《新法算书》·6

用割切两线丁为心丁甲垂线为界作己甲午半圏丁

　　甲乙角形丁甲为全数丁乙邉为乙丁

　　甲角之割线甲乙其切线也又丁甲丙

　　角形丁甲为全数丁丙邉为丙丁甲角

　　之割线甲丙其切线也丁乙甲角形有

　　丁乙邉三十六歩有丁角为乙之余角

　　六十五度二十二分用法求丁甲甲乙两邉于丙乙减甲乙存二十为甲丙邉又丁甲丙角形有丁甲甲丙两邉用法求丙角亦求丁丙邉

　　乙丁甲角之割线二三九九九九

　　丁乙外邉三十六

　　全数十万　　　　　乙丁甲角之切线二一八一七三得十五为所求外丁甲　得三十二又十五之十一为外甲乙求角甲丁邉十五

　　全数十万

　　甲丙邉二十

　　得一三三三三三为甲乙丙角之切线查得五十三度○七分求邉全数十万

　　甲丁丙角之割线一六六六六五

　　丁丙邉十五

　　得二十五弱为丁丙邉

　　甲丙甲丁两邉之正方实幷而开方得丁丙二十五弱第十六题【四支】

　　杂角形设两邉及一邉之对角求余邉余角

　　一支不论角之体势依邉与邉若角与角比例之法

　　先求乙角则丁乙为外一率其对角【即丙角】之

　　正为二率丁丙为外三率所得为乙角之正以丁二十五歩弱丁丙十二歩丙角百三十度列数得之丁乙邉二十五歩弱

　　丙一百三十度用五十度角之正七六六○四【为一当大小两弧】

　　丁丙邉十二

　　得三七五○○为乙角之正查得二十二度○二分

　　幷乙丙两角之度以减一百八十余二十七度五十八分得丁角

　　次有角求丙乙邉则乙角之正与外丁丙若丁角之正与外丙乙

　　乙角之正三七五○○

　　丁丙邉十二

　　丁角之正四七○○○

　　得十五为丙乙邉

　　二支所设为钝角【数如前】用所设两腰间之丁角为心以丙以乙为界各作弧用正数如十四题第一图丁丙乙钝角一百三十度则甲丙丁角必五十度丙丁甲角必四十度【甲直角故】求甲丁邉用前法【如一图】又甲丁乙角形有甲丁邉九歩又百分之一十九分丁乙邉二十四歩求甲乙丁角【如二图】　又丁丙乙角形有乙角有丁丙乙

　　角依前法求丙乙邉【如三图】

　　全数十万

　　丁丙邉十二

　　甲丙丁五十度角之正七六六○四

　　得九又一百之十九为甲丁邉数

　　丁乙邉二十四歩半　乙角之正三七五○

　　全十万　　　　　　丁丙邉十二

　　甲丁邉九歩又一百之十九　丙甲乙角之正四六八九六得三七五一为甲乙丁角之正　得十五为乙丙邉

　　用割切两线甲丁为全数丁丙为甲丁丙角之割线甲

　　丙其切线也丁乙为甲丁乙角之割线

　　甲乙其切线也今有丁丙乙角一百三

　　十度余角甲丙丁必五十度则甲丁丙

　　直角形有两角有丁丙对直角之邉而

　　求甲丁邉

　　一图

　　甲丁丙四十度之割线一三○五四一

　　丁丙邉十二

　　全数十万

　　得九又一百之十九为甲丁邉外数

　　二图

　　或甲丁丙角之切线八三九一○为三率

　　得七又半不尽为甲丙邉外数

　　三图

　　甲丁邉九有竒

　　丁乙二四半

　　全数

　　得二六六五九四为甲丁乙割线查得六十七度二十三分【乙角之度二十二度○十○分】四图

　　全数

　　甲丁邉九有竒

　　丙切线之较一六一三五

　　得十五为丙乙邉

　　又甲乙为甲丁乙角之切线甲丙为甲丁丙角之切线丙乙为两切线之较则全数与甲丁邉若切线之较与丙乙【如四图】

　　三支三角形有两邉及锐角其二亦锐角如丁乙丙形有丁乙邉三十六歩丁丙邉二十五歩丁乙丙锐角二十四度三十七分丁丙为其对邉法用所设两腰间之丁角作甲丁垂线至丙乙邉用正数丁为心丙为界作

　　戊丙弧乙为界作己乙弧即甲丁乙角形有丁乙邉有乙角可求甲【丁甲乙两】邉【如一二图】甲丁丙角形有甲丁丁丙两邉可求丙角【如三图】可求丙甲邉【如四图】

　　一图

　　全数十万

　　丁乙邉三十六

　　乙角之正四六六七

　　得十五为甲丁邉外数

　　二图

　　或乙丁甲角之正九○九○六为三率

　　得三十二又十五之十一为甲乙邉外数

　　三图

　　丁丙邉二十五

　　全数十万

　　甲丁邉十五

　　得六○○○○为甲丙丁角之正查得三十六度五十○分四图

　　全数十万

　　丁丙邉二十五○○○○

　　甲丁丙角正八○○○○

　　得十五为甲丙邉外数

　　用割切两线丁乙为乙丁甲角之割线甲乙其切线也即甲丁乙角形有丁乙六十三歩乙角二十四度三十七分可求丁甲甲乙两邉【如一二图】又甲丙丁角形有甲丁丁丙两邉可求

　　甲丁丙角甲丙邉【如三四图】

　　一图

　　乙丁甲角之割线二三九九九九

　　全数十万

　　丁乙邉三十六

　　得十五为甲丁邉外数

　　二图

　　或乙丁甲角之切线二一八二五一

　　得三十二又十五之十一为乙甲邉外数

　　三图

　　甲丁邉十五

　　全数十万

　　丙丁邉二十五

　　得一六六六七九为甲丁丙角之割线查得五十三度八分四图

　　全数十万

　　甲丁丙角之切线一三三四九

　　甲丁邉十五

　　得二十七又十五之四为甲丙邉外数

　　四支所设为锐角有两邉其旁为钝角

　　一法用正数如丁乙邉二十四歩半丁丙邉一十二歩乙锐角二十二度○二分丙为钝角用第二支图作丁甲垂线即甲丁乙直角形丁乙二十四歩可求甲丁甲

　　乙两邉【如一二图】甲丁丙直角形有甲丁丁丙两邉可求甲丁丙角【如三图】甲丙邉【如四图】

　　一图

　　全数十万

　　乙丁邉二十四歩半

　　乙角之正三七五一五

　　得九歩又一百之十九为甲丁邉

　　二图

　　或甲丁乙角之正九二六九七为三率

　　得二十二又一百之七十一为甲乙邉

　　三图

　　丁丙邉十二

　　全数

　　甲丁邉九又一百之十九

　　得七六六○一为甲丁丙角之正查得五十度四图

　　全数

　　丙丁甲角之正六四三○一

　　丁丙邉十二

　　得七又一百之七十五为甲丙邉外数

　　用割切两线法与前同

　　第十七题

　　三角形有三邉求三角

　　三邉等则三角亦等各角皆六十度于一百八十度为三分之一或两邉等如丁乙丁丙法从丁作丁甲垂线至乙丙底分本

　　形为甲丁乙甲丁丙两角形而等何者丁乙丁丙两腰等乙甲甲丙又等丁甲同腰则两形必等【一卷八】即甲乙丁角形有丁乙腰乙甲半底依角与角若邉与邉用三率法求之先置各腰五歩乙丙六半之为乙甲三推得乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减两直角余为乙丙两角幷之数半之得两角数为两角等故

　　丁乙邉五

　　全数

　　乙丙邉三

　　得六○○○○为乙丁甲之正查得三十六度五十二分

　　甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙为七十三度四十四分以减一百八十存一百○六度一十六分为乙丙两角之幷数半之得五十三度○八分为乙丙两角之各本数

　　或各邉不等如丁乙丙角形丁乙一十歩丁丙一十五歩丙乙一十八歩用丁角为心【此角在两小腰间】丁乙为界作戊乙己辛圈而以丙丁邉引长至戊依五题求甲乙得五歩半甲丙得一十二歩半即甲丙丁直角形有丁丙甲

　　丙两邉求得丙丁甲角【如一图】因得甲丙丁角又甲丁乙直角形有丁乙甲乙求得甲丁乙角【如二图】因得甲乙角又幷两角得丙丁乙角亦得丙乙两角为是丁上两角之余故

　　一图

　　丁丙邉十五

　　甲丙邉十二半

　　全数

　　得八三三三三为丙丁甲角之正查得五十六度二十六分二图

　　丁乙邉十

　　乙甲五半

　　全数

　　得五五○○○为甲丁乙角之正查得三十三度二十二分即丙角

　　新法算书卷八十七

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法算书卷八十八　　　明　徐光启等　撰测量全义二

　　第一题

　　平靣测远【三支】

　　一支测两物之能到者　一法曰甲乙

　　为地平靣上江河之广或土田道里之

　　远欲从甲测去乙几何于甲角上平安

　　象限仪之心【后言象限或言仪平安言安省文】两边向

　　乙向丙作直角次从甲向丙行任取一十二步为丙防丙上再安象限边向甲窥衡望乙交象限之周线于丁定丙角为四十八度成甲乙丙直角形此形有甲丙边丙角而求甲乙边法为全数与甲丙边外数若丙角之切线与甲乙边外数也算得一十三步又三之一为甲与乙平靣相距之远【象限仪法见本篇第三卷窥衡或作指尺义同】二法曰丁乙为两所不能作直角或不欲或地非平靣【山水林木屋舍所隔】则丁安象限边向乙窥衡向丙定丁角为六十二度向丙行

　　任取一十二歩丙上再加象限边向丁窥衡望乙定丙角爲八十度成丁乙丙角形此形有丁丙边丁丙两角自有乙角而求乙丁边法乙角之正与丁丙边外数若丙角

　　之正与丁乙边外数算得一十九

　　歩又五之一爲乙与丁相距之逺丁

　　爲钝角亦如之　三法曰或从丁向

　　丙线持象限前却取得甲直角是乙

　　丁为直角之对边也法全数与外甲

　　丁若丁角之交线与外乙丁

　　四法曰若丁爲钝角上安象限面移丁丙线外边向乙衡向任取之丙表定戊丁丙角爲五十度以并戊丁乙直角得钝角一百四十度末定丙角二十四度成丁乙丙角形此形有丙丁边一丈二尺丙角二十四度法乙

　　角之正与外丁丙若丙角之正

　　与外乙丁得一丈七尺七寸

　　五法曰丁安象限边向乙衡向任取

　　之丙表得二丈从丁直视过丙至己

　　任定丙己爲一丈以上安象限边向

　　戊衡向丙令己角与丁角等末前却令戊过丙至乙作直线则丙己与己戊若丙丁与丁乙

　　论曰丁乙丙丙己戊两角形相似何者

　　己丁两角等丙上两交角又等是形与

　　形相似【六卷四题】即相当边之比例必等用

　　三率法丙己一丈为一率己戊三丈为次

　　率丁丙二丈为三率算得六丈为乙丁

　　六法曰甲乙为两所从乙引长任取二

　　十步为丙又任作丙丁戊直线任取丙

　　丁二十五步丁安象限边向乙衡向丙定乙丁丙角次持象限前却取戊令戊角与丁角等量丁戊得六十一步法丙丁与丁戊若丙乙与乙甲【六卷二】算得十二步又

　　一十五之四

　　不用布算法

　　七法曰乙丁为两所乙安象限边向任取之丙衡向丁得丁乙丙外角七十度次从丙乙直线上求戊令戊角半于丁乙丙角则戊乙与乙丁等

　　论曰丁乙丙外角与相对之两内角等【一卷三十二】戊角半丁角亦半两角等两腰亦等

　　八法曰乙上安象限作六十度角次于乙丙直线上求丙亦作六十度角则乙丙与乙丁等

　　论曰乙丙两角各六十度则丁角

　　亦六十度而乙丁丙为三边等形

　　九法曰若乙丙短则向乙向丁求

　　甲直角得甲乙为乙丁之半

　　论曰丁乙甲直角形乙角既六十

　　度则丁角三十度因角与角之正若边与边是三十度之正全数之半也故乙甲为乙丁之半也十法曰任设乙角为四十度次以半周上余度平分为七十度于乙丙线上前却令丙角亦七十度则乙丙与乙丁等论曰丙角为外角之半丁角亦半乙丙与乙丁两线必等

　　用矩度法　用矩度者以器上小形当所测大形也如所测为甲乙则矩度之边壬丙或己辛与甲乙平行其相当数为比例必等所设两在边为甲丙则矩度之边壬辛或丙己与甲丙平行其相当数为比例必等【一卷

　　二十九三十二题】置法同前甲恒为直角

　　十一法曰一解窥衡交线【后省曰交或曰视交】在对角则丙甲与甲乙等

　　论曰丙己辛丙甲乙两角形相似何

　　者两形有己甲各直角同用丙角则

　　两相似【六卷四题】而矩形丙己与己辛等

　　则丙甲与甲乙亦等二解视交在两

　　所平行边如戊则丙己与己戊若丙甲与甲乙论曰丙己戊丙甲乙两角形相似何者两形有己甲各直角同用丙角则两形相似【六卷四题】而矩形之丙己与己

　　戊若甲丙与甲乙

　　三率法丙己一百分为首率己戊七十

　　分为二率丙甲一十五步为三率算得

　　甲乙十一步半【两所平行边后省曰平边】

　　三解视交在两测平行边如丁则丁壬

　　与壬丙若丙甲与甲乙【两测平行边后省曰立边】

　　论曰丁壬丙丙甲乙两角形相似何者两形有直角有相等之壬丁丙乙丙甲两角在平行线内则相当线之比例必等　三率法丁壬六十分为一率壬丙百分为次率丙甲一十二步为三率算得二十步为甲乙

　　省算法　十二法曰交戊甲丙六十

　　步即于丙己边自己至未取六十分

　　与甲丙比例等自未至视线作未子

　　为丙己之垂线从子作子午为辛己

　　之垂线得子午戊形戊午之若干分

　　为甲乙之若干步

　　论曰子午戊丙甲乙两角形相似何者两形各有直角

　　有相等之戊角与乙角则各边之比

　　例等先作未己或子午与甲丙比例

　　等则戊午甲乙比例亦等　若交在

　　丁从壬至午取六十分作午子垂线

　　二支测两所之不能到者

　　一法曰乙丙为两所俱不能到独甲

　　可到即于甲上立表令甲乙丙为直

　　线安象限边向乙向丁行至丁得若干步安象限于丁边向甲衡以次向乙向丙成甲丁丙甲乙丁两直角形甲乙丁角形有甲丁边丁角可求甲乙边【本书首卷十二题二解】甲丁丙角形有甲丁边丁角可求甲丙边末以甲乙减甲丙所余乙丙用切线可求乙丙边如甲丁二十四步乙丁甲角三十四度丙丁甲角四十八度则甲丁为全数而甲乙为甲丁乙角之切线甲丙为甲丁丙角之切线两切线之较为乙丙用三率法全数一甲丁二十四步二切线较三算得一十步一十五之七为乙丙

　　二法曰乙丙为两所直线上更

　　任取两所如丁如庚次作庚壬

　　线任取壬防安象限边向丙窥

　　庚定壬角之度次辛防上安象限向乙向庚游移令辛角与壬角等次戊安象限向丁【乙丙直线上】向庚游移令戊角与壬角亦等未量壬辛戊庚及庚丁各几何用三率法与戊庚与辛壬若庚丁与乙丙

　　三法曰乙丙直线上任至一处如庚庚上安象限边向乙丙窥丁定丁庚乙角之度又从庚丁直线上至戊戊

　　上安象限作庚戊己角与丁庚【乙角】等即

　　戊己线与丙庚平行次于巳上窥过丁

　　到丙戊己之间游移窥过丁到乙得辛

　　则戊丁与辛己若丁庚与乙丙

　　论曰丙乙丁辛己丁两角形相似戊辛

　　丁乙庚丁两角形亦相似则各边之比

　　例自等

　　省算　四法曰乙庚为两所直线上取甲安象限作乙甲丁直角行至丁安象限边向甲窥乙窥庚作甲丁乙甲

　　丁庚两角次甲乙直线上寻戊作

　　甲戊丁为乙丁甲之余角寻巳作

　　甲己丁为甲丁庚之余角则得戊

　　己与乙庚等

　　论曰甲乙丁甲戊丁两形等何者

　　戊为甲丁乙之余角则与乙角等

　　同用甲丁边故两形等依显甲庚丁甲丁己两直角形亦等夫庚甲甲己既等减相等之甲乙甲戊所存戊己乙庚亦等

　　五法曰甲丁直线上取戊安象限窥乙

　　作戊角为四十五度丁上窥庚亦令丁

　　角为四十五则戊丁与乙庚等【戊甲乙为直角】论曰丁戊各半直角则庚与乙亦如之

　　甲丁甲庚必等又甲戊甲乙亦然减相等之甲乙甲戊

　　则所存亦等

　　六法曰若庚乙丁戊两线上所得角未

　　眞则于乙庚线上取丙安象限作六十

　　度角丙丁线上寻戊寻丁望乙望庚作

　　戊丁二角各六十度则戊丁与乙庚等

　　论曰丁丙庚角形之三角同为六十度乙戊丙亦如之减相等之戊丙乙丙所存丁戊乙庚自等

　　七法曰置丙角六十度令戊丁为

　　两直角则戊丁为庚乙之半

　　论曰庚丙丁乙丙戊两直角形有

　　丙角六十度乙角必三十度因边与边若角与角之正则三十度之正戊丙为全数乙丙之半又庚丙为全数丁丙为庚角之正视全数亦半庚丁乙戊既平行则庚丙与丁丙若乙丙与戊丙分之乙丙与戊丙若庚乙与戊丁戊丙为乙丙之半则戊丁亦乙庚之半八法曰若丙为钝角则以丙角之余度平分之次于丙丁线上寻戊寻丁各作丙角余之半则戊丁与乙庚等

　　论曰乙丙戊庚丙丁两角形相似乙戊庚丁四角等则边亦等减相等之戊丙乙丙所存

　　之戊丁乙庚亦等

　　用矩度

　　九法曰庚向乙直线上行取甲

　　甲上安矩度作甲丁垂线行至

　　丁得若干步安矩度边向甲窥

　　乙与庚各交矩度边　一解交

　　乙庚平行边于己于戊则丁壬

　　与戊己若丁甲与乙庚【戊己与乙庚平行故曰平行边】

　　论曰己丁壬庚丁甲两直角形同用丁角则相似是丁壬与壬己若丁甲与甲庚又丁壬戊丁甲乙两直角形同用丁角亦相似是丁壬与壬戊若丁甲与甲乙更之丁壬与丁甲若壬戊与甲乙夫壬戊甲乙乃壬己庚甲两全内所取之分也【五卷十一】则所余戊己与乙庚若壬己与甲庚亦若丁壬与丁甲矣

　　三率法丁壬一百分为首率戊己四十分为次率甲丁六步为三率算得二步又十分之四为乙庚

　　二解交立边于午于子

　　论曰午丁辛丁庚甲两直角

　　形相似以求甲庚边子辛丁

　　丁甲乙两直角形相似以求

　　甲乙边庚甲内减甲乙较为乙庚

　　省算于丁壬边取丁寅之分数如丁甲之步数【每步取一分或二或三俱得】寅上作垂线交两视线于酉于卯则卯酉之分数为乙庚之步数

　　论曰卯寅丁庚甲丁两形相似酉寅丁乙甲丁两形亦相似卯寅内减酉寅庚甲内减甲乙则丁寅与卯酉若丁甲与庚乙

　　三解互交两边于己于戊先求甲庚次求甲乙甲庚内减甲乙余为乙庚边其求甲庚为丙己与丙丁若甲丁

　　与甲庚求甲乙为丁壬与壬戊

　　若甲丁与甲乙　省算丁壬边

　　上取丁寅之分数如甲丁之步

　　数寅上立垂线交两视线于午

　　于子则午子之分数如乙庚之步数

　　三支物莫能到复不能作线与防直

　　一法曰乙己两物不能到复不能向

　　乙己作直线则于甲上安象限边向

　　乙窥己成甲乙己角【形向丁次】行至丁得

　　若干步上安象限边向甲窥乙成甲

　　丁乙角形复窥己成丁乙己角形若

　　乙甲丁形有丁角为三十八度丁甲

　　十步而求甲乙边法为全数与外甲丁边若丁角之切线与外甲乙边算得七步又六十之四十九【若甲非直角则定其角之度】次己甲丁形有丁甲十步丁角七十七度甲角六十五度而求甲己边法为己角之正与外甲丁边若丁角之正与外甲己边算得一十五步又六十之四十九次甲乙己角形有甲角甲乙边七步又六十之四十九甲己边一十五又六十之四十九而求乙己边即从乙到戊作垂线分本形为两直角形其甲乙戊角形有甲角二十五度甲乙七步有竒而求甲戊边法为全数与外甲乙边若乙角之正与外甲戊边算得七步又六十之五次求乙戊边法为全数与外甲乙边若甲角之正与外乙戊边算得三步又六十之一十八末于甲己内减甲戊余八步又六十之四十四为戊己其乙戊己角形有乙戊戊己两边以句股法求之得乙己九步有竒

　　二法曰任内丙表安象限边向乙窥巳

　　定己丙【乙角】之度丙乙直线上取丁安象

　　限边向己窥过丙到乙定己丁丙角为

　　己丙乙角之半又于己丙直线上取戊

　　安象限边向乙窥丙到己令乙戊丙之角为丙角之半则得丁戊与乙己等

　　论曰丙丁己角为乙丙己外角之半则己角亦半夫角等者腰亦等则己丙与丁丙等乙戊丙角为乙丙己外角之半则乙角亦半而乙丙与丙戊等夫乙丙己丁丙戊两形之两腰等两腰间角等则乙己与戊丁两底亦等

　　第二题

　　斜靣测远【三支】

　　一支不论根之能到与否

　　一法曰乙甲为山之髙其坡乙丙欲测坡若于于丙或左或右置象限作直角一边向丁至丁上置象限边向丙窥乙令丁为四十五度角则得丙丁与乙丙等

　　论曰乙丁丙直角形丁角四十五度则乙角亦四十五度丁丙乙丙各等角之对边也必等

　　二支根之能到者　二法曰置丙

　　象限边向甲根窥乙定丙角之度

　　此形有甲丙边丙角而求乙丙边

　　法为全数与外甲丙若丙角之割

　　线与外乙丙　三法曰丙甲直线上求丁置象限令其角为乙丙甲角之半则丙丁与乙丙等

　　四法用矩度

　　一解曰表在丁窥交平边于辛为

　　辛庚与辛丁若甲丁与乙丁

　　二解曰表在丙窥交为对角线依

　　句股法丙甲自之倍之开方得

　　三解曰表在戊窥交立边于己为

　　戊寅与戊己若甲戊与戊乙

　　五法省算矩边从丁到午取分数

　　如丁甲之歩数立午子垂线成午

　　丁子角形与甲丁乙形相似则丁子之分数为乙丁之步数从戊亦如之

　　三支根之不能到者　六法曰丙

　　丁直线上用象限两次于丙于丁

　　成乙丙丁形此形有丁丙边丁丙

　　两角用正法得乙丙边

　　七法曰以意置乙甲垂线用丁乙

　　甲丙乙甲两角之切线较为一率

　　外丁丙为次率丙乙甲之割线为

　　三率所得为外率乙丙【或丁乙甲交线为三】

　　【率所得四率乙丁】

　　用矩度【八法】一解交平边法曰在丙交辛于甲丙直线上退至丁得若干步而交己则己辛与辛丁【即辛丙】若丁丙与丙乙

　　论曰壬辛丙角形与甲丙乙角形相似丁己壬角形与乙丁甲角形相似于壬己减壬辛甲丁减甲丙则丁丙与己辛相似

　　二解交立边法曰在丙交辛退丁交己则于矩靣上作子午线与丁戊平行截辛丁线【即辛丙】于子遇己丁线于

　　午成子午丁角形与丁丙乙角形相

　　似则子午与子丁若丁丙与丙乙或

　　矩靣外作辛庚线与丁戊平行则庚

　　辛丁形与乙丁丙形相似是庚辛与

　　辛丁若丁丙与丙乙次求辛丁线法

　　以辛戊戊丁各自之并而开方得所

　　求次求辛庚线法己戊与戊丁若辛

　　己与辛庚为丁己戊辛己庚两直角

　　形有庚丁两角在平行线内即相似故

　　论曰丁午子丁丙乙两形相似葢子午丁午丁戊为平行线内相对之两角等辛子午辛丙壬两角等【在平行线内】则乙丙丁辛子卯两余角自等辛子卯午子丁两交角

　　亦等既两形之各角俱等即各边自

　　相似　省算取子午之分数为丁丙

　　之步数

　　三解互交法曰在丙交辛在丁交己

　　以平边引长之遇于庚成庚辛丁角

　　形则庚辛与辛丁若丁丙与丙乙

　　论曰庚辛丁乙丙丁两角形相似葢辛庚丁丙丁乙相对之两内角等壬辛丁角与甲丙乙角等其余角庚辛丁乙丙丁自等故庚辛与辛丁若丁丙与丙乙第三题

　　望高测远

　　一支平靣上有余地　一法曰甲乙为

　　山或楼台而直线不能至甲欲借乙顶

　　测丙与甲相距之远则于丙上置象限

　　定角度却从丙到丁得若干步置象限

　　定角度乙丙丁角形有丁丙边丁丙两角可求乙丙边有乙丙边而求甲丙边法为全数与乙丙边若乙角之正与甲丙边

　　二法用切线乙为心甲为界作甲己戊弧而得甲乙丙甲乙丁两角切线之较则丙丁切线较与外丙丁步数

　　若甲丙切线与外甲丙步数

　　三法曰丙外不能作直线则或左或右

　　作丁丙乙直角行至丁置象限求作四

　　十五度角即丙丁得三十一步又三十

　　之二十三以乙丙为全数丙丁为丁乙丙角之切线丙甲为甲乙丙角之正是丁丙切线与外丁丙之步数

　　若丙甲正与外甲丙之步数

　　四法省算丙上置象限定乙丙甲角六十四度退至丁定其角三十二度为丙角之半却于地平靣之丙丁线上作丙丁戊角

　　与甲乙丙角等为二十六度丁戊线上求戊作直角则丙戊之步数即甲丙之步数

　　论曰丁戊丙甲丙乙两直角形有丁乙两角等乙丁丙为乙丙甲外角之半即丁乙丙角亦半而丁丙乙丙两

　　腰必等丙丁戊形与甲乙丙形有

　　等角有同边即丁戊与甲丙必等

　　用矩度　五交平边法曰丙上立

　　矩度成午壬丙形与甲乙丙形相

　　似丁上立矩度成午己丁形与丙

　　丁乙形相似则己午与壬午若丁

　　丙与甲丙

　　六交立边法曰在丙交午在丁交

　　己则午己与己壬若丁丙与丙甲

　　论曰试从己作己戊线与午丁平行即午壬丁形【即午壬丙】

　　与甲乙丙形相似而午壬丁己壬戊

　　两形亦相似己壬丁甲乙丁两形亦

　　相似夫戊己壬形之壬戊为小甲丙

　　己丁壬形之丁壬为小丁甲丁壬之

　　内减戊壬丁甲之内减甲丙则戊丁

　　小丁丙也午己与己壬既若丁戊与

　　戊壬必若丁丙与丙甲矣

　　七互交法曰在丙交戊在丁交午即以壬戊边引长之遇丁午线于子成子戊丁角形与乙丙丁相似则子戊与戊壬若丁丙与丙甲

　　论曰甲乙丁午己丁两形相似午己丁丁壬子两形亦相似则丁壬子甲丁乙两形亦相似夫壬戊丙形【即壬戊丁】与甲乙丙形原相似是壬子当甲丁壬戊当甲丙即戊子当丁丙矣戊子与戊壬不若丁丙与甲丙乎矩靣加庚午衡线同上论

　　二支平靣上无余地　一法曰甲不可到丙外复无余

　　地则立表柱于内权线取直上丁下丙

　　各置象限定丁丙两角成乙丙丁形此

　　形有丁丙边有角则乙角之正与外

　　丁丙若丁角之正与外乙丙【如丁为钝角无】

　　【正则以余角之正】次甲乙丙形有乙丙边有角则全数与外

　　乙丙之步数若乙角之正与外甲丙

　　之步数

　　用矩度　二法一解交立边在丙交己

　　成己壬丙形与甲乙丙形相似在丁交

　　辛成己辛丁形与乙丙丁形相似则己辛与丁壬若丙丁与甲丙

　　论曰丁壬边引至庚得庚丁与甲丙平行夫己壬当乙甲辛壬当乙庚则辛己丁丙皆当甲庚

　　二解交平边在丙交

　　己在丁交辛则以丁

　　己戊庚两边各引长

　　之遇于寅截丁乙视

　　线于子而成寅子丁形与乙丁丙形等角又成寅庚己形与甲乙丙形等角则各相似而寅戊丁形亦与寅庚己形相似则寅子与戊丁若丁丙与丙甲

　　三解互交平边交己立边交未则以丁己戊庚两边各引之遇于寅因前论寅未与戊丁全边若丁丙与丙甲五法曰省算于矩面上两视线内加一直线与丁丙平行其分数等如申酉则丁酉之分数为丙甲之步数第四题

　　对坡测远

　　法曰有高为甲乙于对坡丙上见乙戊欲测甲丙相距

　　几何于丙置象限向戊向乙向

　　丁定戊丙乙乙丙丁两角之直

　　次步于丁置象限向乙向戊向

　　丙定乙丁戊戊丁丙两角之度

　　末引长丁丙线遇乙戊线于甲

　　而成角形四曰乙丙丁曰戊丙丁曰乙丙戊曰甲乙丙其乙丙丁形有丙丁边丁丙两角可求乙丙边戊丙丁形有丙丁边丁丙两角可求戊丙边乙丙戊形有乙丙戊丙两边有丙角可求丙乙戊角末甲乙丙形有乙丙边乙丙两角即得甲丙边

　　如在丙作甲丙乙角四十八度甲丙戊角三十六度在丁作甲丁乙角三十八度甲丁戊角二十八度丁丙为一十步即乙丙丁形有丁角三十八度丙角一百三十二度【甲丙乙四十八度之余角】乙角一十度而求乙丙边则乙角之正与外丙丁之步数若丁角之正与外乙丙得三十五步又四五四○戊丙丁形有丁角二十八度丙角一百四十四度戊角○八度而求戊丙边则戊角之正与外丁丙之步数若丁角之正与外戊丙得三十三步又九千七百九十○戊丙乙形有乙丙戊丙两边丙角一十二度而求乙角则作戊辛垂线至乙丙边其全数与外戊丙三十三步又九七九○若戊丙乙角之正与戊辛【七又○六三】亦若戊丙乙角之余与辛丙【三三一四】于乙丙三十五又四五四○内减辛丙三十二余二又三一四○为乙辛夫乙戊辛直角形有乙辛戊辛两边而求乙角为乙辛与全数若戊辛与乙角之切线得二八六三九五查角之度为七十度四十五分末甲乙丙形有乙丙三十五又四五四○有乙角丙角则甲角必五十八度五十八分而求甲丙则甲角之正与乙

　　丙边若乙角之正与甲丙边得

　　四十一步又三七六一【一万分为步】值丙在坡下法与前同

　　第五题

　　登髙测远

　　一支测根与他物之远

　　一法曰登乙山欲测甲根与丙相距之远乙置象限向

　　丙成甲乙丙直角形先得甲乙若干有

　　角可得甲丙边

　　二法曰用矩度交立边为壬辛与全边

　　若乙甲与甲丙交平边为全边与壬

　　辛若乙甲与甲丙

　　二支测两他物之远　三法曰乙山

　　上欲测丙与丁相距之远乙置象限

　　作甲乙丙甲乙丁两直角形用正

　　法求甲丙复求甲丁以甲丙减甲丁

　　所余为丁丙边若用切线为全

　　数与外甲乙若丁乙甲丙乙甲

　　两切线之较与外丙丁

　　四法曰用矩度交平边则乙壬

　　与己辛若乙甲与丙丁【一图】交立边则壬辛与壬乙若乙甲与甲丁【二三图】又壬己与壬乙若乙甲与甲丙【三图】次以

　　甲丙减甲丁余丁丙为两边之较若先

　　求甲丙则乙壬与壬己若乙甲与甲丙

　　【三图】又壬辛与壬乙若乙甲与甲丁【三图】

　　三支不知高欲测根与他物之远　五法曰不知甲乙高欲测根与丁相距之远于戊于乙两置象限各向丁成甲乙丁甲戊丁两形以乙丁甲戊丁甲两角切线之较为一率外乙戊为二率全数为三率所得四率为外

　　甲丁相距之远

　　六法曰两交平边于

　　己于辛【一二图】引长壬

　　庚边遇乙丙戊丙两

　　视线于寅于癸则乙壬当甲丙乙癸当丙戊乙寅当乙丙又壬癸当甲戊壬寅当甲乙则癸寅与乙壬若乙戊与甲丙

　　两交立边于辛于己【三四图】则己辛当戊乙己壬当戊甲余如前　互交两边于己于辛【二三图】引长壬庚边遇乙丙视线于癸则辛癸当乙戊辛壬当戊甲余如前

　　四支　七法曰乙戊上两置象限

　　各向丙向丁成乙丙戊乙丁戊丁

　　乙丙三形乙丙戊形有乙戊边乙

　　戊两角可求乙丙边乙丁戊形有

　　乙戊边乙戊两角可求乙丁边末丁乙丙形有丁乙乙丙两边乙角可求丁丙边

　　八法曰在髙处其对山有二坡欲测

　　其相距之远法以丙丁变乙戊反用

　　之【查四题一图】义同前但甲角或钝或鋭

　　异耳

　　第六题

　　测髙之广

　　法曰有室欲量其檐广如丁乙先于丙求丙丁乙丙两

　　斜线次向丁向乙定丁丙乙角而成丙

　　丁乙形此形有丙角丙丁乙丙两边可

　　得丁乙边

　　第七题

　　测髙三支

　　解曰凡测高以架承测器距地面若干所得高器以上之高也加距地度得全高或手持测器加目至地之度

　　一支其底之能到者　一法曰人立

　　丙欲测甲乙山之髙其底能到目在

　　丁测立象限望乙成戊丁乙直角形

　　此形有丁戊步数有丁角为全数与外丁戊若丁角之切线与外乙戊加甲戊得甲乙全高用正法亦如之

　　二法曰于甲丙底线上从丙向甲

　　或前或却侧立象限令丙为四十

　　五度角得甲丙与甲乙等

　　三法曰任得丙角后于地面丙上

　　立象限作甲丙戊直角于戊平置象限令戊角与乙角等【丙余角即乙角】则甲乙丙甲戊丙为两相等形而丙戊之远即甲乙之高【侧置后省曰立】

　　用矩度立矩度以测高立边当高平

　　边当远用三率法视交在立边则全

　　边与交边若远与高在平边则交边

　　与全边若远与高

　　四法曰在丙交平边于己己壬得五

　　十分甲丙五步则己壬五十与全边百若五与甲乙之十在丁交立边于戊戊庚得八十分则丁庚全边与戊庚之八十分若甲丁一十二步与甲乙之九步○六分依在丙法或前或却以定其分如五十半也二十五四分之一也五二十之一也欲测高而平边得五十则高倍远得四之一则高四倍于远反之则髙一远四二支其底之不能到者

　　五法曰甲不可到丙外又无直线

　　丙上立象限定乙丙甲角次转器

　　向乙向丁命作丙左右两等角次

　　丙丁上进退求丁安象限向乙向丁命作丁直角则乙丙丁乙丙甲两形等丙丁当丙甲乙丁当甲乙

　　六法曰丙外无余地上立象限作甲

　　丙乙角从丙至丁任若干步加象限

　　定甲丁乙角正切线任用之

　　用矩度以所测高为底法与测远同

　　七法曰截髙如乙甲求若干以测远

　　法反用之底不能至亦如之

　　三支非平行非高之底

　　八法曰甲乙高人在丁更高测法立

　　象限作丙丁乙丙丁甲两角其甲丙

　　丁直角形有丁丙边丁角可求甲丁

　　边次丁乙甲角形有甲丁边丁甲两

　　角可得甲乙边或先得甲丙以丁为心作丁戊线与甲

　　丙平行戊为界作弧丁戊为全数以

　　乙丁戊甲丁戊两角之切线较求之

　　九法曰甲乙高人在戊次高求测之

　　先求甲丙因成戊乙甲形依地平作

　　戊丁线与甲丙等分乙戊甲为乙丁戊甲丁戊两直角形各有戊丁边有乙戊丁丁戊甲角以求乙丁甲丁并之得乙甲象限矩度任用

　　第八题

　　因远测高

　　一法曰知甲丙之远乙上立象限作甲

　　乙丙形测之

　　二法曰不知甲丁之远山上求树求屋

　　作乙丙垂线各向丁立象限成乙丙丁

　　形意置甲丁地平平行线引乙丙垂线至甲正切线任用测之【亦重表法】

　　三法曰在山上知丙丁之远测乙甲高

　　乙立象限成乙丙丁形意置乙甲垂线

　　及甲丙地平平行线正切线任用

　　测之

　　四法曰丁高之上欲测乙戊先求甲

　　丙次作丁戊乙形测之

　　五法曰次高戊上测最高乙甲于丁

　　戊上各立象限成戊甲丁丁甲乙两形测之

　　第九题

　　测井之深

　　深者立远也去人而近地心测深与测高通人在物底为量高在物顶为量深

　　一法曰测井从口一边垂线至底或

　　视口广狭从口边投之以石至底作

　　旋涡定其处如甲戊丙丁井甲戊口

　　丁丙底投石作旋涡得乙为视线之界戊立象限向乙

　　成甲戊乙直角形有甲戊边戊角得

　　甲乙之深

　　二法曰不知井口于口边立表表端

　　加象限作甲丁乙形测之

　　第十题

　　登山测谷之深

　　一法曰丁乙丙谷在于欲测甲乙之深于丙于丁各立象限成甲丙乙甲丁乙两形测之

　　二法曰丙可到丁于丁于丙立象限

　　成丁丙乙角形有丁丙两角有丁丙

　　边用切线较得之

　　新法算书卷八十八

　　钦定四库全书

　　新法算书卷八十九　　　明　徐光启等　撰测量全义卷三

　　取地平线法　増题一

　　凡测髙深广逺必用直角者以小句股求大句股也地平为句所测髙为股股者垂线也垂线之末加权焉以定地平有本器本论今用象限与矩度则于器心施权线平直相切于象限之边其表边所向之处别立他表则他表与器之心为平行线如

　　一图甲乙为物髙丙上加器表边在上旁以

　　权线凖之从丙直视至甲定甲为他表则

　　甲丙线为地靣上平行线何者垂线从天

　　顶向地心与地靣上平线为直角故也

　　若道里相距太逺难定其髙下之较何

　　者地靣为地球之一分分也逺则目

　　与物为背所隔不相及矣法以相距

　　之逺分为若干分每两分定其髙下之

　　较末以各较加减之得总髙下之较如

　　二图甲乙相距四里许乙上加器别

　　立丙表令乙与丙等髙丙上加器别

　　立丁表令丙与丁等髙丁上加器望

　　甲令甲与丁等髙次量各表距地各

　　几何加减之得甲乙之较

　　值两地之间为山城所隔如三图量

　　乙距丙几何令乙与丙平丙之表端

　　为丁距戊几何令丁与戊平戊下取

　　己与丙平戊己距庚辛表几何定己

　　与庚平戊与辛平庚辛距壬癸表几何令辛庚与壬癸平从壬癸望甲令癸与甲平次以丁丙己戊并庚辛壬癸并两数相减余为两地髙下之较如近乙之丁丙与己戊并多于近甲之庚辛与壬癸并则乙下而甲髙深浅反之

　　若山城中穷于用器则于山腰用之又别有简法曰山顶戊用器求甲与乙之深两数之较则髙下之较【四图】

　　如在乙欲测甲髙乙上用器令乙与丁平则量丁乙之逺而求甲丁之深【五图】

　　矩尺测量法　増题二

　　法曰如一图欲于丁测甲乙之髙丁上立表表端为山

　　口矩尺之直角加焉以己戊

　　尺向髙际乙稍移就之令己

　　戊乙为直线次从戊己尺上

　　依直线向地平得丙成丁戊

　　丙甲乙丙相似两形则丙丁与丁戊若丙甲与乙甲以髙求逺则戊丁与丁丙若乙甲与甲丙

　　若据髙求逺如二图丁丙与戊丁若戊

　　丁与丁乙若因逺求髙则戊丁与丁丙

　　若乙丁与戊丁　论曰戊丁乙戊丁丙

　　两形有丁直角丁丙戊丙戊丁并为一

　　直角丙戊乙亦为直角两角内减丁戊

　　丙角余戊丙丁丁戊乙两角等夫直角形有两角等即形相似则丙角之对边戊丁也乙戊丁角之对边丁乙也其比例必等

　　求井之深则于井口边甲上

　　立表向井底乙向地平之丁

　　成甲丁丙丙戊乙两形相似

　　是丙甲当广甲丁当深也

　　测极逺别法　増题三

　　两郡邑相距太逺以髙求逺表法为

　　穷则用四表遇地靣不平四表法又

　　穷别法每邑取一髙若山巅若楼防

　　若林木俱可或并为诸物又地平为

　　他物所碍则又穷当于气清日朗风恬时烧狼烟直上作两处之表次于近山之顶取甲取乙甲山上加象限

　　向所测之丁与丙又向乙山定丙甲

　　丁乙甲丁两角乙山上加象限向甲

　　向丁向丙定丁乙丙甲乙丙两角夫

　　甲乙丙形有甲乙边乙甲两角可求

　　甲丙边甲乙丁形有甲乙边甲乙两

　　角可求甲丁边未甲丁丙形有甲丙

　　甲丁两边可求丁丙相距之逺若一次不能测则分测之如以甲乙测丁丙以乙辛测丙戊以辛庚测戊己

　　量髙逺深　増题四

　　用方木表承以鼎足之跗垂权取直表端以下一尺或五寸用一十或一百平分之下作方孔长寸许广三分贯以横表游移无定亦以十或百平分之纵横作直角

　　解曰如一图欲测甲乙之髙丙上立

　　表横表游移令丁戊乙为直线成丁

　　戊己丁乙庚两相似形即丁己若干

　　分与己戊一百分若丁庚与乙庚加甲庚得全髙

　　以髙求逺则戊己一百分与丁己若

　　干分若乙庚与庚丁减丁己得甲丙

　　逺物在下目在上如二图令戊丁丙

　　作直线则戊己与己丁若戊甲与甲

　　丙

　　若无髙求逺则用重表如三图以丑

　　壬两测之较当庚癸相距之逺

　　髙上测髙用重表再测但须定表横

　　用游表直用在丙得己丙在丁得丁

　　戊其较庚己以当丙丁横表己辛

　　以当甲乙

　　在一髙测两下在丁向乙向丙定

　　横表之两数则丁戊当丁甲戊辛

　　当甲丙己辛当乙丙己戊当甲乙

　　用五图以逺求髙其理亦同以逺

　　求深或井口上立柱用四图以井

　　口之度求深用二图

　　造象限仪法【篇中或省曰象限或曰仪】

　　用铜或木板作圏四分之一去板边三分作甲乙直线平靣中任取丙为心甲为界作甲丁虚圏交甲乙线于戊从戊过丙作直线交甲丁圏于丁从甲至丁作直线

　　成丁甲乙直角【几何用法】次以甲为心去

　　版边一二分取乙为界作乙庚圏即

　　四分全圏之一象限也圏限外余版

　　剡去之次离乙庚弧以内约二分作

　　相似弧两弧间平分各度分又同前作相似弧两弧间识其十度或五度从庚从乙皆可起算互用之庚后作小孔贯以权线至甲【若作两指尺可不用权线】

　　窥衡一名指尺铜为之首为小圜径

　　三四分从心出直线名指线以定度

　　分所至也广三分厚一分长与象限

　　之半径等上设二表一近心一近秒秒以钩钩象限边令游移而不脱表形方髙广约四三分中作直线鑢通之下为小孔表之下端为半枘入尺中令两表之前后两缝两孔皆相对不爽毫发于指线为垂线象限边上亦设二表如上法葢测量法每用两指线以定两测所

　　在也或作两指尺同心同线可定可

　　移尤便

　　如图以木为架上为半圏两端开山

　　口深三四寸以受象限

　　用象限法

　　架口受象限之甲乙边以庚甲线取

　　平焉仪靣正对所测物从窥衡觑物

　　与指线相参直得指线如弧所当度

　　分则从乙至指线者地平上之髙也从指线至庚距天

　　顶之髙也

　　次法以架口受象限之弧

　　甲心上别用权线下垂过

　　弧甲庚边上立表游移觑

　　表与物参直审权线之度

　　定物之髙从乙角起者地

　　平上之髙也从庚角起者

　　距天顶之髙也

　　三法若地或平或欹则别作圆转之架上端为球空大半作实球与空球等入空中鐡枘指外径二分长寸许

　　旋转廻斡不出大球之口空球旁加螺

　　旋三具俟实球之体定而固之　仪后

　　靣中心作孔受实球之枘用时以枘入

　　孔转仪得其靣与所测物为直线以螺

　　旋固之

　　象限之用有二一定仪如首图其一边与地平为平行线以窥衡定地平上之度一游仪如二图用权线其理同也何者游表边与定衡同向一物作平行线定仪之立边与游仪之权线作平行线则窥衡与立边所作角表边与权线所作角等弧亦等

　　造矩度法

　　用铜木板作正方直角形如象限法任用一角为心两

　　旁作直角两线如甲乙甲丙次用元

　　度乙丙各为心各作小弧交于丁次

　　作丙丁乙丁两线成甲乙丙丁正方

　　形各边作一百分毎对边分以直线

　　相聮成网目形器小每五分十分作

　　直线器大更细分之

　　角止作心加窥衡加权线任用架具于前

　　定仪于立边书髙深平边书逺游仪于表旁边书逺对

　　边书髙深以便别识

　　约法象限弧之内空作矩度其窥衡

　　指线上分即矩度边之分是指线当

　　权线也为用殊大若欲取最小之分

　　则加两窥衡两指线相合为一线用时分指焉安衡法管端之小圜心开圆孔象限心则方孔为螺柱当圆为圆当方为方末圆而加螺旋焉仍以螺旋固之分象限法先三分之用元度庚乙两角各为心取庚辛乙寅得庚寅寅辛辛乙为三分而等各又三分之为九分又各半之为十八大分取四大分又五分之用元度毎大分之界为心左右参差定防毎大分中各有五小分得九十平分度也或取六大分作五分亦同【论见几何用法】分矩度法先平分之又平分之又各五分之为二十大分取四大分五分之或取六大分五分之共得百平分

