲则其甲己小于己戊而己乙者己戊与戊乙并也则其数亦大于甲己与戊乙并矣】

　　又如截大分长七百二十分己乙

　　为其轴甲己为其小分轴六百八

　　十分

　　依厯书法甲己小分轴【六百八十】为一率甲乙长径【一千四百】并戊乙短径【七百】共【二十一百】为二率求到庚壬乙圎角体为三率则所得四率为大分之容者比圎角容大三倍有竒亦恐无是理也何也圎角在圎柱形为三分之一而撱形必小于柱形不宜有三倍之比例也【虽壬庚畧小于丙丁在中腰相近可以不论】今试求之【用苐一圗】依勿庵改法

　　假如截己乙大分轴一千○五十尺求庚己壬平圎面法先求庚己　依勿庵补法以己戊【三百五十尺】自乗【一十二万二千五百尺】与甲戊【七百尺】自乗【四十九万尺】相减余【三十六万七千五百尺】开方得己庚相当之原数　再以丙戊【三百五十尺】乗之甲戊【七百尺】除之为己庚实数倍之为庚壬线

　　再以壬庚线上方变为平员今用简法【因长径甲乙与短径丙丁原是折半之比例故也】竟以减余【三十六万七千五百尺】命为庚壬线上方以十一乗之得【四百○四万二千五百尺】又以十四除之得【二十八万八千七百五十尺】为庚壬线上所截撱体之平圎面

　　法以平圎面各乗其【大分小分】之轴【一千○五十尺三百五十尺】皆成圎柱形乃三除之为【大小】分内所容之【大小】圎角形

　　再以长径【一千四百尺】乗大圎角为实小轴【三百五十尺】除之为所截撱形之大分

　　以长径【一千四百尺】乗小圎角为实大轴【一千○五十尺】除之为所截撱形之小分

　　今用简法　置平圎面三除之得【九万六千二百五十尺】以小分轴【三百五十】乗之得庚甲壬小圎角形【三千三百六十八万七千五百尺】置小圎角四因三除之得【四千四百九十一万六千六百六十六又三之二】为所截小圎分

　　又置圎面三除之积【九六二五○】以大分轴【一千○五十尺】乗之得庚子乙大圎角形【一亿○一百○六万二千五百尺】

　　置圎角形【一○一○六二五○○】用四因之得【四亿○四百二十五万尺】为所截大圎分

　　小圎分大圎分两形并之【共四亿四千九百一十六万六六六六】为撱形全积

　　另求撱形全积

　　置短径【七百】自乗得【四十九万】以长径【一千四百】乗之得【六亿八千六百万】以十一因之二十一除之得【三亿五千九百三十三万三三三】为真撱圎全积

　　以真撱圎积与两截形并相较其差为九十分之一而弱

　　若用厯书法　求得截小分【二千三百六十八万七千五百尺】与小圎角同

　　截大分【六亿○六百三十七万五千】为大圎角之六倍

　　相并得【六亿四千○○六万二千五百尺】为撱圎全积　与撱圎真积相较其差更甚

　　如是辗转推求则知撱体大截分不可算今别立法凡撱体皆先如法求其全积再如法求其小分截积以小分截积减全积余为大分截积此法无可存

　　厯算全书卷五十六

　　几何补编自序

　　天学初函内有几何原本六卷止于测面其七卷以后未经译出葢利氏既歾徐李云亡遂无有任此者耳然厯书中往往有杂引之处读者或未之详也壬申春月偶见馆童屈为灯诧其为有法之形【其制以六圈成一灯每圈匀为六折并周天六十度之通故知其为有法之形而可以求其比例然测量诸书皆未言及】乃覆取测量全义量体诸率实攷其作法根源【法皆自楞剖至心即皆成锥体以求其分积则总积可知】以补原书之未备而原书二十等面体之算向固疑其有误者今乃徴其实数【测量全义设二十等面体之边一百则其容积五十二万三八○九今以法求之得容积二百一十八万一八二八相差四倍】又几何原本理分中末线亦得其用法【几何原本理分中末线但有求作之法而莫知所用今依法求得十二等面及二十等面之体积因得其各体中棱线及辏心对角诸线之比例乂两体互相容及两体与立方立圆诸体相容各比例并以理分中末线为法乃知此线原非徒设】则西人之术固了不异人意也爰命之曰几何补编

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷五十七

　　宣城梅文鼎撰

　　防何补编卷一

　　四等面形算法

　　先算平三角形平三角形

　　三边同者求中得中长线

　　【乙甲】其三之一即内容平圆

　　半径【心甲】其三之二即外切

　　圆之半径【乙心或心丙】

　　又法以边半之【丙甲】自乘得数【丙庚方】取其三之一开方【甲壬小方】得容圆之半径【壬癸或甲癸俱与心甲等】又取自乘数【丙庚方】三分加一【丙庚方加壬甲小方】并而开方得外切圆之半径【丙心】

　　论曰三边角等则半边之角六十度【丙心甲角】其余角三十度【心丙甲角】内容圆半径为三十度之正【心甲】外切圆半径如全数【丙心】其比例为一与二故内容圆半径【心甲】正得外切圆半径【丙心】之半也【此论可解前一条】

　　形内丙心甲与乙心丁两小句股形相等又并与乙甲丙大句股形相似【何则乙角丙角并分原等角之半丁甲等为正角则三角皆等而边之比例等】而大形之句【丙甲】旣为其【乙丙】之半则小形之句【心丁亦即心甲】自必各为其【心乙亦即心丙】之半故知心甲【原同心丁】为乙甲之半也

　　心甲旣为心丙之半则心甲一心丙必二而丙戊必三矣【乙甲同】何也以乙心与丙心同为二心甲与心戊同为一也联心乙二与心甲一岂不成三

　　今以内圆半径为股【心甲】外圆半径为【心丙】三边之半为句【丙甲】成心甲丙句股形则心丙自乘内【幂】有心甲【股幂】及甲丙【句幂】两自乘之积也而心甲股与心丙旣为一与二之比例则心甲之幂一心丙之幂必四也以心甲股幂一减心丙幂四其余积三即丙甲句幂矣故心甲之幂一则丙甲之幂三心丙之幂四今先得边故以丙甲三为主而取其三之一为心甲股幂又于丙甲三加三之一为四即成心丙幂也【此论可解后一条】

　　以上俱明三等边平面之比例

　　今作四面等体求其心

　　法自乙顶向子向甲剖切之成乙子甲三角面

　　心者面之心中者体之心

　　前图所谓心者面之心也今

　　所求者体之心即后图所谓

　　中也故必以剖而后见

　　次求甲丑线

　　乙子边平分于丑从丑向甲

　　得垂线此丑甲垂线在体中

　　必小于乙甲在外之垂线故

　　乙甲如丑甲如股乙丑如句也法以甲乙自乘内减乙丑句幂余为股幂开方得丑甲

　　又法凖前论乙丑之幂三【即丙甲皆半边故】则乙甲之幂九【乙甲三倍大于心甲故心甲幂一则乙甲幂九】以三减九余六亦即甲丑股幂矣以开方得甲丑

　　捷法倍原半边【甲丙】自乘数以开方得【甲乙】中垂线　或半原边【丙己】自乘之数开方亦得【甲丑】　丙甲之幂三【乙丑同】则甲丑之幂六而丙己之幂十二也【甲丑与丙己幂积之比例为一与二】次求心中线

　　捷法但半心甲自乘即心中幂

　　论曰心甲与心中犹甲丑与乙丑也甲丑幂与乙丑幂为六与三则心甲与心中之幂亦如二与一

　　又捷法心中之幂一心甲之幂二则乙丑之幂六【即丙甲】而心丙之幂八【亦即乙心】俱倍数

　　但以半边【乙丑或丙甲】之幂取六之一即心中幂开方得心中即四等面形内容小浑圆之半径也【心中线者即各面之心至体心也故为内容小浑圆半径】

　　以心中之幂一【句】加乙心之幂八【股】并之为幂九开方得中乙【或中子或用前总图则为甲丙为甲己并同】是即四等面形外切浑圆之半径也外切圆之幂九【中乙】内切圆之幂一【心中】得其根之比例为三与一故四等面形内容浑圆之径一则其外切浑圆之径三又捷法但以乙丑半边之幂加五【即二之一】为中乙【或中子等】幂开方得外切圆之半径【葢乙丑之幂六中乙之幂九其比例为一有半也】

　　此四边不等形【又为三角立锥形】为

　　四等面形四之一各自中切

　　至边线成此形其底三边等

　　即四等面形之一面其髙为中心即内容小浑圆之半径其中乙等三楞线三倍大于中心之髙即外切浑圆之半径

　　取四等面形全积捷法

　　先取面幂【即前图乙己丙平面依前比例求其幂】以内容圆半径【心中】乘之得数四因三归见积

　　法曰丙甲半边之幂三则甲乙中长之幂九开方得中长【乙甲】以乘丙甲得乙己丙三等边之幂积即四等面形之一面也

　　次求本积四之一【即各面辏心剖裂之形如右图】

　　丙申半边之幂六则中心之幂一开方得中心髙以乗所得面幂而三分取其一即为四等面形四之一于是四乗之即为全积也

　　又防法以丙甲乗心甲又以中心乗之即得本形四之一【即同三除以心甲为乙甲三之一故也】

　　此带纵小立方形与右图四等面形四之一等积

　　又防法以丙己全边【亦即丙乙】乗

　　乙心再以中心乗即得本形

　　全积【乙心为心甲之倍数丙己为丙甲之倍数用以】

　　【相乗则得丙甲乗心甲之四倍数也】

　　边设一百

　　依上法求容

　　丙己边一百其幂一万丙甲半边五

　　十其幂二千五百三因之得七千五百

　　为乙甲中垂之幂【丙甲股幂减丙己幂得句幂也丙己亦即丙乙】　平方开之得八十六【六○二五】为乙甲其三之一得二十八【八六七五】为心甲　其三之二得五十七【七三五○】为心乙　又置丙甲幂二千五百取六之一为心中幂得四百一十六六六不尽　开方得心中之髙二十零四一二四亦即内容浑圆之半径

　　依上法以丙己全边一百乘乙心五十七【七三五○】得五千七百七十三半　又以心中二十零【四一二四】乘之得全积一十一万七千八百五十一弱【与厯书微不同】

　　四等面体求心捷法

　　准前论心中幂一则心甲幂

　　二中乙幂九乙丑幂六以句

　　股法考之则中甲与中丑之幂俱三也

　　何也心中甲句股形以中甲为故心中句幂一心甲股幂二并之为中甲幂三也而乙中丑句股形以中丑为句故乙中幂九内减乙丑股幂六其余为中丑句幂亦三也

　　由是徴之则中丑与中甲正相等但如法求得甲丑线折半得中防即为体心

　　又捷法取乙丑幂【即原设边折半自乗】半之为中丑幂开方得中丑亦得甲中【或乙子全边自乘取八之一为甲中幂亦同】

　　中丑即原边乙子距体心之度甲中即原边丙己距体心之度而中为体心

　　想甲防在丙己边折半之处今从侧立观之则线化为防

　　而丙己与甲成一防故从丙

　　己原边依楞直剖至乙子对

　　边即成甲丑线其线即所剖

　　面之侧立形

　　此图即前图甲丑线所切之

　　面葢面侧视则成线矣

　　原设四等面全形今依子丑

　　乙楞剖至甲则成纵剖图故

　　甲防内有丙己线若依丙甲

　　己楞剖至丑则成横剖图故

　　丑防内有子乙也

　　纵剖有三依子乙楞剖至甲而平分丙己边于甲一也依丙乙楞剖而平分子巳边二也依己乙楞剖而平分子丙边三也

　　横剖亦三依丙己楞剖至丑而平分子乙边于丑一也依子丙边剖而平分乙己边二也依子巳楞边剖而平分丙乙边三也其所剖之面并相似皆以中防为三对角垂线相交之心

　　一率　一一七八五一　　　例容

　　二率　一○○○○○○　　例边之立方积

　　三率　一○○○○○○　　设容

　　四率　八四八五二九○　　设边之立方积

　　开方得根二百○四弱为公积一百万之四等面体楞与比例规解合

　　若商四数则其平廉积四十八万长廉积九千六百其隅积六十四共得四十八万九千六百六十四不足四千三百七十四为少百分之一弱故比例规解竟取整数也

　　计开

　　四等面诸数

　　边一百

　　积一十一万七八五一

　　积一百万

　　边二百○三九六

　　内容浑圆半径二十○【四一二四】

　　内容浑圆全径四十○【八二四八】

　　外切浑圆半径六十一【二一○○】

　　外切浑圆全径一百念二【四二○○】

　　互剖求心之图

　　设边一百其幂一万【丙己乙子乙丙

　　乙己子丙子己并同为外切浑圆径幂三之二】半边五十其幂二千五百【丙甲

　　甲己乙丑丑子等并同为边幂四之一】

　　斜垂线之幂七千五百【乙心甲子

　　角甲丙亢丑己氐丑并同为边幂四之三】

　　其根八十六六○二五

　　斜垂线三之一二十八八六

　　七五其幂八百三十三三三

　　【即外切浑圆径幂十八之一为边幂十二之一】即各

　　面内容平圆半径【心甲角甲亢丑氐丑并同】

　　斜垂线三之二五十七七三五○其幂三千三百三十三三三【乙心子角丙亢己氐并同】

　　内容浑圆半径二十○四一二四其幂四百一十六六六不尽【为边幂二十四之一即外切浑圆三十六之一】即分体中髙【心中角中亢中氐中并同】　若内圆全径之幂则一千六百六十六六六【为边幂六之一外切浑圆径幂九之一】

　　外切浑圆半径六十一二三七二其幂三千七百五十即分体之立面楞【乙中子中丙中己中并同】四因之为浑圆全径幂一万五千其径一百二十二四七四四

　　又外切正相容之立方其幂五千为四等面边幂之半即斜方之比例又为外切浑圆径幂三之一

　　一率　外切浑圆径一百二十二四七四四

　　二率　四等面之边一百

　　三率　浑圆径一百

　　四率　内容四等面边八十一六四九六

　　又捷法浑圆径幂一万五千则内容四等面边幂一万或内容立方面之斜亦同为浑圆径幂三之二

　　若设浑圆径一百其幂一万则内容四等面边之幂六千六百六十六六六亦三之二也

　　平方开之得八十一六四九六为四等面边即内容立方之斜内容立方面幂三千三百三十三三三为浑圆径幂三之一即方斜之半幂亦即四等面边幂之半平方开之得五十七七三五○是为浑圆径一百内容立方之边亦即浑圆内容立方立方又容小圆之径若于四等面内又容浑圆则其径幂一千一百一十一一一为浑圆径幂九之一为四等面幂六之一立方面幂三之一

　　开得平方根三十三三三不尽【幂九之一则其根必三之一也】为内容小浑圆之径以径乗幂得三万七千○三十七为径上立方积　以十一乗十四除得二万九千一百○○半为圆柱积　柱积取三之二得一万九千四百为小浑圆积得大浑圆二十七之一　以小浑圆积二十七因之得五十二万三千九百为四等面外切大浑圆积【即径一百之浑圆积也】

　　互剖求心法

　　凡四等面体任以一尖为顶则其垂线为自尖至相对之平面心【亦即平面容圆之心】而以余三尖为底其垂线至底之防旁距三尖皆等【即乙心丙心己心三线之距心皆等而以子尖为顶其垂线为子中心其底为乙丙己平三角面余仿此】此为正形【各尖皆可为顶其法并同】若以子中心垂线为轴而旋之则成圆角体

　　凡四等面体任平分一边而平分之防为顶以作垂线则其垂线自此防至对边之平分防而以对边为底底无面但有边底边与顶边相午直正如十字形假如以子乙边平分于丑以线缀而悬之则其垂线至所对丙己边之平分正中为甲防其线为丑中甲而子乙边衡扵上则丙己边纵于下正如十字无左右之欹亦无髙下之微差也

　　若以丑中甲垂线为轴旋之则成圆柱体

　　凡四等面体以其边为斜线而求其方以作立方则此立方能容四等面体

　　何以知之曰准前论以一边衡于上而为立方上一面之斜则其相对之一边必纵于下而为立方底面之斜

　　矣又此二边之势旣如十字

　　相午直而又分于上下为立

　　方上下两面之斜线然则自

　　上面之各一端向底面之各一端联为直线即为四等面之余四边亦即立方余四面之斜如此则四等面之六边各为立方形六面之斜线而为正相容之体如前所论圆角体圆柱体虽亦能容四等面形而垂线皆小于圆径故不得为正相容

　　捷法四等面之边自乘折半开方即正相容之立方根【即倍句股意】设边一百其幂一万折半五千即为立方一面之积求其立方根得七十○七一○六即丑中甲垂线之髙

　　若以此作容四等面之圆柱则其髙七十○七一○六同立方之方根而其圆径一百同立方面之斜此圆柱内可函立方

　　其乙中子中等为自四等面体心至各角之线又为立方心至各角之线又为外切浑圆之半径又为四等面分为四体之楞线又为立方分为六方锥之楞线又捷法以四等面之边幂加二分之一开方即外切正相容之浑圆径亦即立方体内对角线【如自乙至震】折半为自心至角线　四等面设边一百其幂一万用捷法二分加一得一万五千为外切正相容之浑圆全径幂开方得一百二十二四七四四为浑圆全径折半得六十一二三七二为浑圆半径

　　立方内容四等面图

　　设立方边一百其积百万内

　　容四等面边一百四十一【四二

　　一三】其积三十三万三千三百

　　三十三【三三三三】为立方积三之

　　一乾坤震防立方【干丙坤己乙防子震与中心之丑甲同髙】内容子乙丙己四等面为立方积三之一

　　何以明之凡锥体为同底同髙之柱体三之一今自立方之乙角依斜线剖至丙巳成乙丙巳防三角锥以丙巳防立方之半底为底又自子角斜剖至丙巳成子丙巳震锥以丙巳震立方之半底为底合丙半底则与立方同底矣而子震与乙防之髙即立方髙也是此二锥得立方三之一矣

　　又自子乙斜线斜剖至巳角成倒锥以子乙坤立方之半顶为底以坤巳立方髙为髙又自子乙斜剖至丙角亦成倒卓之锥以子乙干立方之半顶为底以干丙立方髙为髙与前二锥同亦三之一也

　　合此二锥共得立方三之二则其余为子乙丙巳四等面体者必立方三之一矣

　　准此论之凡同边之八等面积四倍大于四等面积何以知之以此所剖之四锥体合之则为八等面之半体皆以剖处为面而其边其面皆与四等面等是同边之体也而八等面之半体旣倍大于四等面则其全体必四倍之矣

　　设八等面边一百四十一【四二一三】与四等面同边则八等面之积一百三十三万三千三百三十三【三三不尽】为四等面之四倍

　　若设四等面边一百则其外切之立方面幂五十立方根七十○【七一○六】以根乘幂得立方积三十五万三千五百五十三四等面积一十一万七千八百五十一为立方积三之一

　　推得八等面边一百其积四十七万一千四百○四此同边之比例

　　若立方内容之八等面则其积为立方内容之四等面二之一何以知之八等面与立方同髙则其积为立方六之一故也

　　设立方边一百内容八等面边七十○【七一○六】其积一十六万六千六百六十六为四等面之半若设立方边七十○【七一○六】则内容八等面积五万八千九百二十五半其边五十

　　四等面体又容小立方小立

　　方内又容小四等面体则内

　　容小立方径为外切立方三

　　之一内小四等面在小立方

　　内其径亦为四等面三之一

　　而其积皆二十七之一

　　何以知之凡三等边平面之心皆居垂线三之一假如子巳丙为四等面之一面其平面之心必在癸而子甲垂线分三之一为癸甲其余三面尽同而内容之小立方必以其下方之两角纵切子巳丙之癸心及乙己丙之壬心其上方之两防必横切于子乙己之卯心及子乙丙之申心而立方内容之小四等面亦必以其四角同切此四防也今壬癸两防旣下距丙己线为其各斜垂线三之一而卯申两防又上距子乙线之斜垂线亦三之一则其中所余三之一必为立方所居也而内小立方不得不为子乙与丙己相距线三之一矣

　　问癸防为三之一者斜面之垂线也小立方者直立线也何以得同为三之一乎答曰癸防所居三之一虽在斜面而子乙纵线与丙己横线上下相距必有垂线直立于其心此直立垂线即前图之甲丑与外切立方线同髙者也丑甲中垂线以上停三之一之上防与卯申平对以下停三之一之下防与壬癸平对依句股法与股比例同也然则丑甲线之中停即小立方之所居矣

　　又丑甲者即外切立方之髙也故知小立方径为外切立方径三之一

　　又小四等面在小立方内以其边为小立方之斜而纵横边相午对如十字其中心亦以丑甲线之中停为其轴其斜面之势一切皆与大四等面同而丑甲者亦大四等面之轴也小四等面之中轴旣为丑甲三之一其余一切皆三之一矣

　　夫体积生于边者也边为三之一者面必为九之一体必为二十七之一无疑也

　　准此论之浑圆在四等面内者亦必为外切浑圆二十七之一其径亦三之一也何也浑圆之切防与小立方小四等面之切防并同也

　　以此推知小立方与小四等面在大四等面内或居小浑圆内以居大四等面内其径积并同

　　求体积

　　浑圆径一百其径上立方一百万依立圆法以十一乘十四除得七十八万五千七百一十四为圆柱积仍三分取二得五十二万三千八百○九为浑圆积

　　内容立方面幂三千三百三十三【三三】其边五十七【七三五○】以边为髙乘面得一十九万二千四百五十○为内容立方积

　　内容四等面体边幂六千六百六十六【六六】其边八十一【六四九六】

　　依前论四等面体为立方三之一得六万四千一百五十○为四等面积

　　立方内容小浑圆以立方之边为径五十七【七三五○】依立圆法以立方积十一乘十四除得一十五万一千二百一十为圆柱积取三之二得一十○万○八百六十六为小立圆积

　　四等面内容小浑圆径幂一千一百一十一【一一】其径三十三【三三】以径乘幂得径上立方积三万七千○三十七以十一乘十四除得二万九千一百○半为圆柱积又三分取一得一万九千四百为立方内之四等面内容小浑圆积为大浑圆积二十七之一若先有内小浑圆积但以二十七因之得大浑圆积

　　依此论之凡浑圆内容立方立方内又容四等面体四等面内又容小浑圆其内外相似之大小二体皆二十七之比例也

　　又捷法用方斜比例

　　立方面之斜设一百其幂一万则其方幂五千用三

　　因之得一万五千开方得立

　　方对角斜线即为外切浑圆

　　全径

　　立方面之斜一百即立方内容四等面之边

　　立方体对角斜线一百二十二【四七四四】即立方外切浑圆之全径亦即四等面外切浑圆全径半之得六十一【二三七三】即立方外切浑圆半径亦即立方体心至各角之线亦即四等面体心至各角之线

　　八等面形图注

　　第一合形

　　甲丁　甲丙　甲己　甲戊

　　丁丙　丙己　己戊　戊丁

　　戊乙　己乙　丁乙　丙乙

　　以上形外之楞凡十有二即根

　　数也其长皆等

　　或设一百为一楞之数则十二楞皆一百也

　　甲丁戊　甲戊己　甲己丙　甲丙丁　丙丁乙己丙乙　戊己乙　丁戊乙

　　以上形周之分面凡八皆等边平三角形也其容积其边皆等

　　或设一百为边数则三边皆一百而形周之分面八皆三边边皆一百也

　　第二横切形【二】

　　甲丁丙己戊为上半俯形

　　丁丙己戊乙为下半仰形

　　右二形各得合形之半皆从

　　丁戊楞横剖至己丙

　　一俯一仰皆方锥扁形丁丙

　　己戊为方锥之底其边皆等

　　其从四角凑至顶之楞皆与

　　底之边等

　　第三直切形【四】

　　从甲尖依前后楞直剖过丁

　　己至乙尖成左右两形

　　从甲尖依左右楞直剖过丙

　　戊至乙尖成前后两形

　　此四形者一切皆与仰俯二

　　形同但彼为眠坐之体故为

　　方锥【仰者即倒卓方锥】而此则立体即如打倒方锥之形也第四横切之面一直切之面二

　　因横剖得正方平面在立方锥以此

　　为底倒方锥以此为面在合形则为

　　腰围其己丁及丙戊两对角斜线相

　　交于心即两直切之界也【心即合形中心】因直剖得斜立方面二其己丁及戊

　　丙横对角线即横切之界其从甲至

　　乙垂线即直剖之界如立面在前后

　　互剖之形则此线为左右直剖之界

　　彼此互为之也亦即为全形之中髙

　　径线

　　以此知八等面之中髙线为方斜之

　　比例

　　第五分形

　　因横剖及两直剖分总形为八皆

　　三角锥形也

　　皆以等边平三角形面为锥形之

　　底而以横直剖线相交处之点为

　　其锐顶即合形之中心也

　　其自顶心至角之楞皆等皆边线

　　之方斜比例也【底线为方则此线为其斜之半】而

　　此楞线又即为八等面形之外切

　　圆之半径

　　设己戊边一百其幂一万则心戊

　　楞之幂五千【倍戊庚半边之幂为半斜幂也】戊心之幂五千内减戊庚幂二千

　　五百则其余二千五百为心庚之

　　幂故心庚必与戊庚等

　　从心顶对己庚楞直剖至庚分形为两则其中剖处成三角平面

　　己庚者乙己戊等边三角平面之

　　中垂线也其幂为边四之三设边

　　一百之幂一万则己庚之幂七千

　　五百

　　庚辛者平面三角容圆之半径也得己庚三之一其幂则九之一也己庚之幂七千五百则庚辛之幂八百三十三【三三】辛防即各三角平面之中心

　　以庚辛幂八百三十三【三三】减心庚幂二千五百得心辛幂一千六百六十六开方为心辛即分形之中髙也求得分形中髙四十○【八二四七】

　　依平面三等边法设边一百其中长线八十六【六○二五】其幂积得四千三百三十○【一二五○】　取平幂三之一得一千四百四十三【三七五○】以乘中髙得分形积五万八千九百二十五【三五一三】　再以八因之得总积四十七万一千四百○二【八一○四】与总算合

　　设八等面之边一百其幂一○○○○即横剖中腰之正方　半之为每角辏心之线之幂得○五○○○此线即分形自底角辏顶心之楞【如心戊心己心乙】又为八等面形外切浑圆之半径　又半之为分形每面自顶至边斜垂线之幂【即心庚】得○二五○○此线即设边之半其幂为设边四之一

