张家山《算数书》“乘”简试析

作者：刘金华
摘要：“乘”简是《算数书》整理中分歧比较大的一组简文，尽管学者们作了不同的调整，但其中仍缺乏一种有足够说服力的整理结果。我们认为，要对这组简文做出最恰当的整理，应该从简本《算数书》流传的角度，把其祖本中这段简文可能存在的分栏书写的情形考虑在内，具体的分析与整理见下文。

张家山《算数书》是近年来公布的中国早期的一部重要数学著作，在中国数学史上具有极为重要的地位。自其面世以来，对它进行研究的学者很多，如彭浩、郭书春、郭世荣、洪万生、苏意雯等，他们的研究解决了许多相关的重要问题，取得了很大的成绩。[1]但是，在整部著作的整理中，有个别的地方仍未得到圆满的解释，尚可做进一步的讨论，如“乘”简即属此类。这里，我们在各家讨论的基础之上，试就该组简文作进一步分析，以求对简本《算数书》原始面貌的考察有所裨益。

一、诸家整理之分析

“乘”简由8、9、10、11、12等五支简组成，释文如下：[2]

少半乘少半，九分一也；半步乘半步，四分一；半步乘少半步，六分一也；少半乘大半，九分二也；五分乘五分，廿  8 五分一；四分乘四分，十六分一；四乘五分，廿分一；五分乘六分，卅分一也；七分乘七分，卌九分一也；六分乘六分，卅六分一也；六  9 分乘七，卌二分一也；七分乘八分，五十六分一也。 10 一乘十，十也；十乘万，十万也；千乘万，千万。一乘十万，十万也；十乘十万，百万。半乘千，五百。一乘百  11万，百万；十乘百万，千万。半乘万，五千；十乘千，万也；百乘万，百万；半乘百，五十。 12

本组简所记主要内容可以分为两个部分，前一部分是分数相乘，为第8、9、10号简，后一部分主要是整数相乘，为第11、12号简。观察发现，这两部分都不是一般情形的乘法，前者乘数与被乘数所涉及的分数包括半（1／2）、少半（1／3）、四分（1／4）、五分（1／5）、六分（1／6）、七分（1／7）、八分（1／8），这些分数可以说很可能是人们最早认识的基本分数。整数部分的情况也相似，涉及一、十、百、千、万、十万、百万、千万，这些数字都应是当时人所掌握的用于记数的基本数字单位。

简文的记载比较混乱，彭浩、郭世荣、郭书春、洪万生、苏意雯等先生均意识到了这一问题，并对部分简文试作了调整，但因为没有理清简文抄写出错的原因，所以无法得到完满的结论。

各家整理后的释文分别作：
（1）、郭世荣先生：[3]

半（步）乘半（步），四分一[也]；[4]半（步）乘少半（步），六分一也；少半乘少半，九分一也；少半乘大半，九分二也；四分乘四分[也]，十六分一；四[分]乘五分，廿分一[也]；五分乘五分，廿五分一；五分乘六分，卅分一也；六分乘六分，卅六分一也；六分乘七，卌二分一也；七分乘七分，卌九分一也；七分乘八分，五十六分一也。一乘十，十也；一乘十万，十万也；一乘百万，百万[也]。十乘千，万也；十乘万，十万也；十乘十万，百万[也]；十乘百万，千万[也]；百乘万，百万[也]；千乘万，千万[也]。半乘百，五十[也]；半乘千，五百[也]；半乘万，五千[也]。

（2）、郭书春先生：[5]

一乘十，十也；十乘万，十万也；千乘万，千万。一乘十万，十万也；十乘十万，百万；半乘千，五百；一乘百万，百万。十乘百万，千万；半乘万，五千。十乘千，万也；百乘万，百万；半乘百，五十；少半乘少半，九分一也；半步乘半步，四分一也；半步乘少半步，六分一也；少半乘大半，九分二也；四分乘四分，十六分一也；四分乘五分，廿分一也；五分乘五分，廿五分一也；五分乘六分，卅分一也；六分乘六分，卅六分一也；六分乘七分，卌二分一也；七分乘七分，卌九分一也；七分乘八分，五十六分一也。

其中，简11、12郭书春先生以为应校正作：

一乘十，十也；一乘十万，十万也；一乘百万，百万。十乘千，万也；十乘万，十万也；十乘十万，百万；十乘百万，千万；百乘万，百万；千乘万，千万。半乘百，五十；半乘千，五百；半乘万，五千。

（3）、彭浩先生主要对简11、12作校正：[6]

一乘十，十也； 11 十乘千，万也； 12 十乘万，十万也； 11百乘万，百万； 12 千乘万，千万。一乘十万，十万也；十乘十万，百万。一乘百万  11，百万；十乘百万，千万。半乘百，五十；半乘千，五百。半乘万，五千。 12