　　造小象限法

　　正方版一角为心作象限之弧弧外

　　两边二平分之又三平分之至四至

　　五六七八九十各平分用界尺从心

　　至各分为界弧上作踈宻线线以内

　　书各分其弧外余板去之加权线与矩度同用

　　用法　以表向物如前遇权线截弧表之旁则髙多逺少截表之对边则髙少逺多如截表旁为二分则逺一髙二截五分则逺一髙五反之则髙一逺二逺一髙五说见二卷矩度法中

　　又法以甲乙边当一百依前法分乙戊弧为一百不平分若权线至己则股一百句五十也至辛则股一百句一十也转用之权线至庚则甲丁股一百句五十也

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷八十九>

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　　法用平版如几案置仪其一端仪之心以当两测之初所定仪用防表左右迁移令二表与次所相叅直即于两表间作一线名曰主线主线之左右视所绘之物令与两表相叅直即如前作线虚记本物之名号次用指南针定其方向又各两线中间书其度分之数画讫至次所置仪于版之他端以仪心加主线之上主线与初所相叅直令初测之仪心在两所之间也定仪如前用两表视所绘之物各作线审方注度即每物各有两线在图版之上必相遇相遇之防乃实注本物之名号末去各线成所求作图

　　若欲知此物之距测所远近多寡先定两测之所相距若干为主线之里数或歩数或丈尺数依三角形法主线为底向一物之两线为两腰是有底及底上之两角求两腰为本物距两测防若干

　　又两物之两交作一线相聮与一测防成三角形从测所至两防之线为两腰聮线为底如前先得腰再用其角可得底为两物相距之数

　　如一图甲为两测之初所加仪向次所乙先作主线次向午己戊癸等物作各线后至乙亦如之即得各两线之交为午己戊癸各物之定所

　　若物在中不可得至欲绘其形即用仪几次周遭测之如二图

　　新法算书卷八十九

　　钦定四库全书

　　新法算书卷九十　　　　明　徐光启等　撰测量全义

　　界説

　　第一界

　　面者有长有广

　　第二界

　　平面者一面平

　　第三界

　　曲面者一面曲

　　无界者如球卵之面有界者如窑桥之面

　　第四界

　　一界之面

　　一曲线内之形如圆形在圏界之内凡有三一平圆从心

　　至界各线俱等一撱圆如

　　圆柱而斜剡之得两面焉

　　一无法曲线如桃棃之面

　　第五界

　　二界之面

　　如两弧或无法之曲线或一直

　　线一曲线而形之有法与否则

　　视曲线

　　第六界

　　三界之面

　　三边或直或曲以曲线为边者先定曲线之有法与否面因之量与二界同法以直线为本

　　如丙丁戊曲边形从丙角至丁作丙丁直线成丙乙丁两角襍形从丙至戊从戊至丁亦如之细分元形各依法量之用所得或加或减以得其容凡三边形或俱等或

　　俱不等或两边等或有直角或无直角皆有法之形也第七界

　　四界之面

　　方面有五边角俱等者正方也角等边不等者长方也边等角不等者斜方也各对角对边等者长斜方也边角俱不等者无法之方也首两种之外皆属无法葢有设边

　　无设角或大或小容积

　　因之异焉欲求其容须

　　定角之度或中长线也

　　第八界

　　五以上多界之面

　　邉角俱等者有法之形也或邉或

　　角不等者皆无法之形也

　　第九界

　　定度者求两物之比例

　　凡量度万形先定一有几何之度如三丈之物以一丈之度量之谓之某物与定度为三倍大则一丈之度名曰公度因其能量之势定各所量之物也凡量髙长广逺皆属线类则以线为公度葢比例之两率为同类也故量线者先具一定线或一丈或一尺以为公度量面者先具一定面或方歩或方丈邉等角直以为公度量线用直线以直线在万线中为最短故量面用平面用正方以平面在万面中为最短正方之理视万形之理为最凖故【量体亦定一度如一石斗为六面体各面等各角及邉等】第十界

　　量算

　　丈尺寸分满十进位畆法歩法则否二百四十方歩为畆二十五方尺为歩一百方寸复为尺也凡若干歩之积歩约为畆以二百四十方歩而一若干尺之积约为歩以二十五方尺而一若干寸之积约为尺以一百方寸而一约歩约畆则逓以歩法畆法除之

　　第十一界

　　中垂线

　　从形心至邉作直角者为中垂线有法形之各中垂线必等无法形各邉不等中垂线亦不等

　　第十二界

　　中长线

　　从形之一邉或一角至对边作垂线是各邉上极逺之线以得本形中之直角三边形

　　第十三界

　　直线为有法形之径

　　直线形本无径聊借圆形之径名之然有法之形周内周外可作全圏在外者形之各邉切圏周在内者各用切圏周故圏之径亦可谓容形之径

　　第一题

　　量四邉形【其法有三】

　　形之类有二有直线有曲线兹先解直线形若曲线形

　　后方详之

　　公量为方有法之方形二有正方四邉四

　　角俱等【直角也】以所设一邉自之得面之容

　　如正方田一叚各邉四歩自之其容为十六方歩有长方以所设两邉相乗得面之容如长方田一叚纵五横六相乗其容为三十方歩若斜方具邉无角亦无法之类也有中长线之数则以底数乘之得斜方之容若无中长线之数而知一角之数则先以角求中长线如乙丁斜方形有长濶若干有丁角之数即从丙钝角作丙甲垂线【即中长线】则丙丁甲直角形有丙丁边丁角依法求甲得数以乗乙丙得元形之容若等边斜方形作两对角线分元形为四

　　句股形两对角线之交为直

　　法法以两对角线相乗二而

　　一

　　四邉形有上下不等而在平行线内者名梯田旧法并两广半之以中长线乗之　论曰戊己丁丙形从上广之两界己戊作己甲戊乙两垂线【即中长线】中成长方形旁有两句股形次引戊己广至庚得庚己与乙丙等成己庚丁句股形与丙乙戊形等则庚乙方形与梯田形等丙乙甲丁为两广之较半之者损下广以益上广也兹旧法所自出也

　　凡斜田箕田诸法俱同前两腰之等与不等角之等与不等俱以平行线为本若不知中长线而知斜边或一角者如下文

　　知斜邉如丁己先分形成甲丁己直角形有甲丁为两广之半较有己丁法以两

　　数自之相减开方得己甲中长线

　　知角者如己甲丁形有甲丁邉有丁角或己角求己甲即全数与丁角之切线若丁甲边与己甲边

　　旧法曰一面长乗中濶得形之容驳曰中广必垂线乃

　　准垂线而外皆斜线必长于

　　中长线况斜邉乎今设两形

　　之同边异积如上图其理易

　　见

　　二不等田东长三十六西长三十北广二十五无南广

　　问田旧法并两长折半乗北广

　　驳曰若北两皆直角者即梯田之类也否则从何定南广之度乎

　　旧法四不等田北四十二南五十六东六十四西五十八并东西两邉半之并南北两邉亦半之两半相乗得二九八九歩为其容驳曰若甲为直角试作乙丁对直角线成甲乙丁句股形有句股以求为七十六

　　又一五三之九四其积为一三四四又以乙丙丁形之三邉求其容得一五三七【此法见后第三题】并两形积得二八七一知法为未合也

　　论曰两广或两长在平行线内者并而折半损有余补不足改为方形也以中长线乗之则得其容若四不等无法形也损此益彼一不能为方一不能为中长线何縁得合乎

　　第二题

　　量三邉形

　　乙丙丁三边形有邉数无角数求实其法并三邉数半之为实以每边之数为法各减之三较连乗得数以半总数乗之为实

　　平方开之得实

　　如三边为七为十二为九并得二十八半之为一十四减七较七减十二较二减九较五三较连乗得七十以半总十四乘之得九百八十○开方得三十一又六十二之一十九不尽

　　又如三边为十三十八二十一并得五十二半之为二十六减十三较十三减十八较八减二十一较五三较连乘得五百二十○以半总数二十六乘之得一万三千六百二十○

　　开方得一百一十六又二三

　　二七之一六四不尽

　　解曰如图乙丙丁斜角形先

　　平分丙丁二角作丙戊丁戊

　　二线遇于戊从戊向各边作

　　垂线为戊壬戊己戊庚三线

　　皆等【戊壬丙戊己丙两直角形同用戊丙邉两丙角

　　亦等形必等则戊己戊壬亦等又壬戊丁丁戊庚两直角

　　形同用戊丁边两丁角亦等形必等则壬戊戊庚亦等】次从乙作乙戊平分乙角乙

　　戊己乙戊庚两直角形有己

　　戊戊庚两邉等同用乙戊邉

　　形必等则两乙角亦等依三角形推壬丙与丙己己乙与乙庚庚丁与丁壬各等共六线三等次于三相等邉各取一邉如乙己己丙壬丁合之为元形三邉并之半【或丁庚庚乙壬丙或每相等两形邉减一边得三较亦元形三邉并之半】次乙丙边引长之取丙辛与丁壬等乙丁边引长之取丁癸与己丙等则乙辛乙癸皆元形三边并之半亦三较之总数也次从辛从癸作两垂线遇于子乙戊引长之亦与辛子癸子遇于子【乙癸子乙辛子两直角形之乙癸乙辛两邉等两乙角亦等即乙子必等而辛子子癸亦等】次截丙午与壬丁等作午子线又截辛丑与壬丙等作丑子线即丑子与丁子必等【癸丁子辛丑子两直角形之丁癸与辛丑等癸子与辛子等则其丁子丑子必等】又午丁子辛丑子两形亦等【丁子与丑子等丁午与辛丑等则午子与辛子必等】则午为直角【相似之辛角先已为直角】而丙辛子丙

　　午子两直角形亦等又此两

　　形并成一斜方形而丙辛子

　　午四角内减午辛两直角余

　　子丙两角并为两直角【凡四邉形

　　之四角并为四直角】又□　丙壬壬丙辛

　　两角并亦等两直角而减共

　　用之壬丙辛余午子辛壬丙己两角等其各半角亦等【即丙子辛己丙戊两角】即己丙戊辛子丙两直角形相似【己辛等为直角己丙戊辛子丙两角又等即其对邉相似】而戊己【小句一率】与己丙【小股二率】若丙辛【大句三率】与辛子【大股四率】次以线变为数【乙丙三十五乙丁五十丁丙五十乙己十七强己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二强辛子四十八各有竒今约用成数令直截易算也】则戊己十二与己丙十八若丙辛三十二与辛子四十八也

　　又以第一率乘第四以

　　第二率乘第三得数必

　　等则戊己辛子之矩内

　　实己丙丙辛之矩内实

　　【各五七六】通用可也又戊己

　　【小句一率】与辛子【大句二率】若乙

　　己【小股三率】与乙辛【大股四率】而以第一自乘又以

　　乘第二其两方之比

　　例亦若第三与第四

　　【见几何七卷十七题】则戊己方

　　【一四四】与戊己【十二】辛子

　　【四八】矩【五七六】若戊己【十二】

　　与辛子【四八其比例皆四之一】亦若乙己【十七】与乙辛【六八何者乙己戊乙辛子两直角形同用己乙戊角则相似则乙己与己戊若乙辛与辛子】反之则乙己【十七一率】与乙辛【六八二率】若戊己方【一四四三率】与戊己辛子矩【五七六四率】或与己丙丙辛矩【又四率亦五七六也一二与三四异类而为比例者根与根若积与积也四与四异形而为同比例者论积不论形也故先定戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也】

　　又四率法既云一乘四二乘三

　　两矩积等今依法乘之即得乙

　　己根【十七一率】乗己丙丙辛矩【五七六第

　　四率】所得数【九七九二】与乙辛根【六八二率】乗戊己方【一四四第三率】所得数【九七九二】等次再以乙辛乗之即得乙辛

　　根【第一率六十八二邉总之半】乗乙辛根

　　【六八】偕戊己【元形中垂线】方【一四四】之

　　矩实【共九七九二为第二率】所得数【六六

　　五八五六】与乙辛根【第三率六十八三邉总之

　　半】乘乙己根【十七】偕己丙辛丙

　　矩【五七六乙己己丙辛丙者三差之各数也】之矩

　　实【共九七九二为第四率】所得数【六六五八五六】等依此用三较连相乘又以半总乘之得数为实开平方得元形之积此用前所得数本法也或用元形中垂线自乘以乘半总又以

　　半总乘之得数为实

　　开平方亦得元形之

　　积此用后所得数证

　　法也

　　何谓中垂线自乘以

　　乘半总又再乘而得

　　积以句股法解之如

　　戊己丙句股形若以戊己句乘己丙股得戊己丙形之倍积即己戊壬丙两形并之

　　积【两形等故】又乙戊己句股形以戊己句

　　乘乙己股得倍积即乙庚戊己两形

　　并之积又以戊壬句乘壬丁股【或戊己乘

　　丙辛】得倍积即庚戊壬丁两形并之积

　　故戊己乘乙辛得元形之积如此即

　　一乘可得何待他法然元法中无戊己也特以戊己自乘又再乘乙辛而得积与三较连乘以乘半总之元法所得大积等故以开方而得元形之积亦等则知元法之不谬故谓垂线三乘为证法也又论二法之相合者

　　算术中两方相乘开方得两根相乘之

　　数如图戊己【一二】自乘为戊子方【一四四】以

　　乘乙辛【六八即戊寅】为戊丑长方【九七九二】又以

　　乘乙辛为戊寅大方【六六五八五六】此前证法所得数也若以乙辛【六八】自之得【四六二四】以戊己方【一四四】乘之所谓两方相乘也【得六六五八五六】开方各得八一六即戊己根【一二】乙辛根【六八】相乘之数也若三较连乘又以乘乙辛虽不成方形而连乘所得亦九七九二以乘乙辛亦六六五八五六以开方亦得八一六故三较连乘之元法无证以垂线三乘法为证也

　　若直角三邉形以句股数相乘得数半

　　之为形之容葢方形与三角形同底同

　　在平行线内则方形之容倍于三邉形

　　之容或用半

　　若三邉等形则有中长线者法与句股

　　同为本线分元形为两直角形也无中

　　长线者以法求之如乙丙丁三邉等形

　　从丁角作垂线至乙丙邉平分元形为

　　二【一卷二十六】用句股法以乙丁乙甲两方相减余为甲丁方其根则甲丁中长线也如设乙丙线一即乙甲线为二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一相减余四之三甲丁上方也开方得四之三之方根【何谓四之三之方根葢四之三为方之实可明而其根不可明算家谓之不发之根若方实百开其根为十则能发之根也既不能发即有别法以求之故摽之以号曰四之三之方根四之三方实也四之三之方根根号也法见下文】次以四之三乘甲乙四之一【甲乙四之一与乙丙一皆有能发之根为同类故可以相乘若能发之根与不发之根为异类不可相乗故别求同类者乘之同类者则两方数也算法根乘根得方开方得方之根方乘方得方方开方得根之方今于两率各减其根号独用两方相乘得数以分法之得异类两根相乘之容方积也详见句股索隐】得方方根【即根之方】十六之三为元形之容次用分法开之得九十之三十九约之为三十之十三元形之容也然不能毕合以开方不尽故

　　系三十为元形乙丙邉上方形十三

　　为乙丙丁三邉形之容葢两形同底

　　则其比例为三十与十三求分之母

　　为全数全数者一也则一邉之方数亦一其根亦一

　　法曰三角形边上方形与三邉形之容若三十与十三则用一边之方数乘十三以三十除之得三边形之容如各边设十自之得一百以十三乘之得一三○○以三十除之得四十三又三之一元形之容也

　　又如各边为十其半五五自之得二十

　　五以减全邉方之一百余七十五开方

　　得八又一百之六十六以五乘之得四

　　十三又十之三较前少差以开不尽故

　　公法先求形之中垂线以形之半周乘

　　之得形之容凡有法之形通用此

　　解曰设三边等形从心向各边作垂线

　　又向各角作线必分元形为六直角形

　　而等夫甲皆直角甲乙边俱等则其为

　　句股形亦各相等半句【即甲乙之半】乘股【即甲】

　　【丙中垂线】得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙三次【为半句者六也】乘甲丙故法曰形周之半乘中垂线得形之容如设各边十则甲乙为五乙全角六十度则甲乙丙角必三十度今甲乙丙角形有角有一边用法求甲丙边则全数与甲乙五若乙角三十度之切线五七七二五与甲丙边之数二八八六八五有竒为中垂线也各边十共三十半之得十五以甲丙中垂线二八八六八五乘之得四三三○二七五若所设各边十为一尺约之得其面四十二方尺又三十方寸有竒如前法试用本题第一法边之总数为三十半之为十五减边之较各五五连自乘得一二五又以半总十五乘之得一八七五开方得四三同前法

　　一系若三边等形之边为全数如十百千等其中长线及其容积皆不发之数【十四卷十二】

　　二系二边等形先求中长线如三邉等形之法如两

　　腰各五底六半之三自之得九以减腰

　　五上方二十五得十六开方得四中长

　　线也余与前等

　　三系三边不等形有一明角而求中长线则从一隐

　　角向对边作垂线成句股形有角有

　　以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙

　　丁十二丁乙十五乙角二度二分从丁

　　作丁甲垂线成两句股形其甲丁乙形

　　有丁乙边乙角而求丁甲边为全数【内】

　　与丁乙边十五【外】若乙角之正三七五一五【内】与甲丁邉五六二七二五【外】约得五尺有竒以所得与底之十二又四之一相乘得六八九三四约之得六十八方尺有竒元形之容也【凡先设先得者为明所求为隐邉角同下文仿此】

　　若俱隐角则用本书一卷六题法从大

　　角至底作垂线求两任分底之各分若

　　干既分元形为两句股各有又求得

　　句以求股若干即元形之中长线

　　法曰丁乙丁丙两小邉相并为总相减

　　得存存总相乘为实底数为法而一数

　　与底相减所余半之得相小邉之小半

　　底甲丙用句股法乙丁乙甲各自之相

　　减开方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五丁乙十七两小邉并得三十二总也相减得二存也相乘得六十四以底二十四除之得二又三之二以减底得二十一又三之一半之得十又三之二甲丙也自之得一○七又九之一乙丁邉自之得二八九相减余一八一又九之八开方得十三又三十七之十三不尽中长线丁甲也乘半防十二得一六二弱元形之积也试用本题一法三邉并得五十六半之二十八各邉之减较为四为十三为十一连乘得五七二以半总乘之得一六○一六开方得一二六有竒不尽若有角求一邉或有二角求二边亦先求邉【本书一卷十五十六题】

　　若形之邉为断几何如圆果平积

　　之邉其法以邉数自之又加邉数

　　半之为形之积假如各邉有三自

　　之得九加边得十二半之得六形

　　积也又如设邉五自之得二十五

　　加邉三十半之得十五积也见算

　　章逓加法

　　第三题

　　量多邉形

　　一解曰有法多邉形求其容必先分元形皆为两邉等三角形故不论防何邉俱同法

　　法曰多邉形从心至各作线悉分为两邉等三角形各形有边数有角数求其中长线得各三角形之容并之得元形之容

　　如八边邉设十歩从心至角作线辏心成八角皆等凡

　　辏心必四直角分三百六十度八而

　　一每角得四十五度乙丙丁角形二

　　邉等有丁丙底有丁乙丙角则丁丙

　　两角并得一百三十五度半之得六

　　十七度又二之一为乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲【半元邉为五】求甲乙垂线即全数【内】与丁甲【五外】若丁角之切

　　线【二四一四二一内】与甲乙邉【一二○七一○五外】约

　　之得十二歩有竒以乘甲丁五歩得

　　六二三五五二五约六十歩有竒八

　　之得四八八四二四○○约得四百

　　八十八歩有竒为元形之容

　　若有中长线如甲戊以其半乘半周所得与前等又如十二邉有法形邉设十歩以十二除三百六十度得三十度为丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度从心作乙甲线至丁丙邉又甲乙丁角形有甲丁五歩有丁角七十五度求甲乙线即全数【内】与甲乙【五外】若丁角之切线【三七三二○五内】与甲乙【八一八六六○二五外】约得十八歩有竒甲乙中垂线也次如前

　　或用正数法曰各邉为本弧之

　　即半邉为半弧之正而中垂线为

　　半弧之余以边数除三百六十得

　　设边之弧邉数及弧度各半之次用

　　半弧度求其正及余末用三率法以半弧之正为第一半邉数为第二余数为第三得第四为正垂线即乙甲

　　如五邉等形邉设十二以五除三百

　　六十得七十二半之得三十六其正

　　五八七七九为一率【内】其余八

　　○九○二为三率【内】半邉六为二率

　　【外】得九又九之一为四率【外】即一邉上之垂线次以形周乘四率得数半之为形之积五邉形之周为六十乘得五四六又九之四为五邉形之并积

　　多邉有法形之比例　多边有法形之具三曰邉曰周曰积形大小不等其比例等故有一形某具之比例可得他形某具之比例

　　每形之边为一【一虚数也丈尺寸分唯所设之】

　　三边形之周三积为三十之十三

　　四邉形之周四积为一

　　五边之周五积为一又一一七七五七○六之八四六九七一九约为十一之八不尽

　　六邉形之周六积为二又五百万之二九九○三八一约为五之三不足

　　七邉形之周七积为三又八六七七六七四之五五○七二二一约为八之一而盈

　　八邉形之周八积为四又一九一三四一七之一五八五一二七约为十九之十六不足

　　九邉形之周九积为六又六八四○四○二之一二四三七五五约为十七之三不尽

　　十边形之周十积为七又一二三六○六八之八五八○八九约为三之二不足

　　用法设他形之边求积以其边数自之以上所列同类形之积数乘之若设他形之积求边则上所列同类形之积数除之所得之根设形之边也

　　旧法三角形每面十四以六乘面得八十四以七而一得十二为实半面七为法乘之得八四积也试用前法

　　分元形作两句股形各形有有句以

　　求股而求积得八四又三十之二十八

　　几为八五非八四

　　论曰所以然者古法正六面七谓丙乙十四则丙甲十二故七六相乘得四十二为丙乙丁之实八十四矣不

　　知丙乙十四乙甲七各自之相减开方

　　乃十二有竒非十二也且七除又七乘

　　安用之

　　旧法六角形每面十五以面数自之得二二五以三乘之得六七五今用几何四卷十五之系六邉等形内有

　　三角等边形六用古法得各形之积为

　　九十六又七之六六因之得五九一又

　　七之一非六七五

　　论曰所以然者十五自之为二二五彼以为此乙丙邉乘得乙丙丁戊形之实也不知二二五者乙丙上正方形之实此乙丙丁戊则斜方斜方与正方同邉而异积也斜方之积必少于正方之积故实少而误以为多古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六为实面数自之得一九六为法减之余九六○八角形积也

　　正法作图每两邉引长之遇于甲成正

　　方形其内有元八邉形又有甲乙丙四

　　句股形以丙乙元形邉十四为求丙

　　甲而句股等法以十四自之得一九

　　六半之得九八开方为九又十九之十

　　七甲乙也甲乙甲丁等合之加于乙丁

　　元形之邉得三十二又十九之十七为甲甲正方之邉自之得一一四又三六一之二二五正方之积也次求句股四形之积得一九六弱以减正方积余九四四有竒元八角形之积也古法曰九六○谬矣

　　论曰所以然者古法方五斜七不知方五则斜七有竒不发之根也彼以甲乙等各句各股俱为十则乙丙邉与乙丙俱十四不知各率皆是而独乙丙非十四也故八角形之积实少而误以为多

　　新法算书卷九十

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法筭书卷九十一　　　　明　徐光启等　撰测量全义卷五

　　圆靣求积

　　凡圆面积与其半经线偕半周线作矩内直角形之积等依此法则量圆形者以半径乘半周而已古髙士亚竒黙徳作圜书内三题洞烛圎形之理今表而出之为元本焉第一题

　　圆形之半径偕其周作句股形其容与圆形之积等解曰丙丁戊己圆形其心乙其半径乙丙即以为股形之周为句成午申酉句股形题言两形之容等

　　论曰设有言不等必云或大或小云圆形为大句股形小者索其较为亥形即于圏内作丙丁己戊正方形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直线形从心至八角形之各边作甲乙等中垂线试于圆形内减其大半所余又减其大半末所余以比较形亥必能为小矣【十卷首题】如先减丁丙己戊方形次减丙癸己等三角形八末余丙庚丙癸等二角杂形八必小于亥形也次作午未戌三边形与丙庚丁八角

　　形等必小于午申酉三边形何者

　　未午乙甲也小于圏半径乙庚先

　　设午申酉三边形及亥较形始与

　　圏等今午未戌三边形及八两角

　　杂形适与圏等夫午申酉三角形

　　大于午未戌三角形亥形又大于

　　八两角杂形是合两大形【即午申酉及亥

　　较形】与圏等者复谓合两小形【即午未戌

　　及八两角杂形】与圏等有是理乎

　　次论曰若言圏形为小句股形大

　　者索其较为亥形即于圏外作子

　　寅丑己正方形又作卯辰八角形

　　夫寅己方形大于午申酉三角形

　　者方形之周线大于圎形之周线

　　也内减其大半【即元圈】又减其大半

　　【即卯辰子等四三角形也】末余丙卯庚庚辰丁

　　等三角杂形八必小于较形亥又

　　作午申亢三角形与丙卯辰八角

　　形等兹形为圏之外切必大于元圏而午亢为外形之周必大于午酉内圏之周先设圏及亥形与午申酉三角形等今并圏及三角襍形八【即丙卯庚等八杂形也】反大于午申酉三角形是圜偕八杂小形而为大者又偕亥大形而为小可乎

　　第二题

　　凡圏周三倍圏径有竒【二支】

　　此有二法其一云三倍又七十之十则朒其二云三倍又七十一之十则盈先解其一曰甲乙戊丁圏戊为心甲戊乙戊为两径辏心作直角从甲作午子切线从乙从丁作乙己丁壬线与乙戊等乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等形之边设甲午股一百五十三【任设此数以便推算】午子或午戊必三百○六各自之股方得二万三千四百○九方得九万三千六百三十六相减余七万○二百二十七为句方开得二百六十五有竒为戊甲句半径也则戊甲与甲午之比例为二六五有竒与一五

　　三次平分午戊甲角作戊庚

　　线任分午甲于庚则午戊与

　　戊甲若午庚与甲庚【六卷三题】合

　　之戊午偕戊甲而与戊甲若

　　午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与午甲【即午庚偕甲庚】若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并得五七一有竒午甲为一五三则戊午并戊甲与甲午之比例若五七一与一五三若设甲庚一五三则戊甲与甲庚之比例为五七一与一五三矣即以两数自之并而开方得五

　　九一又八之一不尽为庚戊

　　线【戊甲甲庚之】则庚戊与甲庚之

　　比例若五九一又八之一不

　　尽与一五三次平分庚戊甲

　　角作戊辛线则戊庚并戊甲一一六二又八之一与庚甲一五三若戊甲与甲辛若设甲辛一五三则戊甲为一　一六二又八之一有竒两数各自之并而开方得二七二又八之一为辛戊线【甲戊甲辛之】则辛戊与辛甲之比例若二七二又八之一与一五三次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二三三四又四之一与辛甲一五三若戊甲与甲寅若设甲寅为一五三则戊甲为二三三四又四之一有竒两数各自之并而开方得二三三九又四之一有竒为寅戊线【戊甲甲寅之】则寅戊与寅甲之比例若二三三九又四之一有竒与一五三次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四六七三半有竒与寅甲一五三若戊甲与甲未若设甲未为一五三则戊甲为四六七三半有竒

　　论曰午戊子元角为三等角形之一即一直角三之二

　　午戊甲其半则三之一庚戊

　　甲其半则六之一辛戊甲其

　　半则十二之一寅戊甲其半

　　则二十四之一未戊甲其半

　　则四十八之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申角形其戊角为直角二十四之一而未申为象限二十四之一于全周为九十六之一未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与圈全径之比例若戊甲四六七三半与甲未一五三末置九十六边形之一边为一五三因周为一四六八八径为四六七三半有竒则九十六边圈外形之周与圏径之比例为一四六八八与四六七三半约之为三又七之一不足则径为一九十六边圏外周为三又七之一不足夫形在周之外尚不及三又七之一况圏周乎

　　二解三倍又七十一之十而盈者曰圏内作乙丙径从丙作六边形之一边丙甲与半径戊丙等【四卷十五】从乙作乙甲成乙甲丙形在半圏之内则甲为直角【三卷三十一题】设甲丙句七百八十○乙丙一千五百六十○两数自

　　之相减开方得一千三百五十

　　一不足为乙甲股则乙甲与甲

　　丙之比例为一三五一与七八

　　○次平分甲乙丙角作乙丁线

　　又作丁丙线成乙丁丙丙丁己

　　两直角形相似盖同用丁直角

　　在半圏内甲丁丁丙两所乘之

　　等则丁丙己丁乙丙两之

　　角必等【三卷二十一】夫两形有两角

　　等者各腰俱相似则乙丁【大形之股】与丁丙【大形之句】若丁丙【小形之股】与丁己【小形之句】又乙丙【大形之】与丁丙【大形之句】若己丙【小形之】与丁己【小形之句】更之乙丙与己丙【两】若丁丙与丁己【两句】是乙丁与丁丙【两股】丁丙与丁己【两句】乙丙与己丙【两】三比例皆等又乙丙与己丙【两】若乙丙并乙甲【两腰】与甲丙底之两分【见前解】则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一三五一弱乙丙一五六○是乙甲乙丙并为二九一一弱甲丙先设七八○则乙丁与丁丙亦为二九一一弱与七八○各自之并而开方得三○一二又

　　四之一弱为乙丙【乙丁丁丙之】则乙

　　丙与丁丙之比例为三○一三

　　又四之一弱与七八○次平分

　　丁乙丙角作辛乙线因前比例

　　论得乙辛与辛丙比例之数盖

　　丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与

　　辛丙先定乙丙三○一三又四

　　之一乙丁二九一一弱并为五

　　九二四又四之一弱今丙丁为

　　七八○则乙辛与辛丙为五九二四又四之一弱与七八○欲省数改设辛丙二四○依三率法辛丙七八○乙辛为五九二四有竒今辛丙二四○即乙辛为一八二三弱两数自之并而开方得一八三八又十一之九弱为乙丙线【乙辛辛丙之】则二四○与一八三八又十一之九为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙两线辛乙乙丙两数并为三六六一又十一之九弱与辛丙二四○为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六六依三率法乙壬为一○○七弱两数自之并而开方得

　　一○○九弱则六六与一○○

　　九为壬丙与乙丙两线之比例

　　末平分壬乙丙角作乙庚庚丙

　　两线乙庚与庚丙若壬乙并乙

　　丙二○一六又六之一与丙壬

　　六六两数自之开方得二○一

　　七又四之一弱为乙丙【乙庚庚丙之】则庚丙与乙丙两线之比例为

　　六六与二○一七又四之一弱

　　论曰丙甲为全圏六之一丙丁十二之一丙辛二十四之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚为九十六边内切圏形之一边也以九六乗六六得六三三六为九六边内切形之周乙丙径为二○一七又四之一弱两数约之一得三又七一之十强形之周也一得一圏之径也夫圜周在多边形之外即大则谓三倍径又七十一之十不又盈乎

　　第三题

　　圜容积与径上方形之比例

　　解曰一为十一与十四而朒一为二

　　百二十三与二百八十四而盈先解

　　朒者乙戊辛圈甲丙戊方引长甲丙

　　边为甲丁其大于甲丙为三倍又七

　　之一则与周等为句甲乙边圈之半

　　径也为股成甲乙丁角形其积与圈

　　积畧等【不甚差故】又乙甲丙直角形因丙

　　甲与甲丁若七与二十二则甲乙丙

　　与甲乙丁两形之积亦若七与二十

　　二【六卷一题】甲乙丁与圏等则甲乙丙形与圈积亦若七与二十二夫甲乙丙为方形四之一四之得二十八即两形积之比例为二十八与二十二约之为十四与十一也次解盈者甲丙设七十一甲丁二百二十三与圏周等则甲乙丙与甲乙丁两形之积为七一与二二三四倍七一得二八四全方之积与甲乙丙形之比例为二二三与二八四

　　一题之系　半径全周成三边形与圏积等依句股法半径偕半周矩内方形与圏积等若全径偕全周矩内方形则四倍圏积几何【六卷二题】曰相似形之比例为两相似边再加之比例故边倍则实四之二题之一系　设圏径求周求容　凡设径求周用盈法七为一率二十二为二率所设径为三率得四率为所求周　用朒法为七十一与二二三若径与周古士论圏大小大都准此二论反之以周求径亦然

　　二系　圈之径与径若周与周子之径与径亦若母之周与周假如一圏之径为七周为二十二他圏大于元圏四倍其径二十八则其周八十八亦四倍大于元圏之周

　　三系　周线上方形与圏之积若八九二与七十一则盈若八八与七则朒周与他周若径与他径　周线上方与他周上方若径上方与他径上方【十二卷二题】径方与他径方若圏与圏则周方与他周方亦若圏与圏更之周之方与本圏之积若他周之方与其圏之积如设周一用一系之法则八九二一率也七十一二率也所设一三率也所得之径为二二三之七十一其容积为八九二之七十一周之方一全数也通之为八九二圏之积零数也为七十一是谓周方与圏为八九二与七十一而盈或二十二与七其径二十二之七其积为八八之七周之方一全数也通之为八八圏积为零数则周方与圏为八八与七也三题之系　设径求圏积则比例之母十四为一率子十一为二率径之方数为三率所得为圏之积而盈或三八三为一率二二三为二率径之方数为三率所得为圏之积而朒假如设径十用盈法得七八又七之四圏之容也用朒法得七八又二八三之二五七圏之容也反之设圈容求径则十一与十四若圜容与某数其方根为径

　　又设周求圏之容因一系之法八九二与七十一若周之方数与圏之容而盈或一八八与七若周之方数与圏之容而朒反之设圏求周则七与八八若圏容与某数其方根为周

　　径与周之比例古士之法如此今士别立一法其差甚微然子母之数积至二十一字为万亿亿难可施用○径一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

　　【大周】三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四七

　　【小周】三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六

　　约之首取三字为一百之三百一十四则三倍又百之十四

　　再约得七之一又朒如前

　　论曰总之不论若干位但加一即赢减一即缩赢即外切线缩即内也皆非周也

　　古设周问积法曰周自之十二而一此犹是径一围三较之径七围二十二者尤疎也故不合

　　古设径问积法以径自乗三之四而一如设径一自之得一三之得三四而一则四之三为圏之积全数【即母数】为径上之方形则知径上之方与圏之积为四与三然前论为一四与一一而合今之四与三则所谓虚隅二五也如图甲乙设十自之为一百平分之为乙丙丁五十又平分之为丁戊乙丙三角杂形丁戊乙二角杂形各二十五二角杂形必小于三角杂形安得合乎

　　量撱圆法　撱圆形者斜截圆柱所成两面形也形有长短二径古士黙徳本论曰两径之中比例线为径作圏

　　与撱圆等则两

　　径为第一第三

　　率相乗所得方

　　数为第二率又同线上之正方与圏容为一四与一一今两率相乗者即中率正方之数【此比例法见几何六卷三十三题之第十增】故以两径相乗得数以一一乗之以一四除之得撱圆之积也

　　量圈之一分

　　第一图【名两半径形】

　　设半径及用全与全若分与分之比例　法曰以半径乗得积半之为本形积盖全周与全圈积若周之分与圈积之分如半径六十二相乗得七十

　　二半之三十六为本形积

　　第二图【名两内形】

　　设两两丙戊为径从心作甲乙甲丁线成甲乙丙甲丁戊各两半径形依前法各求积又甲乙丁直线形两腰

　　等有丁乙求其积三形积并为乙丙戊丁设形之积第三图

　　即第二图之半同理

　　第四图【名形】

　　有本圈径设求其积法先求半圈积次求两形之积两数相减余为设形之积如丙乙巳戊圈其径丙戊设乙丁求乙已丁之积置乙巳丁一一又七之六

　　圈径十二先求本全圈之周得三十七又七之五半之为十八又七之六内减设形之一一又七之六余七为丁戊乙丙两之数半之为三半丁戊也作丁甲乙甲两线因前法求丁戊乙丙两形之积得二十八又九之八又求半圈之积得五七又七之四内减两形之积二十八又九之八得二十七又六十三之四十二为设形之积若不知因丁甲乙形有丁甲乙甲两边有丁甲乙

　　角得丁乙边为设形之

　　若形大于半圈者以两之积加于半圈之积

　　若不知本圈之径则先求径其法丁乙半之作巳辛垂线量其度得数为法之半数自之为实而一得本圏之径【防何三卷五十五】如量己辛得一又九之五法也丁辛为四自之十六实也除之得十又九之二加己辛得十二全径也若辛己不可得量是属无法之形

　　第五图

　　设小半形如甲乙丙则以甲丙句甲

　　乙股各自之并而开方得乙丙成乙

　　丙小形有乙丙依前法求积次求

　　甲乙丙句股形之积并之即得【一图】若止设一直线为径之一分【甲丙也】而知

　　本圏之径法先求丁戊丙象限积次求

　　丁乙甲戊两形之积相减余为甲乙

　　丙形之积【二图】

　　若所设乙甲丙非直角而知本圏之径

　　法先求戊丁丙象限积次求甲乙辛句

　　股积盖形有甲辛两角甲乙边可得余

　　边即得其积末用前法求乙辛丙半

　　形之积内减甲乙辛句股积余为设形

　　之积【三图】

　　若乙甲丙为锐角乙辛股线在设形之内则以甲乙辛形之积加于半形积【四图】

　　或设本圏之径作戊乙线法以半径乗得数半之得戊乙丙形次求甲乙戊直线形之积则乙戊半径也乙甲设形之边也戊甲为丙甲与半径之较依法得积以减戊乙丙两半径形之积余为设形积【五图】

　　或依三角形法作乙丙线成甲乙丙三角形有甲乙甲丙两边有甲角以求乙丙余如前【六图】

　　若半形之边如甲乙甲丙大于半径即作乙戊线先求乙戊丙两半径形之积次求甲戊乙三边形之积并之如前若不知本圏之径则属无法形之法【七图】或依三角形法以甲乙甲丙两线及甲

　　角求乙丙边求积次求乙丙形之积如前法【八图】第六图【名两之形】

　　若知各之径者法与一形等

　　若设两亦设中长线则分元形为两

　　形　若不知本圏之径亦不知中长

　　线属无法之形

　　第七图

　　以分之成直线形者一成形

　　者三四以上各以前法量之

　　若为球体撱圆体圆角体之外面法见量体法中【第六卷】古法设长濶问积见长方又设长阔总数长濶较等问见句股义

　　量面用法

　　以木造矩锥平

　　者为盘直者为

　　干盘径五六寸

　　厚二寸面画两径辏心成直角刻成渠深五分广一分下作凿以受干也干径一寸以上长四五尺令平立者目切其盘之面干之末施鐡锸焉别具望竿数事略与干等器成先试之法于平地卓锥从一径之渠向左向右各距若干丈尺卓两竿与径为直线又从他径之渠向前向后各距若干丈尺卓两竿与径为直线次转器易径以望先立诸竿仍作直线则为如法之器第一题

　　直线内一防上求作垂线【防何一卷十一】

　　法曰设防上卓锥转器令一径合于设线次从他径卓数竿题言诸竿所作直线与元线为直角与盘上直角

　　等

　　第二题

　　直线外一防上求作垂线

　　法曰设防上卓一竿持器循设线上防移迁就令一径合于元线一径与望竿为直线次从防至锥下作线则元线之垂线也

　　凡设田形量其歩畆前法足矣然未知直线形之是否直角曲线形之是否中且高下之数非目营可得欲求其度立公法如下文总之以句股为本凡图中断线所作线也聨线元形线也边上有○卓锥之处也

　　三边田法从大边用器防移迁就向对

　　角立垂线分元形为两句股形【一图】

　　四边田先用器试各角是否直角直者用正方量之不

　　直依图

　　分句股

　　形令分

　　余者各

　　两对边为平行线用正方长方法量之【二三四图】

　　多边形田从大边如甲上作

　　甲乙垂线从大边两界如丙

　　如丁作丙戊丁己两垂线丁

　　己线上立乙辛垂线又立庚

　　寅己午两垂线丙戊线上立酉乙垂线是元形内有二方形七句股形量时依元设丈尺步数化大为小作图亦用元度作新立诸线各如数之并之得元形之积【五图】

　　若田形以曲线为边宜先

　　求直线形法取一线为径

　　径上宻宻卓锥作诸平行

　　线末各直角上加器成诸

　　长方形亦成诸三边形曲

　　线为边者大圏之也即依直线法量之所差甚微【六七图】

　　或田中为房舍林木等物所隔难作

　　中长线法于田外依一边作大方形

　　形边上向田之各角作线是元形之

　　外方形之内有若干句股形并诸句

　　股积以减方形积余为元形之积【八图】

　　增题　多无法形量法从田心如癸加象限邉向乙角窥丙角定乙癸丙角之度次向丁向戊向己向庚向

　　辛各定其癸角之度次以公量法量癸

　　乙癸丙等线元形内有三边形七每形

　　有一角两邉因法求余邉求毎形之积

　　并而得元形之积

　　中空田法先求大形之积次求空形

　　之积如方田一叚各边十丈中为圆

　　池径七丈则方形之积一百丈池之

　　积三十八丈半减余六十一丈半为

　　设形之积

　　求环田积用两圏之径或周以次求

　　大小圆积相减余为环田之积如设

　　环之外周为四十四内周为二十二

　　则大圆积一百五十四小圆积三十

　　八半减余一百一十五半环田之积也

　　变形法

　　其一设三角形求变为等底等积方形

　　凡设形求变者皆截元形之实补求形之虚也如上一图甲乙丙元形求变为丙丁戊方形其元形之大边为底法平分两腰作中线与底平行次以中线为底作对角垂线成甲乙两形从元底两端向中线各作垂线成戊丁两形则截甲实形移补交角之丁截乙实形移补交角之戊成

　　丁丙戊方形与元形等底等积

　　如二图小边为底亦平分两腰作平行中线次从上角从钝角各向中线作垂线成甲乙两句股形及丙斜角形次截甲实形移为交角之乙并丙乙实形移为交角之丁成丁戊方形如所求

　　如三图钝角上垂线截中线出元形之外甲戊丁己两线为等作己垂线成甲小形则截交角之乙实形移为甲并甲两实形移为交

　　角之丁并丁己成四边实形移为相似之戊【形并戊庚如所求】

　　如四图两腰甚长亦如前作中线于中线上截取庚丁壬己各形之边皆与底等而成各直角四边形又从两交截取癸形与夘等即甲与乙夘癸与夘各交角之两形各等先截取癸实形移补交角之虚夘次并夘乙作三边实形移补交角之虚甲次并甲丙作四边实形移补相似之虚壬次并壬丑作四边实形移补相似之虚丁次并丁戊作四边实形移补相似之虚己次并己寅作四边实形移补相似之虚庚次并庚辛即所求其二设一方形一线求变为他方形其边与设线等如上一图设丁戊方形求变他形其边与甲等法从乙丁边取乙丙与甲等从戊角作戊丙迤线【丙非角故不名对角】引长之与己丁之引长线遇于辛成丁辛丙三角虚形次于己戊边取

　　己庚与甲等次从庚作垂线成壬庚戊三角实形以此实形移补丁丙辛虚形又以戊丙迤线上形移置壬辛迤线上即成庚辛方形如所求如二图设形为斜角与上同法

　　若所设线甚小几倍之得为元形边则平分

　　元形为几形如前法变得各小形并之为一大形如所

　　求

　　如三图所设线大于元形边则引长己戊边为己庚与甲等作庚丁对角线成戊庚壬三

　　角虚形次取丁丙与壬庚等成丁辛丙实形移补壬戊庚虚形又乙壬丁实形之壬角移为庚角成庚辛角形即所求

　　其三设矩内形变为正方形

　　如图以设形之两边连为一直线求心作半圏次从两线之界防作垂线为两率之中比例线即用为设线依前法变设形为他形其边为设线

　　其四设多边形变为正方形

　　先以直线分元形为若干三边形

　　次依第一法变各三边形为矩内形

　　三任取一线为设线依上法变各矩形皆为等边形

　　四并各等边形成一大矩形

　　五依第三法求大矩形两边之中比例线成正方形

　　以上四法若反求之则亦反作之如一矩形求作三角形一正方形求作有比例之

　　矩内形是也

　　其五两正方形变为一正方【防何原本一卷四十七题备论其理此则用法】置两正方形以角相切令其边为直线角之外为直角即成甲句股虚形其聨两元形之各一角即以为底作正方形其积与两元形并积等其变法作丙戊庚己丁

　　矩形及乙寅线又截壬形与子形庚形

　　等次截取癸实形移补丙丁虚形次取

　　丙子实形移补甲虚形次取壬实形移

　　补庚虚形次取庚丑实形移补戊【己庚】虚

　　形次取戊实形移补辛虚形

　　成夘辰午未正方形

　　其六设矩形求变为他矩形

　　其边各有比例如设一形欲

　　作他形等积而两边之比例

　　若五与四法分大边为五小边为四作平行分线如甲乙形次依丙丁罄折线截讫移就成戊己形

　　第四题

　　截形法

　　借题云设多边形截为多三角形求作多线以当各形

　　之比例如图甲乙丙丁戊多边形从甲

　　角作甲戊甲丁甲丙各对角线分元形

　　为四三角形求其比例法曰从各角向

　　各对线为垂线如己向庚戊向辛丁向

　　壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因对角线短故垂线在形之外盖三角形论底论高不论垂线内外因几何六卷第一题增同底之形其比例若其高之比例今甲戊己甲戊丁两形同用甲戊为底即己庚壬丁两垂