　　设半边之幂取其三之二为分形中髙线之幂【即心辛】得○一六六六不尽又为八等面形内容浑圆之半径防法取八等面设边之幂六而一为八分体中髙之幂开方得中髙

　　假如设边一百其幂一万则分体中髙之幂一千六百六十六不尽　求其根得四十○【八二四八】　以中髙乘三角平面幂三除之得分体八因之得全积

　　又捷法八等面设边之幂取三之二为体内容浑圆之径幂开方得内容浑圆径折半为八分体中髙

　　假如设边一百其幂一万则内容浑圆之径幂六千六百六十六不尽　求其根得八十一【六四九六】　折半为分体中髙

　　或竟以内容浑圆全径乘设面三角平幂四因三除之得全积

　　又捷法　此方斜之比例

　　八等面设边之幂倍之为体外切圆径幂开方得径以乘设边之幂【即腰广平方】得数三归见积

　　假如设边一百其幂一万其斜如之幂倍方幂得二万求其根得一百四十一【四二一三】　以乘腰广一万得一百四十一万四千二百一十三　三除之得总积四十七万一千四百○四

　　一系　八等面体之边上幂与其外切浑圆之径上幂

　　其比例为一与二【方斜比例】

　　一系　八等面体之边上幂与其内容浑圆之径上幂

　　其比例为三与二

　　一系　八等面体外切浑圆之径上幂与其内容浑圆之径上幂　其比例为三与一

　　准此而知八等面内容浑圆浑圆内又容八等面其浑圆外切之八等面边或径上幂与内容之八等面边或径上幂其比例亦必为三与一也

　　计开

　　八等面形诸数

　　设边一百　其积四十七万一四○四【与厯书所差甚微】其体外切浑圆之径一百四十一【内外两浑圆之径幂为三与一其根约为四与七而强】体内容浑圆之八十一

　　八等面外切立方径一百四十一【方斜比例也与外切浑圆同】八等面内容立方径四十七

　　内外切大小立方之径之比例为三与一

　　内外两立方之积之比例为二十七与一

　　若浑圆内容立方立方内容八等面体八等面体内又容浑圆则大小两浑圆之径亦若三与一其积亦若二十七与一

　　一率　　四七一四○四　　例容

　　二率　　一○○○○○○　例边之立方

　　三率　　一○○○○○○　设积

　　四率　　二一二一三二二　设边之立积

　　开立方得根一百二十八为公积一百万之八等面根【与比例规解合】

　　防何补编卷二

　　二十等面形自腰切之成十等边平面

　　先求甲丁　乃十等边平面

　　从心对角之线　亦即二十

　　分形各三角立体一面之中

　　垂斜线

　　法为甲乙【即切形十等边之半在原设二十等面形边为四之一】与甲丁若十八度之正与全数也【十等边各三十六度其半十八度】

　　设边一百　所切十等边平面之边五十　其半甲乙二十五

　　一率　十八度正　○三○九○

　　二率　全数　　　　一○○○○

　　三率　甲乙　　　　　　　二五

　　四率　甲丁　　　　　　　八○【九○六一】

　　用等边三角求容圆法

　　设边一百　其内容圆半径二十八【八六七五】为心甲

　　以心甲为句二十八【八六七五】其幂八百三十三【三三二五】以甲丁为八十○【九○六一】其幂六千五百四十五【七九七○】

　　句幂减幂余五千七百一十二【四六四五】为心丁股幂开方得心丁七十五【五八○八】　此即各面切形自各面之心至切体尖之髙也　其切体之尖即原设二十等面总形之体心为丁点

　　用后法得乙己丙平面幂积四千三百三十○【一二五○】又依三等边角形设边一百【丙己】　其半五十【丙甲】　求到乙甲中长八十六【六○二五】用其三之一即心甲二十八【八六七五】以与丙甲五十相乘得一千四百四十三【三七五○】为各等面平积三之一【三因之得平面幂】

　　又以丁心七十五【五八○八】乘之得一十○万九千○九十一【四三七二】为二十等面形分切每面至心之积又以二十乘之得全积

　　依上法求到二十等面全积

　　设边一百　其积二百一十八万一千八百二十八【查比例规解差不多惟测量全义差逺】

　　按此法以本形分为二十各成三角立锥形而各以分形之髙乘底取三之一以为分形积然后以等面二十为法乘而并之得总积可谓的确不易矣然与厯书中比例规解及测量全义俱不合何耶

　　计开

　　二十等面形

　　设边一百　其每面中长线八十六【六○二五】

　　其每面幂积四千三百三十○【一二五○】

　　其每面容平圆之心作线至形心之丁七十五【五八○八】即心丁　心丁即内容浑圆之半径

　　其分形各以每面之幂积为底心丁为髙各得三角立锥积一十万九千○九十一【四三七二】

　　其立锥积凡二十合之得总积二百一十八万一千八百二十八

　　用上法求形内容浑圆

　　其心丁七十五【五八○八】即内容浑圆半径【以心丁线与各平面作垂线而丁防即体心故】倍之得一百五十一【一六一六】为内容浑圆全径置小浑圆径一百五十一零自乘得二万二千八百○一以十一乘十四除得一万七千九百一十五为圆幂置内容浑圆之平圆幂一七九一五以圆径一百五十一取三之二得一百强以乘平圆幂得一百八十○万二千二百四十九为二十等面内容浑圆之积

　　置内容圆径一百五十一自乘得【二万二千八百○一】再乘【三百四十四万二千九百五十一】以立员捷法【○五二三五九八七七】乘之得浑圆积一百八十○万二千七百二十五

　　先用宻率【十四除十一乘】得浑圆一百八十万二千二百四十九以较立圆捷法所得少尾数四百七十六约为一万

　　八千之五弱不足为差也

　　依立圆法以圆率三一四一五九二乘立圆法六而一得五十二万三五九八为径一百之浑圆积

　　依法求得立方边五十七【七三五○】立方积一十九万二四五○四等面积六万四千一百五十○并合前算小浑积一○○七六六　若用捷法以浑圆率五二三五九八乘立方积得数后去末六位亦得一十○万○七六六

　　内容浑圆尚且如此之大况二十等面之形又大于内圆乎然则厯书之率其非确数明矣

　　二十等面

　　一率　　二一八一八二八　　例容

　　二率　　一○○○○○○　　例根一百之体积三率　　一○○○○○○　　设容

　　四率　　○四五八三三二　　所求根立积

　　如法算得二十等面之容一百万其根七十七

　　比例规解作七十六尚差不多测量全义云二十等边设一百其容五二三八○九则大相悬絶矣乆知其误今乃得其确算己未年所定之率以两书酌而为之究竟不是今乃得之可见学问必欲求根也

　　二十等面分体之图

　　亥子戌为二十等面之一面

　　亦即各分体之底

　　亥子子戍戍亥皆其边即根

　　也半之为亥甲

　　甲乙丙为横边切处即横切成十等边形之一边丁为体心亦即切十等边平面之中心

　　甲乙丙丁即横切十等边平面之分形　心为二十等面每面之正中　心丁为体周各平面至体心之垂线亦即分体之中髙亦即体内容浑圆之半径　丁亥丁子丁戌皆分体之楞线乃自各分面角辏体心之棱也亦即为外切浑圆之半径　丁甲丁丙皆横切平面各角辏心之线亦即分体各斜面之中垂斜线也

　　求法以丁甲为股亥甲为句【即根之半】两幂相并开方得即丁亥也【丁子丁戌同】

　　求二十等面外切浑圆之半径

　　依句股法　以丁甲股八十○【九○六一】自乘幂六千五百四十五【七九七○】　亥甲句五十○自乘幂二千五百　相并为亥丁幂九千○四十五【七九七○】　平方开之得亥丁九十五【一○五二】为外切浑圆半径　亦即二十分形自其各角辏心之棱　倍之得一百九十○【二一○四】即外切浑圆全径

　　计开二十等面体诸数

　　设边一百　其容二百一十八万一千八百二十八其内容浑圆径一百五十一　其外切浑圆一百九十其每面中心至体心七十五半【即内容浑圆之半径】

　　其每面各角至体心九十五【即外切浑圆之半径】

　　计开二十等面体诸用数

　　设边一百　外切立方之半径八十○【九○一七】为体心至边之半径【即寅中卯中辰中等】

　　倍之为边至边一百六十一【八○三四】即外切立方全径外切浑圆之半径九十五【一○五六】为体心至各角尖之半径【即甲中戊中心中等】

　　倍之为角尖至角尖一百九十○【二一一二】即外切浑圆全径

　　内容浑圆及内容十二等面之半径七十五【五七六一】为体心至各面之半径【即己中庚中等】

　　倍之为内容浑圆全径一百五十一【一五二二】为面至面内容十二等面之边五十三【九三四四】

　　每面之幂四千三百三十○【一二五○】

　　二十等面之幂共八万六千六百○二半

　　分体积一十○万九千○八十四【六五】为二十等面体积二十之一

　　合之得全积二百一十八万一千六百九十三

　　内容小立方之边八十七【二六　以内容立圆径自乘七七　乏幂取三之一开方得之】

　　内容灯体边五十【即原边之半】

　　立方内容二十等边算法

　　亢卯寅房为立方全径一百

　　中寅中卯为半径五十

　　寅卯二点为二十等面边折

　　半之界

　　寅卯线为二十等面边之半

　　中为体之中心　寅中卯角为三十六度

　　中寅半径当理分中末之全数　寅卯即理分中末之大分

　　甲戊戊心心甲皆寅卯之倍数即

　　二十等面之边其数六十一【八○三三九八】

　　甲辰半边三十○【九○一六六九与寅卯同】

　　心辰垂线五十三【五二三三】　半垂线心箕二十六【七六一六】　甲辰幂九百五十四【九一五○】　三因甲辰幂为心辰幂二千八百六十四【七四五○不尽】

　　计开

　　立方径设一百　半径五十

　　理分中末线大分六十一【八○三三九八】即二十等面之边论曰以中寅半径五十求寅卯正得理分中末大分之半而甲戊边原倍于寅卯寅房全径亦倍于寅中是全数与大分皆倍也故径以全数当寅房全径以理分中末之大分当甲戊等二十等边之全边也

　　又立方边设一百【即寅房径】　半之五十【即中寅】

　　内容二十等面之边六十一【八○三三九八即甲戊等】

　　面之中垂线五十三【五二三三即心辰】

　　中垂线之半二十六【七六一六即心箕】

　　面之幂一千六百五十三【九五七八甲戊心面】

　　中垂线三之一得一十七【八四一一即心己】

　　内容立圆半径四十六【七○八六即己中】　全径九十三【四一七二】二十等面全积五十一万五千○二十六【九五九七】

　　约法

　　立方根与所容二十等面之边若全数与理分中末之大分　面幂三之一以乘容圆全径得数十之为全积中垂线三之一心己为句【即平面容员半径】自乘得句幂三百一十八【三○四八四九】以减中寅幂二千五百○○余己中股幂二千一百八十一【六九五一五一】开方得己中根四十六【七○八六】

　　二十等面边设一百用理分中末线求其外切之立方一率　二十等面边六十一【八○三三九八】

　　二率　外切立方一百○○

　　三率　二十等面边一百○○

　　四率　外切立方一百六十一【八○三四】

　　依法求得二十等面边一百其外切立方一百六十一【八○三四】与先所细算合

　　半圆内容正方

　　法以圆径为三率【丙丁】　理分中末之小分为二率【庚辛】理分中末全线加小分为首率【丁辛为全线再加庚辛为小分共得为丁庚总线也】　二三相乘一率除之得四率【丙乙即甲丁】为全径之小

　　分以减全径余【乙丁】乃于乙作

　　正十字线至圆界【如己乙】即以

　　此线自乘作正方【己甲】如所求

　　论曰己乙即丙乙与乙丁之中率而丙乙旣为乙丁全径之小分则己乙即大分也而甲乙亦为大分　甲丁亦为小分矣若自甲作甲戊必与己乙甲乙等而其形正方

　　半浑圆内容立方

　　法以乙甲圆径自乘之幂取其六之一开方得容方根【丙丁方丙戊边】

　　论曰试倍甲丙乙庚半浑圆为全浑圆体亦倍丙丁正方形作丙己长立方形亦必能容矣然则丙己线在长

　　立方形之内为斜线者亦即

　　浑圆之径也【与甲乙径等】

　　试于长立方面作戊己斜

　　则己壬为之句戊壬为之股

　　而戊己幂内有己壬幂与

　　戊壬幂矣

　　而丙己线为则戊己又为

　　股丙戊又为句而丙己自幂内又兼有戊己幂及丙戊幂矣【丙戊亦即己壬】

　　又戊壬为己壬【即丙戊亦即戊癸】之四倍则戊壬股幂内有己壬句幂四合之为戊己幂则戊己幂内有己壬幂五矣

　　而丙己幂内复兼有戊己股幂及丙戊句幂是丙己幂内有丙戊幂六也丙己旣同圆径则取其幂六之一开方必丙戊容方边矣

　　立方内容十二等面其内又容立方【此相容比例】

　　立圆内容十二等面其内又

　　容立方此立方之面幂为外

　　圆径上面幂三之一而立方

　　之各角即同十二等面角以切于立圆之面

　　法以外切浑圆径上幂取三之一为十二等面内小立方幂平方开之得小立方根根乘幂见积

　　又简法以十二等面之面幂求其横剖之大线此线即

　　十二等面内容小方之边

　　如图作甲乙线剖一面为二

　　此线在面中最大即为内小

　　立方根以此自乘而三之即

　　小立方外切浑圆径幂

　　凡立方内容二十等面二十等面内又容浑圆圆内又容小立方此小立方之各角能同浑圆之切点以切于二十等面之平面心

　　法以内容浑圆径之幂取三

　　之一为内小立方之幂平方

　　开之得切点相距即小立方

　　根以根乘幂见积

　　简法取内容浑圆之内小立方边求其理分中末之大分为内容十二等面边

　　又简法如前求得二十等面内容十二等面之一面乃求其横剖之大线即二十等面内容小立方之根　以根自乘而三之即二十等面内容浑圆之径幂　开方得根即内容浑圆径　折半为分体之中髙

　　此二十等面之面作三分之

　　一横剖

　　此十二等面之面在二十等

　　面内

　　此五等面边即前横线所成

　　凡五等边平面其边即七十二度之通横剖大线即一百四十四度之通各折半为正可以径求一率　　三十六度正

　　二率　　七十二度正

　　三率　　五等边之一边

　　四率　　横剖之大线

　　凡十二等面体与二十等面体可互相容而不穷十二等面体有二十尖二十等面体有十二尖其各尖之相距必均其互相容也皆能以其在内之尖切在外各面之中心而徧

　　凡二十等面内容立圆仍可以容二十等面

　　二十等面内容立圆仍可以容十二等面

　　甲心乙　乙心丙　丙心丁

　　丁心戊　戊心甲　皆二十

　　等面之一面其各三边皆等

　　各以庚辛壬癸己为其面之

　　心若内容十二等面体则十二等面之各尖必切于庚辛壬癸己等心点

　　今求内容十二等面之边则必以庚辛等心点聮为直线即成五等边面之边而与十二等面之形相似而可

　　以相容矣

　　法当以边【如甲戊】半之【如甲辰】作

　　对心垂线【如辰心】成心辰甲句

　　股形既得己卯倍之为己庚即内容十二等面之一边二十等面体内容十二等面之图

　　第一图原形如五面扁锥心

　　尖鋭起甲心戊等三等边平

　　面凡五共辏而成一心尖乃

　　二十等面四之一

　　其己庚辛壬癸五点皆三等边平面之中心亦即内容十二等面之棱尖所切故必先求此点

　　简法曰以甲戊边半之于辰作辰心对角斜垂线又以心甲心戊各取三分之二为心子心丑乃聮子丑为线与甲戊边平行与辰心垂线十字交于己点则己点即甲心戊平面之心再从子至午作与边平行线线之半即庚点余三面尽如此作平行线则辛点在午未线壬点在未酉线癸点在酉丑线但半之皆得心矣

　　第二图剖形是五等边平面

　　因前图所作子丑等平行线

　　横剖之去其中髙之尖成子

　　午未酉丑五等邉平面此平

　　面之心点在前图心顶之内

　　惟子丑等邉线是原形所作平行线在体外可见余皆以剖而成乃从各角作线至心如子心等分形为五皆平面三角形而心子等线皆小于子丑邉因子己原邉及子心丑角求得心己垂线及子心对角线

　　第三图正用之形即内容十二等面之一面

　　因前第二图各平分其邉得

　　己庚辛壬癸五点即原形之

　　平面心又聮此点作己庚等

　　直线则成此形以此形为内容十二等面之一面则己庚等五点为十二等面之鋭角而皆切二十等靣之平面心矣

　　求己庚线法因心子对角线及心己垂线子己原半边得己卯倍之为己庚

　　第一图

　　设二十等面边一百　甲戊等五边甲心等五辏顶线并同　则子心六十六【六六】　子丑平行线同　皆为原边三之二　心己斜垂线五十七【七三五○】　为心辰斜垂线三之二

　　以上用第一图乃斜立面也

　　第二图

　　子己半边三十三【三三】　子心对角线五十六【七○九九】己心垂线四十五【八七九二】

　　法为全数与五十四度之割线【一七○一三○】若子己边与子心也子己乘割线以全数十万而一得子心

　　又全数与五十四之切线【一三七六三八】若子己边与己心也子己乘切线以全数十万而一得己心　凡全数除降五位

　　第三图　仍从第二图生

　　己庚等两平面心相距线五十三【五八一六】　其半己卯二十六【七九○八】

　　法为子心对角线与己子半边若己垂线与己卯也倍己卯得己庚

　　求得二十等面边一百　内容十二等面其边五十三【五八一六】

　　防法但用法聮两平面之中心点即为内容十二等面之边　两平面心相聮为直线之图

　　乙心甲及戊心甲两等边平

　　三角面以甲心边为同用之

　　边而甲心隆起如屋之山

　　两平面之中心为己为庚聮

　　为己庚线与甲心为十字然

　　不相切何也甲心既隆起

　　则甲心折半之卯在己庚折

　　半之栁点上其距为卯栁

　　试侧视之则甲心戊面变为

　　戊卯线甲心乙面变为卯乙

　　线而甲卯心线变为卯点己

　　庚点在平面原近甲心点为

　　卯戊卯乙三之一则卯栁之距亦为垂线三之一矣二十等面从腰横剖之图

　　凡二十等面体其面之边皆

　　等而皆斜交故边皆髙于面

　　面之中心如己如庚是距体

　　心最近之处故为内容浑圆

　　及十二等面所切之点也

　　边之两端又髙于其折半之处边所辏为尖如甲如戊如乙如心等是距体心最逺之处故为外切浑圆及外切十二等面之尖也　其各边折半之点如寅如卯其距体心在近逺酌中为外切立方之半径其内切之己庚外切之甲戊乙心等頼寅卯距心之线为用然后可知故其用最要

　　横剖所成之面【十二等面从腰横剖其根亦同】

　　问各边既髙于面而又斜交

　　何以能横切成平面乎曰从

　　右图观之甲戊尖最髙则其

　　所对之乙心等边似平矣而

　　乙心等尖亦髙则其所对之甲戊等边又平一髙一平彼此相制而成相等之距故寅卯等折半之处其距体心皆等联之为线即成相等之线而皆平行也

　　然则何以知其为十等边平面曰准右图上下各五面其腰围亦上下各五面而尖牙相错成十面今各从其半边剖之则必为十边平面无疑也

　　如图奎卯寅十等边平面以中为心

　　中寅中卯皆原体心与其邉

　　折中处相距之半径亦即为

　　外切立方之半径也于前图

　　作外切之奎角卯寅平图则

　　寅卯等即为分圆线乃全圈十分之一当三十六度理分中末线图

　　奎中为全径井中为半径以半

　　径【设五十】为句全径【设一百】为股

　　求其得一百一十一【八○三三】

　　【九八】为井奎　以井为心中为界作圆分如中斗截井奎线于斗则井斗亦半径也　以井斗减井奎其余斗奎即为理分中末线之大分【亦即奎牛】　以奎牛为度作点于倍径之圈周而徧即成十平分圈周之点聮其点为线即成寅卯等十等边故十等边之寅卯等即木圈半径之理分中末大分也　若奎中为半径则井中为半半径亦同

　　奎中全数【半径】设一百　寅卯必六十一【八○三三九八】即半径理分中末之大分【奎牛即奎斗】

　　理分中末线　法以全数一百之幂一万为股幂其半五十之幂二千五百为句幂并得一万二千五百为幂开方求其根得一百一十一【八○三三九八】以半数五十减之得六十一【八○三三九八】为理分中末之大分即三十六度之分圆线也

　　半之为十八度之正三○九○一六九九【八线表作三○九○二】二十等面分体之图

　　甲戊心为二十等面之一面

　　其三边等中为体心

　　甲中戊中心中皆各面之鋭

　　角距体心之线又为体外切

　　浑圆及外切十二等面之半

　　径

　　以甲戊心面为底依甲中戊

　　中心中三线剖至体心中成

　　三角锥体为二十等面体二

　　十之一

　　锥体之底各以其三边半之

　　于寅于辰于卯从此三点作

　　线而体心之中点皆为锥体各立面之斜垂线如辰中即为甲中戊立面之斜垂线寅中为甲中心立面之斜垂线卯中为戊中心立面之斜垂线并同

　　又聮寅卯辰三点为寅卯卯辰辰寅三线成寅卯辰小等边平三角面以此为底依寅中卯中辰中三斜垂线剖至体心之中点成小三角锥体其积为大三角锥四之一其寅卯等边为原边二之一　原设边一百则寅卯五十

　　其己点为三角面之中心【大小并同】　己中即分体之中髙【大小锥体同】是即内容浑圆之半径亦即内容十二等面体各尖距其体中心之半径

　　其辰中卯寅中卯卯中辰皆立三角面皆为横剖成十等边平面之分形故寅卯与寅中之比例若理分中末线之大分与其全数也

　　今求寅中线【即外切立方半径卯中亦同】

　　一率　理分中末之大分　　　　　六十一【八○三三九八】

　　二率　全数　　　　　　　　　　一百

　　三率　寅卯【剖形十等边之一即原边之半】　　　　五十

　　四率　寅中　　　　　　　　　　八十○【九○一七】按寅中线为量体之主线既得此线即可以知余线而此线实生于理分中末线几何原本谓分中末线为用最广盖谓此也

　　次求己中【即内容浑圆及十二等面之半径】

　　甲戊原边设一百半之于寅

　　作寅己垂线至己心【乃平靣心】己寅二十八【八六七五】为句其幂

　　八百三十三【三三三三】　用防法

　　以边幂一万取十二之一得

　　之

　　寅中八十○【九○一七】为其幂

　　六千五百四十五【○八五○】句幂减幂余五千七百一

　　十一【七五一七】开方得股为己中

　　七十五【五七六一】

　　订定寅中线

　　一率　理分中未线大分　六十一【八○三三九八】

　　二率　全数　　　　　　一百

　　三率　寅卯【剖形十等边之一即原边之半】五十

　　四率　寅中【即外切立方之半径】　　八十○【九○一七】

　　订定己中线

　　甲戊边原设一百【半之于寅作寅己线】

　　己寅句二十八【八六七五】　幂八百三十三【三三三三】

　　寅中八十○【九○一七】　幂六千五百四十五【○八五○】己中股幂五千七百一十一【七五一七】　根七十五【五七六一】末求己庚线【两平面心相聮即内容十二等面之边】

　　一率　寅中八十○【九○一七】　为大

　　二率　己中七十五【五七六一】　为大股

　　三率　寅己二十八【八六七五】　为小

　　四率　己星二十六【九六七二】　为小股

　　倍己星得五十三【九三四四】为己庚

　　解曰中寅己大句股形与己寅星小句股形同用寅角则其比例等而为相似之形故也

　　己庚等线相聮成五等边平靣图

　　准前论甲心戊等三角平面

　　合二十面为二十等面体则

　　甲心等边线皆髙于平面而边

　　线之端五相辏即为尖角【如心

　　点】依此推知甲乙丙丁戊点

　　皆必与他线五相辏而成尖角矣

　　其己庚辛壬癸各点为各平面之最中央在体为最平之处故内容之浑圆及内容之十二等面各尖必切此点

　　今依前法求得己庚等点相联为直线则凡五平面相辏为尖必有各中央之点相联为线而皆成五等边平面形矣【此平面形正与心尖相应】　依此推知甲乙丙丁戊各点皆能为尖则其周围相辏之五平面亦必各以其中央之点相联为线而皆成五等边平面形　二十等面体以五边线相辏之尖凡十有二每一尖之周围皆有五平面即皆有中央之点相联而成五等边平面亦十有二如此而内容十二等平面体己成故曰但联己庚二

　　点为线即内容十二等面之边也

　　求甲中线【即外切浑圆及十二等面之半径心中戊中并同】

　　寅甲为原边之半设五十其

　　幂二千五百为句幂

　　寅中为外切立方半径八十

　　○【九○一七】其幂六千五百四十

　　五【○八五○】为股幂并句股幂九千○四十五【○八五○】平方开之得甲中

　　依法求得甲中九十五【一○六五】

　　求体积

　　设边一百其半五十　斜垂线八十六【六○二五】　相乗得面幂四千三百三十○【一二五○】

　　又以己中髙七十五【五七六一】乗面幂得柱积三十二万七千二百五十三【九六○○】

　　三除之得分体积一十○万九千○八十四【六五○○】以二十乗之得全积二百一十八万一千六百九十三十二等面分体之图

　　戊辛庚己壬五等边形即十二等面立体之一面　亦即分体形之底【乃五面立锥形之底】丙为平面心

　　丙丁为平面心至体心之垂线亦即分体形之中髙又为体内切浑圆之半径亦即为内切二十等面之半径丁为全体之中心又为十二分体之上鋭即五等面立锥形之顶

　　戊辛壬庚等皆各面之外周线【即边也】为体之棱亦名之

　　为根

　　自分面之心丙作垂线至边

　　【如癸丙甲丙】分各边为两其分处

　　为癸为甲【即各边折半处】

　　乃自癸至甲聮为癸乙甲线又自此线向丁心平剖之成甲丁癸三角形面各分形俱如此切之成十等边平面形故丁癸丁甲皆分体形自顶鋭至各边之斜垂线在所切之十等边平面形即为自丁心至平面角之线【甲癸等点在各边为折中在切形之平面则对角】

　　又自丁至体周各角之线【如丁辛丁庚丁戊等】在分体即为自底角至顶鋭之棱又为外切浑圆之半径又为外切二十等面之半径

　　先算十二等面之面【即戊辛庚己壬】

　　法为全数与五十四度之切线若甲辛与甲丙也　以甲丙乘甲辛又五乘之得戊辛庚己壬五角面积【甲丙辛角为五等边之半角三十六度其余角甲辛丙必五十四度】

　　次算面上大横线【即甲癸】

　　又全数三十六度之正若甲丙与甲乙也倍甲乙得甲癸

　　次算中髙线【丙丁】

　　法为全数与七十二度之割线若甲乙与甲丁也【因平切十等边为三十六度半之为十八度其余角七十二度即乙甲丁角】

　　乃以甲丁为甲丙为句两幂相减开方得股即丙丁也

　　次算分体之积

　　法以中髙丙丁乘戊辛庚己壬底而取其三之一为分形积

　　末以十二为法乘分形积得总积

　　简法以分形中髙乘底又四乘之即得总积【三归三因对过省用】算甲丙

　　一率　全数　　　　　一○○○○○

　　二率　五十四度切线　一三七六三八【相乗得六八】

　　三率　设根之半【甲辛】　　　　　五○【八一九○○】

　　四率　甲丙　　　　　六八　【以全数除之减五位为畸零】算甲乙

　　法为全数与三十六度之正若甲丙与甲乙也

　　一率　全数　　　　　一○○○○○

　　二率　三十六度正　○五八七七九

　　三率　甲丙　　　　　六八八一九○

　　四率　甲乙　　　　　四○四五一一

　　甲癸为横切十等边平面之一

　　其半为甲乙丁即总形之心

　　亦横切平面之心

　　算甲丁

　　法为全数与十八度之余割若甲乙与甲丁也

　　一率　全数　　　　　一○○○○○

　　二率　七十二度割线　三二三六○七

　　三率　甲乙　　　　　四○四五一一

　　四率　甲丁　　　　　一三○九○二五

　　算丙丁中髙线

　　法以甲丁为　甲丙为句　求得股为丙丁

　　算得丙丁一百一十一【三五二六】为中髙线亦即十二等面形内浑圆之半径

　　算五等邉面幂

　　法以甲丙乘甲辛五十得三千四百四十○九半又五乘之得一万七千二百○四七五为五等边【边各一百】之平幂亦即十二等面分形之底积

　　算总积

　　用简法以底积一七二○四七五四因之得六八九九○以乘中髙得七百六十八万二千二百一十五八七四○为十二等面之积

　　计开十二等面

　　一率　七六八二二一五　　例容

　　二率　一○○○○○○　　例边上立积

　　三率　一○○○○○○　　设容

　　四率　○一三○一七○　　求得设边上立积立方法开之得其根五十

　　与比例规解合与测量全义差四千一百七十四为二百分之一

　　算辛丁【庚丁戊丁并用】　又即为外切浑圆半径

　　法以甲丁股幂【一七一三五】甲辛句幂【○二五○○】并为幂【一九六三五】求得数一百四十○为辛丁即外切圆半径计开

　　十二等面之数

　　设边一百　其容积七百六十八万二二一五

　　内容浑圆径一百二十二　外切浑圆径二百八十防法十二等面边求外切内容之立方及外切之立圆置十二等面边为理分中末之小分求其大分为内容立方边内容立方边自乘而三之开方得外切立圆全径