（4）、苏意雯、洪万生等仅就细微处作了校注，未对简文的顺序作调整，盖其认为“此题就算不重排，亦不影响对题意的了解”。[7]

综观上述诸种校正，可知诸位先生的处理有以下不同：

1、  “乘”简，除苏意雯、洪万生等认为可以无须调整简文顺序照录外，其他先生认为应该作相应的调整。

2、  在简8、9、10与简11、12这两部分简文的顺序上，郭书春先生认为应该将简文11、12置于8、9、10之前，以为“盖先民认识‘数’时，当先认识整数，后才认识分数。”[8]而郭世荣、彭浩则仍保持简8、9、10在简11、12之前的顺序。

3、  对简8、9、10与简11、12两个部分而言，简8、9、10彭浩未作简文顺序调整，而二郭作了调整，结果却不同；简11、12，彭浩及二位郭先生均作了调整，二郭所作的调整相同，但与彭浩的调整不同。

所以，总的来说，对于“乘”简，诸位先生所作的校正没有完全相同的。对于上述区别，我们认为：

“乘”简所存在的问题应该如彭、二郭一样给予整理，而非如苏意雯、洪万生等原样照录，以解决简文顺序混乱的问题；简8、9、10与简11、12的位置无须如郭书春先生所说给予调整，因为竹简出土时这五支简的相对位置保存的十分完好，是前后一一相连的，此种现象当非偶然，说明它们在书中的顺序确实如此，故整理时应尽可能尊重原貌；各位先生的调整有得有失，但未给出一个完全正确、通畅可读的简文顺序。

二、从简文分栏书写的角度对“乘”简的重新分析

如前述所说，各位先生的调整各有得失，例如彭浩先生调整以后，“十乘千，万也；十乘万，十万也；百乘万，百万；千乘万，千万”及“半乘百，五十；半乘千，五百。半乘万，五千”部分要比未整理时更为合理些，然而其他部分简文却仍然比较零乱，显然未能达到整理的最终目的。其他的校正也存在类似的情况。那么，这组简文究竟应作如何调整呢？

对于简11、12，我们不妨先可以看一看下面分栏写的简文，这部分简文作四支简、分三栏书写，而所记的内容则与简11、12完全相同，具体情形如下：

第一栏            第二栏            第三栏

一乘十，十也       十乘万，十万也     千乘万，千万         第一支简

一乘十万，十万也   十乘十万，百万也   半乘千，五百[9]        第二支简

一乘百万，百万     十乘百万，千万     半乘万，五千         第三支简

十乘千，万也       百乘万，百万       半乘百，五十         第四支简

上述四支简文，依据分栏格式的正确读法，显然应该首先读第一支简的第一栏“一乘十，十也；”次读第二简的第一栏“一乘十万，十万也；”再读第三简的第一栏“一乘百万，百万；”接着读第四支简的第一栏“十乘千，万也；”然后读第一支简的第二栏“十乘万，十万也；”依次类推，读至第四简的第三栏“半乘百，五十”。那么，这四支简的简文读作：
一乘十，十也；一乘十万，十万也；一乘百万，百万；十乘千，万也；十乘万，十万也；十乘十万，百万也；十乘十万，百万也；十乘百万，千万；百乘万，百万；千乘万，千万；半乘千，五百；半乘万，五千；半乘百，五十。

但是，当没有采取这种与分栏书写格式相应的读法，而错误地采用一支简读完再读另一支简的方式读时，即自第一支简的第一栏开始，续读第二栏，再读第三栏，接着读第二简的第一栏，依次类推，以至第四简的第三栏，则这四支简的简文应该读作：

一乘十，十也；十乘万，十万也；千乘万，千万；一乘十万，十万也；十乘十万，百万；半乘千，五百；一乘百万，百万；十乘百万，千万；半乘万，五千；十乘千，万也；百乘万，百万；半乘百，五十。

这正好与简11、12所记一致，由此，我们可以得出这样的判断：即《算数书》作为一个抄本，其辗转传抄并非仅仅一次，而应经过两次以上，大概最初所照抄的《算数书》的本子中这一部分简文系分栏书写，其格式如上述所示，分三栏，共四支竹简。并且，由于抄写时大意，抄写者在抄写此段简文时不慎将第二、第三支简第三栏的相邻文字抄反了。后来再次传抄时，由于抄写者没有弄清这段简文是分栏书写的，而抄写格式由分栏变为不分栏，故对简文自右而左的读取方向未作相应的考虑，而是从第一支简的第一至第三栏纵向抄起，次及第二、三、四简，以致使原本十分通畅的简文读起来十分混乱。[10]
所以，简文11、12在《算数书》祖本中书写格式的原貌应该如上面四支简所示，进而，张家山《算数书》中这段简文调整后的释文顺序应该如前述采取第一种读法时所示。