　　线为两形之比例又甲戊丁甲丁丙

　　两形同用甲丁为底即戊辛丙癸两

　　垂线为两形之比例甲丁丙甲乙丙

　　两形同用甲丙线为底即丁子乙丑

　　两垂线为两形之比例也今欲作四线之比例与此四形之比例等依几何原本六卷第十九题三直线为连比例则一线上形与二线上形若一线与三线今以一垂线当一形以第二第三率通为一比例而求末率【即第三线】则一形与二形若一线与三线也如上图壬丁之形与戊辛之形同底而壬丁为一率戊辛为二率己庚之形与某线之形同底而己庚为三率某线为四率则以戊辛之数通为己庚之数而求其线即壬丁与戊辛若己庚【元数】与某线而某线之数为己庚之次数又丁子与丙癸若乙丑【元数】与某线而某线之数为乙丑之次数今一设三角形从一角命截几分之几法于角之对边平分如命数从角作线截取一分为得数如甲乙丙形从甲命分四之三即四平分丙乙线为丁戊己次从甲作甲丁分元形为二其比例如丙丁与丁乙

　　又命分四之一而其截线求与命角之对边【如丙乙】平行法四平分甲乙腰四乗三【命分数内减得分以其余乗命分】得十二开方得三又百之四十八即得甲向乙取四分之三有半至

　　丁作丁戊线与乙丙平行截元形为二其积如三与一而丁丙为四之一甲乙戊为四之三

　　二设多边形从一角命截几分之几法依前借题分本

　　形为若干三边形又如前次第求各形

　　之比例线【因形求线】合之成一直线如图为

　　乙丙丁戊己若命分为四之一即四平

　　分之若第一分在乙丙线内则分甲乙

　　丙形之乙丙边如乙丙比例线其一分

　　所至为乙壬作甲壬线截甲乙壬形为元形四之一若欲截分在甲己之旁则分甲己戊形之己戊边如戊己比例线其一分所至为己辛作甲辛线截甲己辛形为

　　元形四之一若命分之界不在元形之

　　角如甲乙边内取庚防为界法从庚向

　　各角作线求各形之比例线如前

　　上二法俱从甲或庚为截分之总界其他形若能为对角线在形之内者任用各边各角皆可为截分之界若作对角线而切本形边或出形之外则不能为截界如图

　　甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙戊己戊丁诸线各切本边但可从丙截之

　　三设方形命截几分之几法任分一边

　　如命分数取得数作平行线或正方或

　　斜方或矩形皆同理若以角为截界则

　　与上文多边形同法

　　四设梯田命截几分之几如四分

　　之一法上下两【边各四平分而取其一作直线聨之】

　　或用角为截界则与前多边形同法

　　若命截线与底平行则用三率法依设形成三角形得其腰求两形之比例得全三角之积若干小三角形之积若干以小减大得梯形积若干因算梯形之防分得全形之几分随用前第

　　一设截三角形之法得所求

　　假如大底为十上边为六斜边得四上下边之较四半之得二为第一率大底半数五为二率斜边四为三率算得全形之腰为十此全形有两腰有底求其积得四十三又三之一其小形有两腰各六有底六求其积得十五又五之三以减全积得二十七又三之二弱为元梯形之积今欲截取四之一以四而一得六又五之四弱以除全积得六有五之二弱为元形四之一亦为全形六分五之二分用平行截三角形之法六有竒为母五有竒【减一得子】为子相乗开方得五○○即从全形上角分全腰为六分有五之二弱内取五又五之四强作平行线分元形如所求【或取三十二而取二十九】

　　若近小底命作截线其理同上但母子数不同上得元形四之一分为六又六十之四十六畧约五之四今所求者四之三则三倍之得二十又三十之九以倍数与全数相乗得数开方得二十九半即从上角如法取作平行线分元形如所求【或分全腰为四十三又三之一从上角取二十九半作线】凡梯田在平行线内但底等即其积等

　　不论角大小

　　若两梯田截法先求各形之积次算此

　　形所截之分为彼形之防分其用法如

　　前

　　【有本法本论于法算诸书中详之此不及备着】

　　【新法算书】

　　【卷九十一】

　　此外别形尚多各

　　钦定四库全书

　　新法算书卷九十二　　　明　徐光启等　撰测量全义卷六

　　论体

　　厯家所重全在测量所当测者略有三事一曰线测其长短二曰面测其长短广狭三曰体测其长短广狭厚薄所以测体者何也即如交食一法日与月各有不同心本天各有最髙度最髙冲度其去人逺近也恒不等其自相去之逺近恒不等人目所见二曜之体大小恒不等若此者必于地体推之故有日与月与地三大之比例【别有本书】不用此比例何繇知交食之歳月日时地影【即闇虚】比于月体小大之数几何乎不因地月之比例何从推日轮之视体几何大去人几何逺乎则何繇知日食旣之有无金环乎何繇知月食过分之闇虚几何大乎何繇定食限之几何时刻乎不知地球之大何繇定东西相去几何里即交食前后相去几何时刻南北相去几何里即日食应有应无有则几何分秒乎则安得不讲于量体之法乎然则测线测面者何也曰体者诸面之积也未能测面安能测体面者又诸线之积也未能测线安能测面又测候七政行度皆以句股弧诸法诸法则皆线也诸线之积为面不知面理则亦不能晰线之体势故三测为并重也虽然测天皆曲线曲面也直线与平面何为乎曰曲线法从直线出也曲面法从平面出也犹圆体法从方体出也故繇线而面而体繇直线而曲线平面而曲面方体而圆体譬之跬步前步未行后步不可得进也是测量之全义也

　　体者面之积或实如金木土石等或空如盘池陶穹等俱同理同法

　　其界为面面居体之周【面截面生棱如线遇线生角也又棱为两面之共界】一面之体如球如卵

　　二面之体如半球半卵圆角圆堆

　　三面之体如剖球卵之一分

　　四面之体如三面角体而四面等

　　即三面角体第因各面俱等故属四面

　　五面之体如四面角体【因角体之面无定数故左方不列其名】六面之体如立方正立方斜立方

　　八面之体八面俱等

　　十二面之体十二面俱等

　　二十面之体二十面俱等【自四六八十二二十面之外不能为等面胥无法之体也】公量如斗如升皆足为体之量总之以立方为本如用尺寸分为度而一尺之体其长其广其袤各一尺八俱直棱八俱直角乘法一千实寸为一实尺一千实分为一实寸则以立方之体再自之耳此为物数均齐推算简易者也

　　几何原本一十一卷详解其理今略引一二如左有法之体二其上者各面俱等盖设一边即知其面其容也其次则对面为平行面或同类之体有公法如角体者是也球亦有法之体盖其径其周其外面其容之比例恒相等第以比例无尽分之数亦属次焉

　　第一体名立面体如正立方斜立方多边立体正立圆体扁圆体【因其上下为平行面亦属等面】公法以高乘底之积得其容【高深两名互用】其高之度则垂线也

　　几何原本十二卷七增题曰两平行面内之体或同高两体其比例为体与体若底与底但取同类相求以正高为据不论体势直与不直

　　又本卷三十二题曰同类之体与体【凡比体者皆以其容积相比】为

　　其边与边三加之比例　解曰三加之比例者四几何为同理之连比例则一与二为一加与三为再加与四为三加也【五卷十界】此云三加者谓体之一与二若其边之一与四也如二　四　八　十六为四几何同理之连比例其首二尾十六为三加之比例则小体之边二大体之边四其小体之容与大体之容若小边之二与大边之十六也

　　系凡同类数体测定一体之容即其容与他体之容为其边与边三加之比例设有立方体其边八其容五一二又设次体其边十二即八与十二再加之得十八三加之得二七【其超法为一身有半】则初体与次体若八与二十七或用三率法八与二十七若五一二与一七二六或以四率连比例之第二率再自之得数同

　　第二体名角体底广上锐如堆垜锥亭峰之类其法同也几何十二卷七题之系曰同底同高之角体与平行面体【即同高体】之比例若一与三法曰如方锥之底边设九则底积八十一设髙十八以乘底积得一四五八以三为法而一得四八六方锥之容也又如圆堆之底周设十二尺设高五尺则先求周之径得三又十一之九相乗得四五又十一之九以四为法而一得十一又十一之五底积也以高乗之得五七实尺又十一之三以三为法而一得十九又十一之一为圆堆之容【系凡委粟及垣等角体皆求立体之容三除之为角体之容】

　　若不知其正高但知其底及棱则先求其正高

　　法曰若棱为偶数如上图得四甲乙

　　丙丁为底之四边各八又半甲丙对

　　角线十二弱戊为角顶戊甲戊乙戊

　　丁戊丙为四棱各十而求次图之中

　　长线戊己【次图何物如上图戊甲丁丙乙为全体若从戊顶向

　　甲丙对角线平分之为二即所截之两面各成戊甲丙三角形甲丙底十】

　　【二弱戊甲戊丙各十以此三边求中长线戊已即角体之高】

　　法以半底甲已自之得三十六【句方】以减腰方一百【方】余六十四【股方】开方得甲已八为角体之正高余如前若棱为竒数如五底之各边为十二棱之度为二十则先求一面之中长线【各体有底有面有棱底之边随体无定数面则恒各为三边形形之底线即底之一边两腰即棱也】依句股法半底边得六【为句】自之得三十六【句方】棱度自之得四百【方】相减得三百六十四

　　【股方】开方得一十九又一十三之一【即股即面形之中长线】次求底形之中长线用正法以五【底之边数】为法三百六十【全圈之周】为实【几何论凡有法之形形外可作圈切形之各角形内可作圈切形之各边】而一得七十二度为一边之弧半弧之正【即底之半边】为五八七七九第一率也【内】半边之数六为二率【外】半弧之余八○九○二为三率【内】算得八又四之一不尽【外】为五边底形从心所出之中垂线又正【内】与半边【外】若全数【内】与半径【外】得一十又五之一强【形外圈之半径】两数并得一十八又二十之九强为五边形之中长线次以面形之中长线底形之中长线及一棱之度三线相遇成一三角形【平分全体所分之两面】有三边之数求中长线得一十六又半不尽为所求元体之正高

　　底之周六十半之得三十以中垂线乗之得五七二又十三之四为底积以正高乗之得九四三八三而一为元体之容得三一四六也

　　若棱之度长短不等则用最长之棱及其对面之中长线求体之正高

　　论曰角体为立面体三之一者何也如正立方体自上而下对角平分之为两堑堵毎一堑堵得正立方二之一又于堑堵之两方面自上而下对角平分之成大小二分大者为阳马得堑堵三之二小者为鼈臑得堑堵三之一则一正立方分之为堑堵得二阳马则三鼈臑则六角体者阳马也故得立面体三之一也【说见九章算】

　　又外切圈之半径为句棱数为用句股法求股即元体之正高【此法甚简易但须各棱俱等乃可非公法也】

　　截圆角体法有五从其轴平分直截之所截两平面为三角形一也横截之与底平行截面为平圆形二也斜截之与边平行截面为圭窦形【顶不锐近底之两腰稍平行】三也直

　　截之与轴平行截面为陶邱形【顶曲渐下渐直底两旁为锐角】四也无平行任斜截之截面为撱圆形五也内第一第二第五

　　【有本】论第三第四其面皆为一直线一曲

　　线两界之面所截体之一分皆为两平

　　面一曲面三界之体亚竒黙徳备论其

　　量法然非测量所必须又各截面皆有

　　底有轴【即中长线】有曲线若转轴环行即径

　　线为平底界曲线为曲面界生二界之

　　体其边名曰平曲之边平曲者从曲顶

　　而下渐趋平也若以此体为空体则皆造作燧鉴之法以其浅深为光心之逺近亦非测天所用未及详焉

　　第三名斗体古名方窖圆窖等其上下两面不等而相似盖角体之截分也引长其棱即相遇而成全角之体【凡置斗体大面居下本角体之截分角体欲自立底必在下也其置截分亦然】

　　法曰若知本角体之高即先求本

　　角体之容后求所阙截分之容相

　　减余为元体之容假如斗体之底

　　长方一边得八一边得九则其积

　　七十二以全高二十四乗之得一七二八以三为法而一得五七六全角体之容也次置斗体上面之一边四一边四又半其积十八【即阙分之底】以阙分之高十二乗之得二一六以三为法而一得七二阙分之容也以减全角体其较五○四斗体之容也

　　若不知全角体之高则截体分求之

　　法曰如甲乙丙丁斗体之大面也边

　　各二十四戊已庚辛小面也边各一

　　十八用垂线截斗体从戊已边向下

　　至午未底分元体为二从辛庚边向下至申酉底从庚已至戍亥从辛戊至子丑皆如之分元体为九一居中成立面体四边四体为堑堵【正二面一立一斜侧二面为句股】四隅四体为阳马【即角体亦名方锥】各以本法求其容并为斗体之容【堑堵以高乗底积二而一阳马以高乗底积三而一】

　　立面体上下两面等各边十八其积为三二四以高十五乗之得四八六○堑堵【一名句股体】其底长方辛子三【两面之较六折半得】

　　【三】辛庚为十八乗得五十四为底积以正高乗之得八

　　一二为法而一得四○五四倍之得一

　　六二○【四边四体故】阳马其底各三其积九

　　以正高乗之得一三五以三为法而一

　　得五四四倍之得一八○

　　若斗面为多边形而无法或其棱不等亦用次法从上

　　边向下截成众体如图甲皆为堑堵

　　乙皆为阳马其中间无法之形则以

　　形为底分之中作一立面体余为四

　　三边形各形有棱有高可知其容又

　　公法【上二法遇圆体而穷】设上下面之边与正高与两面之积法曰上下两面积各开方两根相乗得数并入两面积以正高乗之得数三而一为斗体之容如斗体各率同前下面各边二四其积为五七六上面之各边一八其积为三二四两根相乗得四三二与前两积并以高一五

　　乗之得一九九八○以三除之得六六六○斗体之容也

　　又便法【小差而不逺】并两面之边半之自乗得数以高乗之得斗之容如前数上面边一八下面边二四并得四二半之得二一自之得四四一以高一五乗之得六六一五比前少四五其差为一四七之一耳

　　凡有法之体五其面其棱皆等其大小相容相抱与球相似【几何十一十二十二十四卷极论此理今稍引用为比例之法】

　　一曰四面体各面为三边等形用坚楮依图裁而合之

　　成一全体有六棱四隅

　　设各边一百因前法求

　　其容为一一七四七二

　　半　此下五则皆名法体求容凡同类之体皆依此为例以显推隐故下文称例体例边

　　二曰六面体立方也各面各棱等有十二棱八隅其面

　　为正方形设各边一百

　　因前法求其容为十万

　　三曰八面等之体各面为三边等形有十二棱六隅各

　　边设一百因几何求其

　　容为四七一四二五有

　　竒

　　四曰十二面等之体各面为五边等形有三十棱二十

　　隅边设一百其容为七

　　六八六三八九

　　五曰二十面等之体各面为三边等形有三十棱十二

　　隅边设一百其

　　容为五二三八

　　○九

　　依几何之説得一体之容可推同类【同类者同若干面数也】万体之容盖同类两体之容之比例与两体边上立方之比例等

　　假如置四面两体大者边设一百小者边设五十两数各再自之得一百万与一二五○○○此两数为两体之容之比例而以大不等为一百万之一二五○○○约为八之一用三率法则命分数为一率得分数为三率前所立例体之容为二率得四率为所求他体之容

　　如前数欲知五十边上小体之容以例体大边上立方一百万为一率以所求小体边上立方为二率以大体之容为三率用法得一四六八四又四之一为小体之容【第三率大体之容于前法体求容五例内简其同类者即用之】

　　一率　一百万

　　二率　　一二五○○

　　三率　一七七四七二半为前例所立大体之容四率得一四六八四又四之一为所求小体之容

　　又欲知十二面体之容各边二五法以同类之例体边再自之得一百万所设体之边亦再自之得一五六二五如前推之

　　一率　　一百万

　　二率　　一五六二五

　　三率　　七六八六三八九为前例所立十二面体之容四率　　得一二○○九九为所求十二面体之容

　　又设一体之容欲知其边若干因此容与他容若此边上立方与他边上立方其法以例体之容为一率设体之容为二率例体边上之立方数为三率得设体边上之立方为四率开方得根即所求边也如有一四六八四又四之一为今设四面等之容求其边若干查前例其同类之体边一百其容一一七四七二又半依三率法得立方根为五十即所求设体边数

　　一率　一一七四七二半【例容】

　　二率　一四六八四又四之一【设容】

　　三率　一百万【例边】

　　四率得一二五○○○为所求边上立方开得五十为所求设体之边

　　量圆球之容

　　圆球之全体见亚竒黙徳圆球圆柱书并见几何一十四卷兹借数题明之

　　第一题

　　球上大平圜之积为本球圜面积四之一【此亚竒黙徳之一卷三十一题也大平圜者从大圏过心剖球体为二所分两平面是也圜面积者全球大曲面之平积也】系　凡周乗径生球圆面之积亦生大平圜积之四倍大圜周线上方形与球圆面之比例若大圜之周线与其径　解曰如图甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其径【与球径等】己辛与圜之周线等上成己壬方形形之庚辛与甲丙径等而己壬方形外复成庚戊方形题言己庚

　　矩形为大平圜之四倍壬戊矩形与

　　庚己矩形等盖壬辛己辛同为矩方

　　形之一边戊辛辛庚亦同为矩方形

　　之一边则两矩方形必等夫己壬周

　　线上之方形也壬戊为大平圜之四倍而与球之圆面等则其比例如己辛与辛戊矣【五卷二周与径比例之数为二二三之七一或二十二之七】又大圜径上方形与球之圆面若圜之径与其周盖己庚矩方形与球之圆面等庚戊为径上之方形则两形之比例必若己辛周与辛戊径矣

　　二系　球径上方形与球之圆面为一与三又七一之十或一与三又七之一

　　第二题

　　径三之二乗大平圜之积生球容之数【亚竒黙徳之一卷三十二题】解曰设大平圜之周一【凡大测当以全数为母则易推故设周为一自之再自之恒为一】其大径为二二三之七一其半为四四六之七一以半周二之一乗之得八九二之七一此大平圜之盈积也又以六六九之一四二【此大径三分之二】乗之约之为二九八三七四之五○四一得球容之数

　　又大平圜之周再自之恒为一知大圜周上立方与球容之比例何者全数为母【即一几何谓之命分数】是周上之立方也子数【几何之得分数】为球容则球容与大圜周上立方之比例若五○四一与二九八三七四而盈用小径之数得四九与二九○四

　　又球径上立方与球容之比例若二十一与一十一而盈若四二六与二二三而朒法置球径一大平圜之大积为十四分径上方之十一以径三之二乗之得四十二之二十二约之得二十一之十一为球之容又球径上立方为一则其与球容之比例为二十一与十一而盈或用朒法则大平圜之小积得四二六与二二三亦径上立方与球容之比例也【右径上立方与球容之比例】因前论置球之径　一求球之圜面以二十二乗径数以七除之以所得之径乗之得圆面之积【用二十二与七而盈用二二三与七十一则朒】　一求球之容以二十二乗径以七除之得数以径三之二乘之得球之容【右以径求圜面积及球之容】又径上立方与球之容若二一与一一而盈若四二六与二二三则朒　置大圜之周大圜周上之立方与球容若二九八三七四与五○四一而盈若二九四与四九则朒　置径置球之圆面相乗六而一

　　置径【四之一乗圆面三之二三之一乘圆面二之一】　乗大圜之积三而二或径乗积三分之二　或径三分之二乗积俱得球之容

　　或半径乗大圜积三分之二所得为球容之半　或大圜半积乘径三分之二所得亦半

　　量球一分之曲面

　　凡截球面过心其一分为全球之若干量法与全球无

　　异【或半球或四之一或五之一俱同法】　若截球面不

　　过心为直面而曲面界为球上之圏

　　则借天球之界以明之

　　解曰甲丁己辛为子午圏甲比己南

　　丁辛为夏至之圏从夏至圏截之甲至丁作直线用此线为半径作甲丁别圏亚竒黙徳之一卷四十题曰甲丁别圏之积与丁甲辛球分之曲面等又从巳至丁作直线为他圏之半径其圏之积亦与丁己辛球分之曲面等若曲面非全球之若干

　　分则为无法之形

　　量球一分之容

　　取球之一分截面过心其曲面之界为圏亚竒黙德曰想圆角体其底之圏几何与所截凸面之一分等其高为球之半径此体之容与今所解之球分等

　　如甲丁己辛球丁甲辛庚为截分丁甲辛为凸面丁庚辛庚截面过心则先求丁甲半径倍之以二二乗之以七除之所得之

　　半以半径乗之为凸面之积次以甲庚半径乗之三而一为丁甲辛庚球分之容

　　若截为直面不过心如甲丁辛之一分而求其容则先求甲丁辛凸面之积以径乗之六而一为丁甲辛庚体之容次丁辛截面至心则想丁辛庚圆角体求其容以减丁甲辛庚体之容余为丁甲辛球分之容

　　量撱圆体之容

　　撱圆亦有法之体也又次于圆球其为体则长圆形之长径为轴旋转所生如一防直行生线一线横行生面一面上行生体平圆面以径为轴转轴环行是生圆球长圆面则有二径一长一短以长径为轴转轴环行是生撱圆之体以短径为轴转轴环行是生扁圆之体撱圆之体或名为卵体非也凡乌卵一端大一端小是为无法之体撱圆体则两端等亚竒黙徳之第一卷备解此体及分角体之理今略述之

　　凡截圆球生两圆面成两圏若平分之即过心过心之截分恒相等若撱圆体从小径横截之生两平圆面因小径过心故若从其长径直截之生两长圆面即元体之长圆也若横截与小径平行亦成平圆面若斜截之则其面皆不等皆成长圆形

　　凡圆角体其底之径为撱圆体之小径其高半长径则其体之容为撱圆体四之一

　　如甲乙为长径丙丁为小径

　　即丙戊丁甲半撱圆体倍大

　　于甲丙丁角体

　　解曰小径以二十二乗之七而一小径之周也得数以乗小径四而一小径之平圆面积也得数以乗半长径圆柱之容也三而一角体之容也得数四之撱圆半体

　　之容也

　　若截面与小径平行如庚己

　　壬求撱圆分体如庚甲壬之

　　容黙徳法曰先求庚壬甲角体之容次用三率法己乙【大分之轴线】与戊乙【半长径线】甲己【小分之轴线】并若角体甲庚壬之容与撱圆小分庚己壬甲之容

　　若求大分之容先求角体庚

　　壬乙之容次用三率法甲己

　　【小分之轴线】与甲乙【长径】戊乙【半长径】

　　并若角体庚壬乙之容与撱圆大分庚己壬乙之容

　　量无法之体

　　解曰以锡为正方椟各边一尺或五寸若用木则以三

　　和灰涂其罅令不漏实之以水投所

　　量物其中则水溢取出物量水减几

　　何得物之容如减一寸而椟边设一

　　尺则得一百寸为物之容盖各边一

　　尺上面积为一百寸水减一寸则为

　　一百寸若水减不及寸或过焉则量若干分以面积乘之得物之容

　　新法算书卷九十二

　　钦定四库全书

　　新法算书卷九十三　　明　徐光启等　撰测量全义卷七　　球面曲线形

　　圏内线相当之理

　　每弧毎角有八种线曰正曰正切线曰正割线曰正矢曰余曰余切线曰余割线曰余矢幷全数为九种诸线内各有相当之理皆依三边形等角比例法【防何六卷四题】

　　如上图丙丁为正弧甲丁为正

　　丙辛为正切线乙辛为正割线甲

　　丙为正矢戊丁为余己壬为余

　　切线乙壬为余割线戊己为余矢乙己乙丁乙丙皆全数也即辛丙乙壬己乙两形相似何者己丙两直角己乙辛丙为平行线辛乙直线割两平行即其相对两内角必等既丙辛乙壬乙己两角等即其对边相似

　　一全数为正余割线两率之中率

　　如丙丁弧之正为甲丁全数为

　　丁乙余割线为乙壬则甲丁与丁

　　乙若乙己与乙壬矣丁乙乙己皆

　　全数必等则甲丁与丁乙若丁乙与乙壬也

　　又全数为余正割线之中率如戊丁与丁乙若丁乙【与乙丙等故】与乙辛

　　一系凡四率全数为中率【或二或三】若第一率

　　为正即弃正而变余割线为中率全

　　数为第一省而一　若第一率为余则

　　变正割线为中率　若第一率为正割线则变余若第一率为余割线则变正　凡所变者皆以易全数而使为第一率

　　论曰凡有连比例之三率一率与二【如二与六】若二率与三【如六与十八】别有二数其比例若连理之一率与二【如八与二十四】即可代用或连理之一率与二【如二与六】若他数与别数【八与二十四】可也或连理之二率与三【六与十八】若他数与别数【八与二十四】亦可也为其比例等故也【皆三之一】今连理之一率为甲【正】二率为乙【全数】三率为丙【余割线】次有断理之第三率丁第四率戊即可代用谓一甲【正】与二乙【全数】若三丁与四戊可也谓二乙【全数】与三丙【余割线】若三丁与四戊亦可也是于连理之三率二比中弃前比而用后比初以全数为第二余割为三今以全数为一余割为二也如三十八度一十七分之正六一九五五与全数若三十度之正与某数常法二三率相乘以一率为法而一得第四今法用三十八度一十七分之余割线一六一四○七为二率以易全数而为第一以二三率相乘即得第四何者正全数余割线为连比例故也二系凡四率中无全数若第一率为正则变余割线为第一率若第一率为余则变正割线为第一率法用一二率相乘得数以全为法去后五位所存若干位与全数等而一又以乘第三率得数如前而一得四率【名为而一者再皆以全数为法止减末位不难也常法一乘一除此用两乗犹是防法】

　　假如一十八度四十○分之正三二○○六与二十五度三十七分之正四三二三一若六十三度三十二分之切线二○○八六二与某数其常法二三率相乘第一率而一今用防法取一十八度四十分之余割线三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○七○○○○○○为实以全数为法而一得一三五○七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二二○○○○○以全为法而一得一六七九二二为四率

　　二三○七三五　六十四度十九分之正割线

　　又假设三率如一二二三四一

　　二三四三二

　　第一率变取六十四度十九分之余四三三四○以乗第二率得数减后五位以所存乘第三率得数又减

　　后五位所存即第四率

　　二全数为正余两切线之中率

　　如上圗辛丙与丙乙若乙己与己壬

　　何者丙乙乙己皆全数则辛丙丙乙【或乙己】己壬为三率连比例

　　系凡四率断比例全数为中率若第一为正切线变余切线为中率以易全为第一若第一为余切线变正切线为中率以易全为第一

　　三正与余若全数与余切线余与正若全数与正切线

　　如前圗甲丁与丁戊【即甲乙故】若乙己与己壬戊丁【即甲乙故】与甲丁若乙丙与丙辛

　　系四率断比例若一二率为正与余变为全数与余切线若为余与正变为全数与正切线

　　四凡两弧之正割线与其余为互相视之线两弧之余割线与其正为互相视之线

　　如上圗丙癸丙丁两弧丙癸弧之正

　　割线为乙寅丙丁弧之正割线为乙

　　辛丙癸弧之余为庚癸丙丁弧之

　　余为戊丁则乙寅与乙辛若戊丁

　　与癸庚

　　论曰全数在正弧【丙癸】为其正割线【乙寅】及其余【癸庚】之中率在他弧【丙丁】亦为其正割线【乙辛】及其余【丁戊】之中率两理之各前后矩内形各与全数上方形等【各为其中率故】即两矩内形自相等其边互相视【防何六卷十四】

　　五凡两弧之正切线与其余切线为互相视之线同上论卷中诸圏皆以曲线当圎球之大圏相交相截人目视球曲面或近或逺或上或下或左或右所见不同有时视曲线而为直线即同是曲线而形象不一葢平面图球不能尽球之理宜从论説中领其意义乃得耳

　　圆球原本内借论题　　古徳阿多西阿撰

　　一大圏皆与球同心　系大圏皆相等若从大圏分球过心必为两平分【一卷六】

　　二两大圏于球上相交各为两平分

　　三反之两圏于球上相分为两平分必两皆大圏【一卷十一十二如赤道黄道等】

　　四大圏过他圏之两极必相交为直角【一卷十五题如子午圏过赤道极则两圏交处皆为直角】

　　五大圏与本极距一象限九十度

　　六大圏交两大圏若作直角则元圏之极在两圏之交如赤道与极至交圏极分交圏为直角则两圏之交在赤道极

　　七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去离大圏一分其小圏之各分必小于大圏之各分

　　八两大圏相交其交角必等或上或下两角幷必等两直角与直线相交同理

　　九球上大圏不能相偕为平行弧一心止一圏故也若同心而能为多圏则是距等小圏非大圏矣

　　分球上三角形之各类

　　球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形为大测之本【若有小圏之一弧即未能定圏大小之数安能定其弧数明大测不用小圏之弧也】

　　球上角形或三边等其角必等边之度若四之一【九十度】则角为直角过四之一则钝角不及则鋭角【如正球之赤道地平子午圏皆相交为直角则各边俱九十度】

　　或二边等其对角亦等若边过象限为钝角不及为鋭角或各边不等各角亦不等

　　球上角形或三直角其边皆四之一或两为直角其两对边皆四之一此二类自明勿论所论者一为直角余或钝或鋭各有本法如左

　　一圗外大圏内两大圏分皆相交为直角则各圏之极在他两圏之交【用号作十者指直角作○者指钝角作丨者指鋭角边云多者谓过四之一云少者谓不及四之一】

　　二圗两直角形第三角或鋭或钝【己上二圗俱不论】

　　三圗甲乙丙形甲为直角余皆鋭其边少甲丙戊形甲直角丙钝戊鋭钝角之对边大即甲已戊弧鋭角之对边小即甲丙弧或一直角两钝角如乙丙丁形乙丙两钝角其对边过四之一即乙壬丁弧

　　凡两角或鋭或钝若同其间所容弧不及四之一直线三角形与球上曲线三角形异理

　　一直线形之三角幷与两直角等曲线形之三角幷其数不定但不能及四直角【四直角者三百六十度也】

　　二直线形得两角即得其三曲线形否

　　三直线直角形有两边以句股开方法求其三曲线形否四直线形有三角不能求三边若干但得其比例耳曲形设三角可推三边若干

　　五直线形各边能当全数曲线之各边否

　　六两直线形等角即两形之边有比例曲线等角形之边必等

　　七直线形但有一易法以垂线分元形是也曲形有六易法

　　八直线形不过二种一直角二或钝或鋭角其边虽有长短不变其曲形边有大小其法不同

　　球上斜三角形因各角各边不等分为九种【或恒用或否俱见下文】第一三角皆鋭其边皆小于四之一【如第一图甲形】

　　第二三角皆钝其一边适足四之一其二边大于四之一【后凡四之一皆言足小于四之一者皆言少大于四之一者皆言多如第二圗乙形】

　　第三三角皆钝其两边多一边少【如三图丙形】第四三角皆钝其三边皆多【如四图丁形】第五一角钝两鋭其三边皆少【如三圗戊形】第六一角钝两鋭其两鋭间之一边多钝角之两旁少【如四图己形】

　　第七一角钝两鋭一鋭角之对边少余皆

　　多【如三图庚形】

　　第八一角钝两鋭钝角之对边足余皆少【如二图壬形】第九一角钝两鋭其边皆不等一多一少一足【如二图辛形】

　　球上三角形相易其法有五

　　第一甲乙丙直角形甲为直角于乙甲乙丙各引长之满象限为乙丁乙戊又甲丙边引长之作甲丙己象限次聨丁戊引至己亦作象限【乙丁乙戊俱象限则丁戊己弧心为乙又丙甲乙为直角乙丁戊亦直角则甲己丁己遇于己而己为乙丁弧之心】得丙戊己直角形若甲乙丙形设甲乙乙丙两边若干

　　即有甲丁丙戊两余弧次丙戊己形有戊直角有丙戊边即有己角【其弧甲丁】

　　若元形有直角之对边及直角旁一边即次形有直角旁一边及其对角【一图】若元形有二角即次形有一角一边【二图】

　　若元形有一角及直角之对边即次形有直角旁两边

　　【三图】

　　第二甲乙丙直角形于甲乙引长作乙丁象限弧乙丙引至戊甲丙引至己皆满象限次作丁戊己象弧得丙戊己形次丙戊引至庚丙己至辛戊己至癸皆象弧次作

　　庚辛癸弧成辛己癸形此形与元形甲乙丙相当何者元形有乙丙两角即次形有两边【有乙角之弧戊丁即有其余弧戊己有戊己弧卽有己癸边与乙角之数等有丙角即辛庚丙形之丙角弧为庚辛其余弧为辛癸】

　　元形之乙丙易为癸角【乙丙边余为丙戊丙戊之余为戊庚是癸角之度】元形之甲乙边易为辛己癸角【甲乙弧之余为甲丁其对角为丁己甲或辛己癸皆甲乙之余弧角】

　　元形之丙甲边易为辛己边【甲丙弧之余为己丙己丙弧之余为辛己则辛己与甲丙等】

　　第三斜角形【两腰等角或鋭或钝】两腰引长至半周必相遇成他形与元形相当如图甲乙甲丙两腰引至丁成丁乙丙他形从乙丙作乙丙己成全圏引乙甲至己丙甲至戊又成甲戊己他形此两他形者皆与元形相当何者有甲乙边自有其半周内之余乙丁亦有其半

　　周内之余甲已即乙丙与戊己等【丙乙戊乙戊己皆半周故】又丁角与甲角等【凡两大圏相交为两角必等如黄赤二道相交于春秋分是也】丁乙丙为甲乙丙之余角乙丙丁为甲丙乙之余角甲戊己为乙丙甲之余角甲己戊为丙乙甲之余角则元形变易而生两形各相似相当　问本用曰元形边大【多于象限】角钝易为次形边小角鋭三角形六问中所用也【六问详见后篇】第四甲乙丙三不等形从乙甲弧作甲辰戊全圏次甲

　　角为心作丁壬辰大圏分乙角为

　　心作戊癸寅大圏分丙角为心作

　　己丑夘大圏分三圏分必相交成

　　癸寅丑形此形与元形相当而元

　　形之边易为角角易为边何者甲

　　壬弧满一象限丙午同之减同用之丙壬即午壬与丙

　　甲等壬午弧限壬丑午角之度其

　　余角为癸丑寅又甲丁乙戊皆象

　　弧减同用之乙丁即甲乙与丁戊

　　等丁戊为寅癸丑交角之度又乙

　　辛丙子皆象弧减同用之丙辛即

　　辛子与乙丙等辛子弧即辛寅子角之度则元形甲乙边易为次形之癸角甲丙边易为癸丑寅余角乙丙边易为寅角元形之三边易为次形之三角【边易为角】又元形乙角之余易为癸寅边甲角易为癸丑边丙角易为寅丑边【角易为边】

　　第五凡斜角形设一角二边法从他角作垂弧至其对弧为直角如一图【若不能则引长其对弧令受垂弧如二图】若设二角一边法从他边之对角作垂弧如图乙丁丙形有丙角丙乙丙丁两边即作乙甲垂弧分为两直角形其甲丙乙形有一角一边可求其余甲丁乙直角形先得甲乙甲丁两边可求其余

　　凡底边两旁角为同类垂弧在形内若异类垂弧在形

　　外

　　凡曲线三角形如得实球即指画易明直角形直角之对边名底斜角形大角之

　　对边名底

　　凡言直角其边小于象限则用之大于象限则依前法变为小而用之

　　球上直角形各边角正等线之比例

　　第一题

　　直角形人数数【即直角之本数】与某角之正若底弧之正与某角对边之正

　　欲明此论宜以浑体解之今权设浑象以坚厚楮作一圆形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周也半立者其弧如极分交圏之半周也又作一半周形合于全形之直角两径相切共为半圏面三一平一立一中居中者其弧如黄道之半周也中圏面上下防移任作若干度角如黄赤道之相距又作九十度之两弧上合下分一置三半周之中如极至交圏为定弧一以下端防移平弧上恒与平弧为直角上割中弧而遇定弧于极防之上谓之防弧防弧之上容中平二弧之距度而此一定一防两弧者皆如过极之经圏也恒偕平弧为三弧两边等直角形

　　今于平面作图拟彼圆象用意推测聊足可明其诸名义亦借浑天以便识别也如上图乙丁寅圏为赤道乙丙癸为黄道乙寅为春秋分癸为夏至午辰为南北极午癸丁辰为极至交圏午丙甲为过极经圏以限黄道

　　之经度容赤黄二道之距度

　　平置乙丁寅赤道圏从黄癸

　　下垂线为极至圏上癸丁相

　　距弧之正从赤丁上立垂

　　线遇夘癸半径之引长线于

　　戊得戊丁与癸己平行为癸

　　丁弧之切线夘戊其割线也己夘则癸丁弧之余也又从黄道若干度之防如丙作两线一丙辛垂线为过极经圏上丙甲斜弧之正辛壬【乙寅径之垂线】其余一丙壬为寅乙极线之垂线即丙乙黄弧之正次从赤道过极两圏之交甲立甲子直线又于寅乙【黄赤交之对截线】上作甲丑垂线次于乙丙癸圏黄平面上从丑作丑子为乙寅之垂线过甲子于子子甲者过极圏上丙甲弧之切线也而甲丑为甲乙赤弧之正丑夘其余则图中有直线直角形四一癸己夘二戊丁夘三丙辛壬四子甲丑因夘壬丑三角等故三形俱相似

　　题言癸夘【全数】与癸己【癸乙丁角之正】若丙壬【丙乙底弧之正】与丙辛【丙甲为乙角之对边丙辛其正】

　　如上图甲乙丙形【凡称甲者恒为直角】全数【一率】与乙角之正【二率】若丙乙边之正【三率】与丙甲边之正【四率】此比例用防何五卷之六理

　　云更之则一与三若二与四又反之二与一若四与三又反而更之三与一若四与二

　　系若以大圏割本形作戊丁直角弧则丁戊与甲丙若乙戊与乙丙【俱用正】

　　第二题

　　全数与某边【如甲丙】之余【即丙戊弧之正】若他边【甲乙】之余【即戊角之正】与底【直角之对弧如丙乙】之余【即丁丙弧之正】

　　若直角形内有一钝角或二钝角其理同本题

　　第三题

　　直角形全数与某角【丙】之正【即丁丙戊角之正】若设角【丙】旁边【甲丙】之余【即戊丙底之正】与其边对角【乙】之余【即丁戊边之正】此题之丁丙戊形与一题之甲乙丙皆有底有一角其

　　理同也

　　一系依相当第四法及此第一题显全数与乙角【乙丙角互用】之正若角对边【甲丙】之余

　　割线与底弧【乙丙】之余割线【三四率各有正可用其余割线当之】二系依相当第四法及第一题显全数与底【乙丙】之正若某边【甲丙】之余割线与对角【乙】之余割线【三四率有正互易为余割线】

　　三系依相当第一法及此第一题显全数与某角【乙】之余割线若对边【甲丙】之正与

　　底【乙丙】之正【第一题之比例为角之正与全若角对边之正与底之正相当法则以正当余割线也】

　　四系依相当第一法及此第一题显全数与底【乙丙】之余割线若边【甲丙】之正与对角【乙】之正【一题内底之正与全若边之正与角之正今易底之正为余割而居第二以全为第一】

　　五系依相当法第四及第二题显全数与某边【甲丙】之余若底【乙丙】之割线与他边之割线【二题云全与边之余若他边之余与底之余此云底之割线与边之割线葢以割线当余而为三四率也】

　　六系依相当第一法及第二题显全与某边【甲乙】之割线若底【乙丙】之余与他边【甲丙】之余【第二题之四率反用之为二与一若四与三则第一率为余第二率为全数也今依相当一法易之为全与割线】

　　七系依第四相当法及三题显全数与角【乙】之正若他角【丙】之割线与他角对边【甲乙】之割线【三题言全与角之正若设角旁边之余与他角之余今用相当第四法反四率为三三率为四易余为割线葢两弧之余与其正割线为互相视之线】

　　八系依三题第四相当法显全与边【甲丙】之余若边对角【乙】之割线与他角【丙】之余割线【三题三四率边旁角之正与他角之余今互变边对角之割线与他角之余割线】

　　九系依相当第一法及第三题之四率前后易之显全数与角之余割线若他角之余与其对边之余十系三题之四率前后相易用第一相当法显全与边之割线若边对角之余与他角之正

　　十一系因一系反理及相当一法显全与角之割线若底之余割线与角对边之余割线

　　十二系因上五系反用其率及相当一法显全与边【甲丙】之割线若他边之割线与底之割线

　　十三系因九系反用其率及相当一法显全与角之余

　　割线若边之割线与其对角之割线

　　第四题

　　曲线直角形其全数与角【乙】之切线若角旁边【甲乙】之正与角对边【甲丙】之切线【如前圗】

　　解用一题平面全图之甲乙丙

　　形甲为直角戊丁为甲乙丙角

　　之切线甲丑为甲乙边之正

　　子甲为丙甲边之切线可见夘

　　丁与乙角之切线丁戊若乙角旁边甲乙之正甲丑与乙角对边甲丙之切线甲子【三角形皆相似故见一题】

　　系用相易第一法则全与边【甲乙】之余切线【或丁甲弧之正切线或戊己丙角之正切线】若边旁角乙之余【即戊己弧之正】与底之余切线【即丙戊之正切线】　按本题第二率为乙角之切线系易为丁戊之余弧或己戊边三率为角旁边【甲乙】之正系易为边【戊己】旁角【己】

　　或丁甲弧之余【即甲乙正】四率为角对边【甲丙】之切线系易为底之余切线或甲丙弧之正切线

　　二系全与底之余【或甲丙边之正】若角【丙】之切线【两形为交角】与他角【已】之余切线【即甲乙边之正切线】

　　三系依相当五法余切线能当正切线【二三率可互易】为全数与边之正若他边之余切线与其对角之余切线四系若一二三四率反用为二与一若四与三即变第一率切线为余切线则为全数与角之余切线若角对边之切线与他边之正

　　向下诸系皆用相当法及反理省文不解

　　五全数与边之余切线若他边之切线与其对角之切线

　　六全与角之余若底之切线与角旁边之切线七全与边之切线若底之余切线与角旁边之余八全与角之割线若底之余切线与角旁边之余切线九全与底之割线若角之余割线与他角之切线十全与角之余切线若他角之余切线与底之正十一全与边之余割线若边旁角之余切线与他边之余切线

　　十二全与边之余切线若边对角之切线与他边之余割线

　　十三全与角之割线若角旁边之切线与底之切线十四全与底之切线若边之余切线与边旁角之割线十五全与角之切线若他角之切线与底之割线因上四题即每一设形有十二算法　今设甲乙丙一形有乙丙底【三十度】及甲丙边【十一度三十一分】求乙角一为乙丙边之正【五○○○○】与全【十万分】若甲丙之正【一九九六五】与乙角之正【三九九一】

　　【三】查得二十三度三十一分三十○抄

　　二为全【十万】与丙乙之正【五○○○○】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【二二○六一七】

　　三为甲丙之余割线【五○○八六九】与全【十万】若丙乙之余割线【二○○○○○】与乙角之正【三九九一三】

　　四为全【十万】与甲丙之正【一九九六五】若乙丙之余割线【二○○○○○】与乙角之正【三九九一三】

　　五为乙丙之余割线【二○○○○○】与全【十万】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【三二○六一七】

　　六为甲丙之正【一九九六五】与全【十万】若乙丙之正【五○○○】与乙角之余割线【二二○六一七】

　　七为乙丙之余【八六六○三】与乙丙之余切线【一七三二○五】若甲丙之正【一九九六五】与乙角

　　之正【三九九一三】

　　八为乙丙之余切线【一七三二○五】与乙丙之余【八六六○三】若甲丙之余割线【五○○八六九】与乙角之余割线【二二○六一七】九为乙丙之正【五○○○○】与甲丙之切线【二○三七六】若甲丙之余【九七九八七】与乙角之正【三九九一三】

　　十为甲丙之切线【二○三七六】与乙丙之正【五○○○○】若甲丙之正割线【一○二○五五】与乙角之余割线【二二○六一七】十一为甲丙之割线【一○二○五五】与乙丙之余割线【二○○○○○】若甲丙之切线【二○三七六】与乙角之正【三九九一三】十二为甲丙之正【一九九六五】与乙丙之切线【五七七三五】若乙丙之余【八六六○三】与乙角之余割线【二五○六一七】以上十二法俱可得乙角因除法为繁故约用乘法如下方

　　球上直角形相求约法

　　球上直角三边形有三角三边此六者有三可推其余交互为三十求各以乘法得之

　　第一设乙丙两角【凡甲皆直角乙丙或鋭或钝】一求甲乙边为全数与乙角之正若丙角之割线与甲乙边之割线或全与乙角之余割线若丙角之

　　余与甲乙边之余　丙角定数

　　解曰同类者或皆过九十度或皆不及若丙角过九十度则所求之边亦过九十若丙角不及九十度所求之弧亦不及下仿此

　　二求甲丙【甲丙甲乙两边互用乙丙两角亦互用】为全数与丙角之正若乙角之割线与甲丙边之割线　或全与丙角之余割线若乙角之余与甲丙边之余　乙角定类三求丙乙【对直角之底】为全与乙角之切线若丙角之切线与乙丙边之割线　或全与

　　乙角之余切线若丙角之余切线与乙丙边之余或乙或丙两角定类

　　凡定类有二号者若二号为同类所得为不足九十度若两号为异类所得为过九十度

　　第二设乙角及乙甲边　四求丙角为全与乙角之余割线若乙甲边之割线与丙角之割线　或全与乙甲边之余若乙角之正与丙角之余【直线直角形设一得二取其较也此与异者曲直两线为异类故也】　甲乙弧定类

　　五求甲丙边为全与甲乙之正若乙角之切线与甲丙边之切线　或全与乙甲边之余割线若乙角之余切线与甲丙边之余切线

　　乙角定类

　　六求乙丙边为全数与乙角之割线若甲乙边之切线与乙丙边之切线　或全数与乙角之余若甲乙边之余切线与乙丙边之余切线　乙角或甲乙边定类第三设乙角及甲丙边　七求丙角为全数与甲丙边之割线若乙角之余弦与丙角之正或全数与甲丙边之余若乙角之割线