　　又置十二等面边为理分中末之小分求其全线为外切立方边

　　一率　理分中末之小分【三十八一九六六○一】　理分中末之大分二率　理分中末之大分【六十一八○三三九八】　理分中末之全分三率　十二等面之边

　　四率　内容小立方边　即大横线

　　又

　　一率　理分中末之小分

　　二率　理分中末之全分

　　三率　十二等面之边

　　四率　外切立方边

　　以十二等面边减外切立方边余为内容立方边以内容立方边加十二等面边即外切立方边

　　又防法但以十二等面边加大横线【即小立方边】　即外切立方边

　　立方内容十二等面算法　用理分中末线

　　此五等边面为十二等面之

　　一

　　巳为平面心　中为体心

　　寅卯为戌亥大横线之半【三十】

　　【○九○一六九九】卯中寅中为外切立方半径【五十】　戌亥为面之大横线【六十一八○三三九八】为理分中末之大分亦即内容小立方之根

　　巳寅巳卯俱平面容圆半径

　　巳中为内容立圆半径即分体中髙

　　丑中为外切立圆半径【亥中戌中并同】

　　设立方根一百为径　半径五十为寅中卯中　理分中未大分之半为寅卯【三十○九○一六九九】　又半之为寅子【一十五四五○八四九五】为理分中末大分四之一

　　一率　全数　　　　　　一○○○○○

　　二率　五十四度之割线　一七○一三○

　　三率　寅子　　　　　　【一十五四五○八四九五】

　　四率　寅巳【即卯巳】　　　　二六二八六五

　　求得卯巳为平面中垂线

　　一率　全数　　　　　　一○○○○○

　　二率　三十六度之切线　○七二六五四

　　三率　卯巳　　　　　　二十六二八六五

　　四率　卯丑【即半边】　　　　一十九○九八二

　　倍卯丑得丑亥边三十八【一九六四】即十二等面边乃理分中末大分之大分也以此知大横线与五等边为理分中末之全分与其大分之比例也

　　卯巳句幂【○六九○九八】　卯中幂【二五○○○○】相减为股幂一八○九○二　开方得巳中【四十二五三二五】为内容浑圆半径

　　卯丑句幂【○三六四七四一二四三】　卯中股幂【二五○○】　相并为幂【二八六四七四一二四三】　开方得丑中【五十三五二三二】为外切浑圆半径

　　丑亥巳卯相乘五因二除为面幂以乘巳中而四因之得十二等面积

　　简法

　　十二等面内容小立方【六十一八○三三九八】即理分中末之大分葢戌亥大横线倍大于寅卯故也　大横线即小立方之边

　　以大横线之幂三因之开方得亥中为外切浑圆半径【丑中同】

　　又立方根与所容十二等面边若全数与理分中末之小分

　　约法

　　立方根与其所容十二等面体内小立方之根若全数与理分中末之大分

　　凡立方外切浑圆则径上幂三倍于方幂

　　计开

　　立方设径一百

　　内容十二等面边三十八【一九六六○一】

　　内容小立方边六十一【八○三三九八】

　　外切浑圆径一百○七【○四六六二五】　即丑中亥中倍数外切浑圆半径【五十三五二三三】　即丑中亥中

　　内容浑圆半径四十二【五三二五】　即已中　为分体中髙内容浑圆全径八十三【○六五一】

　　内容二十等面边四十四【七二一一】

　　几何补编卷三

　　十二等面体分图　用理分中末线

　　辛戌亥五等边形为十二等面之一

　　寅卯防为边折半处中为体心

　　卯中为外切立方半径【设五十】

　　卯亢为外切立方全径【设一百】

　　寅卯线与卯中半径若理分中末之大分与其全数也在圆内为三十六度之分圆　辛癸辛戌等俱七十二度之分圆

　　乙巳为半径【己丑同】乙癸为三十六度之通

　　乙已半径与乙癸亦若理分中末一之全数与其大分也故乙已癸三角形与卯中寅相似

　　若取乙丙切线如乙癸之度则丙巳必同亥癸边【即七十二度通】折半于甲则甲乙为十八度正再于寅卯线取子壬如乙甲取壬癸如乙己半径引已子至癸中末乃自卯作线至中与壬癸平行因得寅中与卯中等则寅中卯即为横切之半面

　　一率　全数　　　　　一○○○○○

　　二率　三十六度割线　一二三六○七

　　三率　子寅　　　　　一十五【四五○八四九五】

　　四率　丑寅半边　　　一十九【○九八三】

　　倍丑寅得丑戌三十八【一九六六】与简法合

　　论曰凡十二等面从其半边之防【如寅如卯】聮为线以剖至体之心【中防】则所剖成寅中卯三角形平面必为全圆十之一即寅中卯角必三十六度而中寅或中卯两与寅卯底若理分中末之全分与其大分矣

　　又十二等面在立方形内必以卯中【或寅中】自心至边之线当立方之半径是立方半径与十二等面之寅卯线亦若理分中末之全与其大分也　若设立方半径一百则寅卯必六十一【八○三三九八】如理分中末之大分也今设立方全径一百其半径五十则寅卯亦必三十○【九○一六九九】如大分之半矣　寅卯二防既在【丑戌丑亥】两边之折半则戌亥大横线必倍大于寅卯而与理分中末大分之全相应为六十一【八○三三九八】　此皆设立方半径五十之数也而半径五十其全径必一百故知设径一百则十二等面之大横线必六十一【八○三三九八】而竟同理分中末大分之数也既得此大横线则诸线可以互知

　　试先求边　法为酉戌【半大横线】与丑戌等边若全数与三十

　　六度之余割线也

　　一率　全数　　　　　一○○○○○

　　二率　三十六度割线　一二三六○七

　　三率　酉戌半大横线　三十○【九○一六九九】

　　四率　丑戌全边　　　三十八【一九六六】

　　论曰五等边各自其角作线至心分形为五则各得七十二度角【如丑巳戌等其巳角皆七十二度】其半必三十六度【如寅已丑之巳角得戊已丑之半正三十六度】而丑戌酉与丑巳寅皆句股又同用丑角则戌角与巳角等为三十六度

　　十二等面求积

　　平面中垂线【卯己】二十六【二八六五】

　　边【即丑亥丑戌等】三十八一九【六六】　半边【即丑卯丑寅】一十九【○九八三】一面之平幂二千五百一十○【一三七○】

　　内容浑圆半径四十二【四三二五】　即分体五面立锥之中髙【已中】　中髙三之一一十四【一四四一】

　　分积三万五千四百九十五【八四七三】　其形为五面立锥其体积为十二之一

　　全积四十二万五千九百五十○【一六七六】

　　外切立方根一百　其积一百万

　　外切浑圆径一百○七【○四六六】

　　内容立方根六十一【八○三三九八】

　　外切立方与体内容立方径之比例若理分中末之全分与其大分

　　又若外切立方之外又切十二等面体体外又切大立方则大立方之径与今所算外切立方径亦若理分中末之全分与其大分而外切之十二等面与其内十二等面径亦必若理分中末之全分与其大分也

　　孔林宗云外立方与内立方之径为理分中末线全分与大分之比例是矣若内立方之内又容立圆则小立圆之径与小立方之径同而外浑圆与外立方之径不似未可以前比例齐之

　　若十二等面外切大立方大立方之外又切大立圆大立圆外又切十二等面则大立圆与内容小立圆亦必若理分中末之全分与其大分而外切十二等面与十二等面亦必若理分中末之全分与其大分何则皆外切立方与内容立方之比例也

　　十二等面容二十等面图

　　第一图

　　割十二等面之三平面一尖

　　成此形癸丑丙丑戊丑俱五

　　等边平面皆十二等面之一

　　【已庚辛各为其中心一防】

　　丑为三平面棱所聚之尖　亥丑戌丑乙丑俱平面边各为两平面所同用之棱　中为体心　巳中辛中庚中皆内切浑圆半径亦内容二十等面自尖至体心半径　巳卯庚卯巳寅辛寅辛壬俱平面中垂线　寅卯壬皆平面边折半之防

　　第二图

　　内容二十等面体各自其边

　　剖至心成此分体为内容体

　　二十分之一　辛庚巳三角

　　尖即十二等面之中心原防

　　此防以外俱剖而得甲防与卯防同在卯中线而甲在卯之下丁在寅下辰在壬下俱同

　　第三图

　　自卯防起依卯己卯庚二线

　　剖至体心中成此平面形卯

　　即原边折半处卯中即原体

　　外切立方之半径中即体心

　　已庚即原两平面之中心防今联为【已庚】线即内容二十等面之一边

　　已中庚即内切二十等面分体之立面乃三角锥体之一面　甲中为内切二十等面分体之斜垂线　观第二图可明【第二图角防居剖内三角之中心正对原体之丑尖而在其下故角中为内容分体之正髙而甲中为斜垂线也】

　　今求已庚线【即内容二十等面之边】

　　法于卯中【外切立方半径】内求甲中以相减得卯甲为股用与卯已【原体之面上中垂线】两幂相减开方得句为已甲倍之得巳庚

　　卯已中三角形

　　卯中即外切立方半径设五十为底

　　卯已即原体之平面中垂线二十六【二八六五】

　　巳中即内容浑圆半径亦即

　　内容二十等面分体之斜棱四

　　十二【五三二五】

　　以卯巳巳中两相减为较

　　相并为总以总乘较为实卯中底五十为法除之得亢中二十二【三六○六】以减卯中余二十七【六三九四】为亢卯折半得一十三【八一九七】为卯甲

　　计开

　　立方根设一百其半五十【即卯中】亦为十二等面自体心至边

　　十二等面之平面中垂线【即卯巳】二十六【二八六五】

　　十二等面内容浑圆半径【即已中】四十二【五三二五】亦为内容二十等面自尖角至体心分体以为锥体之棱

　　卯巳已中之较一十六【二四六○】　总六十八【八一九○】

　　较总相乘一千一百一十八【○三三四】为实　卯中五十为法除之得中亢二十二【三六○六】　以中亢减卯中五十余二十七【六三九四】为亢卯折半得一十三【八一九七】为卯甲以卯甲减卯中余三十六【一八○三】为甲中即内容二十等面分体之斜垂线

　　卯巳自乘得六百九十○【九八○○】为幂

　　卯甲自乘得一百九十○【九八

　　四一】为股幂　相减余四百九

　　十九【九九五九】为勾幂　开方得

　　巳甲二十二【三六○五】　倍之得

　　巳庚四十四【七二一一】即为内容二十等面边

　　此法甚确亦且甚防无可疑者偶于枕上又思得一法借灯体分形之三角锥以求十二等面内容二十等面分体之三角锥是以锥体相截而知其所截之

　　边即为内容二十等面之边

　　第一图

　　丑为三平面所聚之尖　丑

　　戌丑亥丑乙皆两平面同用

　　之棱　巳庚辛皆五等边平

　　面之心　己寅己卯等皆平面心至边垂线　已牛丑为平面心对角线　寅卯壬皆平面边折半之防　寅中卯中壬中为体心至边线即外切立方半径　中为心

　　第二图

　　聮寅卯卯壬壬寅三线为平

　　三角面横剖之又各依寅中

　　卯中壬中线剖至体心中则

　　成三角锥体二其一为丑寅

　　卯壬体是三角锥而稍扁者也其一为寅卯壬中体是三角锥而稍长者也其寅卯壬三角平面为扁形之底又为长形之面其寅卯等线与寅中卯中之比例皆若理分中末之大分与其全分也其扁形锥既剖而去则成圆灯所存长锥即灯形分体之一平面心之防为斗在丑尖下与牛防平故丑牛为则斗牛如勾而丑牛之距如股也

　　第三图

　　又于圆灯分体剖去辰甲丁

　　之一截则成甲丁辰中三角

　　锥乃十二等面内容二十等

　　面分体中之分体其辰甲丁面与巳庚辛脗合为一葢巳庚辛者内容二十等面之一面各于边折半为甲丁辰而聮之为线则成小三角于中故辰丁等线皆居巳庚线之半而甲中原为二十等面分体之斜垂线者今则为三角锥之楞

　　第四图

　　己牛丑即原平面从心至角

　　尖之线丑斗角中即原体自

　　尖至中心之线又为外切浑圆半径

　　依第二图截丑巳于牛而横剖之亦截丑中于斗成丑斗牛勾股形　又依第三图截斗中于角成丑角巳勾股形此两勾股相似而比例等

　　法为丑牛与丑斗若丑巳与丑角也

　　第五图

　　寅中卯三角形为圆灯分体

　　之立面截为甲丁中三角形

　　此两形相似而比例等　法为卯中与卯寅若甲中与甲丁也

　　又斗中为圆灯分体之中髙其平面为寅卯壬角中为截体之中髙其平面为丁甲辰此两体相似而线之比例等　法为斗中髙与寅卯濶若角中髙与甲丁濶先求丑斗髙

　　用截去扁三角锥以牛卯【即寅卯之半】自乗幂三分加一以减丑卯幂为丑斗幂开方得丑斗高

　　次求丑角髙

　　用巳丑对角线乗丑斗以丑牛除之得丑角髙　其丑牛线以牛卯幂减丑卯幂开方得丑牛　巳寅丑寅两幂并开方为己丑

　　末求巳庚线

　　用丑角减丑中得角中　又用丑斗减丑中得斗中以角中乘寅卯以斗中除之得甲丁倍甲丁得己庚为内容二十等面之边

　　理分中末线　以量代算

　　先以巳为心作图而匀分其

　　边为五作甲庚乙丙丁五等

　　边平面【即十二等面之一面】

　　乙丁为大横线设一百甲庚

　　等边必六十一【八○三三九八】为大横线理分中末之大分若乙丁大横线设六十一【八○三三九八】则甲庚等边必三十八【一九六六】亦为大横线理分中末之大分

　　设立方一百　内容十二等面边三十八【一九六六】为理分中末之小分亦即大分之大分

　　十二等面内又容小立方其边与十二等面之大横线等六十一【八○三三九八】为大立方边一百与十二等面边三十八【一九六六】之中率何也大立方一百乘十二等面边三十八【一九六六】开方得根即小立方及大横线六十一【八○三三九八】

　　若大横线自乗之幂以十二等面边除之即仍得外立方根而以外立方根除大横线幂必仍得十二等面之边矣

　　求理分中末线防法　用前图

　　作五等边平面　求其大横线【乙丁】　聮两角为线即得之

　　次以大横线之一端【如乙】为心其又一端【如丁】为界作丁戊圆分乃引五等边与圆分相遇【如引乙丙至戊与圆分遇于戊】则相遇处【如戊】至圆心【如乙】为全分【即乙戊亦即乙丁大横线】原边为大分【即乙丙】引出余边为小分【即丙戊】

　　又法

　　作平三角使两角【如戊如丁】俱倍大于一角【如乙】末乃破一倍

　　角平分之作线至一边【如平分丁

　　角为两作丁丙线至乙戊边】则其斜线即

　　为理分中末之大分【即丁丙也】

　　解曰倍破角则与小角等【如破丁角为两皆与乙角等】而乙丙丁形之乙丁两角同大则【乙丙丁丙】两亦同大而乙丙既为大分丁丙亦为大分矣准此又破丙角可以递求于无穷诸体比例

　　凡诸体之比例有三

　　一曰同边之比例可以求积

　　一曰同积之比例可以求边

　　一曰相容之比例可以互知

　　内相容之比例亦有三

　　一曰立圆内容诸体之比例　所容体又容立圆一曰立方内容诸体之比例　所容体又容立方一曰诸体自相容之比例【即同径同髙之比例】或或两体互相容或数体递相容

　　等积之比例　比例规解所用今攷定

　　立方积　　　一○○○○○○　其边一百

　　四等面积　　一○○○○○○　其边二百○四八等面积　　一○○○○○○　其边一百二十八十二等面积　一○○○○○○　其边五十

　　二十等面积　一○○○○○○　其边七十七方灯

　　圆灯

　　凡方灯依楞剖之纵横斜侧皆六等边平面凡圆灯依楞剖之纵横斜侧皆十等边平面故皆有法形体

　　等边之比例　测量全义所用今攷定

　　立方边　　一○○　　　　积一○○○○○○方灯体边　○七○七一○六积○八三三三三三

　　边　一○○　　　　　积二三五七○二一

　　八等面边　○七○七一○六　积○一六六六六六

　　边　一○○　　　　　积○四七一四○四

　　四等面边　一○○　　　　　积○一一七八五一

　　十二等面边一○○　　　　　积七六八二二一五

　　二十等面边一○○　　　　　积二一八一八二二圆灯体边　○三○九○一七　积○二九○九二九

　　边　一○○　　　　　积○九八五九一六

　　等径之比例　　　皆立方所容

　　立方径　　　　一○○积一○○○○○○　边【一○○】内容方灯径　　一○○积○八三三三三三　边【○七○七一○六】内容四等面径　一○○积○三三三三三三　边【一四一四二一三】内容八等面径　一○○积○一六六六六六　边【○七○七一○六】内容立圆径　　一○○积○五二三八○九

　　内容二十等面径一○○积○五一五二二六　边【○六一八○三四】内容十二等面径一○○积○四二五九五○　边【○三八一九六六】内容圆灯径　一○○积○二九○九二九　边【○三○九○一七】右以立方为主而求诸体

　　内立方及灯体之径为自面至面

　　四等面十二等面二十等面之径皆自边至边【以边折半处作垂线至对边折半处形如工字四等面则上下边遥相午错如十字】

　　八等面之径为自尖至尖　然皆以其径之两端正切于立方方面之中心一立方面其相切亦必六求积约法

　　凡立方内容诸体皆与立方之六面同髙同濶　则灯形积为立方积六之五　四等面积为立方积三之一八等面积为立方积六之一　以上三者皆方斜比

　　例

　　灯形及八等面皆以方求斜法以边自乘倍之开方得外切立方径以径再自乘得立方积取六之五为灯六之一为八等面积

　　四等面则以方求其半斜法以边自乘半之开方得外切立方径以径再自乘为立方积取三之一为四等面积

　　立圆在立方内则其积为立方积二十一之十一谨按方圆比例祖率圆径一百一十三圆周三百五十五见郑世子律学新説较径七周二十二之率为宻又今推平圆居平方四百五十二分之三百五十五较十四分之十一为宻又推得立圆居立方六百七十八分之三百五十五较二十一分之十一为宻

　　准立方比例以求各体自相比　皆以同髙同阔同为立方所容者较其积

　　灯内容同髙之八等面　为八等面得灯积五之一又立圆内容同髙之八等面　为八等面得圆积六十六之二十一【即二十二之七】　二者皆同髙而又能相容用课分法母互乘子得之

　　准此而知立圆内容八等面其积之比例若围与径也

　　又立方内容十二等面其内又容八等面　又立方内容二十等面其内又容八等面　二者亦同髙而能相容

　　同髙之四等面积为灯积五之二【即十之四　以灯面四因退位得四等面积】同髙之八等面积为四等面积二之一

　　同髙之四等面积为立圆积十一之七

　　此三者但以同髙同为立方所容而不能自相容若相容则不同髙

　　凡立方之灯形内又容立方则内小立方边与径得外立方三之二体积为二十七之八面幂为九之四凡灯容立方以其边为方而求其斜为外切之立方边取方斜三之二为内立方边

　　立方边一○○　　　　　　面幂一○○○○　　　体积【一○○○○○○】

　　灯边　　○七○七一○六　面幂○五○○　　　　体积【○八三三三三三】小立方边○六六六六六六　面幂○四四四四四四　体积【○二九六二九六】凡方内容圆圆内又容方则内小方之幂得大方三之一防法以小方根倍之为等边三角形之边而求其中垂线即外切立圆之径亦即为外大方之边

　　如图三边既等则乙丙得甲丙之半若乙丙一其幂亦一而甲丙二其幂则四以乙丙句幂一减甲丙幂四所余

　　为甲乙股幂三

　　内方之幂一而外切浑圆之

　　幂三故其根亦如乙丙与甲

　　乙也　或以小立方之根为句倍根为求其股为外切浑圆径亦同【浑圆径即外方边】

　　若以量代算则三角形便

　　如以大方求小方者则以大方为中垂线而作等边三角形其半边即小方根也

　　或用大方为股而作句股形使其句为之半即得之防法句股形使甲角半于丙角则倍于句而句与股如小立方根与大方根

　　或以甲角作三十度而自乙作垂线引之与甲丙线遇于丙则乙丙即圆所容方之根

　　又按先有大方求小方者取大方根倍之为等边三角形之边而求其中垂线以三归之即得

　　凡立方内容方灯灯内又容立圆圆内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其外切于立方也皆同防【切立方有六处所同者皆在其方面之最中一防若从此一防刺一针则五层悉透内惟方灯以面切面不可言防若言防则有十二皆切在立方边折半处】

　　凡立方内容方灯灯内又容十二等面体体内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其切于立方也皆同处【凡六处皆在立方面内方灯体以面切面十二等面以边切余皆以尖切尖切者皆每面之最中防】凡立方内容方灯灯内又容二十等面体体内又容圆灯灯内又容八等面同上

　　凡立方方灯立圆十二等面二十等面圆灯内所容之八等面皆同大

　　凡立方内容四等面体体内又容八等面其切立方皆同处【四等面以边切为立方六面之斜八等面以尖切居立方各面中心即四等面边折半处】准此而知立方内所容之八等面与四等面所容之八等面亦同大且同髙各体中所容八等面皆同大因此可知

　　凡立圆内容十二等面体　又容立方其立方之角同十二等面之尖而切于立圆故立圆内所容之立方与十二等面内所容之立方同大

　　凡二十等面体内容立圆　内又容立方立方之角切立圆以切二十等面之面故立圆所容之立方与二十等面内所容之立方必同大

　　凡二十等面体内容立圆　内又容十二等面体体内又容立方此立方之角切十二等面之角以切立圆而切于二十等面之面皆同处

　　凡诸体能相容者其相容之中间皆可容立圆此立圆为外体之内切圆亦为内体之外切圆

　　惟八等面外切二十等面十二等面四等面及圆灯其中间难着立圆何也八等面之切圆灯以尖切尖而其切四等面十二等面二十等面则以尖切边故其中间不能容立圆

　　其他相切之中间能容立圆者皆以内之尖切外之面凡诸体在立方内即不能外切他体惟四等面在立方内能以其角同立方之角切他体故诸体所容四等面之边皆与其所容立方之面为斜线

　　凡诸体相容其在内之体为所容其在外之体为能容能容与所容两体之相切必皆有一定之处

　　凡相容两体之相切或以尖或以边【即体之棱】或以面浑圆在立方内为以面切面其相切处只一防皆在立方每面之中央【立方六面相切凡六防】

　　立方在浑圆内为以尖切面【立方之角有八故相切有八防】有一防不相切者即非正相容也

　　浑圆在诸种体内皆与在立方内同谓其皆以面切诸体之面而切处亦皆一防也然其数不同如四等面则切防有四方灯则切防有六八等面则切防有八十二等面及圆灯则切防有十二二十等面则切防有二十其切防之数皆如其面之数而皆在其面之中央也方灯则以其方面为数圆灯则以其五等边之面为数而不论三角之面者何也三角之面距体心逺故不能内切立圆也

　　诸体在浑圆内皆与立方在浑圆内同谓其皆以各体之尖切浑圆之面也其数亦各不同如四等面则切防亦四方灯则切防十二八等面则切防六十二等面则切防二十二十等面则切防十二圆灯则切防三十皆如其尖之数也

　　四等面在立方内以边棱切立方之面四等面有六棱以切立方之六面皆徧其四尖又皆切于立方之角十二等面二十等面在立方内皆以其边棱切立方之面两种各有三十棱其切立方只有其六以立方只有六面也

　　此三者为以楞切面

　　八等面在立方内以尖切面凡六防　圆灯在立方内亦以尖切面有六防皆在立方面中尖与八等面同方灯在立方内则以面切面皆方面也方灯之方面六亦与立方等也其十二尖又皆切于立方之十二边楞皆在其折半处为防

　　十二等面与二十等面逓相容皆以内体之尖切外体之面

　　十二等面在八等面内以其尖切八等面之面体有二十尖只用其八也

　　方灯在八等面内亦以面切面而皆三角面方灯之三角面有八数相等也又其尖皆切于八等面各棱之中央折半处棱有十二与灯之尖正等也

　　圆灯在十二等面内以面切面皆五等边平面也圆灯体之五等边平面原有十二故也又皆以其尖切十二等面之边楞而皆在其中半

　　圆灯在二十等面内亦以面切面皆三角平面也圆灯体之三角平面原有二十故也又皆以其尖切二十等面之边楞而皆在其中半

　　问十二等面与二十等面体势不同而圆灯之尖皆能切其楞边何也曰圆灯有三十尖而两等面体皆有三十楞故也

　　凡能容之体皆可改为所容之体递相容者亦可递改如立方容圆即可刓方为圆浑圆容方即可削圆为方递相容者如立方内容浑圆圆内又容十二等面体体内又容二十等面即可递改

　　凡所容之体皆可补为能容之体皆以数求之

　　如立方外切立圆以其尖角则求立方心至角之线为立圆半径

　　凡以面切面者其情相通

　　如方灯以其方面切立方面又能以其三角切八等边面则此三者皆方斜之比例也

　　又如圆灯以其五等边面切十二等面又能以其三角面切二十等面则此三者皆理分中末之比例也若反用之而令立方在方灯之内则立方之尖所切者必三角面若八等面在方灯之内则其尖所切又必方面也若令十二等面在圆灯内则所切者必三角面而二十等面居圆灯内所切者又必五等边面也故曰其情相通

　　诸体相容

　　凡立圆立方皆可以容诸体

　　凡立圆内容立方立方内又可容立圆两者不杂他体可以相生而不穷

　　凡立圆内容立方此立方内又可容四等面四等面又可容立圆三者以序进亦可以不穷

　　凡立圆内容立方又容四等面四等面在立方内以其尖切立圆与立方尖所切必同防

　　凡立圆容四等面在立圆所容立方内必以其楞为立方面之斜依此斜线衡转成圆柱形必为立圆之所容而此柱形又能含立方

　　外圆者柱之底若面内方者

　　立方之底若面直而斜者四

　　等面之边

　　凡四等面体在立圆内任以一尖为顶以所对之面为防旋而作圆锥此锥体必为立圆之所容而不能为立方之容

　　此两体虽非正相容体然皆有法之体

　　凡立方内可容八等面八等面又可容立方而相与为不穷

　　凡立方有六等面八尖八等面有八等面六尖故二者相容则所容体之尖皆切于为所容大体之面之中央而等

　　凡立方内容立圆此立圆内仍容八等面其八等面尖切立圆之防即可为切立方之防

　　八等面内容立圆此立圆内仍容立方则立方尖切立圆之防亦即可为其切八等面之防

　　凡立圆可为诸等面体所容其在诸体内必以圆面一防切诸体之各面此一防皆在其各等面之中心而等而徧

　　凡八等面内容立圆仍容立方　立方内仍容四等面而四等面以其角切立方角即可同立方角切立圆以切八等面叠串四体皆一防相切必在八等面各面之中心

　　立方设一百内容二十等面边六十一【八○三三九八】内又容立圆也十三【四一七二】

　　简法取内容立圆径幂三之一开方得内容小立方再以小立方为理分中末之全分而求其大分得内容十二等面边

　　凡十二等面二十等面皆能为立圆之所容皆以其尖切浑圆凡十二等面二十等面皆能容立圆皆以各面之中心一防正与浑圆相切

　　凡十二等面与二十等面可以互相容皆以内体之尖切外体之各面中心一防

　　凡十二等面内容浑圆浑圆内又容二十等面与无浑圆者同径二十等面内容浑圆浑圆内又容十二等面亦与无浑圆同径何也浑圆在各体内皆以其体切于外体各面之中心防而此防即各内体切浑圆之防故也以上皆可以迭串相生而不穷

　　凡十二等面内容浑圆浑圆内又容十二等面亦可以相生不穷

　　二十等面与浑圆递相容亦同

　　凡立方内容十二等面皆以十二等面之边正切于立方各面之正中凡六皆遥相对如十字

　　假如上下两面所切十二等

　　面之边横则前后两面所切

　　之边必纵而左右两面所切

　　之边又横若引其边为周线

　　则六处相交皆成十字

　　立方内容二十等面边亦同

　　凡各体相容皆以内之尖切

　　外之面惟立方内容四等面

　　则以角而切角立方内容十

　　二等面二十等面则以边而

　　切面

　　厯算全书卷五十七

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷五十八

　　宣城梅文鼎撰

　　防何补编卷四

　　方灯

　　凡灯形内可容立方立方在灯体内必以其尖角各切于八三角面之心

　　如图

　　灯体者立方去其八角也平

　　分立方面之边为防而联为

　　斜线则各正方面内成斜线

　　正方依此斜线斜剖而去其

　　角则成灯体矣此体有正方

　　面六三角面八而边线等故

　　亦为有法之体

　　凡灯体内可容八等面八等面在灯体内又以其尖角各切于六方面之心

　　凡灯体内可容立圆此立圆内仍可容八等面此八等面在立圆内可以各角切立圆之防同防于灯体之六方面而成一防

　　凡灯体容立圆其内仍可容诸体然惟八等面在立圆内仍能切灯体余不能也按圆灯在立圆内亦能切灯体与八等面同

　　凡诸体相容皆有一定比例以其外可知其内

　　灯体之边设一百其幂一万○倍之二万开方得一百四十一【四二一三】为灯之高及其腰广【边如方面高广如斜故倍幂求之】以高一百四十一【四二一三】乘方斜之面幂二万得二百八十二万八千四百二十六为方斜之立方积