同样的情形在简8、9、10中也存在，但这一部分简文在抄写时没有犯上述错误，当我们将它恢复为分栏的状况时，简文的规律性更为明显：

第一栏                  第二栏                第三栏

少半乘少半，九分一也   五分乘五分，廿五分一  七分乘七分，卌九分一也  第一简

半步乘半步，四分一     四分乘四分，十六分一  六分乘六分，卅六分一也  第二简
半步乘少半步，六分一 也四乘五分，廿分一      六分乘七，卌二分一也    第三简
少半乘大半，九分二也  五分乘六分，卅分一也  七分乘八分，五十六分一也 第四简

上述三栏，每一栏的四个式子可相对的表示为：1／n×1／n、1／(n－1)×1／(n－1)、1／(n－1)×1／n、1／n×1／(n＋1)。[11]可知，简文8、9、10在《算数书》祖本中也应是如上所示分三栏、四支简书写，抄写者在抄写时因为未如原书那样分栏，对此作了相应的调整，形成了我们所见到的竹简行文情况，所用竹简也由四支变为三支。

简言之，“乘”简在祖本《算数书》中的书写格式应作如下：

少半乘少半，九分一也  五分乘五分，廿五分一七分乘七分，卌九分一也  第一简

半步乘半步，四分一    四分乘四分，十六分一六分乘六分，卅六分一也  第二简

半步乘少半步，六分一也四乘五分，廿分一    六分乘七，卌二分一也    第三简

少半乘大半，九分二也  五分乘六分，卅分一也七分乘八分，五十六分一也第四简

一乘十，十也         十乘万，十万也      千乘万，千万            第五简

一乘十万，十万也    十乘十万，百万也   半乘千，五百[12]         第六简                                                                                     一乘百万，百万       十乘百万，千万      半乘万，五千            第七简

十乘千，万也          百乘万，百万        半乘百，五十            第八简

通过上面的分析，我们可以将“乘”简简文的顺序调整如下：

少半乘少半，九分一也；半步乘半步，四分一也；半步乘少半步，六分一也；少半乘大半，九分二也；四分乘四分，十六分一也；四分乘五分，廿分一也；五分乘五分，廿五分一也；五分乘六分，卅分一也；六分乘六分，卅六分一也；六分乘七分，卌二分一也；七分乘七分，卌九分一也；七分乘八分，五十六分一也。一乘十，十也；一乘十万，十万也；一乘百万，百万。十乘千，万也；十乘万，十万也；十乘十万，百万；十乘百万，千万；百乘万，百万；千乘万，千万。半乘百，五十；半乘千，五百；半乘万，五千。

[1] 彭浩著：《张家山汉简〈算数书〉注释》，科学出版社，2001年版；郭书春：《〈算数书〉校勘》，《中国科技史料》，22卷，第3期（2001年）；郭世荣：《〈算数书〉勘误》，《内蒙古师大学报》，（自然科学汉文版），第30卷第3期，2001年；洪万生、林仓亿：《〈算数书〉部分题名的再校勘》，HPM通讯，第五卷第二、三期合刊；苏意雯、苏俊鸿、苏惠玉等：《〈算数书〉校勘》，HPM通讯，第三卷第十一期，2000年。

[2] 张家山二四七号汉墓竹简整理小组：《张家山汉墓竹简》〔二四七号墓〕，文物出版社，2001年版，页250。

[3] 郭世荣：《〈算数书〉勘误》，《内蒙古师大学报》，（自然科学汉文版），第30卷第3期，2001年，页277。

[4] 方括号中的字系郭氏所补，圆括号中的字则是其认为应该删除的。

[5] 郭书春：《〈算数书〉校勘》，《中国科技史料》，22卷，第3期（2001年），页204。

[6] 彭浩著：《张家山汉简〈算数书〉注释》，科学出版社，2001年版，页40—42。

[7] 洪万生、林仓亿：《〈算数书〉部分题名的再校勘》，HPM通讯，第五卷第二、三期合刊第七版；苏意雯、苏俊鸿、苏惠玉等：《〈算数书〉校勘》，HPM通讯，第三卷第十一期第十三版，2000年。

[8] 郭书春：《〈算数书〉校勘》，《中国科技史料》，22卷，第3期（2001年），页204。

[9] 此句原本应该与下一句“半乘万，五千”位置交换，为便以后面的论述，作如此处理。

[10] 关于《算数书》抄本对原本行文格式的变化还有一处明显的例证，即“合分”简23云：“其术如右方”，从此可知这句简文与其前面的简文原是分开写的，.这与简文自右而左阅读的方式相合，经过抄写，这句简文也同前面简文的结尾合作一支简。

[11] 惟“少半乘大半，九分二也”例除外。

[12] 依据简本，此句复原后，本应该与下一句“半乘万，五千”位置交换，笔者怀疑为在流传过程中抄写疏忽所致，故作如此调整。