　　与丙角之余割线　乙角或甲乙边定类

　　八求甲乙为全数与甲丙边之切线若乙角之余切线与甲乙边之正　或全数与甲丙边之余切线若乙角之切线与甲乙边之余割线　乙角或甲丙边定类九求丙乙为全数与乙角之余割线若丙甲边之正与丙乙边之正　或全数与乙角之正若丙甲边之余割线与丙乙边之余割线　乙角定类

　　第四设乙角及乙丙边　十求丙角为全数与乙丙之割线若乙角之余切线与丙角之切线　或全数与乙丙边之余若乙角之切线与丙角之余切线　乙角及乙丙定类

　　十一求甲乙为全数与乙角之余若丙乙边之切线与甲乙边之切线　或全数与乙角之割线若乙丙边之余切线与甲乙边之余切线　乙角及乙丙定类十二求甲丙为全数与丙乙边之正若乙角之正与甲丙边之正　或全数与丙乙边之余割线若乙角之余割线与甲丙边之余割线　乙角定类第五设丙角及甲乙边　十三求乙角为全数与甲乙边之割线若丙角之余与乙角之正　或全数与甲乙边之余若丙角之割线与乙角之余割线　丙角定类

　　十四求甲丙边为全数与甲乙边之切线若丙角之余切线与甲丙边之正　或全数与甲乙边之余切线若丙角之切线与甲丙边之余割线　甲乙边定类十五求乙丙为全数与丙角之余割线若甲乙之正与乙丙边之正　或全数与丙角之正若甲乙边之余割线与乙丙边之余割线　丙角定类

　　第六设丙角及甲丙边　十六求乙角为全数与丙角之余割线若甲丙边之割线与乙角之割线　或全数与甲丙边之余若丙角之正与乙角之余　甲

　　丙边定类

　　十七求甲乙边为全数与甲丙边之正

　　若丙角之切线与甲乙边之切线　或全数与甲丙边之余割线若丙角之余切线与甲乙边之余切线　丙角定类

　　十八求乙丙边为全数与丙角之割线若甲丙边之切线与乙丙边之切线　或全数与丙角之余若甲丙边之余切线与乙丙边之余切线　丙角及甲丙边定类

　　第七设丙角及丙乙边　十九求乙角为全数与丙乙边之割线若丙角之余切线与乙角之切线　或全数与丙乙边之余若丙角之切线与乙角之余切线　丙角及丙乙边定类

　　二十求甲乙边为全数与丙乙边之正若丙角之正与甲乙边之正　或全数与乙丙边之余割线若丙角之余割线与甲乙边之余割线　丙角定类二十一求甲丙边为全数与丙角之余若丙乙边之切线与甲丙边之切线　或全数与丙角之割线若丙乙边之余切线与甲丙边之余切线　丙角及丙乙边定类

　　第八设甲乙甲丙两边　二十二求乙角为全数与甲乙边之余割线若甲丙边之切线与乙角之切线　或全数与甲乙边之正若甲

　　丙边之余切线与乙角之余切线　甲丙边定类二十三求丙角为全数与甲丙边之余割线若甲乙边之切线与丙角之切线　或全数与甲丙边之正若甲乙边之余切线与丙角之余切线　甲乙边定类二十四求乙丙边为全数与甲乙边之割线若甲丙边之割线与乙丙边之割线　或全数与甲乙之余若甲丙之余与乙丙之余　甲乙甲丙定类第九设甲乙乙丙两边　二十五求乙角为全数与丙乙边之切线若甲乙边之余切线与乙角之割线　或全数与乙丙边之余切线若

　　甲乙边之切线与乙角之余　甲乙及乙丙定类二十六求丙角为全数与乙丙边之余割线若甲乙边之正与丙角之正　或全数与丙乙边之正若甲乙边之余割线与丙角之余割线　乙角定类二十七求甲丙边为全数与甲乙边之余若乙丙边之割线与甲丙边之割线　或全数与甲乙之割线若乙丙之余与甲丙之余　甲乙及乙丙定类第十设甲丙乙丙两边　二十八求乙角为全数与丙乙边之余割线若甲丙边之正与乙角之正　或全数与乙丙边之正若甲丙边之余割线与乙角之余割线　甲丙边定类

　　二十九求丙角为全数与乙丙边之切线若甲丙边之余切线与丙角之割线　或全数与乙丙边之余切线若甲丙边之切线与丙角之

　　余　甲丙及丙乙定类

　　三十求甲乙边为全数与甲丙边之余若乙丙边之割线与甲乙边之割线　或全数与甲丙边之割线若丙乙边之余与甲乙边之余　甲丙及丙乙定类

　　球上斜角形各边角正等线之比例

　　第一题

　　各角之正与其对边之正皆为同比例

　　若形是直角则借彼第一题为全数【甲】与某角【乙】之正若底弧【乙丙】之正与某角

　　【乙】对边【甲丙】之正则用更理为甲角全数与其对边乙丙若乙角与甲丙或若丙角与甲乙用反理亦然【凡不言某线者皆正也下仿此】

　　若斜角形借相易第五法如丙丁乙形从乙从丁从丙作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其对边为直角因前论甲乙丙角与甲丙边甲乙丁角

　　与甲丁边为同比例合之丙乙丁角之正与丙丁边之正若乙丁丙角之正与乙丙边之正【若戊为直角则戊丁丙角与戊丙边若戊乙丁角与戊乙边合之乙丁丙角与丙乙边若某角与某边或用壬直角其理不异】若甲直角在形外其理亦同　如乙丙甲乙甲丁两角对乙甲乙丁两边乙丁甲乙甲丙两角对甲乙乙丙两边各减共用之甲直角即丙

　　对甲乙乙丁两边丁对甲乙乙丙两边又各减共用之甲乙则丁角之正与乙丙边之正若丙角之正与乙丁边之正乙角与丁丙边同理

　　第二题

　　四率断比例若第一率为全数则全数上方与二三率之矩内形若第一率与第四率

　　解曰甲乙全数线上方【数与线两类相当互解】丙丁丙戊为二三率之矩内方己方形之容与丁戊矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四线为断比例题言甲乙上方与丁戊矩方若甲

　　乙线【一率】与壬线【四率】

　　论曰因防何【六卷十】甲乙壬两率矩内形与丁戊两中率矩内形等或与已方形等即甲乙己壬三线为连比例第一率上方与第二率上方若第一率与三率等【六卷十七】则全数【甲乙】上方与二三率之矩内方【丁丙丙戊矩丙形或已形】若甲乙线【一率】与壬线【四率】

　　系若二三率为切线或割线或正即相乘以全数除之得第四率

　　第三题

　　球上斜角形全数上方形与两腰之正矩内形若两腰间角之矢与两矢之较两矢者其一为底弧【即角对边】之之矢其一为两腰较弧之矢

　　圗説乙丙丁斜角形于乙丙乙丁引长之各满半周遇于戊其极线为戊己乙己为心戊丙乙己为平面上半

　　圈戊丁乙为斜面半

　　圈两半圈各平分于

　　辛于寅作己辛己寅

　　已丙皆半径又作寅

　　辛弧即乙角之弧也其正为寅庚其矢为庚辛又取乙壬弧与乙丁腰等作丁壬小圏之弧次从丁作丁甲从壬作壬甲各为戊乙之垂线则小圏之半径亦为乙丁腰之正【即丁戊弧之正】次从丁作丁酉即丁壬小圏弧之正其矢为酉壬又取丙癸弧与底弧丁丙等又从乙从壬从癸向丙己半径作乙辰壬夘癸午各垂线末从酉向壬夘作酉子垂线

　　解曰乙辰为乙丙小腰之正其矢辰丙寅庚为乙角【亦寅辛弧】之正其矢庚辛午夘为两腰较弧【壬丙】之正其

　　矢夘丙癸午为底【丁丙亦丙

　　癸】之正其矢午丙午

　　夘【酉子同】为两腰较弧【壬丙】之矢【夘丙】与底弧【丁丙或丙癸】

　　之矢【午丙】之较矢丁甲【壬甲同】为乙丁大腰之正题合全数【乙己丙己之类】上方形与乙辰偕壬甲两正矩内形若辛庚【乙角之矢】与两矢之较午夘

　　论曰丁甲酉寅己庚两形相似【酉与庚皆直角甲己两角之腰平行又同在两靣内即等】则寅己全数【辛己同】与庚己若乙丁弧之正丁甲【壬甲同】与酉甲或辛己【寅己同】与庚己若壬甲【丁甲同】与酉甲依防何【五卷十九】之论辛己与辛庚若壬甲与壬酉【全与全两所截取之分比例等则两截取之余分必等】或辛己【全数】与壬甲【乙丁大腰之正】若辛庚【乙角之矢亦寅辛弧之矢】与壬酉【丁壬弧之矢】

　　又乙己辰壬子酉两直角形相似【壬夘乙辰两线平行即壬甲乙三角幷为一形之角而甲壬夘为辰乙己角之余又辰己乙角为乙角之余则与夘壬甲角必等】则乙己【全数】与乙辰【乙丙小腰之正】若壬酉【丁壬弧之矢】与子酉【两矢之较也午夘同】同乘理之法两理【前两比例】之第一率【一辛巳一乙己】相乘得全数上方形两理之第二率【一乙丁大腰之正壬甲一乙丙小腰之正乙辰】相乘得两弧之正矩内形依合理【防何五卷】为若乙角之矢辛庚【一理之第三率】与两矢之较子酉【二理之第四率】

　　系斜角形全数与所得之第四率【第四率者如上题全数为一率两腰之正为二三率用三率法乗除所得则第四率也】若两腰间角之矢与某矢【某矢者两矢之较两矢者一为底弧之矢一为两腰较弧之矢】

　　二系斜角形全数上方形与两角之两正矩内形【或全数与第四率】若两角内边之矢与某矢【某矢者两矢之较两矢者一为边对角之矢一为两角较角之矢】

　　解用第四相易法设角易为边即两弧之

　　正矩内形与两角之正矩内形必等或两腰内角之矢与两角内边之矢必等

　　第四题

　　全数上方形为两腰【或两角】两正矩内形及两腰两余割线矩内形之中率

　　解曰乙【正】与丙【全数】若丙与丁【余割线】如有两正两全数两余割线各以类相乗其形依合理为比例等反之或用余矩内形

　　及正割线矩内形亦同

　　系若两正两余割线各以类相乘【或用余及正割线】以全数除之所得两数亦全数为中率

　　假如乙丙丁形【乙丁边五十四度五十分丁丙边五十八度】求其正其余割线相乘以全数除之从尾截去若干位所存如全数之位则【五十四度五十分之正八一七四八五】

　　【十八度之正八四八○五】相乘得六九三二六三九一四○【五十四度五十分之余割线一二二三二七五十八度之余割线一一七九一八】相乘得一四四二四五五五一八六全数为两数之中率试之一全数上方积为实所得第一率为法除之或用减九数法亦可二系两弧之正余割线互乘所得两数亦全数上方形为中率【或用余正割线理同】

　　如前系一弧之正全数与其余割线作三率连比例为第一理一弧之余割线全数与其正作三率连比例为第二理用合理以两理之第一率相乘得数二三亦如之所得三数之比例与前同理则一弧之正他弧之余割线矩内形全数上方形一弧之余割线他弧之正矩内形为三率连比例形【如前法试之】若三率形皆以全数除之比例如前则一弧之正他弧之余割线相乘以全除之所得为一率全数为二率一弧之余割线他弧之正相乘以全除之所得为三率

　　三系两弧之正切线矩内形两弧之两余切线矩内形亦全数上方形为中率【如图戊正切与己全若丙全与丁余切用合理如前】若三率形皆以全数除之所得三数之比例如前系

　　四系若一弧之正切线乘他弧之余切线或一弧之余切线乘他弧之正切线亦全数上方形为中率若三率形皆以全数除之比例亦然

　　五系一弧之正切线他弧之正矩内形又一弧之余切线他弧之余割线矩内形亦全数上方形为中率【如上系戊正切全数丁余切为连比例反之则丁与丙丙与戊用合理如前】若三率形以全数除之比例亦然

　　六系一弧之余切线他弧之正矩内形一弧之正切线他弧之余割线矩内形亦全数上方为中率七系一弧之正切线他弧之余矩内形一弧之余切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率八系一弧之余切线他弧之余矩内形一弧之正切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率若各三率形各以全数除之比例皆同

　　第五题

　　无直角形从一角向其对边为垂弧分元形为二直角形各直角对边之余若底弧【受垂弧者为底】两分之余解乙丙丁形从丙作丙甲垂弧甲为直角则丙丁弧之余与丙乙弧之余若丁甲之余与甲乙弧之余又两边之割

　　线若两分之割线

　　论曰依前直角形第二题为全【一】与某边之余【二】若他边之余【三】与底之余今用更理二率与一若四率与三以论甲丙丁形则甲丁边之余【一】与全【二】若丙丁【直角形之底即直角之对边】之余【三】与丙甲之余【四】以论甲丙乙形则甲乙【一】与全【二】若丙乙【三】与甲丙【四】此二理平之则甲丁与甲乙【两理之两一率】若丙丁与丙乙【两理之第三率】各弧之余成

　　割线其理皆同【为丙丁边之割线与全若甲丁边之割线与甲丙边之余又丙乙割线与全若甲乙割线与甲丙边之余今用两理平之则一丙丁与一丙乙若三甲丁与三甲乙各弧之割线】第六题

　　垂弧旁两角之正若他两角之余

　　解甲丙丁甲丙乙两角之正若丁乙两角之余又丙上两分角之余割线若丁乙两角之正割线

　　解依直角第三题甲丙丁角之正【一】与全【二】若丁角之余【三】与丙甲边【四】又曰全【一】与甲丙乙角之正【二】若丙甲边之余与乙角之余今以第二理更之为二与一若四与三又以二理平之一与一若三与三则甲丙丁角【一】与甲丙乙角【一】若丁角【三】与乙角【三】又用三题十三系可算割线之比例

　　第七题

　　垂弧旁两弧之余切线若垂弧旁两角之余

　　解丙甲垂弧遇丙丁丙乙两边于丙即丁丙甲角之余切线与甲丙乙角之余切线若丙丁边之余与丙乙边之余

　　用直角第四题依前论试之

　　又两弧之正切线若两角之正割线　亦用四题之系及十三系试之

　　第八题

　　垂弧旁两弧之余割线若垂弧相对两角之正又两弧之正若两角之余割线

　　解丙甲垂弧旁两弧为丙丁丙乙又丙甲垂弧之对角为丁为乙　用直角三题试之

　　第九题

　　垂弧分底为二两分之正若垂弧相对两角之切线又两分之余割线若两角之正切线又两分之正割线若两对边之正切线又两分之余切线若两对角之余切线

　　右各题之理皆从直角形之理出前解已明今不赘

　　斜角形相求约法

　　凡所设为异类【或边与角或角与边】用第五易分两直角形法见前凡形之弧或角过九十度用三四易得相似形其弧不及一象限

　　设三边若二边等即用垂弧分为两直角等形各形有元形之一边有元底之半求其角

　　解丙乙丙丁两弧等丙甲垂弧分乙丁底及乙丙丁角各两平分依圆球原本第一卷二十一题知两形必等

　　若三边各不等求某角有三法

　　其一以本角旁两腰之正相乘以全除之得数名初得数又以两腰之正矢相乘以全除之得数名次得数以次得数与角对边之或相加或相减【解见下文】得数以全乘之以初得数除之得某角之余

　　解凡角之对边大以象限而角之两腰同类【同类者或皆大于象限或皆小】则两数相加【所求之角为钝】角若异类则两数相减其次得数为实【大而受减者为实】则角鋭次得数为法【小而以减者为法】则角钝　凡角之

　　对边小于象限而两腰同类则两数相减其次得数为实即角钝次得数为法即角鋭若异类则两数相加角为鋭角

　　其二角两腰之【余割】线相乗以全除之得初数又两腰之【余】相乗以全除之得次数以次数与角对边之【余】或加或减如前法以所得数乗第一得数以全除之【得角之余】三法用前斜角三题全圗解为全数与一腰之正若他腰之正与初得数又初得数与两矢之较【两矢者两腰较弧之矢及底弧之矢此名次得数】若全数与角之矢

　　球上三角形比类法见宗动天诸问向上诸篇皆先言其理【诸问见本篇八卷】

　　上法之外尚多别法或用实球从球面界画诸圏测之或用平立环浑仪测之或用平浑仪测之或用比例规或用宗动天之象限或用规于平面画圗以缀术算之或先算成各度分之数而列为立成表俱有本书本论本防法然方之前法则踈而不宻故近来厯家舍置不用也

　　古法用数以推步七政必湏句股开平立三乘方等术至繁而易紊用力多而见功少今悉置不用独用乘除简矣此卷中幷除法不用而独用乘法更简也又有加减术幷乘除俱不用然其理必繇乘除而出故先用本卷之法此法既明用之既熟然后用加减取径防焉三角形有三边求角三法假如丙丁边十九度三十分丙戊边十五度五十八分戊丁边十二度九分求戊角　第一法两腰【戊丙戊丁】正【丙戊为二七五○八戊丁】

　　【为二一○四七】相乘以全除之初得五七八九又余相乘以全除之【丙戊为九六一四二丙丁为九七七六○】次得九三九八八丙丁边余为九四二六四比次得数为大【因两腰同类其三为小】即戊角为鋭其较为二七六加五○以初得数除之得四七六七为角之余查表得八十七度十六分　二法两腰余割线【丙戊三六三五三三丙丁四七五一二三】相乗以全除之初得一七一七二二九其余如上法次得九三九八八与第三边余相减得较以较乗初得数以全除之得如前此法更便可免除法　三法两腰正如上两矢较如前解求两腰之较度得三度四十八分其矢为二二一又对边之矢为五七三六两数相减得五五一五为实

　　【得角之矢为九五二三一其度如上新法算书卷九】

　　【十】

　　【三】

　　加五○以初数除之

　　钦定四库全书

　　新法算书卷九十四　　　明　徐光启等　撰测量全义卷八　解正球上大圏相交之度分

　　正球之大圏有三种一为赤道二为斜截赤道之圏【如黄道等】三为直截赤道之圏【直截赤道者截赤道为直角其极如正球之地平圏各处午圏时圏等】三者相交相距是生多种三角形

　　如己甲庚为赤道丁丙寅为黄道相交于丙为斜角戊为己庚赤道圏之一极【极者球面上大圏之心凡分球宜用球体之心体之心不可得而以大圏之心当之故不名心】

　　【名极亦即轴之两端也】从戊极作戊甲乙辛圏辛为赤道之又一极戊甲辛弧截赤道于甲为直角亦截黄道于乙成甲乙丙直角曲线形也此形之乙至丙为黄道之经度丙至甲为赤道之经度乙

　　甲为乙防距赤道之度【即赤道之纬度】丙为赤黄二道之交角乙为过两极圏与黄道之交角甲为过极圏与赤道之交角【即直角】一形有三角三边凡六种先有三可求其余

　　一题凡有两道极相距之度分【交角之度分同】及一道之经度分求其余

　　如丙角为二十三度三十一分三十○秒丙乙为黄道经三十度【如大梁等一宫】求其纬度

　　乙甲【过极圏之一弧】此为直角形有丙角及直角之对边丙乙求其余三

　　一求黄道若干度之赤道纬度【即乙甲边】法【见本篇七卷直角形防法第七设】为全数与丙角之正【三九九一六】若乙丙弧之正【五○○○○】与乙甲弧之正【一九九五七】查得一十一度三十○分四十秒即黄道经三十度之赤道纬度

　　二求正球同升之度甲丙【若甲乙边为正球之地平弧即丙甲丙乙两弧必同出入名正球同升之弧也又若甲乙为子午圏即丙甲丙乙为同过子午圏之两防名虽不同其理无二详见左方】法为全数与丙角之余【九一】

　　【六九○○】若乙丙之正切线【五七七三五】与甲丙边之正切线【五二九三○】查得二十七度五十三分四十三秒

　　三求乙角【即黄道与子午等过极圏之交角】法为全数与乙丙之割线若丙角之余切线与乙角之切线【若知黄白二道交角之度及太隂之本行经度可知其去离南北之度而定食限之度见月离厯及】

　　【本表】

　　用上三法可作两道各度分相距之纬度表又可作每度之同直升表又可作每度与过极圏之交角表三者其用甚大为推歩日食根本又因第一求可定月及五星距黄道之度

　　附同升解

　　黄赤二道交于春秋二分必相截爲两平分若别大圏截两道其交角从本圏之体势直斜不一

　　其一大圏过两道之两极必与两道相交为直角则从两道之交至大圏之交其两道之必等此大圏为极至交圏也因过赤黄两道之极与两道为直角则从春分迄夏至两道之必等为九十度也

　　其二大圏独过一道之两极【如过北极则赤道极也】此大圏与所过极之本圏必相交为直角若与所不过之道则否从春分至过极圏之交所截黄赤两道之必不等【盖两道与过极圏交而作角必有钝有锐为异类故也】而此两道之两【从春分起数】名正球同升或同降之度【正球内升降之度必等盖地平为过极之一圏也欹球则否】亦名同过子午圏之度【盖子午圏亦过赤道之极】

　　如过极圏截黄道大梁初度【去离春分三十经度】截赤道二十八度弱或正球黄道大梁初度与赤道二十八度弱同升同降或同过子午圏反之亦谓正球赤道二十八度弱与黄道三十度同升同降同过子午圏其理皆同若春分迄夏至于黄道第一象限顺数之秋分遡夏至则否用所得赤道升度以减象限所存数又加一象限九十度得黄道某防之正升度

　　如鹑尾初度距秋分三十度从秋分算得赤道同升之度二十八以减夏秋九十度得六十二以加春夏一象限得一百五十二为鹑尾初从春分起与赤道同升之度

　　若秋分迄冬至用所得赤道升度与春秋二象限一百八十度并得黄道从春分至某防之正升度

　　如大火初距秋分三十度从秋分算得升度二十八以加春秋一百八十度得二百○八度爲大火初从春分起与赤道同升之度

　　若从春分遡冬至则用所得赤道升度以减象限得数与春分迄春分三象限二百七十度并得黄道从春分至某防之正升度

　　如娵訾初距春分三十度从春分算得升度二十八以减春夏九十度得六十二以加春分迄春分二百七十二度得三百三十二度为娵訾初从春分起与赤道同升之度

　　其三大圏不过两道之极如欹球地平大圏截黄赤二道皆爲斜角因赤道髙下作角必不等其三角形之腰亦不等则从春分计某地两道同升之两数名欹球同升之度

　　如顺天府赤道约高五十度设大梁初度从地平上升因本法推赤道上之同升度一十八【从春分起数】则大梁初度及赤道一十八度爲某欹球同升之两防

　　若欲定其斜入则倒球取之用彼球之卯当此球之酉用彼球之升爲此球之降则某防为彼球之斜同升即此球之斜同入

　　如顺天府北极出地约四十度有夏至同升之度欲求其同降则用南极出地五十度之彼球以彼球之冬至为此球之夏至则彼球冬至之同升度即此方夏至之同降度

　　巳上言正球有正升度欹球有斜升度此两数相减之较名两升之差

　　如大梁初度之正同升二十八度顺天府大梁初度之斜同升一十八度其较十度即顺天府大梁初度之升差

　　已上所説用浑球解之则易明

　　二题有黄道经纬度求两道交角之度

　　如上有直角之对边乙丙及其旁边甲乙而求丙角求乙角求赤道之甲丙俱用

　　本书七卷十设因设数难定不须详别

　　三题设两道交角之度及黄道某防之纬度而求其防之黄道经度

　　如丙为交角丁甲其对边之纬求丙甲赤道之【见七卷三设】爲全与丙角之余切线

　　若甲丁之切线与甲丙边之正【此即赤道经度凡经纬二数恒相连】求丙丁黄道之为全与丙角之余割线若甲丁边之正与丙丁边之正【丙丁为黄道经即两圏上之两防丁甲恒相对同升于地平同过于子午等圏】求丁交角为全与甲丁边之割线若丙角之正与丁角之正【三角形各形有十设】

　　【各设三求今约取其必用者解之】

　　四题有丙交角【丙恒为交角】及甲丙赤道之求丁角【黄道与过极圏之交角】求丁丙【黄道同升之】求甲丁【黄道上某防之纬度法见七卷第二设】

　　解欹球上大圏相交之度分

　　正球上大圏有三种欹球则有四种地平圏一也天顶圏二也地平左右之次舍侣圏三也日出入之时圏四也与正球之三而七矣七圏者相交相距其理甚繁其用甚大

　　一题有赤道与地平交角之度【子午圏过天顶亦过赤道极则交角之度与极出地平上之余度必等】又有黄道某防之纬若某防或升或降在地平求黄道与地平交角之度

　　如图癸丙甲为地平壬寅戊为赤道丁

　　丙庚为黄道己为二道之交丙爲黄道

　　地平之交从赤道极乙防过丙至赤道

　　上寅防作乙丙寅即丙寅定黄道

　　丙防之纬度丙乙其余也即甲丙乙直角形之丙角为过极圏与地平之交角又丁丙乙爲黄道与过极圏之交角两角并得丁丙甲角　用前正球一题第三求得乙丙丁角【彼云乙角】次甲丙乙形甲乙爲极出地之髙若干度乙丙爲寅丙纬之余度用第九设第二求得之【此问日食算中所必用故详解之仍须作立成表】

　　如有大梁初度【即黄道经三十度为乙丙边】又有两道之交角【丙角二十三度三十一分半】而求过极圏【甲乙】与

　　黄道之交角【乙】法爲全数与乙丙之割线【一一五四三○】若丙角之余切线【二二九七○○】与乙角之切线【二六五一四二】查得六十九度二十分有竒

　　次求甲丙乙角【即前本图上形】爲全数与乙丙边之余割线【大梁初度之纬十一度三十一分其数五○○八六九】若甲乙边之正【如顺天府北极出地三十九度五十分其正六四○五六】与乙角

　　之正【五四三六七】查得三十二度五十六分

　　先得六十九度二十分有竒次得三十二度五十六分并得一百○二度一十六分有竒即本图甲丙丁角之度

　　若巳交角【即黄赤交】与丙【即黄道地平之交】同防即黄道极必在子午圏内或巳爲春交在东则以黄赤距度减赤道高即黄道地平交角之度或巳爲秋交亦在东即以距度加赤道髙或巳为春交在西亦加爲秋交在西亦减【用浑球明之】

　　二题有黄道某防之纬度及北极出地之度求本防出入地平之濶度【濶度者地平之经度各防出入于卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二分出入于正卯正酉若在黄道北六宫出入皆在正卯酉之北若在黄道南六宫出入皆在正卯酉之南】如图丁庚戊爲子午圏丁丙戊为地平庚乙己为赤道交地平于乙辛丙壬为赤道南距等圏交地平于丙从天顶子【地平圏之极】

　　作子甲乙为地平第一经圏乙防即正卯酉此圏分则出入南北之中界也次从赤道极癸作癸丙过极经圏而成甲乙丙直角形形之甲丙边为某防距等圏之纬度甲乙丙角【庚戊也】为赤道出地之度【北极出地之余】甲为直角【从赤道极癸出线而截赤道于甲故也】乙丙爲黄道某防之濶度求法用三设之第三求为全数与乙角之余割线若甲丙边之

　　正与丙乙边之正

　　假如顺天府赤道高五十度五分乙角也

　　其余割线【一三○二二三】甲丙边冬至之纬度也为二十三度三十一分半其正【三九九○二】算得乙丙边之正【五一九六一】查得三十一度一十九分　因乙防为正卯酉癸爲北极则丙在正卯酉之南若夏至理亦同此但丙在正卯酉之北甲乙丙形在地平下而乙角【丁己也】爲赤道入地之度如上图

　　三题有北极出地度及黄道之某防求昼夜长短【即各欹球黄赤道同升之防】

　　解曰凡测时以赤道为主何者日十二时九十六刻终古常然不以冬夏为永短赤道亦半出地上半入地下卯正至午正午正至酉正恒各满一象限不与黄道偕盈缩二相配合则赤道过一宫而爲一时过三度四分度之三而爲一刻故赤道为各种日晷之宗法测时候之公本原也其在欹球独春秋分日赤道一象限恒在午圏地平圏之内两道过子午圏及出入地平常是同防则从午至酉赤道过子午圏而西者为九十度得二十四刻也过此以徃日躔积渐南北昼夜亦积渐永短赤道在午正左

　　右之第九十度亦积渐出地上或入地下则定昼夜分者当求赤道与日躔过极圈交防之度其法从北极过日体作过极圏之一为癸丙甲或癸甲丙定甲赤道之防其赤黄两道之两防庚辛同过子午等圏转浑令辛防到地平如丙即庚防必至甲若太阳在北六宫庚防必过地平如癸丙甲在南六宫庚防必不到地平如癸甲丙此或过或不及之差名两升之差【一是正球过子午圏一是欹球过子午圏】亦谓之昼夜长短之根今欲测辛防从午至入地平之刻分必先定庚甲【庚甲大圏之度与辛丙小圏之度同在癸甲癸庚两过极圏内必等若得庚甲自得辛丙辛丙小圏无法必用庚甲测之】而庚乙必九十度须知甲乙然后或加或减可得甲庚即半昼分倍之得昼夜以加减四十八刻得半夜分

　　如上图甲乙丙形有乙角为赤道与地平之交角有甲丙为某防之距度求甲乙则

　　全数与甲丙边之切线若乙角之余切线与甲乙边之正

　　如甲丙爲冬至之距纬二十三度有竒其切线四三五三○乙角赤道之高五十度有竒其余切线八三四一五算得三六五一一为甲乙边之正查得二十一度二十五分以减九十度得六十八度三十五分算时刻得一十八刻四分【每刻十五分】二十抄【每分六十秒】为顺天府之冬至半昼分倍之得三十六刻○　八分四十○秒为昼长以减九十六刻得五十九刻○六分二十○秒爲夜长　因上法可作诸方半昼分立成表【见别卷】

　　四题有赤道之高及太阳出入之濶度可得黄道本防之纬度亦自有其经度

　　即用上图有乙角爲赤道之高丙乙爲大阳出入之濶求黄道之纬度甲丙亦求欹

　　球同升之差甲乙【见七卷第四设】

　　若有赤道之高及丙角亦可求其余【见七卷第一设】

　　若置半昼分及赤道之高可得黄道本防之纬度及太阳出入之濶度【若半昼分为时刻则以本法易为度分以加减九十度所得数为甲乙边】

　　五题有黄道某防及北极出地之度求欹球同升之度如上图求得黄道某防之正升甲及两升之差甲乙以此两数或相加【在北六宫内】或相减得某地面黄赤两道同升【从春分起算】之两

　　如顺天府析木初度正升为二百三十七度四十八分○七秒其斜升之差为一十八度两数相加得二百五十五度四十八分○七秒则黄道爲二百四十度【从春分起算】赤道弧为二百二十五度四十八分○七秒为本地面两弧同斜升之度

　　若求其同降之度则用黄道上对防求其斜升加一百八十度　如析木之对为实沈求实沈之斜升得三十九度四十九分加一百八十得二百一十九度四十九分即析木偕赤道同降之度

　　升降三类【正球同升一斜球同升二正斜升之差三】其用甚大如定昼夜长短及太阳与某星相距之度及夜以星定时刻之属皆所必须故须详讲之熟习之【另卷有本表及其用免算】

　　六题有极出地之度及赤道之升度【从所近交起算】求黄道同升之经度

　　如图己癸为地平午丙辛为赤道戊丁庚为黄道交地平于乙两道之交成丁丙乙斜角形丁为两道之交角丁丙边为赤道上升度【从所近交起算】丁丙乙为赤道高丁丙癸之余角求黄

　　道弧丁乙其法从丙角作丙甲垂弧分元形为二其甲丙丁形有丁角有丁丙边用直角第四设求丁丙甲角丙甲边丁甲边次于丁丙乙角内减丁丙甲角余甲丙乙角即甲丙乙

　　形有丙角及丙甲边用直角第二设求甲乙以并丁甲得丁乙弧

　　上法为是丁乙黄道在北六宫若在南六宫即丁乙丙

　　斜角形有丁丙边有丁丙两角

　　从乙角作乙甲垂弧分元形为

　　二先于甲乙丁形求甲乙甲丁

　　次甲乙丙形有丙角甲乙边求甲丙以并甲丁得丁丙边

　　七题有极出地之度分多于两道相距之余度分求此地周歳中太阳恒见恒隐之日数

　　解曰正球之赤道及其距等圏皆与地平为直角故昼夜恒等其在欹球极高六十六度半弱【两道距二十三度半强之余度】以下者太阳日日有出入周嵗中日日有昼夜依上第三题求其昼夜分若极高六十六度半弱以上即周嵗中太阳有时恒见不隐每日周遭地平之上有时恒隐不见每日周遭地平之下以法求得其见之日数然此所得者实隠见也又因清蒙之气入恒迟出恒早此为视隠见説见厯指一卷

　　其法以赤道之髙【极出地之余度】当太阳之纬度因纬度求其经度【从春分或秋分起数】取经度之余度【即太阳去离夏至或冬至】倍之约一度为一日得本地太阳恒见恒隠之日数

　　如上图癸己为地平午辛为赤道乙丙为夏至壬庚为冬至乙庚为黄道子丑为两极若太阳在夏至乙从乙转丙丙复转乙

　　不割癸己地平即常见若太阳至丁己距圏从丁转己已复转丁虽切地平于已而不割亦常见假如极出地七十六度赤道髙十四度即以当太阳之十四纬度求经得三十七度二十分其经余五十二度四十分倍之得一百○五度二十分约一度为一日得一百○五十有竒太阳日日周行地平之上并为一昼若太阳躔南六宫则日日周行地平之下并为一夜第因清防之气即视见恒在真见之前视隐恒在真隐之后各有日数因本地之气厚薄以为多寡

　　八题有黄道交子午圏之防及极之髙求黄道之九十度限

　　从地平以上数至黄道之九十度名为黄平象限此推算日食所必需也黄道大圏半恒在地平上半恒在下而黄道极多不在子午圏中故上半周任交于子午圏其九十度限亦多不在子午圏也若极在东则从地平西右数至子午圏黄道之度恒过九十从地平东左数至子午圏黄道之度恒不及九十若极在西则反是故春分前后六宫从冬至迄夏至交于子午则黄平限在东秋分前后六宫从夏至迄冬至交于子午则黄平限在西今所求者此九十度限之一防去离天顶若干度分也其用法详日食本论

　　法有黄道交午圏之防求九十度限即先求正球上在午防之同升赤道防加赤道从午至地平九十度得总数定仪求本地欹球上之黄道同升防于黄道在午至地平数内减九十度得黄道去离地平之九十度限也如大梁初度在午其正同升为赤道二十八度强加九十度得一百一十八度次求本地欹球【顺天府极出地四十度弱】上之黄道同升得鹑火出地平一十一度弱于黄道从午至地平数内减九十度得大梁十一度弱为黄道九十度限在东

　　又如黄道枵初度在午其正同升为赤道三百○二度强加九十得三百九十二【凡度数满全周用其余此三百九十二减三百六十即总数为三十二】次求本地欹球上之斜同升得大梁出地平一十二度于黄道从午至地平数内减九十度得枵一十二度为黄平象限亦在东

　　系有在午之防及九十度限其较为午防至九十度限之黄道一如上第二设九十度限为枵一十二度午上之防为枵初度则其相距为一十二度反之有黄道之出地度求在午之防及九十度限法曰有地平上黄道防求其本地欹球上之赤道同升防减九十度得数求正同升之黄道上度为在午之防又于本防去离地平数内减九十度得黄平象限如大梁初度在地平本欹球之斜同升为一十八度减九十【凡实数小法数大借全周三百六十并而减之】得二百八十八度求其正同升之黄道上度得枵一十七度强为九十度限距午之度

　　又黄道大梁初度在地平于地平距午数内减九十度得枵初度为九十度限

　　九题有黄道交子午圏之防及极之髙求九十度限而不用同升度

　　如图丁丙戊爲子午圏乙甲丁为黄道乙防为某宫某度分丙为天顶甲为九十度限从丙过甲作丙甲己地平经圏成甲乙

　　丙形甲为直角乙爲黄道交于子午圏之角【见正球説有本表】丙乙为黄道某防距天顶之度【若某防系南六宫求其纬以减赤道髙若系北六宫求其纬以加赤道髙各得丙乙】而求甲乙边法为全与乙角之余若丙乙之切线与甲乙之切线【另卷有表又见交食厯】

　　假如乙防是大梁初度则乙角为六十九度二十一分【法见正球四题】其余爲三五二六六其纬一十一度三十分以加赤道髙得六十一度四十分其余为二十八度一十分丙乙也其

　　切线为五三五四五算得一十度四十八分为甲乙弧【上题用同升表一十一度弱今亦用表数云一十度四十八分因上题弃去零数故也】

　　十题有黄道交于子午圏之防及极之髙而求九十度限距天顶之度

　　如前图求丙甲弧法为全与丙乙之正【四七四六○】若乙角之正【九三五七五】与甲丙边之正【四三四一九】算得二十五度四十四分为甲丙弧　因甲庚庚己各九十度则甲己爲庚角之弧其角为黄道截地平之角即上第五题图之丁乙丙角

　　十一题有在地平防之濶度及在午防之距天顶度而求黄平象限距天顶度

　　如前图从天顶丙作地平经初度丙壬黄道截地平于庚成庚甲己形甲己为两直角【丙己经圏过地平之极故己为直角甲分地平上黄道为两平分即过地平之极亦过黄道之极故甲为直角】则相对之两腰必等庚甲九十度庚己亦九十度而壬戊亦自为九十若减同用之壬己即所余庚壬与己戊等己戊弧定甲丙乙角之度故甲丙乙形有丙乙及丙角【或己戊或壬庚濶升度】可得甲丙法为全与濶

　　升度之余若丙乙边之切线与丙甲边之切线

　　十二题有午上之防求在地平防之阔升度

　　即庚壬或己戊或甲丙乙角法为全与丙乙边之余割线若甲乙边之正与丙角之正【或庚壬濶之正】

　　十三题有午正前后时刻之度分【时刻之度分者以时刻易为度分也每四刻为一十五度一刻为三度四十五分刻之一　分为度之四分之一刻之一秒为度之四秒】及太阳之经度求在午之度因求黄平象限度

　　法如时在午前即以太阳经度求其正同升之度减时刻之度得赤道数以求黄道正同升之度即在午之度如太阳躔大梁初度于己正初刻求在午之度即查大梁三十度之正同升为赤道二十八度减去三十度【己正初刻之度】余三百五十八【实少于法借全周】查其正同升之黄道度得娵訾二十八为在午之防次于赤道数加九十得八十八【满全周去之】求本地欹球同升之度得鹑首一十七【零数省文去之】为黄道本球本时出地平之度减去九十度得降娄一十七为黄道九十度限

　　若时在午后则用加法如未正初刻则于二十八度【大梁之正同升】加三十【时度】得赤道五十八查其正同升得实沈初度为在午之防次于赤道五十八加九十得一百四十八度求本欹球之同升得鹑尾五度半为黄道本时本球之出地度减去九十度得实沈五度半为黄道九十度限

　　十四题有太阳躔度及时刻度求太阳地平上之髙度其法有四或太阳在赤道上【春秋分第一圏】或时度过九十【二图】或在北六宫【三图】或在南六宫【四图】

　　第一图己戊丁壬为子午圏戊丙庚为赤道太阳在乙从天顶丁作丁乙甲弧过太阳至地平为直角成甲乙丙直角形此形

　　有乙内边【戊乙时度之余】有丙角【赤道之高度】求甲乙为全与乙丙边之正【己正初至午正既三十度乙丙必六十度其正八六六○三】若丙角之正【顺天府赤道髙五十度则丙角五十度其正七六六○四】与乙甲边之正【六六三四一】算得四十一度四十七分为太阳本时之髙第二图时度过九十即从北极辛作辛乙午交地平于癸成癸午丙三角形午为直角有午丙为时度过九十之较有癸丙午为赤道与地平之交角求午癸边及午癸丙角【午癸丙角】

　　【为过极圏或时圏与地平之交角求法见第七卷直角形之用法】次以午癸与午乙或加或减得癸乙【用二图时度过九十即相减若不过九十者如三图太阳在北六宫即相加如四图太阳在南六宫即相减所并所余皆为癸乙】次乙甲癸形甲为直角有先加减所得之癸乙边有乙【癸甲】角可得太阳之髙乙甲

　　如三图日躔大梁初度其纬得一十一度三十分半乙午也巳正时戊午得三十度即午丙必六十度本地赤道髙戊己五十度○五分【或午丙癸角】次以午丙癸形之午丙六十度丙角五十度○五分求午癸边法为全与午丙之正【八六六○三】若丙角之切

　　线【一一九八八二】与午癸之切线【一○三八五五】算得四十六度○五分【因大梁在北六宫故】次加太阳之纬度一十一度三十一分三十秒得五十七度三十六分三十秒癸乙弧也又于此形求癸角法为全与丙角之余割线【一三○二二三】若午丙弧之正割线【二○○○○○】与癸角之正割线【二六○四一七】算得六十七度二十四分癸角也次癸

　　乙甲形甲为直角有癸角及癸乙边求甲乙法为全与乙癸弧之正【八四四五三】若癸角之正【九二三二一】与甲乙边之正【七七九五二】算得五十一度一十三分甲乙也是为本地本时黄道某度地平上之日轨髙

　　若太阳躔南六宫如双鱼初度其纬亦一十一度三十○分三十秒则如第四图之癸午边减乙午得三十四度三十四分为乙癸边其正【五六七三六】乗癸角之正【九二三四三】得三十一度三十六分

　　十五题有太阳之纬度有日轨髙有极出地度求时刻如上题第一图【太阳乙在赤道】甲乙丙形有日轨髙甲乙有乙丙甲角为赤道高求乙丙边【戊乙之余】法为全与丙角之余割线【丙角五十度○五分】

　　【其余割线一三○一九二】若甲乙弧之正【甲乙日轨髙三十度其正五○○○○】与乙丙之正【六五三二○】算得四十度三十七分乙丙也戊乙其余为四十九度二十三分易为时得午前或午后一十三刻○二分三十二秒

　　又如上题第二三四图用辛丁乙形【太阳在乙】有乙辛为太阳距极度【若乙在北六宫则乙辛为纬度之余若在南六宫则于纬度加九十得乙辛】有丁乙为日轨髙之余

　　度有丁辛为北极距天顶之度【北极髙之余】求辛角【辛为赤道极丁辛乙角之为戊午戊是午正则以戊午定午前后时刻之数】法见第七卷斜角形用法今解之如辛丁为五十度一十分丁乙【日轨髙之余】六十度辛乙八十度【太阳纬午乙十度其余得八十度】法以辛角旁两腰之正相乗【五十度一十分之正七六七九一八十度之正九八四八一】以全除之得【七五六二○】名初得数又以两腰之余相乗【五十度一十分之余六四二七九八十度之余一七三六五】以全除之得【一一○六九】名次得数以次得数与角对边之余【六十度之余为五○○○○】相减【丁乙边小又两腰同类故也】所存

　　【三八九三九】以全乗之以初得数【七五六二○】除之得辛角之余【五一六九○】算得五十八度五十三分易为时得一十五刻一十三分四十二秒

　　又如辛丁丁乙如前而辛乙为一百度【日在南六宫距度十】则以丁辛之正【七六七九一】辛乙之正【九八四九一百度而用八十度之正者大过象限则用其余弧之】相乗得【七五八三一】以全除之为初得数又以两弧之余【丁辛之余为六四○五六辛乙之余为一七三六五】相乗以全除之得【一一一二三】

　　爲次得数以加角对边丁乙之余【丁乙边小又两腰为异类故】得数【六一一二三】加五位为实以初得数为法除之得【八○六○四】为辛角之余查得三十六度一十七分易为时得九刻一十分○八秒

　　如上法或用月之髙求月时则用月之纬度或用星之高求星时则用星之纬度

　　十六题有极出地之高有日轨高及其纬度求地平经度【地平经度者或从卯酉正或从子午正起算皆得】

　　如前图辛丁戊为子午圏丁为天顶丁乙甲为本时日躔【天顶经圏】今求壬甲弧【或壬丁甲角】或甲己弧【或甲丁己角】宜用辛丁乙角形求角

　　列数如上题【丁辛五十度一十分辛乙八十度丁乙六十度】法以辛丁丁乙两弧之正相乗以全除之先得【六六六八六】又两弧之余相乗以全除之次得【三二○二八】加乙辛之余【一七三六五】于次得数共【四九三九三】加五位【以全乗之故】为实以先得数除之得【七四○六即丁角之余】查正表得四十七度四十七分为乙丁戊角【即甲己弧】辛丁乙之余角也辛丁乙系钝角【因对角边乙辛小于九十度两腰为同类故相】

　　【加次得数大于乙辛底之余故所得为钝角】故乙丁戊角之余为四十二度一十三分更加九十度得一百三十二度一十三分为太阳之本顶圏距北向南之度壬甲也【此系太阳在北六宫】亦名地平之经度【造日晷法内用之】

　　又如辛乙为一百一十三度三十一分半【太阳在南六宫躔星纪】丁乙为七十度求丁角法两腰之正相乗【丁辛之正为七六七九一丁乙之正为九三九】

　　【六九】以全除之先得【七二一五八】以两弧之余相乗【丁辛为六四○五六丁乙为三四二○二】以全除之次得【二一九○九】以乙辛之余【三九九○二】加次得数共【六一八一一】加五位为实以先得为法除之得【八五六六六】即丁角之余查得五十八度五十六分为乙丁戊角因丁为钝角【角之对边辛乙大于九十度两腰为同类故相加又次得数小于乙辛底之余故丁为钝角】故加九十得一百四十八度五十六分为辛丁乙角之度【即壬甲弧】是太阳本顶圏距北向南之度

　　若用余角则从南起算巳至甲得三十一度○四分戊丁乙角也【余者一百四十八度五十六分之余】

　　十七题有时度有日轨髙及极出地之度求太阳之纬度又求地平之经度

　　如前图辛乙丁斜角形辛乙边为太阳本日距等圏距北极之度此形有辛角【即戊午弧】时度也有丁辛弧极髙之余也有丁乙弧日轨髙之余也而求太阳距北极之纬度辛乙即如次图从丁角作丁甲垂弧其甲丁辛直角形有丁辛腰辛角求丁甲及甲辛【用七卷直角形第四设二三求】次甲乙丁形先有丁乙今得丁甲求甲乙【用七卷第八设】