　　立方积五因六除得二百三十五万七千○二十一为灯积

　　灯积为立方六之五

　　以灯积减立积余四十七万一千四百○五为内容八等面积此八等面在立积内亦在灯积内皆同腰广同高　其积之比例为立积六之一为灯积五之一此相容比例

　　八等面与灯积不惟同高广亦且同边故五之一亦即为八等面与灯积同边之比例也

　　灯形内容立方其边为灯体高广三之二　设灯体边一百其高广一百四十一【四二一三】则内容立方边九十四【二八○八】立方积八十三万八千○五十一

　　灯高广自乘之幂二万如左图甲乙方去其左右各六之一余三之二如丙丁矩又去其两端六之一余三之

　　二如戊正方丙丁矩一万三千

　　三百三十三【三三】戊正方八千

　　八百八十八【八八】为内容正方

　　之一面幂其根九十四【二八○八】以根乘面得八十三万八千

　　○五十一

　　凡等边平三角之心依边剖

　　之皆近大边三之一灯内容

　　立方之八角皆切于平三角

　　之心灯改立方则所去者皆

　　四围斜面三之一于前形爲六之一四围皆六之一合之爲三之一而所存必三之二矣

　　凡立方体各自其边之中半斜剖之得三角锥八此八者合之卽同八等面体

　　依前算八等面体其边如方其中高如方之斜若以斜径爲立方则中含八等面体而其体积之比例爲六与一

　　何以言之如己心辛爲八等

　　面之中高庚心戊爲八等面

　　之腰广己庚己戊戊辛辛庚

　　则八等面之边也若以庚心

　　戊腰广自乗爲甲乙丙丁平面又以己辛心中高乗之爲甲乙丙丁立方【立方一面之形与平面等】则八等面之角俱正切于立方各面之正中而爲立方内容八等面体矣夫己心辛庚心戊皆八等面【己庚等面】爲方之斜也故曰以其斜径爲立方则中含八等面体也

　　又用前图甲乙丙丁爲立方之上下平面从己庚庚辛辛戊戊己四线剖至底则所存爲立方之半而其所剖

　　三角柱体四合之亦爲立方之

　　半也

　　此方柱也其高之度如其方之斜

　　立方之四隅各去一立三角

　　柱则成此体　其积爲立方

　　之半爲八等面之三倍其中

　　仍容一八等面体

　　八等面体在方柱体内

　　柱形从对角斜线【如己辛戊庚】剖

　　至底又从对边十字线【如丑尾卯

　　箕】剖至底又从腰线【角申亢】横

　　截则剖为三角柱一十六【即皆

　　如心辛申未丑之体】

　　三角柱眠视之则堑堵也

　　堑堵从一尖【即心尖】斜剖至对

　　底【未申】则鼈臑也鼈臑居堑堵

　　三之一

　　堑堵立则为三角柱鼈臑立

　　则为三角锥

　　八等面体从尖心剖至对角

　　亦剖至对边而皆至底【子】又

　　从腰【角申亢】横剖之则成三角

　　锥十六

　　夫方柱为堑堵十六而八等

　　面为鼈臑亦十六则堑堵鼈

　　臑之比例即方柱八等面之

　　比例矣鼈臑为堑堵三之一

　　则八等面亦方柱三之一矣方柱者立方之半也八等面既为方柱三之一不得不为立方六之一矣

　　立方内容灯体

　　甲庚立方体六面各平分其

　　边【如壬丑癸卯及子未酉午辰诸防】而斜剖

　　其八角【如从丑癸剖至子从从癸卯剖至酉从酉

　　剖至午未则立方去其八角】成灯体

　　灯体立方六之五

　　何以知之立方所去之八角

　　合之即成八等面八等面既

　　为立方六之一则所存灯体

　　不得不为立方六之五矣

　　凡立方内容灯体皆以灯之边线为立方之半斜立方内之灯体又容八等面则以内八等面之边线为立方之半斜与立方竟容八等面无异推此灯内容八等面其边线必等其中径亦等

　　剖立方之角成此

　　以剖处为底则三边等以立

　　方之角丁为顶成三角扁锥

　　扁锥立起则成偏顶锥为八

　　等面分体

　　凡八等面容灯体皆以灯体

　　之边线得八等面之半八等

　　面内之灯体又容立方则亦

　　方斜比例与八等面竟容立

　　方无异也

　　甲丙丁丙丁乙甲丁戊戊丁

　　乙皆八等面之一己子卯等

　　小三角在甲丁丙等大三角

　　面内即灯体之八斜面正切

　　于八等面者也其中央心防

　　即内容立方角所切

　　等径之比例

　　立方径一　　　其边一　　其积一　　一○○○○○○内容灯径一　　其边○七　其积六之五○八三三三○○内容八等面径一　其边○七　其积六之一○一六六六○○凡立方内容灯体灯内又容立圆圆内又容八等面其切于立方之面之中央凡六处皆同一防若立圆内容灯体灯内又容立方方内又容八等面其相切俱隔逺不能同在一防

　　凡灯体皆可依楞横剖如方灯横剖成六等边面故其外切立圆之半径与边等　如圆灯横剖成十等边面故其外切立圆之半径与其边若理分中末之全分与其大分

　　凡诸体改为灯皆半其边作斜线剖之

　　凡灯体可补为诸体皆依其同类之面之边引之而防于不同类之面之中央成不同类之锥体乃虚锥也虚者盈之即成原体所以化异类为同体也

　　如方灯依四等边引之补其八隅成八尖即成立方若依三等边引之补其六隅成六尖即成八等面如圆灯依五等边引之补其二十隅成二十尖即成十二等面若依三等边引之补其十二隅成十二尖即成二十等面

　　増异类之面成锥则改为同类之面而异类之面隐此化异为同之道也

　　凡灯体之尖皆以两线交加而成故棱之数皆倍于尖【方灯十二尖二十四棱圆灯三十尖六十棱】

　　凡灯体之棱【即边】皆可以联为等边平面圏　如方灯二十四棱联之则成四圏每圏皆六等边如六十度分圆线　圆灯六十楞联之则成六圏每圏皆十等边如三十六度分圆线　此外惟八等边联之成三圏每圏四楞成四等面而十二棱成六尖有三棱八觚之正法其余四等面十二等面二十等面皆不能以边正相联为圏

　　灯体亦有二

　　其一为立方及八等面所变其体有正方之面六三角之面八有边棱二十四而皆同长棱尖凡十有二其一为十二等面二十等面所变其体有五等边之面十二有三角等边之面二十有边楞六十而皆同长棱尖凡三十

　　立方及八等面所变是刓方就圆终方势谓之方灯十二等面及二十等面所变是削圆就方终带圆体谓之圆灯方灯为立方及八等面所变其状并同而比例同

　　甲乙立方体丙丁戊己庚辛

　　壬癸子皆其边折半处各于

　　折半防联为斜线【如丙戊丙己等】依

　　此灯体斜线剖而去其角则

　　成灯形矣

　　灯形之丁辛高丙丁濶皆与立方同径　其边得立方之半斜【假如立方边丁辛一百则灯体边丁壬七十有竒】其积得立方六之五【假如立方边一百其积百万则灯体边七十有竒其积八十三万三千三百三十三三三】此为立方内容灯体之比例也若灯与立方同边必反小于灯【假如灯体边亦一百则其积二百三十五万七千○二十一而立方一百之积只一百万是反小于灯也】解曰灯体边一百【如前图之丁壬】其外切立方必径一百四十一【四二一三如前图之丁辛】其自乘之幂二万以径乘幂得二百八十二万八四二六为立方积再五因六除得灯积二百三十五万七千○二十一

　　又法以灯边自乘倍之开方得根仍以根乘倍幂再五因六除

　　见积亦同

　　甲乙为八等面体　甲乙丙

　　丁戊皆其边棱所辏之尖

　　甲丙丁面三边皆等其三边

　　折半于辛于庚于己

　　甲丁戊面其边折半于辛于

　　壬于癸乙丙丁面其边折半

　　于寅于己于丑乙丁戊面其

　　边折半于丑于癸于子各以折半防联为斜线则各成小三等面如甲丙丁面内又成庚辛己三等边面其边皆半于原边如庚辛得丁丙之半余三边同

　　各自其小三角之面之边剖之而去其锥角则成灯形矣

　　如依辛巳己丑丑癸癸辛四边平剖之而去其丁角【以丁角为尖辛巳丑癸为底成扁方锥甲丙乙戊尖并同】则所剖处成辛巳丑癸平方面【去甲壬辛庚锥成卯壬辛庚面去丙庚己寅锥成庚酉寅己面并同一法余可类推】

　　八等面体有六角皆依法剖之成平方面六而剖之后各存原八等面中小三角等边面八与立方剖其八角者正同

　　灯形之高濶皆得八等面之半

　　如辛丑高得甲乙之半

　　己癸濶得丙戊之半

　　其边亦为八等面原边之半

　　其积得八等面八之五

　　何以知之曰同类之体积以

　　其边上立方积为比例故边

　　得二之一其积必八之一也

　　今所剖去之各尖俱以平

　　方为底而成方锥两方锥合

　　为一八等面体皆等面等边

　　与原体为同类而其边正得

　　原边二之一则其积为八之

　　一也　原体六尖各有所成之锥体皆相等合之成同类八等面之体凡三其积共为原积八之三以为剖去之数则所存灯体得八之五也

　　如上图甲乙二锥合为八等面体一丙戊二锥合为八等面体一　丁尖及所对之尖其二锥合为八等面体一　通共剖去同类之形三

　　假如八等面之边一百则其积四十七万一千四百○四其所容灯体边五十其积必二十九万四千六百二十七五　以八等面积五因八归之见积

　　或用捷法竟以十六归进位所得灯积亦同

　　右法乃八等面内容灯体比例也

　　若灯体之边与八等面同大则其积五倍大于八等面假如灯体边一百则其积二百三十五万七千○二十以八等面边一百之积四十七万一千四百○四加五倍得之　此法则灯体与八等面同为立方所容之比例亦即为灯内容八等面之比例

　　准此而知灯内容八等面八等面又容灯则内灯体为外灯体八之一

　　灯体内容八等面　五之一　【用畸零乘法化大分为小分以八等面母数八乘五之一】八等面内容灯体　八之五　【得八乘母数五得四十】

　　外灯体四十　八等面体八　内灯体五　合之为内体得外体四十之五约为八之一

　　又八等面容灯灯又容八等面内八等面亦为外八等面八之一　其体之比例既同则其所容之比例亦同也立方内容灯体灯内又容立方则内立方边得外立方边三之二内立方积得外立方积二十七之八

　　以三之二自乘再乘为三加之比例也

　　六　之　五　一百三十五

　　二十七之八　四十八

　　准此而知灯内容立方则内立方积得灯积一百三十五之四十八　若灯容立方立方又容灯则内灯积亦为外灯积二十七之八其为所容者之比例即能容者之比例故也求方灯所去锥体

　　三角锥棱皆五十即原边之

　　半【甲乙甲丙甲丁】　底之边皆七十

　　○【七一○七】即灯体之边【丙乙乙丁丁丙】其半三十五【三五五三乙戊戊丁】

　　求甲戊斜垂线

　　法曰乙丁为甲乙之方斜线则甲戊为半斜与乙戊戊丁等皆三十五【三五五三】其幂皆一千二百五十

　　求丙戊中长线

　　以戊丁幂三因之为丙戊幂平方开之得六十一【二三七二】为丙丁乙等边三角形中长线

　　求甲己中高线

　　法以戊丁幂【一千二百五十】取三之一为己戊幂【四百一十六六六六六】与甲戊幂【即丁戊幂】相减余【八百三十三三三三三】为甲己中高幂开方得甲己中高二十八【八六七五】

　　又以己戊幂开方得己戊二十○【四一二四】以己戊【二十○四一二四】乘戌丁【三十五三五五三】得【七百二十一六八六五】又三因之得【二千一百六十四○五七五】为乙丙丁三等边幂

　　又以中高甲己【二十八八六七五】乘之得数三除之得三角锥积二万○八百二十三【六六三五】又八乘之得一十六万六千五百八十七【三○】为所去八三角锥共积即立方一百万六之一与前所推合【本该一十六万六千六百六十六六六不尽因积算尾数有欠然不过万分之一耳】

　　圆灯为十二等面二十等面所变体势并同而比例亦别

　　公法皆于原边之半作斜线相联则各平面之中成小平面此小平面与原体之平面皆相似即为内容灯体之面　依此小平面之边平剖之去原体之锐角此所去之锐角皆成锥体锥体之底平割锥体则原体挫锐为平亦成平面于灯体原有若干锐亦成若干面而与先所成之小平面不同类然其边则同

　　如图

　　十二等面每面五边等今自

　　其各边之半联为斜线则成

　　小平面于内亦五等边为同

　　类

　　依此斜线剖之而去其角所

　　去者皆成三角锥锥体既去

　　即成三等面为异类

　　原有十二面故所存小平面

　　同类者亦有十二

　　原有二十尖故所剖锥体而

　　成异类之面者亦二十

　　求灯体边

　　法以十二等面边为理分中末之大分求其全分而半之即为内容灯体之边

　　一率　理分中末之大分　　六十一【八○三三九八】二率　理分中末全分之半　五十○

　　三率　十二等面之边　　　一百○○

　　四率　内容灯体之边　　　八十○【九○一七】

　　灯体边原为大横线之半十二等面边与其大横线若小分与大分则亦若大分与全分也而十二等面边与灯边亦必若大分与全分之半矣

　　总乘较为实戊丙底为法法

　　除实得丙辛以丙辛减戊丙

　　得戊辛折半为戊己

　　法当以所得戊己自乘为句

　　幂用减甲戊幂余为甲己幂

　　开方得一十七【八四一一】为中高

　　今改用捷法【省求丙辛】取戊丙幂

　　九之一为戊己幂【戊己为戊内三之一

　　故其幂为九之一】得五百四十五【四二

　　三七】

　　或径用戊丁幂三之一亦同

　　又捷法不求甲戊斜垂线但以戊丁幂三分加一以减甲丁【即甲丙或甲乙】幂为甲己幂开方即得甲己中高比前法省数倍之力

　　戊丁幂　一千六百三十六【二七一二】

　　三之一　　　五百四十五【四二三七】

　　并得　　二千一百八十七【六九四九】

　　甲丁【即甲丙幂】二千五百○○

　　相减余【甲乙幂】　三百一十八【三○五一】　　与前所得同解曰原以戊丁幂减甲丁幂得甲戊幂复以戊丁幂三之一减甲戊幂得甲己幂今以戊丁三分加一而减甲丁幂即径得甲己幂其理正同

　　前之捷法有求丙辛及较总相乘后用底除诸法可谓捷矣今法径不求甲戊斜垂线捷之捷矣凡三角锥底濶等者当以为式

　　订定三角锥法【圆灯所去】

　　用捷法以戊丁幂三分加一减甲丁幂为甲己幂

　　甲丁【甲乙甲丙】皆设五十

　　丙丁【丁乙乙丙】皆八十○【九○一七】其

　　半【戊丁戊乙】四十○【四五○八半】丙戊七十○【○六二九】为底之垂线

　　甲己一十七【八四一一】为中高

　　丙乙丁底幂二千八百三十四

　　【一○三八】

　　法以半边【戊丁】乘中长【丙戊】得底幂【丙乙丁】　以中高【甲己】乘底幂【丙乙丁】得三角柱积五万○五百六十三【五二九三】　三除之得锥积一万六千八百五十四【五○九七】　又以二十乘之为灯体所去之积三十三万七千○九十○【一九四○】十二等面边设一百前推其积为七百六十八万三千二百一十五今减去积三十三万七千○九十存灯积七百三十四万五千一百二十五　内容灯体边八十○【九○一七】

　　依测量全义凡同类之体皆以其边上立方为比例可以推知二十等面所变之灯体

　　二十等面边设一百则灯体之边五十

　　捷法求得一百七十三万三千九百四十八为设边五十之灯积

　　一　灯体边八十○【九○一七】之立方五十二万九千○百○八【五】二　灯体积七百三十四万五千一百二十五

　　三　灯体边五十之立方一十二万五千

　　四　灯体五十之积一百七十三万三千九百四十八圆灯

　　边设三十○【九○一七即理分中末之大分乙丁】外切立圆半径五十【即理分中末之全分丁中乙中】外切立圆全径一百【即外切立方】体积四十○万三千三百四十九

　　内有三角锥计二十共计一十二万

　　八千七百五十二

　　五棱锥计十二共积二十七万四千

　　五百九十六

　　丁中丙乙三角锥为圆灯分体之一　乙丁丙三等边面巳为平面心　中为体心　中巳为分体之中高戊丁为半边丁中自体心至角线为分体之棱　戊中为斜垂线

　　乙癸中辛五棱锥亦圆灯分体之一　乙丁癸壬辛五等边面庚为平面心　中庚为分体中高　其戊丁半边丁中分体棱戊中斜垂线与前三角锥皆同一线何以知两种锥形得同诸线乎曰乙戊丁边两种分体所同用而两种锥体皆以体心中为其顶尖故诸线不得不同观上图自明

　　先算三角锥【共二十】

　　半边一十五【四五○八五】戊丁幂二百三十八【七二八七】

　　平面容圆半径【即戊巳】○八【九一○五】其幂七十九【五七六二用捷法取戊丁幂以三除得之】

　　平面积【乙丙丁面】四百一十三【四八七九】

　　中高【即己中】四十六【七○七五本法以戊丁幂减丁中幂为戊中幂又以戊丁幂三之一当戊己幂减之为巳中幂今径以戊丁幂加三之一减丁中幂为己中是捷法也】

　　三角锥积六千四百三十七【六六二○】

　　二十锥共积一十二万八千七百五十三【三四】

　　次算五棱锥【共十二】

　　半边一十五【四五○八五戊丁】

　　半周七十七【二五四二五用半边五因得之】

　　平面容圆半径二十一【二六六三戊庚】

　　五等边平积一千六百四十二【九一二○】

　　中高四十一【七八五三庚中】

　　五棱锥积二万一千九百六十二【六六】

　　十二锥共积二十七万四千五百九十六

　　求戊庚半径

　　一率　三十六度切线　○七二六五四

　　二率　全数　　　　　一○○○○○

　　三率　半边戊丁　　　一十五【四五八五】

　　四率　平面容圆半径【戊庚】二十一【二六六二】

　　戊丁句幂二百三十八【七二八七】丁中幂二千五百○○

　　戊中股幂二千二百六十一【二七一三】

　　戊庚句幂四百五十二【二五五五】戊中幂二千二百六十一【二七一三】庚中股幂一千八百○九【○一五八】

　　戊丁半边幂四因之为全边三十○【九○一七】之幂

　　一　灯体边五十之立方一十二万五千

　　二　灯体边五十之体积一百七十三万三千九百四

　　十八

　　三　灯体边三十○【九○一七】之立方二万九千五百○八

　　【四九八七】

　　四　灯体边三十○【九○一七】之体积四十○万九千三百二十九与细推者只差五千九百八十为八十分之一

　　柱积六万八千六百四十九

　　锥积二万二千八百八十三

　　十二锥共积二十七万四千五百九十六

　　孔林宗附记

　　方灯可名为二十四等边体　圆灯可名为六十等边体

　　四等面体又可变为十八等边体为六边之面四为三边之面四凡十二角

　　又可变为二十四等面体面皆三边凸边二十四凹边十二十字之交六凡八角如蒺藜形

　　六等面体又可变三十六等边体为八边之面六为三边之面八凡二十四角

　　八等面体亦可变三十六等边体为六边之面八为四边之面六凡二十四角

　　又可变四十八等边体为四边之面十八为三边之面八凡二十四角

　　大圆容小圆法　平浑

　　甲大圆内容乙戊丙三小圆

　　法以小圆径【如乙戊戊丙】为边作

　　等边三角形而求其心如丁

　　乃于丁戊【三角形自心至角线】加戊甲

　　【小图半径】为大圆半径【丁甲】

　　凡平圆内容三平圆四平圆五平圆六平圆皆以小圆自相扶立　若平圆内容七平圆以上皆中有稍大圆夹之

　　甲大浑圆内容丙戊乙己四

　　小浑圆法以小浑圆径【如乙戊戊

　　巳等】为边作四等面体而求其

　　体心如丁　次求体心至角

　　线【如丁戊丁己丁乙丁丙又为外切立圆半径】加小浑圆半径【即戊甲】为大圆半径【如丁甲】

　　凡浑圆内容四浑圆或容六浑圆或容八浑圆十二浑圆皆直以小浑圆自相扶　若浑圆内二十浑圆则中多余空必内有稍大浑圆夹之

　　甲大平圆内容乙戊丙己四

　　小平圆法以小圆径【如乙戊等】为

　　边作平方【如乙戊丙己方】而求其斜

　　【如丁乙即方心至小圆心线】加小圆半径

　　【如乙甲】为大圆半径【如丁甲】

　　若先有大圆【甲】而求所容小圆则以三率之比例求之一率　方斜并数　二四一四

　　二率　方根　　　一○○

　　三率　所设之浑圆半径　丁甲

　　四率　所容之小圆半径　乙甲

　　推此而知五等边形于其锐角为心半其边为界作小圆而以五等边之心至角如半边以为半径而作大圆则大圆容五小圆俱如上法

　　若六等边于其鋭作小圆仍可于其心作圆共七小圆何也六等面之边与半径等也其法只以小圆径【即六等边】

　　二分加一为大圆半径

　　甲大浑圆内容乙丙等六小

　　浑圆

　　法以小浑圆之径为边作八

　　等面虚体如乙己丙辛戊皆

　　小立圆之心联为线则成八

　　觚　乃求八等面心【丁】至角

　　之度【如丁乙等】加小圆半径【如甲乙】为大浑圆半径【如甲丁】

　　捷法以小浑圆径为方【即乙己丙

　　辛平方】求其斜【如丁乙】加小圆半

　　径【如甲乙】为大圆半径或以小浑圆径自乘而倍之开方得根加小圆半径为大圆半径亦同

　　或先得大圆而求小圆径则用比例

　　一率　方斜并　二四一四

　　二率　方根　　一○○

　　三率　所设大浑圆之径

　　四率　内容六小浑圆之径

　　甲浑圆内容乙丙戊已庚壬辛及癸丑子寅卯十二小圆

　　法以小立圆径【如乙丙等】作二十

　　等面虚体之棱【如乙丙等俱小圆之心联

　　为线则成二十等面之棱】次求体心【丁】至

　　角【即小圆心】之线【如乙丁】加小圆半

　　径【如甲乙】为大圆半径【如甲丁】按体心至角线即二十等面

　　外切圆半径

　　二十等面之例边一百【即小浑圆

　　例径】

　　外切浑圆例径二百八十八

　　【一三五五】

　　二十等面边一百者其外切浑圆径一百八十八奇又加小浑例径得此数

　　若先有大浑圆而求所容之十二小浑圆则以二率爲一率四率爲三率

　　一　外切浑圆之例径二百八十八【一三五五】

　　二　二十等面之例边一百【卽小浑圆例径】

　　三　设浑圆之全径一百

　　四　内容十二小浑圆之径三十八【六九　其比例如全四八　分与小分】甲庚大平圆内容七小圆

　　法以甲庚圆径取三之一【如丁

　　乙庚辛等】爲小圆径若容八圆以

　　上则其数变矣假如以七小圆

　　均布于大圆周之内而切于

　　边则中心一小圆必大于七

　　小圆而后能相切【以上仿此】

　　甲大浑圆内容八小立圆

　　法以小圆径作立方【如乙庚方】求

　　其立方心至角数【即外切浑圆半径如

　　乙丁】再加小圆半径【如甲乙】为大

　　浑圆半径【如甲丁】

　　按八小员半径十【甲乙】则其全径二十内斜线【乙丁】十七加【甲乙】共二十七内减小圆径二十余七倍之得十四是比小圆半径为小其比例为十之七安得复容一稍大小圆在内乎

　　又二十等面有十二尖可作十二小圆以居大浑圆之内而为所容

　　又八等面有六尖可作六小圆为大浑圆所容　四等面有四尖可作四小圆

　　又方灯亦有十二尖可作十二小圆为大浑圆所容其中容空处仍容一小圆为十三小圆皆等径也

　　十二等面有二十尖用为小浑圆之心可作二十小立圆以切大浑圆内有稍大浑圆夹之

　　圆灯尖三十可作三十小球亦皆以内稍大浑圆夹之公法皆以心至尖为小浑圆心距体心之度皆以小浑圆径为所作虚体边

　　如作内容二十小浑圆联其心成十二等面虚体虚体之各边皆如小浑圆径也虚体之各尖距心皆等此距心度以小浑圆半径加之为外切之大浑圆半径以小浑圆半径减之为内夹稍大浑圆半径

　　浑圆内容各种有法之体以查曲线弧面之细分公法凡有法之体在浑圆体内其各尖必皆切于浑圆之面

　　凡浑圆面与内容有法体之尖相切成防皆可以八线知其弧度所当

　　内惟八等面皆以弧线十字相交为正角余皆鋭角其十二等面则钝角

　　十二等面每面五边等析之从每面之角至心成平三

　　角形五则辏心之角

　　皆七十二度半之三

　　十六度即甲心乙角

　　其余心乙甲角必五

　　十四度倍之为甲乙

　　丁角则百○八度故

　　为钝角

　　凡浑圆面切防依内切各面之界联为曲线以得所分浑体之弧面皆如其内切体等面之数之形

　　如四等面则其分为弧面者亦四而皆为三角弧面十二等面则亦分弧面为十二而皆成五边弧形八等面则弧面亦分为八二十等面弧面亦分二十而皆为三角弧形内惟六等面为立方体所分弧面共六皆为四边弧形

　　凡浑圆面上以内切两防联为线皆可以八线知其几何长

　　其法以各体心到角之线命为浑圆半径以此半径求其周作圈线即为圆浑体过极大圈以八线求两防所当之度即知两防间曲线之长

　　凡浑圆面以曲线为界分为若干相等之弧面即可以知所分弧面之幂积

　　假如四等面外切浑圆依切防聨为曲线分浑圆面为四则此四相等三角形弧面各与浑圆中剖之平圆面等幂何也浑圆全幂得浑体中剖平圆面之四倍今以浑幂分为四即与浑圆中剖之平圆等幂矣

　　推此而知六等面分外切浑圆幂为六即各得中剖平圆三之二

　　八等面分浑圆幂为八即各得中剖平圆之半幂十二等面分浑圆幂为十二即各得中剖平圆三之一二十等面分浑圆幂为二十即各得中剖平圆五之一凡依等面切浑所剖之圆幂又细剖之皆可以知其分幂