　　【之三求】乙甲甲辛并得所求乙辛次求地平经度【乙丁辛角也】则丁辛甲形求甲丁及甲丁辛角又甲乙丁形求甲丁乙角并之得所求乙丁辛角【若辛为钝角即乙丁辛为鋭角若辛为鋭角即乙丁辛为钝角】

　　新法算书卷九十四

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法书卷九十五　　　明　徐光启等　撰测量全义卷九　　测星

　　太阳行度止于黄道带中间一线终古不易故日躔厯中所用止黄道赤道过极天顶地平五大圈而已若恒星及五纬不然各有黄道之纬度【一名广度】恒星则终古不易五纬则随时不同也各有黄道之经度【一名长度】恒星则东行每百年一度二十五分五纬自有其本行也各有赤道之纬度【一名距度】则恒星纬星皆随时不同也各有赤道之经度恒星则为黄道之同升度【或名同过极圏之度非赤道本圏之上度】五纬自有其本行亦皆随时不同也盖二种星四种度其不易者止一恒星之黄道纬余皆时时变易矣欲测经纬各星之本度法用仪器定赤道上之经纬度可推得黄道上之经纬度或先测得黄道上经纬度可推得赤道上经纬度又以法求各欹球上之各星升降时刻见上卷其测星之器之法及行度各论各表见别卷第一题

　　有某星之黄道上经纬度求其赤道上经纬度【星者通称也或恒星或五纬或客星彗孛皆是后论仿此】

　　凡星之经度皆从春分或左或右起算厯家兼用二分葢皆两道之交无纬度但取其距近者为便耳如河鼓中星其黄道经二百九十六度有竒以满全周少六十三度有竒即用春分向右起算为相距未及一象限故黄道分四象限春分迄夏至九十度为一限夏至迄秋分一百八十度为二限秋分迄冬至二百七十度为三限冬至迄春分满三百六十度为四限凡论星之经度先定在黄道某象限之或左或右相距近则易测【图说如左】若论星之纬度或在二道之北或在二道之南或在二道之间【或在黄之南赤之北或在黄之北赤之南】亦如后图

　　图说丁戊庚寅为极至交圏【南北圏过

　　二道二极亦过二至】壬为心戊壬寅为黄道

　　丁壬辛为赤道交于壬为春秋两

　　分戊为夏至寅为冬至已为赤道

　　极庚为黄道极从春壬向夏戊转

　　秋壬至冬寅为四象限之弧也今设一星如乙从黄道极庚【或北极或南极与纬度同理】作象限弧过乙至黄道之子防子乙即黄道上本星之纬度也次从赤道极已过乙作己乙甲象限弧乙甲即赤道距本星之纬度也又定本星经度距交分之度为甲壬今欲求本星之赤道纬度甲乙及其赤道经其法有二一用己庚乙斜角形此形有两极之相距己庚有黄道纬乙子之余弧乙庚有对戊子弧之庚角【庚角之子戊弧即本星距交分之余弧亦即其距至之弧】求乙己庚角【其余乙己午角为甲丁之角即本星赤道上距至之弧】法用七卷

　　第五易以庚己弧引长之从乙作乙午垂弧成乙庚午直角形此形有庚角有庚乙边求午乙又求午庚【二求法见下第一假如】以己庚减午庚得午己次午己乙直角形有午乙有午己求己乙求午己乙午己乙者甲丁弧之角甲丁者所求赤道经壬甲之余弧己乙者所求赤道纬甲乙之余弧也假如乙为句陈大星【西名小熊尾第一】天啓甲子年黄道经为

　　八十三度二十三分壬子也其黄道

　　北纬度为六十六度○二分子乙也

　　因经度不过九十故在第一象限内

　　从春壬向夏戊遇子即从庚过乙作

　　庚乙子象限弧次从北极已【纬度在北】过乙作己乙甲象限弧成己乙庚形此形有乙庚庚己及庚角从乙作乙午垂弧成午乙庚直角形此形有乙庚二十三度五十八分【黄纬之余】有庚角六度三十三分求午乙边法为全与乙庚之正【四○六二一】若庚角之正【一一四○七】与午乙边之正【四五三三】查得二度三十六分又求午庚边法为全与庚角之余【九九三四七】若庚乙之切线【四四四五三】与午庚之切线【四四一六四】查得二十三度四十九分三十秒次以己庚减午庚得午己弧○度一十八分次午己乙形有午乙午己两边求乙己法为全与午己之余【九九九九九】若午乙之余【九九八九七】与乙己之余【九九八九三】查得二度三十九分为句陈大星与己北极之距余八十七度二

　　十一分为本星赤道北之纬度又求

　　午己乙角为全与午己之正【五二四】若午乙之余切线【二二○二一七一】与己角

　　之余切线【一一五三八】查得八十三度二

　　十五分为午己乙角之甲丁弧则甲壬得六度三十五分为本星赤道上之经度

　　又假如乙为南河东星【西名小犬大星】甲子年黄道经度为一百一十○度二十七分三十○秒其南纬度为一十六度○十分因经度过九十故在第二象限内从戊数限

　　外得二十○度二十七分为戊子从

　　黄南极庚作庚子象弧其纬度为子

　　乙因乙星在赤道北从赤北极作己

　　乙甲弧成庚乙己大三角形此形有

　　庚角【子戊也黄道经之余弧】有庚乙边【黄道纬之余弧】又有己庚大弧【庚戊象限九十度戊己为黄道夏至距赤道极六十六度二十八分三十秒得一百五十六度二十八分三十秒】求己乙边及己角从乙角作乙午垂弧在形内【为己庚边过象限又己庚两皆锐角】其庚乙午直角形有庚角有庚乙边求庚午得七十二度四十九分四十○秒又求乙午得一十九

　　度三十三分一十四秒次以午庚减

　　己庚余八十三度三十八分五十○

　　秒为午己次午己乙直角形有己午

　　午乙求己乙得八十四度○一分为

　　赤道纬度之余即纬度甲乙为五度五十九分次求巳角之对弧甲丁得二十一度二十一分三十○秒因在第二象限加九十度得一百一十一度二十一分三十○秒为赤道上经度【加九十度者从壬起算越丁而转至甲故也】

　　或从赤南极巳作己甲乙弧成乙庚己【南极】形乙庚边引

　　长之又从己角作己午垂弧成庚

　　己午形此形有己庚午角与戊庚

　　子角等【相对交角】有己庚【两极之距】求午己

　　午庚两边及午己庚角次午乙己

　　形有午己午乙【午庚庚乙并】求己乙为某星距南极之度【减己甲九十度余为赤道北之纬度甲乙】次求午己乙角内减午己庚角余庚己乙角其对弧甲丁即某星之赤道上经度也假如河鼓中星天啓甲子年黄道经二百九十六度二

　　十八分三十三秒其黄纬为二十九

　　度二十一分三十○秒求赤道上经

　　纬度如图春壬夏戊为黄道初限【九十

　　度】夏戊秋壬为黄道二限【百八十度】秋壬

　　冬寅为黄道三限【二百七十度】冬寅春壬为黄道四限【全周】星之经度二百九十六即在寅壬四限内于经数内减三限【二百七十度】余二十六度二十八分三十三秒为从寅起算至子之经度次从黄北极庚　　至子作庚子象限从子向北计其黄二十九度二十一分三十○秒为子乙次从北极巳过乙作己乙甲象限弧成庚己乙形此形有庚己【黄赤距二十三度三十一分三十○秒】有乙庚【黄度之余六十○度三十八分三十○秒】及己庚乙角【或子庚寅角之余为一百五十三度三十一分三十○秒】用七卷相易法从乙作乙午垂弧至己庚辛弧上成庚乙午直角形有庚乙边有乙庚午角求午乙法为全与庚乙边之正【八七一五七】若庚角之正【四四五七九】与午乙边之正【三八九二三】查得二十二度五十四分三十○秒为乙午边次求庚午法为全与庚角之余【八九四七四】若庚乙之切线【一七七七二三】与午庚之切线【一五九○一四】查得五十七度五

　　十○分加庚己【二十三度三十一分三十○秒】得己

　　午八十一度二十一分三十○秒次

　　乙己午直角形有己午有午乙求己

　　乙法为全与己午之余【一五○二六】若

　　午乙之余【九二一一○九】与己乙之余【一三五四九】查得八十二度一十三分为己乙其余七度四十○分为乙甲是河鼓中星在赤道北之纬度又求乙己午角法为全与午己之正【九八五七○】若午乙之余切线【二三六六三六】与己角之余切线【二三四三二】查得二十三度○八分为己角即甲辛弧为从辛起算之赤道上经度也因在第四限加二百七十度得二百九十三度○八分为河鼔中星之赤道上经度

　　其二法用前图庚子象弧交赤道于丑上下有壬子丑

　　乙甲丑两直角形而求乙甲【乙星之赤道纬】及甲丁【己角之弧星经距至之弧】或甲壬【星距交分之弧】其壬子丑形有子直角有丑壬子角

　　【两道之交角】有壬子边【星黄道距交分之弧】求丑子

　　丑壬及子丑壬角次以乙子丑子或相加或相减【丑在乙子之间则减子在乙丑之间则加】得乙丑次乙丑甲形有甲直角有乙丑边有乙丑甲角【子丑壬之交角】求丑甲加丑壬得乙星赤道上距壬交之经度又求得甲乙为乙星之赤道上纬度

　　如乙为娄中星黄道经三十二度二

　　十六分三十○秒壬子也其北纬九

　　度五十七分子乙也求赤道经纬度

　　其壬子丑形有子直角有壬子【黄道经】

　　及壬角【黄赤距弧】求子丑法为全与子壬之正【五三六四六】若壬角之切线【四三五三三】与子丑之切线【二三三五三】查得一十三度○八分四十○秒次求壬丑法为全与壬角之割线【一○九○六四】若壬子之切线【六三五六一】与丑壬之切线【六九三二一】查得三十四度四十三分五十七秒次求丑角为全与壬角之余割线【二五○五二○】若子丑之割线【一一八四九一】与丑角之割线【二九六八四三】查得七十○度一十八分五十二秒并乙子【星之黄道纬九度五十七分】子丑【本形初求一十三度○八分四十○秒】得二十三度○五分四十○秒又乙丑甲形有乙丑及丑角求乙甲边为全与乙丑之正【三九二二七】若丑角之正【九四一六六】与乙甲之正【三六九六四】查得二十一度四十○分三十○秒赤道之纬度也又求丑甲为全与丑角之余【三三六九一】若乙丑之切线【四二六四一】与丑甲之切线【一四三六五】查得八度一十○分三十○秒以减先得之丑壬余二十六度三十三分二十七秒为本星赤道之经度第二题

　　有某星之赤道上经纬度求其黄道上经纬度

　　如前图用己乙庚形此形有乙己【甲乙赤道纬度之余】有乙己庚角【其余为甲己丁角先有赤道经度壬甲即有甲丁弧或甲己丁角】有己庚【两极距度】求黄道经度之庚角

　　或子戊弧【壬子之余】

　　或用第二法引长乙甲弧交黄道于卯成卯甲壬直角

　　形有壬角【两极距度】有

　　壬甲【赤道经度】求甲卯

　　及甲卯壬角以乙

　　甲甲卯或相加或

　　相减得卯乙次卯乙子形有卯乙有乙卯子角【先为甲卯壬角】求乙子为黄道之纬度亦求卯子壬卯卯子或加或减得壬子为本星距交之黄道经度【星在黄道南北如上图在两道间如下图】第三题

　　有某星黄道赤道上之经纬度求两道之距度

　　法用上图乙己庚形有庚己两角【两道之经度】有庚乙或乙己边求庚己边

　　第四题

　　有某星之黄道经度赤道纬度而求赤道经度黄道纬度法用上图乙己庚形有庚角【黄道经度】有己乙【赤道纬度之余】求己角【赤道经度】及庚乙边【黄道纬度之余】

　　第五题

　　有某星之地平经纬度及极出地之度求其赤道纬度

　　如图丙丁己为子午圏丙壬辛为地

　　平庚为天顶己为北极丁壬为赤道

　　星在乙从己作己戊乙弧定戊乙为

　　星距赤道之度从庚作庚乙甲弧定

　　甲乙为地平之纬度又定甲庚丙角【即甲丙弧】为地平之经度【从南起算】成庚乙己形有己庚边【极出地之余】有乙庚【地平纬之余】有乙庚己角【即甲辛弧之角】求乙己减九十度得戊乙为星距

　　赤道之纬度

　　若有星之赤道纬度及其地平经纬

　　度而求极出地之度如图庚乙己形

　　有己乙乙庚两边有庚角求己庚弧

　　为极距天顶度【即极出地之余】

　　若有赤道上丁防【在子午圏】之经度可知某星之赤道经度如图求乙己庚角其弧为丁戊则以丁防或加或减于丁戊得星之赤道经度

　　第六题

　　有某星之赤道经度地平纬度北极出地之度求时刻【时者赤道过子午圏之平度分也太阳赤道上经度某防过子午圏三十度即成八刻是太阳之时也在星亦然凡星之赤道上经度某防在午正线即为某星之午正时更过三十度即某星之午后八刻若以某星之时刻求太阳之夜时刻即先求太阳及星之赤道上两经度以加减得太阳时刻法见下文】

　　如上图丁戊弧求某星之距午时刻

　　【即庚己乙角】其地平纬度为甲乙即有乙

　　庚赤道纬度为戊乙即有乙己【若星纬向

　　北则以戊乙减戊己九十度若向南则加之各得乙己弧】庚己为

　　本地北极高之余是乙庚己斜角形有三边求己角【本书

　　七卷】

　　法曰庚己乙己为所求角【己】旁之两

　　弧以此两弧之度分相加为总相减

　　为较查总较数之两余若总数过

　　九十即以两余相加不及即相减得数半之为先得数次以乙己己庚相减得较弧求其矢与庚乙边【所求己角之对边】之矢相减存数为实末加五位以先得数而一得己角之矢【即丁戊弧之矢查表得丁戊弧】

　　假如河鼔中星天啓甲子年在赤道北七度五十五分三十○秒乙戊也余乙己必八十二度○四分三十秒地平高三十五度甲乙也余乙庚必五十五度庚己五十○度○十分【顺天府北极距天顶】是庚乙己形有三边而求己角法以所求角【己】之两腰【庚己五十度○十分己乙八十二度○四分】相加得总数【一百三十二度一十四分】相减得较数【三十一度五十四分】查两得数之余【百三十二度一十四分以比半周少四十七度四十六分求其正为六七九八六总数之余也又八四三三九为较数之余】因总数过九十应相加得【一五二三二五】半之为【七六一六二】则先得数也两腰之较弧为三十二度三十○分其矢为【一五六六○】己角对边庚乙之矢为【四二六四二】两矢相减余【二六九四二】为实加末五位以先得数而一得【三六九一一】查得丁戊弧五十○度五十三分变时得三小时二十三分三十○秒若星在午线右则为午后星之本时若在午线左则以减半日十二时得子后星时为八时三十六分三十○秒

　　若有星时求太阳时其法以星之赤道上经度去减太阳之赤道上经度其较为星与日之距度也变为时加减以星之时得太阳之正时若太阳经度小于星之经度亦相减得星日之距但以距度变时加入于星时

　　如图外圏为时刻内圏为赤道设星在

　　鹑火初度【设经为一百二十二度有竒】设太阳在析

　　木初度【设经为二百三十七度有竒】又设星时为己

　　正初刻【午前八刻或子后四十刻】两经相减得日星

　　之距弧丑己变为时

　　若星日俱在东则以

　　星时加入距时为太

　　阳之午前时【如一图】若

　　一在西一在东则以星之时去减于距时得太阳时【如一图】若星日俱在西则以星时加入距时得太阳时【如三图】第七题

　　有某星之赤道纬度及北极出地度求地平上时刻【太阳为昼】法与求太阳之昼时同如图丁壬为赤道己为极星或北或南出入地在乙从已极作己乙截赤道于甲成甲乙壬直角形有

　　甲乙【星之纬度】有甲壬乙角【赤道高弧之角】求甲壬弧若星在北以甲壬加壬丁九十度得星之半昼星在南以甲壬减壬丁得星半昼　若星之近出极纬度小于极出地之度即此星常见不若近入极纬度小于极入地之度即此星常隐不见【满剌加以北则北为出极南为入极】

　　第八题

　　有星之经纬度以定出入之濶度

　　如上图之壬乙边是也

　　反之有某星出入之濶及极出地之高求其纬度及其昼时皆于本图内展转得之

　　第九题

　　有两星同在一天顶圏内测其高若一星有赤道之纬度即可推他星之纬度及两星之赤道经度差

　　如图丙庚辛为子午圏丁壬为赤道

　　巳为极庚为天顶两星一在乙一在

　　子测得甲子甲乙两星之高若知乙

　　星之纬度乙戊可推子星之纬度子

　　丑及两星之经度差丑戊法用庚己乙形有庚己【极高之余】有庚乙【乙星高之余】有乙己【乙星距极之度】三边以求庚乙己角次乙己子形有乙己【乙星距极】有乙子【两星高之差】有己乙子角【庚乙己角之余】求己子边以比九十度其较为子星之纬度又求乙己子角其弧戊丑为两星之经度差

　　若有两星同在一天顶圏内而各有其经纬度可推极出地之度如上图先用子乙己形有子己及己乙【两星纬之余】有己角【两经度之差】求乙角次庚己乙形有己乙庚乙及庚乙己角求庚己为极距天顶之度若先知两星之经纬度又测其高可推恒星之清蒙差但恒星极逺蒙差极微则法须极准极细乃可

　　第十题

　　有两星之地平经纬度【经者距地平南北圏纬者地平上高】若知一星之赤道经纬可推他星之赤道经纬【两星须俱在东或俱在西】

　　图圏如前但从天顶庚作庚子卯象

　　限弧定子星之高卯子【地平纬】亦定子

　　星距北之弧卯辛【地平经】又甲辛弧为

　　乙星距北之经自得卯甲弧【或卯庚甲角】

　　为两星之地平经差　今论先知乙星之赤道经纬则用庚乙己形有庚己边【极距天顶】有庚乙【乙星地平纬之余】有乙己弧【乙星距极】依法求得己庚两角次于乙庚己角用卯庚甲角或加之或减之得子庚己角又己乙弧【乙星过极之圏】交庚卯弧【子星之天顶圏】于酉其庚酉己形有庚己边又得己庚两角依法求得庚酉酉已两边及酉角次酉子己形有酉子【庚子为子星高之余内减庚酉存酉子】有己酉子角【庚酉己角之余】又有酉己边依法求得酉己子角其弧戊丑即两星之经度差又求子已即子星距极之度

　　若先知子则用子庚己形有庚己庚子子己求得己庚两角次于己庚子角加乙庚子角得乙庚己全角次庚乙己形有庚己庚乙及庚角求得乙己边即乙星距极之弧又求庚己乙角以减庚己子角余乙己子角其弧

　　戊丑即两星之经差

　　若一星在午圏上即午己丁己合为

　　一弧不成三角形无从考其度分不

　　用此法

　　若一星在东一星在西即戊己极圏不能割庚卯天顶圏亦不成三角形不用此法

　　第十一题

　　有两星之黄道经纬度求两星之距度

　　如图丙戊为两星己壬为黄道之一弧丁为极己丙为丙星之纬丙丁其余戊壬为戊星之纬戊丁其余己丁壬角为两星之经度差求距度丙戊法以大圏弧聨两星成戊丙丁斜角形有

　　丙丁丁戊两边有丁角次从戊【从丙亦可】作戊甲垂弧依法求得戊甲甲丁又甲丙戊形求丙戊即两星之距【若地球上有两方之经纬度可推其距度如丁为北极丙丁戊丁为北极之两高丙丁戊角为东西里差丙戊为两方大圏上相距之度分以里法二百五十里通之得丙戊斜相距之里】

　　第十二题

　　有两星正午上之高及相距度求其赤道上经度差如图丁为北极己壬为赤道丙戊为两星丙丁戊形有丙丁戊丁为两星距北极之度【正午高之余各加北极距天顶之度得星距北极之度】及丙戊边求丁角

　　法为丁丙丁戊两腰相加得总数相减得较数各求其余若总数过九十者即两余相加不及即相减得数半之为先得数次以两腰弧较之矢及丙戊底之矢相加相减【几底过九十合为总不及九十减为较】所得或总或较为实以先得数为法而一得丁角之矢

　　第十三题

　　有新星【未知其经纬度即恒星亦名新星客星及彗孛同】测得其去两旧星之各距度而先知两旧之经纬度以推新星之经纬度【三星所居之纬度有三类或俱在北或俱在南如一图或一南一北或一南二北一北二南如二图或三距周绕一极如三图言经纬度者或赤道或黄道皆用此葢以二求一其理同也】

　　如一图丁角为极己辛壬为对角之弧丙戊为两旧星乙为新星从丁极作丁丙己丁乙辛丁戊壬三象弧又以大圏弧聨三星如丙乙乙戊戊丙今先求两旧星之弧

　　丙戊用丙戊丁角形有丁丙丁戊两边【两星纬度之余】及丙丁戊角【两星之经度差】依法求丙戊边亦求丙戊丁角次丙乙戊形有三边【先测乙丙乙戊今得丙戊】依法求丙戊乙角末乙戊丁形有戊丁【戊星纬度之余】有乙戊【两星相距之弧】及乙戊丁角【丙戊丁丙戊乙两角并】

　　求乙丁边即新星乙纬度之余又求乙丁戊角【即辛壬弧】先己知己壬弧度分【两星之经度】今得辛壬弧即知辛防所在为乙星之经度差

　　二图用戊乙丙形及丙乙丁形求得如前法

　　三图极在乙戊丙形内【星纬之余小于相距度则近极故极在形内】先用丙

　　戊丁形求丙戊边及丙

　　戊丁角次丙乙戊全形

　　求丙戊乙全角于全角

　　减丁戊丙角得其余丁

　　戊乙角次丁乙戊形求丁角及丁乙边

　　今借用西史旧测一则为例【二北一南】如万厯十九年辛卯太阳近夏至逺西马日诺测北极出地四十五度有竒中西里差一百

　　○二度三十○分用象限仪测火星【荧惑也为乙新星】得其距

　　河鼓中星丙四十四度○三分

　　为丙乙其距心大星戊二十一

　　度五十一分求火星之经纬度

　　法用河鼔中丙本年之经纬度

　　【经为二百九十六度○一分己防是北纬二十九度二十一分丙己是】及心中戊本年之经纬度【经为二百四十四度○五分壬防是南纬四度二十七分戊壬是加丁壬九十度得戊丁】两经相减得较为经差己壬五十一度五十六分【己上用上图己下用下图】次丙戊丁形有丙丁丁戊两边有丁角从丁丙边引长之从戊作甲戊垂弧成戊甲丁直角形求戊甲【全与戊丁之正若丁角之正与戊甲】得四十三度二十○分又求丁甲【全与丁角之余若戊丁之切线与丁甲之切线】得四十七度三十八分次以丁甲丁丙相减余四十六度四十九分甲丙也次丙甲戊直角形有甲丙四十七度有竒有甲戊四十三度有竒求丙戊【全与甲丙之余若甲戊之余与戊丙之余】得六十度○九分次二求丁丙戊角则先求甲丙戊角【全与甲丙之余割线若甲戊之切线与丙角之切线】得五十二度一十八分其余【并上以满半周】一百二十七度四十二分即丁丙戊角【以求丙戊丁角亦同】　次三丙乙戊形【此下复用上图】先有丙乙乙戊【两星距新星之度】今得丙戊边求乙丙戊角【见斜角形本法】以丁丙戊乙丙戊两角相减余乙丙丁为八十九度三十六分三十○秒　次四丁丙乙形有丁丙【六十○度三十九分】丙乙【四十四度○三分】两边及乙丙丁角【八十九度三十】

　　【六分】求乙丁边依法得八十六度○四分四十○秒其余三度三十五分二十○秒为新星之北纬度乙辛又求乙丁丙角得其经度差己辛为二十一度五十四分第十四题

　　有新星求其经纬度不用仪器从本星之四隅取四旧星成十字形可以四星之经纬度推新星之经纬度【法用直边之尺望新星与其相近二星皆切尺边成纵直线次又望三星切尺边成横直线即五星成十字形不论逺近上下前后随其位置以诸三角形推算如下文】

　　如图乙为黄道极【二道俱可推此以黄为例】子辛

　　壬为黄道弧丙丁己庚为旧星戊为

　　新星从乙极过诸星各作象弧为乙

　　丙子乙丁卯乙戊寅乙己辛乙庚壬

　　从乙定各旧星纬度之余子卯为丙丁两星之经差卯寅为丁戊两星之经差寅辛为戊己两星之经差辛壬

　　为己庚两星之经

　　差今求新星戊之

　　经纬度有丙戊庚

　　三星成一直线【即三】

　　【星在一大圏上】从丙戊庚弧引长遇黄道于丑【若星在南则先遇丑】又丁戊己三星成一直线从丁戊己弧引长遇黄道于亥先用丙庚乙形有乙丙【丙星纬之余】有乙庚【庚星纬之余】有丙乙庚角【丙庚两星之经差】求得丙角　次二丁乙己形有丁乙己乙【两星纬之余】及丁乙己角【两星之经度差】求得乙己丁角　次二丙子丑直角形有丙子【丙星之纬】有子丙丑角【乙丙庚角之余】求得丑角【过两星圏遇黄道所作角】　次四求得丑子弧【既知丙星之经度在子防可知黄道上之经差丑子】　次五己亥辛直角形有己角【乙己丁角之余】及己辛【己星之纬】求得亥角　次六又求得亥辛弧【既知己星之经度在辛防可知黄道上之经度亥辛】　次七亥戊丑形有亥丑两角及亥丑弧【知亥丑两防黄道上之经度因知其距度】求得亥戊边　次八亥戊寅直角形有亥角及亥戊边求得亥寅边为戊星黄道上距交防之经度又求得戊寅为戊星之纬度

　　第十五题

　　有过午圏赤道之防及某星地平经纬度求其赤道上经纬度

　　如图戊壬丙为地平丁壬寅为赤道从

　　天顶庚【地平极】作庚乙子象限弧子乙为

　　星之地平纬度子丙为其经度【从北圏丙起算】又从己极作己乙甲象限弧得星距极

　　之弧乙己【纬度之余】成庚乙己形形有庚乙【星地平纬之余】有庚己【极距天顶】有己庚乙角【丙子弧之角】求得己角【赤道弧丁甲之角】即星距午上赤道防之角又求得己乙边为星距极之度即纬度之余

　　第十六题

　　有新星之赤道上纬度【测得午正之高以加减赤道高得纬度】及距一旧星之度【有其经纬度】求新星之经纬度

　　子为旧星乙为新星己为赤道极辛丙为赤道弧其己乙子形有己子【旧星纬之余】有己乙【新星纬之余】及乙子【两星之距度】求得己角为新

　　星赤道上距子星之经度差

　　第十七题

　　一新星两旧星作直线若测得新星距一旧星之度可推新星之经纬度

　　丁丙为二旧星乙为新星己丁丙形有己丁己丙两边及丙己丁角【两旧星之经度差】求得丁丙边及己丁丙角又己丁乙形有己丁

　　丁乙【即丁丙丙乙】求己乙边即新星纬度之余又求丁己乙角即辛庚弧为乙丁两星之经度差

　　新法算书卷九十五

　　钦定四库全书

　　新法算书卷九十六　　明　徐光启等　撰测量全义卷十　　仪器图说

　　古三直游仪第一【西古多禄某所造以测七政地平上髙度与下丈六环仪皆彼中之鼻祖后来増修其术渐趋巧便然非古莫因故并存之】

　　铸铜为方柱名旋柱【或铁或木皆可权用】髙五六尺广厚各二寸【更大更小任意作之】下端有轴为台或架以入轴【台架或铜铁木石或定或移任意作之】左右旋转令可周窥也上施垂线线末繋之垂权取正焉别造一直衡曰窥衡衡之长畧与柱等其广其厚减三分之一衡首为小圆形形之心横穿圆孔为枢以合于柱之上端左旁令可髙下游移也衡之下面从枢心中出直线名曰指线衡之末向下斜剡之为鋭边合

　　于指线以指定度分衡之上面两端不尽二寸许各设一通光耳耳各作二孔一小一大相等相向直列之两孔相连之直线为指线上之垂线【窥衡或名窥管通光耳或名窥表通用】柱有二枢上枢合于衡之上端下枢与上枢相去如窥衡之长【凡言长者皆以枢心衡末之一防为度不论全体】

　　别造一直尺曰尺尺之长与衡之长如七与五方广与衡等尺之一端亦为小圆形形之心横穿圆孔以合于柱之下枢尺之上面从枢心出直线亦名曰指线三物合之成一三角形独衡与尺之末恒相离也又欲其恒相切也则于旋柱之上横穿圆孔轴贯其中轴之两端各加辘轳系防于尺引从辘轳而下末加铅坠以挂尺令窥衡之锐边与尺之面恒相切

　　分尺法干设旋柱之两枢间若干尺当为一百平分或一千平分【柱恒为全数不必分度分度者尺耳此言设分者何也柱之长与窥衡等则窥衡亦恒为全数此两者恒为三角形之两腰尺恒为底用之则两腰准周天之半径尺截分之外想见为一截弧而尺所得分恒为其截弧之通】尺之上截一度与枢间等亦百平分或千平分之【必用全数者以便推算若一分中或二或三四五六任为小分】从尺之枢心起数元度百千分之外有余地依前度分之尽尺而止

　　用法　三物既成三角形又左右上下斡运俯仰可以旋观徧测用以求日月星辰之髙度先转柱令衡与尺皆正向所测防【凡测皆言防者星止一防日月虽大亦测其中心一防】举衡尺上下移就之令日月光从通光前耳两窍中透照后耳之两窍则本防与窥衡相叅直若测星则目从后耳窍中透前耳之窍而窥见星即星与衡相叅直次视窥衡之末锐所指尺得何度分即某防距天顶之弧之通于八线表查得本弧之度分秒【查法平分通于正表得所当半弧倍之为全弧】

　　论曰如小图甲乙为旋柱甲丙为窥衡其度等乙戊丙

　　为尺甲丙衡上下游移成丙己乙

　　弧乙戊丙尺切甲乙半径于乙切甲

　　丙半径于丙则为乙己丙弧之通

　　有即有弧则乙己丙为丁防距天

　　顶之弧度分以减一象限得地平上之弧度分　按元史所载西域仪象有测验周天星曜之器其説与此畧同而多禄某当汉光武建武间己有之则元人所用亦古法也此器体制颇简造作良易且可合可解最便于四方行测

　　又二法以窥衡当半径为全数以尺之长与全数以内之窥衡等者为通平分通为若干全数【或百千万十万】数之旁依八线表并列其相当度分用时移窥衡就数若干即得其度分若干免查表窥衡与尺宜相连宜相切其法用铜如图作山口山口之空如尺之厚下安螺柱上穿一轴窥衡之末不尽半寸许作孔以入轴入尺于山口以轴关之尺在其空中可进退也用时开螺柱入尺移窥衡向日转螺柱而固之以进退取景而定度分

　　古六环仪第二【亦多禄某所造以测七政经纬度】

　　冶铜为六环外内相次而逓结于黄赤二道之南北极故敛之则自黄道一圈而外皆合为圆平面展之成浑球焉外第一甲圏包括内仪而侧立于半空球之架平分三百六十度从天顶起算南北各去顶一象限即为地平此圏恒定不移以象静天亦名天元子午圏次内二乙为子午圏外规面切甲圏两旁合为平面可以南北移不能左右旋从心出庚辛直线平分圏体线之两端则赤道南北极也各为圆孔以受次内丙圏之轴查本

　　地赤道极出地之度以极线上下游移俾合于甲圏之本度分如顺天府北极出地四十度弱从甲圏地平起上数至四十度以北极切本度分则定为本地之仪故又名载极圏也次内三丙圏平分圏体线之两端各施小轴入于乙圏之庚辛二孔左右环行是为宗赤道极而过冬夏二至名为极至交圏也圏之上去赤道二十三度五十一分【多禄某时两道相距之度后世不然此举其成法故仍之】仍作小圆孔以受内圏之黄道极次内四丁圏平分设壬癸二轴两端出内外规面外入于丙圏内入于戊圏三圏同轴者同宗黄道极也亦同去赤道极二十三度有竒而旋绕环行此圏限黄道之经度容黄道之纬度故名黄道经限圏也本圏去本极前后各九十度设一黄道圏周分十二宫三百六十度其大与丁圏等而纵横置之相交为直角两交之处为冬夏二至从黄极视之为平行从赤极视之则冬南而夏北也去交最远之两防为两分次内五戊圏与丁圏同极亦平分三百六十度为黄道纬度圏次内六已圏切戊圏两切之内外规面一为渠一为牡相入焉可前后移两旁偕为平面若一甲与二乙平分圏设两窥表相向

　　用法　测日躔经度因甲乙圏巳定本方极出地度分转黄道丁圏向日见黄道圏以内无光知仪上黄道必当天上黄道【上弧揜下弧故无光则知日与上弧下弧叅相直】次定仪独转黄纬戊圏纵横加于黄道之下此为黄道极上所出过太阳之圏也此圏以内亦无光查黄道圏得两圏所交某宫某度为本日本时之日躔经度

　　测月与测日同法若月光昧用测星法如左以月测星之黄道上经纬度于日将入时依前法定黄道上之太阳经度又转戊圏以己圏之窥表向月轮令月与二表叅直即得月离经度日入后又转黄道圏以己圏之窥表向月用元定黄道独转戊圏以己圏之窥表向星则戊圏所定黄道一防为星之定经度先有日月之黄道上定经度今有星之定经度可推某星之经度

　　定纬度则以己圏之窥表向星依星或南或北从戊圏上定本星之纬度

　　按此仪与浑仪同法故多禄某依巴谷皆用之不言广袤者自咫尺以至寻丈无不可也但诸圏一一宻切制造匪易时时张翕分秒或爽不若浑仪之一成不易测候为便若狭小制度以供行测则亦未可废耳

　　古象运全仪圗

　　古象运全仪第三【西中古日白耳所造】

　　仪有十二物方版二句股形版四圎盘三半周盘一窥衡二首定置甲乙方版为仪之底名地平版从版心作子午线依本方赤道髙作乙丙丁句股形版二定置子午线之两旁与平行股向南更作乙戊方版定置句股版之上与底版相切于乙以铰具聨之作角为本方赤道距地平之角

　　次于赤道版上亦依地平版作子年线平分子午为心版边为界作圏圈一寸以内更作一同心圈两圏间平

　　分三百六十度从子午起算版之心立枢轴与版为直角贯以庚己游盘盘之大与内圏等盘中作两径线盘周分十二宫盘边之外依冬至线作度指以定赤道经度是名赤道盘

　　赤道游盘上定置辛壬句股版二其角二十三度三十○分【两道相距之度】与两至线平行股向夏至

　　次于辛壬句股版之上定置辛癸圆盘是名黄道盘周分十二宫三百六十度从两道之极远处起数为夏至从盘心立枢轴与盘面为直角贯以丑寅窥衡衡之两端各设一窥表

　　窥衡之上定立卯辰等四柱【或侧板】与衡为直角附柱侧立己午定圏平分三百六十度从本圏之横径起数其直径线为黄道之垂线是名黄道纬圏圏之心立枢轴与圏为直角贯以未申窥衡衡之两端各设一窥表未申之上各定置一短横柱与衡为直角曰未酉曰申戌两柱之端各穿圆窍别作一方衡两端为圆枘贯入窍中方衡之上定置一半周盘平分百八十度因酉戌轴之利转恒下垂也半周之心出一垂线末系垂权据此仪物以配象则甲乙平版地平也乙戊欹版赤道也若运赤道盘必挈黄道盘以上与偕行于时辛壬股在南者即黄道盘政当天上之夏至午正时若辛壬股在北者即黄道盘政当天上之冬至午正时黄道纬圏偕丑寅衡同转即定黄道之经度若以未申衡向某星即定黄道之纬度【纬圏之直径与黄道盘为直角横径为平行则平行径之上之下可定黄道之南北纬度】因以垂线所至定此星出地平之髙测地平上之髙度转丑寅衡或未申衡向日与叅直视权线所至去离半周径之度即日躔距天顶之度测月若星亦如之

　　测日躔经度运赤道盘至黄道盘之上下面俱无光此为日与盘之上下弧叅直也定黄道盘独转丑寅衡至纬圏之前后面俱无光此为日与圏之上下弧叅直也即丑寅衡所指黄道之某宫度是本时之日躔经度测星之经纬度因日月光再测如前仪法

　　按此仪重规叠矩纒连累积测候所须亦略备矣第其展转欹倾崔嵬摇飏体过大则作用俱艰体或小则分数未宻故后来名厯姑舍是焉

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷九十六>

　　古弧矢仪第四

　　仪有七物干一衡一管一窥表四干之长约六尺方广各七分冶铜为之【或用铁若用木则加大】衡之长当干之长二十分之九方广减于干四之一干与衡各先为一管四分衡之长以其一为管之长管之空干与干等衡与衡等入之宻而不濇则甘苦衷也既成干管置下衡管置上各以其一端纵横相切镕金合之【如图】干管之上端加窥表一【此表止一方铜版不作窍下同】横之两端各定置一窥表别作一游表加于衡可离可合转移用之两管之旁各作螺柱每移管至其所欲至则旋螺而止之

　　分法　横之一面二百平分之【或二千平分用比例规尤便】用元度以加于干之同方面四百平分之从一端起算则为干首末位所加为干尾尾有余地亦用元度分之尽干而止干与衡之数遇十百皆刻而识之

　　干之一面既为平分其对面则以度分分之分度法有二一法作版与干等长广为衡之半【用几亦可】案依长边作长线依衡边【一百】作衡线两线为直角衡线之末为心角为界作象限弧分九十度【若细分度或二或三四五六量用】用尺从心过弧上各度分至长线作短界遇五书识之次依长线上度分移分干面从干首向下起数遇五刻识之干尾亦向上起数则八十【正数】与一十【倒数】七十与二十六十与三十五十与四十四十与五十三十与六十二十与七十一十与八十初分与九十度俱同线其向下度分至八十而止者切线渐远则无数若至九十与衡之上端平行矣故凡切线皆止八十度干长加一二焉二法半衡为全数查八线表各度分之切线数向干之分数面考其相当数之各度分各作度分线刻识之用法　此仪之用有二一以测日月星之髙度距度厯学所用一以测髙深广远地学所用【测地法畧见第三卷増题】今所解者测天之用法也

　　一测日月星之髙度距度法正立干干首居上管加其首贯衡于衡管之中左右出等旋螺固之权防取直次转向所测令衡端之景揜干之分度面视所得度分即日月之距天顶度分以减象限得地平上髙度分论曰如图衡之甲端为心半衡甲乙之百分为半径乙丁干四百为切线甲乙既为横表则甲端之景至干面

　　为戊倒景也此戊景所得实日体下

　　边辛上之景谓之视景若日心庚所

　　出景当从甲至己为正景其较为日

　　体之半径【日体约三十分半之约十五分】则所得距

　　天顶之数应减十五分何者为庚之

　　距顶近于辛也所得地平髙度应加

　　十五分何者庚之距地远于辛也如

　　是为所求之正度分也若用壬癸正

　　表则寅为直景实日体上边子上之

　　视景而日心庚所出正景为丑则所得距天顶之度应加十五分为庚之距远于子故所得地平髙之度应减十五分为庚之髙近于子故【因上论知古来圭表测景未有景符不能定太阳之实髙盖直景失加倒景失减故也然加减各十五分以论圆仪则可若圭上十五分之寅丑差近表愈少远表愈多倒景则反是安所得定数而加减之是知圭表测天实为未确】

　　若横置干以当地平加垂权衡上取直半衡之未景物干得度分为日月之地平髙度分

　　二测星之髙度横置干直置半衡目切干首迁管于衡进退之令干首之角衡首之窥表与星为直线得干

　　面度分为星之地平髙度分

　　向先以衡居干首半衡为全数干上得切线数之推定度分今衡不居干首而居中身何以均为全数干上度均为切线度曰如图乙甲半衡居干首甲丁丙半衡居衡中丙以丁乙直线聨两衡之末成甲丁长

　　方形四皆直角即甲丁乙丙两对角线必等则目在甲从丁测目在丙从乙测依句股法甲丙与丙甲两切线必等而甲丙所当之丙己弧丙甲所当之甲戊弧亦等即与天上之距弧俱相似其余弧庚己辛戊与天上之地平髙弧亦相似

　　三测两星相距之度　欲测甲乙两星之距度用仪倚他物为安目在干首之上角丙向衡首丁表之上边测甲星又向衡中戊表之上边测乙星执管移衡进退之至目与两表两星俱叅直视衡所截干上度分为两星相距度分　若两星相距太远用衡端之丁己而表测之进退衡令两叅直得干度分倍之为两星相距之度分　若星距甚近用游表简衡上数去干面【此不用度分面用平

　　分面】十分置之如前进退测两星令

　　叅直以衡之十分为全数干上所

　　得为切线查表得度分为星距

　　四测日月之径分　衡在干尾日在干首加游表衡上向衡中表左右移测之令目过两表见径之两端俱叅直得两表间之衡上分四而一【干数四百故】即百为全数所得为切线查表得所当分秒为二曜之径分秒问太阳光大目不可正视当用何法可测曰轻云薄露时可测日出入时可测又问日出入时方之午正时其体较大何以得其定分曰日体安得以早晏大小盖出入时因清之气映小为大【论见日躔厯指】人目自讹日体不变也试观近地平两星元测有定距度分其出入时相距之势必甚大于午正时【此星之午正时】然地平周三百六十度两距出入时果大于正中时则徧测地平上一周之星合并距度当较三百六十而赢不赢则安得变两距之度分今以日径之两端当两星星之出入与其正中也无异度分日安得有异分

　　按此仪于地学中用测髙深广远为径捷法若以测天微成乖迕所以然者有数端焉仪体过大即度分宻矣而日景虚淡体小景直即度分不宻一也所分度数或依切线表或以规二法不同皆以直求曲则为异类二也目视两物成两直线来至于目相遇作角其角当在目睛最中之处外轮己非何况轮外干首之角殆非真角角既非真边之比例亦当小异三也目视手运微有振动四也一时用目兼测两星其间度分必难确合五也竿与衡应成直角乃两管交互相合焉保无差差之甚微其失甚钜六也今厯家知此六讹不复施用别作新弧矢仪如左

　　新仪器解

　　天体为立圆面为环周线为弧曲圆与方曲与直则异类也异类相求亘古无相等之率凡圭表弧矢等仪所得度数不能全与天行相当相准致差之根殆非一二【见圭表说揆日订讹右弧矢仪说】是以此等皆属权法而古今名厯大都以圆仪为正用论其殊致畧有四端仪之体正同天体截为度分正合天之度分平仪则否【如圭表测景日髙景短一度得一寸日低景长一度得二三寸】一也圆仪用窥衡窥表景箫等窍止容针通光极细所求分秒毫芒不失平仪不能得此二也圎仪举手得数即是度分平仪尚须立成表推算三也圆仪七政共用一当三四平仪止堪本用四也下文并着圗法以待用器者择焉

　　仪器之用有六一测日月星地平髙之纬度二测地平东西南北之经度三测日月星各两防相距之度分四测日月星赤道上之经度纬度五测日月星黄道上之经度纬度六测定时刻

　　古今仪器造法百变综而论之其形体则大仪胜小仪其材质则铜仪胜铁仪木仪其置顿则恒仪胜游仪何者仪大则分画愈细可得分秒小则每度仅容分许古称若干度半者是也或分四古称半及少半太半者是也或分五则称二十四十是也故曰大胜小也铜仪不受侵蚀永无渝变铁多锈损雕锼更难木多欹斜易致毁折故曰铜胜他材也【或用铜铁杂或用铜木杂随宜造之或杂锡木者则应猝小器易于雕刻亦便屡更皆属权法不堪久用铜亦宜纯黄色须铜多鍮少若出山铜纯赤则起防杂锡则太坚亦不可用】恒仪定方向置之永久不易恒与天行相准游仪动荡得数未真故曰恒胜游也

　　诸仪为用皆以求七政恒星分画之界域躔离之期限运行之体势其功力所必资者则分与窥其大端也分欲极细欲极均窥欲极宻欲极确此二者厯学之资用仪器之权舆古今名史咸究心焉今先具两公法首端向后诸器悉此取资无烦备载

　　一窥法　窥法之用器有二一曰窥衡一曰窥表窥衡者即古之窥管窥箫也管孔大即测騐未真今欲造一管其孔仅大于黍米或小于芥子长数尺欲以之从上照而得日景以之从下觑而见星体则无法可作故用窥衡焉测日之衡长与仪等广与定度平分其广去其半而不尽其一端所不尽者其长与广之元度等是为衡首衡首之制剡为圆形形之心是为衡之心亦即为仪之心从心出线至于衡之末依半衡之边作一直线名曰指线近衡之两端各立一铜版其形长方广四则髙六可也是名窥表立表与衡之平面为直角表之两面各取中作指线之垂线名曰心线两心线之上去衡面等各作一防是为表心表之近衡心者曰上表上表从心作圆孔最大者无过一分【宁用周尺勿用市尺若仪大孔】

　　【小二表之相去逺日光必淡孔大距远则光愈大非下表可容若仪小则表小孔亦小为距近得光易】其在衡末者曰下表表心不作孔从心作大小数平行距心圏务令上表之孔下表之心俱与指线相直而去衡之平面等髙

　　次剡薄木板为方管三中管之广如衡首之广其长如衡三之二两端之管小于中管其长如中管二之一其广无度既成入之中管宻而不濇可也中管之中相去尺余为螺旋之柱二三以合于衡面小管入于中管出入之各切其所当之表即两表间无容光之隙故三表之总名曰景箫景箫者承上表所受之光束而致之下表也下管之切下表不尽五分刻方孔令从旁得见下表之面用时加管受光因表间之黝黒即下表之受景也真【日体正圆孔圎所受之景亦圎】次令景之圈合表面之距心圏转仪及衡左右下上之必合乃止次视指线之