　　假如四等面所分为浑圆幂

　　四之一而作三角弧面若中

　　分其边而防于中心则一又

　　剖为三为浑圆幂十二之一

　　与十二等面所分正等但十

　　二等面所剖为三边弧线等此所分为四边弧线形如方胜而边不等若自各角中防于心成三边形其幂亦不等也

　　再剖则一剖为六为浑圆面幂二十四之一【皆得十二等面所剖之半而边不等】若但一剖为二则得浑圆幂八之一与八等面所剖正等但八等面三边等又三皆直角此则边不等又非直角

　　假如八等面所剖为浑幂八

　　之一若一剖为二则十六之

　　一剖为四则三十二之一可

　　以剖为六十四至四千九十

　　六　若以三剖则浑幂二十四之一如十二等面之均剖亦如四等面之六剖也再细剖之可以剖为九十是依度剖也可以剖为五千四百则依分剖也再以秒防剖之可至无穷

　　惟八等面可以细细剖之者以腰围为底而两防于极其形皆相似故剖之可以不穷

　　又以此知曲面之容倍于平面何也八等面所剖之浑体腰围即平圆周也以平圆周之九十度为底两端皆

　　以平径为两以防于平圆

　　之心则其幂为平圆四之一

　　若浑体四面以腰围九十度

　　为底两端各以曲线为两

　　以防于浑圆之极则其幂为

　　平圆二之一矣

　　假如六等面【即立方】在浑圆内

　　剖浑幂为六得浑幂六之一

　　若一剖为二则与十二等面

　　所剖等剖为四则二十四之

　　一再剖则一为八而得四十

　　八之一

　　假如十二等面剖浑幂为十

　　二各得浑幂十二之一若剖

　　一为五则得六十之一再剖

　　一为十则得百二十之一而

　　与八等面所剖为十五之一

　　假如二十等面剖浑幂为二十各得浑幂二十之一若一剖二则四十之一若一剖三则六十之一若一剖六则百二十之一皆与十二等面所剖之幂等而边不必等也

　　凡球上所剖诸幂以为底直剖至球之中心成锥形即分球体为若干分

　　如四等面之幂得球幂四之一依其边直剖至球心成三角锥其锥积亦为球体四之一推之尽然

　　防何补编【补遗】

　　平三角六边形之比例

　　平三角等边形

　　甲丁丙三边等形其边【丁甲】折半

　　【丁乙】自乘而三之即为对角中

　　长线幂开方得中长线丙乙

　　既得中长线丙乙以乘丁

　　乙半边即等边三角形积　若以丙乙幂丁乙幂相乘得数平方开之得三等边形之幂积

　　防法不求中长线但以丁乙幂三因之与丁乙幂相乘开方得根即三等边幂积　或用原边丁甲自乘得数乃四分之取四之一与四之三相乘得数开方得三等边积亦同

　　论曰边与边横直相乘得积若边之幂乘边之幂亦必得积之幂矣故开方得积

　　法曰以原边之幂三因四除之又以原边之半乘之两次为实平方为法开之得三等边形幂积

　　解曰原边幂四之三即中长幂也半边乘二次以幂乘也　又法以原边与半边幂相减相乘开方见积平三角等边形幂积自乘之幂与平方形幂积自乘之幂若三与十六【理同前条】

　　解曰甲戊庚丁为平方形丁

　　丙甲为等边三角形其边同

　　为甲丁题言丁甲线上所作

　　三等边形与所作正方形其积之比例若平积三与十六之平方根也【即一七竒与四○】

　　防法于分面线上取三点为等边三角形积其十六点即正方积　若以边问积则以边之方幂数于分面线之十六点为句置尺取三点之句即得三等边积其设数得数并于平分线取之【此用比例尺算】

　　又法作癸卯辰半员辰癸为径于径上匀分十七分而尽一端取其四分如丑癸【丑癸为辰癸十七分之四则丑子为辰子十六分之三】

　　折半于丁以丁为心丁癸为

　　半径作癸壬丑小半员又以

　　丁癸折半于子作卯子直线

　　【与辰癸径为十字埀线】割小员于壬则

　　壬子与卯子之比例即三等

　　边幂与正方幂积比例

　　用法有三等边形求积法以甲丁边上方形【即庚甲】积作卯子直线如句四倍之作横线如辰子为股次引横线取子癸为卯子四之一又取丁子如癸子次以丁癸为半径丁为心作半员截卯子于壬即得壬子为三等边积

　　防法不作辰子线但于子作半十字线如癸丁次于子点左右取癸取丁各为卯子四之一乃任以丁为心癸为界作割员分即割卯子于壬而为三等边形之积论曰此借用开平方法也平方求根有算法有量法此所用者量法也量法有二其一以两方之边当句当股而求其是为并方法也其一用半员取中比例此所用者中比例也【详比例规觧】

　　附三等边求容圆

　　法曰以原边之幂十二除之为实平方开之得容圆半径

　　解曰原边幂十二之一即半边三之一也

　　附三等边形求外切圆

　　法曰以原边之幂三除之为实平方开之得外切圆半径　一法倍容圆半径即外切圆半径

　　新増求六等边法

　　法曰六等边形者三等边之六倍也【以同边者言】　用前法得三等边积六因之即六等边积

　　依前法边上方幂与三等边形幂若四○与一七竒因显边上方幂与六等边形幂若四○与十○二竒【亦若一○○与二五五】

　　今有六等边形问积　法以六等边形之一边自乘得数再以二五五乘之降两位见积

　　解曰置四○与一○二各以四除之则为一○○与二五五之比例也

　　若问员内容六等边形者即用员半径上方幂为实以二五五为法乘之得数降二位见积亦同【降二位者一○○除也】依显平员积与其内容六等边形积之比例若三一

　　四与二五五

　　论曰六等边形之边与外切员形之半径同大故以半

　　径代边其比例等【半径上方与六等边

　　形亦若一与二五五】然则员全径上方

　　形与内容六等边形必若四

　　○○与二五五【全径上方原为半径上方】

　　【之四倍】而员面幂积与六等边形积亦必若三一四与二五五矣【员径上方与员幂原若四○○与三一四故也】

　　用尺算　用平分线　求同根之幂

　　平方幂　四○○　　　　八十○　　　【皆倍而退位之数】平员幂　　　三一四　　约爲六十三弱【实六二八】

　　六等边幂　　二五五　　　　五十一

　　三等边幂　　一七○　　　　三十四

　　右皆方内容员员内又容六角之比例其六等边与员同径乃对角之径也于六等边之边则爲倍数三等边则只用边

　　若六等边形亦卽用边与平方平员之全径相比则如后法

　　平方　　　四○○　　　平方　一○○○○平员　　　三一四　　　平员　　七八五四六角　　一○二○　　　六角　二五五○○三角　　　一七○　　　三角　　四二五○论曰以平方平员之径六角三角之边并设二○则爲平方四○○之比例若设一○○则如下方平方一○○○○之比例也

　　量体细法

　　四等面体求积

　　法曰以原边之幂三除之得数以乘边幂得数副寘之又置边幂二十四除之得数以乘副平方开之即四等面积也

　　又法置半边幂三除之得数以乗半边幂得数副寘之又以六为法除半边幂得数为实平方开之即四等面积四分之一也【即三角扁锥】

　　算二十等面

　　二十等面之棱线甲丁设一百七十八【原设一百一十因欲使外切立方与十二等面同故改此数】　心乙一百四十四【即原切十等边之半径又为外切立方之半径】　外切立方径二百八十八

　　求中心为分体之高　法先

　　求乙中【乃各棱折半处至三角面中央一点之距】依防何补编半甲丁得八

　　十九为甲乙自乘【七千九百二十一】取三之一【得二千六百四十又三之一】为

　　乙中句幂又以心乙【一四四】自乘【二○七三六】为幂相减余【一万八千○九十五又三之二】为股幂开方得心中一百三十四半强为分体鋭尖之高倍之得二百七十九半弱为内容立员径

　　求甲心为分体斜棱　法以甲乙为句其幂【七九二一】以乙心为股其幂【二○七三六】并之【二八六五七】为幂开方得甲心一百六十九二为分体自角至鋭之斜棱　倍之三百三十八半弱为外切浑员之径

　　或取理分中末线之大分【如心乙】为股小分【如甲乙或丁乙】为句取其【甲心或丁心】为二十等面自角至心之楞线合

　　之成甲心丁形即二十等面分形之

　　斜立面也甲丁则原形之楞也

　　如【甲心丁】之面三皆以心角为宗以甲

　　心等合之【三面皆有此】则甲丁等底【三底

　　并同甲丁】以尖相遇而成三等边之面即

　　二十等面之一面也以此为底则成

　　三角尖锥矣　尖锥之立三角面皆等皆稍小于底解曰乙戊与甲乙等而甲心与戊心【即乙心】不等如与股【乙戊即十等边之一边乃二十等面横切之面之边】今欲求心中正立线中即

　　二十等面一面之中自此至

　　心成心中线则其正高也

　　法先求甲中为句取其幂以

　　减甲心幂即心中股幂开

　　方得心中

　　简法取乙甲【即原楞之半又即小分】自幂三之一以减乙心【即大分又即原楞均半处至形心即斜立面中线】之幂即心中幂

　　又解曰原以甲乙半楞【又即二十等面中剖所成之楞即十等边之一边故为小分】为句【在形内为小分乃乙戊也今形外之甲乙与甲乙同大故亦为小分】乙心【即二十等面中切成十等边自角至心之故为大分又即为二十尖锥各立面三角形之中长线】为股则甲心为【自各角至体心之线】而甲心幂内有乙心股甲乙句两幂今求心中之高则又以甲中为句自各角至各面心也而仍以甲心为幂内减甲中句幂则其余心中股幂也　依防何补编甲乙幂三分加一为甲中幂故但于乙心幂内减去甲乙幂三分之一即成心中股幂又解曰若以乙心为则中乙为句而心中为股依补编中乙幂为甲乙幂三分之一故直取去甲乙幂三之一为句幂以减心乙幂即得心中股幂开方得心中此法尤防

　　作法　以二十等面之楞【如甲丁】折半【如甲乙或丁乙亦即甲戊】为理分中末之小分求其大分【如乙心即二十等面各楞线当中一点至心之线亦即外切立方之半径】　再以大分为股【乙心】小分为句【甲乙亦即甲戊亦即戊乙】取其【甲心即二十等面自各角至心之线谓之角半径亦即切员半径】　再以原楞【甲丁】为底切员半径为两【甲心及丁心】成两等边之三角形即二十等面体自各角依各楞线切至体心而成立锥体之一面三面尽如是则成三角立锥矣　如是作立锥形二十聚之成二十等面体

　　立锥体之中高线【心中】以乘三体面之幂而三除之得各锥积二十乘锥积得立积　其中高线【心中】即内容立员之半径

　　立方内容二十等面体其根之比例若全分与大分立方内容十二等面体其根之比例若全分与小分二十等面体之分体并三楞锥以元体之面为底原体之楞【甲丁】折半【甲乙】为小分为句取其大分【心乙】为股句股求得自角至心为外切员之半径【心甲】

　　假如【甲丁】原楞一百一十半之得甲乙半楞五十五自乘【三千○二十五】为句幂其大分乙心【即外切立方半径】八十九自乘【七千

　　九百二十一】为股幂并二幂【一万○九

　　百四十六】平方开之得【一○四又六二

　　不尽约为一○四半强】为角至体心之

　　线【心甲】即外切立员之半径

　　算二十等面之楞于浑天度

　　得防何分

　　法以心甲为浑天半径甲乙

　　为正法为心甲与甲乙若

　　半径与甲心乙角之正查正表得度倍之为丁甲通所当之度

　　算十二等面

　　五等边面为十二等面之一　面有五边在体之面则为五楞锥其一楞设一百一十【甲丙】半之五十五【乙丙】以甲丙为小分求其大分得一百七十八丙戊也【即丙丁壬丁壬戊丁角为丙中甲角之半与平圆十等边之一面等】半之八十九已丙也【即乙辛以丙巳乙为两腰等形辛巳乙亦两腰等形故辛乙与巳丙等丙巳乙形与元形丙戊甲形相似巳角即戊角而乙丙为小分乙巳或辛乙为大分】为内作小五等边之一边【乙辛】亦即十二等面从腰围平切之十等边面也

　　又以乙辛为小分求得大分一百四十四心乙也【分图辛心乙形即前图辛心乙形乙辛为心壬之小分心乙为大分乙心线即五等面一边折半处至体心之距丙防即五等面边两楞相凑之角　　　乙丙辛虚线形即前图乙丙辛形】为甲丙半楞【乙丙】之全分何则前图之丙巳乙形乙丙为小分丙巳为大分试于辛乙心形内【分图】作庚辛乙形与丙巳乙形等【庚乙即乙丙五等面一边之半乙辛庚辛即丙巳乙巳为小五边形之一边】则乙庚为小分乙辛为大分【心庚同】今又以乙辛为小分求其大分壬癸而壬癸即心乙也【乙癸同】夫心乙乃庚乙【小分】辛乙【大分即心庚】之并则乙心为庚乙之全分矣其比例心乙与心庚若心庚与庚乙而乙心即外切立圆半径也

　　右法杨作枚补

　　今求心中线为五等边最中一防【中】至体心【心】之距亦即内容浑员半径

　　先求乙中线为五等边各楞折半处至最中之距　法为甲乙比乙中若半径与五十四度之切线

　　一　半径　　　　　　一○○○○○

　　二　乙甲中角【五十四度】切线一三七六三八

　　三　半楞甲乙　　　　五十五

　　四　中乙　　　　　　七十五【七○】

　　用句股法以心乙【一百四十四】为中乙【七十五七】为句句各自乘相减得心中股幂平方开之得中高线【心中为容员半径】求得容员半径一百二十二半弱【心中】

　　又求甲心线为各角至体心之距【即外切浑员半径】　用句股法以甲乙【五五】为句心乙【一四四】为股并句股幂求甲心

　　求得外切圆半径一百五十四强【甲心】

　　十二等面根一一○【甲丙】

　　外切立员半径一四四【心乙】全径二八八○

　　内容浑员半径一二二半【心中】全径二四五【弱】

　　外切浑员半径一五四【甲心】全径三○八【强】

　　十二等面之分体并五楞锥并以五等边面为底原体之楞甲丙设一百一十半之乙甲五十五为小分求其全分乙心一百四十四【即外切立方半径】乙甲【五十五】自乘【三千○二十五】为句幂心乙【一百四十四】自乘【二万○七百三十六】为股幂并之得【二万三千七百六十一】平方开之得【一百五十四强】为自角至心之线甲心即外切员半径

　　作法　以五等面之一边为

　　底楞【甲丙】以外切员半径【角至心之】

　　【线】为两之楞【甲心及丙心】而防于心五边悉同则为十二分体之一如是十二枚则成十二等面体

　　变体数

　　求浑圆积

　　设浑圆径一○○○自乘得一○○○○○○又十一【古法】乘之得一一○○○○○○为实十四除之得○七八五七一四为平圆面幂或用旧径七围念二之比例亦得圆面七八五七一四以四因之得浑圆之幂三一四二八五六

　　置浑圆之幂以半径五○○因之得一五七一四二八○○○是为以浑圆面幂为底半径为高之圆柱形积置圆柱形积以三为法除之得五二三八○九三三三是为以浑圆面幂为底半径为高之圆角形积亦即浑圆之积

　　浑圆根一○○○体积五二三八○九三三三用为公积

　　立方

　　置公积即浑圆积【五二三八○九三三三】立方开之得立方根八○六二○二七一七是为与浑圆等积之立方

　　方锥

　　置公积【五二三八○九三三三】以三因之得数立方开之得高濶相等之方锥形根一一六二二四四四四七是为与浑圆等积之方锥

　　方

　　锥

　　圆柱

　　置公积【同上】十四因之十一除之为实立方开之得高濶相等之圆柱形根八七四二三九四二是为与浑圆之积之圆柱

　　【圆柱】

　　圆锥

　　置公积【同前】以三因之【变圆锥形积为圆柱积】再以十四因之十一除之为实【变圆柱积为立方积】立方开之得高濶相等之圆锥形根一二五九四七五九是为与浑圆等积之圆锥　或置积以四十二因之十一除之立方开之亦同

　　【圆锥】

　　按变体线本法有四等面八等面十二等面二十等面诸数表皆未及其同者惟有浑圆立方二形其余三形皆比例规解及测量全义之所未备今以法求之则皆长濶相等而不为浑圆立方者耳夫不为浑图立方而仍可以法求者以其长濶相等则仍为有法之形也然而与今西书所载合者二不合者一意者其传之有误耶或其所用非径七围二十二之率耶俟攷

　　浑圆以径求积

　　置径自乘又以半径乘之又四因之又以十一乘之以十四除之又以三除之见积

　　解曰平圆与平方之比例知其周与周假如七则方周二十八圆周二十二两率各折半为十四与十一　径自乗则为平方形以十一乗十四除则平方变为平圆矣以平圆为防半径乗之成圆柱形再以三归之成圆角形【即圆锥】浑圆面幂为防半径为髙之角形四倍大于此圆角形故又四因之即成浑积也

　　防法　径自乗以乗半径乃以四十四因四十二除见积　或径上立方形二十二因四十二除或用半数十一因二十二除见积并同

　　浑圆以积求径

　　置积以三因之四除之又以十四因之十一除之再加一倍立方开之得圆径

　　解曰圆积是圆角形四今三因之变为圆柱形四矣故用四除则成一圆柱此圆柱形是半径为髙全径之平圆为防今以十四乗十一除则变为全径之平方为防半径为髙矣故加一倍即成全径之立方

　　防法　积倍之以四十二因四十四除立方开之得圆径　或用本积以八十四乗四十四除立方开之　或用半数以四十二乘二十二除立方开之　或又折半以二十一乗乗十一除立方开之得积并同

　　按径七围二十二者乃祖冲之古法至今西人用之可见其立法之善虽异城有同情也虽其于真圆之数似尚有盈朒然所差在防忽之间而已吾及锡山杨昆生柘城孔林宗另有法其所得之周俱小于径七围二十二之率则其所得圆积亦必小于古率矣

　　杨法立圆径一○○○○积五二三八○九二五六四孔法立圆径一○○○○积五二三五九八七七五

　　约法

　　立方与立圆之比例若二十一与十一　平圆与外方若十一与十四　平圆与内方若十一与七

　　圆内容方之余【即四小弧矢形】若七与四圆外余方【即四角减弧矢】若十一与三准此则余圆【即小弧矢】与余方若四与三而小弧矢与其所减之余方角若一与七五亦若四与三也

　　厯算全书卷五十八

　　少广拾遗序

　　少广爲九章之一其开平方法爲薄海内外测量家所需非隶首不能作也平方而外有立方以爲凿筑土方之用课工作者犹能言之若三乗方以上知之者葢已尠矣尝见九章比类厯宗算会算法统宗俱载有开方作法本原之图而仅及五乗竝无算例同文算指稍变其图具七乗方算法而不适于用诠释不无譌误西镜録演其图爲十乗方而举数仅详平立三乗一式而已余皆未及康熙壬申余在都门有友人传逺问属询四乗方十乗方法葢诸乗方法独此二端不可以借用他法而问者及之窃喜朋侪中固自有留心学问之人遂稍取古图防绎发其指趣爲作十二乗方算例颇觉详明然后知今日所用开平方法廼算数家径捷之用而不及古图之简括精深也宣城梅文鼎

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷五十九

　　宣城梅文鼎撰

　　少广拾遗

　　开方求亷率作法本原图

　　自开平方至开八乗方

　　古图附説

　　图最上书一者本数也本数者即大方也大方无隅无乘除之可言而数从此起也次并列【一一】者方邉也西法谓之根数即一十一也左一即本数因有次商而进位成一十为初商之根右单一为次商之根既有根数即有平幂故第三层　者幂积也西法谓之面即一百二十一也左一百为初商自乗之幂即大方积也右单一为次商自乗之幂即隅积也小平方也中二十则两亷积也并长方也

　　如图大小两方幂以

　　一角相聫必得两亷

　　以辅之而其方始全

　　故平方亷积二也

　　第四层　者立方积也西法谓之体积即一千三百三十一也左一千初商再乗之积大立方也右单一为次商再乗之积隅积也小立方也中三百三十皆亷积也三百为三平亷积扁立方也三十为三长亷积长立方也

　　如图析观之则初商大立方体与次商隅积小立方体相连于一角必得三平亷之扁立方体补于大立方之三面又有三长亷之长立方体补于小立方之三面及三平亷之隙而方体始全故立方之亷积有二等而其数各三也

　　第五层　者三乘方也即一万四千六百四十一也左一万者大三乗方也初商方积也右单一者小三乗方也次商隅积也大方积既以三乗之故而积陞至万小

　　【隅虽　　　　　三　　　　　乘】

　　【仍单一也其相隔已三位故必有第一亷为】【千数第二亷为百数第三亷为十数以补之其数始足其理亦如平方立方也三乘方以】【上不可为图诸书有强为之图者非也然其理则有可言者焉以其相生之序言之则皆】【加一筭法也初商次商如十与一而其幂则如百与一故于之下各加即成如十一之自】【乘也此平方率也又以十一乗之成即立方率也又以一十乗之成即三乗方率四乗】【以上凖此加之皆加一法　也曰若是则诸乗】【方皆以十一逓乗而得非十一者何以处之】【曰根非十一而其理皆如十与一何则凡増一乗积陞一等而亦増一亷亷与亷之积亦】【皆如十与一也幂幂旧名方法旧名上亷旧名下亷一一一一音觅周礼幂人掌共巾幂説文覆也开平方四邉俱等中函纵横之积亦如覆物之巾有经纬缕文故谓之幂亦谓之面同上省文也见张参五经文字书或小写】

　　亷率立成附説

　　凡开方一位除尽者无亷隅也亷隅皆生于次商次商之根必小于初商一等而其小隅之体必与初商之大方同状【如再乗之隅即小立方三乘方之隅即小三乘方】此可借初商表而降等求之不必更立隅法也亷法则不然每増一乗则亷増一等【如平方但有亷立方则有平亷长亷三乗方则有三种亷四乘方则有四种亷其亷之等并与其乘数同増】而亷亦加多【如平方只二亷立方则平亷长亷各三三乗方则三种亷共有十四乗以上则更増而多如图所列】此亷率所由立也

　　问亷既有等【如平方亷为十立方亷为十为百之类】而今亷率只作单数用何也曰此亷之数也非亷之积也亷积有等则既于其次序分之矣挨次乗之其等自见【如第一亷必小于初商大方一等第二亷又小一等其最末之亷必大于小隅一等各乗方皆如是】若同一等中应各有若干亷必先知之而后可用故立成中所列皆单数问古图以右为隅法其序自左而右今亷率之序自右而左何也曰既皆作单数用则左右一也今依笔算自右而左便于取用故也【亷法相生之序左右同数如立方平亷三长亷亦三也三乗方第一亷四第三亷亦四也其近大方有若干亷则其近小隅亦有若干亷故左右并同可以左为初商大方右为小隅亦可以右为大方而左为小隅此亦见古图之妙也】

　　问旧有方法亷法之目今防曰亷法何也曰开方法有方有亷有隅其初商自乗即方也次商自乗即隅也方与隅之间次商初商相乗而得者皆亷也旧以立方之平亷有似扁方故名之方法而三乗方因之遂又有上亷下亷之目故不如一切去之但以一二三四为序较画一耳

　　问平方之亷皆平幂也立方之平亷长亷皆体积也不知三乗方以上之亷积亦能与方隅并状乎曰凡诸乗方之亷积无不与方隅之乗数等也试以三乗方言之其第一亷有四皆初商之再乗积而又以次商根乗之是三乗也其第二亷有六皆初商自乗之平幂也而又以次商之平幂乗之第三亷有四皆初商之根数而又以次商之立积乗之皆三乗也又以四乗方言之其第一亷有五皆初商三乗积也又乗次商根是四乗也其第二亷有十皆初商再乗积也又以乗次商幂亦四乗也其第三亷亦十皆初商幂积也又以乗次商再乗积其第四防有五皆初商根也又以乗次商之三乗积皆四乗也五乗方以上俱如是观后算例自明

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

　　诸乗方根同而积不同本易知也惟根之一者积同为一似乎无别矣然有幂积之一有体积之一有三乗以上诸乗方之一虽曰积同为一其实不同也今以方根之为单一为一十为一百者为例如右

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

　　因有续商故方根以十数见例方积以尾○定位无次商者去尾○用之则方根只为单数

　　多【如第一亷用初商立积二亷则初商幂逓减以至三亷则初商只用根】近小隅者次商乗之遍数多【如第一亷只用次商根第二亷则次商亦用幂三亷则逓加而用次商立积】各乗方皆如是

　　开诸乗方大法

　　诸乗方法惟平方为用最多因有専法今自平方立方推之三乗以上至于多乗而通为一法是为大法【诸乗方大法可以开平方而平方専法不可以开诸乗方】

　　总法　凡诸乗方皆先列实　次作防分段　次查表以定初商　次求亷隅以定续商

　　列实之法　依勿庵笔算作平行两直线以设积纪于右直线之右皆自上而下至单数止无单数者作○存其位

　　作防分段之法　皆于原积末位单数作一防起【凡减隅积必至单位故分段之法以此为宗同文算指但言起末位殊混】依各乗方宜以若干位为一段即隔若干位防之【或作实防丶或作虚防□俱可然虚防尤便以减商积时有借上位之防免凌杂也】如平方以每两位为一段则隔一位防之立方以三位为一段则隔两位防之乃至十二乗方以十三位为一段则隔十二位之并同一法

　　谨案作防分段其用有二一以定开方有若干次也如有一防则只开一次有两防则开二次三防则开三次之类一以定开方所得为何等数也如只有一防则初商即单数二防则初商是十数三防则初商是百数之类是故初商减积必至于最上防而止也次商减积必至于次防而止也每开一次必减积一次而所减之数必各尽于其作防之位亦可以验开方之无误也又最上防以上初商实也次以上次商实也每商皆以防位截实此法于初商尤为扼要

　　又案开方分段古人旧法之精钱塘吴信民九章比类山隂周述学厯宗算防悉着其説而同文算指西镜录本其意以作防定之施于笔算为极善也【鼎于三十年前见同文算指作防之法惊叹其竒后读诸书始知其有所祖述非西人创也】

　　初商之法　皆以最上一防截原积若干位为初商实乃查初商表视本乗方下数有与实相同或较小于

　　实者录之纪于左线之左【皆以表数末位对右线上原实最上纪之】是为初商应减之积　即于本表旁行查方根纪于左线之右【皆对所纪表数首位进一位纪之】是为初商数

　　以初商应减之积【左行所纪】与初商实【右行最上防所截原实】对位相减【皆以左减右须依笔算从小数减起如左行减数大右行实数反小而不及减则作防于上一位借十数减之】减不尽者为余实以待续商

　　凡原实有二则初商为十数而有次商有三防初商为百数而有次商及三商以上仿论如实只一防则初商即是单数无续商

　　次商之法　皆以第二截余实为次商实

　　凡初商皆为方积次商以后则有亷积隅积

　　先求亷率　查亷率立成本乗方亷率有若干等等有若干数平列之为若干行谓之定率【如平方只一种亷其定率二立方有二种亷曰平亷曰长亷其定率并三若三乗方则有三种亷曰一亷曰二亷曰三亷其定率曰四四六曰四详后式】每増一乗即亷増一等而定率増一行【有亷之等有亷之数如平方有二亷立方有三平亷三长亷此亷之数也平方之两亷同积共为一等立方之三平亷同积为一等三长亷同积为一等共为二等此亷之等也亷率中兼此二义】

　　求亷泛积　以各亷定率乗初商应有各数各依本乗方减小一等用之亷多者又递减挨次乗之至根数止是为泛积【有初商数即各带有自乗幂积二乗立积乃至三乗以上各积是为应有各数也今求泛积当依本乗方减小一等用之如平方只用根数立方用初商幂积乃至十二乗方用初商十一乗此为减小一等也至第二亷则立方用初商根三乗方用初商再乗乃至十二乗方用初商十乗此为亷多者二亷以上又逓减挨次乗之也逓减至初商根则为末后一亷矣故曰至根数止】

　　求防商数以泛积约余实得之

　　求亷定积　以各亷泛积乗次商数亷多者逓増一等挨次乗之至本乗方减小一等止是为定积【凡第一亷泛积皆乗次商根而得定积有第二亷则以次商自乗积乗之有三亷则以次商立方积乗之是为逓増一等也然增不得至本乗方但增至本乗方减小一等数即为末后一亷矣】

　　求隅积　以次商数查初商表各依本乗方取之【以次商对横行根数以本乗方对直行纵横相遇得之】列于亷积之后一行是为隅积【小隅体势并同初商大方如平方则隅即小平方立方则隅即小立方三乗方之隅亦为小三乗方四乗以上并同故可借初商表用之】

　　求亷隅共积　以所得各亷定积及隅积用并法并之即得

　　求次商定数　以所得亷隅共积纪左线之左【又在表数之左以末位对第二防纪之为次商应减之数】与次商实【右行第二防所截】对位相减【以左减右】减不尽者又为余实以待三商遂纪次商数于初商之下为次商定数　如亷隅共积大于次商实不及减则改次商至及减而止乃为次商定数