　　末所当度分即所求之度分

　　若不用衡则从表向仪心之线为指线盖圆仪之弧上所定度分皆宗仪心故

　　测星之窥衡则异前法上表之髙广各若干下表倍之下表之面作方形三线与上表等线外三面作方孔孔之长稍杀于中方之长其广无过一分用时目居下表之后令中方揜星从三孔察上表之同方边各见星即目

　　与两表与星皆叅直　或两表各依心线一左一右各去其四之一令星居两阙间一线之上亦得目与表与星相叅直若不用衡则以圎柱代上表其髙广与之等【用衡者上下两表恒平行不用衡则下表依弧迁而上表不与偕迁即不得为平行代以圎柱则随所至与上表等广不失为平行】表或柱若在大仪宜得一寸以下恐暮夜不可得见也

　　凢仪不用窥衡即为游表置之上以

　　当下表游表之制或用翕版或用螺柱

　　以合于弧如圗甲乙为表版丙丁乙戊

　　二版与甲乙为直角以夹而稍寛戊

　　乙版上别加一刚铁薄版其广与戊乙等其长三倍之己庚两端稍昂起按之则下令两夹入于边弛之复起即庚己两端急合于弧令抱而不脱故庚己名翕版也或不用庚己而于戊乙版心作螺旋之孔为辛以螺柱从下转入之渐转之亦急合于弧

　　一分法　凢平圎面从心出四线四平分之每分为一象限分度者或以全或以一象限其分法有二一旧法一新法旧法用象限平面直角为心弧边为界自外而内作四十五距等平行圏外一圏分九十次内二分八十九次三分八十八次四分八十七如是逓减一分以至四十五弧为四十五分每弧之端识以命弧之数每弧之分遇十遇五各识之加窥衡加权线以架承之用法凡测日月星之髙用权线或窥衡之指线必切一弧之一分　若切外一圏之一分因弧为九十度即所切为所求正度　若切向内某弧之一分则以本弧之若干分为一率以所截某分为二率以九十为三率推第四率得度不尽以六十乘之以本弧分数除之得分又不尽又如前乘之除之得秒又不尽又如前乘之除之得微

　　假如截第二十圏之四十分本弧之分数为七十则七十与四十若九十与某数算得五十一不尽三十　六十乘之七十除之得二十五不尽五十○再乘再除得四十二不尽六十　再乘再除得五十一总之得五十一度二十五分四十二秒五十一微　如取数欲宻如前再乘除之欲简视所余满半收为一不满去之右法有本论有分图本法西儒丁氏所创能于一线所至悉得度分秒微可谓巧思絶人矣然而分圏己繁悉分诸圏则又繁每求一率当乘除数四则又繁埀线所至交于多分遇有二三疑似亦难辨决且仪面平实体质过重以彼材物造为空中之仪岂不倍大故近来名史改用后法焉

　　新法一象限分九十度每度又当为六十分一度之弧不容分矣今以直角为心边为界作弧次内复作一弧两弧相距为五十分半径之一约每两度两弧之间各成甲乙丙丁方形又从心作线六平分之成戊丁庚己

　　等六长方形各形作戊丁等对角线每

　　线十平分之仪大则二十平分之是一

　　小分为六十分度之一一分也或为百

　　二十分度之一三十秒也因戊丁对角

　　线大于丁己弧则其小分亦大于弧上之小分

　　论曰凡直线方形之对角线任为若干分从各分作线与两腰平行必分底而底之分与之分比例等【几何六卷十题】今从心所出之甲丁乙丙两腰非直线形之两腰即

　　甲乙丁丙两底不等或疑以为难用不

　　知仪大弧小【六分度之一五千四百○分象弧之一】以较

　　直线形所差极微或言度数之学在于

　　慎小一秒之差独非差乎曰然姑以数

　　计之则所差者非目所能见亦非推算所及用也试如本书四卷所推半径为十万全周为六二九一五五三百六十度为用六乗之得全周之分弧如丁己者二一六○以除全周得二九一又四之一不尽丁己所得周数也又于半径减五十分之一得九八○○○从心至甲至乙之径也求其周得六三○二八六以二一六○除之得二九六又三之一不尽甲戊所得周数也两数之较五即丁己弧大于甲戊弧之数约为六十分之一则十秒也又各十分之则两小分小大之较一秒也若所求数为一度则最后小分之较三千六百秒之一秒也十度则三万六千秒之一秒也岂目力所及见推算所及用哉

　　新法测髙仪第一　凡六式

　　一式曰象限悬仪作象限直角为心旁一边定置窥表二

　　分弧为九十度又细分如前法从窥表

　　边起算仪心为枢倚柱柱之下端为圆

　　轴以入于架从枢以髙下举从柱以左

　　右旋可周窥也从枢心出垂线加权

　　用测日月星之髙转仪向所测垂线所加度分即距天顶度分【或日月星近地平近天顶仪体过重难举亦可仪中作枢不必定在直角】

　　二式曰平面悬仪作平圎面顶有连环随所在悬之自为垂线从心作横直线为地平周分三百六十度仪小依

　　几何法【三卷二十题】分一百八十每

　　分当二度又六十分之如前法

　　仪周作两平行圏以容度分内

　　弧之上从顶左右各取二十二

　　度半作圎孔各加转表一【或止用一】

　　【表】转表者依表之心线为枘以入于仪周之孔其端外出以螺旋止之仪心为枢贯以窥衡衡之首依指线作度指以取度分

　　衡之末稍短勿及于弧周之表又须订取其重心令左右平【凡物皆有重心以为机轴则易转如衡之枢两端置等重之物订之而平则枢为重心説见造形法】衡首之指线交于内弧之一防作孔亦加转表与仪边之转表同居内弧一线之上也仪边表从心向上每五度十度刻识之至九十度而止若二表则各向上交错并识之

　　用测日月星转衡令两表与某防叅直转表令平行【两表上两孔相对即平行】则度指所当度分为地平上之髙度分如图甲丁为仪上之两表其距天顶等即甲丁线为地

　　平丙乙为窥衡乙为衡首之转

　　表乙从甲向日得光相叅直即

　　丁乙弧为地平上之日轨髙何

　　者丁丙乙为在心分圏角乗丁

　　乙弧丁甲乙为在界负圏角亦

　　乗丁乙弧几何言两角所乗之弧等则分圏角倍大于负圏角【三卷二十】今丁乙为六十度弧【三百六十分之】即丁丙乙为六十度之角丁丙乙半之即三十度之角【甲防止论负圏不论在分圏角之内外】元分周以一百八十度今从丁起算至乙得三十度是丁甲乙角之弧【元设以二当一】

　　三式曰象限立运仪造象限分度如前法订取重心置轴

　　与立边平行轴之两端加以铁枢

　　上下各以架受枢平边在上加窥

　　衡权线如常法下架有立柱柱之

　　端为铁环以承下枢环之径三倍

　　于枢之径环之三面各加螺柱横

　　入于环出入展缩以进退枢令就合于垂线也

　　四式曰象限座正仪如前造象限纵横木为架架底之四

　　隅加螺柱三展缩髙下以取平令合于

　　垂线

　　五式曰象限大仪木造大象限锻铜为分弧之边为窥衡之面为表半径长十尺以外细分弧可得至十秒此仪体质重大运动惟艰可依正子午线倚台墙定置之以测日月星午正时之赤道纬度

　　六式曰三直游仪见旧法第一章

　　新法地平经纬仪第二　凡一式

　　地平经度者分地平圏为三百六十从天顶向各度作一百八十过心大圏以限地平之经度容地平之纬度也从午正向东向西各起算或从北从东西皆可仪法作全圏循周为渠以注水【或用准平之器】弧分三百六十度每度任细分之中心为圎孔定置之去地二尺余与地平平行承以六础或以台架

　　别作象限其半径与平圏之全径等平分其径与平边为直角而傅之轴轴之下端入于平圏之孔即象限侧

　　立于平圏之上相与为直角而环行不滞可周窥也平边之下依正线【过平圏心之线亦过轴心之线】为衡左右出其一端居仪之背立斜柱以支仪一端居仪面作指线为度指以取平圏之度其窥衡等如前法

　　用法定仪依子午线取正水准取平【求子午线诸法见厯指一卷指南针此地徧东无定度难可为据】测日或星【各用本测窥表】转象仪向本防升降窥衡取叅直即得地平上之髙为纬度度指所当平弧之度分距子午或卯酉为地平之经度依此经纬度可推赤道经纬度可推日月五星之视差地半经差清气差等

　　详论造法为移动之仪宜三足足下以螺柱取平　大仪难运则其底切地盘处加两辘轳之轴　仪髙恐摇不直则长其轴上切于仪背下入于架之底架之底为铁窽以承之轴欲粗或仪背作一句股形其股切仪其句合于地盘枎柱以取直也　窥衡欲广欲厚细而薄则挠而不直以定髙下前后不相应衡之末为钩以止之仪之后螺旋以固之　窥表宜为二具一测日一测星

　　新法距度仪第三　凡三式

　　测日月星两防相距别有二法一同时测两防之地平经纬度以推其相距度一用赤道仪求其赤道上经纬度以推距度俱见本书第六卷今用仪器三式测得之省算

　　弧矢新仪圗

　　一式曰弧矢新仪畧如旧式一干二衡干长四五尺大衡之长与之等小衡之长为干二之一平分两衡之中而为凿干之两端俱为方枘入之各左右为支柱凡四支柱之两端各以两螺柱固之不用可解而散也凡螺柱十六两衡之交于干也左右各为直角前后各为平面干与衡之方广用木则三四寸用铜铁则周尺一寸以下其表小衡上有三皆圆柱定置之大衡二一定一游分法干之一面为一百平分或一千平分仍以元度分大衡【细分可用对角线如前分法】其对面则依前旧仪法分度数干之度数从干首起算干首者近大衡之一端也衡之度数从衡心起算左右分列之

　　小衡之分用切线之数左右分列之各至十度而止小衡之定表三中一左右各一皆圎柱也【表之径线合十度之线】别作窥表二则于大衡之上游移用之又定置一窥表居大衡之心仪之全体订取其重心以为仪心刻识之为架以承仪架有柱为山口以合于仪心螺旋固之柱与架为三运之枢轴左之右之髙之下之平之侧之惟所用之【三运之法山口之下为横轴以髙下运横轴之下为鹤膝以平侧运鹤膝之下为立轴以左右运又名六合之纽】

　　用法测两星相距置仪于架一人从大横之中表过小中表窥某星叅直定仪一人用游表于大衡之上进退之过小中表窥他星令叅直次取大中表至游表之指线所定度分即两星之距度分

　　若两星太近难容并测则一人置游表于大衡之左十度向小左表对某星一人置游表于大衡之右向小中表游移之与他星取直则大衡心至右表之度分为两星之距度分何者左两表之视线与中两表平行两线与右表之视线各作角必等

　　若两星距远过仪之度限非前法可测则置游表于大衡之左十度一人从大左表向小右表一人用大右表游移向小左表交测之得大衡之两表距以加小衡之两表距【定为二十度】为两星相距远之度

　　解曰甲乙为干丙乙己为大衡丁甲戊为小衡甲丁乙丙各十度己为游表目从丙【大左表】过戊【小右表】见星作丙戊视线从己【大右表】过丁【小左表】见星作己丁视线两视线遇于庚成丙庚己角即两星相距之角何者试从丙作

　　丙丁线与甲乙平行成丙丁戊形丁

　　戊为丙角之切线【定为二十度角】又成丙丁

　　己角丙己其切线则丁为大衡两表

　　之距度角而丙丁两角之度并之为

　　丁戊丙己两线之数夫己庚丙角为丁庚丙三角形之外角必与丁丙两对角等【几何一卷十六】故曰丙己丁戊两线数并为两星相距度者丙庚己角也

　　二式曰弩仪仪一干一弧干之长为弧之半径弧之通其长与干等左右为支柱各一弧之中设定表一旁用

　　游表各一干之末弧之心

　　也定置窥表一两人并测

　　如上法

　　三式曰纪限仪【纪限者六十度也】其弧为全圏六分之一两旁各作一半径成三角等腰杂形以坚木为之中多説輄纵横以为固锻铜加于弧之边依法作细度分弧之心测星用圎柱测日用窥表更置之弧上设两游表订取重

　　心依重心为三运之枢以架

　　承之或以台承之

　　用法一人从弧上一表过圆

　　柱见某星一人从他表过圆

　　柱见他星两游表间度分为

　　星距度分　　　三运法仪背加两环圆轴入之又依

　　圆轴为径作半周圈架心立圆柱可

　　周转柱上为山口以容周与径容周

　　之处空而利转容径之处为小圆轴

　　以聨之三运处宁苦无甘寛则难定也

　　新法赤道经纬仪第四　凡二式

　　测赤道纬度别法星在正午圏测其地平纬度【即地平上髙】得数内减赤道髙度为某星之赤道纬度若星在天顶北测其北髙内减北极髙度为星距北极之纬度若星在子午圏外则测地平经纬度可推赤道纬度此借法也其本法当用本仪

　　【赤道经纬简仪图】

　　一式曰赤道经纬简仪用全周圏一半周圏一全圏之用在其外弧设纵横诸輄以固其内半圏之用在其内防设正斜支柱以安其外当全圏之心而设轴与圏面平行轴之两端为两极设架北髙南下各为圆窍以受极其髙下之较本地北极出地之度分也是为过极经圏半圏者仰仪也内防向上斜置之为赤道之地下半周与全圏为直角转全圏则切其内防面而过之分法全圏从极起算又从赤道起算交互识之半圏从子午线起算分识之全圏之上设游表轴之心设柱表如前图甲乙丙丁为全圏甲丙为两极乙戊丁为赤道乙己丁为半圏庚辛为架底于庚辛架上从癸别作一横底两端立柱以承半圏之丁乙定置之半圏之己亦定置于元架之壬转全圏则乙戊丁赤道切半圏环行用法转仪用游表左右进退过柱表而见星即从弧上行星距赤道南北之纬度分或距北极之纬度分又全圏切半圏得赤道上星距子午圏之经度差

　　赤道经纬全仪图

　　二式曰赤道经纬全仪用四全圏外第一甲圏分三百六十度如本方北极出地之度斜入于半圏之架定置之是为子午圏次内二乙圏乙之外规面与甲之内规面宻相切而结于南北两极是为过极圏亦名载赤道圏次三丙是为赤道圏纵横合于乙圏两交处皆作直角又各作凹以相入令两圏之内外皆为平面也次内四丁亦结于两极为过极圏以容赤道之纬度又名赤道纬圏与乙丙二圏宻相切两过极圏贯以一轴而合于甲三游圏之各两侧面皆依法为细度分亦作游表数

　　具于各弧之上游移用之轴心立圎柱表架之上两端准地平以定极出入之度置仪依子午线以取正加垂权以取直

　　凡聚圏为仪欲极圆令规面相切宻而不碍枢轴欲正傅轴勿于规面于侧面轴之心与侧面为一防刻面为半圆而合之加

　　伏以受之何故为度分之界指线所切窥表所及皆在侧面故

　　用法以测两星赤道经度差一人用游表于纬圏向中柱表对星又一人用游表于载赤道圏向中柱对他星即两过极圏所限赤道圏上度分为两星之经度差又两圏上两游表相距度分即两星距赤道南北之纬度分

　　新法黄道经纬仪第五　凡一式

　　黄道经纬度仪与赤道经纬仪畧同用四全圏外第一甲圏斜入于架查本地北极出地度定置之为子午圏次内二乙圏外切甲而结于赤道两极为过极圏距赤极二十三度三十一分三十○秒为黄道极距黄极九十度横置次三丙圏曰黄道圏与过极圏交为斜角【即六十六度二十八分三十秒之角】故乙圏又名载黄道圏也乙丙之交为凹以相入令内外规皆平面次内四丁圏宗黄道极外切于黄道圏是名黄道纬度圏中设黄道轴轴中心立圆

　　柱表作游表用架用权线等与赤道同法

　　用法求某星之黄道经纬度一人于黄道圏上查先得某星之经度分【测黄道度必以显推隠显者为先得之某星隠者为今所求先得之初星必用日月太白逓求之法见恒星厯指】加游表其上过柱表对星定仪又一人用游表于纬圏上过柱表对星游移取直即纬圏上游表之指线定某星之纬度又定仪查黄道圏与某圏相距度分即某星之经度差

　　右黄赤二仪用法详见恒星厯指

　　西史第谷所用仪器总目【附】

　　近四十年前西史第谷覃精星厯四十年中朝夕候验无间寒暑诸方行测不远数千里有门下髙足十余人所用仪器甚多皆酌量古法精加研审多所创造出人意表体制极大分限极精勘验极确尝自选厯器解其造法用法著书一卷近来厯学推为名宿于器于法多宗用之今畧叙其器目如左

　　测髙象限　计六式

　　一式铜版为象限半径一尺五寸中平面刻先儒丁氏分弧法有铁座有立枢有垂权座之四隅有螺柱以取平

　　二式裁铜为二径一弧合成仪中虚则体轻

　　三式冶铜为大象限半径八尺倚墙南向定置之其细分可至五秒用游表测七政过午正度分

　　四式以木为径弧铜版为弧面有游表有枢轴有架旋转周测半径七尺

　　五式铁为象限外有矩度下有地平圏以测地平经纬度其半径八尺

　　各有度分小衡用柱表小弧用游表可测相近两星之距度分下设三运之枢余如常法

　　三式为防仪冶铜为两股长七尺上端为枢心有弧入于股之下端开阖之两腰间加螺旋之弧随弧开阖欲止则以两螺圏固之枢心立柱表弧上设游表

　　黄赤道经纬度仪　计四式

　　一式为赤道简仪一全周一半周径一丈一尺二式为三圈仪即赤道圏载赤道圏子午圏径七尺三式为赤道四圏仪径七尺

　　四式为黄道四圏仪径七尺

　　浑球大仪　计一式

　　作实圆球内木外铜径一丈十年乃成上定各星经纬度诸道诸圏无不备具可量度宗动天之度数球外有子午全圏地平全圏地平纬象限弧等

　　此外有古弧矢平浑环仪等体制既小分数未宻止堪行测不为大用别有图说兹未备载

　　圭表仪【附】

　　用圭表以测日髙见表度说有五题今引用之详见本篇一地球在天之中【云天中者在恒星天宗动之中也七政则否说见厯指】二日轮随本天周动下向地平其环转皆平行故地体之上立表取景亦平行【日有最髙最髙冲不得为平行此之然者以测日髙所差甚防可置弗论耳】

　　三地球小于日轮从日轮下视地球上于一防【若细测细推则地与日有比例有地半径差非大圆仪测候不可得算此聊畧取景不能及此说见厯指】

　　四地本圆体【山髙海深或疑非圆不知髙深甚微如一大圆径数十丈加之一芥损之毫末不害为圆】

　　五表端为地心【以此测恒星则可若日月五星则以地平距地心之半径为差测七政本天距地之度分安得弃而不用乎特所差甚微此姑不用可耳】

　　分表用全数或百分或千分欲得其度分数从八线表取之

　　造表有二法一为直表以取正景表直则为平圭一为横表以取倒景表横则为立圭其法畧同

　　凡圭与表必相与为直角直角者从表末施垂线系以末锐之权下至表面所切圭面之一防即以起算是直角也【取景以表末为主不论表之体势】圭欲极平立圭欲极直平圭者或为渠以水准之或为准平之器以定之立圭则以垂权正之分圭之度即用分表之度圭之长倍表极愈下表当加长量作之

　　日升表前即表后得景则表圭日光成三角形表为股圭为句日光为表为半径全数圭为切线日光为割线【见本书一卷论直角形法】查八线表切线数得度分即日躔天顶度分以减象限得日髙度分

　　按元史言表短则分秒难别表长则景虚而淡又以表端测晷所得者日体上边之景实非中景郭守敬辈创为景符今台官遵用之郭氏此法既得实景复得中景可谓思致通度越前人矣其制以铜叶博二寸长加博之二中穿一窍若针芥然以方閵为跌一端设为机轴令可开阖搘以一端使其势斜倚北髙南下往来迁就于虚景之中窍达日光仅如米许隠然见横梁于中令台官以方木代铜便于旋转以隙缝代圆窍易于得景其理则同

　　或问景符之得实景则从隙孔透光至于圭面不至散越其理甚明矣若用景符而得中景其理谓何曰此属度数家之视学也具有本论今畧借五题解之一曰有光之体自发光必以直线射光至所照之物二曰有光之多体同照光复者必深而各体之本光不乱三曰有大光体中有暗体分光体为二即一光体为有光之两体

　　四曰光体射光过小圆孔若所照不远则光仍如本光体之形

　　五曰两光体各射光过小孔反照之上体之光在下下体之光在上右在左左在右

　　用横梁暗体也分日轮为上下二分即成两光体两体之两光过隙则日上分之光在下下分之光在上横梁在上下之间实得中景塔影倒垂义同于此

　　若不用梁用表末而欲得中景即定用郭氏旧式用圆孔迁就于虚景之中令见半圏之光此半光者必在下弧必在上而其则表末之景也盖日轮半在表末之上半在表末之下而上下相易故

　　新法算书卷九十六

　　钦定四库全书

　　新法算书卷九十七　　明　徐光启等　撰新法厯引

　　厯学维新

　　厯学有法有用法者测各重天之运行体势以审诸曜出入隠现以求本行轨道以定凖则也用者取本法测定之分数随方随时以推步日月五星次舍冲照交食凌犯顺逆等情也二者阙一不可然而立法难矣语云毫厘之差千里之谬在厯学为尤甚中国自汉迄元造厯者七十余軰立法者仅十有三家且皆不免乖违后人难凭致用有谓得一冬至之正时即为密近者非也测冬至之于厯术未及百分之一闻一知百世无其人有谓得一歳实一朔实及转终交终等防为巳定者非也此皆诸曜平行之率何由遽定视行有谓测率四应可以无忒者非也此不过推算平行之界而已有谓多测交食稽其某法先天某法后天而后彚计筹防折中取之者亦非也厯家法数繁用以筭步交食不下四十余条究竟何项何欵可以折中取半者因知古来修改门户虽岐实则互相依傍间有出一二新意亦未必洞晓本元迹其大端犹不过截前至后通计所差加减乘除分各歳之下便谓修改己耳即使仅合一时岂能施诸久逺后惟授时厯庶称精密顾其法亦未尽善在当日已有推食不食食而失推之弊何况沿袭至于今日哉他若囘囘厯者其厯元为西域所定使非中厯先推太阳躔度至春分之日彼亦茫然无据以得支干以合中国所用歳月也况其厯元已厯千年不可复用乎兹惟新法悉本之西洋治厯名家曰多禄某曰亚而封所曰歌白泥曰苐谷四人者盖西国之于厯学师传曹习人自为家而是四家者首为后学之所推重著述既繁测验益密立法致用俱臻至极旅軰采其精详究其奥而又叅以独得发所未发焉更审今测以广古测必求合天年世互考中西名例半皆仍旧合异归同成书已进阙庭新法已行天下用彰昭代厯典度越前古暨质诸来虽亿万年永永不爽云

　　地球

　　地在天之中心常静不动与天相较不啻稊米之于乔岳也其形浑圆古谓方者盖指其徳耳凡居处地球者其视日景之不同分有五带其中则自赤道南北各以二十三度半为限【此即二极出地之髙】名为暖带居其下者午正立表揆日测景必自射南射北顾每歳必有二日其表无景即春秋二分太阳正过其天顶之日也【此指正居赤道下者春秋二分日中无景过春分则景在南过秋分则景在北】此带惟一又于其南其北各自二十三度半外各截至六十六度半为限名为温带其下居南者表景恒射南居北者表景恒射北歳有一日其景极短然太阳则不经其天顶矣此带有二以上三带皆太阳每日有出有入者也又于南北二方自六十六度半外各底其极名为冷带其下或表景周围旋转有日太阳绕其地恒见有日太阳绕其地恒隠隠见之或久至半歳或数月不等此带亦二是为大地共分五带之槩也因此推知距赤道之南北二方其气侯必相反如太阳躔星纪宫向北之方为冬至向南之方为夏至春秋二分以及诸节莫不皆然又因此推知地球为人所止以天顶而分四方亦可界为三百六十度以合天行东西为经测以赤道南北为纬测以子午【规名解见下篇】但测南北者有二极以为之端欲测东西则湏先定一所以为起界【新厯悉以京师为起界他方虽未亲测亦据舆图以定其经纬】而后地之经纬皆可得而明焉苟不谙此则无以知幅相距之数而诸方太阳节气五星经度凌犯交食时刻日食分秒悉无从推步矣【日食南北东西各不同月食分数皆同但东西不同时耳】且不惟是即古测今测歳实之异日出日入昼夜永短之差咸取准于地之纬度所系大矣其可忽诸

　　天道

　　天体浑沦穹然莫辨必也相形酌理判立界限以为依据而后推测之功可施则夫设立诸规以着象数为用甚大且急较为厯家首务也新法总有四大规一曰地平一曰赤道一曰黄道一曰子午四规阙一不可盖地平规者从人足所附极目四望之界而设也人附地靣所可望见者天之半耳其半恒绕于地下人不可得而见也即此可见不可见之界而诸曜由是而出入明暗昼夜由是而分因设此规剖为四象以应四方象各限以九十度是为地平经度而各曜出入之方位以辨矣又自地平上至天顶设距等圈以为地平纬度而各曜渐升之度以明各曜出地离赤道之纬度并北极出地之数皆可得而稽之矣赤道规者从南北二极相距正中之界而设也古曰天行健又曰天左旋左旋而行健则知南北必有其极矣极也者天体永久不动之两防周天倚为环动之枢者也【极非星也云极星者盖指其最近极之星以命耳】如一极出地必一极入地其出入之度惟均厯家乃于二极相距最中之界设有赤道一规平分天体为南北南者为外为阳而北者为内为隂其亘于天中也终古不易推步者毕赖之为准则无容置议也本规列度三百有六十辰十有二刻九十有六天体一日一周之运于是焉纪昼夜刻分之永短于是焉定黄道出入之广狭于是焉齐春秋二分之晷景于是焉限南北纬算于是焉起大地全圆于是焉度凡此皆其用也黄道规者从太阳旋周一歳之界而设也盖太阳行天一歳所周轨迹旋以成规是名黄道本规斜络于赤道其半在南最南界为冬至其半在北最北界为夏至二道相交之两防为春秋分以故四平分之为象限限各九十度者是即二分二至四正之限也总计为三百六十度十二剖之为宫二十四剖之为节气七十二剖之为盖用以节七曜列宿之行用以审日月交食之限至较着也子午规者从诸曜升降度适中之界而设也太阳一日旋天一周见于东方渐升至髙为正午此地平以上东半昼分过午向西渐底地平是为西半昼分乃谓之降他曜皆然于此升降度之中界立有一规名为子午诸曜际此谓为在子在午是规透过赤道及地平各二极其偕赤道地平而交为直角也恒然不动但人在地面南北迁此规惟一东西迁则随在各异也【与地平同】巳上四规各有本用所系非小厯家测欲求七政行度会望等诸法舍此无从措手以此未言象数先以详明诸规为首务也

　　一系赤道有恒动恒不动二用恒不动者以定各方时刻恒动者以相交相割于黄道也俗谓赤道有二者盖即指此二用非实有二道也

　　二系赤道正居天顶则两极适与地平相当至若赤道斜交地平之所则极出地度数即赤道距天顶度数矣其经度即过极圈纬度即距等圈也

　　三系黄道与赤道斜交故其极自有本极谓之黄极黄极者恒星与太阳本行之枢也论二道最逺之距【即南至北至之距】今古不同今测定为天度二十三度三十一分三十秒上古较多数十分后此则渐减矣

　　四系周天诸道用立多规以便测验但其为规也非止旋周一线而已盖一满平圆面也面为各曜之所经行故谓之道某曜在某靣上即谓之在某道云

　　厯元

　　所谓厯元者乃以诸曜之平行同时而求各所厯数厯家因之用为起算之根也新法则以天聪戊辰前太阳过天正冬至后第一子正为厯元其日干则己夘也斯时太阳躔星纪宫初度五十三分太隂在六宫初度五十分他曜皆以此时行度为准不用冬至时刻与旧厯异縁冬至有正有平最难得其真率也夫厯元为诸算先资稍有舛忒即诸行皆谬矣况诸曜终歳细行莫不以子正起筭又安用冬至时刻为哉

　　厯算

　　旧以周天判为三百六十五度又四分度之一所谓日度也盖以太阳之行黄道日一度度析百分分析百秒且又均之分为宫次气法用竒零势难齐一且天度者歳实之日分也中厯所用歳实诸家多寡不等是其分天非一定之术而为游移之法欲以是决定诸曜之行岂不难乎若夫新法之分周天厯度也即于天度以三百六十平剖之度析六十分分析六十秒盖六十者半之则为三十三之一则二十四之一则十五余任剖析皆为自然而然之分往古厯纪未始繁载但于测得之数曰某度几何分之一而巳错综离合其于厯算甚便也请言厯算夫厯之为数祗就天行无假淹贯九章而其所须用者加减乘除开方五法古用觚棱近便珠算西法第资毫頴今复有算筹之创简防尤甚矣所谓加法者以类相比倂多分以成全如度倂度分倂分秒并秒时刻倂时刻是也此湏知定位及进位之法如积六十秒为一分积六十分为一度秒进于分之位分进于度之位而与他度分秒并之若加时刻则以十五分进一刻四刻进一时二十四时进一日二十四西法谓之小时也此加法也减与加反用稽所余其法先湏较数多寡多中减寡理数易明若于少内减多必立借法以通其变如借度化分借分化秒为本类以用之乘法者九九互积之义有实数有法数凡单数乘度分秒不变位若度乘度复生多度分乘分以生秒秒乘秒以生微则皆变位【分秒相生皆指竒零而言】此不可不知也除法者以少剖多分分除减意也为法有二或以单数商除亦不变位苟分度不尽即以余度化分除之分秒亦然开方者以化法求其微数用筹乗除然后再受为度或用三率法亦可是五法者尽厯算矣然而新厯之算诸星经纬及交食等项也盖有二术其一取所图各宿曜本行规之半径幷其所设某日平行【即本圈上之弧】用诸三角形法推演乃可得经纬细行或交食之分数时刻此术最为缜密果能精心于此即诸天周行轨迹隠微防不洞然其二以先所推定诸表握筭设如某日某刻欲求太阳经度则第用加减二法检表二三次以求即可得其宫度较之中厯节气求经朔之法简便数倍余如五星太阴等曜以及交食皆各有表可稽火星兼用乘除他则但资加减立法虽难致用则易然而一趋超径万一操觚小失恐幷迷昧元初之理所以二术不可偏废皆为推步家之所朝夕从事者也

　　勾股

　　勾股之术从来尚矣古九章周髀载之究不过一三边直角形而巳垂线为股横线为勾斜线为测量家立表代股平圭代勾而景为其善斯术者髙深广逺无不可求而测天之为用尤大然而旧法虽有三元五和五较等用不过设二求三且泥于直角一形若遇斜角角无以措用矣新法变而通之既名其公曰三角形又审其平靣球面曲线杂线鋭角钝角之别即知天为圜体宜测以弧宿曜逺近诸道互交宜测以多类之弧遂生多类之三弧形于是各形咸备有三弧三角互设三以求余三是谓以圆齐圆于法为善故虽天道隠微象数零杂未有能遁焉者也

　　割圆

　　割圜古法亦即以圜求圜之意但古法设弧以求矢欵目四十余项颇为艰繁新法易之以表开卷即得盖因圜形之弧与角总代以直线数种稽其数名为八线表云夫圜形半径为本规六平分之通若二半径各自乘之并而开方可得本规四平分之通用几何诸法又可得各度分之通其各弧及其通折半乃得正正弧有弧即有其矢矣故矢不另立表也通之外有切线割线通全在规内切线全在规外线从规心出于规周之外则为割线然而弧有正有余矢切割四者因亦各有正余如一象限为本表之限或于限内取几何度谓为正弧其或逾九十度者即谓之余矣正余各有矢割切四线都为八线也

　　恒星

　　恒星亦名列星亦名经星云恒者谓其象终古不易也云经者以别于五纬南北行之义其数甚伙莫能穷尽就中有光体微非目可及非仪可测者畧而不录其在等第之内已经新法测定者南北二极共一千七百二十有五星稽其大小分为六等第一等大星如五帝座织女类者一十有七二等如帝星开阳类者五十有七三等如太子少衞类者八十有五四等如上将柱使类者三百八十有九五等如上相虎贲类者三百二十有三六等如天皇大帝后宫类者二百九十有五此皆有名之星计共一千一百六十有六余皆无名者矣至于天汉斜络天体古昔多谬解迩来窥以逺镜知是无算小星接攅一带即如积尸气等亦小星攅聚以成第非人目所能辨遂作如是观耳小者不足论论其大者古厯以周天诸星分为三垣二十八宿各定有名位座次每座每宿星数多寡不齐顾其所谓宿者盖取七曜经行止宿之义且用以便测算经度又为其各能主施徳也西古厯亦列二十八舍所定二十八距星皆与中古脗合第觜距西用天闗为小异耳此二十八宿者各以一字命名分注每日之下内以房虚星四宿为属太阳之日心危毕张为属太阴之日此外五纬各属四宿每以七日为期每日各属一宿西厯亦然西经传上古有一大师名诺厄者广宣厯理以遍万国则亦有所本也

　　一系星之命名多系借义非可过泥虚名便谓实有其验比如贯索一星中以其象囹圄名以贯索西以其象冠冕名以冠冕一吉一防全由人意岂天星实然乎至谓诸星情性不同旉施互异是又理所必然不得槩置弗论也故总图于某星属某纬者咸附注之

　　二系图星之法有二一浑球有南北二极有地平子午诸规界判黄赤二道运之能肖天体旋转以审各星经纬度分以辨星中出没以测夜时甚便也一面平图虽乏以上诸用然诸星位置宫度了若视掌为用亦大因有多种之分曰见界图以北极为心其最南隠于地中星极非此方人目可见者则截出之一曰赤道图黄道图二者各以其极为心其道为界盖皆以天之南北平剖为二图者也曰分星图依黄道分天为二十图均赋经纬署以维辰按图指陈天象莫晰于此外有浑盖所用天盘以极为心截冬至规为界亦图星于仪上肖天运动以觇诸星出没升降又有平仪从二极剖天为南六宫北六宫二靣亦绘辰宿可代浑仪旋转至若古传星经图步天歌等虽亦分有宿座便于观览而经纬度分悉皆茫然挂漏于测候无用也

　　星中出没

　　太阳右旋一日一度终歳行天一周必复与某恒星合又必有某星与之冲厯家无从测其合者测得其冲者谓为歳差所从来矣然由本方极出地度恒星有出没者亦有不出不没者如京师北极出地四十度则星距极四十度以外皆为恒见而距南极四十度以内者在京皆不能见矣至论恒星见伏亦由太阳右旋至某宿度附近之星光为日夺故不能见迨太阳去离渐逺则此星光渐升东方见而不伏矣缘是而升至午防即曰中星此其星中出没在立象学为用甚钜而厯家但于中夜资之以定时刻而已

　　日轨

　　太阳之行黄道也论其积歳平分之数新法以天度计为五十九分八秒有竒所谓平行度分是也然平行齐而实行则固非齐矣冬盈而夏缩矣所以然者盖縁黄道圈与日轮天不同心而黄道之心即地球心是日轮天与地球不同心也心既不同则日行距地近逺不等距近即行疾疾则所行之度过于平行而为盈每冬月一日计行一度一分有竒以较平行盈二分矣距逺即行迟迟则所行之度不及平行而为缩每夏月一日计行五十七分有竒以较平行则缩二分矣盈缩相差若此岂可谓之齐乎终歳之间但逢最髙限最卑限二日平实二行度数惟一此外两行之较日日不等新法因其或过或不及也故有加分减分谓之加减差盖以有恒率之平行为根而以加减差定之然后差而不差非齐而齐矣至论太阳之入某宫次以分节气也亦有平实二算盖算平行十五日二十一刻有竒为一节气乃一歳二十四平分之一耳若用躔度之日以算则冬夏不齐冬一节气为十四日八十四刻有竒夏一节气为十五日七十二刻有竒总由夏迟冬疾故其差如此皆非旧厯之所解也

　　系太阳天距地极逺之防谓之最髙极近之防谓之最髙冲【亦名最卑】此二防者乃盈缩二行之界古法于冬夏二至谓其恒在一防其实非也按古今诸测皆各不齐古测最髙在夏至前数度今则在后六度矣以此推知一年之内太阳自行四十五秒也

　　年月

　　纪年者何太阳随列宿东行旋天一周之期也太阳之行界二其一从某宫次度分行天一周而复于元度其数为三百六十五日二十四刻二十一分有竒其一为太阳防于列宿天之某星行天一周而复与元星会但其星每嵗有本行故湏加本行以定歳而其所湏加者新法定为五十一秒所谓歳差也然而日厯纪年惟以全日推算不用小余如以太阳十二次会合太阴为歳也为三百五十四日每二年三年而闰一月中厯是已如以太阳周十二宫次为歳也为三百六十五日每四年而闰一日西厯是已此纪年之槩也纪月有二或因太阴会朔一次以定谓太阴之月或因太阳行一宫次以定谓太阳之月顾其十二分年之一分则一也一月之终分有大尽小尽者比如初朔子正苟二朔者过二十九日外而不及第三十日之子正则谓之小过子正则谓之大大则二朔同一天干小则不同矣故有三十日弱时刻不及者厯家不得名大或二十九日强而时刻巳逾者厯家仍不得名小也且宇内地度不同而月之大小因以互异比如京师第二朔在子初二刻未到子正其月为小而西安此朔则己在子正初刻又当为大尽矣地度愈逺时刻愈差非可强而同之也月有闰者太阳躔一宫之时与月会合二次以成者也其月因无中气故谓之闰但古法置闰用平节气而新法用太阳所躔天度节气故闰有合有否或先后一月不等也

　　昼夜晨昏

　　太阳随宗动天西行一周而复于元界谓之一日东升西降循环无端其在厯家起算判定一界以为依据则恒以太阳在子在午为凖也论从子午起算之日每歳实行度分日日不等差较一刻有余盖縁黄道夏迟冬疾差余四分而黄赤二道又广狭异距则率度必不同分此其所当审者也今论昼夜太阳在地平上人目可得而覩谓之昼太阳渐隐地平之下人目无见则谓之夜是昼夜者全由人居以分随方【极出地若干】随时【太阳躔某宫】其昼夜刻分皆可依法推算焉然而法算与目见恒异盖太阳体大算法皆以体心出地为昼始而人目以一见日轮即为昼始又日出没升降度有斜正不同又地平各曜出没之界受清气有变凡此皆非人目能辨故厯家立有视差法也一昼一夜平分为十二时时各八刻一日十二时共刻九十有六此恒率也其昼夜永短逓迁之故则不但日行南陆北陆不同而已亦由北极出地髙卑互异而永短因焉比如赤道正过天顶之地两极合于地平其昼夜均停絶无永短又极在天顶赤道与地平平行其下昼夜亦无长短之较但太阳百八十日恒见百八十日恒隠耳此外诸方各有永短顾其一歳之中昼夜均停者四日握算者引而伸之据四日之一日逐渐加减因得九十日之昼夜长短随可以推终歳之数也再论晨昏是分昼分夜之二界也太阳将出未出数刻之前其光东发星光渐为所夺是名为晨太阳已入回光返照亦经数刻始逌然灭尽是名为昏其久暂分数亦因冬夏而分短长新法以日在地平下十八度内为晨昏之限但太阳行此十八度又各方各宫不等因有五刻七刻十刻之别若论极髙七十二度以上之处则夏月晨昏相切虽至丙夜无甚黯黑也

　　太阴

　　太阴之行参错不一推歩筹算为力倍艰苟或分秒乖违交食岂能密合故必细审其行度所以然而后可立法致用也盖月较诸曜本旋之外行复多种第一曰平行一日十三度有竒但此行之界凡四一界是从某宫次度分起算此界定而不动二界为本天之最髙此非定界每日自顺天右行七分有竒是月距本天最髙一日为十三度三分有竒也故其平行二十七日三十刻有竒为一周已复于宫次元度又必再行二十三刻有竒为二十七日五十三刻始能及于本天之最髙此行新法谓之月自行中厯于此周谓之转周满一周谓之转终其最髙则行八年有竒而周天谓之月孛三界为黄白二道相交之所所谓正交中交此界亦自有行乃逆行也【自东而西】每日三分有竒则月平行距正交一日为十三度十三分有竒至二十七日二十七刻减交行之一度二十三分得二十七日十五刻有竒月乃回于元界厯谓之交终四界是与太阳去离太阳一日约行一度则太阴距太阳为十二度十分有竒至二十九日五十三刻有竒逐及太阳复与之会厯谓朔防是也凡上四行总归第一平行其第二行曰小轮每一朔内行满轮周二次每日为二十四度有竒【若以不同心圈论此即太阴中距圈也】因有此行复生第二损益加减分云第二者盖于朔朢所用加减分外再加再减故也此行中厯所无以上太阴诸行新法定其轨辙不外三者均圈一不同心圈一小轮一然不同心圈与小轮名异而理实同厯家资以推算两用互推所得之数正等也

　　一系月道惟一古谓月行九道者乃白道正交行及四正阴阳二厯各异命之因有八名加以公名共有九耳非真有九道也白道两交黄道论最逺之距谓为五度此系二厯未甚大差之数新法测得凡朔望外相距皆过五度上下二则为五度一十七分三十秒推知二道相交之角非定而不动者要其广狭之行恒以十五日为限也

　　二系合朔后月夕西见迟疾不一甚有差至三日者其故有三一因月视行度视行为疾叚则疾见迟叚则迟见一因黄道升降或斜或正正必疾见斜必迟见一因白道在纬南纬北凡在阴厯疾见阳厯迟见也此外又有极出地之不同朦胧分与炁差诸异所以迟疾难齐也

　　交食

　　凡日月之行二十九日有竒而东西同度谓之会朔至若日行在黄道近交人视为与日同经同纬是人目与月日相参直而月魄正隔日光于人目则为日食日食者非日失其光光为月掩耳凡太阴距太阳百八十度而正与之冲谓之朢若当冲时月行近于两交必入地景而为闇虚此乃月日同在一线而地居其中间日光为地所阻不能射照月体则月失其光而为月食此日月二食者躔度有恒持筹推步分秒确然而厯家各法之踈密于此更难掩也试言其畧黄白二道相交之二所名正交中交凡日月行及二交为同度同度则有食矣然而论交又湏论限及交而在限内则食限外则不食此不可不审也顾限度诸方不一盖太阳于诸方之地平髙度不同而阴阳二厯之各限亦异论暖带下之地二厯互相受变如白道向南极半周有时在天顶及黄道之中势必反谓为阴厯白道向北半周是时在黄道外势必反谓为阳厯故其下日食之限莫得而定之也他域更近于北必阴厯限多阳厯限少更近于南必阳厯限多阴厯限少比如京师近北约算阳厯八度阴厯二十一度则知日月相会凡在阳厯近二交八度在阴厯近二交二十一度其下必见日食而过此限以往则否即北可以推南莫不以逺近分多寡矣然而二厯食限之度有异者其故盖在月轮月轮比日最近于地而月又小于地人目见月之所又在地靣不在地心故以月天论地平虽天与地球皆为平分直过其心而人在地靣髙所以视天地之两界则似地球与月天非平分也少半在上多半在下而差约一度故以本法推算月己出正地平其于人目所视之地平尚少一度此其较谓之视差盖惟月在天顶正地平与视地平之极皆以一直线合于天顶无有视差过此左右不免有差愈逺天顶愈近地平差必愈甚夫视差无他恒降下月体数十分耳设令日月同度同在近交之南又因同度并在正地平上髙二十度则太阳于视地平为十九度五十八分祗降二分太阴于视地平为十九度直降一度矣而日月二差之较为五十八分故以算论虽二曜同髙同度而人目视之太阴恒下于太阳一度弱不掩日光则不食若二曜在地平上髙七十度则太阳无视差太阴视差止二十分其降于太阳亦止二十分势必相切或至掩数分而成食若二曜在交北又当以太阴算在太阳之上庶因视差所降而掩阳光以为食也顾此二地平之差又分二类一加减交食分数谓之气差一加减时刻谓之时差厯算之艰且剧莫过于此所最当究心者也

　　系日食之全与不全其故有二一由天上之行一由食时地平上髙弧之度故均一食也有见全食者有见食多寡不等者有全不见食者就南北论见食地界设如北京见全食其南北各距四十五度之地为万一千有余里皆见有食然而多寡不等就东西论各距六十度为万五千有余里各见食而分数多寡亦不等焉即月食时刻南北亦有不同而东西为甚也

　　三余

　　三余旧加紫气名为四余亦谓之四隠曜然详求天行实无紫气且絶无当于推步之术故西法弃而不录第取三余一罗防一计都一月孛罗防即白道之正交计都即中交也月道自南遡北以交于黄道之一防此防有本行每日左旋三分有竒而罗防正对之防即为计都盖两规斜络其两交之二防必正相对也月孛是月所行圈极髙极逺之防谓月离于是其行极迟其体见极小盖孛云者指其交转两行相悖之义故其平行右旋每日七分有竒是三防者土木火诸星本圈亦有之名义皆同苐其各行不同耳古厯悉所未谙悉置不推不录新法用算五星之纬故于本厯各详其名数云独惜日者之流以罗计月孛等名皆指为星谓其所躔宿度各有吉凶用以推人禄命不知周天诸道诸防皆人所设以便揆算其行度耳并非实物何与吉凶至紫气一曜或谓生于闰余或谓土木相会或谓古人以是纪直年宿故二十八年而一周天都无义理可考故月离厯指详论其必无是曜也

　　五纬异行

　　土木火金水五曜名为纬星者谓其日有近南近北之行与恒星异也夫五纬之行各有二种其一为本行如填星约三十年行天一周日二分歳星约十二年一周天日五分荧惑将满二年一周天日三十五分太白辰星皆随太阳每年旋天一周各有盈缩各有加减分各有本天之最髙与最冲即其最髙又各有本行论其行界亦分四种非若囘囘厯总一最髙也其二在于本行之外西法称为歳行盖各星会太阳一次成一周也因此歳行之规【亦名小轮】推知各星顺逆留疾诸情故依新法图五纬各有一不同心圈一均圈一小轮凡星在小轮极逺之所必合太阳其行顺而疾其体见小凡在小轮极近之所其行逆而疾其体见大土木火行逆则冲太阳金水行逆夕伏而合行顺晨伏而合其各顺行转逆逆行转顺之两中界为留留非不行乃际于极迟行之所也留叚前后或顺或逆皆有迟行其土木火行逆即冲太阳而金水则否者縁土木火之本天大皆以太阳为心而包地得与太阳冲而金水之本天虽亦以太阳为心而不包地不能冲太阳也金水不能冲太阳而能与之离金离太阳四十八度水离二十四度

　　五纬纬行

　　太阳之行因黄道斜交于赤道故其距赤道之纬南纬北也各二十三度有半以成二至是黄道者太阳之轨迹也太阴本道又斜交于黄道最逺之距为五度以生阴阳二厯五星之道虽相距纬度各异而其斜络黄道则与月道同理故皆借月道诸名名之其两交之所亦谓正交中交其在南在北两半周亦谓阴阳二厯审是而五星纬行庶可详求矣盖各本道外之歳行小轮恒与黄道为平行而又斜交于本道其上半恒在黄本二道中凡星躔于此则减本道之纬其下半恒在本道外星躔于此则加其纬然此小轮之纬向则恒不变如土星三十年行天一周其在正中二交之下必无纬度分十五年恒北十五年恒南耳凡冲太阳因在小轮下半即加本道纬度凡会太阳因在小轮上半即减纬度他星亦犹是也其或行近于地小轮加纬益多太白至夕伏合之际因其近地其纬几及八度矣中厯不谙纬行之原一见金星在纬南北七八九度即詑谓本星失行岂非诬乎又中厯亦有五星南北纬行图亦界以黄道本道似矣但其逆行之迹恒作一斜方形此甚非也五纬不行直线安得方形以此新法图分二种一设人在地仰观天上进退诸行故于上三星冲太阳下二星夕伏时第作一仅似之圆形凡冲太阳如在本道交上则不作圆形即彷佛一之字形而已一各星近逺于地之图要皆旧厯所未谙也

　　五星伏见

　　五星之光与日相较譬犹萤火之于庭燎光本非灭第为大光所夺人莫能睹耳旧厯亦晓此理故用黄道距度以定诸星伏见如谓太阳在降娄初度歳星在十五度即以为见限似矣然而诸星各有纬南纬北之分黄道有正斜升降之势各宫不同何得泥距度以定限乎新法定限惟以地平为主縁地平障蔽日光能使星或伏或见耳夫日之下于地平其光渐杀所谓晨昏此晨昏光之久暂四时不等即防漠等矣而星见时刻又自不等所以然者太阳由黄道而下地平或十度或十五度或至三十度有竒原自不等而星在黄道南相距必多数度在北相距必少数度其限岂可泥乎大畧土木火三星较太阳行迟行后太阳夕伏晨见金水二星顺天东旋较太阳行疾行先太阳晨伏夕见逆行反是其与太阳遇也亦夕伏晨见太阴行较太阳更疾晨伏夕见至于金星之纬不及八度则凡逆行合太阳于寿星大火二宫而其纬又在北七度以上虽与日合其光不伏一日晨夕皆可见之水星之纬惟四度余若其纬向南合太阳于寿星此后去离夕必不见合太阳于降娄此后去离晨必不见金合而不伏水离而不见此二故者浑仪解之他如恒星亦有夕伏晨见者一因黄道之经纬度一因其小大等第即为见伏之限故亦可推也

　　测太阳

　　诸曜森罗太阳其宗主也或推或测必首太阳顾其应测之行不外三种一曰盈缩之限一曰盈缩细行一曰盈初缩末之所中厯之测太阳未尝及此三行即所测止冬夏二至犹未尽善也其法立八尺表用星符器于冬至前后三四日测定三景因以三景之较数求太阳到冬至时刻其法未尝不是所以为未尽善者盖表景短长乃太阳行南行北所生论其近二至之候南北之行极微计一日所行天度有分半者有一分者有半分者乃于冬至近期建表寻丈而其所得二景差为一分二厘【量度则云分秒量景则云丈尺分厘】厘为八刻而此一二厘间相差甚微彼景符曷能定之况景符光线恒占数厘或更稍为进退其失弥甚是恒差数十刻也若测夏至则倍难矣今新法用八线表法查古所遗之数以用于推步庻称密近耳然又不但用表亦时用别法以相济也比如春秋二分太阳之南北行较大日行天度二十四分乃于其前后数日先测极出地度得赤道髙次用象限仪测日轨髙不免相差一分而其于本算日轨入交防时刻则约差四刻耳较之以寻丈表测冬至差厘数而乖违数十刻者岂不大相逺哉且新法于太阳实躔宫度分秒逐日可测而旧法于二至外推步遂穷何也又新法本测曰太阳从春分底立夏行黄道四十五度厯四十六日十刻十分又从立秋底秋分亦四十五度而所厯则四十六日三十八刻十分是逐日刻数不等所谓春行盈秋行缩也故定此盈缩初末之界非在二至防也乃在二至之后六度【古今不同】若如旧法谓恒在二至则是前后行度等也何为所厯之期日刻数不等乎此率古称盈末缩初新法称为最髙因有此最髙遂晰太阳之行为一不同心规也其行迟者在最髙行疾者在最髙之冲此最髙本行亦犹太阴之有月孛云

　　测恒星

　　测星之法不一大要以太阳为主而以太阴或太白或歳星为中次任取某星为界互相测度即得其度法于太阳将入之时测月或太白或歳星其距太阳度分若干日既没再测月或太白或歳星其与某星相距度分若干合两测即得太阳与此星之距然后查太阳本日躔某宫度则知此星所在宫度矣测一星之经度如此他星可以类推于是又测此星出地平之最髙即其距极距赤道之纬度并可得也然而恒星之经纬度分有二其一以黄极为枢每歳东行五十一秒有竒而其距本极之纬度则亘古无变其一则因赤道以算其经纬南北星位古今大异如尧时外屛星全座在赤道南今则在北角宿古在北者今亦在南星纬变易类多如此至以赤道论各宿距度亦有异者如觜宿距星上古为三度厯代逓减今且侵入参宿二十四分他宿互有损益距度各各不同因知赤极非恒星之极而其经纬之度亦非赤道之经纬度分也由是观之象数精微弥测弥明彼自画者流輙谓循古已足岂其然哉

　　测太阴

　　太阴行度所当测定者五一迟疾之限一迟疾初末一月孛行一每日细行一交行五测有一不详月离之违合难齐矣又月有气差时差【即地半径所生】所测之经纬度分于正度分复有相较以此测月于七政中为最难旧厯用表于午正测定三景以求之越四载而得一次测验之时九载而复推定疑太拙矣新法用三会食推算其法以食甚正对太阳得月经度以食甚分秒得距交若干以各食中积时日刻数不等并得天上所行不等度分于是用本法以求月天之孛或最髙【即极迟之行】亦遂得平视二行相较之度以简御繁法莫善于此矣其测上下二经度亦有本法盖乃太阴实距太阳或东或西九十度即周天四分之一也先以本仪测定某限次用法算其平行因其加分恒与所测差二度余赖有二三均数测算乃合又时去离南北所测与算亦较天度差四分之一缘白道斜交黄道相距度分各广狭不同故也至太阴之掩恒星测其出入亦可以知月离度分但湏先以地半径差均之

　　测五纬

　　上三星为土木火与太阳相冲会然于冲会之二时各无歳行加减分縁其会太阳即在歳行圈之最髙而冲之即在其最卑于实行为合故也湏知实行与平行不同平行百千万年维均各星本天各有迟疾【即最髙最卑】然而星合太阳无从可测毎于其冲测之【测其对太阳用恒星各经度或太阳躔度推算】得此冲经度即有中积天度日数及本星随日数之平行而后用此三率以求各星本天最髙之所于是又得其盈缩大差因幷得冲时各星以平行距冬至之界若干矣下二星为金水以其不能冲太阳也测之较难法先于或晨或昏求其与太阳距度者数次然后依法测算即可得其本天诸情也凡歳行之测以二留为本二留之限各星不同即所躔天度亦不同然而星在二留非冲太阳乃折中之度故本之以测歳行也下三星亦然又二留之际因无歳圈纬度故可得其本天之纬其或在日之冲距纬极逺又可得歳圈之本纬矣五星之天皆斜交黄道与白道同但其相距之纬各多寡不等又白道交行右旋而五星左旋此其异也

　　测器

　　夫测器之在厯家犹之工师之凖绳规矩不可湏臾离也盖宿曜运行樊然不齐苟欲齐之非器不可矣然而简便是求制作未能尽善虽欲齐乌得齐古厯所纪原有数种而今灵台所存止有圭表景符简仪浑象等器耳新法所增置曰象限仪百游仪地平仪弩仪天环天球纪限仪浑盖简平仪黄赤全仪日星等晷诸器或用推诸曜或用审经纬或用测极或用求时是诸仪者皆为厯学名家酌量增修精加研审多厯年所始趋巧便此外尚有多种以其不堪大用置弗录而其最竒巧者则近时所制逺镜尤为窥天要具用之能详日食分秒能见太白有上下能见歳星旁四小星又填星为撱形旁附有两小星昴宿星三十余鬼宿中之积尸气以至光体微渺之星用此奚啻多数十倍抑且界限分明光耀璀璨噫造器至此异甚矣

　　时晷

　　凡日月交食会合五星凌厯犯守其时刻所由取凖者赖有时晷也然而大地之广时非合一古法不分方土第用时牌揆景以定者非也新法制晷但湏预定本方北极出地之度随在随处虽垣墙正侧皆可制造能于一晷之靣视太阳所躔节气宫次度分及定日之髙度并黄道各时出没其称最者则地平晷立晷百游晷通光晷数种他若柱晷瓦晷碗晷十字晷等不下数十余种而此外又有星晷与测月之器以为夜中测时之需云若遇阴雨则又有自鸣钟沙水等漏之制水漏与古壶漏异古或以水入壶而时箭浮新制以水出壶而时牌转壶体并不开孔似为胜之

　　新法算书卷九十七

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

　　钦定四库全书

　　新法算书卷九十八　　明　徐光启等　撰厯法西传

　　引说

　　凡学非能骤成莫不始于格物以致其知而后从而推广从而精详焉以故古人因目所见心悟顿啓纪而騐之接续成书以诏来世乃成一学卽厯学亦然矣其初所悟者防不岀日月交食及冬夏四正五纬凌犯等触目易见者数事因而再求之然后乃知月有本道焉交食有期有率焉又因而推广之精详之以及他数他理而厯学始为大全此如原泉一脉涓涓流而为壑浸假而百川彚集由湖由江以入于海浩浩乎无涯际矣后有好学者留思古人之学叅以己见曽无防许而附以传世是为坐收其成岂可擅称超悟屈抑前功哉余着厯书百卷大要取之古人而又括以厯引今复为此编先明西厯古书大指而次则遂及余书盖一则着新法非一人之法非近创之法良由博古深思叅互考订以得一真无容妄议一则令后之人便于循习晓畅数百年后测审差数推徃知来善于变通也或疑中西异法如格碍何余谓天行无隐君命非私厯至今日中人亦西学矣且即就中厯而论其根亦本于西如列宿距星皆同又列宿有属太阳者四属太阴者四亦同是知根本既同而清其枝干通其脉络有成书在展卷研求无不可见岂足相难哉学者勉之可也

　　西古厯法

　　西庠之学其大者有五科一道科二治科三理科四医科五文科而理科中旁出一支为度数之学此一支又分为七家曰数学家曰防何家曰视学家曰音律家曰轻重家曰厯学家曰地理家七家俱统于度数要皆师传曹习确有根据者也若多禄某即西洋厯学名师在郭守敬前一千百有余年汉顺帝永建时人著书一部计十有三卷

　　第一卷

　　详证厯学大指如诸星运行天体浑圆地与海共为一球地居天与空气之正中地较天大不过一防等项次着角理不但以句股测直线之长短且用曲线三角形量天是为以圆齐圆所得诸星相距度分最凖又求二至相距几何度分在赤道内外防何度分并二曜相离最远为防何度分设黄道纬度求赤道相应经度设黄道经度求赤道相应纬度

　　第二卷

　　论宗动天设黄道在地平上之防求其距赤道之地平弧设日之高求正侧各景之长短又求黄道各防之半昼解正仪昼夜等众星常见之故偏仪二至规下岁一次无景距赤道愈远昼夜愈不等而两极下毎岁为一昼夜

　　第三卷

　　考太阳行求二分时刻辩二至气至时难求时刻求岁实与毎日太阳平行乃作平行立成表又推论日行用同心规及小轮或同心及不同心合一之理推地心与日规相距防何远随求太阳最远防【亦名最髙】定太阳厯元及太阳行度毎日不等之数

　　第四卷

　　论太阴行证求太阴真行度即月食可考月有迟疾平三行乃求月平行并月每日纬度即以齐月诸行或用同心圏及小轮或不用同心圏二法同理设三月食求同心规及小轮两半径以定月诸行厯元又求月行正交中交之时推二交逆行之数

　　第五卷

　　解月自行以求月经纬度必用小轮推月加减立成表求月之更大纬度与月之地半径差度复求日月二轮与地球半径之比例及日月与地景之似径【地景其形如角所求之径乃月所过截地景之处】又求月半径及景半径与地半径之比例求日真径求日远于地求景之长大【以上三求皆以地半径为度】求日月地之比例【原书称三大日月与地】设日月之远求地半径差推视差立成表比日月两视差分月视差有三种

　　第六卷

　　解日月合防求日月平朔平望并定朔定望时及其宫度分求地景及月半径定日月食限论日月半年中能再食月食后五阅月中能再食七阅月中不再食日于五阅月中各地能两食七阅月中一地能两食日于三十日中一地不能再食更求月正纬度设月真所在求视所在求月正会前后四刻之视行及日月似防【卽日食】求日食初亏食甚复圆三时定日食分秒

　　第七卷

　　论诸恒星远近终古如一证其昼夜行外别有他行论其顺天经行以黄道极为本极定岁差度设三星相距以二星经纬度求第三星经纬度详测星法

　　第八卷

　　论天汉起没详天汉中大星所在及众星拱向并其出入设黄道经纬度求赤道纬度等

　　第九卷

　　求五星每年及每日平行解五星大小轮理求水星之本行求水星最高求水星大小圏半径比例又求水星小轮上平行以求水星各行厯元

　　第十卷

　　解金水二星之行求金星最高及不同心轮与小轮半径比例设时定金星诸行厯元求土木火三星之小轮及小轮之本行【亦名岁行】设火星三处求其最高测从地心至不同心圏其远防何求火星小轮之半径推火星平行定火星诸行之厯元

　　第十一卷

　　解土木二星之理即求地心与木星本心之差及木星本轮与小轮之半径并其平行定木星之厯元后设土星三次舍以求其最高求土星小轮之半径而定其厯元设五星之平行求其实经度

　　第十二卷

　　解五政行度有退留疾等之故即求其留界及逆行之半弧更求金星左右距日之极大弧度并水星与日最远度

　　第十三卷

　　论齐五星纬度之法求火木土三星各本圏及黄道交角并定其纬度论五星伏见先求火木土三星伏见相距之时次求金水二星伏见及其相距之时

　　以上十三卷属多禄某所着除右引各目外尚有三百余欵可为厯算之纲维推歩之宗祖也但其辞句太古浅学罕能习之故诸名家更互演译各有论著今不及叙

　　后又有亚而封所乃极西宝祐时人身居王位自谙厯学捐数万金钱访求四方知厯之人务依先师所着创立成表以佐推算诸曜之法其功不在多禄某下缘属祖述成书故今亦不及叙

　　又其后四百年有歌白尼騐多禄某法虽全备微欠晓明乃别作新图著书六卷今为序次之如左第一卷

　　天动以圆解

　　第二卷

　　天并七曜图解众星各及其次舍解

　　第三卷

　　论岁差而证其行较古有异论岁实求太阳最远防及随年日时太阳躔度

　　第四卷

　　取古今月食各三度求月小轮之径求大轮小轮之比例并月经纬度推日月交食

　　第五卷

　　求五星平行用古今各三测经度求大小两轮之比例等终求其正经宫度分

　　第六卷

　　求五星纬度

　　以上歌白尼所着后人多祖述焉有西满者尝证多禄某歌白尼两家之法惟一麻日诺又取歌白尼测法更为多禄某之图益见其理无二矣

　　近六十年西土有多名家先后继起较前人用测更精立法更尽造图更美其一未叶大因悟不同心规与小轮难于推算于是更创蛋形图以解天文根本设七政三测求最远防又求地心与不同心差又求各轮比例等理其二第谷竭四十年心力穷究厯学备诸巧器以测天度不爽分秒第谷本大家饍养知厯人造器市书计用二十万金著书计六卷

　　第一卷

　　取二分真气至时

　　第二卷

　　取北极之高并解前人之谬解气反光之差取二至真气至时并解二至难得真时之故求太阳最逺防并地心与太阳心之差求加减数证最远防之行度及太阳平行求岁实并推立成表用立成求日躔宫度而考其法

　　第三卷

　　以二十一月食求月平行设月行新图以齐月行用两大规及三小轮详其所以然推立成并其用法仍各设假如求月纬度加图及立成表算法因求月食又求月与地相距防何立推交食法因测五纬之真经纬度先考列宿之真经纬度

　　第四卷

　　解测星应用仪器乃驳古测有误取金星与日与某星相距度以求某星距日度分防何取近黄赤二道距度并之以合周天全度复取六星之距度以经度相并适合周天之全度求角宿经纬度以起周天之度再求近赤道十二星经纬度证星之黄道纬度今古不同求星之经度并解其时八百余星之真经纬度【五十三年前】复加百余星赤道经纬度说

　　第五卷

　　解其时新见大客星计十二章一详初起及渐大至与金星等并渐减二取附某宫星以定其经纬度三解测新星所用诸器四取新星与他星距度五解其更度几何六用各法以求新星经纬度七求新星赤道经纬度八证新星不丽空际而丽列宿天九考新星之大小十取新星之似径得三分三十秒十一证新星大倍于日大于地三百六十倍十二考众星参差

　　第六卷测器诸图

　　图计五章一解用测器求三曜之高二解用测器求星之纬度三解用测器求星相距度四解各仪象五为天文答问

　　又第谷彗星解十卷

　　测彗星之高度尾之长短光之隐显及其方向考十二星在黄道上度以求彗星之真所在设彗星离两星之度求黄赤道经纬度求彗星毎日赤道经纬度求彗星所行之道及其道交黄赤之角处依每日彗星行黄赤二道作立成表证彗星在月上较月更远于地为三百地半径故知彗星在日月二天之中证其尾恒向日与金星作彗星行度图征彗星之大为月二之一尾长为九十六地半径【每地半径为一万五千里】因考前人彗星之论当否

　　第谷没后望远镜出天象微渺尽着于是有加利勒阿于三十年前创有新图发千古星学之所未发著书一部自后名贤继起著作转多乃知木星旁有小星四其行甚疾土星旁亦有小星二金星有上下等象皆前此所未闻且西旅每行至北极出地八十度冬季为一夜又尝周行大地至南极出地四十余度南极星尽见所以星图记载独全

　　以上诸贤所着皆属推解厯理近因古学奥深学者为难厯学家别有立成表及测天诸器以便初学又有永年厯亦立成之类预纪七政经纬及交食凌犯诸行取凖于天具举其证葢由推测二功相佐而成不可疑也今论测器惟浑仪为最用之取日光求其躔度求日纬度求北极出地防何日出求东西之纬度求太阳午正之高推时求日星之高求太阳赤道经度求星出地平之时刻求太阳距子午规时刻求太阳出入并昼夜时刻以日星高求时刻又作地平日晷求朦胧时刻随时求东出黄道宫度分

　　又浑仪挟持未便因又约为平仪体制虽异而施用不殊【名浑葢】乃有造平仪及百游各仪法其説甚多其用甚广

　　又有日晷多种约言其法如作象限作卵形考墙面之方向求子午线设时求日之高设日之高求时分论有法日晷葢有六种一地平上晷一向南平靣晷一向东平面晷一向西平面晷一向北平面晷一向赤道平面晷详每日晷有十二种线以景证日之行如此从地平起时线从子午起时线节气线昼线过顶圏线日高线地球之径圏八十二种高线防节气出地平上线日出地平算某时刻日入地平算某时刻每日平分昼为十二时线【名七政时线】又有向南向北斜面杂向立面杂向倒面挖面或正圆或长圆正球偏球各日晷及各正表斜表法槩因无有定向称无法日晷又设日晷一图以大为小以小为大焉夫日晷大不越数尺小仅数寸而天之高远太阳之行度经纬悉备变相以通其理多方以尽其能故曰厯学之广大即日晷可征也

　　右皆造日晷法然造晷用图平行垂线最多下手为难乃用立成表其法更精成功更速又日晷之度数或用立成表查或用防何要法或用比例尺诸规矩究竟所得皆符不爽毫发此而推所算日躔之密合亦并可见矣

　　合而观之西庠之于天学厯数千年经数百手而成非徒慿一人一时之臆见贸贸为之者日乆弥精后出者益竒要不越多禄某范围也已前所引在全书仅十分之一览者所见以推所未见可也

　　西新厯法

　　余着新法悉本西传非敢强天就法也乃为法以合天以测候为厯家之首务故修政以来除西制大铜仪数具外在局别造有半径仪三座自心至边或一丈或八尺具刻宫度分秒一一详明以求适用日督同监局官生昼测日夜测月星三仪所测或并同或两同者取以为凖若三各不同则置之俟再测如是者数年列宿距星远近异同悉于是时考定凡遇五星凌犯伏见日月交食公同部司赴观象台测騐务求密合累钦遣内臣同来审视又因交食差官四方测騐异同嗣后奉命造进黄赤大仪及星晷天球大日晷等或内庭亲测或偕内灵台诸臣测如是者又数年于是上下相孚朝野悦服上乃决计散遣魏文魁等囘籍一意颁行新法惜兵事倥未免有待将来耳

　　中土徃代修厯不过加减四余四应岁实等项已耳一时合天乆则仍错有数十年一改者有数年一改者前改既非后改亦复如是厯学废弛非一日矣余初奉命修厯时亦有以畧改旧法请者谓作者可免创始之劳述者兼得习熟之便然而不能也详考旧法其错非在算数乃在基本不清其基而求积垒不治其本而理枝干其术未有济焉者余故不辞艰瘁昼夜测騐天行叅考西法然后正其纰缪补其阙畧约有数十余欵于是着成厯书解明法原详整法数自太阳太阴恒星交食以迄五纬莫不条分缕析纲举目全共计百有余卷已经进呈御览恩宣付史舘刋本传布四方与海内知厯者共之矣兹更将法原诸书逐卷挈其大指以便观览如左

　　日躔厯指测凖岁实平视二行盈缩元及大差大距度等其题一求南北正子午线以定诸径圏及十二时之界以记太阳行满昼夜毎日之始末乃取凖于天非如从前徒用一指南针而已

　　一求北极出地度分以定日出入昼夜长短日月帯食日食有无并诸曜正斜照地等类此用象限仪或测日轨午正高得距赤道度余即北极出地高度或测近极一星在最高又测之在最卑折中取之即正北极高也

　　一求各气差气从地发昧空中故自天顶以迄地平诸曜逐纬详测定差分秒多寡因而加减原测卽得各曜真位也

　　一求黄赤二道之距以定太阳赤纬于夏至前后一二日测午正日轨【必于午正者免蒙气也】乃于所测度内减去地半径差并赤道高余二道相距真度分一求太阳盈缩之元以定平行加减乃得每宫度相应之实行葢设太阳以平行旋天毎日前移一度则宜自秋至春与白春至秋日行之度数相等矣今天度等而所行日数不等相差八日有竒此何以故葢因地在太阳天内非其正中也故设一直线贯地心而以两端接日天必分为大小两半大半之顶距地远日行经过之时乆小半之顶距地近日过此必速矣且日体近冬至现大近夏至现小冬至之月食大小又异于夏至之食总由地景长短大小系于日光远近之故西古厯家二千年以来阐明此理并立测法传之后人日躔并日月交食皆正其本矣乃此中厯家羲和而下守敬而上举无有悟此者何也

　　又一求太阳年日及时之平行以定岁实以确立推算之根所谓厯元也法先后隔数年或春或秋于午正时测日轨务得二分之凖时【太阳在二分其纬大日约得二十四分分应四刻故较他时所得为凖】乃于先后间总时以中年分之得毎年之平行即真岁实而岁实又以周天平度【三百六十】分之得一日之平行时亦仿此但因日天心异于地心渐移右行二心相距远近未有定数虽所移甚微而一二百年后必少觉之千年后差乃显著则依本法复测复推以加以减即造厯无异今时故新法实永法也昔郭守敬若知此法可免岁余上推百年増一下推百年减一之议惜乎不能也

　　一求太阳最高所在及地心与日轮天心相距之差以定加减始末以得随时推日实行确法葢太阳西行及东本行之外其最高亦顺十二宫渐渐东行二心【卽太阳本圈心与地球心】相距岁岁减少古测断不可泥厯家若不谙此日躔无根又何慿以推五纬乎古西土去今千八百年以三角形测日轨记最高在申宫五度三十五分两心之差为全径百分之四分强千年后又一士测之得最高在申宫二十二度十七分二心相距为百分之三分半强及据今测又在未宫六度强二心之差不及百分三之半矣中厯从来以夏至为凖泥在未宫初度相沿不改岂非大误

　　一求太阳视差即地半径差此差旣由各天与地球大小之比例而生则欲求此差者须取一天与地最远无可比例者为之则恒星天是已故于恒星天设三角形查与太阳交角相对之弧【他曜仿此】弧有大小而本差之多寡即见矣

　　一论日差以齐诸曜之行所关者大故详推一立成表以便厯算太阳实行嬴缩毎日不等是也彼旋地一周复于元界【子午圏是】为日必等者称用日葢民间所用也厯家若亦泥之则大惑矣

　　恒星厯指三卷其一以金星测恒星及黄赤道度等法于日未出时先测恒星与太白之距日出后又测太白太阳之距晩测反是先测太白与太阳而日没后乃测太白与恒星因而求太白经纬视差及太阳经度则以曲线三角形法推得两经度以较同测之星加减之并得本恒星之经度今以毕宿大星娄宿北星角宿距星等为假如定赤道经纬即余星仿此可推矣

　　又测近黄赤二道所有诸大星任定防星晷距星为界或自西而东或自东而西求两测之距度及距赤道之纬度用三角形法推得其经度差因连缀求之以迄一周所得经度若旣合于赤道周则所测各距之经度必皆密合矣乃复用之为界以测众星皆可无不合者再以恒星赤道经纬度推其黄道经纬反复相求非三角形无由而得葢或星居两道之中或南或北或居两道相交之左右必设各极所出之曲线遇星而交而复相离各底本道而止乃为三角形者数矣最便推算且恒星依本法彼此相推不但其纬度终古不易即相距之经度差亦终古不易故凡推七政者必用恒星为界而后诸曜之远近灼然不爽也

　　终引所资以测恒星者如测器如子午线如北极出地高如视差等皆是也葢测星有三求一求出地平上度分则用象限仪二求相距则用纪限仪三求距黄赤二道之度则用浑天仪若子午线者诸星行度升之极降之始也北极出地者所以正高下也凡用仪必以仪上极与本地之极高下相当经纬皆相当故测星者使无子午以正东西升降无极高以正南北高下即一切推算之法无从措手若视差就地半径差论恒星以距地远得免就清差论则恒星近地平必皆有之测时宜用减矣

　　第二卷测恒星黄赤本行其行黄道上即岁差也中厯论岁差有曰未能测其所以然第以全厯推之二万六千八百八十年差一周天毎岁差一分三十余秒上推至帝喾甲子四十年日在虚六度至夏王不降乙未三十五年日退入女宿啇武乙丙寅四年日退入牛宿周简王丁亥十二年日退入斗宿宋度宗戊辰四年日退入箕宿四度二分余且言此定算也又或测日度者以月食冲求之可谓巧矣然而皆非也夫毎岁所差甚少月食分数颇寛安得借此求彼此其谬一谓日退者即日逆行古来测日但有盈缩有公行有本行退逆之行理所必无此其谬二旣言未测其所以然何从而得一定之算此其谬三西法则以黄道二分二至为界据古所测某恒星距界之度从而复测之乃见迁移以较中古上古此星离冬至渐远如前此居冬至者虚也今已顺行东去继之者为女为牛为斗又后为箕矣是知岁差系恒星前行与七政依黄道本行无异此为真所以然非日退之说也且西测星非详得其分秒置不用非三四器三四人同地并得在一分以内者置不用此新法所以独密也所得岁差定数为五十一秒【依六十算】由此得恒星岁实小余为二十四刻九分又约二十七秒乃古今不易之则也

　　问星岁无差旣有定算如此厯家不用以推年日何曰立岁限以定所为主如四时如二至二分等日行皆有定所星算虽定而其右旋于各节气恒无定所故难用推年日也

　　考黄赤道宿度今古变易缘诸星随黄道斜交赤道故也每见太阳之行黄道夏日距赤道北冬距其南逐年如此岂非由二道斜交之故乎厯家同时测日经而两道上所测度分必异又所差日各不等此为日经之变如从两极各出直线以交日心引之径过以至赤道两线必不复防于一防以是知日经纬在赤道恒变恒星亦然逐渐右旋赤道宿度逐渐有变其数多寡前后必异惟黄道经度则终古如一而星亦终古如一斗恒似斗尾恒似钩古二星在一直线者今时亦然彼此相距皆同也

　　累测黄赤两道恒星之经度以推古今各宿积及本度并载厯指读者以参觜不仍旧次为疑不知宿在黄赤二道原有分别其依黄道不变之度分参前觜后终古恒然若依赤道而论在昔虽先觜后参而近自二百年来则参先而觜后矣葢因两道从两极出线以定度数故有异也

　　第三卷以黄道经纬变赤道经纬及绘星图数法葢星之去离赤道无恒而其去离黄道有恒即黄赤二道之相距亦如有恒以两有恒求一无恒则依曲线三角形以乘除三率等法推算可得若直欲从赤道求之无由而得矣缘星行依黄道以向赤道时有迁移故也

　　绘图旧以恒隐圏界为总图界星偏河南之南不复有图矣新法因见隐圏南北随地不同故以两极为心以赤道为界或又简以中土恒见之圏为界绘总星图闽粤以北可见诸星无不具载至图内正斜各圏直曲各线依星本经纬应入其中者本卷一一详之乃除天汉积尸气等无算小星外凡可见可测者别以六等令星在图在天大小异形无不相肖

　　月离厯指计四卷首卷论测月平行防及迟疾加减正数如各种行度一随宗动天日一周行二依本天顺白道自西而东平行此或以太阳为界从合朔起算或以宫次节气为界从各防起算谓之交周满一周谓交终三依本轮自行从东而西然依轮之上顺行依轮之下则逆本天而行但缘月行甚疾地面但见其迟不见其逆此行谓之转行满一周谓转终四随次轮乃本轮之周复有一小轮其心随本轮左旋月在其上则又右旋满一周名为次转终也五为交行月行白道出入黄道西行所交于黄道中线两防一名正交一名中交旧所称罗计是也外又一次轮实测则有而据之以推度数颇微无大用又一面轮使月一面恒照下向地此亦无关疎密皆置不论

　　论测月平行乃因视差及气差参错难分月体且月体恒亏无从测心以此测月最繁度分难得其凖须按西古今法于月食时騐而知之晋史姜岌亦以月食冲騐太阳所在然而考太阳之躔度易考太阴之离度难在姜为倒用两率皆疎矣且平行亦非一食可騐也葢任用一食仅得当时之行度何由遽定平行必择前后两食各率均齐者以为两限然后取其中积平分之庶免日去地时近时远所生闇虚时大时小与夫月转时迟时疾时在最高时在最卑诸凡月行不平之绿也但欲得此前后食务须求之记载今考二十一史天文志但记有年月日而畧时刻分秒无已借西厯补之

　　论测正中交行度葢月本圏之自行度曰转行及于黄道曰交而转满一周曰交终其在后不及转之度即谓两交之逆行也测法亦用月食考古无传仍依西史如前法用两月食测其前后各率均齐得交逆行日三分十一秒岁十九度零十九秒四十三微此为二千年前古测后史各加密测推得交行毎年盈一秒四十二纎应减

　　论用不同心圏与用小轮名异理同皆借以分布度数解明七政盈缩迟疾之行乃公借古今测定本轮之大小远近之比例以求加减差立推算各表之法然而创始难工増修易善厯家积功二千余年至近代测騐而后渐次加精较古为密也终定太阴诸行厯元宜命一定地以慿起算依本地初度初分为凖以加以减推算各地本时本曜之各所在度分此法从古未有且测北极出地中率不合葢前人未悟地半径差与气差于二至所测之高应有加减故未得真高也

　　二卷论测次轮次加减迟疾及半径差月径地景径等乃引古今西史月天诸轮之图解各所迟疾行之理并经纬随时度分更推假如令数与图互相发明因知欲求月离真所非一均数可定葢虽加减本轮之自行度可得定朔定望缘距限在五度内故然而二及左右之自行差则异于朔望其距限大至七度半强矣故据次轮之自行加减立第二均数于理为尽从是可得太阴之视行实经度

　　次定交周交行及交行之厯元皆于月食取法葢须前后两月食其距太阳之最高远近均等两食分等两食之在阴厯阳厯正交中交亦畧等则因两食之中积而得交防及交终之数依此用三率法以各数推得交行之度分又得月平行距交之度并其平行距宫次或节气之度两数之较为三分十一秒是为两交一日逆行之数所谓罗计行度也若交行之厯元亦于两月食得其诸率各等则必并得其距交亦等葢交终由两食之经时而知今定交应则因两食之月距交等度考其中积时自行满交周外即得其距交防何度分是厯元也遂命曰某年天正冬至为厯元而某处某府为厯元本所

　　又次测黄白二道相距度分法求月轨极高以免诸视差加减故乃得距赤度分去减黄赤距度余为黄白距度此西古今通法中厯黄白相距恒大于西术谬矣其推月食恒小于天騐殆缘于此论月视差此因地半径而生与他曜同但月天视地为近为卑则地与本天各半径之比例其视差并大古今累测得数无异约一度故测太阴先得其视高乃以地半径差加之得数又以气差减之此为实高如反推则得其实高乃以地半径差减之得数又以气差加之此为视高具见本表但气之差因地因时所在各异必求本地势本时刻之确数定之

　　终测月径地景径或由月食测定食分并推求其自行距交距黄道等率而得或以测太阳之似径比于地而并记其月距地设三角形推月与地各径又地半径之比例而两径可定

　　三卷论测日月地大小近远之比例引古今法数种先求各视径大小如日食时月视径随地不等其各视径与实径大小绝异又如月视地为小月天视六曜天为小去人又近后定日月之实径推各体之容详测日月各距地之高论月天象数及诸月表之原

　　四卷论测太阴见伏光体并四余辩天行无紫气等引古今交食以证新法并为后学之资葢因中史失载交食分秒及阴阳厯与太阳之距最高太阴之自行度分等后人无慿推歩以资修改故悉取之西史

　　交食厯指第一卷详太阳光景地景及日食之故先引界说如何为暗体原光照光次光满光又如何为初景次景满景葢食生于景景生于光满景非暗也称光暗之中即日月食可辨

　　凡交食或地食光于月景为日食或月体食光于地景为月食乃日月地三球各体大小不等有静有动去人有远有近当求其大小远近之比例推其施光受光之体势乃得交食之体势今设两球大小等一暗一明明者半面施光暗者半面受光无分远近未有交食者也若明球小暗球大暗以小半受光明以大半施光此为太阴照地而地受其隔日之光也凡大施小受施以小半受以大半二体弥近大者施光之小半弥小小者受光之大半弥大此即日居最卑而食之势也若夫小施大受则又二体弥远而施者亦弥小受者亦弥大此月食之分数有多有少而月近地居景厚处食分多远地居景薄处食分少总由大小远近之比例而生也

　　又详景之处所在受光之背面乃因月与地势能出景在日食则为月景下至于地月食则为地景上至于月景形为角形缘出景之圎体与太阳大于地于月之倍数相当也月望月有食乃地景隔日光令月不受照有时失满光有时全失光月朔日有食乃月隔日光令地不受照有处射满景有处存少光皆系景之作用也至论月在景之光色或赤或杂或青黒色皆有占騐或生于气景或映于旁光或染于近地之清气皆能令月现种种色也论食之期二景旣随日月所至终古不爽即有定候一在定朔一在定望当食必食多寡先后上下千百世可知此则本卷益加详焉

　　第二卷详交食诸类及推交食之原与简法葢日月之行虽有隅照方照六合照等悉无交食独相防相望【亦名合防照会】有食详之则有实防中防视防之别皆为推歩之原三防或较于地心或较于地面各异实防中防相距又无定度必先推求各元法从本天大小圏以厯元并以三角形细推乃能成表为密求法以便后人葢因得其所以然而后握简御繁无难也

　　第三卷求推交食依人目所见仪器所测之时刻及所食分数之原必应改实时为视时而此地此时见食彼地则异时见食也故可随地推交食之有无又可上推徃古下騐将来万年悉如指掌若食分之多寡旣原于日月地景之各视半径则定视径分秒之数逆计太阴居最高或最卑本视径差地景即因太阳居高居卑不同其照地生景之差以得各实差然后食分可得而定矣

　　第四卷详食限食甚前后时及绘食图以解各食向位论限日与月不同葢虽同以所行各道经度距交防何为有食之始然而月食则太阴与地景遇因而两周相切即以两视半径并较白道距黄道度推交周度以定食限日食则太阳与太阴遇虽亦两周相切而有视差必先加入视差而后得距度定其食限也惟其食限各异故推太阴越五月能再食越七月不再食而太阳越五月七月皆能再食

　　至于食分则以距度求之葢两周之心相距之度也在月食则为太阴心实距地景之心愈近食分愈多在日食则为日月两心以视度相距其近远不依实度而依目视之所及为凖此即月食分天下皆同而日食分随人目东西南北各异之【原也】食分以纬度而定食甚前后时刻则并以经纬而定葢太阴本时距度多寡不同即入景浅深亦不同浅则厯时少深则厯时多此葢从纬定也若就经论太阴之自行时疾时迟纬与视径虽同而自行每食不同即所得时刻亦必不同但太阴入景之弧与出景之弧畧等故依其行弧推食甚前之时倍之随得食甚后至复圆之时乃日食时刻则又以视差有异焉

　　交食图列方位方位者日月失光之靣所向之方也法先考本食是阴厯或阳厯更考黄道是斜交地平与否葢黄道斜交日月亦依以斜行食时方向必异不可不审也故绘图以一直线过日月二心审其与地面相遇之势乃定日食方位过日景二心审其与地平相遇之势乃定月食方位旧法徒以阴阳二厯求之疎矣騐时安得合乎

　　第五卷详日月视差及日食掩地面防何凡推歩日食要以人目为主目见之防非实防而视防也此差虽由地半径生【以人目在地面不在地心故】更为人目差分别有三等一高卑差以天顶为限一南北差以黄道为限此限能变诸曜纬度一东西差以黄道九十度为限其左右能变经度及时刻测此三差悉用三角形因设地半径为一边日月各距地高为一边各距地靣之远为一边测之乃得高弧或正或斜交于黄道以四方分视差然东西南北二差又时有变务彼此相较展转推求可也

　　论日食之掩地面必系全食或系应不见光之地面又或本日太阳适在最卑而其视径大似太阴之视径若此则虽二曜之心合而周边大小微异乃见金环焉又总论见食之地其广防何且见食进退一分应地面防何由是以推各国各省能见食与否并食分多寡等义

　　第六卷依原算日食以显推表及其所用之所以然必以视差求视防因详前引三差垂向下高卑差为正下南北差为斜下东西差独中限之一线为正左右皆斜此是太阴所变距黄道度及顺黄道经度用以加减时刻并求食分可矣但除地半径差外别有三差名外差不生于日月地而生于气一曰清高差乃地所出清之气能变易高下二曰清径差日月居其中随变本径之大小三曰本气径差本气者月天以下空中气也较清为更精微亦能变太阳之光照令目所见之视度视径随地随时大小不一也

　　第七卷测考食分方位及时刻务推与测并行以自騐其法密与否西厯家创法之初审之于天以求其当然成法之后复考之于天以证其必然正此意也交食推法旣备前卷本卷则引测交食多寡之式如测日月各食分或于室内或于室外以真光形如远镜等承其射光之容食分多寡可得非旧法水盘所能及也至二曜食时所向之方位或正或偏测与算合不爽毫末又日月或全或零食之时其变形之限如二食所共者初亏食甚复圆月食所独者食旣生光皆可得其凖也

　　五纬厯指一卷公论定各星古今次序测五星平行均数据古传太阴最近地其次为水为金为日而火而木而土而恒星古又谓诸天皆以地心为本心今测则惟日月与恒星为然五星各与地不同心各视差及各高卑距地远近可征也

　　五星诸行较恒星与太阳而得古今共法也乃先记其各平行而因各本行圏皆与地为不同心圏并亦定其本行而更以古今图様解之且增以新测五星左右异像焉

　　第二卷至六卷毎卷测定五纬一星之最高及本天与地中两心之差并各星表厯元以得各自行及岁行加减等度分但金水二星之行相似与火木土异葢火木土或防或冲太阳以其实行为岁行之界而金水以太阳平行为本天之平行其本天不出太阳之本轮因加小均轮以齐其顺逆行天一周有二伏二见之时非彼三星每岁一防一冲太阳可比也又火星或以其行甚曲或以其行之迟疾不等有时四五旬日行过一宫有时二百余日不及一宫行似无法兹穷究其理以着于图定其经纬高卑之行使测与推诸用法皆明也

　　第七卷论五星纬行推其与恒星或互相照或同出入以定其凌犯近远见伏诸类葢舎纬行南北多寡而止论经行凌犯诸类无从得其全也故引古今累测游星之纬记其各本道与黄道之交角并绘图用三角形所推两道濶狭以显其实相距之比例又定五星各本天交行而较火木土于金水详其纬从何而生从何而有异同也

　　第八卷着诸曜凌犯相照伏见之原解七政迟疾二行五星留逆顺合冲各情并着表绘图求入宫入宿等法并论农家占岁医家疗疾人预知天时之雨旸皆由日月五星所命又定月大月小节气闰月诸法

　　第九卷依古今法测五星各距地之远近以推其降施之力测各视径及实径之大小定其凌犯及诸照之密合查五星光色以考其照物之性情葢星皆借日光之分而所发光色各异有如镜者有如水者有如金者殆由各染本体之色而然又据新法新测以考中厯之古测乃知古测晨夕二留日时折半以求合伏之时非法也又其所用表晷简平等仪皆与星行之道絶不相似而用以测五星则非其器也大约测五星须用黄赤全仪弧矢仪经纬象限等与其行相类者而又常较之于恒星乃可得其凖也

　　以上畧引书目皆归厯原以全修厯之学阙一不可古之论厯者或务改厯元如气应等或务正定岁差不则求之合朔求之五星求之宿度而已总皆挂一漏万其法立穷必如新法乃为无歉且此外更着学厯要书如割圆法八线表视学防何要法测量全义浑天仪用法比例规筹算开方等法以为旁通之学而厯学于是乎大备后有学者宜究心焉

　　新法算书卷九十八

　　钦定四库全书

　　新法算书卷九十九　　明　徐光启等　撰新法表异卷上

　　总说

　　帝王图治求端于天厯事由是兴焉炎帝八节俶农功也轩辕甲子系日成也帝喾序星征天象也尧置闰月四时乃定舜造玑衡七政以齐夏后周人其敎渐详月令记于戴礼协纪载于箕畴自是以迨春秋率岁登台测验日至然而闰多失置晦朔国殊疎舛为甚六厯出于周秦之际后人疑其伪作而今不可考矣汉初张苍承秦用颛顼厯洛下闳太初刘歆三统始立积年日法以为推歩之准后世因之而行之愈不能久者不知顺天求合之道也其后李梵造四分厯七十余年而仪式方备又百三十年刘洪造乾象厯始减岁余创制月行迟疾隂阳黄赤交错以合天度为推歩师表又百八十年后秦姜岌造三纪厯始以月食冲检知太阳躔度所在又五十七年宋何承天造元嘉厯始悟测景以定冬至又六十五年祖冲之造大明厯始悟太阳有岁差及极星去不动处有一度余又五十二年北齐张子信始悟日月交道有表里五星有迟留伏逆又三十三年刘焯造皇极厯始知日行有盈缩又三十五年唐传仁均造戊寅元厯颇采旧仪高宗时李淳风造麟德厯以古厯章蔀元首分度不齐始为总法用进朔以避晦日晨月见又六十三年开元时僧一行造大衍厯始以月朔建为四大三小诸法较宻又九十四年穆宗时徐昻造宣明厯始悟日食有气刻时三差又二百三十六年徽宗时姚舜辅造纪元厯始悟食甚泛余差数又一百七十余年元郭守敬造授时厯兼综前术时创新意然亦仅能度越前代诸家而求其宻合天行垂之永久而无敝终未能也明初作大统厯袭授时之成法二百余年不知变通讹舛特甚万厯间曾议改修至崇祯己巳乃召望等前来著书演器厯成亟欲颁行恭遇