　　三商以后并同上法

　　不论三商四商乃至多商其亷定率不变但求泛积时三商则并初商次商两位商数合而用之四商则并前三次商数皆取其应有各数以乗定率而得泛积亦如上法之用初商　其求定积则三商即用三商之数四商即用四商之数以乗泛积而得定积亦如上法之用次商　余法并同次商

　　审○位之法　凡亷泛积大于余实或仅相等而无隅不能商一数是次商为○位也即纪○位于先商之次而并下一防余实为续商余实

　　次商单一之法　凡泛积与实仅同而有隅一是商得一数也即以泛积为定积不必更乗次商【惟单一则然若商得一十一百一千仍须如法乗之】

　　开平方【即一乗方】

　　设平方积三千三百四十四万三千○八十九问方根若干

　　答曰五千七百八十三

　　列实法【先作两直线次以方积三三四四三○八九列

　　右线之右】　作【法于实末位单数作一防起逆上每

　　隔一位防之有四防宜商四次初商是千】初商法曰

　　【用最上一防截原实两位三三为初商实查表有小于实三三】

　　【者是二五其方根五即以五为初商对实首上一位书于左线之右却以表数二五对实三三书左线之左与原实对减先于实次位减五实系三不足减作防借上一数为十三减去五余八改书八于实三之右次于实首减二原实是三因借下去一只得二减尽乃作线抹去三三存八以待次商亦于左作线抹去减数二五】

　　求次商　用第二防上余实八四四为次商实

　　隅　　　　　　　　　　次商自乗　四九○○○○

　　亷隅共积　　　并　　得　　　　七四九○○○○次商法曰【置亷率立成内定率二乗初商五千得一万为泛积乃约实作七百定为次商即以泛积乗之得定积七百万再用次商自乗为隅其积四十九万并定积成七百四十九万即亷隅共积也俱如式列之于是将次商七续书初商五之下又将共积七四九对实八四四书左线之左以减实余九五乃作线抹去八四四亦于左作线抹去七四九】

　　求三商　用第三防上余实九五三○为三商实

　　隅　　　　　　　　　三商自乗　　　　六四○○

　　亷隅共亷　　　并　　　得　　　　九一八四○○三商法曰【复置定率二以乗初商次商合数五千七百得一万一千四百为泛积乃约实作八十为三商即以泛积乗之得定积九十一万二千三商亦自乗为隅得积六千四百以并定积成九十一万八千四百为亷隅共积俱如式列之再将三商八十挨书次商七百之下而以其亷隅积九一八四对实九五三○书于左线之左去减实余三四六即改书之以待四商作线抹去九五三○左亦作线抺去九一八四】

　　求四商　用第四防上余实三四六八九为四商实

　　隅　　　　　　　　　　四商自乗　　　　　九

　　亷隅共积　　　并　　　得　　　　三四六八九四商法曰【用定率二乗初商次商三商合数五千七百八十得一万一千五百六十为泛积乃约实可商三定为四商即以泛积乗之得定积三万四千六百八十四商三自乘得九为隅积并定积成三万四千六百八十九是为亷隅共积各如式列讫再将四商三挨书于三商八十之下而以其亷隅积三四六八九对第四防实书于左线之左就以减四商实恰尽乃作线抹去之左减数亦抺去】初商五千　有四防故初商是千位

　　次商七百

　　三商八十

　　四商单三

　　凡开得平方根五七千百八十三

　　还原法　置方根五千七百八十三自乗得积三千三百四十四万三千○八十九合原积

　　开立方【即再乗方】

　　设立方积一千○○七万七千六百九十六尺问每面方若干

　　答曰二百一十六尺

　　依法列实　作防【自末位单数作一防起逆

　　上每隔两位防之有三防宜商三次】

　　求初商【用最上一防截原实两位一○为初商实查初

　　商表有小于一○者是○八其方根二即以二定为初商对实】

　　【首上一位书左线之右而以其积数○八对实一○书左线之左对减初商实余二改书之以待次商】初商二百尺【有三防初商是百】

　　求次商　用第二防上余实二○七七为次商实

　　依法求得次商一十尺【书于初商二百之下而以其亷隅共积一百二十六万一千减防商实余八一六改书之以待三商】

　　求三商　用第三防上余实八一六六九六为三商实

　　隅　　　　　三　商　再　乗　　　　　　二一六

　　亷隅共积　　　并　　得　　　　　八一六六九六依法求得三商六尺【续书次商一十之下而以亷隅共积八十一万六千六百九十六减三商实恰尽】

　　凡开得立方根二百一十六尺

　　还原　置方根【二百一十六尺】自之得【四万六千六百五十六尺】为平幂又置平幂以方根乗之得一千○○七万七千六百九十六合原数

　　开三乗方

　　设三乗方积一亿三千六百○四万八千八百九十六问方根若干

　　答曰一百○八

　　依法列实　作防【自末位单数作一防

　　起逆上每隔三位防之】

　　求初商　用最上一防截实

　　首位一为初商实

　　凡积一者其根亦一不必查表竟以一为初商【其积与实对减恰尽】

　　初商一百【有三防初商是百】

　　求次商　用第二防余实三六○四为次商实

　　隅　　　　次　　商　　三　　乗　　一○○○○

　　亷隅共积　　　并　　得　　　　　四六四一○○○○依法求得亷隅共积四千六百四十一万为次商一十之积大于次商实不及减是无次商也法于初商一百下书○

　　求三商　用第三防合上第二防余实三六○四八八九六共八位为三商实【三商减积至末位第三防故合八位为其实】凡求三商当合初商次商两数乗定率以求泛积今次商　故只用初商数

　　隅　　　三　商　自　乗　三　次　　　　　四○九六

　　亷隅共积　　　并　　得　　　　　三六○四八八九六依法求得三商八【续书次商○之下而以其亷隅共积三千六百○四万八千八百九十六与余实相减恰尽】

　　凡开得三乗方根一百○八

　　还原　置方根【一○八】自乗得【一一六六四】为平幂平幂又自乗得一亿三千六百○四万八千八百九十六合原积

　　或以方根一百○八自乗三次亦同

　　开方简法　置三乗方积【一三六○四八八九六】以平方法开之得【一一六六四】再置【一一六六四】以平方开之得方根一百○八合问

　　开四乗方

　　设四乗方积一十三亿五千○一十二万五千一百○七问方根若干

　　答曰六十七

　　依法列实　作【自末位单数作一防

　　起逆上每隔四位防之共两防宜商两次】

　　求初商　用最上一防截原

　　实一三五○一为初商实【查表有七】

　　【七七六小于实其根六即以六为初商而以其积七七七六对减初商实余五七二五改书之以待次商】初商六十【有两防初商是十】

　　求次商　用第二防上余实五七二五二五一○七为次商实

　　隅　　　　次　商　四　　乗　　　　　　　一八六○七

　　亷隅共积　　并　得　　　　　　　五七二五二五一○七依法求得次商七【书于初商六十之下而以亷隅共积五亿七千二百五十二万五千一百○七减次商实】　凡开得四乗方根六十七

　　还原　置方根【恰尽六】自乗四次得积一十三亿五千○一十二万五千一百○七合原数

　　开五乗方

　　设五乗方积一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万问方根若干

　　答曰五百一十

　　列实【数以单位

　　为根今原积尾位是

　　百万故补六○列之】作防【自末单位】

　　【○上作一防起逆上每隔五位防之】　求初商【用最上一截原实五位一七五九六为初商实入表得五为初商对实首上一位录左线右即以其积数对实列左线左相减余一九七一改书之以待次商】　初商求到五百【有三防故初商是百】

　　求次商【用第二防上余实一九七一二八七八○一为次商实】

　　隅　　　　次　　　商　　五　　乗　　　　一○○○○○○亷隅共积　　并　　得　　一九七一二八七八○一○○○○○○依法求得次商一十【书初商五百之下再将亷隅共积一千九百七十一万二千七百七十八亿○一百万去减次商实恰尽】

　　原实三宜有三商而次商已减实尽无可商作○于次商下

　　凡开得五乗方根五百一十○

　　还原　置方根【五百一十○】自乗五次复得一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万合原积

　　开六乗方

　　设六乗方积三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八问方根若干

　　答曰三十二

　　依法列实　作防【自末位单数作

　　防起逆上每隔六位防之共两防宜商两次】求初商　用最上截原

　　实三四三五为初商实【查表】

　　【得三为初商书左线右而以其积数二一八七书左线之左对减初商实余一二四八改书以待续续商】初商三十【有两防故初商是十】

　　求次商　用第二防上余实【一二四八九七三八三六八】为次商实

　　隅　　　次　　商　　六　　乗　　　　　　　　　一二八

　　亷隅共积　　并　　　得　　　　一二四八九七三八三六八依法求得次商二【书初商三十之下再以亷隅共积与次商实对减】

　　凡开得六乗方根三十二

　　还原　置方根【恰尽三】自乗六次得积【十二三四三五九七三八三】合原数

　　开七乗方

　　设七乗方积一千一百○○亿七千五百三十一万四千一百七十六问方根若干

　　答曰二十四

　　依法列实　作【自末位单

　　数作防起逆上每隔七位再作一防】求初商　用最上防截

　　原实一一○○为初商

　　实【查表得二为初商即以二书左线之右而以其积二五六书左线之左对减初商实余八四四改书之以待续商】

　　初商二十【有两防初商是十】

　　求次商　用第二防上余实【八四四七五三一四一七六】为次商实

　　亷隅共积　　并　　　　得　　　　八四四七五三一四一七六依法求得次商四【书初商二十之下再将亷隅共积八四四七五三一四一七六与次商实对减恰尽】

　　凡开得七乗方根二十四

　　还原　置方根【二十四】自乗七次复得【一一○○七五三一四一七六】合原数

　　或以根【二十四】自乗得【五百七十六】为平幂平幂又自乗得【三十三万一千七百七十六】为三乗方积三乗方积又自乗得【一一○○七五三一四一七六】亦合原数

　　开方简法　置设积【一一○○七五三一四一七六】以平方法开之得【三三一七七六】又置为实以三乗方法开之得方根二十四

　　或置设积【一一○○七五三一四一七六】用平方法连开三次亦得方根二十四

　　开八乗方

　　设八乗方积一千六百二十八万四千一百三十五亿九千七百九十一万○四百四十九问方根答曰四十九

　　列实【法同前】作防【自末位单数作

　　防起逆上每隔八位防之】求初商【用最上一】

　　【防截原实一六二八四一三为初商实查表得八乗方积二六二一四四其根四即以四定为初商书左线右而以其积数书左线左对减初商实余一三六六二六九以待次商】

　　初商四十【有两防初商是十】

　　求次商　用第二防上余实【一三六六二六九五九七九一○四四九】为次商实

　　隅　　　次　　　商　　　八　　乗　　三八七四二○四八九亷隅共积　并　　　得　一三六六二六九五九七九一○四四九依法求得次商九【书初商四十之下再将亷隅共积对减次商实恰尽】

　　凡开得八乗方根四十九

　　还原　置方根【四十四】自乗八次复得【一六二八四一三五九七九一○四四九】合原积

　　开九乗方

　　设九乗方积八十三兆九千二百九十九万三千六百五十八亿六千八百三十四万○二百二十四问方根若干

　　答曰六十二

　　列实【法同前】作【自末位单数作

　　起逆上每隔九位之】

　　求初商【如法用最上一原积八位截为初商实查表得九乗方根六即以六为初商而以其积数六○四六六一七六减初商实余二三四六三七六○待续商各如法书之】

　　初商六十【冇两初商是十】

　　求次商　用第二上余实二三四六三七六○五八六八三四○二二四为次商实

　　隅　　　　　　　次商九乗　　　　　一○二四

　　亷隅共积　　　　　并得　　二三四六三七六○五八六八三四○二二四依法求到次商二【书于初商六十之下乃以其亷隅共积二十三兆四千六百三十七万六千○五十八亿六千八百三十四万○二百二十四减次商实恰尽】

　　凡开得九乗方根六十二

　　又法　置九乗方积【八三九二九九三六五八六八三四○二二四】以平方法开之得【九一六一三二八三二】为四乗方积　再以四乗方法开之得方根【六十二】

　　或置九乗方积【八三九二九九三六五八六八三四○二二四】以四乗方开之得【八三四四】再以平方开之得方根【六十二】并同

　　还原　以方根【六十二】自乗九次得原积

　　或以原根【六十二】自乗四次得【九一六一三二八三二】为四乗方积再以四乗积四乗得原积亦同

　　开十乗方

　　设十乗方积七千四百三十○亿○八百三十七万○六百八十八问方根

　　答曰一十二

　　依法列实　作防【自末位单

　　数作一防起逆上每隔十位再作一防】求初商【用最上防截实首位七为初商

　　实查表得十乗方根一定为初商即以其积一】

　　【减初商实七余六改书之以待续商】

　　初商一十【有二防初商是十】

　　求次商　用第二防上余实六四三○○八三七○六八八为实

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

　　隅　　　　次　商　十　　乗　　　　二○四八

　　亷隅共积　　并　得　　　　六四三○○八三七○六八八依法求得次商二【书初商一十之下再将亷隅共积减次商实恰尽】

　　还原　置方根【一十二】自乗十次复得七千四百三十○亿○八百三十七万○六百八十八合原积又法　置方根【一十二】自乗【一四四】为平幂平幂自乗【二○七三六】为三乗方积三乗方又自乗得【四二九九八一六九六】为七乗方积再以根再乗之立积【一七二八】乗之得十乗方积

　　开十一乗方

　　设十一乗方积七千三百五十五万八千二百七十五亿一千一百三十八万六千六百四十一问方根若干

　　答曰二十一

　　列实【法同前】作防【自末位单数作防起

　　逆上每隔十一位防之】

　　求初商　用最上一防截实七三五五为初商实查表得十一乗方根二定为初商【以其积四○九六对减初商实余三二五九以俟续商皆各如法书之】

　　初商二十【有二防初商是十】

　　求初商　用第二防上余实【三二五九八二七五一一三八六六四一】为次商实

　　亷隅共积　　并　得　　　　三二五九八二七五一一三八六六四一依法求得次商一【书初商二十之下其亷隅共积三千二百五十九万八千二百七十五亿一千一百三十八万六千六百四十一减余实恰尽】

　　凡开得十一乗方根二十一

　　还原　用方根【二十一】自乗十一次复得原积

　　又法　置方根自乗再乗得【九二六一】为立方积立方积自乗得【八五七六六一二一】为五乗方积五乗方积又自乗得十一乗方原积

　　开方简法　置设积【七三五五八二七五一一三八六六四一】以平方法开之得五乗方积【八五七六六一二一】又置为实以五乗方法开之得根二十一

　　开十二乗方

　　设十二乗方积一十五兆四千四百七十二万三千七百七十七亿三千九百一十一万九千四百六十一问方根若干

　　依法列实　作防【自末位单数作防起逆上隔十二位防之】

　　求初商　用最上一防截原实一五四四七为初商实查表得十二乗积【八一九二】其方根二即以二定为初商【其积数与实对减余七二五五再俟续商】

　　求初商　用第二防上余实七二五五三三七七七三九一一九四六一为次商实

　　亷隅共积　　　并　　得　　七二五五二三七七七三九一一九四六一依法求得次商一【书于初商二十之下再将亷隅共积七兆二千五百五十二万三千七百七十七亿三千九百一十一万九千四百有六十一以减余实恰尽】

　　凡开得十二乗方根二十一

　　还原　置方根二十一自乗十二次复得原积或以方根【二十一】自乗得【四四一】再乗得【九二六一】三乗得【一九四四八一】为三乗方积即以三乗方积自乗得【三七八二二八五九三六一】再自乗得【七三五五八二七五一一三八六六四一】为十一乗方积又置为实而以方根【二十一】乗之得十二乗原积又法　以方根自乗再乗得【九二六一】为立方积就以立方积自乗三次得【七三五五八二七五一一三八六六四一】为十一乗方积如前再以方根乗之亦得原积

　　又法　以根【二十一】自乗之平方【四四一】为法自乗四次得九乗方积【一六六七九八八○九七八二○一】再以根【二十一】再乗之立方【九二六一】乗之得十二乗原积并同

　　论诸乗方简法

　　凡开平方二次即三乗方也是为方之方开平方立方各一次五乗方也可名为立方之平方亦可名为平方之立方

　　开平方三次七乗方也或三乗方平方各开一次亦同可名为平方之三乗亦可名为三乗方之平方

　　开立方二次八乗方也可名为立方之立方

　　开四乗方平方各一次九乗方也可名为四乗方之平方

　　开平方二次立方一次十一乗方也或三乗方立方各一次亦同可名为三乗方之立方亦可名为立方之三乗方

　　按惟四乗方六乗方十乗方不能借用他法同文算指谓四乗方开二次为六乗方又谓四乗方开三次为十乗方非也且四乗方平方各一次已为九乗方矣安得有开四乗方二次而反为六乗开四乗方三次而止为十乗乎必不然矣

　　演诸乗方逓増通法

　　平方积自乗为三乗方　立方积自乗为五乗方　三乗方积自乗为七乗方　四乗方积自乗为九乗方五乗方积自乗为十一乗方　六乗方积自乗为十三乗方　七乗方积自乗为十五乗方　八乗方积自乗为十七乗方　九乗方积自乗为十九乗方　十乗方积自乗为二十一乗方　十一乗方积自乗为二十三乗方　十二乗方积自乗为二十五乗方　十三乗方积自乗为二十七乗方　十四乗方积自乗为二十九乗方　十五乗方积自乗为三十一乗方【以上并超两位】平方积再自乗为五乗方　立方积再乗为八乗方三乗方积再乗为十一乗方　四乗方积再乗为十四乗方　五乗方积再乗为十七乗方　六乗方积再乗为二十乗方　七乗方积再乗为二十三乗方　八乗方积再乗为二十六乗方　九乗方积再乗为二十九乗　十乗方积再乗为三十二乗方【以上并超三位】

　　平方积自乗三次为七乗方　立方积自乗三次为十一乗方　三乗方积自乗三次为十五乗方　四乗方积自乗三次为十九乗方　五乗方积自乗三次为二十三乗方　六乗方积自乗三次为二十七乗方　七乗方积自乗三次为三十一乗方【以上并超四位】

　　平方积四乗为九乗方　立方积四乗为十四乗方三乗方积四乗为十九乗方　四乗方积四乗为二十四乗方　五乗方积四乗为二十九乗方【以上并超五位】平方积五乗为十一乗方　立方积五乗为十七乗方三乗方积五乗为二十三乗方　四乗方积五乗为

　　五十九乗方【以上并超六位】

　　平方积六乗为十三乗方　立方积六乗为二十乗方三乗方积六乗为二十七乗方　四乗方积六乗为

　　三十四乗方【以上并超七位】

　　平方积七乗为十五乗方　立方积七乗为二十三乗方　三乗方积七乗为三十一乗方【以上并超八位】

　　平方积八乗为十七乗方　立方积八乗为二十六乗方　三乗方积八乗为三十五乗方【以上并超九位】

　　平方积九乗为十九乗方　立方积九乗为二十九乗方【以上并超十位】

　　【平方至十二乗方已有初商表其十三乗以后不及详列推以根之为二为三者演之至三十二乗以见其意】

　　根二【至三十二乗则有十位】　　　　根三【至三十二乗则有十六位】

　　【十三乗】　　　　　一六三八四　　　　　　四七八二九六九

　　【十四乗】　　　　　三二七六八　　　　　　一四三四八九○七

　　【十五乗】　　　　　六五五三六　　　　　　四三○四六七二一

　　【十六乗】　　　　一三一○七二　　　　　一二九一四○一六三

　　【十七乗】　　　　二六二一四四　　　　　三八七四二○四八九

　　【十八乗】　　　　　五二四二八八　　　　　一一六二二六一四六七

　　【十九乗】　　　　一○四八五七六　　　　　三四八六七八四四○一

　　【二十乗】　　　　二○九七一五二　　　　一○四六○三五三二○三

　　【二十一乗】　　　四一九四三○四　　　　三一三八一○五九六○九

　　【二十二乗】　　　八三八八六○八　　　　九四一四三一七八八二七【二十三乗】　　一六七七七二一六　　　二八二四二九五三六四八一【二十四乗】　　三三五五四四三二　　　八四七二八八六○九四四三【二十五乗】　　六七一○八八六四　　二五四一八六五八二八三二九

　　【二十六乗】　　一三四二一七七二八　　　　七六二五五九七四八四九八七【二十七乗】　　二六八四三五四五六　　　二二八七六七九二四五四九六一【二十八乗】　　五三六八七○九一二　　　六八六三○三七七三六四八八三【二十九乗】　一○七三七四一八二四　　二○五八九一一三二○九四六四九【三十乗】　　二一四七四八三六四八　　六一七六七三三九六二八三九四七【三十一乗】　四二九四九六七二九六　一八五三○二○一八八八五一八四一【三十二乗】　八五八九九三四五九二　五五五九○六○五六六五五五五二三

　　附开多乗方求次商防法

　　列实作防截实求初商如常法既得初商减一等自乗为亷积【加五乗方则用四乗】又以本乗方数加一为亷数【如五乗方则用六】亷数乗亷积得数为法以除余实为次商遂合初商次商数依本乗方数乗之【如五乗方亦自乗五次】得积合原数定所得为方根【如原积数少不及减则改次商及减而止】

　　假如三乗方积五百七十六万四千八百○一问方根若干

　　答曰四十九

　　如法于初商表取三乗方积二五六

　　减原实定初商为四十余实【三二○四八○

　　一】为次商实　法置初商四○自乗

　　再乗得【六四○○○】为亷积【本方三乗故亷积用再乗为减一等】又以四为亷数【三乗方故用四为亷数为加一数】亷数乗亷积得【二五六○○○】为法以除次商实得九为次商【得数可进一十因欲存第二亷以下亷隅积数不得满除只商作九数待酌】遂合初商次商共四十九依法自乗得【二四○一】又以【二四○一】自乗得【五七六四八○一】以较原实相同减尽即定四十九为三乗方根

　　厯算全书卷五十九

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

　　钦定四库全书

　　厯算全书卷六十

　　宣城梅文鼎撰

　　壍堵测量二

　　总论

　　堑堵测量者句股法也以西术言之则立三角法也古九章以立方斜剖成堑堵其两端皆句股再剖之则成锥体而四面皆句股矣任以锥体之一面平寘为底则其鋭上指环而视之皆成立面之句股而各有三角三边故谓之立三角也

　　立三角之法以测体积方圆斜侧靡所不通其测浑圆之弧度则有二理其一用视法如弧三角所诠用三角三弧之正切线移于平面【谓浑圆立剖之平面】即成三层句股相似之比例今谓之浑圆容立三角也其一不用视法而用实数如句股锥形等法用三弧三角之割线余各于其平面自成相似之句股以为比例【三弧直剖至浑圆之心即各成句股形之面】今谓之堑堵测量也【浑圆内容之立三角亦堑堵之分形而堑堵测量所测亦浑圆之度因书匪一时所为而意各有属其名遂别二而一一而二者也】

　　以上通论立三角及堑堵测量命名之意并其同异之处【因立三角有堑堵之名因浑圆内三层句股生堑堵之用故存此二者以为堑堵测量基本】

　　凡数之可算者皆可作图以明之故浑圆可变为平圆如古者葢天之图是也数之可算可图者皆可制器以象之故浑圆可剖为锥体堑堵测量之仪器是也凡测算之器至今日大备且益精益简古者浑仪经纬相结为仪三重至郭太史之简仪立运仪则一环而已足今则更省之为象限仪是益简益精之效也至于浑象无与于测而有资于算所以证理也西法之简平浑葢以平写浑亦可谓工巧之至独未有器以证八线夫用句股以算浑圆其法莫便于八线然八线之在平圆者可以图明在浑圆者难以笔显【鼎】葢尝深思其故而见浑圆中诸线犁然有合于古人堑堵之法乃以坚楮肖之为径寸之仪而三弧三角各线所成之句股了了分明省笔舌之烦以象相告于作圆布算不无小补而又非若浑象之难成因名之曰堑堵测量从其质也堑堵形析浑象之一体亦如象限仪割浑仪之一隅环而测之则象限即浑仪之全周也周徧析之则堑堵即浑象之全体也是故堑堵形可析为两可合为一其析者一为句股锥【亦曰立三角仪】则起二分讫二至一为句股方锥【亦曰方直仪】则起二至讫二分起二分者西率起二至者古率也是两者九十度中皆可为之【自分讫至九十度并可为句股锥自至讫分九十度并可为句股方锥】然至半象以上割切三线太长溢出于方堑堵之外故又有互用之法也其合者近分度用句股锥近至度用句股方锥以黄道四十七度赤道四十五度为限过此者互用其余如是则两锥形合之成方堑堵矣

　　方堑堵内又成圆堑堵二其一下为赤道圆象限而一为撱形之象限距度之割切二线所成也其一下为撱形象限而上为黄道之圆象限距度正黄道半径所成也【两圆堑堵之用已括于两锥形内】两圆堑堵内又以黄道正距度正成小方堑堵之象则郭太史圆容方直本法也于是又有圆容方直仪简法而立三角之仪遂有三式【一句股锥其形四鋭一方直仪其底长方一圆容方直简法仪其底为浑圆幂之分】

　　之三者或兼用割切或专用正而并不用角合浑圆内三层句股观之可以明立法之根

　　以上论堑堵测量仪器【句股锥形及句股方锥形二种为堑堵测量正用而圆容方直形专用正成小堑堵尤正用中之正用也此小堑堵在两重圆堑堵内故兼论之又此小堑堵足阐授时弧矢之秘因遂以郭法附焉】

　　问八线生于角用八线而不用角何也曰角与弧相应故用角即用弧也用弧即用角也明于斯理而后可以用角浑圆内三层句股是也明于斯理而后可以不用角堑堵三仪是也用角者西法也而用角即用弧则通于古法也不用角者古法也而用弧即用角则通于西法也于是而古法西法可以观其防通息其烦喙矣

　　以上论角即弧解之理

　　立三角法序

　　立三角者量体之法也西学以几何原本言度数而所译六卷之书止于测面其测体法则未之及葢难之也余尝以句股法释几何而稍为推广其用谓之几何补编亦曰立三角法本为体积而设然其中义类颇有与浑圆弧度之法相通者故摘録之以明堑堵测量之理

　　立三角法摘録

　　总论

　　一立三角为有法之形

　　立三角之面皆平三角也平三角不拘斜正皆为有法之形故立三角亦不拘斜正而皆为有法之形

　　一立三角为量体之宻率

　　凡量体者必析之析之成立三角形则可以知其容积可得而量矣若不可以立三角析者则为无法之形不可以量

　　一立三角即锥体

　　立三角任以一面平安如底则余三面皆斜立【亦有一面正立者】而鋭必在上即成三角立锥

　　一各种锥体皆立三角之合形

　　凡锥体必上尖下濶任取其一面观之皆斜立之平三角也凡锥形自其尖切至底则其中剖之立面亦平三角也锥体之底或四边五边以至多边若以对角线分其底又即皆成平三角也故四棱锥可分为两五棱锥可分为三六棱以上无不可分分之皆立三角形故知一切锥体皆立三角之合形也

　　底之边多至于三百六十又析之为分为秒以此为底皆可成锥体再析之至于无数即成平员底可作员锥要之皆小平三角面无数以成之者也

　　一各种有法之形亦皆立三角之合形

　　如立方体依其棱剖至心成立分体皆扁方锥其斜面辏心皆成立三角长方体亦然

　　四等面体从其棱剖至心成四分体八等面则成八分体二十等面成二十分体皆立三角锥

　　十二等面依棱剖至心成十二分体皆五棱锥其立面五皆立三角

　　浑员形以浑员面幂为底半径为髙作大员锥而成浑积凖前论皆无数立三角所成然则浑员亦立三角也

　　浑员既为立三角所成则半之而为半浑员【一平员面一半浑员面如员中剖】或再分之而为一象限或更小于象限之浑员【细分弧面自象限以内至于一度内若干分秒如剖橘瓤并一弧面两半平员面】以浑员之理通之皆立三角所成

　　一无法之形有面有棱即皆为立三角所成

　　凖前论各依其楞线割之至底或依对角线斜剖之即皆成立三角而无法之形皆可为有法之形

　　一立三角体之形不一而皆有三角三边

　　非四面不能成体故立三角必四面非三角三边不能成面故立三角体之面皆三角三边

　　约举其类有四面相等者即四等面形也【其面幂等其棱之长短亦等】

　　有三面相等而一面不等者其不等之一面必三边俱等余三棱则自相等

　　【以上皆形也四等面任以一面为底其雉尖正立居中三等面形以等边之一面为底锥尖亦正立居中】有二面两两相等者

　　有二面相等余二面不等者

　　有四面各不相等者

　　有三面非句股而一面成句股者有两面成句股者【其句股或等或否】

　　有四面并句股者句股立锥也

　　【以上不皆正形而皆为有法之形】

　　一立三角形有实体有虚体

　　实者如台如墖如堤虚者如井如池又如隔水测物皆自其物之平面角作直线至人目即成虚立锥体以人目为其顶鋭而所测平面则其底也所作直线皆为其棱若所测平面为四边五边以上皆可作对角线分为立三角锥形【虚体实体并同一法】

　　立三角又有三平面一弧面者如自地心作三直线至星宿所居之度则此三星之相距皆弧度也三弧度为边即成弧三角形以为之底其三直线皆大员半径以为之棱而合于地心以为之顶鋭亦立三角之虚形【即弧三角锥体】

　　若于浑球体作三大圏相交成弧三角形从三角作直线至员心依此析之即成实体与上法并同一理

　　一立三角形有立有眠有倒有倚立者以底平安则其鋭尖上指如人之立

　　眠者以底侧立如堵墙而锥形反横如人之眠此惟正形之锥则有之【既定一面为底则底在下者为立在旁者为眠】如虚形则不拘正斜皆以所测为底

　　又如弧三角锥以浑员面上所成之弧三角为底以三直线辏于浑体之心为其顶鋭则四面八方皆可为底而鋭常在心不特能眠能立亦且能倒能欹【亦惟有底有鋭之正形则然若他形底无定名随人所置】眠体倒体以及他形之欹侧不同而皆为有法之形者三角故也

　　一古法有壍堵阳马鳖臑刍甍等法皆可以立三角处之【壍堵一作堑堵】

　　凡立方体从其面之一棱依对角斜线剖至其底相对之一棱则其积平分而成壍堵形

　　【甲乙为顶有袤无广丙丁戊己为方底或长方则丙丁同巳戊为袤丁己仝丙戊为广乙丙同甲丁为其髙甲丁乙丙为立面甲乙戊己为斜面皆长方乙丙戊同甲丁巳为两端立面皆句股形而相对相等】

　　【壍堵形有如屋者甲乙顶袤如屋脊甲乙丙丁及甲乙戊巳两长方皆斜面而相等丙丁戊己为底乙丙戊与甲巳丁两圭形相对而等而以乙辛为其髙其辛丙及辛戊俱平分而等】

　　【又或甲乙顶袤不居正中而近一边然甲乙与丁丙及巳戊俱平行而等其甲丁乙丙及甲巳乙戊两斜面虽有大小而并为长方形乙辛垂线不能分丙辛及辛戊为平分而必与丙戊底为十字正角则乙辛为正髙】

　　以上三者皆壍堵之正形并以髙乘底折半见积何也皆立方之半体其两端皆立三角形也【第一形两端为句股第二第三皆以乙辛中剖成两句股】

　　凡壍堵形亦可立可眠立者以甲乙为顶长丙丁戊己为底眠者以戊己为顶长反以甲乙丙丁为底如隔水测悬崖之类

　　【又有斜壍堵形其各线不必平行底不必正方但俱直线则底与两斜面皆可作对角线以分为三角形而诸数可测实体虚体并有之于测量之用尤多】

　　斜壍堵本为无法之形而亦能为有法之形者可析之成三角也

　　凡壍堵形从顶上一角依对角线斜剖之为两则成一立方锥一句股锥

　　【堑堵形从乙角作乙巳乙丁两对角线依线剖之则成两形】

　　【立方锥一　　　　句股锥一】

　　【名阳马　　　　　名鳖臑】

　　阳马形【以丙丁戊己方形为底以乙为顶鋭而偏居一角故乙丙直立如垂线以为之髙其四立面皆成句股形故又名句股立方锥】

　　论曰阳马形从壍堵第一正形而分故其髙线直立于一隅乃立方之楞线四面句股形因此而成是为句股方锥之正体若斜壍堵等形之分形则但可为斜立方锥而不得为句股方锥亦非阳马

　　【斜立方锥者其顶不居正中然又不能正立一隅故非句股立锥而但为斜立方锥如上二形顶既偏侧底亦非方亦斜立锥形也然其立面皆三角故亦为有法之形斜立方锥亦可立可眠皆可以立三角法御之但不如句股立方锥之有一定比例】

　　鳖臑形【以甲乙为上袤而无广以丁巳为下广而无袤故称鳖臑象形也其各面或句股或不为句股而皆三角故又名三角锥】

　　句股立锥形【其上有袤而无广下有广而无袤并同鳖臑所异者甲角正方故乙甲丁立面乙甲巳斜面并成句股又丁角正方故甲丁已平面乙丁巳斜面并成句股又丁角正方故甲丁巳平面乙丁巳斜面并成句股是四面皆句股也故谓之句股方锥而不得仅名鳖臑】

　　论曰鳖臑中有句股立锥犹斜立方锥中之有句股方雉也立三角皆有法之形而此二者尤可以明测量比例之理

　　又论曰立三角所以为有法形者谓其可施八线也而八线原为句股之比例此二者既通体皆句股所成故在有法形中尤为有法矣

　　又论曰若于句股方锥再剖之即又成二句股锥而皆等积故阳马为立方三之一句股锥则为六之一皆立方之分体也

　　又论曰句股方锥及句股锥皆生于堑堵故堑堵形为测量之纲要

　　【刍薨形亦如屋而两端渐杀故顶窄而底寛其丙丁戊己底或正方或长方甲乙顶小于丙丁或居正中或稍偏然皆与丙丁及戊己平行】

　　刍甍葢取草屋之象乃壍堵形之一种亦可分为三鳖臑

　　又有刍童者形如方台皆立方之变体方台面与底俱正方蒭童则长方而面小底大则同亦皆可分为立三角

　　凖前论方台作对角线并可为两刍甍即可再分为六鳖臑即皆立三角锥也

　　论曰量面者必始于三角量体者必始于鳖臑皆有法之形也量面者析之至三角而止再析之仍三角耳量体者析之至鳖臑而止再析之仍鳖臑耳面之可以析为三角者即为有法之面体之可以析之为鳖臑者即为有法之体葢鳖臑即立三角之异名也量体者必以立三角非是则不可得而量

　　算法

　　凡算立三角体须求其正髙以正髙乘底以三而一见积其法有三其一顶居一角其棱直立即用为正髙其二顶鋭不居一角而在三角之间其三顶斜出底三边之外并以法求其垂线为正髙

　　假如巳甲乙丙立三角体甲乙丙为底已为顶鋭正居丙角之上巳丙如垂线为髙先以乙丙五十六尺甲乙边【六十一尺】甲丙边【七十五尺】求

　　其羃积【一千六百三十尺】以乘已丙髙【四十尺】得【六万七千二百尺】为实以三为法除之得【二万二千四百尺】为立三角锥体若欲知已乙甲已两斜依句股求即得【已丙既直立则恒为股以股自乘幂加乙丙句幂为幂开方得已乙又以股幂加甲丙句幂为幂开方得甲乙】若已顶不居一角而在三角之中则已丙非正髙乃斜棱也法当分为两形其法依丙已棱直剖至底

　　以上二形乃中剖为二之象其中剖之立

　　面亦成丁已丙三角形如平三角法求得已戊垂线即为正髙如上法先求甲乙丙羃以乘已戊髙得数为实三除见积

　　又法不必剖形但于形外任依一楞如丙已于庚作垂线至丙以法取庚防与已顶平行即庚丙为正髙与己戊等【或量得庚已横距为句以己丙为求其股即得庚丙正髙亦同】

　　立三角之顶有斜出者或在底外则于已顶作垂线至庚与甲乙丙底平行乃任用相近一棱如己乙为量庚乙之距为句依法求其股得己庚为其正髙以乘底三除见积

　　问己顶既居形外己庚何以得为正髙也曰此易知也但补作甲庚虚线成四边形为底则为四棱立锥而己庚为其正髙甲乙丙底乃其底之分也亦必以己庚为正髙矣

　　假如乙庚丙甲为底丙甲与乙庚等丙乙与甲庚等或斜方或正方其己庚一棱正立如垂则即为正髙正髙乘方底三除之即体积也若从甲乙对角线分其底为均

　　半又依甲己甲乙二棱从顶直剖之至底则分为两三角形而各得其积之半矣【底既平分为两则其积亦平分为两】其己庚乙甲形与己甲乙丙形既皆半积则相等而庚乙甲底与甲乙丙底又等则其髙亦等而己庚乙甲形既以己庚为髙矣则己甲乙丙形之髙非己庚而何又论曰量体积者必先知面犹量面幂者必先知线也然则量体者亦先知线矣是故量体之法可转用之以求线也【量体者有先知之面幂有求而得之面幂夫求之而得面者必先求其面幂之界界即线也故量体之法可用之以求线也】何谓以量体之法求线曰测量是也前论立三角有虚体为测量之用夫虚体者无体者无体而有线如实体之有棱故可以量体之法求之也如所测之物有三防即成三边三角当以三直线测之则立三角锥形矣所测有四防当以四直线测之则四棱立锥形矣两测则又为堑堵形矣故测量之法可以求线也

　　又论曰用立三角以量体者所用者仍平三角也而用三角以量面者所用者仍句股也吾防是而知圣人立法之精深广大

　　浑圜内容立三角体法

　　全形为堑堵

　　分形为鼈臑即立三角体又为句股

　　立锥西法所用

　　若内切小堑堵则为圜容方直形即

　　郭太史弧矢法

　　先解全形　堑堵体

　　亢戊乙夘为堑堵斜面　其形长方

　　夘乙为浑圜半径【夘为浑圜之心】亢戊为四十五度切线与夘乙同度同为横边　亢夘为乙角割线与戊乙同度同为直边

　　亢氐戊丁为堑堵立面　其形横长方

　　亢氐者乙角切线也与戊丁同度以为之髙　亢戊及氐丁皆四十五度切线与半径同度以为之濶

　　亢氐夘戊丁乙皆堑堵两和之墙　其形皆立句股氐夘同丁乙皆半径为句　亢氐同戊丁皆乙角切线为股　亢夘同戊乙皆乙角割线为

　　夘乙丁氐为堑堵之底　其形正方

　　夘乙及夘氐皆浑圜半径其对边悉同

　　法曰先为立方体以容浑球使北极在上南极在下皆正切于立方底葢之中心则赤道平安而赤道之二分二至亦皆在立方四面之中心矣

　　次依赤道横剖方体为均半而用其上半为半立方容半浑圜形则二分二至皆在半立方之底线各中心而赤道全圈居其底

　　次依二分二至从北极十字剖之又成四小立方各得原立方八之一而小立方内各容浑圜分体八之一此小立方有一角之楞直立为北极之轴上为北极下即浑圜心夘角也其立方根皆浑圜半径

　　次依黄赤道大距取切线为髙作横线于小立方夏至之一边即亢戊线

　　次依亢戊横线斜剖至对边之足则成堑堵矣【对边之足即夘乙也本为黄赤道半径今在小立方体为方底之边故云足也】

　　堑堵体有五面　其一斜面【亢戊乙夘长方】　其三立面【一亢氐戊丁长方二亢氐夘戊丁乙相等两句股】　其一方底【夘乙氐丁平方】

　　堑堵形面　有赤道象弧在方底　有黄赤大距弧在立句股边　即两和之墙

　　底形　　　　　底形正方　其夘角即黄赤道心

　　氐甲乙为赤道一象限　乙为春分

　　氐为夏至赤道　夘氐及夘乙皆

　　赤道半径　其对边氐丁及乙丁皆

　　四十五度切线

　　立句股面形一　　立句股之面有二【一亢氐夘一戊丁乙】皆同角

　　同边　亢氐夘形内有氐癸弧为夏

　　至黄赤大距二十三度半强　氐夘

　　为赤道半径　癸夘为黄道半径

　　夘角为黄赤大距角【氐癸弧之角】　亢氐

　　者氐癸弧之切线【亦即夘角切线】　亢夘者

　　氐癸弧之割线【亦即夘角割线】

　　癸弧之割线【亦即夘角割线】

　　立句股面形二　戊乙丁形即前图亢氐夘形之对面

　　戊丁髙同亢氐切线【如股】　戊乙斜

　　线同亢夘割线【如】　丁乙横线同氐

　　夘【如句】　乙角同夘角

　　又有黄道象弧在斜面

　　斜面形　　　　斜面形长方【其斜立之势依黄道】　其夘角为

　　黄道心【即赤道心】　乙丙癸为黄道一象

　　限　乙为春分【与赤道同用】　癸为黄道

　　夏至　夘癸及夘乙皆黄道半径【内夘

　　乙与赤道同用】　亢夘为二十三度半强之

　　割线【夏至黄赤大距割线】　其相对戊乙边与亢夘割线同度亢戊边与夘乙半径相对同度乃四十五度之切线【与底上切线氐丁相应】

　　立面形　　　　立面形亦长方其势直立　亢戊及

　　氐丁二边为其濶皆四十五度切线

　　与半径同度　亢氐及戊丁为其高

　　皆二十三度半之切线【夏至黄赤大距切线】以亢戊边庋起斜面之亢戊边而成

　　角体仍以氐丁边联于方底之氐丁

　　边则其形直立矣

　　次解分形　立三角体【古谓鼈臑即句股锥】

　　内含乙甲丙弧三角形及乙甲丙夘弧三角锥

　　夘为浑圜心【黄赤同用】　夘乙浑圜半径【黄赤同用】　乙丙弧为黄道经度　丙夘为黄道半径　乙甲弧为赤道经度甲夘为赤道半径　丙甲弧为黄赤距纬　乙为春

　　分防　酉乙未角为春分角二十三度半与二至大距之纬度相应此角不动　丙为所设黄道度距春分后之防此防移则丙之交角变而诸数皆从之而变法曰于前图全形堑堵斜面黄道象弧内寻所设黄道经度自春分【乙】起数设度至丙从丙向圜心夘作丙夘半径遂依半径引长至堑堵之边【酉】成酉夘直线依酉夘直线直剖至底【未夘线为底酉未线为边】成酉未乙夘立三角体此立三角体有四面而皆句股故又曰句股立锥立句股之锥尖为酉

　　其斜面为酉乙夘句股形【乙正角　乙酉为股乙夘为句　酉夘为】其立面二

　　一为酉未乙句股形【未正角　酉未垂线为股未乙为句　酉乙为】一为酉未夘句股形【未正角　酉未垂线为股未夘为句　酉夘为】

　　其底为未乙夘句股形【乙正角　未乙为股乙夘为句　未夘为】

　　以上四句股面凡楞线六

　　夘乙半径也酉乙黄道丙乙弧之切线也而酉夘则其割线也未乙赤道乙甲弧之切线也而未夘则其割线也惟酉未垂线于八线无当今名之曰锥尖垂线亦曰锥尖柱亦曰外线以其离于浑圜之体也

　　句股面有四而用者一酉未乙也以其能与乙角之大句股为比例也

　　楞线六而用者二酉乙及未乙也以其为二道之切线为八线中有定数可为比例也

　　第一层句股比例图

　　酉未乙句股形以黄道切线【酉乙】赤道切线【未乙】相连于乙角【成鋭角】则酉乙为未乙为句而戊丁乙及牛昴乙二句股形同在一立面又同用乙角故可以相为比例术为以赤道半径【丁乙】比乙角之割线【戊乙】若赤道切线【未乙】与黄道切线【酉乙】也【此为以句求】又以黄道半径【牛乙】比乙角之余【昴乙】若黄道切线【酉乙】与赤道切线【未乙】也【此为以求句】

　　解曰丁乙与氐昴同大则皆赤道半径也戊乙与亢夘同大则皆乙角割线也牛乙与癸卯同大皆黄道半径昴乙与己夘同大皆乙角余也　从乙窥夘则成一防而乙角夘角合为一角其角之割线余尽移于堑堵之第一层而同在一立面为句若【观总图自明】

　　以赤道求黄道　　以黄道求赤道

　　一　赤道半径　　一　黄道半径

　　二　乙角割线　　二　乙角余

　　三　赤道切线　　三　黄道切线

　　四　黄道切线　　四　赤道切线

　　若求角者反用其率　　　　又法

　　四　乙角割线　　　　　四　乙角余

　　第二层句股比例图

　　子甲丑句股形以黄赤距度之切线【子甲】赤道之正【甲丑】相连于甲成正角则子甲为股甲丑为句而与坎震丑及女娄丑二句股形同在一立面又同丑角故可相求术为以赤道半径【震丑】比乙角之切线【坎震】若赤道正【甲丑】与距度之切线【子甲】也【是为以句求股】又为以乙角之正【女娄】与乙角余【娄丑】若距度之切线【子甲】与赤道之正【甲丑】也【是为以股】

　　【求句】

　　解曰震丑即氐夘赤道半径也坎震即亢氐乙角之切线也女娄即癸己而娄丑即己夘乙角之正余也从乙窥夘则乙丑夘成一防而合为一角其角之切

　　线正余尽移于堑堵第二层立面为句与股以赤道求距度　以距度求赤道　又法

　　一　半径　　　一乙角正　一乙角切线　半径二　乙角切线　二乙角余　二半径　　　【乙角余切】三　赤道正　三距度切线　三　距度切线四　距度切线　四赤道正　四　赤道正若求角则反用其率　　　又法

　　一　距道切线　半径　　一　赤道正　半径

　　二　赤道正　　　　　二　距度切线

　　三　半径　　　【距度余切】　　三　半径　　　【赤道余割】

　　四　乙角余切　　　　　四　乙角切线

　　第三层句股比例图

　　丙辛壬句股形以距度正【丙辛】黄道正【丙壬】相连于丙而成鋭角则丙壬为丙辛为股而与干艮壬及奎胃壬二句股同在一立面同用壬角故可相求

　　术为以黄道半径【奎壬】比乙角之正【奎胃】若黄道正【丙壬】与距度之正【丙辛】也【是为以求股】又为以乙角之切线【干艮】比乙角之割线【干壬】若距度之正【丙辛】与黄道正【丙壬】也【是为以股求】

　　解曰奎壬即癸夘黄道半径也奎胃即癸己距度正也干艮即亢氐而干壬即亢夘则乙角之切线割线也从乙窥夘则乙丑壬夘半径因直视成一防而合为

　　为一角其角之正切割线尽移于堑堵之第三层立面以为为股

　　以黄道求距度　　以距度求黄道　又法

　　一　半径　　　一　乙角切线　一　乙角正　半径二　乙角正　二　乙角割线　二　半径　　　【乙角余割】三　黄道正　三　距度正　三　距度正四　距度正　四　黄道正　四　黄道正

　　若求角则反用其率　　　　又法

　　一　距度正　半径　　一　黄道正　半径

　　二　黄道正　　　　　二　距度正

　　三　半径　　　【距度余割】　　三　半径　　　【黄道余割】

　　四　乙角正割　　　　　四　乙角正

　　弧三角锥体【即割浑圜体之一分】

　　法曰依前论从丙防对夘直割至底则截黄道于丙截赤道于甲得丙乙及甲乙二弧所剖浑圜之迹又成丙甲弧【为两道距纬】三弧相凑成丙甲乙弧三角面　丙夘甲夘乙夘同为半径三半径为楞辏于夘心夘为三角之尖乙甲丙弧三角面为底成乙甲丙夘弧三角锥体为割浑圜体之一分也

　　此弧三角锥体含于句股立锥体内凖前论可以明之因此弧三角锥与句股锥同鋭【夘尖】异底【一以弧三角面为底一以句股平面为底】故以弧三角变为句股以求其比例而有三法【即前条所论三层句股】

　　其一为酉未乙句股形

　　用酉乙【为黄道丙乙弧切线】未乙句【为赤道乙甲弧切线】以当乙角之与句

　　其一为子甲丑句股形

　　用子甲股【为距度丙甲弧切线】甲丑句【为赤道乙甲弧正】以当乙角之股与句

　　其一为丙辛壬句股形

　　用丙辛股【为距度丙甲弧在】丙壬【为黄道丙乙弧正】以当乙角之股与

　　问两弧求一弧非句股锥乎与此所用同耶异耶曰形不异也乃法异耳何言乎法异曰句股锥一也而有用角不用角之殊此用角度其句股在锥形之底【以夘心为锥形之鋭则三层句股皆为其底】而遥对浑体之心以视法成比例两弧求一弧不用角度其句股同在锥形之一面无假视法自成比例所以不同然其为句股之比例一而已矣然则两弧求一弧惟用割线余此所用者惟正切线又何不同若是耶曰角之句股在心【如夘亢氐等形皆依极至交圏平剖浑圜成平面其象始着是在浑圜之心】与为比例之句股在面【如酉未乙等形皆以一角连于浑圜之面】二者相离以视法相叠如一平面然惟正切线能与之平行【从凸面平视则设度之正切线皆与浑圜中割之平面诸线平行】若割线余皆非平行因视法而跻缩失其本象【或斜对则长线成短线或对视则直线成一防】不能为比例无所用之矣若两弧求一弧则其句股自相垜叠于一平面【平立斜三面各具三句股而如相垜叠并以一大句股横截成三】皆以本数自相为比例全不闗于视法故无跻缩而其算皆割线余所成于正切线反无所取所以不同　若以量体之法言之割线余为量立楞斜楞之法正切线则量底之法也【两弧求一弧法见二卷】

　　如图　以卯为句股立

　　锥之顶卯乙为直立之

　　楞如浑圆半径夘未夘

　　酉为斜面之楞并如割

　　线酉乙未乙两底线并如

　　切线若依底线平截之成

　　大小三形则比例见矣

　　剖浑圜用余度法

　　乙丙黄道弧在四十五

　　度以上求甲乙赤道弧

　　【即同升度】

　　依前法　半径【癸卯亦即庚乙】与乙角【春分】之余【乙壬亦即

　　卯己】若乙丙【黄道】之切线【尾乙】与乙甲【赤道】之切线【箕乙】

　　此法无误但如此则两切线大于堑堵须引之于形外是以小比例例大比例也若至八十度切线太大不可作图矣

　　今改用余度　法自卯浑圜心遇黄道设弧丙作线至酉【剖至底】

　　以乙丙黄道之余弧癸丙取其切线于斜面如癸斗又以乙甲赤道之余弧甲氐取其切线于底如氐

　　未即以氐未移至斜面之楞如亢酉变立句股【尾箕乙】为平斜句股【酉亢卯及斗癸卯两形皆相似】　法为半径【癸卯】与乙角之正割线【乙角即卯角其割线戊乙亦即卯亢】若乙丙黄道之余切线【癸斗】与乙甲赤道之余切线也【亢酉亦即氐未】

　　按此法从亢戊边剖堑堵成句股方锥之眠体

　　其剖形以亢氐酉未长方形为底以卯为锥尖以斜面之卯亢酉句股形及平面之卯氐未句股形为相对之二边又以卯氐亢之立面句股形及卯未酉之斜立面句股形为相对之二边其四面皆句股其底长方而以卯为尖故曰眠形

　　不直曰方锥者以面皆句股而卯氐线正立故不得仅云阳马谓之句股方锥可也亦如句股锥立三角不得仅谓鼈臑

　　堑堵测量二

　　句股锥形序【即两弧求一弧】

　　正弧三角之法即郭太史侧视图也郭法以侧视取立句股又以平视取平句股故有圆容方直之法而不须用角西法専以侧视之图为用故必用角用角即用弧也惟其用角故所用者皆侧立之句股也余此法则兼用平立斜三种句股而其大小句股之比例并在一平面尤为明白易见而不更言角既与授时之法相通其兼用割线起算春分又西厯之理也葢义取适用原无中外之殊笇不违天自有源流之合敬存此稿以质方来其授时厯侧视平视之图详具别卷

　　正弧三邉形以两弧求一弧法【句股锥形之理】

　　用割线余以弧度求弧度而不言角其理与郭法相通

　　丙甲乙三角弧形　甲为正角

　　卯为浑员心丙乙为黄道距春分之

　　一弧甲乙为赤道同升之弧丙甲为

　　黄赤距度【即过极圈之一弧】丙卯为黄道半

　　径甲卯为赤道半径卯乙为黄赤两

　　道之半径壬卯为丙乙黄道之余【以丙壬为其正故】丑卯为甲乙赤道之余【以甲丑为其正故】辛卯为丙甲距度之余【以丙辛为其正故】子卯为丙甲割线【以子甲为切线知之】酉卯为丙乙割线【以酉乙为切线如之】未卯为甲乙割线【以未乙为切线知之】

　　斜面酉乙卯及子丑卯及丙壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用卯角角之弧为丙乙黄道　平面未乙卯及甲丑卯及辛壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用卯角角之弧为甲乙赤道　立面酉未卯及子甲卯及丙辛卯皆句股形未甲辛皆正角又同用卯角角之弧为丙甲距度【其又一立面酉未乙及子甲丑及丙辛壬三句股形为切线正所作兹不论】论曰因诸线成平面句股形为底两立面句股形为墙斜面句股形为面则四面皆句股形矣而酉未联线及子甲切线丙辛正皆直立上对天顶下指地心故谓之句股锥形也既成句股则其相等之比例可以相求用法

　　半径与赤道之余若黄道之割线与距度之割线

　　反之则赤道余与半径若距度割线与黄道割线一　甲乙余　丑卯小句　二　半径　　　乙卯大句三　丙甲割线　子卯小　四　丙乙割线　酉卯大又更之则黄道割线与半径若距度割线与赤道余一　丙乙割线　酉卯大　二　半径　　　乙卯大句三　丙甲割线　子卯小　四　甲乙余　丑卯小句右取斜面酉乙卯子丑卯两句股形以乙卯半径为比例偕一余两割线而成四率

　　半径与距度之割线若黄道之余与赤道之余一　半径　　　丙卯小　二　丙甲割线　子卯大三　丙乙余　壬卯小句　四　甲乙余　丑卯大句反之则距度割线与半径若赤道余与黄道余一　丙甲割线　子卯大　二　半径　　　丙卯小三　甲乙余　丑卯大句　四　丙乙余　壬卯小句又更之则黄道余与半径若赤道余与距度割线一　丙乙余　壬卯小句　二　半径　　　丙卯小三　甲乙余　丑卯大句　四　丙甲割线　子卯大右取斜面丙壬卯子丑卯二句股形以丙卯半径偕一割线两余而成四率

　　半径与赤道割线若距度割线与黄道割线

　　更之则赤道割线与半径若黄道割线与距度割线一　甲乙割线　未卯大句　二　半径　　　甲卯小句三　丙乙割线　酉卯大　四　丙甲割线　子卯小又更之则距度割线与半径若黄道割线与赤道割线一　丙甲割线　子卯小　二　半径　　　甲卯小句三　丙乙割线　酉卯大　四　甲乙割线　未卯大句右取立面酉未卯子甲卯二句股形以甲卯半径偕三割线而成四率

　　半径与黄道余若赤道割线与距弧余

　　一　半径　　　乙卯大句　二　丙乙余　壬卯小句三　甲乙割线　未卯大　四　丙甲余　辛卯小更之则黄道余与半径若距弧余与赤道割线一　丙乙余　壬卯小句　二　半径　　　乙卯大句三　丙甲余　辛卯小　四　甲乙割线　未卯大又更之则赤道割线与半径若距弧余与黄道余一　甲乙割线　未卯大　二　半径　　　乙卯大句三　丙甲余　辛卯小　四　丙乙余　壬卯小句右取平面未乙卯辛壬卯二句股形以乙卯半径偕两余一割线而成四率

　　半径与距度余若赤道余与黄道余

　　更之则距度余与半径若黄道余与赤道余一　丙甲余　辛卯小　二　半径　　　甲卯大三　丙乙余　壬卯小句　四　甲乙余　丑卯大句又更之则赤道余与半径若黄道余与距度余一　甲乙余　　丑卯大句　二　半径　　　甲卯大三　丙乙余　　壬卯小句　四　丙甲余　辛卯小右取平面【甲丑卯辛壬卯】二句股以甲卯半径偕三余而成四率