　　圣朝建鼎遂用新法造时宪宝厯颁行天下岂非一代之兴必有一代之厯预修二十年以备

　　兴朝万年之法传哉于戱盛矣古来治厯者称七十余家考之前史仅四十有余人而已畧引各朝各厯继以

　　本朝新厯之凡槪以质诸世之知厯者精粗疎宻展卷即得夫孰得而掩乎

　　汉

　　武帝太初元年丁丑洛下闳邓平造太初厯

　　成帝绥和二年甲寅刘歆造三统厯

　　积年一十四万四千五百一十一

　　日法八十一

　　二厯同法歆即衍闳平之法而为三统非有异也厯家立积年日法以准推歩葢始诸此其法以律起厯说多傅防初称脗合积渐后天至元和初失天益远晦朔望差天一日宿差五度

　　后汉

　　章帝元和二年乙酉李梵编防造四分厯

　　积年一万五百六十一

　　日法四

　　是时旧厯舛甚乃诏梵等另造新厯乃以二十五刻为岁实小余以四分度之一为斗分天数与日数齐而日无盈缩月无迟疾止用一平朔歩厯疎谬可知至永光十五年七月甲辰造黄道铜仪

　　献帝建安十一年丙戌刘洪造乾象厯

　　积年八千四百五十二

　　日法一千四百五十七

　　汉厯三统四分皆四分之一余分太强刘洪始觉冬至后天乃减岁余更以五百八十九为纪法百四十五为斗分考冬至日日在斗二十二度精思二十余年始悟月行迟速之理创列差率以囿进退损益之数又知月行隂阳交错于黄道表里日行黄道于赤道宿度复进有退作乾象厯

　　魏

　　明帝景初元年丁巳杨伟造景初厯

　　积年五千零八十九

　　日法四千五百五十九

　　先是黄初中韩翊因乾象厯减斗分太过后必先天乃少益斗分作黄初厯至是杨伟忿翊之非复作此厯行之乾象黄初二厯参校多年更相是非无时而决至于景初大槩不出乾象范围而其推五星尤为疎濶

　　晋

　　武帝太元九年甲申姜岌造三纪厯

　　岌病古今诸厯斗分皆疎以致日月交防无验复作三纪厯其言曰治厯之道必审日月之行然后可以上考天时下察地化一失其本则四时变移矣于是考古今斗分疎密不同法数各异殷厯斗分粗故不施于今乾象斗分细故不通于古景初斗分虽在粗细之中而日之所在乃差四度日月亏已皆不及其次假使日在东井而食以月验之乃在参六度差违乃尔安可以考天时治人事乎乃作三纪厯岁实小余二四六八三八朔实余五三○五九五转终余五五四五一○交终余三二一六一三凡八万三千八百四十一算较前为详而交终之多则与景初同于五星亦未见考正其独创者则以月蚀冲检日宿度所在为厯术者宗焉惜其厯未见之施行也

　　宋

　　文帝元嘉二十年癸未何承天造元嘉厯

　　积年六千五百四十一

　　日法七百五十二

　　承天病前厯昧于日所在之宿度又合朔交食不在朔望因比岁考校于元嘉二十年作元嘉厯行之其上表畧曰汉代杂候清台以昏明中星课日所在虽不可见月盈则食必当其冲以月推日则躔次可知焉尧典日永星火以正仲夏今季夏则火中又宵中星虚以殷仲秋今季秋则虚中迩来二千七百余年以中星检之所差二十七八度则尧冬至日在须女十度左右也汉太初歴冬至在牵牛初后汉四分魏景初法同在斗二十一臣以月蚀检之则景初今之冬至应在斗十七又以土圭测景考较二至差三日有余然则今之二至非天之二至也宜随时迁改以取其合乃以一百九十二章积三千六百四十八年为元法以七百五十二为日法又改岁实小余为二四六七一朔实余为五三○五八五转终余为五五四五二一交终余为三二一六○四于是厯成较前为宻至武帝时祖冲之觉其疎谬乃议改厯

　　武帝大明七年癸卯祖冲之造大明厯

　　积年五万二千七百五十七

　　日法三千九百三十九

　　冲之因元嘉畧于置法乖远已见作大明厯法上之其言曰何承天意存改革而置法简畧今已乖远日月所在差觉三度二至晷景几失一日五星伏见至差四旬留逆进退或移两宿分至乖失则节闰非正宿度违天则伺察无凖臣率愚瞽更剙新厯是即大明厯也四应等稍加改易而其改易之意有二内一欵因冬至宿度古今不同谓天数旣差则七曜宿度渐与厯舛乖谬旣着輙应改制今令冬至所在岁岁微差此言得之

　　魏

　　明帝正光二年辛丑龙祥李业兴造正光厯

　　积年一十六万八千五百九

　　日法七万四千九百五十二

　　时龙祥等九家厯合为一厯以李业兴为主改元正光名正光厯魏书称元起壬子律始黄钟考古合今可为最宻今就其厯考之大约踵宋厯为之者

　　东魏

　　静帝兴和二年庚申李业兴造兴和厯

　　积年二十万四千七百三十七

　　日法二十万八千五百三十

　　壬子厯气朔稍违荧惑失次四星出伏厯亦乖舛兴和元年齐献武王入邺复命李业兴改正武王上言之得诏施行　考洛京已来四十余岁五星出没岁星鎭星太白业兴厯首尾恒中及有差处不过一日二日一度两度他厯之失动校十日十度荧惑一星伏见体自无常或不应度祖冲之厯多甲子厯十日六度何承天厯不及三十日二十九度今厯还与壬子同不有加增辰星一星没多见少及其见时与厯无舛今此亦依壬子元不改太白辰星唯起夕合为异业兴以天道高远测歩难精五行伏留推考不易人自仰闚未能尽宻但取其见伏大归畧其中间小谬如此厯便可行若专据所见之验不取出没之效则厯数之道其几废矣

　　北齐

　　文宣帝天保元年庚午宋景业造天保厯

　　积年一十一万一千二百五十七

　　日法二万三千六百六十

　　文宣受禅景业奉命叶图防造天保厯行之后武平七年董峻郑元伟立议非之畧曰景业有心改作不防真理乃使日之所在差至八度节气后天闰先一月朔望亏食旣未能知其表里迟疾之厯歩又不可以通妄设平分虚退冬至冬至虚退则日数减于周年平分妄设故加时差于异日五星见伏有违二旬迟疾逆留或乖两宿又是年六月戊申朔太阳亏刘孝孙言食于卯时张孟宾言食于申时郑元伟董峻言食于辰时宋景业言食于巳时至月食乃于卯申之间其言皆不能中大都五代诸厯家俱踵元嘉大明故法改换章蔀斗分妄自各立门戸争相妒竞以涂人耳目如是而已

　　后周

　　武帝天和元年丙戌甄鸾造天和厯

　　积年八十七万六千五百七

　　日法二万三千四百六十

　　静帝大象元年己亥冯显造大象厯

　　积年四万二千二百五十五

　　日法一万二千九百九十二

　　西魏入关尚兴李业兴正光厯后周明帝诏有司造周厯颇谬及武帝天和元年甄鸾造天和厯终于宣政元年至大象元年太史上士冯显更造大象厯此厯气多朔少所差实远而显自以为叅校精宻过矣

　　隋

　　高祖开皇四年甲辰张宾造开皇厯

　　积年四百一十二万九千六百九十七

　　日法一十万二千九百六十

　　高祖初行禅代之事欲以符命曜于天下道士张宾揣知上意自云洞晓星厯盛言代谢之征由是大被知遇命造新厯宾乃依何承天法微加增损作开皇厯厯旣行刘孝孙与冀州秀才刘焯并称其失驳有六条及以古今交食并测景辨其是非互有短长如聚讼然殊不知张宾止依元嘉旧法微加增损安得无差卽孝孙等议厯亦止就旧法辨论总之于盈缩迟疾之窍未得其真虽辩万言何益

　　仁寿四年甲子刘焯造皇极厯

　　积年一百万九千五百一十七

　　日法一千二百四十二

　　开皇二十年太史令袁充表曰京房有言太平日行上道升平行次道霸代行下道葢日去极近则景短而日长去极远则景长而日短今自隋兴昼日渐长开皇元年冬至之景长一丈二尺七寸二分自尔渐短至十七年短于旧三寸七分矣上临朝谓百官曰日长之庆天之佑也今当改元乃改明年为仁寿元年因以厯事付皇太子东宫刘焯以太子新立修增其书名皇极厯与张胄元互相驳难是非不决焯罢归四年太史奏日食不効帝召焯欲行其厯胄元排之又会焯死厯竟不行

　　炀帝大业四年戊辰张胄元造大业厯

　　积年一百四十二万八千三百一十七

　　日法一千一百四十四

　　史称胄元博学多通精于术数时辈多出其下乃擢拜散骑侍兼太史令赐物千段改定新厯至是行之大抵学祖冲之之法而小变其説葢与刘焯皆踵旧法为之无甚竒异也总之隋人歩厯不精气策未善冬至或差二三日则其景宜乎有三寸七分之差也而乃妄附太平祥称仁寿舛矣卒之厯年三十传国二世然则景长之效寿耶不耶唐

　　高祖武德二年己卯傅仁均造戊寅厯

　　积年一十六万五千三

　　日法一万三千六百

　　高祖受禅将治新厯东都道士傅仁均善推歩之学太史令庾俭丞傅奕荐之诏仁均与俭等叅议合受命岁名为戊寅元厯时称戊寅厯其大要可考验者有七唐以戊寅岁甲子日登极厯元戊寅日起甲子如汉太初一也冬至日短星昴合于尧典二也周幽王六年十月辛卯朔入食限合于诗三也鲁僖公五年壬子冬至合春秋命厯序四也月有三大二小则日食常在朔月食常在望五也命辰起子半命度起虚六符隂阳之始六也立迟疾定朔则月行晦不东见朔不西朓七也高宗因诏司厯起二年用之擢仁均员外散骑侍郎三年正月望及二月八月朔当食比不効为祖孝孙王孝通等所驳十八年李淳风上言仁均厯有三大二小云日月之食必在朔望十九年九月后四朔频大诏集诸解厯者详之不能定庚子诏用仁均平朔仁均厯法祖述胄元稍以刘孝孙旧议参之麟德间仁均厯较淳风最疎更相出入其有所中淳风亦不能逾之

　　高宗麟德二年乙丑李淳风造麟德厯

　　积年二十七万四百九十七

　　日法一千三百四十

　　高宗时戊寅厯渐差岐州雍人太史令李淳风作麟德甲子元厯以古厯有章蔀元纪日分度分参差不齐乃为总法千三百四十以一之损益中晷术以考日至为浑仪表里三重以测黄道初隋末刘焯作皇极厯未行淳风约之为法改作麟德厯行之淳风又以晦月频见故立进朔之法谓朔日小余在日法四分之三已上者虚进一日以避晦月见不知月之隐见本天道之自然朔之进退出人为之牵强孰若废人用天不复虚进为得哉

　　宗开元十二年甲子僧一行造大衍厯

　　积年九千六百九十六万二千二百九十七

　　日法三千四十

　　开元九年一行奉诏作新厯推大衍数立术以应之十二年测景于天下南至安南北至鉄勒十五年厯成而一行卒诏张説陈元景等次为厯术七篇畧例一篇厯议十篇称防明年説表上之起十七年颁行其大要着于篇者十二内厯本议有曰日行曰躔其差曰盈缩积盈缩曰先后古者平朔月朝见曰朒夕见曰朓今以日之所盈缩月之所迟疾损益之或进退其日以为定朔舒亟之度乃数使然躔离相错偕以损益故同谓之朓朒月行曰离迟疾曰转度母曰转法迟疾有衰其变者势也月逶迤驯屈行不中道进退迟不率其常过中则为速不及中则为迟积迟谓之屈积速谓之伸阳执中以出令故曰先后隂含章以听命故曰屈伸日不及中则损之过则益之月不及中则益之过则损之尊卑之用暌而及中之志同观晷景之进退知轨道之升降轨与晷名舛而义合其差则水漏之所从也总名曰轨漏中晷长短谓之陟降景长则夜短景短则夜长积其陟降谓之消息游交曰交会交而周曰交终交终不及朔谓之朔差交中不及望谓之望差日道表曰阳厯其里曰隂厯五星见伏周谓之终率以分从日其差为进退卽此议观之颇胜前人然亦不过从古二十三家之厯增宻而已乃欲去増修之名标独创之美强作议论仍用算数展转相合附会大衍令不知厯术之人称为作者此则欺人甚矣夫大衍之数自古有之假令一行生前汉时能舍四分三统而独创此厯乎前无刘洪姜岌祖冲之何承天之属吾知其必不能也

　　肃宗实应元年壬寅郭献之造五纪厯

　　积年二十七万四百九十七

　　日法一千三百四十

　　先是肃宗初大衍厯有误诏韩颖直司天台增益旧术行至德厯至宝应元年六月望月食不効乃诏司天台郭献之等复用麟德元纪更立岁差增损迟疾交食及五星差数以写大衍旧术上元七曜起赤道虚四度帝为制序题曰五纪厯史称献之加减大衍偶与天合遂颁用之

　　德宗兴元元年甲子徐承嗣造正元厯

　　积年四十万三千三百九十七

　　日法一千九十五

　　是时五纪厯气朔加时后天诏司天徐承嗣与夏官正杨景风等杂麟德大衍之防治新厯上元七曜起赤道虚四度建中四年厯成名为正元要不出五纪旧术范围也

　　穆宗长庆二年壬寅徐昻造宣明厯

　　积年七百七万五百九十七

　　日法八千四百

　　宪宗卽位司天徐昻上新厯名曰观象起元和二年用之然无蔀章之数至于察敛啓闭之候循用旧法测验不合至穆宗立以为累世缵绪必更厯纪乃诏日官改撰厯法名曰宣明上元七曜起赤道虚九度其气朔发敛日躔月离皆因大衍旧术晷漏交防则稍增损之更立新数以歩五星大约皆凖大衍厯法其分秒不同则各据本厯母法云起长庆二年自敬宗至于僖宗皆遵用之

　　昭宗景福元年壬子边冈造崇厯

　　积年五千三百九十四万七千六百九十七

　　日法一万三千五百

　　是时宣明厯数渐差诏太子少詹事边冈治新厯冈巧于用算然实防于本原其上元七曜起赤道虚四度其气朔发敛盈缩朓朒定朔望九道月度交会入食限去交前后皆大衍之旧余虽不同亦殊涂而至者景福元年厯成赐名崇按冈用算巧能立术简防虽仍大衍而皆变其名如策实曰岁实揲法曰朔实干实曰周天分之类明白使人易晓较之闭藏闪烁者不同是可尚也其治晷度凖阳城日晷前后消息加减得宜九服中晷各于其地立表候之在阳城之南之北者各有距差以加减阳城二至中晷九服所在各于其地置水漏以定漏率各以阳城二至晷漏母除之得加时黄道日躔交道有差其术甚善后世郭守敬仿之测验诸方惜未能尽用其术也

　　周

　　世宗显徳三年丙辰王朴造钦天厯

　　积年七千二百六十九万八千七百七十七

　　日法七千二百

　　五代初用唐厯后诸国各有厯皆行之未久法不传惟周世宗钦天厯乃端明殿学士王朴所造其厯以隂三阳二化成之数得诸法较之八十一取之黄钟三千四十取之大衍其牵附为尤甚行五行周亡

　　宋

　　太祖建隆三年壬戌王处讷造应天厯

　　积年四百八十二万五千八百七十七

　　日法一万零二

　　太平兴国六年辛巳吴昭素造乾元厯

　　积年三千五十四万四千二百七十七

　　日法二千九百四十

　　眞宗咸平四年辛丑史序造仪天厯

　　积年七十一万六千七百七十七

　　日法一万一百

　　显德钦天厯行五年周亡宋初犹用之建隆二年五月以其厯推验疎濶乃诏司天少监王处讷等别造厯法四年四月新法成赐名应天至太平兴国间有上言应天厯气候渐差诏处讷等重加详定六年表上新厯会冬官正吴昭业所献新厯气朔稍均众所推服遂用之赐号乾元应天乾元皆御制序焉眞宗嗣位命判官司天监史序等考验前法研覈旧文取其枢要编为新厯咸平四年三月厯成赐号仪天夫天道运行皆有常度厯家之术古今不同葢变法以从天随时而推数故法有疎宻数有繁简虽条例稍殊而纲目一也

　　仁宗天圣元年癸亥宋行古造崇天厯

　　积年九千七百五十五万六千五百九十七

　　日法一万五百九十

　　宋兴百余年至干兴初诏厯官宋行古等改造新厯至天圣元年八月厯成诏翰林学士晏殊制序而施行焉命曰崇天其积年上考徃古岁减一算下騐将来岁加一算厯成以来年甲子岁用之是年五月丁亥朔日食不效诏候騐至七年会周琮言古之造厯必使千百年间星度交食若应绳凖今厯成而不验则厯法为未宻又有杨皥于渊者与琮求较验而皥术于木为得渊于金为得琮于月土为得诏增入崇天厯具改用率数云

　　英宗治平元年甲辰周琮造明天厯

　　积年七十一万一千九百七十七

　　日法三万九十

　　崇天厯行至嘉祐末英宗卽位命殿中丞判司天监周琮等作新厯三年而成琮言旧厯节气加时后天半日五星之行差半次日食之候差十刻旣而司天中官正舒易简等更陈家学于是诏翰林学士范鎭等考定是非上推尚书辰弗集于房与春秋之日食参今厯之所候而易简等所学疎濶不可用新书为宻遂赐名明天厯诏翰林学士王珪序之未久以月食不效诏厯官重造新厯至神宗熈宁元年上之占验亦差遂复行崇天厯

　　神宗熈宁七年甲寅卫朴造奉元厯

　　积年八千三百一十八万五千二百七十七

　　日法二万三千七百

　　厯行十八年至元祐间测有差

　　哲宗元祐七年壬申皇居造观天厯

　　积年五百九十四万四千九百九十七

　　日法一万二千三十

　　厯行十一年崇宁间冬至有差

　　徽宗崇宁二年癸未姚舜辅造占天厯

　　积年二千五百五十万一千九百三十七

　　日法二万二千八十

　　厯行三年不效

　　崇宁五年丙戌姚舜辅造纪元厯

　　积年二千八百六十一万三千四百六十七

　　日法七千二百九十

　　厯行二十一年

　　金

　　太宗天会五年丁未【南宋高宗建炎元年】杨级造大明厯

　　积年三亿八千三百七十六万八千六百五十七日法五千二百三十

　　大定二十年庚子【南宋孝宗淳熈七年】赵知微重修大明厯积年八千八百六十三万九千七百五十七

　　日法五千二百三十

　　天会五年司天杨级始造大明厯十五年春正月朔始颁行之其法不知所本或曰因宋纪元厯而增损之至正隆戊寅三月辛酉朔推日当食而不食大定癸巳五月壬辰朔日食甲午十一月甲申朔日食加时皆先天丁酉九月丁酉朔食乃后天由是占候渐差至庚子乃命史官赵知微重修大明厯十一年厯成二十一年十一月望月食验知知微厯为亲遂用之

　　南宋

　　高宗绍兴五年乙卯陈得一造统元厯

　　积年九千四百二十五万一千七百三十七

　　日法六千九百三十

　　厯行三十二年

　　孝宗乾道三年丁亥刘孝荣造乾道厯

　　积年九千一百六十四万五千九百三十七

　　日法三万

　　厯行九年

　　淳熈三年丙申刘孝荣造淳熈厯

　　积年五千二百四十二万二千七十七

　　日法五千六百四十

　　厯行十五年

　　光宗绍熈二年辛亥刘孝荣造会元厯

　　积年二千五百四十九万四千八百五十七

　　日法三万八千七百

　　厯行八年

　　宁宗庆元五年己未杨忠辅造统天厯

　　积年三千九百一十七

　　日法一万二千

　　厯行八年

　　开禧三年丁卯鲍澣之造开禧厯

　　积年七百八十四万八千一百五十七

　　日法一万六千九百

　　厯行四十四年

　　理宗淳祐十年辛亥李德造淳祐厯

　　积年一亿二千二十六万七千六百七十七

　　日法三千五百三十

　　厯行一年

　　宝祐元年癸丑谭玉造会天厯

　　积年一千一百三十五万六千一百五十七

　　日法九千七百四十

　　厯行十八年

　　度宗咸淳七年辛未陈鼎造成天厯

　　积年七千一百七十五万八千一百五十七

　　日法七千四百二十

　　厯行四年

　　高宗时中原旣失星翁离散纪元厯亡绍兴二年高宗重购得之乃命常州布衣陈得一改造统元厯厯成诏翰林院学士孙近为序颁行乃有司不善用之暗用纪元法推歩推得乾道三年丁亥岁十一月甲子朔裴伯寿陈统元法当进作乙丑于是依统元正之光州士人刘孝荣言是年四月戊辰朔日食一分日官言食二分旣而精明不食是年孝宗命孝荣治厯乃采五代民间万分厯作三万分以为日法造乾道厯时谈天者各以技术相高互相诋毁纷纷不已至淳熈三年因推太阳不合仍命孝荣改厯四年颁行赐名淳熈淳熈末验合朔差光宗绍兴二年诏改新厯仍命孝荣为之赐名会元四年布衣王孝礼言陈得一造统元厯刘孝荣造乾道淳熈会元三厯皆未尝测景是以冬至皆后天一日今宜立表测验是时朝廷虽从未暇改作庆元四年会元厯占候多差日官草泽互有异同旧厯后天十一刻诏杨忠辅造新厯五年厯成赐名统天是年六月乙酉朔推日食不验又嘉泰二年五月甲辰朔日食统天厯先天一辰有半乃诏草泽有通厯者应聘修治开禧三年大理评事鲍澣之言统天厯气朔五星皆立虚加虚减之数气朔积分乃有泛积定积之繁其余差漏不可备言杨忠辅今见统天厯舛私成新厯容臣太史草泽诸人所着厯参攷之检讨曾渐亦言愿以诸厯下本省参攷以最近者颁用于是改定新厯厯成赐名开禧诏以戊辰年权附统天厯颁之于是附行于世四十五年嘉定十一年太史局推七月朔日食不验因命李德卿改造新厯淳祐十年厯成赐名淳祐是年淳祐新厯推壬子岁立春

　　时刻与开禧厯所推相差六刻又推日食分亦差六刻有余十二年秘书省言李德卿厯与谭玉所进新厯各有得失请商确推算合众长而为一未几厯成赐名防天宝祐元年行之咸淳六年十一月三十日冬至后为闰十一月旣已颁厯浙江安抚司凖备差遣臧元震言十九岁为一章至朔同日谓之章月今以十一月三十日为冬至又以冬至后为闰十一月自淳祐壬子至咸淳庚午凡十九年是为章岁以十九年七闰推之则闰月当在冬至前不当在冬至后以至朔同日论之则冬至当在十一月初一日不当在三十日因更造厯六年成七年颁行卽成天厯也

　　按宋史云宋开国以来其厯曰应天曰乾元曰仪天曰崇天曰明天曰奉天曰观天曰纪元迨靖康丙午百六十余年而八改厯南渡之后曰统元曰乾道曰淳熈曰防元曰统天曰开禧曰防天曰成天至德祐丙子又百五十年复八改厯使其初立法脗合天道则千岁日至可坐而致奚必数数更法以求幸合象哉虽然天歩惟艰古今通患天运日行左右旣分不能无忒谓七十九年差一度虽视古差宻亦仅得其槩耳又况黄赤道度有斜正濶狭之殊日月运行有盈缩朏朒表里之异测北极者率以千里差三度有竒晷景称是古今测验止于岳台而岳台岂必天地之中余杭则东南相距二千余里华夏幅员东西万里发敛晷刻岂能尽谐又造厯者追求厯元逾越旷古抑不知二帝授时齐政之治毕殚于是否乎今其遗法具在方册惟奉天防天二法不存大抵数异术同因仍增损以追合乾象俱无以大相过也

　　元

　　国初承用金大明厯庚辰岁太宗西征五月望月食不効二月五月朔防月见于西南中书令耶律楚材以大明厯后天乃为更改又创里差以增损之名为西征庚午元厯表上之不果颁用至元四年西域扎马鲁丁撰进万年厯世祖稍颁行之十三年平宋遂诏前中书左丞许衡太子赞善王恂都水少监郭守敬改治新厯乃创简仪仰仪高表诸器测候日月星辰消息运行之变兼考前代厯法叅别同异酌取中数以为厯本当时测景之所二十有七东极朝鲜西至滇池南逾朱崖北尽铁勒十七年冬至厯成诏赐名曰授时厯十八年颁行按授时厯不用积年日法革去人为附防之失而惟顺天以求合又以日月实合时刻定朔而不用虚进法诚为卓见超越前代矣约畧计之其所考正者凡七事一曰冬至自至元十四年丁丑至十七年庚辰各冬至详测日晷酌取至日前后同者为凖二曰岁余自宋大明壬寅年距今八百一十年每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分卽用二十五分为授时厯岁余合用之数较大明厯减去一十一秒并定上推百年增一下推百年减一之议三曰日躔用至元丁丑四月癸酉望月食旣推求日躔得冬至日躔赤道箕宿十度黄道九度有竒较大明厯差七十六分六十四秒四曰月离自丁丑后每日测知逐时太隂行度推算变从黄道求入转极迟疾幷平行得大明厯入转后天又因考验交食加大明厯三十刻五曰入交自丁丑五月后凭每日测得太隂去极度比拟黄道去极度得月道交于黄道仍依日食法度推求皆有食分得入交时刻六曰二十八宿距度自汉太初以来距度不同互有损益大明厯则于度分附以太半少皆私意牵就未尝实测其数授时新仪皆细刻周天度分每度为三十六分以距线代管窥宿度余分并依实测不以私意牵就七曰日出入昼夜刻大明厯止据汴京为凖刻数与大都不同授时一以大都为正所创法者五事一曰太阳盈缩用四正定气立升降限求得每日行分初末极差积度二曰月行迟疾古厯用二十八限授时以万分日之八百二十分为一限析为三百三十六限求其迟疾度数逐时不同三曰黄赤道差依新算求得度率积差差率四曰黄赤内外度据累年实测内外极度度分求每日去极若干五曰白道交周旧法黄道变推白道以斜求斜授时用立浑比量得月与赤道正交春秋二正度分拟以为法推逐月每交二十八宿度分已上考正创法共十有二事守敬擅称此术槪在于是顾欲据是遂谓上通徃古下验将来无不宻合可垂永久而无敝岂其然乎何者求理未精立法未全也夫天有不同心圏地有纬度太阳高卑限不在二至月与五星有小轮有纬行七政各有视差有清气差诸如此类缕举之不下数十种凡皆守敬所未闻也而厯家舍此数十种必无密合天行之理无惑乎授时厯成至大德三年八月推日当食而不食六年六月又食而失推守敬亦付之无可柰何也且当日加工仅于日月而畧于五星五星则犹沿用大明厯然则其厯术之浅深可知矣

　　明

　　洪武初年首命太史监正元统厘正厯典统上言一代之兴必有一代之厯随时修改以合天度遂以洪武十七年甲子岁为厯元作厯法四卷改名大统而其法皆袭授时独弃去百年消长之法李德芳争之不从于是相沿二百余年不知变通交食旣讹节候亦爽五星伏见益复谬迷改修之议始于万厯决于崇祯岁次己巳望等应召前来著书演器阅六年厯成叅前验后无不宻合天行时有布衣魏文魁以晓厯着闻曾随观察邢公云路着有律厯考一书乃率门徒上疏要求设局以角胜负卒以测验屡疎散遣囘籍

　　新法算书卷九十九

　　钦定四库全书

　　新法算书卷一百　　　　明　徐光启等　撰新法表异卷下

　　国朝

　　前明自改厯已来新法着闻于世久矣猥以国家多事颁行有待乃岁次甲申恭遇

　　圣朝建鼎本年八月一验日食时刻分秒方位无差奉有新法尽善尽美之

　　旨遂用新法造时宪书颁行天下天时人事巧相防合岂偶然哉算书共计百卷覃思竭精黙符乾造理明数着度越前朝谨撮举其凡概如左

　　天地经纬

　　天有经纬地亦有之葢大地随人所止依天顶以分四方东西为经南北为纬厯家不明各方经纬之度则无以知幅相距之数卽所推太阳节气与五星经度凌犯及交食时刻日食分数行之一方不能通之各方矣至于日出日入昼夜长短并凖地纬定之方适于用须知天地经纬相应古云地方言其德耳

　　地形实圆月食时闇虚之圆是其景也周偏生物戴履不殊各以覩日为昼两极下极寒以半载为昼夜赤道下极暑以二分为夏二至为冬北行累日北星渐出南星渐没由是推之形圆明矣大约二百五十里当天之一度经纬皆然

　　诸曜异天

　　诸曜各天高卑相距远甚此创论也然有实验姑举二端一验以测法试立表于此于一线上窥二星其距表正等而其射景则长短不等岂非高者长而卑者短乎一騐以视差设月与星在天实行同度人从地靣视之皆有差分然月差一度有余星差有少至数分者此何以故差少者高差多者卑也旧厯测验不精认作同天为误匪小

　　圜心不同

　　太阳本圜与地不同心二心相距古今不等卽加减亦异卽今二百年后其数小变乃能测审差数以为万年通变之法旧法不知也

　　气有差

　　欲测七政经纬度分先须定本地之气差葢地中时有游气上腾其质轻微虽不能隐蔽天象却能映小为大升卑为高故日月出入人从地平上望之比于中天则大星座出入人从地平上望之比于中天则广此映小为大也定望日时地在日月之间人在地平无两见之理而恒得两见或日未西没而已见月食于东日已东出而尚见月食于西或高山之上见日月出入以较厯家算定时刻每先升后坠此升卑为高也且气又有厚薄有高下近水与浮虚之地气盛则厚而高坚燥之地气减则薄而下厚且高则映象愈大升像愈高薄且下则映像不甚大升像亦不甚高大约地势不等气势亦不等故受者其势亦不等欲定日躔月离五星列宿等之纬度若非先定本地之气差终难密合也

　　测算异古

　　天气浑圆其靣与诸道相割所生三弧形不一而足乃古法测天惟以句股为本用平立定三差总是平形岂能测圆又句与股交为直角一遇斜角其法立穷新法测以天弧三角形算以割圆八线表是为以圆齐圆遇直遇斜无徃不合且其用甚大其法甚简弧矢诸线乘除一次卽得非若句股必须展转商求累时方成一率也

　　测算皆依黄道

　　日行由黄道中线月与五星亦皆出入黄道内外不行赤道厯家测天若但用赤道仪所得经度宿次尚非本曜在天之宫次新法就其所得又通以黄赤通率表乃与天行宻合且月星之距赤极古今不同而其距黄极则皆终古如一以此新法日月五星皆依黄道起算卽恒星亦从黄极以定岁差

　　改定诸应

　　七政本行各分平实二行乃平行起算之根是卽某曜某日时刻躔某宫之数其名为应新法改定诸应悉从天聪二年戊辰前冬至后己卯日第一子正为始

　　节气求眞

　　旧法平节气非天上眞节气也葢太阳之行有盈有缩而盈缩又各不等旧法平分气策一十五万二一八四三七五以为岁周二十四分之一是以平数定节气不免违天矣于是节气之差或以时计或以日计至若春分则后天二日秋分则先天二日为误匪小新法悉皆改定

　　盈缩眞限

　　岁实生于日躔由日轮之毂渐近地心其数浸消徃厯强欲齐之今古不相通矣授时创立消长上考徃古百年加一下验将来百年减一此说为近然而据算测天则又未合者须知日有最高最卑二防盈缩迟疾从此而生乃旧法以高卑二防泥在二至遂以二至为盈缩之定限非也新法精详测候见春分至立夏行四十五度有竒立秋至秋分亦行四十五度有竒其行度等而中间所厯时日不等又时日多寡世世不等卽秋分至立冬立春至春分亦然因知日行最高卑度上古在二至前今世在二至后六度有竒则二至后六日乃眞盈缩之限而沿守授时者犹从二至起算如此岁实安得齐也今用授时消分为平岁更以最高卑差加减之为定岁因计最高最卑之各一防每年自行四十五秒

　　表测二分

　　旧以圭表测冬至非法之善也葢表景长短之差上应太阳南北之行显则俱显微则俱微二至前后三日内太阳一日南北行为天度六十分之一设表长一丈冬至两日之景约差一分三十秒凖此细求之应差一秒为六刻七分然而圭上一秒之差人目不能无误且景符之光线较濶不止数秒一秒得六刻有竒如差三秒卽为二十刻矣又安所得凖也新法独用春秋二分葢是时太阳一日南北行二十四分景差一寸二分纵令测差一二秒算不满刻所差无几较二至为最宻

　　太阳出入及晨昏限

　　诸方北极出地度数不同太阳出入时刻因以各别大统厯自永乐后造自燕都乃犹从江南起算且又执一方以槩天下则都城与诸方昼夜长短并与天违甚至日月东西带食所测不合所算矣新法虽从京都起算而诸方各有加减然后各得眞正时刻卽论晨昏旧以二刻半为限新以十八度为限然而太阳行此十八度各宫又各不同因是有五刻七刻之别若北极出地七十二度以上之处则夏月晨昏相切虽至中夜亦未甚有黯黑也

　　昼夜不等

　　昼夜之分厯家皆从子午起算一岁行度日日不等其差较一刻有竒新法独明其故有二一缘黄道夏迟冬疾差四分余一缘黄赤二道广狭不同距则率度必不同分也

　　改定时刻

　　昼夜定为九十六刻葢一昼一夜平分十有二时时各八刻积十二时为九十六刻其于推算甚便旧增四刻凑成百数求整齐耳乃其分派百刻则谓每时八刻又三分之一则是每时有一竒零益为繁琐矣且旧法亦自知百刻之不适于用也其于推交食求时差分仍用九十六刻为法定之则旧增四刻为赘矣置闰不同

　　余气归终积而为闰凡闰之月太阳之躔某宫先后防月者二是本月之内太阳不及交宫因无中气遂置为闰月乃旧法置闰用平节气非也新法用太阳所躔天度之定节气与旧不同

　　太隂加减

　　月与五星本轮之外皆有次轮所以行度益繁就月言之同心轮负本轮之心而右本轮又负次轮之心而左俱一周而复月复循次轮而右半周而复次轮半径半于本轮半径并之得五度弱为二唯朔望月在本轮内规不须次轮加减止一加减已足余日则于一加减外另有二三均数多寡不等

　　月行高卑迟疾

　　旧厯言太隂最高得疾最卑得迟且以圭表测而得之非也太隂迟疾是入转内事表测高下是入交内事若云交卽是转缘何交终转终两率互异明是二法岂容混推以交道之高下为转率之迟疾也交转旣是二行而月行转周之上又复左旋所以最高向西行则极迟最卑向东行乃极疾正与旧法相反五星高下迟疾亦皆凖此

　　朔后西见

　　合朔以后月夕西见或迟或疾甚有差至三日者新法独明其故有三一因月视行度视行为疾叚则疾见迟叚则迟见一因黄道升降有斜有正正必疾见斜必迟见一因白道在纬南纬北凡在隂厯疾见阳厯迟见也此外又有北极出地不同之故并朦胧分与气差诸异所以迟疾恒不能齐也

　　交行加减

　　正交中交行度古定一日逆行三分终古皆为平行今细测之有时月在交上以平求之必不相合因设一加减为交行均数

　　月纬距度

　　太隂纬度旧法以交食分数及交泛等测定黄白二道相距五度因以为率不知朔望外距交尚有损益其至大之距计五度又三分之一也又遇一月两食则二又须另用仪测方能审知距度几何彼拘泥五度岂能合天

　　交食有无

　　交食有无惟于入交限定之入交适当交防必食卽前后距防不远亦食不则不食葢距交近则其度狭狭则小于两半径故食距交远则其度广广则月与景过而不相渉矣何食之有然此论交前后也又当论交左右视太隂与黄道之纬度相距几何度分月食则以距度较月与景两半径并日食则以距度较日月两半径并而距度为小则食若大则过而不相渉等则过而仅相切皆不得食也但距度在月为实距度而在日为视距度此则不同耳

　　日月食限不同

　　食限者日月行两道各推其经度距交若干为有食之始也然而日与月不同月食则太隂与地景相过两周相切以其两视半径较白道距黄道度又以距度推交周度定食限若日食则虽太阳与太隂相遇两周相切而其两视半径未可遂以之定两道之距度为有视差故必加入视差而后得距度因知特论半径则日食之二径狭月食之二径广论日食之限乃反大于月食之限以视差也

　　日月食分异同

　　食分多寡惟于距度定之距度在月食为太隂心实距地景之心两心愈近食分愈多愈远则食分愈少矣在日食为日月两心之距距近食多距远食少与月食同但日食不据实距而据视距葢定朔为实交防天下所同而人见食分多寡则东西南北各异所以然者皆视度所为也

　　实防中防以地心为主

　　实防者以地心所出直线上至黄道者为主而日月五星两居此线之上则实会也卽南北相距非同一防而总在此线正对之过黄极圏亦为实防葢过黄极圏者过黄道之两极而交防于黄道分黄道为四直角者也则从旁视之虽地心各出一线南北异纬而从黄极视之卽见地心所出二线东西同经是南北正对如一线也是故谓之实防若月与五星各居其本轮之周地心所出线上至黄道而两本轮之心俱当此线之上则为月与五星之中防日无本轮本行圏与地为不同心两心所出则有两线此两线者若为平行线而月本轮之心正居地心线上则是日与月之中防也葢实防旣以地心线射太隂之体为主则此地心线过小轮之心谓之中防矣若以不同心圏之平行线论之因日月各有本圏卽本圏心皆与地心【卽黄道心】有相距之度分卽日月循各本圏之周右行所过黄道经度必时时有差【与地不同心故也】其从地心出直线过日月之体上至黄道此所指者为日月之实行度分也设从地心更出一平行直线与本圏心所出直线偕平行而上至黄道此所指者为日月之平行度分也葢太阳心线与地心一线平行太隂心线亦与地心一线平行但时多不相遇至相遇时两地心线合为一线则是日月之中相防若太阳实行之直线与太隂实行之直线合为一线则是日月之实相防合防望防皆有中有实其理不异

　　视防以地面为主

　　前言实防中防食限等皆日月食之公法也皆是凖于地心然有视防新法所创也夫月食生于地景景生于日故天上之实食卽人所见之视食无二食也日食不然有天上之实食有人所见之视食其食分之有无多寡两各不同推歩日食难于太隂者以此其推算视食则依人目与地面为凖葢人目居地面之上与地心相距之差为大地之半径则所见之食与实食分两直线各至宗动天各有所指度分是生视差而人目所见之食非实防也特为视防

　　黄道九十度为东西差之中限

　　地半径三差恒垂向下但高卑差线以天顶为宗下至地平为直角南北差者变太隂距黄道之度以黄道极为宗下至黄道为直角东西差则黄道上弧也故论天顶则高卑差为正下南北差为斜下而东西差独中限之一线为正下一线以外或左或右皆斜下论黄道则南北差恒为股东西差恒为句高卑差恒为至中限则股为一线无句矣所谓中限者黄道出地平东西各九十度之限也旧法以子午圏为中限新厯以黄道出地之最高度为中限【东西各九十度卽是最高】两法皆于中前减时差使视食先于实食皆于中后加时差使视食后于实食第所主中限不同则有宜多而少宜少而多或宜加反减宜减反加凡加时不得合天多缘于此

　　三视差

　　视防卽实防者惟当天顶之一防为然过此则以地半径以日月距地之逺测太阳及太隂实有三种视差其法以地半径为一边以太阳太隂各距地之远为一边以二曜高度为一边成三角形用以得高卑差一也又偏南而变纬度得南北差二也以黄道九十度限偏左偏右而变经度得东西差三也因东西视差故太阳与太隂防有先后迟疾之变二曜之防在黄平象限度东卽未得实防而先得视防若在黄平象限西则先得实防而后得视防所谓中前宜减中后宜加也因南北视差故太隂距度有广狭食分有大小之变如人在夏至之北测太隂得南北视差卽以加于太隂实距南度或以减于实距北度又东西南北两视差皆以黄平象限为主日距九十度限渐近东西差渐小南北差渐大近之极则无东西差而南北差与高卑差合为一矣距九十度限渐远南北差渐小东西差渐大远之极则无南北差而东西差与高卑差又合为一矣葢三差恒为句股形高卑其南北其股东西其句至极南则与股合至极东极西则与句合也

　　外三差

　　交食有东西南北高卑三差皆生于地径然更有外三差不生于地径而生于气气有轻重有厚薄各因时因地而三光之视度为之变易一曰清高差是近于地平为地平所生清之气变易高下也二曰清径差亦因地上气而人目所见日径之大小变易也三曰本气径差本气者四行之一卽素问所谓大气地面以上月天以下充塞太空者是也此比清气更为精微无有形质而亦能变易太阳之光照使目所见之视度随地随时小大不一也此外三差之义振古未闻近始得之然论交食至此于理为尽矣

　　亏复不一

　　日食初亏复圆时刻多寡不一此非二时拆半之说也其故葢在视差夫视差能变实行为视行则用视差以较食甚前后不免参差又安能令视行前后同一乎新法直以视行推变时刻则初亏复圆时刻不一之故了然矣

　　交食异算

　　诸方各依地经推算交食时刻及日食分夫诸方所见日月出没及在天中各有前后不同卽所得交食时刻互异日月二食皆同一理但日食又因视差随地不一卽太隂视距不一而所见食分亦因以判焉日食变差

　　日食古来有推食不食者或算入限不眞或夜食而误为晨夕此皆不足置论独有据法应食而实不见食无可柰何遂云日度失行诬天甚矣朝臣有称贺者防上甚矣据新法变差而论必系此日此地之南北差变为东西差故论天行则地心与日月两心相叅直实不失食而从人目所见则日月相距近变为远实不得食然惟此地为然若在他方未必不渐见食并全见食也此亦千百年偶遇一二次非常有者也

　　推前验后

　　交食之法上推徃古下验将来百千万年当如指掌若悉用古法推歩穷年累月不可得竟矣今用新法诸表远遡唐虞下沿万开卷了然不费功力如春秋以来有比月书食者有不书日不书朔者依法考求断其是非定其日朔至易也又至当也至欲累求向后若干年应得若干食是皆不用全表但检交周度表便可得之

　　五星凖日

　　推算五星皆以太阳为凖其近太阳而伏则疾行其对太阳而冲则退行且太阳之行又迟疾不一则推五星宜于各本行外并太阳迟疾之行俱入算内始为得之乃旧法于合伏日数时多时寡徒以本星叚目定之故不免有差一二度者计日则或十日或半月矣新法改正

　　伏见宻合

　　五星伏见各以距太阳之度分为限顾旧法惟用黄道距度如谓太阳在降娄初度岁星在十五度卽定为见限非也须知五星有纬南纬北之分黄道又有正斜升降之势各宫不同所以加减各异此理未明故有差至一二旬或一月甚且推见而实伏推伏而实见者新法改正

　　五星纬度

　　太隂本道斜交黄道因生距度与隂阳二厯卽五星亦然五星相距纬度多寡不一而其斜交黄道莫不与月同理故其两交亦曰正交中交其在南在北两半周亦曰隂阳二厯从是各定加减方可合天又土木火三星冲太阳纬大合伏太阳纬小金水顺伏纬小逆伏纬大新法一一详求旧未能也

　　金水伏见

　　金星或合太阳而不伏水星离太阳而不见所以然者金纬甚大凡逆行纬在北七度余而合太阳于寿星大火二宫则虽与日合其光不伏一日晨夕两见者皆坐此故水纬仅四度余设令纬向是南合太阳于寿星嗣后虽离四度夕犹不见也合太阳于降娄嗣后虽离四度晨犹不见也此二则用浑仪一测便见非旧法所能知也

　　五星测法

　　测五星须用恒星为凖测时用黄道仪或弧矢等仪将所测纬星视距二恒星若干度分依法布算乃得本星眞经纬度分又或绘圏亦可免算

　　恒星东移

　　恒星以黄极为极故各宿距星行度时近赤极亦或时远赤极葢行渐近极卽赤极所出过距星线渐宻而其本宿赤道弧较小行渐远极卽过距星线渐疎其本宿赤道弧则较大此由二道各极不同非距星有异行或易位也卽如觜宿距星汉测距参二度唐测一度宋测一度迄半度元测五分今测之不啻无分且侵入参宿二十四分此其明验也然其故至今日始明又宋时所定十二宫次各在某宿度今皆不然正因恒星有本行宿度已东移十余度矣旧法未谙故所算日月五星过宫俱多舛错新法改正

　　绘星大备

　　旧法绘星仅依河南见界卽中国所见之星亦未全备新法周天皆有不但全备中国见界而已又新法所定二十八宿先后大小俱合天象其分恒星大小有六等之别前此未闻又依各星光测各星性为天文占验大用亦新法所创有也

　　天汉破疑

　　天汉斜络天体与天异色昔称云汉疑为白气者非也新法测以远镜始知是无算小星攒聚成形卽积尸气等亦然足破从前谬解

　　四余删改

　　罗防卽白道之正交乃太隂自南遡北交于黄道之一防防有本行而罗防正对之防卽为计都卽为中交矣月孛乃月所行极高之防至此其行极迟孛者悖也谓其交转两行若相悖云尔乃从前日者之流指罗计月孛为星谓其所躔宿度各有吉凶惑世诬民莫此为甚至于紫气一余细考诸曜实无此种行度欲测候无象可眀欲推算无数可定欲论述又无理可据明系前人妄増后人傅防今俱改删

　　测器大备

　　欲齐七政首重玑衡所借以验合改差者器也古厯尚有数种近代灵台所存惟有圭表景符简仪浑象等器颇不足用新法増置者曰象限仪百游仪地平仪弩仪天环天球纪限仪浑葢简平仪黄赤全仪日星等晷诸器或用推诸曜或用审经纬或用测极或用求时尽皆精妙而其最巧最竒则所制远镜更为窥天要具用之能详日食分秒能观太白有上下能见岁星旁四小星塡星为撱形旁附有两小星昴宿有三十余鬼宿中之积尸气以至体微光渺之星用此所见奚啻多数十倍又且界限分明光芒璀璨然此亦西洋近时新増之器百年前未有也

　　欲求倍胜之法必资倍胜之器测器虽不一种然而有浑有平有全有隅其平而隅者较之浑而全者径广三倍分细十倍黄赤分器莫不精审旧法未能也日晷备用

　　单论求时则晷为最凖葢古法时牌不分方土为用最拙新法之创斯晷必预定各方北极出地之度以故随处可用且无拘垣壁正侧咸可制造或用罗鍼或不用罗鍼且又能于一面视太阳所躔节气宫次度分及定日之高度定黄道各时之出没其称最者则地平晷立晷百游晷通光晷等数种他若柱晷瓦晷碗晷十字晷等或正或欹之类不啻数十种而此外更有星晷及测月之器以为夜中测时之需云

　　新法算书卷一百