　　半径与黄道割线若距弧余与赤道割线

　　更之则黄道割线与半径若赤道割线与距弧余一　丙乙割线　酉卯大　二　半径　　　丙卯小三　甲乙割线　未卯大句　四　丙甲余　辛卯小句又更之则距弧余与半径若赤道割线与黄道割线一　丙甲余　辛卯小句　二　半径　　　丙卯小三　甲乙割线　未卯大句　四　丙乙割线　酉卯大右取立面酉未卯丙辛卯二句股形以丙卯半径偕两割线一余而成四率

　　作立三角仪法【即句股锥形】

　　法以坚楮依各线画成句股而折辏之则各线之在浑员者具可覩矣　任取黄道之一弧为例则各弧并同

　　底上甲乙弧赤道同升度

　　也赤道各线俱在平面为

　　底面上丙乙弧黄道度也

　　黄道各线俱在斜面立面

　　丙甲弧度黄赤距纬也距

　　纬各线俱在立面　外立面为黄赤两切线之界论曰此即郭若思太史员容方直之理也太史法从二至起算先求大立句股依距至黄道度取其正半为界直切至赤道平面截黄赤道两半径成小立句股以此为法求得平面大句股则赤道之正半也其直切两端下垂之迹在二至半径者既成小立句股其在所求本度者又成斜立句股此斜立句股之股则本度黄赤距度之正半也于是直切之迹有黄道正半为其上下之横长有黄赤距度之正半为两端之直濶成直立之长方形而在浑体之中故曰弧容直濶也此侧立长方之四角各有黄赤道之径为其楞以直凑浑体之心成眠体之句股方锥句股方锥者底虽方而锥尖偏在一楞则其四面皆成句股此郭太史之法也今用八线之法以句股御浑体其意略同但其法主于用角故从二分起算遂成立句股锥形立句股锥形亦可以卯心为锥尖是为眠体锥形如此则两锥形之尖皆在员心【一郭法一今法】而可通为一法是故用郭太史法则以句股方锥为主而句股锥形其余度所成之余形今以句股锥形为主则员容直濶所成句股方锥又为余度余形矣然则此两法者不惟不相违而且足以相法古人可作固有相视而笑莫逆于心者矣余窃怪夫世之学者入主出奴不能得古人之深而轻肆诋诃者皆是也吾安得好学深思其人与之上下其议哉

　　句股方锥序

　　堑堵虚形以测浑员原有二法一为句股锥形一为句股方锥其句股锥之法向有法方锥之法亦略见于诸篇而未畅厥防故复着之其法以弧求弧而不求角与句股锥同而起算二至则郭太史本法矣方锥与锥形互相为正余故亦可以算距分之度也

　　筭黄赤道及其距纬以两弧求一弧又法【用句股方锥形亦堑堵形之分】以八线法立筭起数二至本郭法史员容方直之理而稍广其用亦不言角

　　如图癸为二至黄道癸丙为

　　距至黄道之一弧【如所设】氐为

　　二至赤道氐甲为距至赤道

　　之一弧【与癸丙黄道相应】癸氐为二

　　至黄赤大距弧【二十三度半强】丙甲

　　为所设各度之黄赤距纬【即过极圈之一弧】卯为浑圆心黄道癸丙之正丙张余张卯正矢癸张切线癸斗割线斗卯

　　赤道氐甲之正甲庚余庚卯正矢氐庚切线氐室割线室卯

　　大距度癸氐之正癸己余己卯正矢氐己切线氐亢割线亢卯

　　距纬丙甲之正丙辛余辛卯正矢甲辛切线甲子割线子卯

　　论曰因诸线成各句股形为句股方锥之面其鋭尖皆防于卯心又成方直形以为之底遂成句股方锥之眠体

　　一斜平面有黄道弧诸线成句股形二【一丙张卯一斗癸卯】又有相应之赤道诸线亦成句股形二【一壁亢卯一子房卯】四者皆形相似而比例等

　　一平面有赤道弧诸线成句股二【一甲庚卯一室氐卯】又有相应之黄道诸线亦成句股二【一辛井卯一亥己卯】四者皆形相似而比例等

　　一立面有大距弧诸线成句股二【一癸己卯一亢氐卯】又有相对之距纬诸线亦成句股二【一张井卯一房庚卯】四者皆形相似而比例等

　　一斜立面有黄赤距度诸线成句股二【一丙辛卯一子甲卯】又有相对之大距度诸线亦成句股二【一斗亥卯一壁室卯】四者皆形相似而比例等

　　论曰斜平面平面立面斜立面各具四句股而并为相似之形者皆以一大句股截之成四也其股与并原线而所截之句又平行其比例不得不等

　　一内外两方直形【一在浑员形内即郭法所用乃黄道及距纬两正所成一在浑员形外乃赤道及大距两切线所成】有平立诸线为各相似相连句股形之句亦即为相似两方锥之底而比例等

　　一不内不外两方直形【一跨黄道内外乃赤道正及距纬切线所成一跨赤道内外乃黄道切线及大距正所成】有平立诸线为各相似相连句股形之句亦即为相似两方锥之底而比例等

　　论曰方锥眠体以平行之底横截之【即四种方直形皆方锥之底】成大小四方锥其锥体之顶鋭【卯】与其四棱皆不动所截之底又平行故其比例相似而等

　　又论曰黄道在斜平面赤道在平面而其线互居者以方直形故也大距度在立面距纬度在斜立面而其线毕具者亦以方直形故也葢形既方直则横线直线两两相对而等

　　用法

　　斜平面比例

　　黄道半径与黄道正若距纬割线与赤道正

　　更之黄道正与黄道半径若赤道正与距纬割线

　　一丙张小股　二丙卯小　三子房大股　四子卯大又更之距纬割线与黄道半径若赤道正与黄道正

　　一子卯大　二丙卯小　三子房大股　四丙张小股右取斜平面张丙卯房子卯二句股形以丙卯半径偕一割线两正而成四率

　　黄道半径与黄道切线若大距割线与赤道切线

　　更之黄道切线与黄道半径若赤道切线与大距割线一癸斗小股　二癸卯小句　三亢壁大股　四亢卯大句又更之大距割线与黄道半径若赤道切线与黄道切线一亢卯大句　二癸卯小句　三亢壁大股　四癸斗小股右取斜平面斗癸卯壁亢卯二句股形以癸卯半径偕一割线两切线而成四率

　　平面比例

　　赤道半径与赤道正若距纬余与黄道正

　　更之赤道正与赤道半径若黄道正与距纬余一甲庚大股　二甲卯大　三辛井小股　四辛卯小又更之距纬余与赤道半径若黄道正与赤道正

　　一辛卯小　二甲卯大　三辛井小股　四庚甲大股右取平面井辛卯庚甲卯二句股形以甲卯半径偕一余两正而成四率

　　赤道半径与赤道切线若大距余与黄道切线

　　更之赤道切线与赤道半径若黄道切线与大距余一氐室大股　二氐卯大句　三己亥小股　四己卯小句又更之大距余与赤道半径若黄道切与赤赤道切线一己卯小句　二氐卯大句　三己亥小股　四氐室大股右取平面亥己卯室氐卯二句股形以氐卯半径偕一余两切线而成四率

　　立面比例

　　黄道半径与大距正若黄道余与距纬正

　　更之大距正与黄道半径若距纬正与黄道余一癸己大股　二癸卯大　三张井小股　四张卯小又更之黄道余与黄道半径若距纬正与大距正

　　一张卯小　二癸卯大　三张井小股　四癸己大股右取立面己癸卯井张卯二句股形以癸卯半径偕一余两正而成四率

　　赤道半径与大距切线若赤道余与距纬切线

　　更之大距切线与赤道半径若距纬切线与赤道余一氐亢大股　二氐卯大句三庚房小股　四庚卯小句又更之赤道余与赤道半径若距纬切线与大距切线一庚卯小句　二氐卯大句三庚房小股　四氐亢大股右取立面房庚卯亢氐卯二句股形以氐卯半径偕一余两切线而成四率

　　斜立面比例

　　黄道半径与距纬正若黄道割线与大距正

　　更之距纬正与黄道半径若大距正与黄道割线一丙辛小股　二丙卯小　三斗亥大股　四斗卯大又更之黄道割线与黄道半径若大距正与距纬正

　　一斗卯大　二丙卯小　三斗亥大股　四丙辛小股右取斜立面辛丙卯亥斗卯二句股形以丙卯半径偕一割线两正而成四率

　　赤道半径与距纬切线若赤道割线与大距切线

　　更之距纬切线与赤道半径若大距切线与赤道割线一甲子小股　二甲卯小句　三室壁大股　四室卯大句又更之赤道割线与赤道半径若大距切线与距纬切线

　　一室卯大句　二甲卯小句　三室壁大股　四甲子小股右取斜立面子甲卯壁室卯二句股形以甲卯半径偕一割线两切线而成四率

　　以上方锥形之四面每面有大小四句股形即各成四率比例者六合之则二十有四并以两弧求一弧而不言角

　　方直形比例

　　黄道正与距纬正若赤道切线与大距切线

　　更之距纬正与黄道正若大距切线与赤道切线一张井小股　二井辛小句　三亢氐大股　四氐室大句又更之赤道切线与大距切线若黄道正与距纬正

　　一氐室大句　二亢氐大股　三井辛小句　四张井小股再更之大距切线与赤道切线若距纬正与黄道正

　　一亢氐大股　二氐室大句　三张井小股　四井辛小句右取浑体内所容方直形上黄道及距纬两正偕浑体外所作方直形上赤道及大距两切线而成四率

　　赤道正与距纬切线若黄道切线与大距正

　　更之距线切线与赤道正若大距正与黄道切线一房庚小股　二庚甲小句　三癸己大股　四己亥大股又更之黄道切线与大距正若赤道正与距纬切线

　　一己亥大句　二癸己大股　三庚甲小句　四房庚小股再更之大距正与黄道切线若距纬切线与赤道正一癸己大股　二己亥大句　三房庚小股　四庚甲小句右取方直形上黄道切线大距正偕又一方直形上赤道正距纬切线而成四率

　　以上大小方锥形之底各成方直形而两两相偕即各成四率比例者四合之则八并以三弧求一弧而不言角

　　凡句股方锥形所成之四率比例共三十有二皆不言角内四率中有半径者二十四并两弧求一弧四率中无半径者八以三弧求一弧其不言角则同

　　问各面之句股形并以形相似而成比例若方直形所用皆各形之大小句然不同居一面又非相似之形何以得相为比例曰句股形一居平面一居立面而能相比例者以有棱线为之作合也何以言之如亢卯割线为方锥形之一棱而此线既为斜平面句股形【壁亢卯】之股又即为立面句股形【氐亢卯】之故其比例在斜平面为亢卯与张卯若亢壁与张丙也而在立面为亢卯与张卯若亢氐与张井也合而言之则亢壁与张丙亦若亢氐卯与张井余仿此

　　问此以方直相比非句股本法矣曰亦句股也试平置方锥【以方底着地使卯鋭直指天顶而卯氐棱线正立如垂】而从其卯顶俯视之则卯井庚己氐棱线上分段之界因对视而成一防亢卯棱线与亢氐线相疉室卯线与室氐相叠皆脗合为一惟亢壁室氐直　形因平视而得正形其壁卯棱线则成壁氐而斜界于对角分直方形为两句股形矣又其分截之三方直形亦以平视得正形亦各以棱线分为两句股而大小相疉成相似之形而比例等矣

　　如图亢氐室壁长方以壁氐

　　线成两句股而张井辛丙长

　　方【即张氐辛丙】亦以丙卯线【即丙井亦

　　即丙氐】成两句股并形相似则

　　亢壁与张丙若亢氐与张井【张井即张氐】

　　又癸己亥斗长方【即癸氐亥斗】以斗卯线【即斗己又即斗氐】成两句股而房庚甲子长方【即房氐甲子】亦以子卯线【即子庚又即子氐】成两句股而形相似则癸斗与房子若癸己与房庚【癸己与房庚即癸氐与房氐】

　　展形【展之成四句股面一方直底】　　　合形【合之则成句股方锥】

　　作方直仪法【即句股立方锥】

　　法以坚楮依黄赤大距二十三度半画成立面再任设赤道距至度画成平面再依法画距纬斜立面及黄道距至度斜平面并方直底然后依棱折辏即浑员上各线相为比例之故了然共见

　　任指黄道或赤道之距至一弧为式即各弧可知其所用距至弧或在至前或在至后或冬至或夏至并同一理

　　方堑堵内容员堑堵法

　　先解方堑堵

　　堑堵以正方为底【氐卯丁乙形】其上有

　　赤道象限【氐干乙弧乙春分氐夏至】以长方为

　　斜面【亢卯戊乙形】其上有黄道象限【癸巽

　　乙弧乙春分巽夏至】底与而一邉相连【卯乙邉为

　　底与斜面所同用故相连乃黄赤道之半径】一邉相离

　　【氐丁邉在底与赤道平行亢戊邉在斜面故相离其距为亢氐为戊】

　　【丁皆大距度癸氐弧之切线】其形似斧

　　从斜面作戊卯对角线切至底【戊丁卯对角线于底】分堑堵为两则赤道为两平分【赤道平分于干干乙距春分干氐距夏至各得四十五度】而黄道为不平分【黄道分于巽则巽乙距春分四十七度二十九分弱而巽癸距夏至四十二度三十一分强】于是黄道切线【戊乙】与大距度割线【亢卯】等而方堑堵之形以成【亢卯为大距二十三度三十一分半之割线其数一○九○六五戊乙为黄道四十七度二十九分之切线其数亦一○九○六五两数既同故能作长方斜面而成堑堵】乃黄道求赤道用两切线之所赖也【若赤道求黄道则反用其率】

　　法曰自黄道四十七度二十九分以前用正切是立面句股比例【戊丁乙句股比例即亢氐卯或用癸巳卯皆大句股也其酉未乙则为小句股】

　　右黄道求赤道为以求句

　　一　赤道半径氐卯　　　大句

　　二　大距割线亢卯　　　大

　　三　赤道切线未乙【甲乙赤道】　小句

　　四　黄道切线酉乙【丙乙黄道】　小

　　右赤道转求黄道为以句求

　　自黄道四十七度二十九分以后用余切是斜平面句股比例【斜面亢虚卯为大句股癸斗卯为小句股在平面则为氐危卯大句股己心卯小句股】一　黄道半径癸卯　小股

　　二　大距割线亢卯　大股

　　三　黄道余切癸斗　小句　【牛乙黄道其余弧牛癸】

　　四　赤道余切亢虚　大句　【女乙赤道其余弧女氐】

　　右黄道求赤道为以股求句

　　一　赤道半径氐卯　　　大股

　　二　大距余己卯　　　小股

　　三　赤道余切危氐【即亢虚】　大句　【女氐即女乙赤道之余】四　黄道余切心己【即癸斗】　小句　【牛癸即牛乙黄道之余】右以赤道转求黄道亦为以股求句

　　论曰赤道求黄道用句股于赤道平面即郭太史员容方直之理但郭法起二至则此所谓余弧乃郭法之正弧又郭法只用正而此用切线为差别耳

　　又论曰正切线法亦可用于半象限以上余切线亦可用于半象限以下此因方堑堵之底正方则所用切线至方角而止故各用其所宜【云半象限者主赤道而言若黄道以四十七度二十九分为断一平一斜故其比例如与句】

　　又论曰正切线法即句股锥形也余切线法即句股方锥也以对角斜线分堑堵为两成此二种锥形遂兼两法

　　次解员堑堵

　　方堑堵内容割浑员之分体以癸牛丙乙黄道为其斜面之界以氐女甲乙赤道为其底之界而以癸氐大距弧及牛女丙甲等逐度距弧为其髙髙之势曲抱如浑员之分斜面平面皆为平员四之一【其髙自癸氐大距渐杀至春分乙角而合为一防】

　　员堑堵者虽亦在方堑堵之内然又在所容割浑员分体之外与割浑员体同底亦以赤道为界而不同面其面自乙春分过子过奎至亢其形卯乙短而亢卯长如割平撱员面四之一其撱员邉之距心皆以逐度距纬【如丙甲牛女等】之割线所至为其界【如卯子为丙甲距弧割线卯奎为牛女距弧割线之类】而以逐度距纬之切线为其髙【如子甲为丙甲距弧切线奎女为牛女距弧切线之类】

　　法以赤道为围作员柱置浑员在员柱之内对赤道横剖之则所剖员柱之平员底即赤道平面也又自夏至依大距二十三度三十分半之切线为髙斜对春秋分剖至心则黄道半周在所剖之斜面矣

　　然黄道半周虽在所剖斜面而黄道自为半平员所剖斜面则为半撱员黄道平员在撱员内两端同而中广异【两端是二分如乙为平撱同用之防中广是夏至如黄道癸在撱面亢之内其距为癸亢】此员堑堵之全体也

　　于是又从亢癸对卯心直剖到底则成员堑堵之半体即方堑堵所容也此员堑堵斜面之髙俱为其所当距纬弧之切线浑员上弧三角法以距纬切线与赤道平面之正相连为句股而生比例是此形体中所具之理

　　此堑堵体与前图同惟多一亢奎子乙撱弧以此为撱员界立剖至底令各度俱至赤道而去其外方则成员堑堵真体

　　此员堑堵为用子甲丑句股形之所頼子甲为距弧切线甲丑为赤道正也又子甲如股甲丑如句法为子甲与甲丑若亢氐与氐卯

　　前图为从心眎邉此为从邉眎心盖因欲显圆堑堵内方直形故为右观之象与前图一理惟多一己庚辛乙撱弧【前图亢奎子乙撱弧在黄道斜面此图己庚辛乙撱弧在赤道平面】

　　员堑堵有二

　　若自斜面之黄道象限各度直剖至赤道平面亦成员堑堵象限然又在剖浑员体分之内其体以斜面为正象限但斜立耳其底在赤道者转成撱员

　　此撱员形在赤道象限之内惟乙点相连此即简平仪之理

　　其撱之法则以卯乙半径为大径癸氐距弧之余卯巳为小径小径当二至大径当二分与前法正相反然其比例等何也割线与全数若全数与余也

　　此员堑堵以撱形为底象限为斜面以距度逐度之正为其髙乃黄道距纬相求用两正之所頼也此员堑堵内又容小方堑堵乃郭太史所用员容方直也

　　浑员因斜剖作角而生比例成方员堑堵形其角自○度一分以至九十度凡五千四百则方员堑堵亦五千四百矣【乙角以春分为例则其度二十三度半强其实自一分至九十度并得为乙角合计之则五千四百】

　　每一堑堵依度对心剖之成立句股锥及方句股锥之眠体自○度一分至大距止亦五千四百

　　以五千四百自乗凡二千九百一十六万而浑员之体之势乃尽得其比例乌呼至矣

　　每度分有方堑堵方堑堵内函赤道所生撱体赤道撱体内又函黄道所生撱体黄道撱体内又函小方堑堵每度分有此四者则一象限内为五千四百者四共二万一千六百【以乙角五四○○乗之则一一六六四○○○○】

　　每度有正有余对心斜分则正度成句股锥余度成方底句股锥之眠体一象限凡四万三千二百【以五四○○乘之则二三三二八○○○○】

　　员容方直简法序

　　古未有预立算数以尽句股之变者有之自西洋八线表始古未有作为仪器以写浑员内句股之形者自愚所撰立三角始立三角之仪分之曰句股锥形曰句股方锥形合之则成堑堵形其称名也小其取类也大径寸之物以状浑员而弧三角之理如指诸掌即古法之通于弧三角者亦如指诸掌矣虽然犹无解于古法之不用割切也故复作此简法以互征之而授时厯三图附焉盖理得数而彰数得图而显图得器而真草野无诸仪象借兹以自释其疑不敢自私故以公之同好云尔【句股锥形是以西法通国法句鈠方锥形是以郭法通西法今此简法是専解郭法而两法相同之故自具其中】

　　员容方直仪简法【即句股方锥之方直仪而不用割切线祗以各弧正矢度相求其用己足亦不须用角】

　　立面中有句股形二其一大句股形【癸巳乙】以黄道半径【癸乙】为大距度正【癸巳】为股大距度余【巳乙】为句其一小句股形【壬戊乙】以黄道余【壬乙】为距纬正【壬戊】为股楞线【戊乙】为句

　　平面中亦有句股形二其一小句股形【庚戊乙】以距纬丙甲之余【庚乙】为以黄道正【戊庚】为股楞线【戊乙】为句其一大句股形【甲辛乙】以赤道半径【甲乙】为以赤道正【甲辛】为股赤道余【辛乙】为句【戊乙线于弧度无取然平立二形并得此补成句股谓之楞线】黄道正本在斜平面而能移于平面者有相望两立线【丙庚壬戊】为之限也距度正本在斜立面而能移于立面者有上下两横线【丙壬庚戊】为之限也此四线【两立两横】相得成长方其立

　　如堵故又曰弧容直濶也

　　有大距有黄道而求距纬　更之可求大距　反之可求黄道一　半径　　　癸乙　一　黄道余　一　大距正二　大距正　癸己　二　距纬正　二　半径三　黄道余　壬乙　三　半径　　　三　距纬正四　距纬正　壬戊　四　大距正　四　黄道余

　　有赤道有距纬而求黄道　更之可求赤道　反之可求距纬一　半径　　　甲乙　一　距纬余　一　赤道正二　赤道正　甲辛　二　黄道正　二　半径三　距纬余　庚乙　三　半径　　　三　黄道正四　黄道正　庚戊　四　赤道正　四　距纬余

　　郭太史本法

　　弧矢割员图【见授时厯草下并同】

　　凡浑员中割成平员任割平

　　员之一分成弧矢形皆有弧

　　背有弧有矢割弧背之形

　　而半之则有半弧背有半弧

　　有矢　因弧矢生句股形

　　以半弧为句【即正】矢减半

　　径之余为股【即余】半径则常为　句股内又成小句股则有小句小股小而大小可以互求或立或平可以互用【平视侧视二图皆从此出】

　　侧视之图

　　横者为赤道【赤道一规因旁视如一直线黄

　　道同】

　　斜者为黄道

　　因二至黄赤之距成大句股

　　【即外圈】

　　因各度黄赤之距成小句股

　　平视之图

　　外大员为赤道

　　内撱者黄道【从两极平视则黄道在赤道内

　　而成撱形】

　　有赤道各度即各其有半弧

　　以生大句股

　　又各有其相当之黄道半弧

　　以生小句股【此二者皆可互求】

　　授时厯求黄赤内外度及黄赤道差法

　　置黄道矢【本法用带从三乗方求各度矢】去减周天半径【即立面黄道半径】余为黄赤道小【即黄道余也半径为大故此为小】置黄赤道小以二至内外半弧【即二至大距度正当时实测为二十三度九十分】乘之为实黄赤大【即周天半径以其为立面大句股之故称大】为法除之得黄赤道内外半弧【即各度黄赤距度正也原法以矢度度半背差加入半弧得内外半弧背今省】

　　又置黄赤道小以黄赤道大股【即二至内外度余也在立面大句股形为大股】乗之为实黄赤道大为法除之【解见前】得黄赤道小股【即立面平面两小句股同用之楞线在立面与大股相比故称小股】置黄道半弧【即黄道正也原法以黄道矢求半背差减黄道度得之】自乗为股幂黄赤小股自乗为句幂【即楞线也先在立面为小句股形之股今又为平面句股形之句故其幂称句幂】两幂并之为实开平方法除之为赤道小【即各度黄赤距度余也周天半径为平面上大句股之故称大则此为小句股当称小】置黄道半弧以周天半径乗之为实赤道小为法除之得赤道半弧【即赤道正也原法求半背差以加半弧得赤道今省】

　　论曰弧矢割员者平员法也以测浑员则有四用一曰立弧矢势如张弓以量黄赤道二至内外度即侧立图也一曰平弧矢形如伏弩以量赤道即平视图也一曰斜弧矢与平弧矢同法而平面邉髙邉下其庋起处如二至内外之度以量黄道即平视图中小句股也一曰斜立弧矢与立弧矢同法而其立稍偏以量黄赤道各度之内外度即侧立图中小句股也自离二至一度起至近二分一度止一象限中逐度皆有之但皆小于二至之距邢台郭太史弧矢平立三图中具此四法即弧三角之理无不可通言简而意尽包举无穷好古者所当珤爱而翫也

　　又论曰割员之算始于魏刘徽至刘宋祖冲之父子尤精其术唐宋以算学设科古书犹未尽亡邢台葢有所本厥后授时厯承用三百余年未加修改测箕之讲求益稀学士大夫既视为不急之务而台官株守成法鲜谙厥故骤见西术羣相骇诧而不知旧法中理本相同也畴人子弟多不能自读其书又忌人之读而各私其本久之而书亦不可问矣攷元史厯成之后所进之书凡百有余卷【郭守敬传有修改源流及测騐等书齐履谦传有经串演撰诸书明厯法之所以然】今其存轶并不可攷良可浩叹然天下之人岂无有能藏弆遗文以待后学者庶几出以相证予于斯图之义类多通而深有望于同志矣

　　问元初有回回厯法与今西法大同小异邢台葢防通其説而为之故其法相通若是与曰九章句股作于首为测量之根本三代以上学有専家大司徒以三物教民而数居六艺之一秦火以后吾中土失之而彼反存之至于流逺分遂以各名其学而不知其本之同也况东西共戴一天即同此句股测员之法当其心思所极与理相符虽在数万里不容不合亦其必然者矣攷元初有西域人进万年厯未经试用迨明洪武年间始命词臣吴伯宗西域大师马沙亦黒等译回回厯书三卷然亦粗具筭法立成并不言立法之原究竟不知其所用何法或即今三角八线或更有他法俱无可攷虽其子孙莫能言之攷元史所载西域人晷影堂诸制与郭法所用简仪髙表诸器无一同者或测量之理触类増智容当有之然未见其有防通之处也徐文定公言回回厯纬度凌犯稍为详宻然无片言只字言其立法之故使后来入室无因更张无术盖以此也又据厯书言新法之善系近数十年中所造则亦非元初之西法矣而与郭图之理反有相通岂非论其传各有本末而精求其理本无异同耶且郭法用员容方直起算冬至西法用三角起算春分郭用三乗方以先得矢西用八线故先得又西専用角而郭只用弧西兼用割切而郭只用种种各别而不害其同有所以同者在耳且夫数者所以合理也厯者所以顺天也法有可采何论东西理所当明何分新旧在善学者知其所以异又知其所以同去中西之见以平心观理则弧三角之详明郭图之简括皆足以资探索而啓深思务集众长以观其防通毋拘名相而取其精粹其于古圣人创法流传之意庶几无负而羲和之学无难再见于今日矣

　　角即弧解

　　问古法只用弧而西法用角有以异乎曰角之度在弧故用角实用弧也何以明其然也假如辰庚己三角形有庚钝角有己庚辰庚二邉欲求诸数依垂弧法于不知之辰角打线线先补求辰辛及辛庚成辰辛庚三角虚形此必用庚角以求之而庚角之度为丙丁是用庚角者实用丙丁也其法庚丙九

　　十度之正【即半径】与丙丁弧之正弧【即庚角正】若庚辰正与辰辛正是以大句股之例例小句股也又丙丁弧之割线【即庚角割线】与庚丁九十度之正【亦即半径凡角度所当弧其两边并九十度】若庚辰之切线与庚辛之切线亦是以大句股之例例小句股也

　　既补成辰辛巳三角形可求巳角而巳角之度为乙甲是求巳角者实求乙甲也其法辛己弧之正与辰辛弧之切线若己甲象弧之正【即半径】与乙甲弧之切线【即己角切线】是以小句股例大句股也

　　又如己辰庚形庚为鋭角当自不知之辰角打线分为二形以求诸数其一辰辛庚分形先用庚角而庚角之度为丙丁用庚角实用丙丁也法为丙庚象弧之正【即半径】于丙丁弧之正【即庚角正】若辰庚之正与辰辛之

　　正又丙庚象弧之正弧【即半径】与丙丁弧之余【即庚角余】若辰庚之切线与辛庚之切线是以大句股例小句股也

　　其一辰辛己分形【以庚辛减己庚得己辛】有辰辛己辛二邉可求己角而己角之度为乙甲求己角实求乙甲也法为己辛之正与辰辛之切线若己甲象之正【即半径】与乙甲弧之切线【即己角切线】是以小句股例大句股也一系　用角求弧是以大句股比例比小句股用弧求角是以小句股比例比大句股

　　厯算全书卷六十